数值分析综述-《数值分析与算法》徐士良
数值分析方法
数值分析方法数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
数值分析方法的核心在于将连续的数学问题转化为离散的计算问题，通过数值计算来逼近解析解，从而得到问题的近似解。
本文将介绍数值分析方法的基本原理、常用技术和应用领域。
数值分析方法的基本原理是利用数值计算来逼近解析解。
在实际问题中，很多数学模型很难或者无法得到精确的解析解，这时就需要借助数值分析方法来求解。
数值分析方法的基本步骤包括建立数学模型、离散化、选择适当的数值计算方法、计算近似解并进行误差分析。
其中，离散化是数值分析方法的核心，它将连续的数学问题转化为离散的计算问题，从而使得问题可以通过计算机进行求解。
常用的数值分析方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
数值积分是一种通过数值计算来逼近定积分的方法，常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
常微分方程数值解和偏微分方程数值解是解决微分方程数值解的常用方法，常用的数值解方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
在科学计算中，数值分析方法常用于模拟物理现象、计算数学模型等。
在工程设计中，数值分析方法常用于求解结构力学、流体力学等问题。
在经济分析中，数值分析方法常用于求解经济模型、金融衍生品定价等问题。
总之，数值分析方法已经成为现代科学技术和工程技术中不可或缺的一部分。
综上所述，数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它的基本原理是利用数值计算来逼近解析解，常用的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解数值分析方法的基本原理和应用价值。
数值分析综述报告
淮阴工学院《数值分析》考试──基于Matlab的方法综合应用报告班级：金融1121 姓名：婷婷学号： 1124104129成绩：数理学院2014年6月7日《数值分析》课程综述报告前言：数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。
数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程，它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。
正文：第一章 近似计算与误差分析1、产生误差的原因：①模型误差；②观测误差；③截断误差；④舍入误差。
2、四则运算的误差： ①加减法运算()()()****x y x y δδδ±=+②乘法运算()()()***************xy x y xy xy xy x y x y y y x x x y x y y x δδδ-=-+-≤-+-⇒=+③ 除法运算：()()()()()**********************2**x x xy x y y y yy xy x y x y x yyy x x yy y x yy x y y x x y y δδδ--=-+-=-+-=+⎛⎫⇒≈⎪⎝⎭3、科学表示法、有效数字、近似值的精度 任何一个实数都可以表示成如下的形式：其中：是正整数，是整数，如果是数的近似值并且则称该近似值具有位有效数字（significant digit ）。
此时，该近似值的相对误差为另一方面，若已知()()*1111021nr x a δ-≤+那么，()()***1112110.10211102r m n n m n x x x x a a a a δ----≤⨯=+≤即：*x 至少有n 位有效数字。
例： 3.141592653589793...π= 取其近似值如下： x*=3.14 x *=3.14159 x*=3.1415 x*=3.141**213100.314110.0016...0.005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**516100.314159110.0000026...0.000005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**314100.31415110.000092...0.0001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯**213100.3141110.00059...0.001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯第二章 线性方程组在科学计算中，问题的本身就是求解线性方程组，许多问题的求解需要最后也归结为线性方程组的求解，所以线性方程组的求解是科学计算中最常见的问题。
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
数值分析课程介绍
1 课程基本情况
• 课程名称：数值分析、计算方法 • 课程性质：校级学位课、54学时、考试课 • 适用专业：全校理工类各专业 • 开课学院：计算机学院 • 授课教师：张卫国
课程介绍
2 数值分析课程的内涵
