线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
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线性代数课件6第三章向量空间
线性代数课件6第三章向量空间第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an行向量用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22次序不同不等：1,22,1n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵b1b2一个n维列向量bn.可以定义为一个n1的矩阵既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an几个定义(1)定义3.1.2所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β定义3.1.3几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184解某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法4.表出系数的求法1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或R={α1,α2,…,αm}例3:矩阵——向量组表示法Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmna1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amnAaijmna11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamja1na2nainamnA的列向量组a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)n维标准单位向量组Eaij100010nn01,0,01第i个分量为其余01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。
向量组的秩向量空间简介
规定：零向量组的秩为0.
定理1 若一向量组的秩为r,则该向量组中的任意
r+1个向量都线性相关.
推论 若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个
线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定理2 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m
线性表示，则 R{1, 2 , , s } R{1,2 , ,m }.
推论 等价的向量组的秩相同. 定理3 对任意向量组 1,2 , ,m，有
R{1,2 , ,m } R(1,2 , ,m ).
注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例1.设 1 (1,0,1,2)T ,2 (0,1,1,2)T ,3 (1,1,0, k)T , 4 (1,2, k,6)T ,5 (1,1,2,4)T，求向量组1,2 ,3 ,4 ,5
注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是 不同的.
§3 向量组的秩、向量空间简介
基变换
（1）定义6 设V是一个向量空间，1,2 , ,m;1, 2 , , m
为V中的两个基，设
1 a111 a212 am1m
2 a121 a222
am1 am2
a1m
a2m
amm
为由基 1,2 , ,m到基 1, 2 , , m 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m
的基变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
（2）性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 2）若由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m过渡矩阵为A,
定理1 若一向量组的秩为r,则该向量组中的任意
r+1个向量都线性相关.
推论 若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个
线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定理2 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m
线性表示，则 R{1, 2 , , s } R{1,2 , ,m }.
推论 等价的向量组的秩相同. 定理3 对任意向量组 1,2 , ,m，有
R{1,2 , ,m } R(1,2 , ,m ).
注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例1.设 1 (1,0,1,2)T ,2 (0,1,1,2)T ,3 (1,1,0, k)T , 4 (1,2, k,6)T ,5 (1,1,2,4)T，求向量组1,2 ,3 ,4 ,5
注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是 不同的.
§3 向量组的秩、向量空间简介
基变换
（1）定义6 设V是一个向量空间，1,2 , ,m;1, 2 , , m
为V中的两个基，设
1 a111 a212 am1m
2 a121 a222
am1 am2
a1m
a2m
amm
为由基 1,2 , ,m到基 1, 2 , , m 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m
的基变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
（2）性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 2）若由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m过渡矩阵为A,
线性代数第3章向量空间
1 1 22 2 31 42 则 1 , 2 , 3 必相关 3 51 62 如果 B : 1, 2 ,, m 可由 A : 1,2 ,,n
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
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(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数课件--09向量组的秩与向量空间-精选文档
8
三、最大无关组的等价定义
1. 结论的引入 问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？ : , , , : , 设向量组 A 1 2 m 0 i, i, i是向量组 A 的最大无关组， 显然，向量组 A 0 能由向量组 A 线性表示： 0 0 1 0 0 i 1 i 1 i i 1 m s s s s
1 2 r
1 2 r
1 2
另一方面，因为向量组 A 0是向量组 A 的最大无关 组，所以向量组 A 中任意 r 1 个向量都线性相关， 特别地，对于A 中任一向量 j ，向量组 , 能 由 , , j, i, i, i 线性相关，因此 j i i, i 线性表示，即向量组 A 能由向量组 A 0 线性表示. 所以向量组与其最大无关组等价. 9
1 2 r
(A ,所以 A 中存在 根据最大无关的定义，知 R 0)r 0 r 阶非零子式，即矩阵 A 中含有r 阶非零子式. 另一方面，如果 A 中有r 1阶子式 Dr 1不为零，则 , 矩阵 A 中Dr 1 所在的 r 1 列 j, j, j 线性无 , , , ) r 1 关（因为矩阵 ( ）. j j j 1 2 r 1 的秩为 , 这与 的列向量组的最大无关组矛 i, i , i是 A 盾. 因此 R (A )r. 即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.
