集合的含义
1.集合的含义及基本关系
1. 集合的含义及基本关系（1）集合的概念：把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.一、单选题1．给出下列四个关系式：(1)√3∈R ；（2）Z ∈Q ；（3）0∈ϕ；（4）ϕ⊆{0}，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）．A ．一切很大的数B ．无限接近零的数C ．聪明的人D ．方程x 2=2的实数根3．集合{x ∈N|x −3<2}用列举法表示是A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4}4．设集合M ={x|x ≥4},a =√11，则下列关系中正确的是（ ）A ．a ∈MB ．a ∉MC ．{a}∈MD ．{a}∉M5．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a∈AD ．a ＝A7．方程x 2–1=0的解集可表示为A ．{x =1或x =–1}B ．{x 2–1=0}C ．1，–1D ．{1，–1}8．下列元素与集合的关系表示正确的是( )①1-∈N *∉Z ；③32∈Q；④π∈Q A ．①② B ．②③C ．①③D ．③④ 9．已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知单元素集合A ={x|x 2−(a +2)x +1=0}，则a =A ．0B ．−4C．−4或1D．−4或011．下列所给关系正确的个数是（）①π∈R Q；③0∈*N；④|−4|∉*N．A．1B．2C．3D．4 12．设集合S={x|(x−2)(x−3)≥0},T={x|x>0}，则S∩T=A．[2,3] B．（−∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）13．设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则∁A B=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10} 14．已知集合M={0,1}，则下列关系式中，正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M15．已知集合A={0,1},B={−1,0,a+3}，若A⊆B，则a的值为A．−2B．−1C．0D．116．集合A={1,2,3}，则集合A的子集个数是（）A．6B．7C．8D．917．已知集合A={0,1,2}，B={1,m}.若B⊆A，则实数m的值是（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2二、填空题18．用符号“∈”或“∉”填空：（1）若集合P由小于√11的实数构成，则2√3_____P;（2）若集合Q由可表示为n2+1(n∈N∗)的实数构成，则5____ Q.19．已知集合A={−1,3,m}，B={3,5}，若B⊆A，则实数m的值为__________.20．满足条件{2,3}⊆A ⊂≠{1,2,3,4}的集合A有__________个．21．集合A={0,1}，写出A的所有子集__________．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
集合的概念
集合A
集合中的元素有什么特征?
问题1：我班所有的“帅哥”能否构成一个集合?由此说明什么?
集合中元素必须是确定的(即确定性),也就是说,给定
一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
问题2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？
集合中的元素是互不相同的(即互异性)，也就是说，
集合中的元素是不重复出现的.
2.初中的集合实例
数集：①自然数的集合;
②方程x2+5x＋6=0的实数根集合;
③不等式x-7<3的解的集合.
点集：①平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆).
②到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合(即这条
线段的垂直平分线).
那么，在高中阶段我们又是怎样定义“集合”的呢？
一、探究新知
看下面的例子：
问题3：我班所有同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有
变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的(即无序性)，也就是说，
集合中的任何两个元素都可以交换位置.
二、集合的有关概念
知识点二
集合的特性
2.集合中元素的特性： 确定性、互异性、无序性.
如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两
个集合是相等的.
{ 1 ，2 ，3 }
先用花括号
(表示整体）
用“，”隔开
①要把集合中的元素都列举出来，写在{ }内
注意
②元素之间用，隔开
③元素不重复且无顺序
例1 用列举法表示下列集合
（1）小于10的所有自然数的集合；
（2）方程x 2 = x的所有实数根组成的集合.
