浙江省宁波市十校联考高三数学3月模拟试卷理(含解析)

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2020届浙江省宁波市十校高三下学期 3月联考数学试题(解析版)

2020届浙江省宁波市十校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =I （）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算P Q I 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}P Q x x =<<I .故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．双曲线22194x y -=离心率是（）A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】A【解析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以13c =. 由29a = 可知3a =.13c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3．若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =-分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．343cm B ．32cmC ．383cmD ．34cm【答案】C【解析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5．函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（）A ．0,01a b ><<B ．0,10.4a b >-<≤C ．0,10a b <-<<D ．0,01a b <<≤【答案】D【解析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <.【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7．正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（）A ．βγα<<B ．αβγ<<C ．γβα<<D ．γαβ<<【答案】A【解析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8．已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪⎝⎭：ξ1 2Pb a - ba则（）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12【答案】D【解析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12. 故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（）个.A ．576B ．1296C ．1632D ．2020【答案】B【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10．数列{}n a 满足21121,n n n a a a a n N ++==-+∈，，则（）A ．存在k N +∈，使1122k k k a --<<B ．存在m ，k N +∈，m k a ka =C ．存在m ，,m k k N a ma +∈=D ．121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D【解析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n n n a a a +=-+Q ，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-，()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111 (11111111)n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-. 即121111na a a ++⋅⋅⋅+<故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.二、填空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________【答案】1【解析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12．()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________【答案】14【解析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k k x C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13．设向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，记1212*a b x x y y =-r r ，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r的最大值是___________【答案】16【解析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径5r =.设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223AA A A ⊥得13A A 为直径，由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28520b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、双空题14．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________7 2114-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 147ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=o 故答案为:7;21. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15．已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF V 周长是___________，ABF V 的重心纵坐标的最大值是___________【答案】83【解析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF V 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，3424343k k+≥⨯=，当且仅当34k k =，即3k = 时，等号成立，此时03643y ≤=；当k 0<时，()333442443k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=---≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34k k-=-，即3k =时，等号成立，此时0343y ≥=. 综上所述：033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF V 的重心纵坐标的最大值是36. 故答案为: 83【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.16．()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________【答案】(],2-∞ 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--. 综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.17．已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________【答案】0 2【解析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C 上的点之间的距离为22r x y =+设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.四、解答题18．设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()2f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（1）由三角恒等变换求得()24f x x πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.（2）由()2f α可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则所求26344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()24f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19．如图，三棱锥P ABC -中，PAC V 是正三角形，ABC V 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（211【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，，∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC V 为等腰直角三角形取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角. 设2PB =，则PAC V 的边长为4，22BA BC ==PBO V 中，12232PB OB OP DT ====，，APB △中，4222PA AB BP ===，，，D 为PB 的中点，∴11AD =在Rt ADT △中，11sin DT DAT AD ∠==AD 与平面PAC 11【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n n nn a c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W ，证明：13n W n <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形211421kmmn mk k W W k ==⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭∑∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥21232121212123k k k k k k k =<=----+--+-∴(2121232121mmk k k k m k ==<+--=--∑112133n W m n <-.②当21n m =-时，21213n m m W W W n -=<<成立.综上①②得：13n W n 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21．已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q .（1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC V的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-，令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形∴1101122PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ===-=-V V ， ∵21011222OBC B C S S OA x x a p t t ==-=⋅-V ，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22．已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：1325b e <.（参考数据：1.64 1.65e <）【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x x x a +--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求13255e b e e <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ，故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a >又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e x a e x g x xx a xx a e ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减，故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a e e⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈，存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即13255e b e e <1325b e <.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。

2024届宁波十校高三3月联考数学试题答案

宁波“十校”2024届高三3月联考数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．725 13．16 14 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本题共13分）解：（1）由题意：()()sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin A B A B C B A C A C -=⋅-，------------2分整理得()()cos cos sin sin cos cos sin 0A B C B C A C B ⋅-=⋅-=，故cos 0A =或()sin 0C B -=，当cos 0A =时，π2A =，ABC 为直角三角形，----------------------------------------------3分当()sin 0CB -=时，B C =，ABC 为等腰三角形．---------------------------------------5分（2）由正弦定理sin sin a bA B =得sin sin 1a B b A ==，-------------------------------------------7分 ∴1,sin a B =∴222112sin sin 22B A a b c ++=+-----------------------------------------------9分又,πB C A B C =++=，22sin sin 1cos2sin21)4B A B B Bπ∴+=-+=+-，---------------------------11分因为ABC 为锐角三角形，所以π02π0π22B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ42B <<，∴当242B ππ-=时，即38B π=1.1.----------------------------------------------------------------------------13分16．（本题共15分）解：（1）证明：由四边形ABCD 是直角梯形，BC=2AD=2，AB ⊥BC ，可得DC =2，∠BCD =3π，从而△BCD 是等边三角形，BD=2，BD 平分∠ADC. ∵E 为CD 的中点，∴DE=AD=1，∴BD ⊥AE ，-----------------------------------3分又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD=B ，∴AE ⊥平面PBD.又∵AE ⊂平面ABCD ∴平面PBD ⊥平面ABCD.----------------------------------------------6分（2）在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ，连接OC ，又∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD=BD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，则∠PCO=3π∴易得OP =3.-----------------------------------------------------------------------------------------8分又OC PB=PD ，PO ⊥BD ，所以O 为BD 的中点，OC ⊥BD.以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，C （）D (-1,0,0)，P (0,0,3)----------------------------------------------------------------------------------10分设PN PD PC λμ=+，易得(,3(1))N λλμ--+-由00BN PC BN PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得56,1313λμ==，满足题意，所以N 点到平面ABCD 的距离为63(1)13λμ-+-=--------------------------------------15分 17．（本题共15分）解：（1）()1l 1e n x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()1222e 1()(1)11xxx f x k e k x xx x x ⎛⎫'=-+=⋅- -⎪-⎝⎭------1分当0k >时，1()0f x '=的两根为11x =，2ln x k =.①若e k =，()1f x 在(0,)+∞上单调递增；-------------------------------------------------2分 ②若e k >，则21ln 1x k x =>=，则()1f x 在(0,1)上单调递增，在(1ln )k ，上单调递减，在(ln ,)k +∞上单调递增；---------------------------------------------------------4分③若0e k <<，则21ln 1x k x =<=，则()1f x 在(0,ln )k 上单调递增，在(ln ,1)k 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.综上，当e k =时，无单调减区间，单调增区间为(0,)+∞；当e k >时，单调减区间为(1ln )k ，，单调增区间为(0,1)和(ln ,)k +∞；当0e k <<时，单调减区间为(ln ,1)k ，单调增区间为(0,ln )k 和(1,)+∞.-------------6分（2）根据题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()()232264e 133e 3e x x xf x k x x x k x x x x x ⎛⎫'=--+⋅-⋅- -=⎭⋅⎪⎝，由函数()f x 有三个极值点123,,x x x 可知()()2403e x x f x x x k '-=⋅=-在()0,∞+上至少有三个实数根；显然()30f '=，则需方程24e 0x kx x -=，也即2e 0x kx -=有两个不等于3的不相等的实数根；--------------------------------------8分由2e 0x kx -=可得2e x k x=，()0,x ∈+∞，令()()2e ,0,xg x x x =∈+∞，则()()()3e 2,0,x x g x x x -'=∈+∞，-----------------------------10分显然当()0,2x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,2上单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()2,+∞上单调递增；所以()()2e 24g x g ≥=，----------------------------------------------------------------------------12分画出函数()()2e ,0,xg x x x =∈+∞与函数y k =在同一坐标系下的图象，由图可得2e 4k >且3e 9k ≠时，2e xk x=在()0,∞+上有两个不等于3的相异的实数根，经检验可知当233e e e ,,499k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，导函数()()2403e x x f x x x k '-=⋅=-在123,,x x x 左右符号不同，即123,,x x x 均是()0f x '=的变号零点，满足题意；因此实数k 的取值范围是233e e e ,,499k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------------------15分（注：未去掉3e 9，扣1分）18．（本题共17分）解：（1）依题意，21~5,X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则521(0)132P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，4511522321(1)C P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 322511105(2)C 223216P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，52331(3)C 152216P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4451522321(4)C P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，5211(5)32P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X----------------------------------------------5分故2(5)215E X =⨯=．-----------------------------------------------------------------7分（2）事件“Y n =”表示前n 1-次试验只成功了1次，且第n 次试验成功，故122112112()C ()()33393n n n n P Y n ----==⨯⨯⨯=⨯，-------------------------------------------9分当n 为偶数时，所以0221()(2)(4)()[1()3()(1)()]2223339n P AB P P P n n -=+++=⋅+⋅+-⋅………+，令022222331()3()(1)()3n n S n -=⋅+⋅+-⋅…+则24341()3()(922(23))31n n S n =⋅+⋅+-⋅…+，两式相减得：242512[()()2222333()](1)()93n n n S n -=+++--⋅…+ -----------------------13分则11721179()()253255n n S n =-⋅+．即131312()()()252553n P AB n =-+⋅.当n 为奇数时，同理可得023111318()(2)(4)(1)[1()3()2222333(2)()]()()9255325n n P AB P P P n n n --=+++-=⋅+⋅+-⋅=-+⋅………+综上，11318()(),25525()13113()(),255522233n n n n P AB n n -⎧-+⋅⎪⎪=⎨⎪-+⋅⎪⎩为奇数为偶数--------------------------------------------17分（注：只考虑n 是奇数或偶数，且答案正确扣2分）19．（本题共17分）解：（1）由双曲线方程222214x y a a -=-，则2240a a ⎧>⎪⎨->⎪⎩，得到(0,2)a ∈，联立抛物线与双曲线方程222221444x y a a y x ⎧⎪⎨⎪=--=⎩-，得到2224(4)40a x a x a --+=，-----2分记222422()(4)4[(2)][(2)]f x a x a x a a x a a x a =--+=+---，可知()0f x =有两个根22a a +和22a a-，其中212a a <+，则212a a >-，解得(1,2)a ∈.-----------------------------6分又直线AF 分别交12,C C 于,C D （不同于,A B 点），即,,A B F 三点不共线，当2x =时，代入抛物线方程得到(2,2)A ，将(2,2)A 代入双曲线方程得到224414a a-=-，解得26a =-，故1a =.综上，1)1,2)a ∈⋃------------------------------------------------------------------7分（2）由()()1122,,,A x y C x y 是直线AF 与抛物线21:44C y x =-的两个交点，显然直线AF 不垂直y 轴，点()2,0F ，故设直线AF 的方程为2x my =+，由2244x my y x =+⎧⎨=-⎩消去x 并整理得2440y my --=，所以124y y =-为定值. 设()11,B x y -，直线BC 的斜率21212221212144444y y y y y y x x y y ++==++---，方程为()11214y y x x y y +=--，令0y =，得点P 的横坐标()2121112440444P y y y y y y x -++=+==，-------------10分设()33,D x y ，由2222214x my x y a a =+⎧⎪⎨-=⎪-⎩消去x 得22222222(444(40)())m m a a y m a y a --+-+-=， 2222222222222222240Δ16(4)4(4)(4)4(1)(4)0m m a a m a a m m a a a m a ⎧--≠⎨=-----=+->⎩， 222222222221313,44(4())44y m a a m m a a m m a a y y y ----+==---，而直线BD 的方程为113131()y y y y x x x x ++=--，依题意0m ≠，令0y =，得点Q 的横坐标13113111313133113113(()())Q y x x y x x x y y y x y x x x y y y y y y --+++=+==+++ 2222222222213113132131322223)2()(2)(4842)22()444(4()4m a m a y y y y my y y y m m m a a m m a a m a y y y y a m m m a ---++++----===-+-++-+-22(4)4122a a --==-，----------------------------------------------------------------------13分因此21||22QF a =-，21||2PQ a =.联立抛物线与双曲线方程222224414x x y a a y ⎧⎪⎨⎪---=⎩=，得到2224(4)40a x a x a --+=，解得点A的坐标2(2a a -，由124y y =-，214y y -=. 根据123S S =，则121||||231||||2A CQF y S S PQ y ⋅==⋅，代入得到21221(2)||231||2a y a y -⋅=⋅，即221212(4)3||a y a y y -⋅=⋅，化简得22(2)(1)(4)4122a a a a a+--⋅=-解得34a =，故a 分。

