系综理论-课件(PPT·精·选)
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系综理论
d 0 dt
• 下面证明刘维尔定理。
二 、证明 • 假设在时刻 t 时，代表点 (qi,pi) 处的几率密 度为 ρ ，在时刻 t+dt 时刻，代表点将运动 到 q q dt, p p dt
i i i i
处。在该代表点的几率密度为
(qi qi dt , , pi pi dt , t dt ) d dt dt
五、系综分类
• 微正则系综（孤立系统，NVE）
• 正则系综（封闭系统，NVT）
• 巨正则系综（开放系统， VT）
§2 刘维尔定理
• 上节讨论了系统微观状态的描述及系综理 论。本节讨论系综的几率密度如何随时间 变化。 一、刘维尔定理 • 上一节介绍系统的微观运动状态时我们提 到，用相空间中的一点作为代表点代表系 统运动状态。假定在相空间中体积元 dΩ 内 系综的几率密度为 ρ，那么在时刻 t，运动 状态在体积元 dΩ 内的代表点的数目为
§1.系统微观状态的描述及系综理论
一、系统微观运动状态的描述
• 当粒子之间是相互作用不能忽略时，必须 把粒子作为一个整体考虑。首先介绍在经 典理论中怎样描述系统的微观状态。假设 系统由 N 个全同粒子组成，粒子的自由度 为 r ，整个系统的自由度为 f ，则
f Nr
• 如果系统包含多种粒子，第i种粒子的自由度 为ri，粒子数为Ni，那么整个系统的自由度为
dt d t
• 那么，经过时间 dt 后，体积元 dΩ 内代表 点数增加量为
dt d d dtd (9.1.12) t t
• 另一方面，通过代表点在运动中通过这个 固定的体积元的边界的数目也可以得到在 dt 时间内的增加数。先考虑通过任一平面 qi 上的边界面积为 dA dq1 dqi1dqi1 dq f dp1 dp f • 在 dt 时间内通过 dA 进入体积元 dΩ 的代表 点必须位于以 dA 为底，以 q´idt 为高的柱 体内。柱体内的代表点数为
• 下面证明刘维尔定理。
二 、证明 • 假设在时刻 t 时，代表点 (qi,pi) 处的几率密 度为 ρ ，在时刻 t+dt 时刻，代表点将运动 到 q q dt, p p dt
i i i i
处。在该代表点的几率密度为
(qi qi dt , , pi pi dt , t dt ) d dt dt
五、系综分类
• 微正则系综（孤立系统，NVE）
• 正则系综（封闭系统，NVT）
• 巨正则系综（开放系统， VT）
§2 刘维尔定理
• 上节讨论了系统微观状态的描述及系综理 论。本节讨论系综的几率密度如何随时间 变化。 一、刘维尔定理 • 上一节介绍系统的微观运动状态时我们提 到，用相空间中的一点作为代表点代表系 统运动状态。假定在相空间中体积元 dΩ 内 系综的几率密度为 ρ，那么在时刻 t，运动 状态在体积元 dΩ 内的代表点的数目为
§1.系统微观状态的描述及系综理论
一、系统微观运动状态的描述
• 当粒子之间是相互作用不能忽略时，必须 把粒子作为一个整体考虑。首先介绍在经 典理论中怎样描述系统的微观状态。假设 系统由 N 个全同粒子组成，粒子的自由度 为 r ，整个系统的自由度为 f ，则
f Nr
• 如果系统包含多种粒子，第i种粒子的自由度 为ri，粒子数为Ni，那么整个系统的自由度为
dt d t
• 那么，经过时间 dt 后，体积元 dΩ 内代表 点数增加量为
dt d d dtd (9.1.12) t t
• 另一方面，通过代表点在运动中通过这个 固定的体积元的边界的数目也可以得到在 dt 时间内的增加数。先考虑通过任一平面 qi 上的边界面积为 dA dq1 dqi1dqi1 dq f dp1 dp f • 在 dt 时间内通过 dA 进入体积元 dΩ 的代表 点必须位于以 dA 为底，以 q´idt 为高的柱 体内。柱体内的代表点数为
系综理论
dt
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
2019/12/25
即得
系综理论
d 0
qi
qi
pi
pi
P.6/55
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
d ：表示代表点密度的流动变化率。
dt 现在要求证：d 0
dt
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
围内，或者说 E E之间。
对宏观系统，表面分子数远小于总 分子数，系统与外界的作用很弱
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
2019/12/25
即得
系综理论
d 0
qi
qi
pi
pi
P.6/55
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
d ：表示代表点密度的流动变化率。
dt 现在要求证：d 0
dt
