巧用几何画板动画模拟带电粒子在复合场中做摆线运动

巧用几何画板动画模拟带电粒子在复合场中做摆线运动摘要：本文介绍了运用化曲为圆思想解决带电粒子在复合场中做摆线运动问题。

作为一种抽象而复杂的运动，师生总是难以理解其运动机制及其运动规律。

于是，文章重点介绍了一种简单、易行的几何画板课件实现摆线运动的动画模拟方法，有助于直观形象地观察其运动特点，促进了对摆线运动机制及其规律的深刻理解。

值得指出，利用几何画板制作物理教学课件，在实际教学中非常少见；因此，本文作为一个课件案例，能够促进一线物理教师认识几何画板的功用，丰富多媒体软件技术资源在物理教学中运用。

关键字：几何画板课件；动画模拟；摆线运动；化曲为圆带电粒子在复合场中的运动模型，是高考试题中呈现频率最高、思维难度最大的热点之一，一般在压轴题中出现。

注意到2011、2013年福建省考卷中，还出现了复杂曲线运动——摆线运动。

带电粒子在复合场中做摆线运动，其动力学机制是什么？具有什么特殊的运动学规律？为什么具有这些特殊规律？能否直观形象地演示摆线运动，并观察其运动学规律？客观而言，很多教师并没有研究这一教学课题，大多数学校也不可能实验演示这一运动模型。

于是，理论分析与动画模拟相结合，是突破这一教学难题的最佳选择之一。

一、模型理论分析复合场，是指在同一空间同时出现不同性质的场，例如重力场、电场、磁场。

本模型中各性质场都是匀强场，且带电粒子置入复合场中受到的重力、电场力、洛伦兹力位于同一平面上。

根据动力学原理不难分析，存在三种典型运动情景：1、匀速直线运动。

动力学条件是重力、电场力和洛伦兹力三合力为零。

带电粒子垂直磁场入场后，以入场速度做匀速直线运动。

2、匀速圆周运动。

动力学条件是重力、电场力二力平衡，即大小相等、方向相反。

带电粒子垂直磁场入场后，以入场速率做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动所需要的向心力。

3、摆线运动。

动力学条件是，不满足以上两种情况，带电粒子垂直磁场入场后，将做具有周期性规律的摆线运动。

前两种运动情景十分熟悉，但后一种运动情景非常陌生。

在教学中，为了避难就易，减轻学习负担，就后一种情况，教师直接告诉学生：带电粒子将做复杂的曲线运动，考题中出现此种运动情景，只能运用功能关系来求解。

实际上，在当前的教辅书籍中，几乎没有选录这类运动情景，偶尔出现了，教师也会规劝学生“忽视”这种情况。

值得欣慰的是，福建考卷这两年虽然出现了此类运动情景，但命题人直接给出了带电粒子的运动轨迹，目的是考查创新思维、类比思维、迁移思维、简化思维、学以致用思维等高级思维。

先看考题：题目一（2011•福建）如图1甲，在x＞0的空间中存在沿y 图1轴负方向的匀强电场和垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E ，磁感应强度大小为B 。

一质量为m ，带电量为q （q ＞0）的粒子从坐标原点O 处，以初速度v 0沿x 轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图1甲，不计粒子的重力。

（1）求该粒子运动到y =h 时的速度大小v ；（2）现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x 曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图1乙所示；同时，这些粒子在y 轴方向上的运动（y-t 关系）是简谐运动，且都有相同的周期T = Ⅰ．求粒子在一个周期T 内，沿x 轴方向前进的距离S ；Ⅱ．当入射粒子的初速度大小为v 0时，其y-t 图象如图1丙所示，求该粒子在y 轴方向上做简谐运动的振幅A ，并写出y-t 的函数表达式．题目二 （2013•福建）如图2甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

让质量为m ，电荷量为q （q ＞0）的粒子从坐标原点O 沿xOy 平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中。

不计重力和粒子间的影响。

图2（1）若粒子以初速度v 1沿y 轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A （a ，0）点，求v 1的大小；（2）已知一粒子的初速度大小为v （v ＞v 1），为使该粒子能经过A （a ，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x 轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sin θ值；（3）如图2乙，若在此空间再加入沿y 轴正向、大小为E 的匀强电场，一粒子从O 点以初速度v 0沿y 轴正向发射。

研究表明：粒子在xOy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x 分量v x 与其所在位置的y 坐标成正比，比例系数与场强大小E 无关。

求该粒子运动过程中的最大速度值v m 。

确实如此，只要对考纲所要求知识掌握好了，综合素质较高的考生，在顺利获取及运用好试题所给有用信息的情况下，就能够正确解答这两道试题。

可见，试题命制导向合理，不会增加师生教学负担。

题目一答案：(1)v =22mE S qB π=;(3)0()(1cos )m E qB y v t qB B m=--。

题目二答案：（1）2qBa v m =；（2）两个，sin 2qBa mv θ=；（3）m E v B = 意味深长的是，试题命制特点正好印证了一线教师的说法——对于复杂曲线运动问题，只能运用功能关系来求解。

真的如此吗？事实上，运用运动学方法，能更好地理解摆线运动规律，于学生而言，并没有增加知识容量，而且他们已经具备了解决摆线运动问题的脚手架。

处理曲线运动问题，需要运用化归思想，把“复杂”运动转化为“简单”运动，把“不熟悉”运动情景转化为“熟悉”运动情景，在物理上即为运动的合成与分解思想。

其中，师生非常熟悉的抛体运动，经常运用化曲为直的技巧，把曲线运动分解为两个直线运动处理。

待学生对匀速圆周运动非常熟悉后，为了促进学生对科学本质内涵的理解，教师有必要引导学生体会到：匀速圆周运动，如同匀速直线运动和匀变速直线运动一样，是宇宙中最为简单而具有和谐美感的机械运动形式。

