概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案

X ～ S/ n
2 (n 1) 2 ) ， S ～ 2 (n 1) ， 2 n
t (n 1) ．
Y ～ 2 (15) ， (4) 设总体 X ～ 2 (10) ， 且 X 与 Y 相互独立， 则 E ( X Y ) 25 ， D ( X Y ) 50 ．

5

e 5 y ．
2
2
7．设总体 X ～ N (0,1) ， X 1 ， X 2 ，…， X 5 为总体的一个样本．确定常数 c ，使
Y c( X 1 X 2 )
2 X 32 X 4 X 52
～ t (3) ．
解：因为 X i ～ N (0,1) ， i 1,2, ,5 ，所以
0 .3 2 ) ，由题意有 n
3
P ( X 0.1) P (
X 0 .3 / n

0 .1 n ) 2 ( ) 1 0.95 ， 3 0 .3 / n
即应有 (
n ) 0.975 ，查正态分布表知 (1.96) 0.975 ， 3
所以取
n 1.96 ，即 n 34.5744 ，取 n 35 ． 3
5ห้องสมุดไป่ตู้
50.8 到 53.8 之间的概率．
2 6 .3 2 解：因为 X ～ N (52,6.3 ) ，即 52 ， 6.3 ，因为 n 36 ， 1.05 2 ， n 36
2 2 2
所以 X ～ N (52,1.05 2 ) ．由此可得
P (50.8 X 53.8) ( 53.8 52 50.8 52 ) ( ) 1.05 1.05
E ( X 1 2 X 2 ) 0 ， D ( X 1 2 X 2 ) 20 ，
所以 X 1 2 X 2 ～ N (0,20) ．同理 3 X 3 4 X 4 ～ N (0,100) ．而
( X1 2 X 2 )2 (3 X 1 4 X 2 ) 2 ～ 2 (1) ， ～ 2 (1) ， 20 100
10．设总体 X ～ N ( ,16) ， X 1 ， X 2 ，…， X 10 为总体的一个样本， S 2 为样本方 差，已知 P ( S 2 ) 0.1 ，求 的值． 解：由抽样分布定理知
(n 1) S 2

2
～ 2 (n 1) ，
因为 n 10 ，故有
9S 2 ～ 2 (9) ，得 42 9 S 2 9 P(S ) P( ) 0 .1 ， 16 16
(4) X 1 2 ； (8)
X ． 2
(5) max{ X 1 , X 2 , X 3 } ；(6) X 1 X 2 2 ；(7) 解：(1)(3)(4)(5)(6)(7)是，(2)(8)不是． 2．求下列各组样本值的平均值和样本差．

i 1
X i2
2
；
(1) 18，20，19，22，20，21，19，19，20，21； (2) 54，67，68，78，70，66，67，70． 解：(1) x
又因为
2 (n 1) S n

2

1

2
(X
i 1
n
i
X ) ～ 2 (n 1) ，
4
从而有
X n 1 X n 1 1 n 2 (n 1) S n
n X n 1 X ～ t (n 1) ， n 1 Sn
2 n 1
即
T
n X n 1 X n ～ t (n 1) ． n 1 Sn
X 1 X 2 ～ N (0,2) ， 1 2 X 52 ～ 2 (3) ， ( X 1 X 2 ) ～ N (0,1) ， X 32 X 4 2 X1 X 2
2 X X4 X 52 2 3
因为
X1 X 2 6 2 2 2 2 2 X3 X4 X5 3 c
概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案
1．已知总体 X ～ N ( , 2 ) ，其中 2 已知，而 未知，设 X 1 ， X 2 ， X 3 是取 自总体 X 的样本．试问下面哪些是统计量？ (1) X 1 X 2 X 3 ； (2) X 1 3 ；
2 (3) X 2 2； 3
求证： T
n X n 1 X n ～ t (n 1) ． n 1 Sn 1 2 ) ， X n 1 X n ～ N (0, (1 ) 2 ) ，标准化得 n n X n 1 X n ～ N (0,1) ． 1 1 n
证：由题可知 X n ～ N ( ,
2 解：(1) 由题可知 X X i2 ～ 2 (10) ，查 2 分布表有 0 .10 (10) 15.99 ， i 1 10
可得 0.10 ，即
P ( X i2 15.99) 0.10 ．
i 1 10
(2) X 1 ， X 2 ，…， X 10 相互独立，则联合概率密度函数为
(1.7143) (1.1429) 0.8302 ．
6．设总体 X ～ N (0,1) ， X 1 ， X 2 ，…， X 10 为总体的一个样本，求： (1) P ( X i2 15.99) ；
i 1 10
(2) 写出 X 1 ， X 2 ，…， X 10 的联合概率密度函数； (3) 写出 X 的概率密度．
f ( x1 , x2 , , x10 )
i 1 10 10 1 1 1 exp{ xi2 } exp{ xi2 } ． 5 2 32 2 i 1
(3) Y X ～ N (0,0.1) ，所以有
f ( y) 1 2 0.1 e
( y 0) 2 20.1
1 10 1 xi (18 20 19 22 20 21 19 19 20 21) 19.9 ； 10 i 1 10 1 10 ( xi x ) 2 1.43 ． 9 i 1
s2
(2) x
1 8 1 xi (54 67 68 78 70 66 67 70) 67.5 ； 8 i 1 10
～ t (3) ，
所以有
3 ． 2
8．设 X 1 ， X 2 ， X 3 ， X 4 是来自正态总体 N (0,4) 的样本．已知
Y a ( X 1 2 X 2 ) 2 b(3 X 3 4 X 4 ) 2
为服从自由度为 2 的 2 分布，求 a ， b 的值． 解：由题可知 X i ～ N (0,4) ， i 1,2,3,4 ，故有
4．设随机变量 X 与 Y 都服从标准正态分布，则( C
1
)
A． X Y 服从正态分布 C． X 2 与 Y 2 均服从 2 分布
B． X 2 Y 2 服从 2 分布 D．
X2 服从 F 分布 Y2
5．在总体 X ～ N (52,6.32 ) 中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本平均值 X 落在
1 8 s ( xi x ) 2 292.018 ． 7 i 1
2
3．(1) 设总体 X ～ N (0,1) ，则 X 2 ～ (2) 设随机变量 F ～ F (n1 , n2 ) ，则
2 (1)
1 ～ F
．
F (n2 , n1 )
．
(3) 设总体 X ～ N ( , 2 ) ，则 X ～ N ( ,
故有 比较可知
( X 1 2 X 2 ) 2 (3 X 3 4 X 4 ) 2 ～ 2 ( 2) ， 20 100 a 1 1 ，b ． 20 100
9．设总体 X ～ N ( ,0.32 ) ， X 1 ， X 2 ，…， X n 为总体的一个样本， X 是样本均 值，问样本容量 n 至少应取多大，才能使 P ( X 0.1) 0.95 ． 解：易知 X ～ N ( ,
2
2 查 2 分布表得 0 .1 (9) 14.684 ，即
9 14.684 ，解得 26.105 ． 16
11．设( X 1 ， X 2 ，…， X n 1 )为来自总体 X ～ N ( , 2 ) 的一个样本，记
Xn 1 n 1 n 2 X S ( X i X )2 ， i ， n n i 1 n 1 i 1