数值分析是研究用计算机求解工程与实践中遇到的各种数 学问题的数值计算方法和理论。它既具有纯数学的抽象性 和严密性，又具有应用的广泛性与实验的技巧性。 数值分析的内涵可概括为“研究理论可靠、计算复杂性好、 能在计算机上实现的求解数学模型的方法”。其中，理论 可靠是指算法的稳定性（高）和收敛性（速度快），复杂 性好是指算法的时间和空间效率好，机器实现是指算法的 有限性及可操作性。
计算思维 三种科学方法
理论方法、实验方法、计算方法
科学思维
逻辑思维（公理、规则、结论）→推理，如数学 实证思维（重现、自洽、预见）→实验，如物理学
计算思维（能行、构造、模拟）→使自动，如计算机科学
计算思维
运用计算机科学的基础概念、问题求解、系统设计以及人类行 为理解等涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动。（周以真）
[5]方法的进一步研讨.如加速算法、预测—校正技术等。
7 数学思维与计算思维
数学思维 严格套定义
如集合、向量空间等
思想方法：
综合（从已知条件出发，进行推导） 分析（从问题着手，看为解决问题，需要那些东西）
问题转化：
构造（构造一个函数、方程、辅助线、新定义来解决或证 明问题） 映射（将问题映射为一个模型或其它东西。如七桥问题））
数值方法已成为求解数学问题不可或缺的途径和手段。
课程介绍
3 数值分析研究的主要内容及数学模型
f ( xi ) p ( xi ) i 0,1, , n 函数插值 数值逼近 函数逼近与曲线拟合 min f ( x) ( x) p b n 数值积分与数值微分 f ( x)dx Ai f ( xi ) i 0 a 一元方程求根 f ( x) 0 矩阵计算与方程求根 线性方程组求解 Ax b 特征值与特征向量 Ax x dy 常微分方程数值解 dx f ( x, y ) y ( x0 ) y程讲解数值计算的基本理论与方法，涉及到工程与实践 中最常用到的7-8个数学问题（模型），各模型相对独立， 但过程大体相同，即
数值分析算法
数值分析算法
数值分析算法，也称数值计算算法，是一类应用于数值计算的方法，通常被用来求解数学建模和工程问题中的最优化问题，可精确解决复杂的常微分方程、动态系统以及许多其他科学和工程问题。
数值分析算法采用近似来解决有限元素，有限差分，动力学和蒙特卡洛方法等方法问题。
此外，数值分析算法通常用于解决函数最值、优化、拟合、积分以及其他数学建模问题。
它可以模拟实际环境中的自然现象，也可以用于解决工业制造中的问题，例如流体力学、热传导、电磁波传播等。
基于数值分析算法的应用可以分为三个类别：一类是基于网格的算法，包括有限元素法和有限差分法；第二类是基于函数拟合方法，比如多项式拟合、样条拟合等；第三类是基于概率方法，比如蒙特卡洛方法。
现在，数值分析算法的应用在不断拓展，许多新的技术和算法正在被研究，以更大范围应用于复杂的数学建模和工程问题。
比如，目前许多工业公司都采用数值分析算法解决实际问题，并且把它应用到设计、制造、模拟等各领域来解决实际应用问题。
另外，数值分析算法可以用于计算精确结果，可以大大减少人工计算的时间。
此外，数值分析算法还可以克服微分方程不适合求解解析解的问题，从而更好地解决复杂数学建模问题，使计算结果更加精确，为科学研究提供可靠的依据。
总的来说，数值分析算法是一类具有重要意义的算法，在工程领
域中越来越受到重视，可以为工程应用提供精确的数值计算结果，而这些结果可以用于设计和优化工程系统，提高企业的效益和工程技术水平。
以上就是基于数值分析算法的介绍，它在许多工程和科学研究领域具有重要意义，为人类提供了一种更有效的解决复杂数学建模问题的方法，可以更准确更快速地解决复杂的计算问题，使工程实践更加顺利。
几种常用数值积分方法的比较
. -学科分类号110.3420本科毕业论文题目几种常用数值积分方法的比拟姓名晓祥学号00院〔系〕数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级 2021 级指导教师雍进军职称讲师二〇一四年五月师学院本科毕业论文〔设计〕诚信声明本人重声明：所呈交的本科毕业论文〔设计〕，是本人在指导教师的指导下，独立进展研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要奉献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承当。
本科毕业论文作者签名：年月日师学院本科毕业论文(设计)任务书师学院本科毕业论文〔设计〕开题报告书开题报告会纪要贵州师学院数学与计算机科学学院指导教师指导本科毕业论文情况登记表师学院数学与计算机科学学院本科毕业论文〔设计〕穿插评阅表学院〔盖章〕：师学院本科毕业论文辩论记录表. -目录摘要 (1)Abstract (2)1 前言 (3)2 数值积分方法的根本思想 (4)3 几类常用数值积分方法的简单分析 (5)3.1 Newton—Cotes求积公式 (5)3.2 复化求积公式 (6)3．3 Romberg求积公式 (7)3．4 高斯型求积公式 (9)4 几类数值积分方法的简单比拟评述 (9)5 利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比拟 (10)完毕语............................................................................................................................. 错误!未定义书签。
