第二章 离散传递函数与Z

F(S)
R(S) + -
E1(S) G1(S)
E2(S) E2(Z)
T
G2(来自百度文库)
T
Y(Z)
F(S)
G2 ( z ) Y ( z) RG1 ( z ) 1 G1G2 F ( z ) Y ( z ) E2 ( z ) Z [G2 ( s )] E2 ( z )G2 ( z ) E2 ( z ) Z [ R ( s )G1 ( s )] E2 ( z ) Z [G2 ( s ) F ( s )G1 ( s )] RG1 ( z ) E2 ( z )G1G2 F ( z )
dx(t ) L y(t ) Y ( s) sX ( s) dt H ( s) s
dx(t ) y (t ) 近似向后差分 dt x(n) x(n 1) Z y ( n) T 1 (1 z ) X ( z ) Y ( z) T
Y ( z) 1 z H ( z) X ( z) T H ( z ) G( s)
1
1 z s T
1
转换的工程意义
x(n) H(s) y (t)
T
y1(n)
H (z)

y2(n)
y1 (n) y2 (n) 则 H (s) H ( z) 等效 若： 等效于零阶保持器法
2.双线性变换法
r(t)
T
H(S)
y(t)
T
y＇(k)
r(k)
H(Z)
y(k)
sT / 2
e z e sT / 2 则H ( s ) H ( z )变换等效 e
NG2 ( z ) NG2 ( z ) G1G2 F ( z ) NG2 F ( z )G1G2 ( z ) Y ( z ) 1 G1G2 F ( z ) NG2 ( z ) 若F ( z ) 1则Y ( z ) 1 G1G2 ( z )
x(t0 ) e A(t ) Bu ( )d
t0
t
e 为转移矩阵

若采用零阶外推法： 即 kT t (k 1)T ,u(t ) u(kT ) 常数 假设初始时间 则 t0 kT ,t (k 1)T x(kT T ) e x(kT ) e Bu ( )d
1 1
F (T ) e AT L1[( sI A)1 ]t T F (T ) e AT
T N ( AT )i ( AT )i i! i! i 0 i 0 N
i i 1 i i N A T A T At G1 (T ) e dt 0 i! i 0 (i 1)! i 1 G (T ) G1 (T ) B
i
1 ai z i

用相仿的方法，也可以将一个给定离散 传递函数H(z)转化成为差分方程
三.连续系统与离散系统之间的 转换

常用方法 1.微分方程的差分近似法 2.双线性变换法 3.零极点匹配法 4.冲激响应不变法
1.微分方程的差分近似法

基本方法：通过对比寻找s与z的关系 对于

特点： ①它是一种近似变换，将S平面的左半部 映射到Z平面的单位圆内，变换本身不改 变稳定性，没有混叠现象。 ② wa 与 wd 是一种非线性变换
2 wd T ( wa tg ) T 2
3.零极点匹配法

零极点匹配法实质上就是双线性变换另 一种形式，当H(s)的分子和分母均为多 项式时比较方便，而H(s)用零极点形式 表示时间，用零极点匹配法比较方便。

或
y(n) bi r (n i) ai y(n i)
i 0 i 1
M
N
两边做Z变换
Y ( z ) bi R ( z ) z aiY ( z )z
i i 0 i 1 M N i M
Y ( z) H ( z) R( z )
b z
i 0 N i i 1
RG1 ( z ) E2 ( z ) 1 G1G2 F ( z ) G2 ( z ) Y ( z ) RG1 ( z ) 1 G1G2 F ( z )
3.具有扰动作用的情况
N(S) R(S) + F(S)
T
G1(S)
++
G2(S)
T
Y(Z)

若R(s)=0时，在N(s)下的输出Y(z)

在进行变换以后，需要重新确定直流增 益，即开环传递系数，具体做法如下：
K s ( s a1 )...( s am ) H (s) ( s b1 )...( s bm ) K z (1 z e ) (1 z e ) H ( z) 1 b1T 1 bmT (1 z e ) (1 z e ) 根据：z e sT , s 0时，z 1 即： lim H ( z ) lim H ( s) 可求得K z ( K s已知）
若y (k ) y (n)
sT

由台劳级数可得：
e
sT / 2
Ts 1 2
e
sT / 2
Ts 1 , 2
Ts 1 sT 2 ze Ts 1 2

解得：
2 1 z 1 2 z 1 s 1 T 1 z T z 1 H ( z ) H (s) 2 1 z 1 s 1 T 1 z
1. H ( s ) h(t ) L1[ H ( s )] 2. 离散化h(t ) 令t nT ,即h(t ) 3. 对h(nT )求Z 变换即得到H ( z ) t nT h(nT )
例：