那同学们思考一下x-7＜3的解集还能用列举法表示吗？
集合含义及表示
集合的含义及其表示【知识要点】1、集合一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体所构成的就是一个集合。
2、元素集合中的每一个对象称为该集合的元素。
3、元素与集合的关系元素与集合有属于和不属于两种关系4、特定集合的表示非负整数集（或自然数集）——记作N正整数集——记作，或整数集——记作Z有理数集——记作Q实数集——记作R5、集合的分类按集合中元素的个数分为有限集和无限集。
有限集是指含有有限个元素的集合；无限集是指含有无限个元素的集合。
我们把不含任何元素的集合称为空集。
记作。
6、集合的表示方法列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
Venn图示法（文氏图法）：用封闭曲线（内部区域）表示集合及其关系的图形【方法与应用】1、集合的概念是一种描述性说明，用‘{}’表示，表示所有的、全部的，具有共同特征的研究对象都在花括号内，集合中的元素必须是确定的。
【J】例1、下列各组对象：1、接近于0的数的全体 2、比较小的正整数全体 3、平面上到点O的距离等于1的点的全体 4、正三角形的全体 5、的近似值的全体，其中能构成集合的组数是（ A ）A,2 B. 3 C. 4 D.5【L】例2、中国的直辖市是否是一个集合。
（）【C】例3、下列各种对象，可以构成集合的是（）A、某班身高超过1米8的女学生B、某班比较聪明的学生C、某书中的难题D、使||最小的x的值2、元素是指在集合中的每一个具体的对象。
（强行记忆）判定一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征。
【J】例1、下列各组中，（A D ）是集合{b，o，k}中的元素，（BC ）不是集合{b,o,k}的元素。
A、oB、cC、uD、 k【L】例2、已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，那么这个集合中有（）个元素【C】例3、由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合，最多含有元素（）个A、2B、3C、4D、53、当元素a属于集合A时，记作aA，读作a属于集合A；当元素a不属于集合A，记作aA，读作a不属于集合A.。
(完整版)集合知识点点总结
集合概念一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有A⊆（或B⊇Ａ）包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；注意：B（2）A与B是同一集合。
集合的含义与表示知识点
集合的含义与表示一集合与元素1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……；集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
2.集合中元素的属性（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”.4.集合相等如果构成两个集合的元素个数及元素相同，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关.二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A （“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）2.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
名词解释：集合
名词解释：集合
集合在数学中是一个基本概念，它是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。
构成集合的这些对象称为该集合的元素。
例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。
通常用大写字母如A,B,S,T,...表
示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。
若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。
若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S。
此外，根据集合中元素的数目，可以将集合分为有限集和无限集。
当集合中元素的数目是有限的时候，称为有限集；当集合中元素的数目是无限的时候，称为无限集。
此外，还有一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集，记为∅。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学专业书籍或咨询数学专业人士。
集合的概念
第一节集合的概念及其表示1、集合的概念（1）集合：把一些具有共同特征的对象集在一起构成集合.（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a AÏ要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分F，{}F，}0{，0等符号的含义根据集合的不同类型，可以把集合分为：数集、点集、集合集等4、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.，（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+应用示例：用符号∈或Ï填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 变式训练：1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是__________________。
(完整版)《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 2．集合中元素的三个特性：确定性 互异性 无序性3．集合的表示：{}⋅⋅⋅如：{}我校的篮球队员，{}太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。
列举法：{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{|32}x x ->语言描述法：例：{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 *N N +或 整数集Z 有理数集Q 实数集R4．集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 例：2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集 注意：A B ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。