致 . (15)附录 (16). -摘要我们在求函数的积分时，往往因为原函数非常复杂以至于难以求出或用初等函数表示，这让我们计算起来非常困难，所以我们只能想方法求它的近似值，因此直接借助牛顿--莱布尼兹公式计算定积分的情况是非常少见的。
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
数值分析综述-《数值分析与算法》徐士良
第2章矩阵与线性代数方程组一般的线性代数方程组，A非奇异可根据Cramer法则求解方程唯一解但是它的计算量很大。
高斯消元法的算法时间复杂度是O(n3)，可以解一系列的线性方程；所占数据空间符合原地工作的原则。
但是算法对数值计算不稳定（当分母为0或很小时）。
可以用在计算机中来解决数千条等式及未知数。
不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。
解决高斯法中的不稳定性，在每次归一化前增加选主元（列选主元、全选主元）过程。
但是列选主元法仍不稳定，不适求解大规模线性代数方程组。
全选主元的高斯消去法，则在复杂度降低的同时能够避免舍入误差，保证数值稳定性。
高斯-约当消去法算法产生出来的矩阵是一个简化行梯阵式，而不是高斯消元法中的行梯阵式。
相比起高斯消元法，此算法的效率比较低，却可把方程组的解用矩阵一次过表示出来。
线性代数方程组的迭代解法简单迭代法：迭代格式发散但迭代值序列不一定发散，但收敛格式收敛，迭代值序列收敛于方程组的准确解与选取迭代初值无关。
雅可比迭代法: 计算公式简单，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。
但是收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。
高斯-赛德尔迭代法：较上面的迭代复杂，但是矩阵的条件相对宽松。
松弛法：需要根据经验去调整，收敛速度依赖松弛参数的选择，收敛条件的要求更宽松。
共轭梯度法：是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。
其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。
第3章矩阵特征值乘幂法计算绝对值最大的特征值：其收敛速度受限于最大与次大特征值比值绝对值的大小，实际应用中采用加速技术。
数值分析与算法
数值分析与算法数值分析与算法是数学领域中的一个重要分支，它涉及到计算机科学、物理学、化学、统计学、工程学等多个学科。
其基本概念是利用离散化的方法将连续的问题处理为离散的问题，然后运用有效的算法对其进行求解。
数值分析包括数值逼近、数值微积分、数值代数等多个方面，它们都在不同的领域中有广泛的应用。
其中，数值逼近是将连续函数的近似值计算为有限数值的方法，多项式逼近是其中的一种常用方法。
数值微积分则利用数值方法来解决各种微积分问题，包括函数积分、微分方程方程求解等。
而数值代数则涉及到线性方程组的数值解法，矩阵求逆等问题。
算法是数值分析的重要组成部分，它们是用来解决各种数值问题的计算流程。
常见的算法包括二分法、拉格朗日插值、高斯-塞德尔迭代等。
二分法主要用于数值函数求根问题，拉格朗日插值则是将一系列数据点拟合为多项式函数的方法，高斯-塞德尔迭代则是求解线性方程组中最广泛的迭代算法之一。
数值分析和算法都是计算科学中的核心课程，其在实际世界中有广泛的应用。
例如，物理学家借助微积分、数值逼近和计算机模拟，在研究自然现象时可以获得更准确的结果。
在工程学中，基于数值分析与算法，可以优化设计流程，减少试验成本和时间。
在密文学习和人工智能等领域，也需要借助它们快速处理海量数据和进行模型训练和测试。
在数值分析和算法中，最为重要的是正确性和效率。
正确性是指算法的计算结果和实际值越接近越好，而效率是指算法所需的时间和空间资源越少越好。
在实际使用时，需要根据具体问题选择合适的算法，平衡正确性和效率的要求。
总之，数值分析和算法在科学计算、工业设计、数据分析等许多领域中都发挥着重要的作用。
掌握数值分析与算法的基本理论和技巧对于从事相关领域的研究和工作非常重要，也可以帮助我们更好地理解现实世界中的各种问题，并找到更有效的解决方法。
除了上述提到的数值逼近、数值微积分、数值代数等基本概念和算法，数值分析和算法还有许多其他的分支和应用。
这里将介绍一些比较热门的话题。
030232002-计算方法教学大纲-刘军
《计算方法》课程教学大纲课程代码：030232002课程英文名称：Numerical Calculation Methods课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0适用专业：测控技术与仪器大纲编写（修订）时间：2011.5一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《计算方法》是为测控技术与仪器专业学生开设的一门培养具有科学计算能力的必修课。
主要讲授数值计算中所涉及的计算误差理论、各种数值计算方法、以及数值算法设计基础等基本知识。
在科学技术理论方法和实验方法之后，科学计算已成为科学研究的第三种方法。
学习和掌握常用的计算机数值方法已成为现代科学教育的重要内容。
