含参数的不等式恒成立问题
高考数学复习 解决 含参数不等式的恒成立 问题的基本方法
高考数学复习 解决 含参数不等式的恒成立 问题的基本方法“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 已知函数()()1112>⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x x f .①求()x f 的反函数()x f 1-; ②若不等式()()()x a a x fx ->--11对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立,求实数a 的取值范围.分析：本题的第二问将不等式()()()x a a x fx ->--11转化成为关于t 的一次函数()()211a t a t g -++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？ 【解析】 ①略解()()10111<<-+=-x xxx f②由题设有()()x a a xx x->-+-111,∴x a a x ->+21,即()0112>-++a x a 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立. 显然,a ≠-1 令x t =,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t则()()0112>-++=a t a t g 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立.由于()()211at a t g -++=是关于t 的一次函数.（在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 的条件下()()211a t a t g -++=表示一条线段，只要线段的两个端点在x 轴上方就可以保证()()0112>-++=a t a t g 恒成立）∴()()451011210114102104122<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-++>-++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛a a a a a g g例二 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。
含参不等式恒成立问题
含参不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
恒成立问题解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
（一）判别式法对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例1：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解：（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）当01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
注：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有： 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.0⎩⎨⎧<∆<⇔a例2．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立， 即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。
巧解含参数的不等式恒成立问题
～¨ ． ｚ
‘
． ． 一
６ ≤２ ≤ｎ ．
于是 问题等价 于求 不等 式 （ 对 ０ ≤ １恒成立 ＊） ≤ｚ
时 ｍ 的取值范围．
（ ） ＿ ｚ 在 ［ ，］ 的最小值 为 ｇ ｎ ， ２ 令 厂 ） 一２２ 上 （ （ ）则
①当一詈＜一２ 即ａ 时，（）＝ （ ） — 时， ＞４ ｇｎ ＝， －２ ：７ ＝
２（ 一 ） １ ｚ＜ ｚ ２ （＊） ＋ ．
解 ：１ 易知二次函数 厂 ． 的图像都 在 ｚ轴及 其上 （） （） ｚ 方， 要使 ｘ ｆ Ｒ时 ， （ ） ＿ ｚ ≥０恒成 立 ， 厂 只须 满 足 △一ａ 一
４ ３ ａ 一 ｎ － ４ 一 １ ≤ Ｏ （ － ） ４ ｎ ２ － ，
令 ｇ ｍ） （－ｍ）厂 ｚ 一 ＋ ， （ 一２ １ ， （） 只须 满足 ｇ ） （
厂一 ） ３ ａ 等 ０ ６ 口 ２ （ 号 一 －一 ≥ ， ≤ ≤ ． 得一
又 一 ４ ≤４ 故 一４ 口 ２ ≤ｎ ， ≤ ≤ ；
注意 到 厂 ｚ 在 （ ，］ （ ） ０ １上递减 ，
ｏ
范围．
【 ３ 设 ∈［ ， ，０ 例 １ ０ 詈］ ｃｓ ＋２ ｓ ｍｉ 的一２ －２ ｍ－ ＜０
恒成立 ， ｍ的取值范围． 求 解 ： 给的不 等式 可化 为 ２ １ 所 （ 一 ） １ ｉ ） （ 一 （ 一ｓ Ｏ ＜ １ ｎ ｓ Ｏ。 － ， １ ｉ ｉ ）４２ 令 一ｓ ｎ 硼一ｚ 则 Ｏ ≤１ 且有 ， ≤ｚ ，
数 的图像 在给定的区间上全部在 ｚ轴 上方 ， 恒小 于 ０就
求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”
乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸思路探寻含参不等式恒成立问题的常见命题形式有：（1）证明含参不等式恒成立；（2）在确保某个含参不等式恒成立的情况下，求参数的取值范围；（3）在已知变量的约束条件的情况下，求含参不等式中参数的取值范围.含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，其解法灵活多变，常常令考生头疼不已.对此，笔者将结合实例，介绍求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”.一、分离参数分离参数法是求解含参不等式恒成立问题的常用方法，该方法适用于求参数和变量可分离的情形.运用分离参数法解题的一般步骤为：1.根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；2.将含有变量一侧的式子当成一个函数，判断出函数的单调性，并根据函数的单调性求出函数在定义域内的最值；3.将问题进行等价转化，建立新的不等式，如将a ≥f (x )恒成立转化为a ≥f (x )max ；将a ≤f (x )恒成立转化为a ≤f (x )min .例1.已知函数f (x )=1+ln xx，当x ≥1时，不等式f (x )≥k x +1恒成立，求实数k 的取值范围.解：由f (x )≥k x +1，得1+ln x x ≥k x +1,将其变形可得(x +1)(1+ln x )x≥k ，设g (x )=(x +1)(1+ln x )x，则g ′(x )=[(x +1)(1+ln x )]′·x -(x +1)(1+ln x )x 2=x -ln xx 2,令h (x )=x -ln x ，则h ′(x )=1-1x,当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[)1,+∞上单调递增，所以h (x )min =h (1)=1>0，从而可得g ′(x )>0，故函数g (x )在[)1,+∞上单调递增，所以g (x )min =g (1)=2，因此k 的取值范围为k ≤2.