浙江省宁波“十校”2022届高三下学期3月联考数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1.在复平面内，对应的点分别为，则对应的点为（）A．B．C．D．2. 正方体的棱长为2，的中点分别是P ，Q ，直线与正方体的外接球O 相交于M ，N 两点点G 是球O 上的动点则面积的最大值为（）A．B．C．D．3.把弧度化成角度是（）A．B．C．D．4. “”是“关于的函数单调递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5. 已知集合，，则（）A．B．C．D．6.设为非零实数，则:是:成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为6，方差为2，现在样本中插入三个新数据5，6，7，若新样本的平均数为，方差为，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，8. 全集，集合，则（）A．B．C．D．9. 下列结论正确的是（）A ．数据20，21，7，31，14，16的50%分位数为16B．若随机变量服从正态分布，则C．在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好D．以拟合一组数据，经代换后的线性回归方程为，则10. 已知实数a ，b ，c满足，且，则下列结论正确的有（）A．B．C．的最大值为D ．当时，的最大值为7，最小值为11. 下列结论正确的是（）A ．数据64，91，72，75，85，76，78，86，79，92的第60百分位数为79B．若随机变量服从二项分布，则C ．若随机变量服从正态分布，，则浙江省宁波“十校”2022届高三下学期3月联考数学试题(高频考点版)浙江省宁波“十校”2022届高三下学期3月联考数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题D ．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人12. 已知函数，则（）A ．当时，有极小值B ．当时，有极大值C ．若，则D ．函数的零点最多有1个13. 设是公差非零的等差数列，，，依次成等比数列，，，依次成等差数列，则的前n 项和为______．14. 已知正四棱锥的底面边长为2，过棱上点作平行于底面的截面若截面边长为1，则截得的四棱锥的体积为______．15. 函数，的反函数为，则________16. 已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．17. 已知函数（常数）.(1)求函数的单调区间；(2)若曲线与直线相切，证明：.18. 已知椭圆的焦距为2，且经过点．(1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆右焦点F 且斜率为的动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T，使恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由．19.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.20. 在直三棱柱中，，.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积.21. 在四棱锥中，平面，，.（1）证明：平面平面PAC；（2）若F是PC的中点，求证：平面PAD.。

浙江省宁波市高考数学三模试卷(理科)

浙江省宁波市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 设全集为，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·大庆模拟) 若复数满足（其中是虚数单位），则（）A .B .C .D .3. （2分）在中,，,点P在AM上且满足,则等于（）A .B .C .D .4. （2分）双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（）．A . －B . －4C . 4D .5. （2分）(2017·温州模拟) 设（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6 ，其中x、ai∈R，i=0，1，…，6，则a1+a3+a5=（）A . 16B . 32C . 64D . 1286. （2分） (2015高二下·上饶期中) 下列命题是真命题的为（）A . 若x=y，则 =B . 若x2=1，则x=1C . 若 = ，则x=yD . 若x＜y，则x2＜y27. （2分）已知幂函数f（x）=x2+m是定义在区间[﹣1，m]上的奇函数，则f（m+1）=（）A . 8B . 4C . 2D . 18. （2分）已知二次函数的导数为，＞0，对任意实数x都有≥0，则的最小值为（）A . 4B . 3C . 8D . 29. （2分）执行右边程序语句的过程中，执行循环体的次数是（）i=1Doi=i+1i=i*iLoop while i＜10输出iA . 0B . 1C . 2D . 310. （2分）把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记A(m,n)表示第m行的第n个数，，则m+n=（）A . 122B . 123C . 124D . 12511. （2分）(2016·湖南模拟) 已知数列{an}的通项公式an=5﹣n，其前n项和为Sn ，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn ，若存在m∈N* ，使对任意n∈N* ，总有Sn＜Tn+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（）A . λ≥2B . λ＞3C . λ≥3D . λ＞212. （2分） R上的奇函数满足，当时，，则（）A .B . 2C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分）点P（x，y）满足条件则P点坐标为________时，z=4﹣2x+y取最大值________．14. （1分） (2016高一下·江阴期中) 数列{an}满足a1=3，﹣ =5（n∈N+），则an=________．15. （2分） (2017高三上·西湖开学考) 已知，某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为________（cm3）；表面积为________（cm2）．16. （1分）若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为________三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2020·上饶模拟) 已知，的内角的对边分别为，为锐角，且 .（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.18. （5分） (2017高二下·濮阳期末) 一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为2，3，4．从袋子中任取4个球（假设取到任何一个球的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；（Ⅱ）在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19. （10分） (2018高三上·赣州期中) 如图，已知多面体中，为菱形，，平面，，， .（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20. （10分） (2015高二上·福建期末) 已知抛物线C：y2=x，过点M（2，0）作直线l：x=ny+2与抛物线C 交于A，B两点，点N是定直线x=﹣2上的任意一点，分别记直线AN，MN，BN的斜率为k1 ， k2 ， k3 ．（1）求的值；（2）试探求k1，k2，k3之间的关系，并给出证明．21. （10分）(2017·沈阳模拟) 已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．22. （10分）(2020·河南模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）求的值.23. （5分）(2017·泉州模拟) 已知函数f（x）=|x﹣a|+| x+1|的最小值为2．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若a＞0，求不等式f（x）≤4的解集．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