通过本课程的学习，使学生了解和掌握这门课程所涉及的各种常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，为今后利用计算机去有效解决实际问题打下理论和技术基础。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1、基本知识：掌握高等数学、线性代数、计算机基础、程序设计方法等基础知识；2、基本能力：掌握计算方法中的计算误差理论、常用数值计算方法和基本原理、数值算法的设计方法，数值算法的程序设计以及上述理论和方法在实际计算问题中的应用。
学习本课程要求学生受过较严格的数学及计算机基础知识训练，要有一定的理论联系实际和分析问题解决问题的能力，熟练使用计算机。
3、基本技能：掌握计算机基础知识和操作技能、数值计算程序设计方法、数值算法设计等基本技能。
（三）实施说明（1）教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和算法设计思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；增加讨论课，调动学生学习的主观能动性；注意培养学生提高利用标准、规范及手册等技术资料的能力。
讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。
（2）教学手段：本课程属于专业必修课，在教学中采用课堂讲授、讨论、多媒体和实际问题分析解决相结合的多种教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。
数值分析与数值计算的基本算法
数值分析与数值计算的基本算法数值分析和数值计算是现代科学和工程领域中的重要分支，涵盖了各种具体问题的数值求解方法和近似计算方法。
在本文中，我们将介绍数值分析与数值计算的基本算法，包括线性方程组的解法、插值和逼近、数值积分和数值微分等内容。
一、线性方程组的解法线性方程组是数值分析中常见的问题之一，其解法有很多种。
其中，高斯消元法是最常用的一种方法，它通过行变换将方程组化为上三角形式，然后通过回代求解得到解。
另外，雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代是迭代法中常用的解法，它们通过不断迭代逼近解的过程来求解线性方程组。
二、插值和逼近在实际问题中，往往需要根据已知数据点来估计未知数据点的值。
插值和逼近就是用已知数据点的函数值来构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上的取值与给定的函数值或数据值尽可能接近。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值，它们通过构造插值多项式来实现。
而逼近方法则通过在限定误差范围内拟合已知数据点，常见的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
三、数值积分数值积分是计算给定函数在给定区间上的积分值的方法，常用于无法通过解析方法求解的复杂积分。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和高斯积分法等。
这些方法通过将积分区间离散化为若干小区间，并在每个小区间上进行近似计算，最后将结果相加得到数值积分的近似值。
四、数值微分数值微分是计算给定函数在给定点上的导数值的方法，常用于无法通过解析方法求解的复杂微分。
常见的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分等。
这些方法通过计算函数在给定点附近的斜率或差值来近似计算导数的值。
总结：数值分析与数值计算的基本算法包括线性方程组的解法、插值和逼近、数值积分和数值微分等。
这些算法在科学和工程领域中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种实际问题。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题选择合适的算法，并注意算法的收敛性、稳定性和精度，以确保得到准确可靠的计算结果。
考试参考书目-昆明理工大学研究生院
李涛导师：
《C语言程序设计教程》谭浩强等编高等教育出版社
《C++编程思想》Bruce Eckel(美)刘宗田等译机械工业出版社
《计算机辅助设计技术》孙家广主编清华大学出版社
胡斌导师：
《机械振动系统－分析、测试、建模、对策》师汉民华中科技大学出版社
《机械故障诊断学》屈梁生、何正嘉编著上海科学技术出版社
薛传东导师：
《环境水文地质》林丰年，高教出版社
旅游地质与地质遗迹：
《旅游地质学》杨世瑜，吴志亮编著南开大学出版社
《环境地质学》吴志亮编著重庆大学出版社
赵俊三导师：
《地理信息系统原理及应用》刘贵明著武汉大学出版社2008年5月版
《地理信息系统导论》陈述彭鲁学军周成虎科学出版社
《当代地理信息技术》(科学版研究生教学丛书)龚键雅等编著科学出版社2004年及以后版
工业工程：
《运筹学》运筹学教材编写组清华大学出版社
《数据库系统概论》（第四版）王珊、萨师煊编著
《生产计划与控制》李怀祖中国科学技术出版社
005电力工程学院
束洪春导师：
《自动控制原理》吴忠强、刘志新等国防工业出版社
《电力系统分析》何仰赞等华中理工大学出版社
《电力系统继电保护原理》贺家李、董新洲水利水电出版社
《土地信息系统》:曲卫东著中国人民大学出版社2009
刘耀林著中国农业出版社2003
《土地管理学》朱道林主编中国农业大学出版社2007
《地理信息系统设计与开发》陈正江等著科学出版社2005
甘淑导师:
《地质学基础》叶俊林等编地质出版社