反之，集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ⊆ (或B ⊇/A) ③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
结论：有n 个元素的集合，含有2n 个子集，12n -个真子集（2）交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ （3）容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数。
集合的含义-高中数学知识点讲解
集合的含义1．集合的含义【知识点的认识】1、集合的含义：集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．【典型例题分析】题型一：判断能否构成集合典例 1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于 5 的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式 2x+1＞7 的整数解．分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．解答：（1）小于 5 的自然数为 0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．（3）由 2x+1＞7 得x＞3，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础．1/ 3典例 2：下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D 四个选项进行一一判断．解答：A、M＝{（3，2）}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N 表示数集，故不是同一集合，故A 错误；B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N 表示直线x+y＝1 的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B 错误；C、M＝{（4，5）} 集合M 的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合N 的元素是点（5，4），故C 错误；D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合M，N 表示同一集合，故D 正确；故选D．点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．题型二：集合表示的含义典例 3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A 为数集，B 为数集，C 为点集．解答：A 是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B 是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C 为点集，是由抛物线y＝x2+1 上的点构成．点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成．【解题方法点拨】研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么．2/ 32．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0 时，求 2x +8的最小值，有 2x +푥8푥≥ 2 2푥⋅8푥= 8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为 2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x 在（0，+∞）的值域解：f′（x）=1푥― 1=1―푥푥∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主3/ 3。
集合的含义和表示
集合的含义和表示知识点一：集合的含义集合的概念：一般地，我们将研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫为集合（简称集）。
元素用小写字母a,b,c表示，集合用大写字母A,B,C表示。
集合中元素的性质：确定性：即那些元素是属于这个集合的，那些元素不属于这个集合是明确的。
比如高山就不构成集合，胖人也不构成集合。
互异性：集合中的元素互不相同。
无序性：元素之间是没有顺序的，如：{0,1}={1,0}元素与集合的关系：“属于”和“不属于”（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A（“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）集合的分类：1、有限集：含有有限个元素的集合。
2、无限集：含有无限个元素的集合。
3、空集：不含任何元素的集合。
记作Φ，如：例：1，①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( )A．2组B．3组C．4组D．5组2对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．3集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______知识点二：常用数集的记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+。
例： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ．②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ．知识点三：集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
集合的概念
；
我们三个作为一个小组." "不！贝茜卡目前是军医,广大的伤病员特别需要她.不过伊戈尔会和你一起行动."说着,李小克拎来一个小木箱摆在师部桌案上. "来,你凑过来.把你背着的步枪拿下来,我给你添加新的零件." 李小克接过那把SVT30,他有打开木箱,一个全新的机关安装在步枪背带 卡扣正前方. "那个专门制作的两脚架,我给你演示一下,那两只脚可以折叠伸缩." 那个时代并没有专门的狙击枪,士兵的莫辛纳甘和SVT都拥有狙击枪的能力,却因为理念原因,还不能作为真正意义上的狙击枪.为了更加像模像样,李小克绘制了图纸,铁匠村很快就完成了两脚架的设计. 娜塔 莎对那个爱不释手,有了那个自己就不用费劲的托着枪.她的臂力已经练的很好,然而狙击手要求的就是长时间的等待,一刻不敢怠慢.胳膊举着枪时间长了会很酸痛,有了如同机枪一般的两脚架就不同了,何况那机关还能折叠. "那是我亲自设计的,专门给予你和贝茜卡的礼物.你们两个都是我 关注的女孩,尤其是你.你是天生的狙击手,所以你必须要更优秀的武器才配得上你的实力.现在你的实力进一步提升了." 娜塔莎意味着那是什么,她热泪盈眶的深鞠一躬. "你别哭！不用太激动.若是感谢我,你就好好杀敌,到时候不仅仅是我的赏识.苏力英雄称号,金星勋章全都有了！" 来自 军功的巨大刺激直击那丫头的小小心灵,娜塔莎背着枪敬了军礼离开. 望着她的背影,李小克自言自语."娜塔莎,你的未来真的要成个英雄,你是我的柳德米拉！" 兵马未动粮草先行,耶莲京娜也是大力支持那项行动.她考虑问题的角度比较特别,"那些德国人在到处杀人,也应该让让他们感觉 到随时都有可能死亡的恐惧." 她责令军需官提供那次行动足够的给养,食物和被褥之外,就是大量的子弹. 每一个狙击小组由三个人组成