观察不等式1+ln x x ≥k x +1，发现参数k 可以从中分离出来，于是采用分离参数法，先将参数、变量分离，使不等式变形为(x +1)(1+ln x )x≥k ；再构造函数g (x )，对其求导，根据导函数与函数的单调性判断出函数的单调性，即可求出g (x )在x ∈[)1,+∞上的最小值，使k ≤g (x )min ，即可得到实数的取值范围.通过分离参数，便将含参不等式恒成立问题转化为函数最值问题来求解，这样便可直接利用函数的单调性来解题.二、数形结合数形结合法是解答数学问题的重要方法.在解答含参不等式问题时，将数形结合起来，可有效地提升解题的效率.有些含参不等式中的代数式为简单基本函数式、曲线的方程、直线的方程，此时可根据代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过研究函数图象、曲线、直线、点之间的位置关系，确定临界的情形，据此建立新不等式，从而求得参数的取值范围.例2.已知f (x )=ìíî3x +6,x ≥-2,-6-3x ,x <-2,若不等式f (x )≥2x -m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：由题意可设g (x )=2x -m ，则函数g (x )、f (x )的图象如图所示.要使对任意x ,f (x )≥g (x )恒成立，则需使函数f (x )的图象恒在g (x )图象的上方，由图可知，当x =-2时，f (x )的图象与g (x )的图象有交点，而此时函数f (x )取最小值，即f (-2)=0，因此，只需使g (-2)=-4-m ≤0，解得m ≥-4.故实数m 的取值范围为m ≥-4.函数f (x )与g (x )都是常见的函数，容易画出其图象，于是采用数形结合法，画出两个函数的图象，将问题转化为函数f (x )的图象恒在g (x )图象的上方时，求参数的取值范围.运用数形结合法求解含参不等式恒成立问题，需将数形结合起来，将问题进行合理的转化，如若对∀x ∈D ,f (x )<g (x )恒成立，则需确保函数f (x )的图象始终在g (x )的下方；若对∀x ∈D ,f (x )>g (x )恒成47立，则确保函数f(x)的图象始终在的上方即可.三、变更主元我们常常习惯性地将x看成是主元，把参数看成辅元.受定式思维的影响，在解题的过程中，我们有时会陷入解题的困境，此时不妨换一个角度，将参数视为主元，将x看作辅元，通过变更主元，将问题转化为关于新主元的不等式问题，这样往往能够取得意想不到的效果.例3.对任意p∈[-2,2]，不等式(log2x)2+p log2x+1> 2log2x+p恒成立，求实数x的取值范围.解：将不等式(log2x)2+p log2x+1>2log2x+p变形，得：p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0，设f(p)=p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1，则问题等价于对任意p∈[-2,2]，f(p)>0恒成立，由于f(p)是关于p的一次函数，所以要使不等式恒成立，只需使ìíîf(-2)=-2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0, f(2)=2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0,解得：x>8或0<x<12，故实数x的取值范围为x>8或0<x<12.若将x当成主元进行求解，那么解题的过程将会非常繁琐.由于已知p的取值范围，要求满足不等式条件的实数x的取值范围，所以考虑采用变更主元法，将p看成是主元，构造关于p的一次函数，根据函数的图象建立使不等式恒成立的不等式组，即可求出实数x的取值范围.通过变更主元，便可从新的角度找到解题的思路，从而化难为易.四、分类讨论当不等式左右两边的式子较为复杂，且含有较多的不确定因素时，就需采用分类讨论法来解题.用分类讨论法求解含参不等式恒成立问题，需先确定哪些不确定因素会对参数的取值有影响；然后将其作为分类的对象，并确定分类的标准，对每一种情形进行分类讨论；最后综合所有的结果，就可以得到完整的答案.例4.已知f(x)=x|x-a|-2，若当x∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数a的取值范围.解：①当x=0时，f(x)=-2<0，不等式显然成立，此时，a∈R；②当x∈(0,1]时，由f(x)<0，可得x-2x<a<x+2x，令g(x)=x-2x,h(x)=x+2x，则g′(x)=1+2x2>0，可知g(x)为单调递增函数，因此g(x)max=g(1)=-1；则h′(x)=1-2x2<0，可知h(x)为单调递减函数，因此h(x)min=h(1)=3，此时-1<a<3.综上可得，实数a的取值范围为-1<a<3.本题的函数式中含有绝对值，需对x的取值进行分类讨论，即分为x=0和x∈(0,1]这两种情况进行讨论，建立使不等式恒成立的关系，如当x∈(0,1]时，需使æèöøx-2x max<a<æèöøx+2x min，即可解题.五、利用判别式法判别式法通常只适用于求解二次含参数不等式恒成立问题.运用该方法解题的一般步骤为：首先根据不等式的特点构造一元二次方程；然后运用一元二次方程的判别式对不等式恒成立的情形进行讨论、研究；最后得出结论.一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0,x∈R)，有：（1）若对任意x∈R,f(x)>0恒成立，则ìíîa>0,Δ=b2-4ac<0;（2）对任意x∈R,f(x)<0恒成立，则{a<0,Δ=b2-4ac<0.例5.设f(x)=x2-2mx+2，当x∈[-1,+∞)时，f(x)≥m 恒成立，求实数m的取值范围.解：设F(x)=x2-2mx+2-m，令x2-2mx+2-m=0，则Δ=4m2-4(2-m)，当Δ≤0，即-2≤m≤1时，F(x)≥0显然恒成立；当Δ=4m2-4(2-m)>0时，F(x)≥0恒成立的充要条件为：ìíîïïïïΔ>0,F(-1)≥0,--2m2<-1,解得：-3≤m<-2，所以实数m的取值范围为-3≤m≤1.运用判别式法求解含参二次不等式恒成立问题，关键是确保在定义域范围内，二次函数F(x)的图象恒在x轴的上方或下方，根据方程F(x)=0无解，建立关于判别式的关系式.本文介绍了几种求解含参不等式恒成立问题的方法，这些方法的适用情形各不相同.但不论采用何种方法，都要对问题进行具体的分析，针对实际情况，选用最恰当的方法，才能达到事半功倍的效果.（作者单位：广东省东莞市第一中学）思路探寻48。
含参不等式恒成立问题—任意性与存在性
１、f(x)=ax+b,x ∈ [α,β]，则：
f(x)>0恒成立＜
＞
f()>0
f()>0
f(x)<0恒成立＜
＞
f()<0
f()<0
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
y
α
o
β
x
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0
a >0
或
C>0
Δ=b2-4ac<0
例：已知函数 f ( x) 8 x 2 16 x k ，g ( x) 2 x3 5 x 2 4 x ，其中 k 为实数 .
3] ，使 f ( x) g ( x) 恒成立，
（3） 若对 x [3，
求k的取值范围；
3] ，使 f ( x0 ) g ( x0 ) 能成立，
3] ，使 f ( x) g ( x) 恒成立，
（3） 若对 x [3，
求k的取值范围；
3] ，使 f ( x1 ) g ( x若 x1，x2 [3，
例：已知函数 f ( x) 8 x 2 16 x k ，g ( x) 2 x3 5 x 2 4 x ，其中 k 为实数 .