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
围内，或者说 E E之间。
对宏观系统，表面分子数远小于总 分子数，系统与外界的作用很弱
热力学与统计物理课件 统计物理部分 第四章 系综理论
为子相空间。
其中N个点对应相空间的关系可以这样考虑：相空间与相空间。
在某些条件下，发，用整个系统的广义坐标和广义动量所张开的空间来描述系统的状态，这个相空间称为μΓΓμΓμΓ处理粒子间有强相互作用这类问题，不能用分子(相空间，而要用系统(两者都表示一个运动状态，后者是前者的集合。
))相空间。
直接从整个系统状态出相空间的一个点；ΓNr 2Γ空间：以描述系统状态的广义坐标和广义动量为轴构成系统在某一时刻的运动状态，可用称为系统运动状态的代表点。
的笛卡尔坐标空间。
（此空间有个维数）空间中的一点表示，空间。
系统任意时刻的运动状态可以用维的空间就是上述提到的个广义坐标Nr f =二、两种统计平均（1）时间平均（2）系综平均比如在经典力学的范畴内，一个由N个粒子组成的，有相互作用的经典系统的自由度数目，r f f q q L 1f P P L 1f q q L 1f P P L 1f 2ΓΓΓ这样一个经典系统在任意时刻的运动状态可以由该时刻的，以及与之共轭的广义动量来描述。
以，构成的一点来描述，这即是运动状态的代表点。
当系统的运动状态随时间改变时，其代表点就在随时间变化从而划出一条轨道，这个轨道称为系统的相轨道。
为一个粒子的自由度，空间的空间中根据外部条件的不同可以将系综分为三类：（1）微正则系综：孤立系统N、E、V不变（2）正则系综：N、V、T不变，设想与大热源接触μ不变，设想与热源、粒子源接触。
（3）巨正则系综：V、T、之间的一个窄范围内，系统不可能有处在这个能量范围之外的微观状态。
在一宏观条件：孤立系统:N 、E 、V 保持不变（对连续问题，E 在一个能壳范围内）一、微正则分布：ρE E E Δ+E E E Δ+孤立系统的能量具有确定值，更精确地说能量在和和的微观状态数是大量的，而且每一个可能的微观状态出现的概率都相等，这称为等概率原理，即等几原理。
等概率原理：对于平衡态的孤立系统（属于同一能量和相同粒子数），系统的一切微观态出现的概率是相等的。
第九章系综理论.
其中，
qi pi d i qi p dt t i qi t pi t t i qi pi H H i t pi q i qi pi
第九章
系综理论
主要内容
系统微观运动状态的经典描述和量子描述； 统计平均方法，系综的概念；
三种系综及其分布；
正则系综理论的简单应用； 实际气体的物态方程、固体的热容量 巨正则系综的简单应用。 吸附现象中的吸附率、巨正则分布推导独立粒子 的平均分布、玻色分布和费米分布的涨落分析
Hale Waihona Puke §9.1系统微观运动状态的描述
对自由度为f的系统以描述系统状态的2f个变量 q1,q2,…qf ,p1,p2,…pf为直角坐标轴构成一个2f维空间， 系统在某时刻t 称为系统的相空间或Γ空间。 的状态可用相空间中的一个点表示，称为系统运 动状态的代表点。
§9.1
系统微观运动状态的描述
（1）Γ空间是人为想象的超越空间；Γ空间中一个 点代表体系的一个微观状态，体系状态随时间的 变化对应代表点在Γ空间的一个运动轨迹。 空 间 性 质 （2）任何体系都有和它相应的Γ空间； 只有力学 性质完全相同的系统才会有相同的Γ空间。 （3）对于孤立系统，H(q,p)=E ，对应相空间中一 孤立系统运动状态 个2f–1维曲面，称为能量曲面， 的代表点一定位于能量曲面上。 （4）在一般物理问题中，哈密顿函数H及其微分都 是单值函数，决定了在Γ空间代表点的运动轨迹要 么是一条封闭曲线，要么是一条永不相交的曲线。 Γ
§9.1
系统微观运动状态的描述
μ空间与Γ空间的比较 （1）μ空间用来描述粒子状态，μ空间中一个点表 示粒子的一个运动状态，全同近独立粒子系统的 状态用N个点表示； （2）Γ空间用来描述系统的运动状态，Γ空间中 一个点表示系统的一个运动状态。 3．空间中给定相体积内运动代表点数 当系统从一个已知的初状态出发沿正则方程确定的 轨道运动时，系统在时刻t的状态在相空间中对应 着一个确定的代表点，若这个系统有N个可能的初 状态（ N很大），那么系统在时刻t的各种可能状 态在相空间中对应着N个代表点，这些状态的代表 点形成一个分布．
第九章系综理论
s s
（经典描述） （量子描述）
微观量A在一切可能的微观状态上的统计平均值——微观 量A在系综上的统计平均值为
A(t ) A(q, p ) (q, p, t )d （经典描述）
A(t ) As (t )
s
（量子描述）
由此可以看出：确定分布函数ρ是系综理论的根本问题。
9
热力学与统计物理学
7
热力学与统计物理学
zsw2622@
为了形象给出宏观量在一切可能微观状态上的统计平均 值，我们引入系综概念： 由大量结构完全相同、处于相同宏观条件的系统组成的 大系统，称为系综。 【理解】（a）系综中的所有系统必须遍历所有可能的 微观状态；（b）系统之间没有相互作用，这与近独立粒子 系统非常类似；（c）系统中某微观状态（代表点）出现的 概率相当于系综中处于该状态的系统出现的概率：