第 主要内容 向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及 九 等价定义； 讲 向 量 组 的 秩 与 向 量 空 间
向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩 和最大无关组的求法； 向量空间的概念，向量空间的基和维数、子 空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.
理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概 念，知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用 矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组. 知道向量空间、向量空间的基和维数、子空 间、向量组所生成的空间的概念.会求向量在 基中的坐标.
三、最大无关组的等价定义
1. 结论的引入 问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？ : , , , : , 设向量组 A 1 2 m 0 i, i, i是向量组 A 的最大无关组， 显然，向量组 A 0 能由向量组 A 线性表示： 0 0 1 0 0 i 1 i 1 i i 1 m s s s s
1 2 r
1 2 r
1 2
另一方面，因为向量组 A 0是向量组 A 的最大无关 组，所以向量组 A 中任意 r 1 个向量都线性相关， 特别地，对于A 中任一向量 j ，向量组 , 能 由 , , j, i, i, i 线性相关，因此 j i i, i 线性表示，即向量组 A 能由向量组 A 0 线性表示. 所以向量组与其最大无关组等价. 9
1 2 r
(A ,所以 A 中存在 根据最大无关的定义，知 R 0)r 0 r 阶非零子式，即矩阵 A 中含有r 阶非零子式. 另一方面，如果 A 中有r 1阶子式 Dr 1不为零，则 , 矩阵 A 中Dr 1 所在的 r 1 列 j, j, j 线性无 , , , ) r 1 关（因为矩阵 ( ）. j j j 1 2 r 1 的秩为 , 这与 的列向量组的最大无关组矛 i, i , i是 A 盾. 因此 R (A )r. 即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.
第 主要内容 向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及 九 等价定义； 讲 向 量 组 的 秩 与 向 量 空 间
向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩 和最大无关组的求法； 向量空间的概念，向量空间的基和维数、子 空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.
理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概 念，知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用 矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组. 知道向量空间、向量空间的基和维数、子空 间、向量组所生成的空间的概念.会求向量在 基中的坐标.
线性代数课件：3-3向量组的秩
（3） 传递性 若向量组(Ⅰ)与向量组 （Ⅱ）等价，向量组（Ⅱ）也与向量组 (Ⅲ)等价，则向量组（Ⅰ）也与向量组 (Ⅲ)等价。
（4）向量组都与它的任一极大线性 无关组等价；
定理3.3.3 若向量组（Ⅰ）：
1, 2 ,, s
可由向量组（Ⅱ）：
1, 2 ,, t
线性表出,且向量组（Ⅰ）的秩为p ，向量 组（Ⅱ）的秩为q，则 p≤q。
!!!例3.3.6 设A是m×k矩阵,B是k×s矩 阵，则
R(AB) minR(A),R(B)
证 设A的列向量组为A1,A2, …,Ak， 矩阵B=(bij)k×s，矩阵C=AB的列向量组为 C1,C2,…,Cs ,则
C j b1 j A1 b2 j A2 bkj Ak ( j 1,2,, s)
例3.3.2 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
全由零向量组成的向量组的秩规定为零。
由向量组秩的定义，一个向量组线性 无关的充要条件是该向量组的秩等于向量 组中所含向量的个数；
Question: 任意一个非零向量组α1,α2, …,αm是否必定 存在一个极大线性无关组？
回答是肯定的。
对于向量组α1,α2, …,αm ，我们可用如 下方法求它的极大线性无关组：
要证s=r。
j1 , j2 ,, jr
由于 i1 , i2 ,, is为极大线性无关组，
所以 j1 , j2 ,, jr可由其线性表出，又 j1 , j2 ,, jr 线性无关，由定理 3.3.2
