江苏省扬州市2017届高三数学模拟试卷(5月份)

2017年江苏省扬州市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B= ．2．若复数z满足（2﹣i）z=1+i，则复数z在复平面上对应的点在第象限．3．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为21．已知矩阵A=，设曲线C：（x﹣y）2+y2=1在矩阵A对应的变换下得到曲线C′，求C′的方程．（本小题满分0分）22．在极坐标系中，直线l和圆C的极坐标方程为ρcos（θ+）=a（a∈R）和ρ=4sinθ．若直线l与圆C有且只有一个公共点，求a的值．23．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；（2）若从A、B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X 的分布列和数学期望E（X）．24．在数列{a n}中，a n=cos（n∈N*）（1）试将a n+1表示为a n的函数关系式；（2）若数列{b n}满足b n=1﹣（n∈N*），猜想a n与b n的大小关系，并证明你的结论．2017年江苏省扬州市高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B= {0，1，2，4} ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集，根据定义进行求解即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={2，4}，∴A∪B={0，1，2，4}故答案为：{0，1，2，4}2．若复数z满足（2﹣i）z=1+i，则复数z在复平面上对应的点在第一象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：（2﹣i）z=1+i，∴z===+i则复数z在复平面上对应的点在第一象限．故答案为：一．3．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即2﹣x≥4，解得﹣x≥2，解得x≤﹣2，即函数定义域为（﹣∞，﹣2]；故答案为：（﹣∞，﹣2]；7．已知双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的焦距为10 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的焦距即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，可得：，解得a=，则b=2，c=5．双曲线的焦距为10．给答案为：10．8．已知sinθ=，θ∈（0，），则tan2θ= ．【考点】GU：二倍角的正切．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，tanθ，进而根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵sinθ=，θ∈（0，），∴cosθ==，tan=，∴tan2θ===．故答案为：．9．已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于的扇形，则这个圆锥的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为4的扇形，圆锥的母线l：4，解得圆锥的底面周长：2π，半径：r=1，∴这个圆锥的高是：h==．故圆锥的体积：V=πr2h=，故答案为：．10．已知圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+2=0（a为常数）与直线y=x相交于A，B两点，若∠ACB=，则实数a= ﹣5 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据△ABC是等边三角形列方程解出a．【解答】解：圆心C（a，1），半径r=（a2＞1），圆心C到直线y=x的距离d=，∵若∠ACB=，则△ABC是等边三角形，∴d=r，即=，解得a=1（舍）或a=﹣5．故答案为：﹣5．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=3，S10=40，则nS n的最小值为﹣32 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得S n，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=3，S10=40，∴a1+4d=3，10a1+d=40，解得a1=﹣5，d=2．∴S n=﹣5n+=n2﹣6n．则nS n=n2（n﹣6）．n≤5时，nS n＜0．n≥6时，nS n≥0．可得：n=4时，nS n取得最小值﹣32．故答案为：﹣32．12．若动直线x=t（t∈R）与函数f（x）=cos2（﹣x），g（x）=sin（+x）cos（+x）的图象分别交于P、Q两点，则线段PQ长度的最大值为．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数的二倍角公式化简f（x）和g（x），|PQ|=|f（t）﹣g（t）|，即求=|f （t）﹣g（t）|的最大值．【解答】解：函数f（x）=cos2（﹣x）=cos（）=sin2x+；函数g（x）=sin（+x）cos（+x）=sin（2x+）=cos2x．由题意，|PQ|=|f（t）﹣g（t）|，即|PQ|=sin2t+﹣cos2t|=|sin（2t﹣）|．当sin（2t﹣）取得最大值时，可得|PQ|的最大值．∴|PQ|的最大值为1+=．故答案为：．13．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由三角形的面积公式，S△ABC=2S△MBC，则S△MBC=1，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得•+2，方法一、利用导数求得函数的单调性，即可求得•+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，∴S△ABC=2S△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1，S△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1，∴丨MB丨•丨MC丨=．∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．∴•+2≥+2×﹣2×=2•，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值为2；方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，则•+2的最小值为2；故答案为：2．14．已知函数f（x）=有两个不相等的零点x1，x2，则+的最大值为．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】对k讨论，当k=0，k＞0，函数f（x）仅有一个零点；当k＜0时，分别求出两个零点，运用换元法，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．【解答】解：由函数f（x）=，当k=0时，f（x）=0，仅有一根x=，不符题意；当k＞0时，x＞1时，f（x）无零点；则0＜x≤1时，f（x）=0的两根为x==，必有一个负的，也不符合题意；故k＜0，由x＞1可得kx+1=0，即x1=﹣，﹣1＜k＜0；由0＜x≤1时，f（x）=0即为k==（﹣1）2﹣1，≥1，可得x2=，则+=﹣k+1+，﹣1＜k＜0，令t=，0＜t＜1，可得﹣k+1+=t﹣（t2﹣1）+1=﹣（t﹣）2+，当t=即k=﹣时，取得最大值，故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2+ac=b2，sinA=．（1）求sinC的值；（2）若a=2，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）利用余弦定理可得B，再利用和差公式即可得出．（2）利用正弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）由a2+c2+ac=b2，∴cosB==．∵B∈（0，π），∴B=．∵sinA=，A为锐角，∴cosA==．∴sinC=sin=﹣sinA==．（2）由正弦定理得=，∴c==2，∴S△ABC=acsinB==2．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB=2CD，AC交BD于O，锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ=2QC．求证：（1）PA∥平面QBD；（2）BD⊥AD．【考点】LX：直线与平面垂直的性质；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接OQ，可得PA∥OQ，即可证得PA∥平面QBD．（2）在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，可得PH⊥平面ABCD，即可得PH⊥BD，可得到以BD ⊥平面PAD，即BD⊥AD．【解答】解：（1）如图，连接OQ，因为AB∥CD，AB=2 CD，所以AO=2OC，又PQ=2QC，所以PA∥OQ，…又OQ⊂平面QBD，PA⊄平面QBD，所以PA∥平面QBD．…（2）在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥平面ABCD，…又BD⊂平面ABCD，所以PH⊥BD，又PA⊥BD，且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAD，…又AD⊂平面PAD，所以BD⊥AD．…17．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A、E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B、D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H=6米，圆弧的弓高h=1米，圆弧所对的弦长BD=10米．（1）求弧所在圆的半径；（2）求桥底AE的长．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）由r2=52+（r﹣1）2，即可求得r，即可求得弧所在圆的半径；（2）建立直角坐标系，由题意设所在圆的方程，列方程组，即可求得圆的方程，曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x﹣m）2，求导，根据导数的几何意义，即可求得m的值，求得A和E点坐标，即可求得桥底AE的长为58米．【解答】解：（1）设弧所在圆的半径为r（r＞0），由题意得r2=52+（r﹣1）2，则r=13，即弧所在圆的半径为13米．…（2）以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．∵H=6米，BD=10米，弓高h=1米，∴B（﹣5，5），D（5，5），C（0，6），设所在圆的方程为x2+（y﹣b）2=r2，（r＞0），则，，∴弧的方程为x2+（y+7）2=169（5≤y≤6）…6分设曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x﹣m）2，…由点B（﹣5，5），在曲线AB上∴5=a（5+m）2， …又弧与曲线段AB在接点B处的切线相同，且弧在点B处的切线的斜率为，由y=a（x﹣m）2，y′=2a（x﹣m），2a（﹣5﹣m）=，2a（5+m）=﹣，…由 得m=﹣29，A（﹣29，0），E（29，0）∴桥底AE的长为58米；…答：（1）弧所在圆的半径为13米；（2）桥底AE的长58米．（答和单位各1分）…18．如图，已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），且点（﹣1，）在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；（3）若F1C⊥AB，求k的值．．