高考数学总复习第3章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理课时训练(含解析)
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_7正弦定理和余弦定理课件理新人教A版
4．三角形的面积公式
S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc
＝
1
1
2absin C ＝ 2bcsin
A ＝ 12acsin B
．
[三基自测] 1．(必修 5·习题 1.1B 组改编)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形 状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 答案：C
2．余弦定理
b2＋c2－a2
a2＝ b2＋c2－2bccos A ，cos A＝
2bc
；
a2＋c2－b2
b2＝ a2＋c2－2accos B ，cos B＝
2ac
；
a2＋b2－c2
c2＝ a2＋b2－2abcos C ，cos C＝
2ab .
3．勾股定理 在△ABC 中，∠C＝90°⇔ a2＋b2＝c2 .
面积为154 3，则 BC 边的长为
．
[解析] 由 S△ABC＝154 3得12×3×ACsin 120°＝154 3，所以 AC＝5，因此 BC2＝AB2
＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得 BC＝7.
[答案] 7
方法 4 已知三边解三角形
【例 4】 (2015·高考北京卷)在△ABC 中，a＝4，b＝5，c＝6，则ssiinn2CA＝
(2)△ABC中，若cos2A2＝b＋ 2cc，∴cos
A2 ＋1＝sin
B＋sin 2sin C
C⇒cos
A＋1＝ssiinn
CB＋1，
∴sin Ccos A＝sin B，∴sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C．
高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 正弦定理和余弦定理课件 文
三角函数、解三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
考纲下载 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形 度量问题.
请注意
正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题 型为选择题、填空题和解答题都有，选择、填空题主要考 查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及三角形面积公式 的应用.解答题常与三角恒等变换结合，属解答题中的中档 题，在新课标中显得尤其重要.
A．3 2 1
B. 3 2 1
C. 3 2 1
D．2 3 1
解析：由题意知A＝2π，B＝π3，C＝π6. 由正弦定理知a b c＝sinA sinB sinC＝2
3 1，
故选D.
答案：D
(2)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若a＝ 3，sinB＝12，C＝6π，则b＝________.
bc
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2
2R 2R sinA B C
2bc
2ac
a2＋b2－c2 2ab
【调研1】 (1)(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c
＝6，则ssiinn2CA＝________.
【解析】 在△ABC中，由余弦定理的推论可得cosA＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
解析：在△ABC中，由sinB＝
1 2
，可得B＝
π 6
或B＝
5π 6
，结
合C＝π6可知B＝6π，从而A＝23π，利用正弦定理sianA＝sibnB，可
得b＝1.
答案：1
突破考点 02
利用正、余弦定理判断三角形的形状
（题点多变型——一题多变）
三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边．
高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理课件 文 新人教A版
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析
[变式 2] 母题的条件变为“若 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C”，确定△ABC 的形状．
解析
[变式 3] 母题的条件变为“若△ABC 的三个内角满足 sin
A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC
2．余弦定理
a2＝ b2＋c2－2bccos A，b2＝ a2＋c2－2accos B ，c2＝ a2 _＋__b__2－__2__a_b_c_o_s_C__．余弦定理可以变形：cos A＝