（4）向量组都与它的任一极大线性 无关组等价；
定理3.3.3 若向量组（Ⅰ）：
1, 2 ,, s
可由向量组（Ⅱ）：
1, 2 ,, t
线性表出,且向量组（Ⅰ）的秩为p ，向量 组（Ⅱ）的秩为q，则 p≤q。
!!!例3.3.6 设A是m×k矩阵,B是k×s矩 阵，则
R(AB) minR(A),R(B)
证 设A的列向量组为A1,A2, …,Ak， 矩阵B=(bij)k×s，矩阵C=AB的列向量组为 C1,C2,…,Cs ,则
C j b1 j A1 b2 j A2 bkj Ak ( j 1,2,, s)
例3.3.2 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
全由零向量组成的向量组的秩规定为零。
由向量组秩的定义，一个向量组线性 无关的充要条件是该向量组的秩等于向量 组中所含向量的个数；
Question: 任意一个非零向量组α1,α2, …,αm是否必定 存在一个极大线性无关组？
回答是肯定的。
对于向量组α1,α2, …,αm ，我们可用如 下方法求它的极大线性无关组：
要证s=r。
j1 , j2 ,, jr
由于 i1 , i2 ,, is为极大线性无关组，
所以 j1 , j2 ,, jr可由其线性表出，又 j1 , j2 ,, jr 线性无关，由定理 3.3.2
《线性代数教学PPT》向量组的秩
代
1,2, ,r为(A)的一个极大(最大)无关组 数
( A)的极大无关组必与(A)等价 : 最本质的性质.
注: (1)向量组的极大无关组不是唯一的.
=
(2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的;
=
问题:如果(A)的极大无关组不唯一,问其任意
两个极大无关组所含向量个数是否唯一?
线
定理5 设有两个向量组: 性
数
1 2 3 0 1 2 3 0
=
0 1 1 1 0 1 1 1 所求秩为3. 0 0 12 0 0 0 1 0
=
0 0 12 0 0 0 0 0
例3.11: 求下列向量组的一个极大无关组及向量组的秩
1 (1,1, 2, 2,1)T ,2 (0, 2,1,5, 1)T ,3 (2, 0,3, 1,3)T ,
1 0
性
0 0 0
代
且有 3 21 2
1 0 0 2 0 1 0 1
数
这是因为1
2
4
3
0 0
0 0
1 0
0
0
=
0 0 0 0
=
例12 将 = (1,0,-4)T 用1 =(0,1,1)T,
2 =(1,0,1)T,3 =(1,1,0)T 线性表出.
2
5
1
4
0
5
5
2
0
5
5
2
数
1 1 3 1 0 1 1 2 0 1 1 2
1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 0
0 1 1
0
0 1
1
线性代数课件-3.3向量组的秩
i , i ,, i 是向量组 1 , 2 ,, m 的一个极大线性无关组 i , i ,, i 满足：
1 2 r 1 2 r
（1） i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, m 的部分组
（2）i1 , i2 ,, ir 线性无关
（3）任意r+1个向量构成的部分组线性相关，
1 , 2 ,, m 的两个极大无关组，则有
因为
i1 ,i 2 ,,ir ≌ j1 , j 2 ,, js i1 ,i 2 ,,ir ≌ 1 , 2 ,, m 1 , 2 ,, m ≌ j1 , j 2 ,, js
• 等价的性质：
（1）反身性：任一向量组与自身等价。
即
1 , 2 ,,பைடு நூலகம் m
≌ 1 , 2 ,, m
（2）对称性：若1 , 2 ,, m ≌ 1 , 2 ,, s
则
1 , 2 ,, s ≌ 1 , 2 ,, m
由于 3可由1， 2线性表示
1 , 2 , 3 线性相关。
定理3· 若向量组1 , 2 ,, m 可由向量组 8 1 , 2 ,, s 线性表示，且m>s, 则向量组 1 , 2 ,, m 线性相关。
证明： 因为1 , 2 ,, m可由 1 , 2 ,, s线性表示
故
1 , 2 ,, m ≌ i1 ,i 2 ,,ir
定理3· 向量组 1 , 2 ,, m 和它的极大无关组 7
i1 , i 2 ,, ir 等价。
推论：同一向量组的任意两个极大无关组等价。 即 若 i1 , i 2 ,, ir 和 j1 , j 2 ,, js 是向量组
二、等价 定义3· 9 设有两个向量组
第三章向量组的线性关系与秩(课堂PPT)
1 0 0
2 0 0
5 2 0
103000
1 0 0
2 0 0
5 1 0
1 3 02
—
性 代 数 教 案 华 南 理
4
0
0
0
1 1
0 0
0 2
0 0
0 0
1 0
3
13
2
3
2 0
4 0 0 0
0 1 0 0
2 2 0 0
0 0 1 0
19 2
13
2
3
2
0
工 大 学 广 州
华 非零解(无非零解(只有零解)).