q H i pi pi H qi
热力学与统计物理学
i 1, 2, ..., f
3
zsw2622@
对孤立系统，哈密顿量（Hamiltonian）就是它的能量；H是 qi，pi的函数，但不是t的显函数。由哈密顿方程可以看出： (a)当系统的运动状态随t变化时，代表点相应地在相空 间中移动，其轨道由哈密顿正则方程确定； (b)经过相空间任何一点、轨道只能有一条。因为轨道的 方向完全由单值函数H的微商确定。 因此，系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或 者是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线；当系 统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不同的轨道运动时 ，不同的轨道也互不相交。
( q, p, t ) d
（经典描述）
s
（量子描述）
这里的ρ、 ρs在系统中是代表点密度（数），在系综中应 理解为具有某微观状态的系统所出现的概率密度（概率）— —分布函数。要求满足归一化条件：
（经典描述） （量子描述）
微观量A在一切可能的微观状态上的统计平均值——微观 量A在系综上的统计平均值为
A(t ) A(q, p ) (q, p, t )d （经典描述）
A(t ) As (t )
s
（量子描述）
由此可以看出：确定分布函数ρ是系综理论的根本问题。
9
热力学与统计物理学
7
热力学与统计物理学
zsw2622@
为了形象给出宏观量在一切可能微观状态上的统计平均 值，我们引入系综概念： 由大量结构完全相同、处于相同宏观条件的系统组成的 大系统，称为系综。 【理解】（a）系综中的所有系统必须遍历所有可能的 微观状态；（b）系统之间没有相互作用，这与近独立粒子 系统非常类似；（c）系统中某微观状态（代表点）出现的 概率相当于系综中处于该状态的系统出现的概率：
q H i pi pi H qi
热力学与统计物理学
i 1, 2, ..., f
3
zsw2622@
对孤立系统，哈密顿量（Hamiltonian）就是它的能量；H是 qi，pi的函数，但不是t的显函数。由哈密顿方程可以看出： (a)当系统的运动状态随t变化时，代表点相应地在相空 间中移动，其轨道由哈密顿正则方程确定； (b)经过相空间任何一点、轨道只能有一条。因为轨道的 方向完全由单值函数H的微商确定。 因此，系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或 者是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线；当系 统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不同的轨道运动时 ，不同的轨道也互不相交。
( q, p, t ) d
（经典描述）
s
（量子描述）
这里的ρ、 ρs在系统中是代表点密度（数），在系综中应 理解为具有某微观状态的系统所出现的概率密度（概率）— —分布函数。要求满足归一化条件：
9第九章 系综理论
B ( t ) = ∫ B ( q, p )ρ ( q, p, t ) dqdp
第九章 系综理论 青岛科大数理学院
B ( t ) 就是与微观量B相应的宏观物理量。
设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定的宏观条 件之下。我们把这大量系统的集合称为统计系综，简称系综。 可以想见，在统计系综所包括的大量系统中，在时刻t,运动状态 在dqdp范围的系统数将与 ρ ( q, p, t ) dqdp成正比，( ρ ( q, p, t ) 可理解 为是系统的分布函数)。如果在时刻t，从统计系综中任意选取一 个系统，这个系统的状态处在dqdp范围的概率为 ρ ( q, p, t ) dqdp
第九章 系综理论 青岛科大数理学院
∑ ρ (t ) = 1
s s
以 Bs 表示微观量B在量子状态s上的数值,微观量B在一切可能 的微观状态上的平均值为
B ( t ) = ∑ ρ s ( t ) Bs
s
B ( t )就是与微观量B相应的宏观物理量。
B ( t ) = ∫ B ( q, p )ρ ( q, p, t ) dqdp
第九章 系综理论 青岛科大数理学院
ρ (q 1 + q1dt , ⋅⋅⋅, p f + p f dt , t + dt )
要证明
dρ =0 dt
考虑相空间中一个固定的体积元
d Ω = dq1
dq f dp1
dp f
这体积元是以下述2f 对平面为边界构成的:
qi , qi + dqi ; pi , pi + dpi (i = 1, 2,
上式给出宏观量与微观量的关系,是在系综理论中求宏观量的基 本公式。 二、平衡状态的孤立系统经典及量子分布 1.微正则分布 孤立系统的能量具有确定值，能量在 E ⎯ E + ΔE 范围内