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
_____2_b_c_____，cos B＝_____2_a_c____，cos C＝____2_a_b___.
[即时应用] (2016·山师大附中一模)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，且 bsin A＝ 3acos B. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sin C＝2sin A，求 a，c 的值．
解析
考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 题点多变型考点——纵引横联
[典型母题]
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为 ( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
[解析] 由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即 sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即 A＝π2. [答案] B
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.7正弦定理、余弦定理
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 正弦定理、余弦定理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sinA ＋B2＝cos C2；cos A ＋B2＝sin C2.(5)tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B等于( ) A.π3B.5π6C.π6或5π6 D.π6答案 D解析 ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝120°，∴B ＝30°，即B ＝π6.2．(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.答案 1解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则边a ＝________；△ABC 的面积等于________． 答案6＋ 2 1＋ 3解析 A ＝π－B －C ＝7π12，sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝32×22＋12×22＝64＋24.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，即asin 7π12＝2sinπ6，解得a ＝6＋2， ∴△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×(6＋2)×2×22＝3＋1. 4．(教材改编)△ABC 中，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 直角三角形解析 由已知得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝sin 2A ，又sin A ≠0，∴sin A ＝1，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．5．(2015·杭州二中高中第二次月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝________.答案π3解析 由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0. ∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C ＞0，∴3sin B －cos B －1＝0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．(3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个．(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.(3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1.思维升华 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜2 2D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2，又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－C ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2C＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2. (2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．(2015·天津七校4月联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝3b sin A －a cos B .(1)求角B ；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .解 (1)由a ＝3b sin A －a cos B 及正弦定理，得sin A ＝3sin B ·sin A －sin A ·cos B ， ∵0<A <π，∴sin A >0，∴3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12.又∵0<B <π，∴－π6<B －π6<5π6，∴B ＝π3.(2)∵S ＝12ac sin B ＝3，∴ac ＝4，①又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2＝8.② 由①②联立解得a ＝c ＝2.题型三 正弦、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B解析 (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sinA >0，于是有cosB <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c ， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2， ∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a－b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案 (1)D (2) 3解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴s in A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.二审结论会转换典例 (14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．规范解答解 (1)△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[9分] 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[12分] 所以，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38.[14分] 温馨提醒 (1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向．(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误．[方法与技巧]1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边． [失误与防范]1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B 等于( )A.π4 B.π3C.π6D.2π3答案 A解析 因为cos A ＝13，所以sin A ＝1－19＝223， 由正弦定理，得4sin A ＝3sin B ，所以sin B ＝22， 又因为b ＜a ，所以B ＜π2，B ＝π4，故选A.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( ) A.2π3B.π3C.3π4D.5π6答案 A解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cosC ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3. 3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sinB ∶sinC ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x ＞0)．