宁波十校3月联考-数学答案

宁波“十校”2023届高三3月联考数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BACDCDBB题号 9 10 11 12 答案BDABCACDBCD13．120︒ 14．132 15．424y x =+ 16．3 8．解法一：设00(,),(,)I I P x y I x y ，设圆与12,,PF PF x 轴相切于点,,M N T1122,,PM PN F M FT F N F T ===12FT PN NF a c ∴++=+即12FT PF a c +=+10()I FT x c a c a ex ∴=+=+−− 0I x ex ∴= 011(22)222I a c y cy += 0I c y y a c ∴=+ 1232k k = 000032cy y a c c x x a +∴=2a c ∴=即得12e =解法二：延长PI 交x 轴于D ，则12121PI PF PF a ID F F c e+===，设00(,)P x y ，则01I ey y e =+ 由1232k k =，得003(,)2(1)1e e I x y e e ++ 由11022F D PF a ex DF PF a ex +==−，20(,0)D e x ∴ 由,,P I D 三点共线，2211312(1)ee e e ee +=−−+，解得12e = 解法三：取P 为特殊点，如右焦点上方，则222(,),(,)b b b P c I a c a a a a−+−由1232k k =得1(1)(21)0,2e e e −−==12．428624684,12,16a a a a a a a a +=+=∴+++=且3153752,6,10a a a a a a −=−=−=，3151712,8,18a a a a a a ∴=+=+=+由868S =，得16a =，A 答案错；B 正确显然；442424444484,88,4n n n n n n a a n a a n a a −−−−+=−+=−∴−=，C 正确；22315321212112,6,42,262n n n a a a a a a n a a n n +−+−=−=−=−∴=+=+ 22222142326n n n a a n a n n n+++==++，2n =时取最大值47，D 正确 16．提示：当小球与正四面体棱相切且大球是正四面体外接球时R 最小。

2025届浙江省宁波市十校高三3月份模拟考试数学试题含解析

2025届浙江省宁波市十校高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()22018tan 1xx m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（）A ．-3B ．-1C ．3D ．02．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x =+的零点所在区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)3．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =4．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20206log a =（） A ．1-B ．1C 2D ．25．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的2，则E 的离心率为( ) A 3B ．12C 2D ．236．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（） A ．()27,8B ．()25,7C ．()25,8D ．()27,77．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知复数11iz i+=-，则z 的虚部是（） A ．i B ．i - C ．1-D ．19．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．D ．10．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（）A ．533B ．3C ．33D ．3311．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 12．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[12]-， C ．(12]-，D ．2,2⎡⎤-⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省宁波市宁波十校2025届高考数学三模试卷含解析

浙江省宁波市宁波十校2025届高考数学三模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（） A ．3- B ．2C ．3D ．2-2．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．[]2,1-4．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（）A ．800B ．1000C ．1200D ．16007．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（） A ．4B ．6C ．3D ．88．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（） A ．42B ．21C ．7D ．39．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．21+B ．12C ．21D ．2110．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11．已知函数()3sin cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 12．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届浙江宁波市北仑区高三3月份模拟考试数学试题含解析

2025届浙江宁波市北仑区高三3月份模拟考试数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形2．521mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( ) A ．2B ．1C ．-1D ．-23．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（） A ．1721B ．1928C ．79D ．23284．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（）A ．58B ．34 C ．54D ．525．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．66．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（） A ．i -B ．iC ．1-D ．17．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A ．1112B ．6C ．112D ．2238．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1B ．2C ．3D ．49．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（）A ．45 B ．35 C ．25 D ．1510．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（） A 5B ．2C 5D 1011．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．812．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

宁波“十校”2023届高三3月联考

宁波“十校” 化学参考答案第 1 页共 2 页宁波“十校”2023届高三3月联考化学参考答案一、选择题（每小题3分，共48分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C BD D A A B C A A 题号11 12 13 14 15 16 答案 A C D D C C17．（1）sp 3 （1分）（2）>（1分）；两种元素的电子层数相同，N 原子半径小于B ，原子核对核外电子的吸引能力更强，更难失去电子；或B 的价层电子为2s 22p 1 易失去一个电子变为2p 轨道全空状态，N 的价层电子为2s 22p 3 ，2p 轨道为半充满稳定结构不易失去电子（2分）（3）F 的电负性强于N ，在NF 3中共用电子对偏向F 原子，偏离N 原子，使得N 原子核对其孤电子对的吸引能力增强，难与Cu 2+形成配位键。

（2分）（4）Fe （1分） 63d （1分）（5）（2分） 18．（1）（2分）；Fe 3SiC 2 （2分）（2）2 Fe 3SiC 2 + 30H 2SO 4===△3Fe 2(SO 4)3 + 21SO 2↑ + 4CO 2↑ + 2SiO 2↓ +30H 2O或2 Fe 3SiC 2 + 30H 2SO 4 ===△3Fe 2(SO 4)3 + 21SO 2↑ + 4CO 2↑ + 2H 2SiO 3↓ +28H 2O （2分）（3）2MnO 4－ + 5SO 2 + 2H 2O = 2Mn 2+ + 5SO 42－ + 4H +（2分）（4）取少量溶液G 于试管中，滴加石蕊试液，若溶液变红，则存在H +；另取少量溶液G 于试管中，滴加KSCN 溶液，若溶液变红，则存在Fe 3+。

（2分）19．（1）bd （2分）（2）氢酯比(x)在2~9之间，随着氢气的增加，反应I 和II 速率都加快，但反应I 速率加快的幅度更大，因此乙醇的选择性增大（2分）（3）65.8（2分）反应I 为放热反应，反应II 为吸热反应，温度升高，反应II 向正反应方向移动，反应I 向逆反应方向移动且程度更大。

浙江省十校联盟高三下学期数学三模试卷【附参考答案】

高三下学期数学一模试卷一、单选题1．已知集，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，，则复数的模等于（）A．B．C．D．3．函数的图像是（）A．B．C．D．4．已知向量满足，，，则（）A．B．C．D．5．记为数列的前n项积，已知，则（）A．8B．9C．10D．116．已知函数在上单调递增，且，则（）A．B．C．D．7．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（）A．54B．81C．135D．1628．若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（）A．65B．70C．75D．80二、多选题9．已知定义域为I的偶函数在上单调递增，且，使.则下列函数中符合上述条件的是（）A．B．C．D．10．已知随机变量从二项分布，则（）A．B．C．D．最大时或50111．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（）A．点在第一象限B．的面积为C．的斜率为D．直线和圆相切12．数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（）A．数列的第项为B．数列的第2023项为C．数列的前项和为D．三、填空题13．展开式中项的系数为.14．已知随机事件A，B，，，，则.15．在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为.16．在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.四、解答题17．某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.参考数据（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.18．如图，在中，D为边BC上一点，，，，.（1）求的大小；（2）求的面积.19．在数列中，，在数列中，.（1）求证数列成等差数列并求；（2）求证：.20．在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F.（1）证明：平面平面；（2）当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.21．设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.（1）求双曲线C的方程；（2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，（i）求的值；（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.22．已知，函数，.（1）求函数的单调区间和极值；（2）设较小的零点为，证明：.1．A2．B3．B4．C5．D6．D7．C8．A9．A,C10．A,D11．B,C,D12．A,C,D13．-4014．15．10416．；17．（1）解：已知，，又，，所以，则，所以回归方程为（2）解：由回归方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长0.5万吨，当时，，即2024年该地区生活垃圾无害化处理量约为7.8万吨.18．（1）解：在中，，又，所以（2）解：在中，，则，因为，所以，在中，，则，，在中，因为，所以，则，故19．（1）证明：由知，故，即，数列成等差数列，所以，所以；（2）证明：由，得，于是所以，，所以20．（1）证明：因为，所以都是等腰三角形，因为于F，所以F为DE的中点，则，，又因为是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：因为，，所以，，，所以，，由（1）知为二面角的平面角所以，以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，易得，，知，因为，，可得，所以设平面的法向量，，所以，令，则，所以，又，设直线与平面所成角为θ，，所以直线与平面所成角的正弦值为.21．（1）解：因为双曲线其中一条渐近线方程为，又点到它的距离为2，所以，又，得，又因为，所以，所以双曲线C的方程为.（2）解：设AB直线方程为，则，代入双曲线方程整理得：，设，则，，（i）而，所以，则，所以；（ii）过M平行于OA的直线方程为，直线OB方程为与联立，得，即，则，所以，由，两式相除得，，则，所以，因为，所以，故P为线段MQ的中点，所以.22．（1）解：因为，，所以，当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，故有极小值，无极大值；（2）证明：因为当时，，所以，所以，又时，；时，，所以有两个零点；法1：下面证明，，设，则，所以在上递增，又时，，所以对成立，所以得证，，令，则，，，∴.设，，则，所以在上递减，所以，所以，所以得证，因为函数区间单调递减，又，，，、、，所以；法2：下面证明当时，，设，，，所以在上递增，所以，所以，再设，，，所以在上递增，所以，所以，综上，当时，，现有，所以，故得，故得，所以.。