（4） 若 x0 [3，
求k的取值范围；
x D ：
x0 D ：
f ( x) g ( x)]min 0 f ( x ) g ( x ) [____________
f ( x) g ( x)]max 0
f ( x) g ( x) [____________
f min ( x) 0
含参数不等式的恒成立问题
三 、 换 主 元 变
【 ３ 对于任意 ｌ ｌ １不 等式 ｚ ＋（ 一３ ｚ 例 】 ｎ≤ ， 。 ） ＋１
－
、
求 出不 等 式 的解 集后 。 进 行 处 理 再
２ ＞Ｏ恒成立 ， ｚ的取值范围． ａ 求
问题 的 一 般 策 略 ．
一
数 最 值 求 解 ． 是 ＿ ＞ ｇ ） 成 立 （ － ｚ ≥ ｇ ｚ 若 厂 ） （ （ 恒 或 厂 ） （） （
恒 成 立 ） 只 须 （ ＞ ｇ ） （ 厂（ ≥ ｇ（ ） ） ， ） （ 一 或 ） ． ； ｚ
若 是 厂 ＞ （ ≥ ） 常 数 ） 只 须 ＿ ｚ ＞ （ ≥ ） （） 或 Ａ（ ， 厂 ） （ 或 Ａ，
１
ｚ Ｌ 一
，
所 以 Ｐ（１ １） 曲线 ｙ ３ 上 在 ＝ ｚ
，
； 函数 — 当
【 ２ 设ａ ， 例 】 ＞Ｏ 对任意关于 ｚ的不等式 ａ ＋— ｘ
＞４ｚ １恒成立 ， ｎ的取值 范围． （＞ ） 求
解 析 ： 厂 ｚ 一ｎ ＋ 令 （） ｚ （＞ ｏ ｚ １ ， 而 － ） ａ ，＞ ） 从 厂 （
ｚ ３或 ｘ ｌ ＞ ＜ 一 方 法 小 结 ： 于 一 个 多 元 的 数 学 问 题 ， 时 恰 当 选 对 有
定 主 元 ， 给 问题 解 决 带 来 转 机 ， 巧 妙 之 处 是 反 客 为 会 其 主 ． 例 若 是 以 为 主 元 ， ａ进 行 讨 论 ， 问 题 就 复 杂 此 对 则
解 析 ： ． ｎ 一 ＋ （ 一３ ｘ １ ２ ＝ （ 令 厂 ） （ ｎ ） ＋ — ａ 一２ ａ － ） ４
由一道题谈求解含参不等式恒成立问题的思路
含参不等式恒成立问题通常较为复杂，且解题的难度较大.这类问题常与函数、导数、不等式、方程等知识相结合，侧重于考查同学们的数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.下面以一道例题，探讨一下求解含参不等式恒成立问题的思路.例题：已知函数f (x )=ae x -1-ln x +ln a ，若不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围.本题涉及了指数式e x -1、对数式ln x 以及参数a ，较为复杂.我们需将不等式进行合理的变形，构造出新函数，将问题转化为函数问题，利用函数的单调性、最值、极值、图象来解题.解答本题主要有以下三种思路.一、分离参数对于含参不等式恒成立问题，通常可采用分离参数法.即先将不等式中的参数和变量分离；然后将不含参数的式子构造成函数，通过研究函数的单调性、图象、最值，求得函数的最值，即可确定参数的取值范围.一般地，a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min ；a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .解：对f (x )=aex -1-ln x +ln a 求导，得f ′(x )=a e x -1-1x，因为a >0,x >0，所以f ′(x )在(0,+∞)上单调递增.所以当x →0时，f ′(x )→-∞；当x →+∞时，f '(x )→+∞.由函数零点存在性定理可知，必存在唯一的正实数x 0，使得f ′(x 0)=0，且当0<x <x 0时，f ′(x )<0；当x >x 0时，f '(x )>0，所以函数f (x )在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (x 0)=aex 0-1-ln x 0+ln a .由f (x )≥1可得ae x-1-ln x 0+ln a ≥1.又f ′(x 0)=0，则ae x 0-1=1x 0，所以1x 0-ln x 0+ln a ≥1①.在aex 0-1=1x 0的两边取对数，得ln a +x 0-1=-ln x 0②.由①②可得1x 0+2ln a +x 0≥2，所以2ln a ≥2-(x 0+1x).又2-(x 0+1x 0)≤2-0，当且仅当x 0=1时取等号，可得2ln a ≥0，解得a ≥1，故实数a 的取值范围是[1,+∞).我们先根据导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数f (x )=ae x -1-ln x +ln a 的单调性，求得函数的极小值，即可将“不等式f (x )≥1恒成立”等价转化为“使f (x )min ≥1成立”；然后将所得的新不等式进行变形，使其中的参数、变量分离，得2ln a ≥2-(x 0+1x 0)；再根据基本不等式求得不等式右边式子的最大值，即可求得参数a 的取值范围.二、构造同构式对于含有指对数的含参不等式问题，为了简化问题，通常可将不等式进行适当的变形，使不等式左右两边的式子成为同构式，即可根据同构式的结构特征构造出新函数，利用新函数的单调性、最值、图象求得问题的答案.43解法1.不等式f (x )≥1可变形为xe x≥ex a ln exa，即e x ln e x ≥ex a ln exa（*）.由于x >0,a >0，所以当0<exa≤1时，不等式（*）恒成立，设函数g (t )=t ln t ，其中t >1，则g (e x )≥g (exa)成立.由g '(t )=ln t +1>1>0，知函数g (t )在(1,+∞)上单调递增，因此e x ≥exa ，所以a ≥x ex -1恒成立.设函数h (x )=xe x -1，其中x >0，则h ′(x )=1-xex -1，则当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，所以函数h (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，从而可得h (x )max =h (1)=1.因此a ≥1，故实数a 的取值范围是[1,+∞).将已知不等式f (x )≥1变形为同构式xe x≥ln ex a⋅e ln exa ，即可构造出函数g (t )=te t，根据其单调性和最值就能顺利解题.一般地，可以根据ae a ≥b ln b ⇔e a ln e a ≥b ln b ，构造函数f (x )=x ln x ；根据ae a ≥b ln b ⇔ae a ≥ln b ⋅e ln b ，构造函数f (x )=xe x .解法2.不等式f (x )≥1可变形为e ln a +x -1+ln a +x -1≥x +ln x ，即(ln a +x -1)+eln a +x -1≥ln x +e ln x ，构造函数g (t )=t +e t，则不等式g (ln a +x -1)≥g (ln x )成立.所以函数g (t )=t +e t是增函数，所以ln a +x -1≥ln x ，所以ln a ≥ln x -x +1恒成立.