《地理信息系统—原理、方法和应用》邬伦等主编科学出版社
《遥感应用分析原理与方法》赵英时科学出版社
数值分析总结范文
数值分析总结范文数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它运用数学模型和计算机技术对实际问题进行数值计算和数值仿真。
数值分析在科学研究、工程设计和生产制造等领域中具有重要的应用价值。
本文将对数值分析的基本概念、方法和应用进行总结，并讨论其在实际问题中的重要性。
数值分析的基本概念包括离散化、数值逼近和数值解等。
离散化是将连续问题转化为离散问题，即将问题的自变量和函数值的取值范围划分为一系列离散的点，通过计算这些点上的数值来获得连续问题的近似解。
数值逼近是利用已知数据和适当的数学模型来构造近似函数，从而求出函数的近似值。
数值解是通过数值计算方法获得的问题的近似解，它往往是一个有限精度的数值。
数值分析的方法主要包括数值插值、数值积分、数值微分、求解线性方程组和求解非线性方程等。
数值插值是通过已知离散数据来构造一个连续函数的近似值，常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
数值积分是用数值方法计算函数的积分值，常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
数值微分是通过数值方法计算函数的导数值，常用的数值微分方法包括中心差分法和前向差分法等。
求解线性方程组是通过数值方法找到线性方程组的解，常用的求解方法有高斯消元法和LU分解法等。
求解非线性方程是通过数值方法找到非线性方程的近似解，常用的求解方法有二分法和牛顿法等。
数值分析在实际问题中具有广泛的应用。
在科学研究中，数值分析可以帮助科学家解决数学模型求解的问题，从而推动科学的发展。
例如，在物理学中，数值分析可以用来解决质点运动、电磁场分布和流体力学等问题。
在工程设计中，数值分析可以帮助工程师设计和优化产品的结构和性能。
例如，在航空工程中，数值分析可以用来模拟飞机的空气动力学性能，从而指导机翼和机身的设计。
在生产制造中，数值分析可以帮助生产者提高产品的质量和效率。
例如，在汽车制造中，数值分析可以用来模拟车辆的碰撞和疲劳性能，从而提高车辆的安全性和耐久性。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结一、绪论数值分析是一门研究如何使用数值方法解决数学问题的学科。
它广泛应用于科学、工程、医学等领域。
在数值分析中，我们通常将实际问题转化为数学模型，然后使用计算机进行计算。
数值分析的主要内容包括：误差分析、插值与拟合、线性方程组求解、微分方程求解等。
二、误差分析误差分析是数值分析中的一个重要概念。
它包括绝对误差、相对误差和误差限等概念。
在计算过程中，误差会传递和累积，因此需要进行误差分析以评估计算结果的精度。
常用的误差分析方法有：泰勒级数展开、中点公式等。
三、插值与拟合插值与拟合是数值分析中的两个重要概念。
插值方法用于通过一组已知数据点生成一个函数，该函数能够近似地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法则是通过一组已知数据点生成一个最佳拟合线或曲面，使得这个线或曲面与已知数据点之间的误差尽可能小。
常用的插值与拟合方法有：线性插值、多项式插值、样条插值、最小二乘法等。
四、线性方程组求解线性方程组是数值分析中经常遇到的一类方程组。
对于线性方程组，我们通常使用迭代法或直接法进行求解。
迭代法包括：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、松弛法等。
直接法包括：高斯消元法、逆矩阵法等。
在实际应用中，我们通常会选择适合问题的计算方法，并根据需要进行优化。
五、微分方程求解微分方程是描述变量之间的函数关系的一类方程。
在数值分析中，我们通常使用数值方法对方程进行离散化处理，然后使用计算机进行求解。
常用的微分方程求解方法有：欧拉方法、龙格-库塔方法等。
对于复杂的微分方程，我们还可以使用谱方法、有限元方法等进行求解。
六、总结数值分析是一门应用广泛的学科，它涉及到许多数学知识和计算机技术。
在实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的数值方法进行解决。
在进行计算时，需要注意误差分析、算法的稳定性和收敛性等问题。
随着计算机技术的发展，数值分析的应用领域也在不断扩大，例如、大数据分析等领域。
因此，数值分析的学习和应用具有重要意义。
主讲教师徐红敏
方程组的直接法
❖ 熟悉求解线性方程组的有关理论和方法； ❖ 会编制列主元、LU分解法的程序； ❖ 通过实际计算，进一步了解各种方法的优
缺点，选择合适的数值方法。
方程组的直接法
用列主元高斯消去法解方程
0.101x1 2.304x2 3.555x3 1.183 1.347 x1 3.712x2 4.623x3 2.137 2.835x1 1.072x2 5.643x3 3.035
n 20,19,,2,1
注意：
1
1
1 x20dx
1
x20
1
dx
1 x20dx
1
126 6 0
0 x5
50
105
取：
11 1
y20
20
( 105
) 126
0.008
730
插值法
❖ 熟悉拉格朗日插值多项式和牛顿多项式， 注意其不同特点；
❖ 了解三次样条插值解决一些实际问题
插值法
Larange插值法