1.集合的含义表示
2判断下列集合有何区别: (1) { 1 , 2 , 3 } (2) { 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3} 3判断下列集合有何区别: (1) { 1 , 2 , 3 } (2) { 3 , 2 , 1}
确定性 互异性 无序性
集合的表示法: 二.集合的表示法 集合的表示法 1.列举法 列举法: 列举法 原则(1)元素不能重复写 原则 元素不能重复写 (2)元素顺序可以颠倒写 元素顺序可以颠倒写 (3)元素必须写在花括号内 元素必须写在花括号内 练习2:请用列举法表示下列集合 练习 请用列举法表示下列集合 （1）由book中的字母构成的集合 ） 中的字母构成的集合 （2）20的正约数组成的集合 ） 的正约数组成的集合 （3） ）
有限集(finite set) 有限集
3、集合的分类: 、集合的分类
无限集(infinite set) 无限集
空集(empty set) 空集
4、集合的简单应用 、 ①写方程、不等式的解集 写方程、 ②满足一定条件的数的取值范围 满足一定条件的数的取值范围 ③数轴上或平面上的点集
补充例题 例1 若 x ∈ R ，则 { x − 2 x ,3, x }中的元素 应满足什么条件？ 应满足什么条件？
作业： 作业： 1 用列举法表示下列集合
(1 ){ x | x 是 12 的约数， x ∈ N } 的约数， {( （ 2） x , y ) | x ∈ {1 , 2 }, y ∈ {1 , 2 }} ( 3 ){( x , y ) | x + y = 2 , x − 2 y = 0 } ( 4 ){ x | x = ( − 1 ) n } ( 5 ){( x , y ) | 3 x + 2 y = 16 , x ∈ N , y ∈ N }
集合的含义
集合的含义巩明志一、集合的含义一般地，我们把研究的对象统称为元素。
把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
集合含义中的关键词是元素，即研究的对象。
给定的集合，它的元素一定是确定的。
元素与集合之间的关系只有属于或不属于两种情况。
二、应用举例1、判断下面的例子能否构成集合，若能，指出它的元素；若不能，说明理由。
（1）我们班所用的同学；（2）我们班同学的身高；（3）我们班身材较好的同学；（4）我们班个子较高的同学。
解析：根据集合中元素的确定性可以判断（1）（2）都可以构成集合，元素分别是同学、同学的身高；（3）（4）都不能构成集合，因为判断元素的标准不清。
身材较好或不好、个子高与不高都是相对而言的，没有确定的标准。
通过此题要学会判断元素是否能构成集合的标准是元素是否是确定的，若是，则可够成集合；否则，则不能。
2、指出下列集合中的元素（1）}43|{2-+==x x y x A （2）}43|{2-+==x x y y B（3）}43|),({2-+==x x y y x C解析：根据集合的描述法表示要求可知，A 中的元素是x ，它是二次函数432-+=x x y 自变量的所有取值，故R x ∈.即R A =.B 中的元素是y, 它是二次函数432-+=x x y 函数值的所有取值，因为425)23(4322-+=-+=x x x y ，所以425-≥y .即}425|{-≥=y y B C 中的元素是点),(y x ，它是二次函数432-+=x x y 上的所有的点.通过此题的学习要能够指出集合中的元素。
研究集合问题首先要搞清楚集合中的元素，也就是所要研究的对象。
集合的概念
渴望着能有人，随便什么人，能走上来抱住他们。 ? 不管围观者是带着骄傲、鲁莽还是耻辱来看这场游街，都没有人走上前打断它，目前还没有。 ? 有时，一个男人或女人﹣﹣不，他们不是男人和女人，他们只是犹太人﹣﹣会在人群中看到莉赛尔的脸。他们会回避她的目光。偷书贼只能无助地望
着他们走远。她只能希望他们能够读懂她脸上深藏的怜悯，并且能意识到这是真切的悲伤，不会消失的无影无踪。 ? 前进的队伍里，有个人的年纪比其他人都大。 ? 他留着胡子，衣衫褴褛。 ? 他的眼睛里流露出极度的痛苦。虽然他的身体轻飘飘的，但他的双腿还是承担不了这一点点重量。 ? 有
绝望，难以相信会有人帮助自己；在他们看来，送面包是件毫无意义的事情，不值得冒险去做，因此他们对汉斯﹣休伯曼的善举感到不可思议。 9．（3分）汉斯这样做虽然无法改变老人的命运，但至少可以用小小的善举温暖老人的心灵，让老人带着最严死去。 10．（3分）示例：小说增加了大量
对犹太囚犯的描写．写出了他们麻木、绝望和极度悲苦的心境，让读者深深感受到纳粹暴行带给犹太人身心的伤害。 11．（5分）
一 集合
集合 子集、全集、补集 含绝对值的不等式解法
1.1 集合
定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
例：“太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋”组成一
个集合。 集合表示方法： 大括号表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 大写拉丁字母表示：A={太平洋，大西洋，
印度洋，北冰洋}
常用的数集及其记法
集合的表示方法：
列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法。
例：由方程x2-1=0的所有的解组成的集合，可以
表示为 {-1，1}
注：集合的元素有2个。 含有有限个元素的集合叫做有限集。
例：由所有大于0且小于10的奇数组成的集合，可
集合的概念及特征
A．{2,3}B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2,3)
7.集合 的列举法表示应该是()
A．{－3，－1,1,3}B．{1,3}C．{－1,1,3}D．{－1,1}
二.填空题
8.集合A= 中只有一个元素，则 的值是______
9.已知P= ，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是_____
（1）若 ，求出 中其它所有元素；（2）0是不是集合 中的元素？请你设计一个实数 ，再求出 中的所有元素？
课后小结
组长签字
（2）互异性：集合中的元素没有重复；
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）.