设函数h (x )=ln x -x +1，则h ′(x )=1x -1=1-x x,x >0，所以当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，可得h (x )max =h (1)=0，从而可知ln a ≥0，解得a ≥1，故实数a 的取值范围是[1,+∞).将已知不等式f (x )≥1变形为同构式e ln a +x -1+ln e ln a +x -1≥x +ln x ，即可根据同构式的特点构造出函数g (t )=t +ln t ，利用函数的单调性、最值解题.一般地，根据e a ±a ≥b ±ln b ⇔e a ±ln e a ≥b ±ln b ，可构造函数f (x )=x ±ln x ；根据e a ±a ≥b ±ln b ⇔e a ±a ≥e ln b ±ln b ，可构造函数f (x )=e x ±x .三、寻找不等式恒成立的必要条件对于含参不等式恒成立问题，往往可先根据一些特例，探求出已知不等式恒成立的一个必要条件（利用参数不等式表示），若经检验知该必要条件也是已知不等式恒成立的充分条件，则可根据其充分必要条件建立关系式，求得参数的取值范围.显然，这种解题思路具有一定的偶然性和局限性，并不适合于求解大部分的题目.解：因为不等式f (x )≥1恒成立，所以f (1)≥1，即a +ln a ≥1（*）.设函数g (a )=a +ln a ，因为g (1)=1，所以由（*）可得g (a )≥g (1).因为函数g (a )是增函数，从而可得a ≥1，因此a ≥1是不等式f (x )≥1恒成立的必要条件.接下来证明a ≥1也是不等式f (x )≥1恒成立的充分条件.当a ≥1时，f (x )=ae x -1-ln x +ln a ≥e x -1-ln x （**）.设函数h (x )=e x -1-ln x ，求导得h ′(x )=e x -1-1x，因为导函数h ′(x )是增函数，且h ′(1)=0，所以函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，从而可得h (x )min =h (1)=1，由（**）可得f (x )≥e x -1-ln x ≥1，所以f (x )≥1恒成立.综上可知，不等式f (x )≥1恒成立，解得a ≥1.故实数a 的取值范围是[1,+∞).我们根据不等式f (x )≥1恒成立，寻找到特例f (1)≥1，得a +ln a ≥1，然后根据g (a )=a +ln a 的单调性，证明a ≥1是不等式f (x )≥1恒成立的必要条件；再根据h (x )=e x -1-ln x 的单调性，证明a ≥1也是不等式f (x )≥1恒成立的充分条件，从而确定参数的取值范围.总之，解答含参不等式恒成立问题的思路有多种，同学们需根据恒成立不等式的结构特征，将其进行合理的变形、构造，以运用转化思想，将问题转化为函数最值问题、单调性问题，利用函数思想顺利求得问题的答案.（作者单位：贵州省松桃民族中学）44。
破解含参不等式恒成立的5种常用方法
破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。
对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。
一 分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。
对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。
例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。
分析 ：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。
解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。
)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。
于是工的取值范围为43-≥a 。
【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。
如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。
解这类问题时一定要注意区间的端点值。
二 数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。
人教版导数如何解决含参数不等式恒成立问题
如何解决含参数“不等式恒成立”问题（1）分离参数法分离参数法一定要搞清谁是变量，谁为参数，一般知道谁的范围谁就是变量。
求谁的范围，谁就是参数，利用分离参数法，常用到函数的单调性，基本不等式求最值。
例如：设2)1ln()(ax x x x f --+=，当a 满足什么条件时，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,21单调递减？解：由题意)(x f 的定义域为),1(+∞-得x x a ax ax x x f ++--=--+=1)12(22111)(2'⇔0)12(22≤+--x a ax ，∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,21恒成立⇔0122≤++a ax 法一：（分离参数法)0122≤++a ax x a x a +-≤⇒-≤+⇒1121)1(2,又因为11+-=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,21单调递增。
2max -=y ，1-≤a 。
(2)分类讨论法有的不等式恒成立问题，参数与变量不是那么容易分离或分离后根本求不出最值（或极限值）那么就需分类讨论法。
上面的习题也可以用分类讨论法：法二（分类讨论法）令122)(++=a ax x g ，∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,21由题意得00)21({<≤-⇒a g 或00)31({>≤-a g 或1)(0{==x g a 1-≤⇒a 。
例2函数ax x a x x f +-=22ln )(，若函数)(x f 在),1(+∞为单调递减，求实数a 的取值范围。
分析：要求a 的范围，我们就把a 作为参数，优先考虑分离参数法，但是对于这题a 参数没有办法分离，我们只能选择分类讨论法。
解：)(x f 的定义域为),0(+∞xax ax a x a x x f )1)(12(21)(2'-+-=+-=（因式分解是关键）0)1)(12()(≥-+=ax ax x g当0=a 时，1)(-=x g ，不合题意当0>a 时，)(x g y =是开口向上的抛物线，由图象分析可得，若0)(≥x g 在1>x 恒成立，则111≥⇒≤a a当0<a 时，同理分析可得21121-≤⇒≤-a a 。
破解含参不等式问题的几个“妙招”
含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
巧解：基本不等式中含参数不等式恒成立问题