❖ 通过上机计算，了解舍入误差所引起的数 值不稳定性。
舍入误差与数值稳定性
对 n =1，2，…，20计算定积分
1 xn
yn
0
x
dx 5
算法一：利用递推公式
yn
1 n
5 yn1
n 1,2,,20
11
y0
0
dx ln 6 ln 5 0.182 x5
322
算法二：利用递推公式
11 yn1 5n 5 yn ,
S(4) 0.785 398; S(8) 0.785 398;
若用复化梯形公式计算，则当 n =512时有此计算 结果。
数值积分
数值分析方法与算法
数值分析方法与算法在现代科学和工程领域中，数值分析方法与算法扮演着至关重要的角色。
它们为解决复杂的数学问题提供了有效的工具，特别是在无法找到解析解的情况下。
数值分析的核心在于使用计算机算法来近似计算数学问题的解，这些算法通常基于离散化、迭代或优化技术。
基础概念数值分析的基础概念包括误差分析、收敛性理论以及稳定性。
误差分析帮助我们理解近似解的准确度，而收敛性理论则确保随着计算步骤的增加，我们的近似解越来越接近真实解。
稳定性分析保证了算法在面对数据小的变动时仍能保持合理的输出结果。
主要方法迭代法迭代法是一种通过重复应用一个简单算法来逐步逼近解的方法。
例如，牛顿法就是一种著名的迭代算法，用于寻找函数的根。
迭代法的关键在于选择一个良好的初始估计值，并确定合适的停止准则。
差分法差分法是将微分方程转化为差分方程，进而求解的一种方法。
这通常涉及到将连续变量离散化，从而简化计算过程。
常见的差分方法包括前向差分、后向差分和中心差分。
有限元法有限元法是一种强大的数值技术，特别适用于解决边界值问题和偏微分方程。
它通过将复杂区域划分为简单的元素，并在每个元素上求解局部问题，然后将所有局部解组合起来得到整体解。
最小二乘法最小二乘法是一种优化技术，用于拟合数据点到某个数学模型，使得残差的平方和最小。
这种方法广泛应用于数据拟合、参数估计等领域。
应用领域数值分析方法与算法的应用领域极为广泛，包括但不限于工程学、物理学、经济学、生物学等。
在工程设计中，数值模拟可以帮助预测结构的行为；在物理学研究中，数值方法可以用于模拟复杂的物理现象；在经济学中，数值模型用于预测市场趋势；在生物学领域，数值技术用于模拟生态系统的动态变化。
结论数值分析方法与算法是现代科学研究不可或缺的工具。
通过精确的数学建模和高效的算法实现，我们能够解决一系列复杂的实际问题。
随着计算能力的不断提升和算法的不断优化，数值分析将继续在各个领域发挥其重要作用。
数值分析参考文献
数值分析参考文献
参考文献
◆《数值计算方法》合肥工业大学数学与信息科学系编合肥工业大学出版社
◆《计算方法》邓建中等编，西安交大出版社，1985。
◆《数值计算和C程序集》蒋长锦编著，中国科学技术大学出版社，1998。
◆《计算方法引论》徐萃薇编，高等教育出版社，1999。
◆黄友谦，程诗杰，陈浙鹏，《数值试验》，北京：高等教育出版社，1989
◆蔡大用，《数值分析与实验学习指导》，北京：清华大学出版社与施普林格出版社，2001 ◆肖筱南，《值计算方法与上机实习指导》，北京：北京大学出版社，2004
◆ A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri,《Numerical Mathematics》, New York：Springer-Verlag, 2000。
数值分析与算法优化
数值分析与算法优化在现代科技快速发展的背景下，数值分析和算法优化已经成为科研和工程领域中不可或缺的一部分。
它们为解决复杂问题提供了高效、精确的计算方法，是计算机科学、工程学、物理学等多个学科交叉融合的产物。
本文档旨在探讨数值分析的基本概念、常用算法及其优化技巧，以期帮助读者更好地理解和应用这些技术。
数值分析基础数值分析是研究如何使用数值方法解决数学问题的学科，它涉及近似值的计算、误差分析以及算法的稳定性等。
在实际应用中，由于许多问题无法找到解析解，或者解析解过于复杂难以计算，因此需要借助数值分析来寻找近似解。
误差与稳定性数值分析中的误差分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数字的精度限制造成的，而截断误差则是由于用有限过程代替无限过程（如级数求和）而产生的。
一个算法的稳定性指的是其对输入数据的微小变化不敏感，即不会产生大的输出变化。
常用数值算法数值算法是实现数值分析的具体方法，包括但不限于插值法、数值积分、数值微分、线性方程组求解、特征值问题等。
插值与拟合插值是在已知数据点之间构建一个函数，使其通过所有给定的点；拟合则是找到一个函数，使得该函数在某种意义上最接近给定的数据点，但不一定经过所有这些点。
多项式插值和最小二乘法拟合是两种常用的方法。
数值积分与微分数值积分是通过离散点上的函数值来估计定积分的值，常见的方法有梯形法则、辛普森法则等。
数值微分则是利用函数在某些点的值来估计其导数，通常采用差分法。
算法优化技巧算法优化是指在保证计算结果正确性的前提下，提高算法的效率，减少计算时间和空间消耗。
时间复杂度与空间复杂度评估算法效率的两个重要指标是时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度关注算法执行所需时间的增长率，空间复杂度则关注算法所需内存空间的增长率。
并行计算与向量化利用多核处理器或GPU进行并行计算可以显著提高计算效率。
此外，向量化操作能够一次性处理大量数据，也是提升算法性能的有效手段。
结论数值分析与算法优化是现代科学研究和工程技术中的重要组成部分。