则cos C ＝x2＋x 2－x22·5x ·11x＝－23x 2110x2＜0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B.932C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝sin B cos C ，则B ＝______.若A ＝π6，则ac ＝________.答案π2 33解析 由sin A ＝sin B cos C ，得sin(B ＋C )＝sin B cos C ，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ，得cos B sin C ＝0，显然sin C ≠0， ∴cos B ＝0，∴B ＝π2.若A ＝π6，则C ＝π－A －B ＝π3.由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝1232＝33.7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52， 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 答案3解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c . ∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴si n A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4. ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3.9．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b (cos A －3cos C )＝(3c －a )cosB .(1)求sin A sin C的值；(2)若cos B ＝16，且△ABC 的周长为14，求b 的值．解 (1)由正弦定理得到：sin B cos A ＋sin A cos B ＝3(sin B cos C ＋cos B sin C )， 即sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，由三角形内角和为π，得到：sin C ＝3sin A ⇒sin A sin C ＝13. (2)由sin A sin C ＝13可得：a c ＝13⇒c ＝3a ，△ABC 的周长a ＋b ＋c ＝14⇒b ＝14－4a ，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16，解得a ＝2(a ＝14舍去)，则b ＝6.10．(2015·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值． 解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角． 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝c ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B 知7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 12．若△ABC 中，若3cos 2A －B2＋5cos 2C2＝4，则tan C 的最大值为( )A ．－34B ．－43C ．－24D ．－2 2答案 B解析 由条件得3×A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sin B ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A tan B ＝14，tan A ＋tan B ≥2tan A tan B ＝1.又tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－43(tan A ＋tan B )≤－43，故选B.13．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.答案 6解析 由正弦定理得ABsin∠ADB ＝AD sin B ，即2sin∠ADB ＝3sin 120°，解得sin∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2×sin 120°sin 30°＝ 6.14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sinB ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2 C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2， 即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a2)2－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 3.6 正弦定理与余弦定理课件 文
(4)正弦定理对钝角三角形不成立。( )
解析 错误。正弦定理√适用于所有三角形。 (5)在△ABC中，＝( )
解析 正确。
(6)在△ABC中，若a2＋b2<c2，则△ABC为钝角三角形。( √ ) 解析 正确。由 a2＋b2<c2，得 a2＋b2－c2<0，即 cos C＝a2＋2ba2b－c2<0，
再由面积公式 S＝12absin C， 得 S△ABC＝12×6×sin π3＝32 3。故选 C。 答案 C
4．(2015·福建卷)若△ABC 中，AC＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝ ____2____。
解析 由三角形内角和定理知 B＝60°， 由正弦定理得：sin 630°＝sinBC45°，得 BC＝ 2。
又因为 0<C<π，所以π2<C<π。
(7)在△ABC中，若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形。( × ) 解析 错误。由a2＋b2>c2，可知cos C>0，即C为锐角，但不能判定该 三角形的形状。
[练一练] 1．(2015·广东卷)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。若
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c。已知 b－c ＝14a,2sin B＝3sin C，则 cos A 的值为__－__14____。
解析 由 2sin B＝3sin C，结合正弦定理得 2b＝3c，
又 b－c＝14a，所以 b＝32c，a＝2c。 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2
a＝2，c＝2 3，cos A＝ 23且 b<c，则 b＝(
)
A．3
B．2 2
C．2
D. 3
高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第7讲正弦定理和余弦定理课件理
方法二，同方法一，可得 2a2cos Asin B＝2b2sin Acos B. a2b·c2＋2bb2c－a2＝b2a·a2＋2ca2c－b2， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0. ∴a＝b 或 a2＋b2＝c2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D. 答案：D
45°，则 AC＝___2____.
3.(2018 年新课标Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为
a，b，c.若△ABC 的面积为a2＋b42－c2，则 C＝( C )
π
π
π
π
A.2
B.3
C.4
D.6
4.(2016 年天津)在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C＝
120°，则 AC＝( A )
解析：(1)方法一， 已知等式可化为 a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B) －sin(A－B)]， ∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A. 由正弦定理知上式可化为 sin2Acos Asin B＝sin2Bcos Bsin A， ∴sin 2A＝sin 2B. 由 0<2A<2π，0<2B<2π， 得 2A＝2B 或 2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＝π2－B. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角 或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b
a≥b
解的 个数
一解
两解
一解
a>b 一解