浙江省宁波市“十校”高考数学联考试卷(3月份)

浙江省宁波市“十校”高考数学联考试卷（3月份）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 已知复数z =5−i i(i 为虚数单位)，则|z|=( )A. 4B. √26C. 5√2D. 2√10【答案】B 【解析】解：z =5−i i=(5−i)i i 2=−1−5i ，则|z|=√26．故选：B ．先根据复数的四则运算进行化简，然后根据复数的模长公式可求．本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长求解，属于基础题．2. 若实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0,x +y −4≤0,y ≥0,则z =x −2y 的最小值是( )A. −7B. −5C. −2D. 4【答案】B【解析】解：由z =x −2y 得y =12x −12z ，作出实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0,x +y −4≤0,y ≥0,对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线y =12x −12z ，由图象可知当直线y =12x −12z ，过点B 时，直线的截距最大，此时z 最小，{x −y +2=0x +y −4=0，解得B(1,3)．代入目标函数z =x −2y ，得z =1−2×3=−5，∴目标函数z =x −2y 的最小值是−5．故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )(单位：cm 3)A. 2B. 4C. 6D. 12【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体；如图所示：所以：V =13×12×(1+2)×2×2=2．故选：A ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4. 下列命题为真命题的是( )A. 函数y=tanx是增函数B. 函数y=|sinx|的最小正周期是2πC. 函数y=|2x−1|的图象关于直线x=12对称D. 函数y=x−1x+1的图象关于点(−1,−1)对称【答案】C【解析】解：对于A：函数y=tanx在(kπ−π2,kπ+π2)(k∈Z)是增函数，故A错误；对于B：由于函数y=sinx的最小值正周期为2π，故函数y=|sinx|的最小正周期是π，故B错误；对于C：函数y=|2x−1|的图象关于直线x=12对称，故C正确；对于D：函数y=x−1x+1=x+1−2x+1=−2x+1+1的图象关于点(−1,1)对称，故D错误．故选：C．直接利用三角函数的周期，函数的图象的变换，正切函数的单调区间的确定，直线函数的图象的对称的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的周期，函数的图象的变换，正切函数的单调区间的确定，直线函数的图象的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.设m，n为空间中两条不同直线，α，β为两个不同平面，已知m⊂α，α∩β=n，则“m//n”是“m//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：m，n为空间中两条不同直线，α，β为两个不同平面，m⊂α，α∩β=n，m//n，则由线面平行的判定定理知，平面β外直线m平行于平面β内直线n，∴m//β，即充分性成立，m//β，则由线面平行的性质定理得，m//n，即必要性成立，故“m//n”是“m//β”的充分必要条件，故选：C．根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行推理是解决本题的关键．6.已知函数f(x)=cosxlg(√x2+1+x)，则其图象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性，以及利用函数值的符号是否对应是解决本题的关键，是基础题．判断函数的奇偶性，利用排除法进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，设g(x)=2+1+x)，则g(−x)+g(x)=lg(√x2+1−x)+lg(√x2+1+x)=lg(√x2+1−x)(√x2+1+x)=lg1=0，则g(−x)=−g(x)，即g(x)为奇函数，则易得f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，函数右侧第一个零点为π2，当0<x<π2时，f(x)>0，排除B，故选：A．7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，左焦点为F，动点B在C上.当AF⊥BF时，有AF=BF，则C的离心率是()A. √2B. 32C. √3D. 2【答案】D【解析】解：由动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF|=|BF|，可得B 在左支上，令x =−c ，可得c 2a2−y 2b 2=1，解得y =±b √c 2a 2−1=±b 2a ，即有|BF|=b 2a，则a +c =b 2a，即a(a +c)=b 2=c 2−a 2=(c −a)(a +c)，可得a =c −a ，即c =2a ， e =c a=2．故选：D ．首先判断B 在左支上，求得|BF|，由|AF|=|BF|，可得a(a +c)=b 2，再由a ，b ，c 和e 的关系，化简可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8. 现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是( )A. 28B. 24C. 18D. 16【答案】C【解析】解：根据题意，将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则每组球数为1，2，6或1，3，5或2，3，4共3种分法，再将这3组分球放到3个不同的盒子中，则共有3×A 33=18种不同的分配方法，故选：C ．根据题意，先将9个小球分为数目都不相同的三组，再将三组全排列，放入三个盒子里，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9. 已知函数f(x)={x 2+4x,x ≤0,e x −1x ,x >0,则函数g(x)=f[f(x)−5]的零点个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】解：由题意f′(x)={2x+4,x≤0e x+1x2,x>0，∴f(x)在(−∞,−2)上单调递减，(−2,0)和(0,+∞)上单调递增，当x≤0时，x2+4x=0，解得x=0，或x=−4，当x>0时，x→0，f(x)→−∞，f(1)=e−1>0，∴∃x0∈(0,1)使f(x0)=0，故g(x)零点满足f(x)−5=0，−4或x0，∴f(x)=5或1或5+x0，又因5>0，1>0，5+x0>0，f(x)图象大致如下：∴f(x)=5，1，5+x0，各有两个解，∴g(x)=0的零点有6个．故选：D．作出函数f(x)的图象，即可解出．本题考查了函数图象与性质，数形结合思想，学生的运算能力，属于中档题．10.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合.如果F同时满足：①⌀∈F；②若A，B∈F，则A∩(∁U B)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环．下列说法错误的是()A. 若U={1,2，3，4，5，6}，则F={⌀,{1,3，5}，{2,4，6}，U}是U的一个环B. 若U={a,b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素C. 若U=Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3,5}∈FD. 若U=R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0,3]，[2,4]∈F【答案】D【解析】解：根据①⌀∈F；②若A，B∈F，则A∩(∁U B)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环，对于A：F是U的一个环，故A正确；对于B：F={U的所有子集}={⌀，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b，c}}共8个，是环，故B正确；对于C：{2}，{3,5}∈F，整理得{3,5}∪{2}={2,3，5}∈F，所以F={⌀,{2},{3,5}，{2,3，5}}是环，含有4个元素，故C正确；对于D：[0,3]，[2,4]∈F，所以[0,3]∩C R[2,4]=[0,2)∈F，[2,4]∩C R[0,3]=(3，4]∈F，[0,3]∪[2,4]=[0,4]∈F，[0,3]∩C R[0,2)=[2，3]∈F，[0,4]∩C R[2,3]=[0,1)∪(3,4]∈F，另加⌀，F中至少有8个元素，故D错误；故选：D．直接利用信息题的特点，对定义性问题的应用，最后判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：信息题，定义性问题，主要考查学生的理解能力和对实际问题的把控能力，属于中档题．二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知(1−x)2(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a0=______ ，a1+a3+a5+a7=______ ．【答案】1 2【解析】解：∵(1−x)2(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，令x=0，则a0=1．令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+a7=0①，再令x=−1，可得a0−a1+a2−a3…−a7=−4②，①−②并除以2，可得a1+a3+a5+a7=2，故答案为：1；2．令x=0，则a0=1.再分别令x=1，x=−1，可得a1+a3+a5+a7的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.如图是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)的部分图象，则ω=______ ，φ=______ ．【答案】2 2π3【解析】解：由函数f(x)=sin(ωx +φ)的部分图象知，T 2=2π3−π6=π2，解得T =π，所以ω=2πT=2，由f(π6)=0，根据五点法画图知2×π6+φ=π，解得φ=2π3．故答案为：2，2π3．由函数f(x)=sin(ωx +φ)的部分图象，利用五点法画图求出T 、ω和φ的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．13. 已知随机变量ξ的分布列如表：ξ 2 34Pa13−a 23且E(ξ)=72，则实数a = ______ ；若随机变量η=ξ−3，则D(η)= ______ ．【答案】16 712【解析】解：E(ξ)=2a +3×(13−a)+4×23=72，a =16， E(η)=E(ξ)−3=72−3=12，所以D(η)=(−1−12)2×16+(0−12)2×16+(1−12)2×23 =712．故答案为：16；712．利用期望求解a ，然后求解E(η)，D(η)即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．14. 已知A(2,2)，B ，C 是抛物线x 2=2py(p >0)上不同的三个点，直线AB ，AC 为圆x 2+(y −2)2=1的两条切线，则p = ______ ，直线BC 的斜率k = ______ ．【答案】1 −2【解析】解：把点A(2,2)代入抛物线x 2=2py(p >0)，得p =1，则抛物线的方程为x 2=2y ，又直线AB ，AC 是圆x 2+(y −2)2=1的两条切线，设切线方程为y −2=k(x −2)，即kx −y −2k +2=0，∵圆心到切线的距离等于半径，∴有1=√k 2+1，解得k =±√33，则直线AB 的方程为y −2=√33(x −2)，直线AC 的方程为y −2=−√33(x −2)，联立{x 2=2y y −2=√33(x −2)，解得B(2√33−2,83−4√33)，同理可求得C(−2−2√33,83+4√33)，由两点求斜率公式可得，k BC =83+4√33−83+4√33−2−2√33−2√33+2=−2．故答案为：1，−2．利用点A 在抛物线上求出p ，可得抛物线的方程，再利用直线与圆相切求出两条切线的方程，联立方程组求出B ，C 的坐标，则直线BC 的斜率可求．本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及了直线方程的求解、交点的求解，解题的关键是利用圆心到切线的距离等于半径求出切线的斜率，是中档题．15. 若正数a ，b 满足a +b +2=ab ，则3a−1+7b−1的最小值是______ ．【答案】2√7【解析】解：因为正数a，b满足a+b+2=ab，所以a=b+2b−1>0，所以b>1，则3a−1+7b−1=3b+2b−1−1+7b−1=b−1+7b−1≥2√7，当且仅当b−1=7b−1，即b=1+√7时取等号，故则3a−1+7b−1的最小值2√7．故答案为：2√7．由已知得，a=b+2b−1>0，从而可得b>1，然后把a=b+2b−1代入所求式子，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，属于基础题．16.已知e⃗为单位向量，若a⃗，b⃗ ∈{m⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ −2e⃗|=√2|m⃗⃗⃗ −e⃗|}，且(a⃗−e⃗ )⋅(b⃗ −e⃗ )=0，则|a⃗−b⃗ |的取值范围是______ ．【答案】[√3−1,√3+1]【解析】解：∵|m⃗⃗⃗ −2e⃗|=√2|m⃗⃗⃗ −e⃗|，∴m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ⋅e⃗+4=2(m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ⋅e⃗+2)，故m⃗⃗⃗ 2=2e⃗2，而|e⃗|=1，故|m⃗⃗⃗ |=√2，∴|a⃗|=|b⃗ |=√2，∵(a⃗−e⃗ )⋅(b⃗ −e⃗ )=0，∴a⃗⋅b⃗ +1=e⃗(a⃗+b⃗ )，∵|(a⃗+b⃗ )e⃗|≤|a⃗+b⃗ |，∴|a⃗⋅b⃗ +1|≤|a⃗+b⃗ |，∴(a⃗⋅b⃗ )2+2a⃗⋅b⃗ +1≤4+2a⃗⋅b⃗ ，∴−√3≤a⃗⋅b⃗ ≤√3，又|a⃗−b⃗ |=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√4−2a⃗⋅b⃗ ，∴|a⃗−b⃗ |∈[√3−1,√3+1]，故答案为：[√3−1,√3+1]．