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，求得C点坐标，设直线BC的方程，即可求得点B的坐标；（3）设直线AB的方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，分别求得BF2及CF1方程，联立，求得C点坐标，代入椭圆方程，即可求得k的值．【解答】解：（1）由题意得a=2，将（﹣1，）代入椭圆方程，解得：b=，∴椭圆E的标准方程：；…（2）由△CF1F2为等腰三角形，且k＞0，则点C在x轴下方，1° 若丨F1C丨=丨F2C丨，则C（0，﹣）；2° 若丨F1F2丨=丨CF2丨，则丨CF2丨=2，C（0，﹣）；3° 若丨F1C丨=丨F1F2丨，则丨CF1丨=2，C（0，﹣）；∴C（0，﹣）；∴直线BC的方程y=（x﹣1），由，得或，∴B（，）；（不讨论扣2分）…（3）设直线AB的方程l AB：y=k（x+2），由，整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴x A•x B=﹣2x B=，x B=，y B=k（x B+2）=，B（，）…若k=，则B（1，），C（1，﹣），由F1（﹣1，0），则=﹣，F1C与AB不垂直；∴，由F2（1，0），=， =﹣，∴直线BF2的方程，直线CF1的方程：由，解得，∴C（8k2﹣1，﹣8k）…又点C在椭圆上得，即（24k2﹣1）（8k2+9）=0，即，∵k＞0，∴..…19．已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a为参数．（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意x∈，则，x∈（1，2]，令，x∈（1，2]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）当n=1时，a1=pa1a2，，当n=2时，a1+a2=pa2a3，，由得，即p2+p﹣1=0，解得：．…（2）①由2a2=a1+a3得，故a2=2，a3=3，所以，当n≥2时，，因为a n≠0，所以a n+1﹣a n﹣1=2…故数列{a n}的所有奇数项组成以1为首项2为公差的等差数列，其通项公式，…同理，数列{a n}的所有偶数项组成以2为首项2为公差的等差数列，其通项公式是…所以数列{a n}的通项公式是a n=n…②a n=n，在n与n+1间插入n个正数，组成公比为q n的等比数列，故有，即，…所以，即，两边取对数得，分离参数得恒成立…令，x∈（1，2]，则，x∈（1，2]，…令，x∈（1，2]，则，下证，x∈（1，2]，令，则，所以g（x）＞0，即，用替代x可得，x∈（1，2]，…所以，所以f（x）在（1，2]上递减，所以…四、附加题共40分）21．已知矩阵A=，设曲线C：（x﹣y）2+y2=1在矩阵A对应的变换下得到曲线C′，求C′的方程．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】设P（x0，y0）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y），利用，推出，然后求解曲线C′的方程．【解答】解：设P（x0，y0）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y），则：，即，解得，…（注：用逆矩阵的方式求解同样给分）又，∴，即，∴曲线C′的方程为．…（本小题满分0分）22．在极坐标系中，直线l和圆C的极坐标方程为ρcos（θ+）=a（a∈R）和ρ=4sinθ．若直线l与圆C有且只有一个公共点，求a的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，由直线与圆有且只有一个公共点，得d=r，由此能求出a的值．【解答】解：将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得；…将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程得x2+（y﹣2）2=4．…因为直线与圆有且只有一个公共点，所以d=r，即…解得a=﹣3或a=1．…23．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；（2）若从A、B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X 的分布列和数学期望E（X）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出．（2）X可能的取值为0，1，2，3，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望．【解答】解：（1）设“选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件M，则，答：选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为．…（2）X可能的取值为0，1，2，3，，，，故．所以X的分布列为：…所以X的数学期望．…24．在数列{a n}中，a n=cos（n∈N*）（1）试将a n+1表示为a n的函数关系式；（2）若数列{b n}满足b n=1﹣（n∈N*），猜想a n与b n的大小关系，并证明你的结论．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【分析】（1）利用数列的通项公式化简求解递推关系式即可．（2）通过当n=1时，当n=2时，当n=3时，计算结果猜想：当n≥3时，a n＜b n，然后利用数学归纳法的坐标方法证明即可．【解答】解：（1）=═∴∴又n∈N*，n+1≥2，a n+1＞0∴…（2）当n=1时，，b1=1﹣2=﹣1，∴a1＞b1当n=2时，，，∴a2=b2当n=3时，，，∴a3＜b3…猜想：当n≥3时，a n＜b n，…下面用数学归纳法证明：证：①当n=3时，由上知，a3＜b3，结论成立．②假设n=k，k≥3，n∈N*时，a k＜b k成立，即则当n=k+1，=，要证a k+1＜b k+1，即证明即证明即证明即证明，显然成立．∴n=k+1时，结论也成立．综合①②可知：当n≥3时，a n＜b n成立．综上可得：当n=1时，a1＞b1；当n=2时，a2=b2当n≥3，n∈N*时，a n＜b n…2017年6月19日。