1.(2016 年北京)在△ABC 中，∠A＝23π，a＝ 3c，则bc＝__1___.
2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_7正弦定理和余弦定理课时规范练文(含解析)新人教A版
3-7 正弦定理和余弦定理课时规范练 A 组 基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( D )A. 2B. 3 C ．2D.32．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( D ) A ．10 B.9 C ．8D.53．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( B )A ．5 B. 5 C ．2D.1解析：∵钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝c ＝1，BC ＝a ＝2，∴S ＝12ac sin B ＝12，即sin B ＝22，当B 为钝角时，cos B ＝－1－sin 2B ＝－22， 利用余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2＝5，即AC ＝5， 当B 为锐角时，cos B ＝1－sin 2B ＝22， 利用余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2＝1，即AC ＝1， 此时AB 2＋AC 2＝BC 2，即△ABC 为直角三角形，不合题意，舍去， 则AC ＝ 5.故选B.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( A ) A ．a ＝2b B.b ＝2a C ．A ＝2BD.B ＝2A5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ，则B ＝( C ) A.π6B.π4C.π3D.π26．(2018·衡阳联考)已知△ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是( B ) A.23 B.34 C.56D.710解析：设三边长依次是x －1，x ，x ＋1，其中x 是自然数，且x ≥2， 令三角形的最小角为A ，则最大角为2A ，由正弦定理，有x －1sin A ＝x ＋1sin 2A ＝x ＋12sin A cos A，∴cos A ＝x ＋1x －，由余弦定理，有cos A ＝x 2＋x ＋2－x －22x x ＋，∴x ＋1x －＝x 2＋x ＋2－x －22x x ＋，即x ＋1x －1＝x 2＋4x x 2＋x ＝x ＋4x ＋1，整理得(x ＋1)2＝(x －1)(x ＋4)， 解得x ＝5， 三边长为4,5,6， 则cos A ＝52＋62－422×5×6＝34.7．(2018·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cosB ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为(D )A ．等腰三角形 B.锐角三角形 C ．直角三角形D.等腰直角三角形解析：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， 所以sin(B ＋C )＝sin 2A ， 所以sin A ＝sin 2A . 因为0<A <π， 所以sin A ≠0， 所以sin A ＝1. 所以A ＝π2.因为sin 2B ＝sin 2C ，所以由正弦定理得b 2＝c 2. 因为b >0，c >0， 所以b ＝c .所以△ABC 是等腰直角三角形． 综上所述，故选D.8．(2016·高考北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝__1__.9．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是__45°，30°，105°__.10．在△ABC 中， A ＝30°，AB ＝4，满足此条件的△ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为__(2,4)__．解析：由正弦定理可得BC sin A ＝ABsin C ，∴BC ＝AB ·sin A sin C ＝2sin C，∵△ABC 有两个解，∴30°＜C ＜150°，且C ≠90°， ∴12＜sin C ＜1， ∴BC ＝2sin C∈(2,4)． 11．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是152，cos ∠BDC ＝ 104. 解析：如图，取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意知AE ⊥BC ，BF ⊥CD . 在Rt △ABE 中，cos ∠ABE ＝BE AB ＝14， ∴cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154.∴S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin∠DBC ＝152.∵cos ∠DBC ＝1－2sin 2∠DBF ＝－14，且∠DBF 为锐角，∴sin ∠DBF ＝104.在Rt △BDF 中，cos ∠BDF ＝sin ∠DBF ＝104. 综上可得，△BCD 的面积是152，cos ∠BDC ＝104. 12．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 解析：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cosC ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin 60° ＝2 3.13．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin Bsin C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解析：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ， 所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°， 所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B.由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，即∠B ＝30°. B 组 能力提升练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( A ) A.725 B.－725C ．±725D.2425解析：由C ＝2B ，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c ，得cos B ＝sin C2sin B＝c 2b ＝45， 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( B ) A ．a ＝c B.b ＝c C ．2a ＝cD.a 2＋b 2＝c 2解析：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C ，D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若满足c ＝2，a cos C ＝c sin A 的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( D ) A ．(1，2) B.(1，3) C ．(3，2)D.(2，2)解析：因为a cos C ＝c sin A ，由正弦定理得sin A cos C ＝sin C sin A ，易知sin A ≠0，故tan C ＝1，所以C ＝π4.过点B 作AC 边上的高BD (图略)，垂足为D ，则BD ＝22BC ，要使满足条件的△ABC 有两个，则BC >2>22BC ，解得2<BC <2.故选D. 4．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2 C 2＋12，则△ABC 为( D )A ．等边三角形B.钝角三角形C ．锐角非等边三角形 D.等腰直角三角形解析：由2a cos B ＝c ⇒2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2，所以a ＝b .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2 C 2＋12， 所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋1－2sin 2C2＝0，所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋cos C＝0，所以(2－cos C )(2sin A sin B －1)＝0，因为cos C ≠2，所以sin A sin B ＝12，因为a ＝b ，所以sin 2A ＝12，所以A ＝B ＝π4，所以C＝π2，所以△ABC 是等腰直角三角形，故选D. 5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为3 .