数值分析算法
数值分析算法数值分析算法是研究和应用有限差分、集合论、数值积分和概率等数学方法，以将极度复杂的计算过程转换为可实施的计算步骤，以解决复杂的数学问题的算法。
数值分析算法是现代计算机内部工作的一个重要方面，在计算机程序设计中被广泛应用。
数值分析算法包括有限差分、集合论、数值积分和概率等数学方法。
有限差分法是一种有效的数值分析工具，它的主要思想是利用有限次的有限差分来估计求解特定方程组的数值解。
利用有限差分，可以以较低的计算量从本质上求解非线性方程组，从而得到高精度的计算结果。
集合论可以解决复杂的数学问题，是一种研究一组对象是否具有一定关系的数学方法。
通过集合论，可以分析出数据中具有协调性的数据，提取其中有用的信息，对数据进行有效的求解。
数值积分法则是指通过使用不同的数值积分方法来解决复杂的数学问题，它可以有效地计算正则积分和反馈积分，求解积分方程和微分方程，并能够解决复杂的函数的极值问题。
概率是指一条等概率的抽样曲线，它是用来表示一个随机事件发生的可能性的数字，通过概率算法，可以分析出数据中存在的不确定性。
数值分析算法在计算机程序设计中有着广泛的应用。
在现代计算机系统中，数值分析算法可以有效地缩减计算机硬件的运行时间，提高计算机系统的性能，减少无用的运算，以及避免重复运算。
对于复杂的数学问题，数值分析算法可以帮助计算机程序设计者准确地分析和解决问题，从而提高计算机系统的处理能力。
在工程和科学应用中，数值分析算法也被广泛应用。
它可以用来计算精确的工程数据，以便于精确地建模和模拟工程设计。
数值分析算法可以用来解决复杂的数学和物理问题，如高级变分方程、矩阵方程和波动方程等。
在天文学和地球物理学方面，研究者利用数值分析来模拟宇宙的运动、研究星系的形成和变化、研究地球物理过程的变化等。
数值分析算法是现代计算机内部工作的一个重要方面，对于解决复杂的数学问题有着重要的作用。
这些算法为计算机程序设计提供了有效的求解方法，能够准确、高效地求解复杂的数学问题，为科学和工程的研究提供了重要的参考依据。
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第2章矩阵与线性代数方程组
一般的线性代数方程组，A非奇异可根据Cramer法则求解方程唯一解但是它的计算量很大。
高斯消元法的算法时间复杂度是O(n3)，可以解一系列的线性方程；所占数据空间符合原地工作的原则。
但是算法对数值计算不稳定（当分母为0或很小时）。
可以用在计算机中来解决数千条等式及未知数。
不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。
解决高斯法中的不稳定性，在每次归一化前增加选主元（列选主元、全选主元）过程。
但是列选主元法仍不稳定，不适求解大规模线性代数方程组。
全选主元的高斯消去法，则在复杂度降低的同时能够避免舍入误差，保证数值稳定性。
高斯-约当消去法算法产生出来的矩阵是一个简化行梯阵式，而不是高斯消元法中的行梯阵式。
相比起高斯消元法，此算法的效率比较低，却可把方程组的解用矩阵一次过表示出来。
线性代数方程组的迭代解法
简单迭代法：迭代格式发散但迭代值序列不一定发散，但收敛格式收敛，迭代值序列收敛于方程组的准确解与选取迭代初值无关。
雅可比迭代法: 计算公式简单，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。
但是收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。
高斯-赛德尔迭代法：较上面的迭代复杂，但是矩阵的条件相对宽松。
松弛法：需要根据经验去调整，收敛速度依赖松弛参数的选择，收敛条件的要求更宽松。
共轭梯度法：是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。
其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。
第3章矩阵特征值
乘幂法计算绝对值最大的特征值：其收敛速度受限于最大与次大特征值比值绝对值的大小，实际应用中采用加速技术。
求对称特征值的雅克比方法96：每进行一次选装变换钱都需要在飞对角线的元素中选取绝对值最大的元素，很费时间，雅克比过关法对此做了改进。
QR方法求一般实矩阵的全部特征值98下100下：重复多次进行QR分解费时，计算工作量很大。
一般先进行相似变换然后进行QR分解。
但是这样仍然收敛速度慢，一般是线性收敛。
实际应用中使用双重步QR变换将带原点的QR算法中相邻两步合并一步，加速收敛避免复数运算。
第4章非线性方程与方程组
二分法：每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
优点是简单，但是不能计算复根和重根。
简单迭代法：直接的方法从原方程中隐含的求出x，从而确定迭代函数 (x)，这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多。
埃特金迭代法113中：对简单迭代进行改进，使在其不满足收敛条件下迭代过程也收敛，在其收敛时加快收敛速度，减少迭代次数降低时间复杂度。
牛顿迭代法：其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，收敛速度快。
而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
缺点：初值的选择会影响收敛结果。