先根据已知条件求出|a⃗|=|b⃗ |=√2，再求出|a⃗⋅b⃗ +1|≤|a⃗+b⃗ |，得到−√3≤a⃗⋅b⃗ ≤√3，求出|a⃗−b⃗ |的取值范围即可．本题考查了平面向量的数量积问题，向量求模问题，考查转化思想，是中档题．17.已知a>0，b∈R，若|ax3−bx2+ax|≤bx4+(a+2b)x2+b对任意x∈[12,2]都成立，则ba的取值范围是______ ．【答案】[25,+∞)【解析】解：由于a>0，对不等式|ax3−bx2+ax|≤bx4+(a+2b)x2+b，两边除以ax2，可得|x+1x −ba|≤ba(x+1x)2+1，由于原不等式对任意x∈[12,2]都成立，可得(|x+1x −ba|)max≤(ba(x+1x)2+1)min，(1)ba =0时，1≥|x+1x|不恒成立，所以ba≠0；(2)ba <0时，则有x=2或x=12时满足，代入可得254⋅ba+1≥52−ba，29 4⋅ba≥32，即ba≥629，不成立；(3)ba>0时，①ba ≥52时，x=1时满足，代入可得4⋅ba+1≥ba−2，可得ba≥−1；②0<ba ≤2时，有ba(x+1x)2+1≥(x+1x)−ba，即ba≥x+1x(x+1x)2+1=1x+1x+1x+1x，其中2≤x+1x ≤52，所以当x+1x=2时，1x+1x+1x+1x有最大值25，此时ba ≥25，即25≤ba≤2；③2<ba <52时，此时ba(x+1x)2+1>1>|x+1x−ba|恒成立满足．综上可得，ba ∈[25,+∞)．故答案为：[25,+∞)．首先推得|x+1x −ba|≤ba(x+1x)2+1，可得(|x+1x−ba|)max≤(ba(x+1x)2+1)min，分类讨论(1)ba =0，(2)ba<0，(3)ba>0，结合不等式的性质和恒成立思想，以及对勾函数的单调性，解不等式可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2(acosC+ccosA)cosC+b=0．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求sin2A+sin2B的取值范围．【答案】解：(I)因为2(acosC+ccosA)cosC+b=0，又由正弦定理可得acosC+ccosA=b，所以2bcosC+b=0，故cosC=−12，由C为三角形的内角得C=2π3；(II)由(I)知A+B=π3，sin2A+sin2B=1−cos2A+1−cos2B2=1−12(cos2A+cos2B)，=1−12cos2A−12cos(2π3−2A)，=1−12cos2A+14cos2A−12×√32sin2A，=1−12sin(2A+π6)，因为0<A<π3，所以π6<2A+π6<5π6，所以12<sin(2A+π6)≤1，所以1−12sin(2A+π6)∈[12,34)，故sin2A+sin2B的取值范围[12,3 4 ).【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式及辅助角公式在三角形求解中的应用，属于中档题．(I)由已知结合余弦定理进行化简可求cos C，进而可求C；(II)结合(I)及二倍角公式，辅助角共线进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．19.如图，已知△ABC与△BCD所在平面互相垂直，∠BAC=60°，∠BCD=90°，AB=AC，CD=2BC，点P，Q分别在边BD，CD上，沿直线PQ将△PQD翻折，使D与A重合．(Ⅰ)证明：AD⊥PQ；(Ⅱ)求直线AP与平面ABC所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明：取AD中点E，连接PE，EQ，∴AP=PD，AQ=QD，∴PE⊥AD，QE⊥AD，又PE∩QE=E，∴AD⊥平面PQE，而PQ⊂平面PQE，∴AD⊥PQ；(Ⅱ)解：取BC中点O，连接AO，则AO⊥BC，∵△ABC与△BCD所在平面互相垂直，且平面ABC∩平面BCD=BC，AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCD，∵PO⊂平面BCD，∴AO⊥PO，在Rt△BCD中，CD=2BC，设BC=1，则CD=2，得BD=√5，cos∠DBC=√55，设BP=x，则AP=PD=√5−x，在△ABC中，由AB=AC，∠BAC=60°，可知△ABC为等边三角形，得AO=√32，∴PO2=AP2−AO2=(√5−x)2−(√32)2，在△PBO中，由余弦定理可得，PO2=BO2+BP2−2BO⋅BP⋅cos∠DBC，即(√5−x)2−34=14+x2−√55x，解得x=4√59．过P作PN⊥BC，垂足为N，则PN⊥平面ABC，连接AN，则∠PAN为直线AP与平面ABC所成角，在Rt△PNB中，可得PN=4√59×2√55=89，∴sin∠PAN=PNAP =895√59=8√525．即直线AP与平面ABC所成角的正弦值为8√525．【解析】(Ⅰ)取AD中点E，连接PE，EQ，可得PE⊥AD，QE⊥AD，由直线与平面垂直的判定可得AD⊥平面PQE，进一步得到AD⊥PQ；(Ⅱ)取BC中点O，连接AO，可得AO⊥平面BCD，进一步得到AO⊥PO，设BP=x，由已知求解三角形求得x值，过P作PN⊥BC，垂足为N，则PN⊥平面ABC，连接AN，则∠PAN为直线AP与平面ABC所成角，进一步求解直角三角形可得直线AP与平面ABC 所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判定余弦值，考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，a n=1−2S n，数列{b n}为等差数列，其前n项和为T n，b1=1，T10=55．(Ⅰ)求a n，b n；(Ⅱ)证明：对n∈N∗，有a1+b1T12+a2+b2T22+⋯+a n+b nT n2<2．【答案】解：(Ⅰ)由a n=1−2S n，可得n=1时，a1=S1=1−2S1=1−2a1，解得a1=13；当n≥2时，a n−1=1−2S n−1，又a n=1−2S n，两式相减可得a n−a n−1=1−2S n−1+2S n−1=−2a n，即为a n=13a n−1，则数列{a n}是首项和公比均为13的等比数列，可得a n=(13)n；数列{b n}为等差数列，设公差为d，由b1=1，T10=55，可得10+45d=55，解得d=1，则b n=1+n−1=n；(Ⅱ)证明：T n=12n(n+1)，设c n=a n+b nT n2=4(n+13n)n2(n+1)2，因为13n ∈(0,1)，所以c n<4(n+1)n2(n+1)2=4n2(n+1)，令m n =4n 2(n+1)，n =1时，m 1=2，c 1<2成立； n =2时，m 2=13，c 1=43，c 1+c 2<c 1+m 2<2； n ≥3时，m n <42n(n+1)=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，设P n 为{2(1n −1n+1)}的前n 项和，所以P n =2(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=2(1−1n+1)<2，所以{c n }的前n 项和小于2．综上可得，原不等式成立．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式和等比数列的通项公式，可得a n ；再由等差数列的求和公式，解方程可得公差，进而得到b n ；(Ⅱ)由等差数列的求和公式，结合数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21. 如图，过椭圆x 22+y =1的左、右焦点F 1，F 2分别作直线AB ，CD ，交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，设直线AB 的斜率为k(k ≠0)． (Ⅰ)求|AB|(用k 表示)；(Ⅱ)若直线AB ，CD 的斜率之积为−12，求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由椭圆方程可得：a =√2，b =1，则c =1，即F 1(−1,0)，所以直线AB 的方程为：y =k(x +1)，联立方程{y =k(x +1)x 22+y 2=1，消去y 整理可得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，所以y 1+y 2=2k 1+2k 2，y 1y 2=k 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)=−2k1+2k 2，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4(1+k 2)1+2k 2；(Ⅱ) 因为k AB =k ，且k AB ⋅k CD =−12，所以k CD =−12k ，设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，又因为直线CD 过定点(1,0)，直线CD 的方程为：y =−12k (x −1)，联立方程{y =−12k (x −1)x 22+y 2=1，消去y 整理可得：(1+2k 2)x 2−2x +1−4k 2=0，所以x 3+x 4=21+2k 2，x 3x 4=1−4k 21+2k 2，即y 3+y 4=2k 2k(1+2k 2),y 3y 4=−14k 2，所以四边形ABCD 的面积为S =12|AB|(d C +d D )=4k 3+4k 1+2k 2，因为k 为直线的斜率，所以A 不能超过点C ，即k =1−00−(−1)=1，所以k ∈(0,1)，因为S′=8k 4+4k 2+4(1+2k 2)2>0恒成立，所以函数S 在(0,1)上单调递增，当k =0时，S =0；当k =1时，S =83，所以S ∈(1,83)．【解析】(Ⅰ)由椭圆方程求出左焦点的坐标，由此写出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及两点间距离公式求出|AB|；(Ⅱ)由直线AB 的斜率求出直线CD 的斜率，然后写出直线CD 的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理的关系式求出四边形ABCD 的面积关系式，再利用导数性质即可求解．本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到韦达定理以及两点间距离公式的应用，还涉及到导数的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．22. 已知函数f(x)=e x x+lnx −x ，其中e =2.71828…是自然对数的底数．(Ⅰ)若曲线y =f(x)与直线y =a 有交点，求a 的最小值；(Ⅱ)(ⅰ)设φ(x)=x +1x ，问：是否存在最大整数k ，使得对任意正数x 都有f(x)−f(1)≥k2[φ(x)−φ(1))成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； (ⅰ)若曲线y =f(x)与直线y =a 有两个不同的交点A ，B ，求证：|AB|<2√(a −e +2)2−1．【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)， f′(x)=(e x −x)(x−1)x 2，设g(x)=e x −x ，则g′(x)=e x −1，因为x >0，所以e x >1，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=1>0，所以f′(x)=(e x −x)(x−1)x 2>0，可得x >1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，又因为f(1)=e 11+ln1−1=e −1，且曲线y =f(x)与直线y =a 有交点，所以a ≥f(1)=e −1，所以a 的最小值为e −1． (Ⅱ)(ⅰ)设G(x)=f(x)−f(1)−k2[φ(x)−φ(1)]，所以G(1)=0，又G′(x)=f′(x)−k2φ′(x)=(x−1)(2e x −2x−kx−k)2x 2(x >0)，由于G(x)≥G(1)，所以x =1是G(x)的极小值点，所以G′(x)在x =1时由负变正的零点，设ℎ(x)=2e x −2x −kx −k ，则ℎ(1)≥0，所以k ≤e −1，又k ∈Z ，所以k =1，当k =1时，ℎ(x)=2e x −3x −1(x >0)，ℎ′(x)=2e x −3，令ℎ′(x)>0，解得x >ln 32，所以ℎ(x)在(0,ln 32)上单调递减，在(ln 32,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(ln 32)=2−3ln 32>0，故令G′(x)>0，得x >1，所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递增，所以G(x)≥G(1)=0，所以存在k ，且k max =1．(ⅰ)证明：设A ，B 两点坐标为A(x 1,a)，B(x 2,a)，且x 1<1<x 2，设x 3<1<x 4满足：f(x 1)−f(1)=f(x 2)−f(1)=12[φ(x 3)−φ(1)]=12[φ(x 4)−φ(1)]，由①可知，x 3<x 1，x 4<x 2，所以|AB|=|x2−x1|<|x4−x3|，因为x3，x4是方程12(x+1x−2)=a−e+1，即x2+(2e−2a−4)x+1=0，有x3+x4=2a+4−2e，x3x4=1，所以|x3−x4|=√(x3+x4)2−4x3x4=√(2a−2e+4)2−4=2√(a+2−e)2−1，所以|AB|<2√(a+2−e)2−1．【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数，得出单调区间，求出f(x)的最小值，即可得出答案．(Ⅱ)(ⅰ)设G(x)=f(x)−f(1)−k2[φ(x)−φ(1)]，G(1)=0，求导分析单调性，得G′(x)在x=1时由负变正的零点，即可解得k的值．(ⅰ)设A，B两点坐标为A(x1,a)，B(x2,a)，由①可知，x3<x1，x4<x2，即|AB|=|x2−x1|<|x4−x3|，由x3，x4是方程12(x+1x−2)=a−e+1的两个根，即可得出答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

