北师大新版九年级数学上册《2.4+用因式分解法求解一元二次方程》2016年同步练习
北师大版九年级上册数学教案：2.4因式分解法求解一元二次方程
3.培养学生的数据分析观念，让学生在实际问题中寻找数学关系，学会用数学语言表达和解决问题；
4.激发学生的数学探究兴趣，通过自主探究、合作交流的方式，培养学生的创新意识和团队协作能力，使学生在探索过程中形成严谨的数学思维。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的热情，但我也注意到有些小组在讨论过程中偏离了主题。为了使讨论更加高效，我计划在下一节课中明确讨论主题，并在讨论过程中加强引导，确保学生们能够围绕主题展开深入的讨论。
此外，学生在分享讨论成果时，我发现他们的表达能力和逻辑思维有待提高。在今后的教学中，我将更加关注学生这方面的培养，鼓励他们多发言、多表达，提高他们的数学表达能力和逻辑思维能力。
其次，在新课讲授过程中，我发现有些学生在因式分解的步骤和方法选择上存在困难。针对这一情况，我采用了逐步引导和举例讲解的方法，帮助他们突破了难点。但在教学过程中，我发现这种方法的讲解可能需要更多的时间让学生去消化和理解。因此，我考虑在下一节课中，增加一些互动环节，让学生自己尝试解题，以便及时发现并解决他们在操作过程中遇到的问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调因式分解法的步骤和选择合适的方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过改变方程的系数，学生可以观察解的变化，从而直观地理解一元二次方程的性质。
-在实际问题中，学生可能难以发现一元二次方程的存在，并将其转化为标准形式；
北师大版九年级数学上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习(含参考答案)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、选择题1．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－32．方程x2－5x＝0的解是( )A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x＝03．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )A．x＝2 B．x＝3C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝34．在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，解得x1＝－1，x2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0，解得x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙两名同学的做法，下列判断正确的是( )A．甲的错误，乙的正确B．甲的正确，乙的错误C．两人的都正确D．两人的都错误二、填空题5．一元二次方程7x2＝2x的解为____________．6．一元二次方程x(x－1)＝x的解是__________．7．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和6，则x2＋bx＋c分解因式的结果是______________．8．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2－3x＝4(x－3)的两个实数根，则该等腰三角形的周长是__________．9．已知(x2＋4x－5)0＝x2－4x＋5，则x＝________．三、解答题10．解下列方程：(1)4x2－225＝0；(2)5x2＋20x＋20＝0；(3)(2x－1)2＝3x(2x－1)；(4)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；(5)2(t－1)2＋t＝1；(6)2(x－3)2＝x2－9；(7)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＝－4.11．请选择适当的方法解下列方程：(1)(2x＋3)2－25＝0；(2)x2＋2x－224＝0；(3)2x(x－3)＝x－3；(4)2x2＋4x＝－1.12．已知一个等腰三角形的三边长都满足方程(x－3)(x＋3)＝10(x－3)，求这个等腰三角形的周长．13．阅读下列材料：(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：7x－5x＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解下列方程：①x2－10x＋21＝0；②x2＋2x＝8；③x2－5x－6＝0.14 阅读例题，解答问题．例：解方程x2－|x|－2＝0.解：当x≥0时，原方程变形得x2－x－2＝0，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝2；当x＜0时，原方程变形得x2＋x－2＝0，解得x＝1(不合题意，舍去)或x＝－2. 综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝－2.依照上述解法解方程：x2－|x－1|－1＝0.1．[答案] D 2．[答案] C3．[解析] D 由原方程移项，得 (x ＋1)(x －2)－(x ＋1)＝0， ∴(x ＋1)(x －2－1)＝0， ∴x ＋1＝0或x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3. 故选D .4．[解析] A (x ＋2)(x －2)＝5.整理，得x 2－9＝0.分解因式，得(x ＋3)(x －3)＝0，则x ＋3＝0或x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝3.所以甲的错误，乙的正确．故选A .5．[答案] x 1＝0，x 2＝27[解析] 移项，得7x 2－2x ＝0， 左边分解因式，得x(7x －2)＝0， ∴x ＝0或7x －2＝0， ∴x 1＝0，x 2＝27.故答案为：x 1＝0，x 2＝27.6．[答案] x 1＝0，x 2＝2[解析] 原方程变形，得x(x －1)－x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2. 7．[答案] (x －6)(x ＋2) 8．[答案] 10或11 9．[答案] 2[解析] 依题意知x 2－4x ＋5＝1，x 2－4x ＋4＝0，(x －2)2＝0，解得x 1＝x 2＝2.当x ＝2时，x 2＋4x －5≠0，所以x ＝2符合题意．10．解：(1)利用平方差公式分解因式，得(2x ＋15)(2x －15)＝0， ∴2x ＋15＝0或2x －15＝0， ∴x 1＝－7.5，x 2＝7.5.(2)方程两边同除以5，得x 2＋4x ＋4＝0，写成平方形式，得(x ＋2)2＝0，∴x ＋2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.(3)(2x －1)(－x －1)＝0， ∴x 1＝12，x 2＝－1.(4)[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0， (7x －16)(4－3x)＝0，∴x 1＝167，x 2＝43.(5)2(t －1)2＋(t －1)＝0， (t －1)(2t －1)＝0， ∴t －1＝0或2t －1＝0， ∴t 1＝1，t 2＝12.(6)右边分解因式，得2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．移项，得2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.提公因式，得(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0.∴x －3＝0或2(x －3)－(x ＋3)＝0. 解得x 1＝3，x 2＝9.(7)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0， (2x ＋1＋2)2＝0，∴x 1＝x 2＝－32.11．解：(1)(2x ＋3)2－25＝0， 2x ＋3＝±5， 解得x 1＝1，x 2＝－4. (2)x 2＋2x －224＝0， x ＋1＝±15，解得x 1＝14，x 2＝－16. (3)2x(x －3)＝x －3， 2x(x －3)－(x －3)＝0， (x －3)(2x －1)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝12.