高考数学一轮复习单元检测七不等式推理与证明提升卷单元检测理含解析

单元检测七 不等式、推理与证明(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a <b <0，则下列不等式一定不成立的是( ) A.1a <1bB.－a >－b C ．|a |>－b D.1a －b >1b答案 A解析 因为a <b <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，即1a >1b，A 不成立；－a >－b >0，－a >－b ，B 成立；－a ＝|a |>|b |＝－b ，C 成立；当a ＝－3，b ＝－1时，1a －b ＝－12，1b ＝－1，故1a －b >1b，D 成立．2．不等式2x ＋13－x≤0的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，3 C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[3，＋∞) 答案 C解析 不等式2x ＋13－x ≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(3－x )≤0，3－x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x －3)≥0，3－x ≠0，解得x ≤－12或x >3，∴不等式2x ＋13－x ≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式答案 C解析 因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C 符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分． 4．“1＋3x －1≥0”是“(x ＋2)(x －1)≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 由1＋3x －1≥0，得x ＋2x －1≥0，等价于(x －1)(x ＋2)≥0，且x ≠1，解得x ≤－2或x >1.由(x ＋2)(x －1)≥0，得x ≤－2或x ≥1，所以“1＋3x －1≥0”能推出“(x ＋2)·(x －1)≥0”，“(x ＋2)(x －1)≥0”推不出“1＋3x －1≥0”，故“1＋3x －1≥0”是“(x ＋2)(x －1)≥0”的充分不必要条件，故选A.5．若x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则xy 的最小值为( ) A ．8B ．14C ．16D ．64 答案 D解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8， ∴xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时取等号， ∴xy 的最小值为64，故选D. 6．已知实数a >0，b >0，1a ＋1＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是( ) A ．32B ．22C ．3D ．2答案 B解析 ∵a >0，b >0，1a ＋1＋1b ＋1＝1， ∴a ＋2b ＝(a ＋1)＋2(b ＋1)－3 ＝[(a ＋1)＋2(b ＋1)]·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2＋2(b ＋1)a ＋1＋a ＋1b ＋1－3≥3＋22－3＝22， 当且仅当2(b ＋1)a ＋1＝a ＋1b ＋1，即a ＝2，b ＝22时取等号，∴a ＋2b 的最小值是22，故选B.7．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a ＋2b 的最小值为( )A ．10B ．8C ．5D ．4 答案 B解析 由题意知，已知圆的圆心C (－4，－1)在直线l 上，所以－4a －b ＋1＝0，所以4a ＋b ＝1.所以12a ＋2b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝4＋b 2a ＋8a b ≥4＋2b 2a ·8a b ＝8，当且仅当b 2a ＝8ab，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以12a ＋2b的最小值为8.故选B. 8．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域内随机地取一点M ，则点M 恰好落在第二象限的概率为( ) A.23B.35C.29D.47 答案 C解析 如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为12×3×32＝94，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为12×1×1＝12.所以点M 恰好落在第二象限的概率为1294＝29，故选C.9．(2020·河南名校联盟联考)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥－2，2y －x ≥1，则z ＝3y －x 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[1,6] 答案 D解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥－2，2y －x ≥1表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC 边界及其内部)．因为z ＝3y －x ，所以y ＝13x ＋13z .当直线y ＝13x ＋z3在y 轴上的截距有最小值时，z 有最小值；当在y 轴上的截距有最大值时，z 有最大值．由图可知，当直线y ＝13x ＋z3经过点A (－1,0)，在y 轴上的截距最小，z min ＝0－(－1)＝1；经过点C (0,2)时，在y 轴上的截距最大，z max ＝3×2－0＝6.所以z ＝3y －x 的取值范围为[1,6]，故选D.10．小王计划租用A ，B 两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A 与B 两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A 型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为( ) A ．1000元 B ．2020元 C ．3000元 D ．4000元答案 D解析 设分别租用A ，B 两种型号的小车x 辆、y 辆，所用的总租金为z 元，则z ＝1000x ＋600y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋5y ≥30，6≤x ＋y ≤12，x ≥1，(x ，y ∈N )，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．易知当直线y ＝－53x ＋z600过点D (1,5)时，z 取最小值，所以租车所需的最少租金为1×1000＋5×600＝4000(元)，故选D.11．(2020·贵州贵阳一中月考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，y ≥－x ，y ≤x ＋2，则t ＝y －2x －3的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，125D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－125，0答案 B解析 作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)．t ＝y －2x －3表示可行域内的点与点M (3,2)连线的斜率．由图可知，当可行域内的点与点M 的连线与圆x 2＋y 2＝4相切时斜率分别取最大值和最小值．设切线方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，则有|3k －2|1＋k 2＝2，解得k ＝125或k ＝0，所以t ＝y －2x －3的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，故选B.12．已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为x (单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为z (单位：L)，其中装有体积为y (单位：L)的水(x <z ，y <z )．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n (n ∈N *)次操作之后，乙容器中含有纯酒精a n (单位：L)，下列关于数列{a n }的说法正确的是( ) A ．当x ＝y ＝a 时，数列{a n }有最大值a2B ．设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则数列{b n }为递减数列C ．对任意的n ∈N *，始终有a n ≤xy zD ．对任意的n ∈N *，都有a n ≤xy x ＋y答案 D解析 对于A ，若x ＋y >z ，每次倾倒后甲容器都有剩余，则a n <a2，故A 错误；对于B ，若x＋y ＝z ，则每次操作后乙容器所含酒精都为xyx ＋y，b n ＝0，故B 错误；对于C ，若x ＝1，y ＝1，z ＝3，则a 1＝12，xy z ＝13，则a 1>xyz ，故C 错误；对于D ，当n →＋∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x ＋y ≤z 时，a n ＝xyx ＋y，当x ＋y >z 时，a n <xyx ＋y，故选D. 第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [－2,4]解析 关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时，(x －1)2<0，无解，满足题意；当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}．