南
理 工 大
n个n维向量 1,2,L,n线性相关 1,2,L,n0
学
广 州
n个n维向量 1,2,L,n线性无关 1,2,L,n0
学
院
.
17
与线性相关性有关的性质：
—
联 合 班
① 1,2,L,s线性相关 至少有一个 i 可以用其
他向量线性表示。
线
性 代
②当向量的个数s大于维数n时，1,2,L,一s 定线
—
线 性
则说1,2,L,s线性相关,否则就说它们线性无关.
代
数 教
说明:① 意义和定义是一致的.比如设 c s 不为0,则
案 华 南
sc c1 s 1c c2 s 2Lccs s1 s1
理 ② 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就
工 大
是它是(不是)零向量.
学
广
州
学
③
学
院
.
12
—
3．等价关系：如果 1,2,,s与 1,2,,t互相可
线代课件第三节 向量组的秩
第三节
向量组的秩
一、最大线性无关向量组
二、矩阵与向量组秩的关系
三、向量组秩的重要结论
一、最大线性无关向量组
１、定义 设有向量组 A , 如果在 A 中能选出 r 个向量 1 , 2 ,, r , 满足
（1）向量组 A0 : 1 , 2 ,, r 线性无关 ;
（2）向量组 A 中任意 r 1 个向量 ( 如果 A 中有 r 1 个向量的话 ) 都线性相关， 则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关
初等行变换
~
1 0 0 0
2 0 2 5 1 1 3 2 0 0 1 0 0 0
0 2 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0
1 1 1 0
1 , 2 , 4 为向量组的一个最大无关组 ,
n
任意 n 个线性无关的 n 维向量都是 R n 的最大无关组 .
例2 设矩阵
1 0 A 1 1
0 1 3 1 1 2 1 0 3 1 1 1
求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组 , 并把不 属最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示 .
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
证
设向量组B含r个向量，则它的秩为 , r
因A组能由B组线性表示，故A组的秩 r， 从而A组中任意r 1个向量线性相关，
所以向量组 B 为向量组 A 的一个最大无关组 .
三、向量组秩的重要结论
P84 — 88的定理1,2,3,4中矩阵的秩均可理解为向 量组的秩. 推论
等价的向量组的秩相等.
1, 2,..., r , 线性相关 可由1, 2,..., r线性表示,
向量组A可由A 0线性表示.
向量组的秩
一、最大线性无关向量组
二、矩阵与向量组秩的关系
三、向量组秩的重要结论
一、最大线性无关向量组
１、定义 设有向量组 A , 如果在 A 中能选出 r 个向量 1 , 2 ,, r , 满足
（1）向量组 A0 : 1 , 2 ,, r 线性无关 ;
（2）向量组 A 中任意 r 1 个向量 ( 如果 A 中有 r 1 个向量的话 ) 都线性相关， 则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关
初等行变换
~
1 0 0 0
2 0 2 5 1 1 3 2 0 0 1 0 0 0
0 2 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0
1 1 1 0
1 , 2 , 4 为向量组的一个最大无关组 ,
n
任意 n 个线性无关的 n 维向量都是 R n 的最大无关组 .
例2 设矩阵
1 0 A 1 1
0 1 3 1 1 2 1 0 3 1 1 1
求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组 , 并把不 属最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示 .
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
证
设向量组B含r个向量，则它的秩为 , r
因A组能由B组线性表示，故A组的秩 r， 从而A组中任意r 1个向量线性相关，
所以向量组 B 为向量组 A 的一个最大无关组 .