巧解：基本不等式中含参数不等式恒成立问题一、温故知新如果a , b ∈R +，那么 （当且仅当a =b 时，式中等号成立） 二、 典例精讲典例1、正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)解：a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝12时取“＝”，故只需－x 2＋4x ＋18－m ≤16，得x 2－4x ＋m －2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m －2)≤0，解得m ≥6.故选D.典例2、已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ≥n a －c ，求n 的最大值．解法一：∵1a －b ＋1b －c ≥na －c ，且a >b >c ，∴n ≤a －ca －b ＋a －c b －c ＝(a －c )2(a －b )(b －c ).ab b a ≥+2∵对a 、b 、c 上式都成立，∴n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －c )2(a －b )(b －c )min(a －c )2(a －b )(b －c )≥(a －c )2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(a －b )＋(b －c )22＝4. ∴n 的最大值为4.解法二：∵a >b >c ，∴a －ca －b ＋a －cb －c＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b＋a －b b －c≥2＋2＝4.∴n ≤4，∴n 的最大值为4. 三、 归纳总结基本不等式中含参数恒成立问题：利用基本不等式性质先求出最值，然后分离参数即可得出参数的范围。
四、 迎接挑战1、若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 2、已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m ，对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案：1、解析：∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1＝1x ＋3＋1x≤12＋3＝15 ∴a ≥15.2、解：因为a ，b ，x ，y为正实数，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ayx ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D.。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
三在x [句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f 心理 三 三
f 心 理 三
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
（2）当
a
三 时，
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
f
心x理
三在x
[句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象
位置关系通过特指求解 a的取值范围。
解：设 T:f (x) =(x 1)2 ,T:g(x) log x ,则 T的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2f)(x,) <g(x)
1
2
a
1
恒成立即 T的图象一定要在 T的图象所的下方，显然 a>1并,且必须也只需 g(2) f (2)
解：要使 (a 2)x 2 2(a 2)x 4 0 对于 x Ｒ恒成立，则只须满足：
a 2 0 （1） 4(a 2)2 16(a 2) 0 或
a 2 0 （2） 2(a 2) 0
4 0
a 2 解（1）得 2 a 2
，解（2） a ＝２
∴参数 a 的取值范围是－２＜ a ２．
的最值问题：
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
；
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
.
例
1．已知函数
f
恒成立问题与有解问题的区别(1)
f(p)min >0(x∈[-2,2])
\
即
ìïïíïïî xxfx(-p1)<11m0i或n =xf(2)>10或或xxìïïíïïî
x-1＞0 f(p)min =f(-2)>0
或
ìïïíïïî
x-1＝0 f(p)=0>0
a 的取值范围
解：当 a 0 时,不等式 2x 2 0 解集不为 R ,故 a 0 不满足
题意;
当 a 0 时,要使原不等式解集为 R ,只需 a 0
解得 a 1
22 4 2a 0
2
综上,所求实数 a 的取值范围为 (1 , )
2
五、二次形（相对于变量为二次的）
值范围为 (2,+∞) 。
(5) 存在x [2,+∞)使不等式x<a成立,则实数a的取
值范围为 (2,+∞) 。
(6)存在x (2 ,+∞]不等式x<a成立,则实数a的取值
范围为 (2,+∞)。
三、含参数的不等式的恒成立与有解的区别，但可以互相转化 恒成立和有解是有明显区别的，但可以互相转化。 以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。
（4）不等式 f(x)>k 在 xI 时有解? f(x)max k•,•xI. 或 f(x)的上界大于 k；
例5、已知|p|≤2,(1)对所有实数p,求使不等式x2+ px+1>p+2x都成立的x的取值范围. (2)存在实数p,求 使不等式x2+px+1>p+2x成立的x的取值范围。
含参不等式恒成立问题的求解
含参不等式恒成立问题的求解王丹+谢伟含参不等式恒成立问题在高考试题中如同一颗璀璨的明珠夺人眼球，与函数、方程、数列、导数等知识结合，演奏出了一曲曲优美的乐章. 解决这类问题需要运用换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，下面举例介绍这类问题的求解策略.数形结合法有些含参不等式恒成立问题，从数的角度很难切入；但从形的角度入手，可以利用恒成立条件的几何意义直观求解.例1 若对任意[x∈]R，不等式[x≥ax]恒成立，则实数[a]的取值范围是（）A. [a-1]B. [a≤1]C. [a1]D. [a≥1]解析如图，其几何意义是[f（x）=x，][x∈R]的图象不低于[g （x）=ax，x∈R]的图象. 因此，[a≤1].答案B例2 若不等式[3x2-logax0]在[x∈0，13]上恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，不等式[3x2 p如图，其几何意义是在区间[0，13]上函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的上方.