解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，则△ABC 面积的最大值为 3.6．(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cosC ＋c cos A ，则B ＝π3. 解析：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋c b的值为__2__.解析：由题意及正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，解得a ＋cb＝2.8．(2018·高考北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__60°__；ca的取值范围是__(2，＋∞)__． 解析：∵S △ABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝sin B3，即cos B ＝sin B 3，∴sin B cos B ＝3，∠B ＝π3，则c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝32cos A －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·sin A sin A ＝32·1tan A ＋12， ∴∠C 为钝角，∠B ＝π3，∴0<∠A <π6，∴tan A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，1tan A ∈(3，＋∞)， 故c a∈(2，＋∞)．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解析：(1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cosC －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2B ＝sin A sinC . 由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤ 1－122＝32， ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3.即△ABC 的面积的最大值为 3.10．(2018·海口调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理，得(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ， ∴sin B sin A＝3. (2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.。
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
第三章
考点一
第七节 正弦定理和余弦定理
回顾教材·夯实基础 考点二 典例剖析·突破考点 考点三 真题感悟·体验考场 课时规范练
∴a＝c， π 又 B＝ ， 3 ∴△ABC 为等边三角形．
[答案] B
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考点一
第七节 正弦定理和余弦定理
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(2)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c， b asin Asin B＋bcos A＝ 2a，则a＝(
2
)
A． 2 3 C. 3
B．2 2 D. 2
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[方法提升] 常见类型及解题策略 1 1 1 (1)求三角形的面积．对于面积公式S＝ absin C＝ acsin B＝ 2 2 2 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式． (2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要 利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.
数表示边
角化边： 将表达式中的 等式两边是角的齐次形式 角用边的形式表示 或 a2＋b2－c2＝λab
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第七节 正弦定理和余弦定理
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判断三角形的形状|易错突破 [例 2] 已知△ABC 中，内角 A、B、C 成等差数列，其对边为 )
高三数学一轮复习 第3章第7课时 正弦定理和余弦定理精品课件
微能力认证作业
• 第7课时 正弦定理和余弦定理
• 正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
＝
a2＝b2＋c2－2bc·cos_A ， b2＝c2＋a2－2ca·cos_B ，
1．(2010·天津卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，则 A＝( )
• 3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等 变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的 突破口．
• 从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热 点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的 度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式， 甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现， 属解答题中的低档题．
方法二：∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由余弦定理，得(2b－c)·b2＋2cb2c－a2－a·a2＋2ba2b－c2＝0. 整理，得 b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
(2)∵S△ABC＝12bcsin A＝34 3，
即12bcsinπ3＝34 3， ∴bc＝3. ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2＝6， 由①②得 b＝c＝ 3，∴△ABC 为等边三角形．
常用的三角形面积公式 (1)S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B； (2)S＝12ah.
高考数学总复习 第三章第7课时 正弦定理和余弦定理随
（福建专用）2013年高考数学总复习 第三章第7课时 正弦定理和余弦定理随堂检测（含解析）1．(2012·南平质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则∠B ＝( ) A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°解析：选C.由余弦定理知a cos B ＋b cos A ＝c ；故sin C ＝1，∴C ＝π2，∴S ＝14(b 2＋c 2－a 2) ＝12ab ，解得：a ＝b ，∴∠B ＝45°. 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32D ．2 解析：选C.∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°.由b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝1×323＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32. 3．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边的长分别为a 、b 、c .设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则角C 的大小为________．解析：因为p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0，所以a 2＋b 2－c 22ab＝12＝cos C ，所以C ＝π3. 答案：π34．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，角A 不是最大角，a ＝23，外接圆的圆心为O ，半径为2.(1)求OB →·OC →的值；(2)若S △ABC ＝3，求△ABC 的周长．解：(1)由正弦定理，得a sin A ＝2R ＝4⇒sin A ＝32. ∴A ＝60°或120°.又A 不是最大角，∴0°＜A ＜90°.∴A ＝60°.∴∠BOC ＝2A ＝120°.∴OB →·OC →＝|OB →||OC →|c os ∠BOC ＝2×2×(－12)＝－2. (2)S △ABC ＝3⇒12bc sin A ＝3⇒bc ＝4. 由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2⇒b 2＋c 2－bc ＝12⇒(b ＋c )2－3bc ＝12⇒(b＋c)2＝3bc＋12＝24⇒b＋c＝2 6. ∴△ABC周长为26＋2 3.。