三、向量组秩的重要结论
P84 — 88的定理1,2,3,4中矩阵的秩均可理解为向 量组的秩. 推论
等价的向量组的秩相等.
1, 2,..., r , 线性相关 可由1, 2,..., r线性表示,
向量组A可由A 0线性表示.
3 向量 线性关系 秩.ppt
解 由于1, 2,3线性无关, 而且4=1+2+3 所以1, 2, 3就是向量组1, 2,3,4的一个极大线性 无关组.
由于1, 2, 4也线性无关, 而且3=41 2 所以1, 2, 4也是向量组1, 2,3,4的一个极大线性 无关组. 类似地, 1, 3,4和2, 3, 4都是向量组1, 2,3,4 的极大线性无关组.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1+2k3, k1+k2+3k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)
k1+2k3 0 k1+k2 +3k3
0
2k 1k2 3k3 0
解得: k1=2k2=2k3. 比如取k1=2, 则有21+2 3=0
所以1, 2, 3线性相关.
显然, 一个向量组成的向量组线性相关=0
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0
就是
(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0
所以
k1 +k3 k1 +k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0
所以向量组1, 2, 3线性无关.
定理3.1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量 组线性相关.
前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在
了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任
何位置, 都称为原向量组的加长向量组.
定理3.4 线性无关向量组的加长向量组也线性无关.
证明 只证明在最后加一个分量的情况, 其它类似.
由于1, 2, 4也线性无关, 而且3=41 2 所以1, 2, 4也是向量组1, 2,3,4的一个极大线性 无关组. 类似地, 1, 3,4和2, 3, 4都是向量组1, 2,3,4 的极大线性无关组.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1+2k3, k1+k2+3k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)
k1+2k3 0 k1+k2 +3k3
0
2k 1k2 3k3 0
解得: k1=2k2=2k3. 比如取k1=2, 则有21+2 3=0
所以1, 2, 3线性相关.
显然, 一个向量组成的向量组线性相关=0
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0
就是
(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0
所以
k1 +k3 k1 +k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0
所以向量组1, 2, 3线性无关.
定理3.1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量 组线性相关.
前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在
了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任
何位置, 都称为原向量组的加长向量组.
定理3.4 线性无关向量组的加长向量组也线性无关.
证明 只证明在最后加一个分量的情况, 其它类似.
《线性代数》教学课件—chap33向量组的秩
max(R(A), R(B)) R A B R(A) R(B).
（2）设A，B分别为m×n矩阵和n×s矩阵，则
R(AB) min{R(A), R(B)}.
如果A 或B可
逆是什么结果
注：定理 (Sylvester)
则
R (AB) ≧ R (A)＋R (B)－n .
特别，若AB＝0，则 R(A)＋R(B) ≦n .
（3）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A+B) ≦ R(A)＋R(B)。
（4）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A-B) ？
例 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，n<m,
证明：(AB)X=0有非零解。
例 设矩阵 Anm , Bmn 满足 AB E ，
且 n<m. 证明： B 的列向量线性无关。
则称 i 1 , i 2 ,..., is 为一个极大线性无关组
如：向量组 = , , − ,
= , −, , = (, −, )
+ =
, 无关 , 线性相关
有： , ； , ; , 均为
xn
两边左乘A得: ABX=EX=0，所以 X=0，故B的列向量线性无关。
证法二 要证 B 的列向量线性无关，即要证 R(B)=n，由已知，
证法一:
设B按列分为
B 1
设有一组数 x1
x2
2 n
xn 使得
x1 1 x2 2 xn n 0
即
1 2
x1
x2
n BX 0
xn
（2）设A，B分别为m×n矩阵和n×s矩阵，则
R(AB) min{R(A), R(B)}.
如果A 或B可
逆是什么结果
注：定理 (Sylvester)
则
R (AB) ≧ R (A)＋R (B)－n .
特别，若AB＝0，则 R(A)＋R(B) ≦n .