求H(z)
解：
1
sc H ( s) 试用冲激响应不变法 ( s a)(s b)
AT ( k 1)T A( nT T ) kT
u 常数，找出积分处 令t kT T , dt d
( k 1)T kT
e
A ( kT T )
Bd e At B dt
0
T
x(kT T ) F (T ) x(kT ) G (T )u (k ) ( F (T ) e , G ( ) e dt B)
z 1 s 0 1 a1T 1 amT
(1 z 1eb1T )...(1 z 1ebmT ) K z lim H ( s) lim s 0 z 1 (1 z 1e a1T )...(1 z 1e amT )
4.冲激响应不变法


所谓冲激响应不变法是从连续系统的冲激 响应中进行采样而得到离散的冲激响应序 列，对该序列进行Z变换即可求得所对应 的离散传递函数H(z)。 步骤：
a c at c b bt 1. h(t ) L [ H ( s)] e e a b a b a c anT c b bnT 2. h(nT ) e e a b a b ac z c b z 3. H ( z ) Z [h(nT )] aT a b z e a b z e bT
第三章：离散传递函数与Z变 换分析方法
一、离散传递函数H(z) (G(z))


定义：在零初始条件下，输入离散信号 与输出离散信号之比 即
Y ( z) H ( z) R( z )
R(Z)
H(Z)
零状态
Y(Z)

且：H( z ) Z [h(n )]
δ (nτ

)
H (z)
n
h (nτ
)
均有
H ( z) G1 ( z) G2 ( z )
G1(S)
G2(S) H(Z)
2.闭环情况
R(S) + T
G(S)
Y(Z)
T
G( z) H ( z) 1 FG ( z )
F(S)
R(S) + Y(Z)
T T
T
G(S)
G( z) H ( z) 1 F ( z )G ( z )
AT At 0 T
y (k ) Cx(k ) 对(1)进行Z 变换 zX ( z ) zx(0) FX ( z ) GU ( z ), 令x(0) 0 即X ( z ) ( zI F ) GU ( z ) 对(2)式进行Z 变换Y( z ) CX ( Z ) C ( zI F ) 1 GU ( z ) H ( z ) Y ( z ) / U ( z ) C ( zI F ) G
H ( z ) h(n ) z , h(n ) h(t )
R 0
t n
二、Z传递函数与差分方程

根据Z变换的性质，Z传递函数与差分方 程之间可以相互转换
差分方程
移位定理
Z 传递函数
y(n) a1 y(n 1) ... aN y(n N ) b0 r (n) b1r (n 1) ...bmr (n M )
对给定的时域状态方程如何求 出H(z)

由线性状态方程
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t )
x(t )
t t0
x(t0 ) x(0) 0
若t0 0

则解为
x(t ) e
At A ( t t0 )
四.系统结构与Z传递函数

根据结构框图以及不同环节类型求 取离散传递函数。在数字化的结构 框图中，采样开关可以看作是一个 离散化的环节，即Z变换，H(z)是已 经进行了离散化处理。 G ( s ) 是连续 系统环节.即为连续化的表示形式。
1.完全离散化环节组成的系统，系统Z传递 函数的求法近似于连续系统 2.连续与离散混合系统 T 1°开环情况 R(Z) T Y(Z) G (S) G2(S)
N(S) + G1(S) G2(S)
T T
Y(Z)
V(Z)
F(S)
Y ( z ) Z [ N (s)G2 (s)] V ( z )Z[G1 (s)G2 (s)] NG2 ( z ) V ( z )G1G2 ( z )
V ( z ) Z [V ( s )] Z [ N ( s )G2 ( s ) F ( s )] V ( z )[G1 (s )G2 (s ) F (s )] NG2 F ( z ) V ( z )G1G2 F ( z ) V ( z ) NG2 F ( z ) 1 G1G2 F ( z )
1
H(Z)
H ( z ) Z [G1 ( s) G2 ( s)] G1G2 ( z )
R(Z)
T
T
T
G1(S) H(Z)
G2(S)
Y(Z)
H ( z ) Z [G1 ( s)] Z [G2 ( s)] G1 ( z )G2 ( z )

对于并联
G1(S)
G2(S) H(Z)

对零点s=a，极点s=b来说， 由定义 z e , z e
aT bT


即：
H ( z ) H ( s ) ( s a) ( z e aT ) ( s b) ( z e )
bT

s1,2 a jb 时 对于共轭复根： 即：
( s a jb)(s a jb) (1 z 1e aT e jbT )(1 z 1e aT e jbT ) 1 2 z 1e aT cos(bT ) z 2e 2 aT