因此，解决复杂的曲线运动问题，不仅可以运用化曲为直的技巧，还可以运用化曲为圆的技巧——把复杂曲线运动分解为圆周运动和直线运动来处理。

本模型下的摆线运动就可以运用化曲为圆的思想来处理。

在二轮复习教学中，选择恰当时机，师生可以探讨化曲为圆的思想，并运用它解决相对不难的运动问题，例如摆线运动。

当然，师生都应该树立正确的教学观——探讨摆线运动的目的不是拓展知识，而是锻炼能力、培养科学素养。

下面主要以题目一为例，探讨摆线运动。

在坐标原点O 处对带电粒子进行受力分析，受到沿y 轴负方向的电场力F qE =和y 轴正方向的洛伦兹力00f qv B =。

当0f F ≠时，带电粒子做摆线运动。

为了把摆线运动分解为匀速圆周运动和匀速直线运动两种最简单的运动形式，构造一对平衡洛伦兹力，它们分别沿y 轴正、负方向，大小等于111f f qv B '==，其中1E v B=。

重新组合，沿y 轴正方向的1f 与F 重新构成一对平衡力，沿y 轴负方向的1f '与f 0构成合洛伦兹力01f f f qvB '=-=，其中01v v v =-。

那么，摆线运动分解为以速度v 1向右的匀速直线运动和由洛伦兹力f 提供向心力的匀速圆周运动。

这两个分运动之间相互独立，互不影响，但是具有同时性。

不难得出，摆线运动的周期性由匀速圆周运动这一分运动决定，其时间周期2m T qBπ=，众所周知，周期T 与速度v 无关，且与0v 也无关。

而x 轴方向上的空间周期还与匀速直线运动有关，即空间周期122mE S v T qB π==。

至此，题目一中所给结论——现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x 曲线）不同，但具有相同的空间周期性……都有相同的周期2m T qBπ=——得到了理论上的解释，并且计算得到空间周期S ，这一运算中并没有运用“特殊值代入法”，使得答案更具有说服力。

事实上，两题目所设置的问题，在不提供任何“规律性”结论的说明情况下，都可以通过运动学方法得以求解。

运用化曲为圆思想从理论上能够还好地解释试题所给规律性结论，也能推导设问答案；但是却依然难以想象带电粒子的运动情景。

为了突破抽象思维这道坎，可以借助计算机软件来完成。

大家知晓的Flash 软件肯定可以模拟摆线运动，但是一线教师对这款软件的操作并不熟悉，更不能灵活运用；另外，教师制作时，头脑里对摆线运动情景要成竹在胸，而且必须具备很好的画工；运用非常广泛的Powerpoint 软件也能实现部分动画功能，但制作起来更加繁琐；数学软件Matlap 虽然能够刻画出摆线运动轨迹，但是无法实现动画模拟。

最后，选择了几何画板，很好地解决了这一教学难题，而且能够直观形象地印证化曲为圆思想的理论诠释。

下面着重谈谈动画模拟的制作过程。

二、 模型动画模拟（一）摆线运动动画模拟结果展示题目一和题目二的动画模拟结果分别如图3、图4所示。

其中，图3动画模拟结果与题目一图1乙看上去有所不同，出现了“回旋”的情况。

原因是，题目一命题者并没有画出1v v 情况的运动轨迹；而动画模拟中，则模拟了这种情况。

在运用几何画板模拟动画过程中，发现了其强大的交互功能，并且实现了非程序员的“编程”功能，这一制作心得是意料之外的收获。

图3图4下面以题目一带电粒子做摆线运动为例，详述几何画板实现其动画的制作过程。

（二）用几何画板模拟摆线运动制作过程第一步，几何参数的建立。

通过数据菜单下的“新建参数”，可以建立质量m 、电荷量q 、磁感应强度B 、电场强度E ，初速度v 0等参数。

几何画板中参数只有距离（厘米）和角度（度）两种单位，所以这些参数都不设置单位。

然而，接下来要计算得到圆周运动半径这一物理量，为了使得这个计算能够生成距离单位，给质量m 附上距离单位。

第二步，中间变量的计算通过数据菜单下的“计算”，得到速度v 1、v 及圆周运动半径r 。

具体操作方法：打开计算界面，点击所需要参数或中间计算量，该参数或计算量就进入了计算界面内，计算式输入完毕，软件自动计算出结果。

操作界面分别如图 图 5 图6 图75、6、7所示。

点击计算操作界面的确定按钮，在几何画板主板上就会自动显示所计算物理量。

这样得到的中间计算量，会随着参数数值重新设置的改变而自动改变，使得中间变量的计算一劳永逸，无需另外计算。

注意，几何画板并不会自动显示v 1、v 和r 物理量，而要通过文字工具作出。

以v 1为例，点击文字工具并进入界面框，输入“v 1=”后，并点击EB 计算量，计算数值自动进入文本框，以后此数值也会随着参数的改变而自动改变，操作界面如图8所示。

完成后，几何画板上就会显示该文本框。

图8 第三步，坐标轴及“基建”图形的绘制通过自定义工具下的箭头按钮、线段直线工具及构造菜单下的垂线操作等，可以画出正交坐标系，并通过文字工具修改并显示坐标轴及原点标记。

选中原点O 和半径计算量后，点击构造菜单下的“以圆心和半径作圆”，得到此圆后，再选中此圆和y 轴，点击构造菜单下的“交点”，又选中交点和x 轴，点击构造菜单下的“平行线”得到动态圆平移基准线，在此基准线上再作一线段，限定动态圆的平移范围。