5.集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合；
如： ， ， …
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法，格式：{x∈A|P（x）}含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合；
三.解答题
13.设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
14.用适当的方法表示下列集合：
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
A． B．
C． D．
相关联系
1、以下六个关系式： ， ， , , ， 是空集中，错误的个数是
20、定义集合运算： .设 , ,则集合 的所有元素之和为
例1.下列语句能确定是一个集合的是（要简述理由）
集合的含义
不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合．( )
(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题能组成集合．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
答案：(1)√(2)×(3)×
2．下列各项中，不能组成集合的是( )
A．所有的正数B．所有的老人
C．不等于0的数D．我国古代四大发明
解析：“老人”无明确的标准，对于某个人是否“老”无法客观地判断，因此“所有的老人”不能构成集合，故选B.
答案：B
3．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A
解析：很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
答案：C
4．下列三个命题：①集合N中最小的数是1；②－a∉N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3。
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1、重要数集：
(1) N（Natural number）: 自然数集(含0) 即非负整数集 (2) N＋(N*): 正整数集(不含0) (3) Z（Zahlen）：整数集 (4) Q（Quotient number）：有理数集 (5) R（Real number）：实数集
4.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就 说a属于集合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素， 就说a不属于集合A，记作 aA.
练
习
1. 用符号“∈”或“ ”填空 (1) 3.14 Q (3) 0 N+ (5) 2 3 Q (2) (4) (-2)0 N+ (6) 2 3
D． 1 M且 3 M
2．已知集合 2 A={x ax +4x+4=0,x∈R,a∈R} 只有一个元素，求a的值和这个元 素．．
2. 定 义
一般地,把某些确定 的不同的 对象的全体称为集合. 集合中每个对象叫做这个 集合的元素.
观察下列对象:
（1） 天有全体高一学生
（2）此时此刻，全国所有身 高1米6以上的人
（3）满足x－3＞2 的实数；
（4）我国所有个高的人；
3.集合的表示:
集合常用大写字母表示,
元素则常用小写字母表示.
集合的含义与表示
天有中学 徐之财
格奥尔格·康托尔（Cantor， Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6） 德国数学家，集合论的创始人。 生于俄国列宁格勒（今俄罗斯 圣彼得堡）卒于德国萨克森的 哈雷的精神病院。
n x Q, m, n Z , 使得x , 且(m, n) 1 m
练
Байду номын сангаас
习
2 2 2、若方程x －5x+6=0和方程x －x
－2=0的解为元素的集合为M,则M 中元素的个数为（ C ） A． 1 B．2 C． 3 D．4
课堂小结 1．数集及有关符号； 2．集合的定义; 3．集合的表示； 4.集合与元素的关系; 5．集合元素的性质：确定性， 互异性，无序性；
课堂练习 1.若M={1，3}，则下列表示方法 正确的是（ C ） A． 3 M C． 1 M B．1 M
Q
R
5．集合元素的性质：
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?