第九章 系综理论 青岛科大数理学院
B ( t ) 就是与微观量B相应的宏观物理量。
设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定的宏观条 件之下。我们把这大量系统的集合称为统计系综，简称系综。 可以想见，在统计系综所包括的大量系统中，在时刻t,运动状态 在dqdp范围的系统数将与 ρ ( q, p, t ) dqdp成正比，( ρ ( q, p, t ) 可理解 为是系统的分布函数)。如果在时刻t，从统计系综中任意选取一 个系统，这个系统的状态处在dqdp范围的概率为 ρ ( q, p, t ) dqdp
第九章 系综理论 青岛科大数理学院
∑ ρ (t ) = 1
s s
以 Bs 表示微观量B在量子状态s上的数值,微观量B在一切可能 的微观状态上的平均值为
B ( t ) = ∑ ρ s ( t ) Bs
s
B ( t )就是与微观量B相应的宏观物理量。
B ( t ) = ∫ B ( q, p )ρ ( q, p, t ) dqdp
第九章 系综理论 青岛科大数理学院
ρ (q 1 + q1dt , ⋅⋅⋅, p f + p f dt , t + dt )
要证明
dρ =0 dt
考虑相空间中一个固定的体积元
d Ω = dq1
dq f dp1
dp f
这体积元是以下述2f 对平面为边界构成的:
qi , qi + dqi ; pi , pi + dpi (i = 1, 2,
上式给出宏观量与微观量的关系,是在系综理论中求宏观量的基 本公式。 二、平衡状态的孤立系统经典及量子分布 1.微正则分布 孤立系统的能量具有确定值，能量在 E ⎯ E + ΔE 范围内
第九章_系综理论
2.几何描述： 几何描述： 几何描述
用µ 空间描述系统的微观态时，必须要求组成系统的 空间描述系统的微观态时， 每个粒子有相同的力学性质（ 每个粒子有相同的力学性质（即：相同的广义坐标与相 同的广义动量）， ），所以研究一般系统运动状态的几何描 同的广义动量），所以研究一般系统运动状态的几何描 述时， 空间，建立新的抽象空间。 述时，首先必须抛弃 µ 空间，建立新的抽象空间。 空间： Γ空间：由体系的全部广义坐标和广义动量为基而构成的 相空间。 相空间。
2011年3月16日星期三
第九章 系综理论
注意： 注意：
空间是人为想象的一个2f维超越空间 维超越空间， ① Γ空间是人为想象的一个 维超越空间，系统在某时 刻的力学运动状态可用Г空间中的一个点（称为代表点） 刻的力学运动状态可用 空间中的一个点（称为代表点） 空间中的一个点 来表示; 来表示 系统运动状态随时间的变化则由Г空间 ② 系统运动状态随时间的变化则由 空间 中的一条轨线 （也称为相轨道）来表示。 也称为相轨道）来表示。 空间中的广义体积称为相体积。 空间的f个广义 ③Г空间中的广义体积称为相体积。 将 Г空间的 个广义 空间中的广义体积称为相体积 空间的 坐标和f个广义动量简记为 和 ； 坐标和 个广义动量简记为q和p；把Г空间中的体积元记 个广义动量简记为 空间中的体积元记 为:
H = H ( q1 , q2 ,⋅ ⋅ ⋅, q f , p1 , p2 ,⋅ ⋅ ⋅, p f )
一个整体来考虑。 一个整体来考虑。
2011年3月16日星期三 第九章 系综理论
(9.1.1)
当粒子间的相互作用不能忽略时， 当粒子间的相互作用不能忽略时，应将系统作为
上式意味着系统在某时刻的运动状态由f个广义坐 上式意味着系统在某时刻的运动状态由 个广义坐
用µ 空间描述系统的微观态时，必须要求组成系统的 空间描述系统的微观态时， 每个粒子有相同的力学性质（ 每个粒子有相同的力学性质（即：相同的广义坐标与相 同的广义动量）， ），所以研究一般系统运动状态的几何描 同的广义动量），所以研究一般系统运动状态的几何描 述时， 空间，建立新的抽象空间。 述时，首先必须抛弃 µ 空间，建立新的抽象空间。 空间： Γ空间：由体系的全部广义坐标和广义动量为基而构成的 相空间。 相空间。
2011年3月16日星期三
第九章 系综理论
注意： 注意：
空间是人为想象的一个2f维超越空间 维超越空间， ① Γ空间是人为想象的一个 维超越空间，系统在某时 刻的力学运动状态可用Г空间中的一个点（称为代表点） 刻的力学运动状态可用 空间中的一个点（称为代表点） 空间中的一个点 来表示; 来表示 系统运动状态随时间的变化则由Г空间 ② 系统运动状态随时间的变化则由 空间 中的一条轨线 （也称为相轨道）来表示。 也称为相轨道）来表示。 空间中的广义体积称为相体积。 空间的f个广义 ③Г空间中的广义体积称为相体积。 将 Г空间的 个广义 空间中的广义体积称为相体积 空间的 坐标和f个广义动量简记为 和 ； 坐标和 个广义动量简记为q和p；把Г空间中的体积元记 个广义动量简记为 空间中的体积元记 为:
H = H ( q1 , q2 ,⋅ ⋅ ⋅, q f , p1 , p2 ,⋅ ⋅ ⋅, p f )
一个整体来考虑。 一个整体来考虑。
2011年3月16日星期三 第九章 系综理论