牛顿下山法：保证函数值稳定下降，且有牛顿法的收敛速度。
第5章代数插值法
Lagrange插值
Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题。
★基本思想将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出杆值多项式。
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。
这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。
此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。
这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
优点：简单，缺点：产生一堆数，不保证稳定性
Newton插值
Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。
易于使用编程实现。
★基本思想将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件（1）确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。
Aitken插值法
实际中常需要精度（139下）要求来选取插值结点，埃特金逐步插值解决了此问题。
优点在于可根据精度的要去逐步提高插值的阶，在插值过程中只需要逐步将两个地阶的插值结果进行线性组合即可，计算比较方便。
Hermite插值
Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:给定n+1个互异的节点x0,x1,……,xn上的函数值和导数值
不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。
样条插值
样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。
由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
它的基本思想（151）：在由两相邻结点所构成的每一个小区间内用低次多项式来逼近，并且在各结点的连接处是光滑的（连续可导）。
第6章函数逼近与拟合
采用最佳一致逼近多项式（181）迭代次数少，结果已经很优了。
均方逼近（183、184）：求最佳均方逼近多项式所形成的线性方程组的系数矩阵是高度病态的，舍入误差大，采用广义多项式就变得简单了。
一般多项式的基函数不一定是正交函数集系，应先对基函数进行正交化，如在最佳均方逼近中采用切比雪夫正交多项式。
最小二乘曲线拟合：（185）各观测数据与拟合曲线的偏差平方和最小，虽然降低了插值点处的准确性，但是拟合曲线更接近真实函数。
其应用十分广泛，不仅用于传统的测量平差，而且用于最小二乘拟合和最小二乘配置等现代平差理论之中；不仅在测绘领域中，而且在其他许多科学和工程技术领域都已得到广泛应用。
第7章数值积分与数值微分
梯形公式：会把函数图像当作成梯形并估算它的面积。
以下就是估算所用的公式
如果被积函数是一个凸函数（亦即有一个正值二阶导数），那么误差会是一个负数，也代表梯形公式的估算值高估了真实数字。
这可以利用一个几何图形代去表达：梯形不但覆盖曲线下的面积更超越其范围。
同样地，如果被积函数是一个凹函数，梯形公式就会低估其真实数字因为曲线下部份面积没有被计算在内。
如果被积函数中有拐点它的错误是比较难去估计。
辛普森法则（Simpson's rule）是一种数值积分方法，是以二次曲线逼近的方式取代矩形或梯形积分公式，以求得定积分的数值近似解。
其近似值如下：
牛顿-柯特斯：假设已知的值。
以点进行插值，求得
对应的拉格朗日多项式。
对该次的多项式求积。
该积分便可以作为的近似，而由于该拉格朗日多项式的系数都是常数（由决定其值），所以积函数的系数（即）都是常数。
提高了积分区间上插值多项式阶数，就提高了求积公式的阶数，有可能提高精度。
缺点：对于次数较高的多项式而有很大误差（龙格现象），不如高斯积分法。
复化公式：解决多个点但不稳定的问题，（198）尽量减小每一个求积小区间的长度。
变步长求积分：（199）合理选择步长，可满足精度要求也不会引起过多的误差积累和过大的计算工作量。
龙贝格求积法：它是在梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。
作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度. 在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。
这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。
高斯求积：高斯求积理论中的一个基本定理断言：只要把结点x0,x1，…，x m取为区间[α,b]上关于权函数ω(x)的m+1次正交多项式的零点，内插型求积公式（2）即达到最高代数精度2m+1。
这里[α,b] 可以是有限或无限区间，ω(x)为取正值的权函数。
许多有关数值积分的论著都列举出各种高斯型公式的结点和系数的数值。
可以证明：对每个连续函数，当结点个数趋于无穷时，高斯型公式所给出的近似值序列收敛到相应积分的精确值，而牛顿－科茨公式则不具有这种性质。