高考数学总复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时 正弦定理和余弦定理第四章 (对应学生用书(文)、(理)53～54页)1. (必修5P 10习题1.1第1(2)题改编)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．答案：23解析：在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinB sinA＝32×2232＝2 3.2. (必修5P 24复习题第1(2)题改编)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________． 答案：60°解析：由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝60°.3. (必修5P 17习题1.2第6题改编)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a ＝2bcosC ，所以由余弦定理得a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，故此三角形一定是等腰三角形．4. (必修5P 17习题6改编)已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C ＝________．答案：60°解析：cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∵ 0°＜C ＜180°，∴ ∠C ＝60°.5. (必修5P 11习题1.1第6(1)题改编)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC的面积为________．答案：43解析：∵ cosC ＝13，∴ sinC ＝223，∴ S △ABC ＝12absinC ＝12×32×23×223＝4 3.1. 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．2. 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 或cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab.3. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．[备课札记]题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. 解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°，∴ sinA ＝32. ∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinCsinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsinCsinB ＝6－22.变式训练在△ABC 中，(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________． (2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________． 答案：(1) 22 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴ 无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴ ∠A ＝45°或135°. 题型2 余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c .(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴ cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ ac ＝3.∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式（教师专享）(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.题型3 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，判断三角形的形状．解：已知等式可化为a 2[sin(A －B)－sin(A ＋B)]＝ b 2[－sin(A ＋B)－sin(A －B)]， ∴ 2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA ，∴ sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0，∴ sin2A ＝sin2B.由0<2A<2π，0<2B<2π得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 为等腰或直角三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 中，b·cosC c ·cosB ＝1＋cos2C1＋cos2B，试判断△ABC 的形状．解：由已知，得1＋cos2C 1＋cos2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b·cosCc ·cosB ， ∴cosC cosB ＝bc. 由正弦定理知b c ＝sinB sinC ，∴ sinB sinC ＝cosCcosB .∴ sinCcosC ＝sinBcosB ，即sin2C ＝sin2B ，因为∠B 、∠C 均为△ABC 的内角．所以2∠C ＝2∠B 或2∠C ＋2∠B ＝180°，所以∠B ＝∠C 或∠B ＋∠C ＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型4 正弦定理、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且bcosB 是acosC 、ccosA 的等差中项．(1) 求B 的大小；(2) 若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由题意，得acosC ＋ccosA ＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC ＋cosAsinC ＝2sinBcosB ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosB. ∵ A ＋C ＝π－B ，0＜B ＜π， ∴ sin(A ＋C)＝sinB ≠0. ∴ cosB ＝12，∴ B ＝π3.(2) 由B ＝π3，得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12，∴ ac ＝2.∴ S △ABC ＝12acsinB ＝32.变式训练已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1) 求A ；(2) 若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c.解：(1) 由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理得sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0. 由于sinC ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A<π，故A ＝π3.(2) △ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1. (2013·安徽)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若b ＋c ＝2a ，3sinA ＝5sinB ，则角C ＝________．答案：2π3解析：根据正弦定理，3sinA ＝5sinB 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a5.令a ＝5t(t>0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t ＝－12，所以C ＝2π3.2. (2013·贵州)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________． 答案：3＋1解析：∵ b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，∴ 由正弦定理得b sin π6＝csin π4，解得c ＝2 2.