(9.1.1)
当粒子间的相互作用不能忽略时， 当粒子间的相互作用不能忽略时，应将系统作为
上式意味着系统在某时刻的运动状态由f个广义坐 上式意味着系统在某时刻的运动状态由 个广义坐
第九章 系综理论
第九章系综理论第一节刘维尔定理第节相空间第节微正则分布第二节第三节微正则分布的热力学公式第四节正则分布第五节正则分布的热力学公式第九章近独立粒子的最概然分布Boltzmann统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子玻耳兹曼系统粒子可以分辨每个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。
玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。
够容纳的粒子数不受限制费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数，能量，体积N E .V 能级：，，，简并度: ，，，1E 2E lE 1ω2ωl ω离子数:，，，1a 2a l a E α=−则在能级上的粒子数为，系数与由与确定。
ll l e a βω=αβN a l =∑E E a l l =∑ll定域系统（由定域粒子组成的系统）与满足经典极限条件的玻色（费米）系统（，或者对于所的1>>αe ,l 1<<l a 又叫做非简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。
不满足上述条件的系统遵从玻色统计分布或者费米统计l ω分布。
玻色统计分布满足，费米统计分1−=+l E l l e a βαω布满足。
系数与由与1+=+lE l l e a βαωαβN a ll =∑确定。
E E a l l l=∑9.19.1相空间刘维尔定理目的：说明系综理论的适用范围。
介绍相空间的概念。
给出并且证明刘维尔定理。
内容如下：1系综理论的适用范围是研究相互作用粒子组成的系统1. 系综理论的适用范围是研究相互作用粒子组成的系统。
2. 相空间的概念：设系统在任意时刻的运动状态由个广义坐标和相应的个广义动量在该时刻的数值确定，系统的自由度为。
那末这维空间就是相空间或者叫f q q q ,...,21f fp p p ,...,21f 个变量构成的维空间就是相空间，或者叫空间f f 2f2Γ3.刘维尔定理如下：设有大量结构完全相同的系统，这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形成个分布代表点将在相空间中形成一个分布,用表示相空间中的一个体积元。
第九章 系综理论 热力学统计物理
e Г空间中的体积元
i
d dqi dpi denotes the volume element.
d dq1 dq f dp1 dp f
~ d N , the number of the systems, ~ d 1, / N
第九章 系综理论
第九章 系综理论
•本章重点：正则分布及其热力学公式、巨 正则分布及其热力学公式
•难点：系综，刘维尔定理、实际气体物态
方程、超流理论、伊辛模型 •课时安排：课内6学时，课外2学时 •参考书：教材；沈惠川《统计力学》
第九章 系综理论
20世纪初，美国物理学家吉布斯（J.W.Gibbs）发展了
玻耳兹曼在研究各态历经假说时提出的系综(Ensemble)概
dN1 D(q, p, t )d
dN1 dP N1
qf
pf
(q1 、q2 、…qf
代表点出现在相体积元 dГ内的概率
· ·
p1
·
o
· · ·
q1
·p
1 、p2 、…pf)
q2
·
p2
D(q, p, t ) N1 (q, p, t )
·
由归一化条件,得
1
第九章 系综理论
1
D(q, p, t )d N (q, p, t )d N
， 故，即 0 将不显含时间，即 t 沿一条线轨道的代表点密度不变。
③当孤立系处于平衡态时，
第九章 系综理论
d 刘维尔（Liouville）定理 0 (9.1.6) dt 意义：如果随着一个代表点沿正则方程确定的轨道在相空间中 运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。
热力学与统计物理--第七章-系综理论
Sr
k
ln r
)。因为
Es E0
1
，我们将ln r展开，只取
ln r
E0 Es
ln r
E0
ln r Er
Er E0
Es
ln r E0 Es
根据(7.2.9)式
ln r Er
Er E0
1 kT
T是热源的温度。既然系统与热源达到热平衡，T也就是系统
的温度。(7.3.3)式右方第一项对系统来说是一个常数,所以可以将
(7.2.9)式的积分给出空间中能壳 E H q, p E E 的体积．
N个全同粒子 每一粒于的自由度为r 则整个系统的自由度为Nr.
空间体积元 hNr
E E E 的体积除以 hNr
并考虑到全同粒子的不可分辨性，粒子的交换不引起新的微 观状态，再除以粒子的交换数N!