若[a1]，则函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的下方，不合题意.若[0则[loga13≥13]，解得，[a≥127].所以，[127≤a1].综上所述，实数a的取值范围是[127，1].答案[127，1]点评对于具有明显几何意义的含参不等式恒成立问题，可以利用其几何意义建立关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围.不等式解集法若不等式[f（x）0]的解集是集合[B]，则不等式[f（x）0]在集合[A]中恒成立等价于集合[A]是集合[B]的子集. 利用[A?B]建立关于参数的不等式，即可求出参数的取值范围.例3 已知[f（x）=x+a+__2]，若[f（x）≤__4]在[[1，2]]上恒成立，则实数a的取值范围是________.解析由题意知，[x+a+__2≤__4]在[[1，2]]上恒成立，也就是[x+a+2__≤4__]，即[x+a≤2]在[[1，2]]上恒成立.因为不等式[x+a≤2]的解集为[-2-a，2-a]，所以[[1，2]][?-2-a，2-a].从而[-2-a≤1，2-a≥2，]解得，[-3≤a≤0].答案[-3，0]例4 设[f（x）]是定义在R上的偶函数，且当[x≥0]时，[f（x）=2x]. 若对任意的[x∈[a，a+2]]，不等式[f（x+a）][≥f2（x）]恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，[f（x）=2x].则[f（x+a）≥f2（x）]，即[2x+a≥2x2].亦即[x+a≥2x]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.也就是[3x2-2a__a2≤0]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.（1）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[a，-a3].则[[a，a+2]][?a，-a3].从而[a0，-a3≥a+2，]解得，[a≤-32].（2）当[a=0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为.则[[a，a+2]][?0]，这是不可能的，所以[a∈?].（3）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[-a3，a].则[[a，a+2]][?-a3，a]，这是不可能的，所以[a∈?].综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-32].答案[-∞，-32]点评对于容易求出不等式的解集的含参不等式恒成立问题，可以根据给定恒成立区间是不等式解集的子集列出关于参数的不等式（组），从而求得参数的取值范围.函数最值法含参不等式恒成立问题中至少含有两个变量，根据条件构造函数，并用求函数最值的方式解题. 一般有两种解题策略.（1）分离参数法. 先分离参数[k]得，[kf（x）]，或[k f（x）]恒成立[?kf（x）max]；②[kp（2）不分离参数法. 不分离参数[k]，直接构造含参数[k]的函数[y=g（x）]，通过求含参数[k]的函数[y=g（x）]的最值，建立关于[k]的不等式，再求参数[k]的取值范围.例5 若不等式[x2+ax+1≥0]对[x∈0，0.5]恒成立，则实数a 的最小值是（）A. 0B. -2C. -2.5D. -3解析两种转化策略：（1）分离参数法，将不等式转化为[a≥__+1x]. 由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立，构造不含参数的函数[g（x）=__+1x]，[x∈0，0.5]并求出最值，只需[a≥g（x）max]. （2）不分离参数法，直接构造含参数[a]的函数[f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5]，并用参数[a]表示出最小值[h（a）]，只需[h（a）≥0]. 1]，由图可知，函数[f（x）=logax]的圖象必须经过点[a13，13]，或在[a]点的上方.方法一：将不等式转化为[a≥__+1x]，由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立.构造函数[g（x）=__+1x，x∈0，0.5].因为[y=g（x）=__+1x]在[0，0.5]上是增函数，所以[g（x）max=g（0.5）=-2.5].所以[a≥-2.5].所以实数[a]的取值范围是[{a|a≥-2.5}].方法二：构造函数[y=f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5.]①当[a≥0]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是增函数.则[f（x）1]，所以[a≥0]符合题意.②当[-1由题意得，[-1所以[-1③当[a≤-1]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是減函数.则[ymin=f（0.5）=1.25+0.5a].由题意得，[a≤-1，1.25+0.5a≥0.]所以[-2.5≤a≤-1].综上所述，实数[a]的取值范围是[aa≥-2.5].点评一般选择恒成立的变量和区间作为构造函数的自变量和定义域. 如例5中选择[x]而不是[a]作为自变量，选择[0，0.5]而不是其他范围作为定义域. 而且，通常用到一次函数、二次函数、[y=x+kx（k0）]型等函数的性质，以及利用导数的性质求函数的最值.例6 已知函数[f（x）=xln__ax2]在[x∈1e2，+∞]上是单调增函数，求实数a的取值范围.解析方法一：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立，即[2a≤lnx+1x]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[gx=lnx+1x]，则[gx=-ln__2].所以g（x）在[1e2，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.又当x→+∞时，g（x）→0，且[g1e2=-e2]，故[gxmin=g1e2=-e2].所以[2a≤-e2]，即[a≤-e22].所以实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].方法二：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[h（x）=ln__2ax+1，x∈1e2，+∞]，则[h（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.则[h（x）=1__2a=-2ax+1x].①当[a≤0]时，[h′（x）0]，[h（x）]在区间[1e2，+∞]上单调递增.则[h（x）min=h1e2=-2ae2-1≥0].则[a≤0，-2ae2-1≥0.]解得，[a≤-e22].②当[a]0时，由[h′（x）0]得，[x=12a].当[1e212a]，即[0当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.当[1e212a]，即[ae22]时，h（x）在区间[1e2，+∞]上单调递减.当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].点评两种解题策略的区别在于：构造的函数是否含有参数，而参数会对求最值产生影响. 一般优先选择分离参数法，如果分离参数比较困难，再选择不分离参数法. 0].0，1-a24≥0.]0]时，[ymin=f（-a2）=1-a24].。