又A ＝π－(B ＋C)＝7π12，S △ABC ＝12bcsinA ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.3. (2013·盐城期末)在△ABC 中，若9cos2A －4cos2B ＝5，则BCAC＝________．答案：23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.4. 已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________． 答案：4＋42解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos45°，即16＝c 2＋a 2－2ac·cos45°， 则有2ac －2ac·cos45°≤16，即ac ≤81－cos45°＝16（2＋2）2＝8(2＋2)．S max ＝12acsin45°＝24×8(2＋2)＝4＋4 2.1. (2014·南通一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且c ＝－3bcosA ，tanC ＝34.(1) 求tanB 的值；(2) 若c ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由正弦定理，得sinC ＝－3sinBcosA ，即sin(A ＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB ＋cosAsinB ＝－3sinBcosA.从而sinAcosB ＝－4sinBcosA.因为cosAcosB ≠0，所以tanA tanB＝－4.又tanC ＝－tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB tanAtanB －1，由(1)知，3tanB 4tan 2B ＋1＝34，解得tanB ＝12.(2) 由(1)，得sinA ＝25，sinB ＝15，sinC ＝35.由正弦定理，得a ＝csinAsinC ＝2×2535＝453.所以△ABC 的面积为12acsinB ＝12×453×2×15＝43.2. (2014·苏州期末)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c＝b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝15，b ＝4，求边c 的大小． 解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12c ＝b ，得sinAcosC ＋12sinC ＝sinB.∵ sinB ＝sin (A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ， ∴ 12sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝12.∵ 0<A<π，∴ A ＝π3.(2) 用余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4， ∴ 15＝16＋c 2－2×4×c ×12.即c 2－4c ＋1＝0. 则c ＝2±3.3. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c. (1) 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a 、b 的值；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1) ∵ c ＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又△ABC的面积为3，∴ 12absinC ＝3，即ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sinAcosA ，即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·(sinA －sinB)＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0.当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形．4. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.求：(1) △ABC 的周长； (2) cos(A －C)的值．解：(1) 因为c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2) 因为cosC ＝14，所以sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.所以sinA ＝asinC c ＝1542＝158. 因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78. 所以cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.1. (1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键． (2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．请使用课时训练（B ）第7课时（见活页）.[备课札记]。
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第七讲正弦定理和余弦定理课件
整理可得 2a2＝b2＋c2.
4.(2022 年天津)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c.已知 a＝ 6，b＝2c，cos A＝－41. (1)求 c 的大小；
(2)求 sin B 的值； (3)求 sin (2A－B)的值.
所以 C＝π2，所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是 否相等.
答案：A
【题后反思】判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判 断三角形的形状. (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三 角形的形状.此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个结论.
解析：由正弦定理sina A＝sinb B， 可将 a sin B＝ 3b cos A 转化为 sin A sin B＝ 3sin B cos A. 又在△ABC 中，sin B>0，∴sin A＝ 3cos A， 即 tan A＝ 3. ∵0<A<π，∴A＝π3.
1.正弦定理与余弦定理
名称
正弦定理
定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R，
其中R是三角形外接圆的半径
余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C
(续表) 名称
正弦定理
余弦定理
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； 变形 a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝
考点三 与三角形面积、周长有关的问题 考向 1 与三角形面积有关的问题 [例 2](2022 年太原市模拟)已知 a，b，c 分别是△ABC 的内角 A，B，C 所对的边，3c sin A＝4b sin C，再从下面条件①与②中任 选一个作为已知条件，完成以下问题.
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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时 正弦定理
和余弦定理
1. (2013·无锡期末)在△ABC 中，∠A ＝45°，∠C ＝105°，BC ＝2，则AC 的长度为________．
答案：1
解析：∠B＝30°，根据正弦定理得BC sinA ＝AC sinB ，AC ＝2
sin45°
×sin30°＝1.
2. (2013·镇江期末)在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，则cosC ＝________．
答案：－1
4
解析：由sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k>0，由余弦定理
得cosC ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝4＋9－1612＝－1
4
.
3. 在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π
3
，△ABC 的面积为3，则AC 的长为________．
答案：13
解析：∵ S＝12acsinB ，∴ 3＝12×1×c ×3
2
，∴ c ＝4.
又AC 2＝12＋42
－2×1×4×12
＝13，∴ AC ＝13.