如果系统含有多种不同的粒子
比较(7.2.18)和(7.2.21)式,得
1 kT
S k ln
给出熵与微观状态数的关系 玻耳兹曼关系
A1 A2 不仅可以交换能量 而且可以交换粒子和改变体积
可以得到平衡条件为:
V1 V2 V0 , N1 N2 N0
ln 1 E1
N1 ,V1 ,E1 E1
ln 2 E2
N2 ,V2 ,E2 E2
⒉系综的分类
• 根据给定的宏观条件来分类：微正则系综：大
量的孤立系统即大量具有相同的N,V , E 系统的
集合。
• 正则系综：大量的封闭系统，即大量的具有相
同的 N,V ,T 系统的集合。
• 巨正则系综：大量的开放系统，即大量的具有
相同的化学势 ，体积V和温度的系统的集
合。以上三种系综的概率分布分别叫微正则分 布，正则分布和巨正则分布。
第九章 系综理论
N;V; E E + E
微观状态数
1 = Nr N! N!h
E≤H (q, p)≤E+E
d ∫
= ( N,V, E)
现在通过对复合系统的平衡条件的讨论，来确定 现在通过对复合系统的平衡条件的讨论， 和热力学量的关系， 和热力学量的关系，以及微正则分布的热力学 公式。 公式。
一，只有能量交换的热平衡问题
B(t) = ∫ B(q, p)ρ(q, p, t)d
就是与微观量B相应的宏观物理量。 B(t)就是与微观量B相应的宏观物理量。
八，量子表述
系统状态用量子态 s 表示: 表示: 时刻
s
s =1,2,
s
的概率： t 系统处在状态 s 的概率： ρ (t) 称为分布函数，满足规一化条件： 称为分布函数，满足规一化条件：
达到平衡时： 达到平衡时： 注意：dE 注意： 1
d(ln ) = 0
= dE2; dV = dV2; dN1 = dN2 1
1 ln 2 平衡条件为： 平衡条件为： ln = E1 N1,V1 E2 N2 ,V2 1 ln ln 2 = V1 N1,E1 V2 N2 ,E2
E≤H (q, p)≤E+E
∫ d
p
Σ(E)
(E)
H (q, p)≤E
∫ d
q
Σ(E) E (E) = E
六，[例]微正则分布求单原子分子理想气体的热 力学函数
设单原子理想气体含有N个单个原子分子。 设单原子理想气体含有N个单个原子分子。 其哈密顿量为： 其哈密顿量为： 2 3N
ρΝ (q ,Lq ; p , L p ;t)
1 f 1 f
1 f
相空间体积元： d = dq Ldq 相空间体积元： 满足： 满足：
统计物理学 课件PPT-第九章 系综理论
得到 将此式代入 (9.1.5),便得到
如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在 相空间运动,其邻域的代表点密度不随时间改变. 称刘维定理. Liouville’s theorem 的另一表达
对(9.1.9)作变换 t 到 –t, 公式保持不变.刘维定理可 逆.
§9.2 微正则分布 9.2.1 经典理论
从哈密顿正则方程
在孤立系统中,哈密顿量不是时间的显函数, 总能 量:
能量曲面由(9.1.2) 确定. 能量曲面上的一个确定 点与系统的一个微观状态对应.
相空间和体积元可写为 t 时间内这个体积元内的点数由下式决定 有
若隔着在内相时,空刻系间统t 系轨演统道化在,到相一另空个一间确微密定观度的态随态时qiq+间i,dpq变i,i ,在化pi时.+一d间p般i间. 来沿 说,瞬时变化可表达为,
统计物理的假设之一就是等几率原理.
对于一个小的能量 ΔE 在经典描述下
人们设
等概率原理的量子描述
经典统计是量子统计的极限. 在 E 和 E+ ΔE 之间的微观态数
对于含多种粒子的系统, 推广为
§9.3 微正则分布的热力学表达式
9.3.1 微观态数与熵的关系
孤立系统 A(0)
A1 N1, E1, V1
(2) 系综平均值: 即:(9.2.3),量B在系综上的统计平 均值.
(3) ρ可以理解为一个系统在(q,p)处的概率,也是 系综在(q,p)处的微观态的数目,或态密度,表示 微观态的分布.
9.2.2 量子理论中
确定系综分布函数ρ是系综理论的根本问题
9.2.3 在孤立系统中
(1) 微正则系综: 一个孤立系统的相空间密度,因 而也是统计分布函数在与系统的能量相应的 等能面上是恒量.在面外是零.这样的系综为微 正则系综,分布叫微正则分布.
第一章系统与系统理论概述ppt课件
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 ，提 高师生 的控烟 意识
2.1 自然系统与人造系统
自然系统是由自然物质（矿物、植物、 动物、海洋等）形成的系统。大气系统、 海洋系统，生态系统等 .
人造系统是为了达到人类所需要的目的， 由人类设计和建造的系统。工程技术系 统、经营管理系统、科学技术系统等 .
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
4.1.2 结构的特点 .
1.稳定性 . 2.层次性 . 3.开放性 . 4.相对性 .