（3）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A+B) ≦ R(A)＋R(B)。
（4）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A-B) ？
例 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，n<m,
证明：(AB)X=0有非零解。
例 设矩阵 Anm , Bmn 满足 AB E ，
且 n<m. 证明： B 的列向量线性无关。
则称 i 1 , i 2 ,..., is 为一个极大线性无关组
如：向量组 = , , − ,
= , −, , = (, −, )
+ =
, 无关 , 线性相关
有： , ； , ; , 均为
xn
两边左乘A得: ABX=EX=0，所以 X=0，故B的列向量线性无关。
证法二 要证 B 的列向量线性无关，即要证 R(B)=n，由已知，
证法一:
设B按列分为
B 1
设有一组数 x1
x2
2 n
xn 使得
x1 1 x2 2 xn n 0
即
1 2
x1
x2
n BX 0
xn
三章向量空间ppt课件
简称极大无关组。
极大无关组中所含想了个数r称为向量组π的秩，
记作 Rr
注:
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 规定它的秩为零
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组 线性表示
例如：对于向量组 T ：
1 = ( 1, 2, －1), 2 = (2, －3, 1) , 3 = (4, 1, －1)
数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为
这个向量的第i个分量或坐标。
分量都是实数的向量称为实向量；分量是 复数的向量称为复向量。
注：向量既有大小也有方向。
z
y
M(x, y)
M(x,y,z)
0
x
y
0
xiyj(x,y)OMxxiyjzk(x,y,z)OM
矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行
第三章
向量空间
1、向量及其运算 2、向量组的线性相关性 3、向量组的等价与向量组的秩 4、矩阵的秩及其行秩列秩 5、向量空间的基
§1 向量及其运算
定义1 n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）
a 1
或
a2
an
列向量
行向量
称为一个n维向量，简称向量。
用希腊字母αβγ等来表示向量 ，其中n为向量 的维数。一般向量看作是列向量,即用αβγ表示列 向量,行向量用它们的转置表示。
见书47页例3.2.4
§3 向量组的等价与向量组的秩
定义4 如果向量组 1:1,2,Lr中的每个向量都可 以由向量组 2:1,2,Ls线性表示，就称向量组 1:1,2,Lr 可由2:1,2,Ls线性表示，如果
极大无关组中所含想了个数r称为向量组π的秩，
记作 Rr
注:
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 规定它的秩为零
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组 线性表示
例如：对于向量组 T ：
1 = ( 1, 2, －1), 2 = (2, －3, 1) , 3 = (4, 1, －1)
数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为
这个向量的第i个分量或坐标。
分量都是实数的向量称为实向量；分量是 复数的向量称为复向量。
注：向量既有大小也有方向。
z
y
M(x, y)
M(x,y,z)
0
x
y
0
xiyj(x,y)OMxxiyjzk(x,y,z)OM
矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行
第三章
向量空间
1、向量及其运算 2、向量组的线性相关性 3、向量组的等价与向量组的秩 4、矩阵的秩及其行秩列秩 5、向量空间的基
§1 向量及其运算
定义1 n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）
a 1
或
a2
an
列向量
行向量
称为一个n维向量，简称向量。
用希腊字母αβγ等来表示向量 ，其中n为向量 的维数。一般向量看作是列向量,即用αβγ表示列 向量,行向量用它们的转置表示。
见书47页例3.2.4
§3 向量组的等价与向量组的秩
定义4 如果向量组 1:1,2,Lr中的每个向量都可 以由向量组 2:1,2,Ls线性表示，就称向量组 1:1,2,Lr 可由2:1,2,Ls线性表示，如果
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, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
的秩和一个极大线性无关组，并用极大无关组表示其 余向量.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例2.设向量组 1 , 2 ,
, m 可由 1 , 2 ,
, m 线性表示，
, m
1 a111 a21 2 am1 m 2 a121 a22 2 am 2 m a a a 1m 1 2m 2 mm m m
即，
§3 向量组的秩、向量空间简介
①
a11 a12 a21 a22 ( 1 , 2 , , m ) (1 , 2 , , m ) a a m1 m 2
, m 过渡矩阵为A-1. , 过渡矩阵为 A, m
1 , 2 , 3）若由基
由基 1 , 2 , 由基1 , 2 ,
, m到基1 , 2 ,
, m到基 1 , 2 , , m到基 1 , 2 ,
, 过渡矩阵为 B，则 m , 过渡矩阵为 AB. m
空间 , V , k , l , k l V . 例 4. 设 1 , 2 ,
, m 是n维向量组，则集合
km m，k1 , k2 , , km R}
V { k11 k2 2
是一个向量空间，称为由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
a1m x1 a2 m x2 x amm m
1
y1 a11 a12 y2 a21 a22 或 y a a m m1 m 2
④
称③或④为向量α 在基变换下的坐标变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
j a1 j1 a2 j 2
2）若 1 , 2 ,
amj m ( j 1,2,
, m ), A=(aij ).证明
, m 线性相关. , m线性无关
1 , 2 , 1）若矩阵A不可逆，则向量组
的充要条件是矩阵A可逆.