要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4，且a ≥－2， 所以实数a 的取值范围是[－2,4]．14．已知x ≥32，则2x 2－2x ＋1x －1的最小值为__________．答案 22＋2解析 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥12，所以2x 2－2x ＋1x －1＝2(t ＋1)2－2(t ＋1)＋1t ＝2t 2＋2t ＋1t ＝2t ＋1t ＋2≥22＋2，当且仅当t ＝22时等号成立，所以所求最小值为22＋2.15．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持) 答案 影视配音解析 由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音． 16．(2020·重庆调研)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )为增函数，且函数y ＝f (x ＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称，若实数a ，b 满足不等式f (4a －a 2)＋f (b 2－2b －3)≤0，则当2≤a ≤4时，a 2＋(b －1)2的最大值为______． 答案 20解析 易知f (x )是奇函数，又f (x )是增函数，∴4a －a 2≤－b 2＋2b ＋3，∴|a －2|≥|b －1|，在平面直角坐标系中画出⎩⎪⎨⎪⎧|a －2|≥|b －1|，2≤a ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，a 2＋(b －1)2表示定点(0,1)到该平面区域内的动点(a ，b )的距离的平方，由图可知动点(a ，b )在图中点(4,3)或点(4，－1)处时，a 2＋(b －1)2取得最大值，最大值为42＋22＝20.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋2x ＋1. (1)若x ∈(－1，＋∞)，求f (x )的最小值，并指出此时x 的值； (2)求不等式f (x )≥2x ＋2的解集． 解 (1)由x ∈(－1，＋∞)可得x ＋1>0. 因为f (x )＝2x ＋2x ＋1＝2x ＋2＋2x ＋1－2≥4－2＝2，所以f (x )≥2， 当且仅当2x ＋2＝2x ＋1，即x ＝0时取等号． 故f (x )的最小值为2，此时x ＝0.(2)由f (x )≥2x ＋2，得－2xx ＋1≥0，所以－1<x ≤0，故所求不等式的解集为(－1,0]．18．(12分)已知函数f (x )＝(3x －1)a －2x ＋b .(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203，且a >0，b >0，求ab 的最大值；(2)当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，求z ＝a ＋b ＋2a ＋1的取值范围．解 (1)因为f (x )＝(3a －2)x ＋b －a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203，所以a ＋b －43＝203，即a ＋b ＝8.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，即4≥ab ，所以ab ≤16， 当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以ab 的最大值为16.(2)因为当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≤1，f (1)≤1，且2a ＋3b ≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a ≤1，b ＋2a ≤3，2a ＋3b ≥3，作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．由图可得经过可行域内的点(a ，b )与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，2，所以z ＝a ＋b ＋2a ＋1＝b ＋1a ＋1＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，3. 19．(13分)2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2 500万元，每生产x 百辆新能源汽车，需另投入成本C (x )万元，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，501x ＋10000x －4500，x ≥40.由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完．(1)求该企业2020年的利润L (x )万元关于年产量x (单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)；(2)2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．解 (1)当0<x <40时，L (x )＝5×100x －10x 2－100x －2500＝－10x 2＋400x －2500； 当x ≥40时，L (x )＝5×100x －501x －10000x＋4500－2500＝2020－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2500，0<x <40，2000－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥40.(2)当0<x <40时，L (x )＝－10(x －20)2＋1500，所以当0<x <40时，L (x )max ＝L (20)＝1500；当x ≥40时，L (x )＝2020－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10000x≤2020－2x ·10000x＝2020－200＝1800，当且仅当x ＝10000x，即x ＝100时取等号，所以L (x )max ＝L (100)＝1800.因为1800>1500，所以当x ＝100，即2020年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1800万元．20．(13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4S n 与2a n 的等差中项为3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数k ，使不等式k (－1)n a 2n <S n (n ∈N *)恒成立；若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由； (3)设b n a n ＝n (n ＋2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n (n ∈N *)，若集合M ＝{n |b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．解 (1)由4S n 与2a n 的等差中项为3，得 4S n ＋2a n ＝6，①当n ≥2时，4S n －1＋2a n －1＝6，② ①－②得a n ＝13a n －1.又因为在①式中，令n ＝1，得a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，13为公比的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1(n ∈N *)．(2)原问题等价于k (－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫132(n －1)<12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1(n ∈N *)恒成立． 当n 为奇数时，对任意正整数为k ，不等式恒成立；当n 为偶数时，原不等式等价于2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫132(n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－3<0恒成立，令⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝t,0<t ≤13，则原不等式等价于2kt 2＋t －3<0对0<t ≤13恒成立，k ∈N *.因为f (t )＝2kt 2＋t －3在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上单调递增，故f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝29k －83<0，即k <12.综上，正整数k 的最大值为11.(3)由b n a n ＝n (n ＋2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n (n ∈N *)及a n ＝13n －1，得b n ＝n (n ＋2)2n，b n ＋1－b n ＝－n 2＋32n ＋1，当n ＝1时，b 2>b 1；当n ≥2时，b n ＋1<b n ， 且b 1＝32，b 2＝2，b 3＝158，b 4＝32，b 5＝3532.由集合M ＝{n |b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，得3532<λ≤32，即实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤3532，32.。