含参不等式的恒成立问题
含参不等式的恒成立问题含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，因为新课标高考对导数应用的增强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式，其破解方法主要有：分离参数法、主参换位法、数形结合法、函数性质法、导数分析法、最值定位法、、构造函数法等.
一、分离参数法
分离参数法是解决含参问题的基本思想之一，对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，能够根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性质就能够解决问题．
二、数形结合法
数形结合是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”以达到解决问题的目的，数形结合是破解含参不等式恒成立问题的又一主要方法．
三、构造函数法
“数列、不等式、推理与证明”中更多精彩内容，如数学名师为你精选的最新高考靓题、模拟新题，原创最具代表高考最新方向的“高仿题”，还有“2012高考试题点拨之推理与证明”“点击函数思想在解答数列高考题中的‘结点’”“借力函数的构造巧证数列不等式”“三大不等式交汇性试题之高考热点探究”等.请详见《试题调研》数学第3辑，它360度全方位地对这部分知识实行解读，对高考考查的最热点实行多角度、全方位的剖析，为你的备考精准定位，让你在年年变化的高考中立于不败之地.。
含参不等式恒成立问题例题
含参不等式恒成立问题例题在数学的世界里，有一种“含参不等式恒成立”的问题，听起来有点复杂，但实际上就像生活中的一些小窍门，掌握了就能轻松应对。
想象一下，数学就像一场舞会，里面有各种各样的舞步，有的简单易学，有的则需要你慢慢去摸索。
这些含参不等式就像那些你在舞会里需要学的舞步，只要掌握了，你就能在任何场合中游刃有余。
先说说什么是“含参不等式”。
简单来说，就是不等式中有参数，这些参数就像是调味料，放多少，怎么放，都会影响最终的结果。
参数就像是调皮的小孩子，让不等式变得难以捉摸。
可是，只要你找到合适的调味方式，不论参数怎么变化，不等式都能保持“和谐”的状态，听起来是不是很神奇？拿一个简单的例子来说吧，想象一下你在做饭，盐、糖、醋，每一样都要掌握好分量，才能做出美味的菜肴。
如果你在一道菜里放了太多盐，那就惨了，味道会让人皱眉；可是如果放得刚刚好，哇，绝对让人回味无穷。
这就是不等式的精髓，参数调得好，一切都能顺理成章。
在这道问题中，我们会遇到一些技巧，比如要学会“化简”。
有些东西，表面上看起来复杂，实际上只要你用对了方法，往往就能简单明了。
就像你在穿衣服的时候，挑选一件合适的外套，有时候那件看似简单的衣服，搭配得当，反而能让你瞬间提升气场。
其实数学也有同样的道理，化繁为简，才能找到最优解。
还有一些不等式的常用形式，比如“阿莫尔不等式”，听起来很高大上，其实就像在说：“伙计，学会了这招，你就能在不等式的海洋中畅游无阻。
”它帮助我们理解不同参数之间的关系，打下坚实的基础。
就好比你在乐队里，如果每个人都能把自己的乐器演奏得当，那整个乐队就会和谐得像一首动人的交响曲。
哦，咱们得聊聊例子了。
举个例子吧，假如有一个不等式 (a + b geq 2sqrt{ab)，听上去像是个难题，但实际上它是在说：只要你把 (a) 和 (b) 搞得好，它们的和总是大于等于它们的几何平均。
这就像你和朋友一起出去玩，不论你们买了多少东西，只要快乐是最重要的。
含参数不等式恒成立问题
含参数不等式恒成立问题参数不等式恒成立问题是一类重要的数学问题，其表达形式为：（1）存在m个变量x1,x2,…,xm，每个变量的取值范围是实数集合Xi；（2）定义n个不等式Fi(X1,x2,…,xm)；（3）寻找一组Xi使得F1(X1,x2,…,xm)≤0、F2(X1,x2,…,xm)≤0、⋯、Fn(X1,x2,…,xm)≤0成立。
参数不等式恒成立问题常见于最优化理论中的多元函数最优化。
在多元函数最优化中要求某几个函数的值都在一定的范围内。
为此必须找到一组最优参数使得这些不等式恒成立。
由此可以看出该问题是一个典型的大规模多变量不动点问题。
由于该问题是NP完全课时间复杂性问题，所以在本文中采用近似方法来进行求解。
通常情况下考虑使用“差分近似”来对连续可微无界函数Fi(Xi)进行局部递归分割处理。
即将Xi平面上分割成小单元格后将该单元格上的Fi(Xi)值作为Fi′(Xi)的左侧界和上侧界。
使用差分近似法能将大尺度的复杂性转化成小尺度的特征对应的问题来实施局部递归处理。
因此无界期望价值函数能够由一般情况中承受大量决策者原始价核心化而得到解决。
此外，由于该问题之所以难以直接求解是因为它是NP完全难以直接通过传统方法来处理的难度。
在这种情况下，采用动态规划技术来近似代替多项式时间复杂性方法也是常用而有效的手段。
动态规划技术需要将问题分解为一系列子问题，其中每个子问题都只包含部分参数的不等式恒成立的情况。
在这些子问题中，由于参数的数量并不大，因此可以使用多项式时间复杂度的算法来寻找出适当的解决方案。
总之，参数不等式恒成立问题是一类重要但复杂的数学问题。
在本文中，我们使用了“差分近似”和动态规划技术来近似解决该类难题。
它们能够帮助我们快速准确地对大规模多变量不动点问题进行实施局部递归处理。
同时也能有效地将原始NP完全课时间复杂度问题转化为尺度小特征对应的可行解决方案。
【教学随笔】含参数不等式恒成立问题
含参数的不等式恒成立问题恒成立问题即：。
在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现含参数不等式恒成立问题，题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想、分类讨论思想，是高考热点题型之一。
下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。
1 转换主元首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
此方法常适用于化为一次函数。
对于一次函数有：例1：若不等式2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。
分析：注意题目条件给出信息，“对满足－2m2的所有m都成立”确定主元为m。