, m 线性无关，则 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
坐标变换
（1）定义7
1 , 2 , 设V是一个向量空间，
为V中的两个基，
, m 1 , 2 , ；
a1m a2 m amm
, m
a11 a12 a a ( 1 , 2 , , m ) (1 , 2 , , m ) 21 22 a a m1 m 2
§3 向量组的秩、向量空间简介
例3.判断下列集合是否为向量空间：
V1 {( x1 , x2 , V2 {( x1 , x2 , , xn1 ,0)T , xn1 ,1)T xi R, i 1,2, xi R, i 1,2, , n 1} , n 1}
定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量
, xm )与 ( y1 , y2 ,
设 V 在基 1 , 2 , 下的坐标分别为 ( x1 , x2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
, m 与基 1 , 2 ,
, m
, ym ) ，
即，
x1 y1 (1 , 2 , , m ) x2 与 ( 1 , 2 , , m ) y2 x y m m a1m y1 x1 a11 a12 a 2 m y2 则 x2 a21 a22 ③ x a a y a mm m m m1 m 2
例3.设 A 是 m s 矩阵，B 是 s n矩阵，证明
R( AB ) min R( A), R( B ) .
§3 向量组的秩、向量空间简介
二、向量空间简介
1.基本概念
设V是由n维向量组成的非空集合，若
, V , k , 有 ，k V ,
则称V对于向量的加法和数乘两种运算封闭. 定义2. 设V是由n维向量组成的非空集合，若V对于向量 的加法和数乘两种运算封闭，则称V是一个向量空间.
称数组 k1 , k2 ,
km m (1 , 2 ,
, km 为向量 在基 1 , 2 ,
, m 下坐标.
注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是
不同的.
§3 向量组的秩、向量空间简介
基变换
（1）定义6
1 , 2 , 设V是一个向量空间，
为V中的两个基，设
, m ; 1 , 2 ,
, m }.
定理1 若一向量组的秩为r,则该向量组中的任意
r+1个向量都线性相关.
推论 若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个
线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定理2 若向量组 1 , 2 , , s 可由 1 , 2 , , m
线性表示，则 R{ 1 , 2 ,
称 ① 或 ② 为由基1 , 2 , 的基变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
（2）性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
2）若由基1 , 2 , 则由基1 , 2 ,
, m到基1 , 2 , , m过渡矩阵为A,
, m到基1 , 2 ,
, m 生成的向量空间.
定义3. 设V1, V2是两个向量空间，若 V1 V2， 则称 V1 是 V2 的子空间. 注 向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间 {0}及V本身，而其它的子空间称为非平凡子空间． 例5. 若向量组 1 , 2 , 表示，则 L(1 , 2 ,
, s 可由 1 , 2 ,
, s } R{1 , 2 ,
, m }.
推论 等价的向量组的秩相同. 定理3 对任意向量组 1 , 2 , , m，有
R{1 , 2 , , m } R(1 , 2 , , m ).
注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例1.设 1 (1,0,1,2)T , 2 (0,1,1,2)T , 3 ( 1,1,0, k )T ,
则称矩阵
a1m a2 m amm
②
a11 a12 a21 a22 A a a m1 m 2
a1m a2 m amm
为由基 1 , 2 ,
, m到基 1 , 2 , , m 的过渡矩阵；
, m 到基 1 , 2 , , m