浙江省宁波市高三“十校”3月联考(数学理)

若(&・1)4 = -、2a - b,(a,b ・Z)，则b 的值为在 ABC 中,设D 是BC 边上的一点，且满足CD=2DB ,CD 21A .B .C. 1336.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n值是（）A . 3B . 4C . 5D . 67. 如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD 长为2;侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB = BC =1 ,则异面直线PB 与CD 所成浙江省宁波市2010年高三年级“十校”联考数学试题（理科）说明： 1 •本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共 150分。

考试时间120分钟。

2 •请将各题答案填在试卷后面的答题卷上。

第I 卷（选择题，共50 分）、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中, 目要求的。

只有一项是符合题1. 已知集合 M 二{y|y=x 21,x R}, N={y|y=x1,x R}，则 M“N = A • (0,1)，(1,2) B ・{(0,1),(1,2)} C . {y|y=1 或 y=2}D . {y| y 一1}A . 16B . 17C. 18 D . 20设复数z 满足关系z ，|z|=2 i ，那么z 等于B . -3 i4 JI JIC . -3-i4D .已知函数y =sin 在［ ,］内是减函数，贝U2 2B . —1 •：：： 0 C. ‘ -1A . 0 ：：D .--1二■ AB 」iAC ,则'J的值为（）角的正切值是 ( )的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形 MF 1F 2, 若边MR 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A . 4 2 3B.3-1C.3 12D .、、3 19.将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m 和 n ,则函数2 3彳ymx - nx 13在［1,::）上为增函数的概率是()1235A . 一—C.—D . 一2 34610 .下列四个命题中正确的命题序号是()①向量a,b 共线的充分必要条件是存在实数•使a = ■ b 成立。