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
暂态和定态
暂态和定态： 暂态（瞬态）：系统可以在某个时 刻到达，但不借助外力就不能保 持或不能回归的状态。 定态：系统到达后若无外部作用将 保持不变或可以回归的状态。
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
2.4 动态系统与静态系统
静态系统是其固有的状态参数不随时间 改变的系统 .
动态系统是系统状态变量随时间改变的 系统。一切实际存在的系统原则上都是 动态系统 .
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
什么是系统意义？
在现实生活和理论探讨中，凡是 着眼于处理部分与整体、差异与 统一、结构与功能、自我与环境、 有序与无序、合作与竞争、行为 与目的、阶段与全过程等相互关 系的问题，都是具有系统意义的 问题。
第九章 系综理论(2014)
子需要在不同的μ空间中描述。 “玻耳兹曼统计法”是在μ空间中进行的，所以它只能也是人为想象出来的超越空间，是人为想象出来的 相空间（相宇），用于描述系统的微观力学运动状态。 系统存在于坐标空间，其力学运动状态用Γ空间描述， Γ空间中一个点（或者是量子态， Γ空间中的一个相格）表 示系统可能的一个微观力学运动状态而不是系统本身。 即使系统是由不同粒子组成的，也总能找到相应的Γ空间 来描述它。 系综特例： 全同近独立粒子 拆分成Ｎ个 ２ｒ维 粒子数 Ｎ μ空间 自由度 ｒ ２Ｎｒ维Γ空间 性质全同 只需一个 玻耳兹曼 ２ｒ维 μ空间
( q , p , t ) d 1
分布函数的量子表述
系统状态用量子态
时刻
s 表示: s 1,2, t 系统处在状态 s 的概率： (t )
s
分布函数
以
(t )
s
满足规一化条件：
t 1
s s
Bs
表示微观量 在量子态
s
B (t ) s (t )Bs B s Bs
N ; V ; E E E
微正则系综分布（即等概率原理）的经典表达式：
(q, p) 常数 E H (q, p) E E (q, p) 0 H (q, p) E, E E H (q, p)
等概率原理的量子表达式：
1 s
四、微观状态数
如果是全同粒子系统 粒子数：N 自由度：
四，哈密顿量与哈密顿正则方程
系统某一时刻的力学运动状态在Γ 空间为一代表点，随着 时间的变化，系统的代表点在Γ 空间中画出一条轨道。 系统在Γ 空间的运行轨道显然应该遵守基本的力学规律， 系统的运动状态随时间的变化遵从哈密顿正则方程：
( q , p , t ) d 1
分布函数的量子表述
系统状态用量子态
时刻
s 表示: s 1,2, t 系统处在状态 s 的概率： (t )
s
分布函数
以
(t )
s
满足规一化条件：
t 1
s s
Bs
表示微观量 在量子态
s
B (t ) s (t )Bs B s Bs
N ; V ; E E E
微正则系综分布（即等概率原理）的经典表达式：
(q, p) 常数 E H (q, p) E E (q, p) 0 H (q, p) E, E E H (q, p)
等概率原理的量子表达式：
1 s
四、微观状态数
如果是全同粒子系统 粒子数：N 自由度：
四，哈密顿量与哈密顿正则方程
系统某一时刻的力学运动状态在Γ 空间为一代表点，随着 时间的变化，系统的代表点在Γ 空间中画出一条轨道。 系统在Γ 空间的运行轨道显然应该遵守基本的力学规律， 系统的运动状态随时间的变化遵从哈密顿正则方程：
热力学与统计物理：第九章 系综理论
f i 1
qi
qi
p i
pi
0
由正则方程知
qi pi 0 qi pi
因此
t
f
i 1
qi
qi
pi
p i
0
2021/3/11
第九章 系综理论
13
或应用正则方程得刘维尔方程的另一表述
f H H
t
i 1
qi
pi
pi
qi
注意：刘维尔定理完全是力学规律的结果。
由量子力学也可以证明量子刘维尔定理。
A1
＋
A2
＝
N1、E1、V1 N2、E2、V2
Ω1(N1,E1,V1) Ω2(N2,E2,V2)
孤立系A0
E1 E2 E0
Ω0(E1,E2) =Ω1(E1)Ω2(E2)
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第九章 系综理论
23
总微观态数表示为E0与E1的函数： Ω0(E1,E0-E1)=Ω1(E1)Ω2(E0-E1)
也就是说复合系统的总态数取决于E1，或者说 取决于E0在两个子系统的能量分配。
设E1取某一定值 E1 时，Ω0取极大值
也就是说：
E1
微观态最多的最可几分布
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A0处于热力学平衡态，或者说 A1与A2达到热力学平衡
第九章 系综理论
24
即
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0 0 E1
1 E1
E1
2
E2
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第九章 系综理论
28
d ln dE dV dN dS dU p dV dN
TT T
则有
p ;
kT
kT
因而，两个系统的平衡条件就是温度、压强及化学势 相等。
第9章 系综理论
< f >= f ( p, q) ρ( p, q, t )d3Nqd3N p ∫ ρ( p, q, t )d3Nqd3N p ∫
9.1