构造出关于m的一次函数解：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)<0记f(m)= (x2－1)m－(2x－1) (－2m2)根据题意有：即：解之：得x的取值范围为例2：设函数为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
本题第二问可以采用这种方法分析：注意题目条件给出信息，“对任意都成立”确定主元为a。
构造出关于a的一次函数(2) 由题设知：对任意都成立即对任意都成立设, 则对任意，为单调递增函数所以对任意，恒成立的充分必要条件是即，于是的取值范围是2 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。
结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
对于一元二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例3：在R上定义运算：xy＝(1－y) 若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) (D)分析：根据条件得出二次不等式对任意恒成立，可借助二次方程的的符号求解解：由题意可知(x-a)[1-(x+a)] <1对任意x成立即x2-x-a2+a+1>0对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1则应满足化简得4a2-4a-3<0解得,故选择C。
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例 ２ 定 义在 Ｒ上的 函数 ， （ ） 既是 奇函数 ， 又是 减 函
例 １ 已知 ２个 函数 ， （ ） ＝８ ｘ ＋１ ６ ｘ一 ， ｇ （ ｘ ）＝２ ｘ 。＋ ５ ＋ ４ ， 其中Ｊ ｝ ∈Ｒ
数 ， 且 当０ Ｅ ｆ ｏ ， 詈１ 时 ， 有， （ ｃ ｏ ｓ ０ ＋ ２ ｏ ｒ ｓ ｉ ｎ ０ ） ＋ ＿ 厂 （ 一 ２ ｍ 一
离参数转化为求新 函数 、 新数列 的最值 问题 ， 如 果不 能分 离 参数或者分离参数 比较复杂 时 ， 一般选择 函数的方 法 ， 建 立 参数所满足的不等关系 ， 利用 函数 的最值 或值域解 决 ； 二 是
离于不 等式 ２端 ， 则 问题转化为求 主元 函数的最值 ， 进 而求 出参数 范围 ， 有（ 下面的 。为参数 ） ：
第 ２期
范东晖 ： 含 参数的不等式恒成立 问题
・９・
含 参 数 的 不 等 式 恒 成 立 问 题
●范 东晖
１ 考 点 回顾
一
（ 北仑中学 浙江宁波 ３ １ ５ ８ ０ ０ ）
，
含参数 的不等式恒成立 问题 ， 是近几 年高考 的热点 ， 它 往往 以函数 、 数列 、 三角 函数 、 解析几何为 载体 ， 具有一定 的
综合性． 解 决这类 问题 ， 主要 是运 用 等价 转化 的数学 思想 ，
所 以 ｇ （ ） ＝一 ２ １ ．
由 上 可 得 解 得
１ ２ ０一 ≤ 一 ２ １ ， ≥１ ４ １ ，
根据不等式 的结构特 征恰 当地构 造 函数 ， 从而 转化 为含 参
数的 函数最值讨论． 含参数 的不等式恒 成立 问题 ， 常见 的是 函数 中的不 等 式恒成立 问题 ， 另外还有数列 中的不等式 恒成立 问题． 涉 及 题 型一般有 ２类 ： 一是 已知不等式恒成立 ， 求参 数的取值 范 围， 解决 这类 问题 的基本方法是相 同的 ， 首选方 法是利用 分
对于ｔ Ｅ（ ０ ， １ ） 恒成立 ， 设 函数
ｇ （ ｔ ）＝ ｔ 一 ２ ｍ ｔ ＋ ２ ｍ ＋１ ，
由Ｆ （ ）＝ ０ ， 得
＝２或 ＝ 一１ ． 又 因 为 所 以
＋∞ １ ．
将“ 抽 象 函数 ” 问题转化 为常见的含参 二次 函数在 区间 （ ０，
Ｆ （一 ３ ）＝ 一 ４ ５ ， Ｆ （ ３ ）＝ 一９ ， Ｆ （一１ ）＝ ＋ ７ ， Ｆ（ ２ ）＝ ｋ一 ２ ０， Ｆ （ ） …＝ 一 ４ ５ ．
２ ）＞０恒成立 ， 求实数 ｍ的取值范围． 分析 利用函数的奇偶性 ， 将
Ｃ Ｏ Ｓ ０＋ ２ ｏ ｒ ｓ ｉ ｎ ０ ）＋ 一 ２ ｍ一 ２ ）＞ ０
（ １ ） 若对任意的 ∈［一３ ， ３ ］ ， 都有 ｆ （ ） ≤ｇ （ ） 成立，
求 的取 值范围 ；
（ ２ ） 若对任意的 。 ， ∈［一３ ， ３ ］ ， 都有 求 的取值 范围．
问题 转化 为 Ｆ（ ）≥０在 ∈ ［一３ ， ３ ］ 时恒 成立， 故 解
Ｆ（ ） …＞ １０即 可 ． 求 导 得 Ｆ （ ） ＝６ ｘ 一 ６ ｘ一１ ２＝ ６ （ 一 一 ２ ） ，
对０ ∈ ｆ ０ ， ｝ｌ 恒成立． 设ｓ ｉ ｎ ０ ＝ ｔ ， 则
ｔ 一２ｍｔ＋２ｍ ＋ １＞ ０
转化成一次 函数 或二次函数 （ 二次方 程 ） 的问题进 行研 究 ，
般 有 下 面几 种类 型 ：
３ ）＝ ２ ４一 √ Ｉ—１ ）＝ 一 ８一 厂 （ ３ ）＝１ ２ ０一 ，
） ～ ＝一 ＋１ ２ ０ ．
々
（ １ ） 一次 函数 型问题 ： 利用一次函数的 图像特点 求解． 对于 一次函数－ 厂 （ ） ＝ｋ ｘ ＋６ （ ≠０ ） ， ∈［ ｍ， ， 妇， 有
（ ） ＜ｇ （ ｏ ） 恒成立 （ 口 ）＞ ， （ ） ～； ）＞ｇ （ ０ ） 恒成立 （ ０ ）＜ ） …．
证 明不等式恒成立 ， 在函数中一般选择 以算 代证 ， 即通过 求 函数的最值证 明不等式． 在数列 中， 很 多时候 可以与放缩 法
结 合起来 ， 对所证 不等式的一侧进行适 当放 大或缩小．
评注
一
由｜ ｊ ｝ 一４ ５≥０， 解 得 ≥４ ５ ． 故 实 数 的 取 值 范 围 是 ［ ４ ５ ， （ ２ ） 由题 意可知当 ∈［一 ３， ３ ］ 时， 有
） ≤ｇ （ ） ． 由－ 厂 （ ）＝１ ６ ｘ＋１ ６＝ ０ ， 得 ＝一１ ． 因为
一
利用不等式与 函数 和方程 之 间的联 系 ， 将问 题
因此实数 的取值范围是［ １ ４ １ ， ＋ｏ 。 ） ．
评注 将 恒成 立 问题 转化 为求 函数 的最 值 问题来 处 理， 一般有下 面 ２种类 型 ：
（ １ ） 若所给 函数能直接求 出最值 ， 则：
）＞ ０恒成立 ） ＞０ ； ） ≤０恒成立乍 ） … ≤Ｏ ． （ ２ ） 若所 给的不等式 能通过恒 等变形使 参数 与主元 分
分析 （ １ ） 令
） ≤ｇ （ ） ，
化 为
＿ 厂 （ Ｃ Ｏ Ｓ ０ ＋２ ｍ ｓ ｉ ｎ Ｏ ）＞ ， （ ２ ｍ＋ ２ ） ，
０＋２ ｏｓ ｒ ｉ ｎ ０＜２ ｍ ＣＯＳ２ ＋２
再利用单 调性去掉映射符号／ ， 可得
Ｆ （ ） ＝ｇ （ ）一 ／ ）＝２ ｘ 一 ３ ｘ 一１ ２ ｘ＋ ，
．
１ ） 上恒为正 的问题． 而对于 ）＞ ０在给定 区间［ Ⅱ ， ６ ］ 上 恒 成立 问题 可 以转 化 成 为 ｆ （ ） 在［ ｏ ， ６ ］ 上 的 最小 值 问题 ， 厂 （ ） 中对称轴为 ｔ ＝ｍ， 含有参数 ｍ， 分①￡ ＝ｍ＜ ０ ； ②￡ ＝ ｍＥ ［ ０ ， １ ］ ； ③ｆ ＝ ｍ＞１ 这 ３种情 况进行讨论 ， 可知 ： ｍ≥ 一 １．