浙江省宁波“十校”2022届高三下学期3月联考数学试题

一、单选题二、多选题1.设函数的定义域为,如果存在正实数,使得对任意,都有,则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,).若为上的“型增函数”,则实数的取值范围是A．B．C．D．2. 已知是等比数列的前项和，且，，则（）A ．11B ．13C ．15D ．173. 在四面体中，，则四面体外接球表面积是（）A．B．C．D．4. 已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2，若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为( )A ．3B．C．D ．25.在的展开式中，含的项的系数为（）A ．8B ．28C ．56D ．706. 对于函数，下列结论正确的是（）A．的图象关于原点对称B ．在上最大值为C．D ．在上单调递增7. 已知复数，其中为虚数单位，则（）A．B．C ．1D ．28. 已知函数恰有3个零点，则整数的取值个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49. 在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，，则（）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，四棱锥的外接球的表面积是C ．若直线与平面所成角的正弦值为，则D ．存在唯一的实数对，使得平面10. 设等比数列{a n }的公比为q ，其前和项和为S n ，前n 项积为T n ，且满足条件a 1＞1，a 2020a 2021＞1，（a 2020﹣1）（a 2021﹣1）＜0，则下列选项正确的是（）A ．0＜q ＜1B ．S 2020+1＜S 2021C ．T 2020是数列{T n }中的最大项D ．T 4041＞111. 已知，其中（）且（），则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．浙江省宁波“十校”2022届高三下学期3月联考数学试题浙江省宁波“十校”2022届高三下学期3月联考数学试题三、填空题四、解答题12. 已知圆，直线l ：，则（）A ．存在，使得l 与圆C 相切B ．对任意，l 与圆C 相交C ．存在，使得圆C 截l 所得弦长为1D．对任意，存在一条直线被圆C 截，所得弦长为定值13.已知为等差数列的前项和，若，则______．14. 直线被圆截得的弦长最小值是___________.15. 函数其中常数，且，若，则实数___________.16.如图，直三棱柱中，，D 为上一点．(1)证明：当D为的中点时，平面平面；(2)若，异面直线AB 和所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值．17. 已知函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)若有两个零点，求的取值范围；(3)求证：.18. 已知函数.(1)求函数的单调区间及最值；(2)在锐角中，若，，求锐角的面积.19. 今有9所省级示范学校参加联考，参加人数约5000人，考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.（1）计算联考成绩在137分以上的人数.（2）从所有试卷中任意抽取1份，已知分数不超过123分的概率为0.8.①求分数低于103分的概率.②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同,表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出的分布列，并求出数学期望.参考数据：，，.20. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求的最小值．21. 已知m>0且m≠1，函数.(1)当m=2时，求的极值点；(2)当时，若曲线与直线y=1有且仅有1个交点，求m的取值范围.。

浙江宁波十校2019高三3月联考试题-数学理

浙江宁波十校 2019 高三 3 月联考试题 - 数学理数学〔理科〕说明：1、本试题卷分选择题和非选择题部分 . 总分值 150 分，考试时间 120 分钟 .2 、请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上 .选择题部分〔共50 分〕【一】选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1、 m，此中 m, nR ， i为虚数1 ni1 i单位，那么 m ni〔〕A 、 1 2iB 、 2 iC 、 12iD、 2i2、若是履行右侧的程序框图，那么输出的 S 等于〔〕A 、 2550B 、 2500C 、 2450D、 26523、假定有直线 m 、 n 和平面、，以下四个A 、假定 m// ，n //，那么 m // nB 、假定 m ， n ，m //，n // 那么 //C 、假定， m ，那么 mD 、假定， m， m，那么 m //4、在ABC中，“sin A (2sin Csin A)cosA (2cos C cos A)”是“角 A 、 B 、C 成等差数列”的〔〕 A 、充足非必需条件 B 、充要条件C 、必需非充足条件D 、既不充足也不用要条件5、实数 x 、知足x那么 r 的最小值为〔〕yyx 2 y 4 y2(x 1)2( y 1)2 r 2 ( r 0)A 、 1B 、2C 、4D 、 522336、设 a 、 bR ,ab, x, y(0, ) ，那么a 22(a 2，当且仅当a b 时，上b b)xyx yx y式取等号，利用以上结论，能够获得函数的最小值为〔〕f ( x)2 9 ( x (0, 1))x 1 2x2A 、 169B 、 121C 、 25D 、 167、假定方程x 25x m 0 与x 210 x n 0 的四个根适合摆列后，恰巧构成一个首项 1的等比数列，那么m : n 值为〔〕A 、 1B 、 1C 、 2D 、4428、函数y1的图像与函数 y2sin x( 2x4) 的图像全部交点的横坐标之和等于x 1〔〕A 、 2B 、 3C 、 4D 、 69、设集合S 1,2,3,4,5,6,7,8,9，会合 Aa , a , a ， AS ，a 1 ,a 2 , a 3 满足123a 1 a 2 a 3 且a 3 a 26 ，那么知足条件的会合A 的个数为〔〕A 、 84B 、 83C 、78D 、 7610、在直角坐标平面中，ABC 的两个极点 A 、B 的坐标分别为A 〔－ 1， 0〕，B 〔1，0〕，平面内两点 G 、M 同时知足以下条件：〔1〕 GA GB GC O 〔2〕|MA| |MB | |MC |〔3〕GM / /AB那么ABC 的极点 C 的轨迹方程为〔〕A 、2( y 0) B 、 2 ( y 0)xy 21x y 2 1 33C 、x 2y 2( y 0) D 、x 2y 2( y 0)1133非选择题部分〔共 100 分〕【二】填空题：本大题共 7 小题，每题 4 分，共 28 分。

浙江省宁波“十校”2022届高三下学期3月联考数学试题

一、单选题二、多选题1. 某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2021年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A ．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B ．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C ．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D ．这10天学生在线学习人数在逐日增加2. 已知集合，，则A．B．C．D．3.已知向量，则在上的投影向量是（）A．B．C．D．4. 已知三个实数、、成等比数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．5.等差数列的前项和，若，，则等于（）A．B．C．D．6. 下列函数中，最小值是的是（）A．B．C．D．7. 若复数，则（）A ．3B ．4C ．5D ．78.已知双曲线的一个焦点在直线上，其中一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．9. 已知定义域为R的奇函数，当时，,下列叙述正确的是（）A ．存在实数k ，使关于x 的方程有7个不相等的实数根B ．当时，有C ．当时，的最小值为1，则D ．若关于x 的方程和的所有实数根之和为零，则浙江省宁波“十校”2022届高三下学期3月联考数学试题浙江省宁波“十校”2022届高三下学期3月联考数学试题三、填空题四、解答题10. A ，B ，C ，D 是半径已知的某球体表面上不共面的四点，且AB 恰为该球体的一条直径，现已知AC 和CD 的长，在一般情况下，若再加入一个条件就能使四面体ABCD 的体积有唯一值，则该条件可以是（）A ．CD ⊥ABB ．BD 的长C ．二面角C －AB －D 的大小D ．直线CD 与平面ABC 所成角的大小11. 已知函数是自然对数的底数，则（）A．B．若，则C．的最大值为D ．“”是“”的充分不必要条件12.圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．A ．若，则点的轨迹为圆B ．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分C ．存在唯一的一组点，使得D．的取值范围是13. 展开式中的常数项为__________．14. 已知和是函数的两个极值点，且，则的取值范围是______．15. 数组2.7､3.1､2.5､4.8､2.9､3.6的中位数为___________.16. 已知为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线的方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线，交双曲线于两个不同的点，的中点为，证明：．17. 在中，角的对边长分别为，的面积为，且．(1)求角的大小；(2)若，点在边上，______，求的长．请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用户编号评分用户编号评分用户编号评分用户编号评分1234567891078738192958579846386111213141516171819208886957697788882768921222324252627282930798372749166808374823132333435363738394093787581847781768589用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”．试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（参考数据：）19. 如图,四棱锥中，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数.(1)求时，函数有两个零点，求实数的取值范围；(2)令，函数有两个零点和，且，当变化时，若有最小值(为自然对数的底数)，求常数的值.21. 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主).（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.（2）根据以上数据完成如下列联表主食为蔬菜主食为肉类总计50岁以下50岁及以上总计（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828 (参考公式：，其中)。

2022浙江宁波“十校”高三下学期3月份联考化学试题及答案

宁波“十校”2022届高三3月联考化学参考答案一、选择题（本大题包含25小题，每小题2分，共50分。

每小题只有一个正确答案）二、填空题（本题包含6小题，共50分）26．（4分）（1）两者均可形成氢键，N2H4分子间形成氢键数目更多。

（2分，其他合理答案酌情给分）（2）BN为原子晶体，BCl3为分子晶体，共价键强于分子间作用力（1分）；BN与Si3N4均为原子晶体，硼原子半径小于硅原子，故B—N键键能大于Si—N键（1分）。

27．（4分）（1）1：2（2分）（2）C3H6O4（2分）因N(C)：N(H)=1：2，故X不饱和度为1，由于与钠产生氢气的官能团为羧基或羟基且n(H2)=0.15mol，故X含1个羧基和2个羟基（1分），分子式为C3H6O4（1分）28．（10分）（1）Fe、Cu、C、S （1分）Fe2CuC2S3（2分）（2）H2SO4、CuSO4、Fe2(SO4)3（2分）Fe3+>Cu2+>H +（1分）（3）2Cu(NH3)42++8H ++4I—==I2+2CuI+8NH4+（2分）（4）取少量白色沉淀丁于试管中，滴加盐酸使沉淀溶解，在所得溶液中滴加足量H2O2溶液，充分反应后，将所得溶液分装在两支试管，向其中一支试管中滴加NaOH，若生成蓝色沉淀，说明含有铜元素；向另一支试管中滴加淀粉，若变蓝，则含有碘元素。