4. (2013·扬州期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且a ＝5，b ＝3，sinC ＝2sinA ，则sinA ＝________．
答案：5
5
解析：∵ sinC ＝2sinA ，∴ c ＝2a ＝2 5.由余弦定理，得cosA ＝
32
＋（25）2
－（5）
2
2×3×25＝
255，∴ sinA ＝1－cos 2
A ＝55
. 5. 在△ABC 中，∠A 、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若sinA ＝3sinC ，∠B ＝30°，b ＝2，则△A BC 的面积是________．
答案： 3
解析：由正弦定理a sinA ＝c
sinC ，又3sinC ＝sinA ，∴ a ＝3c.
由余弦定理b 2
＝a 2
＋c 2
－2accosB ，∴ c ＝2，a ＝23，
∴ S △ABC ＝1
2
ac ·sinB ＝ 3.
6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2＝2c 2
，则cosC 的最小值为________．
答案：12
解析：由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2
4ab ≥1
2
，当且仅当a ＝b 时取“＝”．
7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1＋tanA tanB ＝2c
b
，则角A 的大小为
________．
答案：π3
解析：1＋sinAcosB sinBcosA ＝2sinC sinB sin(A ＋B)＝2sinCcosA.因为sinC ≠0，所以cosA ＝1
2
，A
＝π3
. 8. 在△ABC 中，∠A 、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若其面积S ＝14
(b 2＋c 2－a 2
)，则
∠A＝________．
答案：π4
解析：12bcsinA ＝14(b 2＋c 2－a 2) a 2＝b 2＋c 2
－2bcsinA sinA ＝cosA ，则∠A＝π4
.
9. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足bcosC ＋1
2
c ＝a.
(1) 求角B ；
(2) 若a 、b 、c 成等比数列，判断△ABC 的形状．
解：(1) 由正弦定理，得sinBcosC ＋1
2
sinC ＝sinA.
而sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ，
故cosBsinC ＝12sinC.在△ABC 中，sinC ≠0，故cosB ＝1
2
.
因为0<B<π，所以B ＝π
3
.
(2) 由b 2＝ac 及正弦定理，得sinAsinC ＝sin 2B ＝sin 2π
3＝34，又A ＋C ＝π－B ＝2π3
，
所以sinAsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32
sinAcosA ＋12sin 2
A
＝
34sin2A ＋1－cos2A 4＝3
4
， 所以3sin2A －cos2A ＝2，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.
又0<A<2π3，所以2A －π6＝π2，A ＝π3，从而C ＝π
3
.
故△ABC 是等边三角形．
10. 在△ABC 中，∠A 、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c)cosB ＝bcosC. (1) 求∠B 的大小；
(2) 若△ABC 的面积为33
4
，且b ＝3，求a ＋c 的值．
解：(1) 因为(2a －c)cosB ＝bcosC ，由正弦定理，得(2sinA －sinC )·cosB ＝sinBcosC ，即2sinAcosB ＝sinCcosB ＋sinBcosC ＝sin(C ＋B)＝sinA.在△ABC 中，0<A<π，sinA>0，所以
cosB ＝12.又0<B<π，故∠B＝π3
.
(2) 因为△ABC 的面积为334，所以12acsinB ＝334，所以ac ＝3.因为b ＝3，b 2＝a 2＋c
2－2accosB ，所以a 2
＋c 2
－ac ＝3，即(a ＋c)2
－3ac ＝3.所以(a ＋c)2
＝12，所以a ＋c ＝2 3.
11. (2013·山东)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，
cosB ＝79
.
(1) 求a 、c 的值；
(2) 求sin(A －B)的值．
解：(1) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2
－2ac(1＋cosB)，又b ＝2，a
＋c ＝6，cosB ＝7
9
，所以ac ＝9，
解得a ＝3，c ＝3.
(2) 在△ABC 中，sinB ＝1－cos 2
B ＝429
.
由正弦定理得sinA ＝asinB b ＝22
3
.
因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2
A ＝13
.
因此sin(A －B)＝sinAcosB －cosAsinB ＝102
27
.。