4、系综的分类
相空间 刘维定理
微正则系综：粒子数N 体积V 能量E都确定的系统， （1）微正则系综：粒子数N 、体积V 、能量E都确定的系统，孤立系统 正则系综： 粒子数N 体积V 温度T都确定的系统， （2）正则系综： 粒子数N、体积V、温度T都确定的系统，封闭系统 巨正则系综：化学势µ 体积V 温度T都确定的系统， （3）巨正则系综：化学势µ、体积V、温度T都确定的系统，开放系统 二、刘维定理 1、稳定系综 不显含时间t 则该系综称为稳定系综，此时： 若ρ不显含时间t，则该系综称为稳定系综，此时： ）、稳定系综的<f>与时间无关 稳定系综的<f> （1）、稳定系综的<f>与时间无关 ）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综 处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。 （2）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。
（ 5）
由于相空间中不存在“ 由于相空间中不存在“源”与“壑”，因而代表点的总数必须守 因此， 则有： 恒。因此，由（2）和（4）式，则有：
∂ → div ρ v dΓ = − ∫ ρdΓ ∫ ∂t Γ Γ
∂ρ → ∫ ∂t + div ρ v dΓ = 0 （6） Γ
包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为： 包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为：
→
∂ 3）
→
n
→ → 从表面的净流出为： 从表面的净流出为： ρ v⋅ ndσ ∫ σ
→
→
为表面元的速度矢量， v 为表面元的速度矢量， n 为 dσ 向外的法向单 位矢量。 位矢量。
9.1
4、系综的分类
相空间 刘维定理
微正则系综：粒子数N 体积V 能量E都确定的系统， （1）微正则系综：粒子数N 、体积V 、能量E都确定的系统，孤立系统 正则系综： 粒子数N 体积V 温度T都确定的系统， （2）正则系综： 粒子数N、体积V、温度T都确定的系统，封闭系统 巨正则系综：化学势µ 体积V 温度T都确定的系统， （3）巨正则系综：化学势µ、体积V、温度T都确定的系统，开放系统 二、刘维定理 1、稳定系综 不显含时间t 则该系综称为稳定系综，此时： 若ρ不显含时间t，则该系综称为稳定系综，此时： ）、稳定系综的<f>与时间无关 稳定系综的<f> （1）、稳定系综的<f>与时间无关 ）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综 处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。 （2）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。
（ 5）
由于相空间中不存在“ 由于相空间中不存在“源”与“壑”，因而代表点的总数必须守 因此， 则有： 恒。因此，由（2）和（4）式，则有：
∂ → div ρ v dΓ = − ∫ ρdΓ ∫ ∂t Γ Γ
∂ρ → ∫ ∂t + div ρ v dΓ = 0 （6） Γ
包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为： 包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为：
→
∂ 3）
→
n
→ → 从表面的净流出为： 从表面的净流出为： ρ v⋅ ndσ ∫ σ
→
→
为表面元的速度矢量， v 为表面元的速度矢量， n 为 dσ 向外的法向单 位矢量。 位矢量。
热力学与统计物理 第九章 系综理论
1 p, q
10
如果系统含有多种粒子
1 Ni !h Ni ri
E H p , q E E
d
三、微正则分布的热力学量表达式 考虑一个孤立系统 A0 ,由 A 1, A 2 两个子系统构成， 两个子系统之间的作用较微弱。
1 N1, E1,V1 , 2 N2 , E2 ,V2 分别表示 A1, A2 系统的微观状态数
确定 空间中的一个曲面，称为能量曲面。 对于经典理论，在 空间中，一点代表代表着系统的 一个微观运动状态，随着时间的推移，这些微观运动状态
的代表点将在 相空间中构成一个连续的分布。 用 d dq1 dq f dp1 dp f 表示相空间中一个体积元， 则在 t 时刻，系统处在 d 内的概率可以表示为 p, q, t d
0 系统 A0 的微观状态数 E1, E2 1 E1 2 E2
令 A1 和 A2热接触，设在热接触中可以交换能量，但 不交换粒子数和改变体积。
也就是 E1, E2 可以改变，但
N1 , V1和N 2 ,V2 不改变。
11
E1 E2 E 0
0 E1, E 0 E1 1 E1 2 E 0 E1
f N i ri
i
那么，根据经典力学，系统在任意时刻的微观运 动状态可由在该时刻的 3
为了形象的描述系统的微观运动状态，以系统的 个广义坐标和相应的
f
f
个广义动量为直角坐标构成一个
空间，称为 （相）空间。
空间是 2 f 维的。
相空间中的一点 q1 q f , p1 p f 代表着系统的 一个微观运动状态，此点被称为系统微观运动状态的 代表点。 系统的微观运动状态随时间改变，代表点将在相
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