（2分，合理均可得分）29．（10分）（1）①CD（2分）②分子筛膜从反应体系中不断分离出CH3OH，有利于反应正向进行（1分）（2）①a （1分）D（1分）②()()21011ααα−+（2分）1:10（2分）（3）CO*+4H*→C O* +2H2或4H*→2H2（1分）30．（10分）（1）2LaCl3+6NH3+3CO2+(x+3)H2O=La2(CO3)3·xH2O↓+6NH4Cl （2分）（2）⑤②⑥③④①（2分，前两个1分）（3）第一次是为了排出装置内的空气，防止空气中CO2干扰实验；第二次是为了将装置中残留的CO2全部排入装置C中被吸收，减小实验误差。

2022年浙江省宁波“十校”高考数学联考试卷(3月份)+答案解析(附后)

2022年浙江省宁波“十校”高考数学联考试卷（3月份）1. 已知，，则( )A. B. C. D.2. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为( )A. B. C. D. 不存在3. 设i为虚数单位，复数z满足，则为( )A. B. 2 C. 3 D. 44. 已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且平面，平面，则是的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 函数且的图象如图所示，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，6. 中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚．现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有( )A. 35B. 50C. 70D. 1007. 将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为( )A. B. 2 C. 3 D. 68. 从装有2个白球和3个黑球的袋中无放回任取2个球，每个球取到的概率相同，规定：取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2个球所得分数和记为随机变量；取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2个球所得分数和记为随机变量则( )A. ，B. ，C. ，D. ，9. 已知点的坐标满足方程，则点P一定在上．( )A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知数列满足，，记表示数列的前n项乘积，则( )A. B. C. D.11. 某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的表面积是______，体积是______12. 已知，则______.已知，则b的取值范围是______.13. 已知的展开式的第3项与第5项的二项式系数相等，则______；此时，展开式中的系数为______.14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，R为的外接圆半径，则______，______.15. 在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，，则______.16. 不等式的解集非空，则实数a的取值范围为______.17. 已知函数满足，且方程有2个实数解，则实数m的取值范围为______.18. 已知求的最小正周期和单调递增区间；已知，，，求在上的值域．19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，点P为直线上的动点，求证：；点P为直线上的动点，求直线与平面PAD所成角正弦值的最大值．20.已知数列满足，且求出，的值，猜想数列的通项公式，并给出证明；设数列的前n项和为，且，求数列的前n项和21. 已知直线l：与抛物线交于A，B两点，点C为抛物线上一点，且的重心为抛物线焦点求m与t的关系式；求面积的取值范围．22. 已知函数，设，证明：；已知，其中为偶函数，为奇函数．若有两个不同的零点，，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，则故选：由已知结合集合的交集运算即可求解．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．3.【答案】B【解析】解：，，，，故选：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且平面，平面，如图，满足，但，相交，故充分性不成立，再如下图：满足，但m，n异面，故必要性不成立，是的不充分不必要条件．故选：利用充分条件和必要条件定义，结合空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】D【解析】解：由图象可得的根为，当时，，且时，，由于比的增加速度快，所以，故选：考虑函数图象中与x轴的交点，当时，，结合指数函数的图象特点，可得结论．本题考查函数解析式中参数的取值范围，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：参加雪上项目和冰上项目人2数分配有：“4人、2人”，“3人、3人”，“2人、4人”，所以不同报名方案有故选：参加雪上项目和冰上项目人数分配有：“4人、2人”，“3人、3人”，“2人、4人”，以此可计算不同报名方案种数．本题考查排列组合应用，考查数学运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，当最小时，函数y的半个周期等于，，，故选：由题意，利用函数的图象变换规律，正切函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正切函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由题意，随机变量，的所有可能取值分别为4，5，6，则，所以，所以随机变量的所有可能取值分别为4，5，6，则，所以，所以所以，故选：求得随机变量，的取值，求得相应的概率，分别计算得到，即可求解．本题考查离散型随机变量的分布列及其期望、方差及其应用，考查了运学生的运算与求解能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由方程，得，，令，则为单调增函数，且为奇函数，由，得，则，即，点的坐标满足方程，则点P一定在抛物线上．故选：把已知方程变形，可得，令，则为单调增函数，且为奇函数，原方程化为，结合的单调性与奇偶性可得，则答案可求．本题考查曲线与方程，把原方程变形是关键，属难题．10.【答案】C【解析】解：，，下面用数学归纳法证明，当时，，符合，假设时，结论成立，即，当时，，由题意成立，，，，，结论成立，故对任意的均成立．记函数，，，，，时，取等号，在单调递增，，即，，，数列为单调递增数列，，记，，则取等号，在上单调递增，，，，，，累加得，，，即，，，记，，则，在上单调递减，，，，，，，，，综上，故选：先用数学归纳法证明，构造函数，，利用导数证明，记，，证明，得到，用累加法得到，从而求出，记，，证明出，得到，求出，由此能求出结果．本题考查数列的前9项积的取值范围的求法，考查数学归纳法、累加法、放缩法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于难题．11.【答案】【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体如图所示：所以；故答案为：；首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.【答案】4或【解析】解：，或，若，则；若，则，故或由，可得，求得，故答案为：4或；由题意，利用对数函数的性质，解对数不等式，求得a的值以及b的范围．本题主要考查对数函数的性质，对数不等式的解法，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由已知可得，则，所以二项式的展开式中含的项为，则的系数为，故答案为：6；由二项式系数的性质求出n的值，再求出二项式的展开式中含的项，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，由正弦定理得，，由余弦定理得，，由A为三角形内角，得，由正弦定理得故答案为：，由已知结合余弦定理及正弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．15.【答案】8【解析】解：，，因为H为垂心，所以，设，，外接圆的半径为r，由余弦定理得，同理，所以所以，故答案为：根据H为垂心，得到，设，，外接圆的半径为r，再分别利用余弦定理得到，，然后由求解．本题考查了平面向量的数量积的性质及运算，余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，，，故答案为：利用绝对值不等式的性质，即可解出．本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．17.【答案】【解析】解：当，时，方程为，为椭圆在第一象限部分，当，时，方程为，为双曲线在第四象限的部分，当，时，方程为，为双曲线在第二象限的部分，双曲线的渐近线方程为，当，时，方程为，不成立，如图所示，方程可变形为，有2个实数解，等价于与有两个交点，又与双曲线的渐近线平行，要有两个交点需，由，消去y得，当直线与第一象的椭圆相切时，可得，故有两个交点时实数m的取值范围为故答案为：分情况讨论画出函数的图象，有2个实数解，等价于与有两个交点，数形结合可得实数m的取值范围．本题考查函数的零点与方程根的关系，以及直线与圆锥曲线的位置关系，属难题．18.【答案】解：，故，令，得，故函数的单调递增区间为，；，由得，所以，故函数的值域为【解析】先利用和差角公式，二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及单调性即可求解；结合向量数量积的坐标表示求出，然后结合正弦函数的性质可求．本题考查了和差角公式，辅助角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．19.【答案】解：如图所示，由菱形的性质可知，，由线面垂直的定义可知，且，故平面，结合线面垂直的定义可知如图所示，以点A为坐标原点，点M为CD的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，由，可得，设平面APD的法向量为，则，据此可得，且，从而，由于，故，结合对勾函数的性质和反比例函数的性质可知函数，单调递减，故时，函数取得最大值直线与平面PAD所成角正弦值的最大值为【解析】由题意首先证得线面垂直，然后证明线线垂直即可；建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量得到正弦值的表达式，然后根据函数的单调性可得其最值．本题考查线线垂直的证明，直线与平面所成角的求法，属中档题．20.【答案】解：，，猜想下用数学归纳法证明：证明：当时，，成立；假设当时，成立，当时，，所以当时成立；由，得，对任意，成立．由可知，所以，则，所以【解析】根据递推式求得，，猜想，然后用数学归纳法证明；求得，然后利用裂项相消法求和．本题考查了数学归纳法，裂项相消求和，属于中档题．21.【答案】解：设，，，由，得，，，所以，因为的重心为抛物线的焦点，所以，解得，又因点C为抛物线上一点，所以，即，所求m与t的关系式为且；由得，，结合判别式得，因为l不经过点否则A、B、C三点共线，不能构成三角形，所以，所以实数t的取值范围为，点C到l的距离，所以，设，则，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，上单调递减，，所以所以面积的取值范围为【解析】设，，，联立方程，利用韦达定理可得，，再根据的重心为抛物线的焦点，可得，求得，代入抛物线方程，即可得解；结合利用弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式求得点C到l的距离，再利用导数求得范围即可．本题考查了直线与抛物线的综合，属于难题．22.【答案】证明：欲证，只需证，即证，设，即证，①设，则，所以单调递增，所以，所以式成立，所以根据已知，得到联立解得由得不等式成立，因为为偶函数，所以对任意成立．，即，所以，由知所以构造，则存在零点，，且同理可证所以【解析】欲证，只需证，令，利用导数得出，即可证明；由奇偶性得出，由得不等式成立，从而得出，构造函数，由证明即可．本题主要考查利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．。

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