(4)2x 2＋4x ＝－1，即2x 2＋4x ＋1＝0， a ＝2，b ＝4，c ＝1，b 2－4ac ＝42－4×2×1＝8＞0，则x ＝－4±82×2，∴x 1＝－1＋22，x 2＝－1－22.12．解：由(x －3)(x ＋3)＝10(x －3)， 得(x －3)(x －7)＝0，∴x 1＝3，x 2＝7.(1)当腰长为3，底边长为7时，3＋3<7，不能构成三角形； (2)当腰长为7，底边长为3时，周长l ＝7＋7＋3＝17； (3)当三角形为边长为3的等边三角形时，周长l ＝3×3＝9； (4)当三角形为边长为7的等边三角形时，周长l ＝7×3＝21. 所以这个等腰三角形的周长为9，17或21. 13．解：①分解因式，得(x －3)(x －7)＝0， ∴x －3＝0或x －7＝0，∴x 1＝3，x 2＝7. ②整理，得x 2＋2x －8＝0， 分解因式，得(x －2)(x ＋4)＝0， ∴x －2＝0或x ＋4＝0， ∴x 1＝2，x 2＝－4.③分解因式，得(x －6)(x ＋1)＝0， ∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1.14 解：当x －1≥0，即x ≥1时，原方程变形得x 2－x ＝0，即x(x －1)＝0， 解得x ＝0(不合题意，舍去)或x ＝1；当x －1＜0，即x ＜1时，原方程变形得x 2＋x －2＝0，即(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝1(不合题意，舍去)或x ＝－2. 综上所述，原方程的解是x 1＝1，x 2＝－2.。
北师大版数学9年级上册教案2.4 用因式分解法求解一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程课标要求【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认识复习：将下列各式分解因式(1)5x 2－4x ；(2)x 2－4x ＋4；(3)4x (x －1)－2＋2x ；(4)x 2－4；(5)(2x －1)2－x 2.【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度．二、思考探究，获取新知一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．解方程5x 2＝4x .解：原方程可变形为x (5x －4)＝0……第一步∴x ＝0或5x －4＝0……第二步∴x 1＝0，x 2＝45. 【教学说明】教师提问、板书，学生回答．分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．2．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2＋3x ＝0；(2)7x (3－x )＝4(x －3)；(3)9(x －2)2＝4(x ＋1)2.分析：(1)左边＝x (5x ＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，即7x (3－x )－4(x －3)＝0，找出(3－x )与(x －3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x (5x ＋3)＝0，于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35； (2)原方程化为7x (3－x )－4(x －3)＝0，因式分解，得(x －3)(－7x －4)＝0，于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47； (3)原方程化为9(x －2)2－4(x ＋1)2＝0，因式分解，得[3(x －2)＋2(x ＋1)][3(x －2)－2(x ＋1)]＝0，即(5x －4)(x －8)＝0，于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8.【教学说明】(1)用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．(2)对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．3．选择合适的方法解下列方程．(1)2x 2－5x ＋2＝0；(2)(1－x )(x ＋4)＝(x －1)(1－2x )；(3)3(x －2)2＝x 2－2x .分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x )与(x －1)的关系用因式分解法；(3)3(x －2)2＝x ·(x －2)用因式分解法．解：(1)a ＝2，b ＝－5，c ＝2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，x ＝－（－5）±92×2＝5±34， x 1＝2，x 2＝12； (2)原方程化为(1－x )(x ＋4)＋(1－x )(1－2x )＝0，因式分解，得(1－x )(5－x )＝0，即(x －1)(x －5)＝0，x －1＝0或x －5＝0，x 1＝1，x 2＝5；(3)原方程变形为3(x －2)2－x (x －2)＝0，因式分解，得(x －2)(2x －6)＝0，x －2＝0或2x －6＝0，x 1＝2，x 2＝3.【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．4．已知(a 2＋b 2)2－(a 2＋b 2)－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把(a 2＋b 2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a 2＋b 2)为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0.a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2. 即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不符合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3.【教学说明】(1)整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．(2)在做题时要注意隐含条件．5．用一根长40 cm 的铁丝围成一个面积为91 cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？解：设长为x cm ，则宽为(402－x ) cm ，x ·(402－x )＝91， 解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13.当x ＝7 cm 时，402－x ＝20－7＝13(cm)(舍去)；当x ＝13 cm 时，402－x ＝20－13＝7(cm)． 当围成正方形时，它的边长为404＝10(cm)，面积为102＝100( cm 2)． 【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．四、师生互动，课堂小结1．本节课我们学习了哪些知识？2．因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法．课后作业1．布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题．2．完成练习册中本课时练习．教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．。
新北师大版数学九上2.4 用因式分解法求解一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
解析 (1)若x+3=0,则x=-3;若x-2=0,则x=2. ∴x1=-3,x2=2. (2)原方程可变形为3x(x-4)=0. 若3x=0,则x=0;若x-4=0,则x=4.∴x1=0,x2=4. (3)原方程可变形为(x+4)2-36=0, ∴(x+4+6)(x+4-6)=0,即(x+10)(x-2)=0. 若x+10=0,则x=-10;若x-2=0,则x=2. ∴x1=-10,x2=2. (4)移项,得(x-2)2+(x-2)=0. ∴(x-2)[(x-2)+1]=0, 即(x-2)(x-1)=0, ∴x-2=0或x-1=0, ∴x1=2,x2=1.
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分析 (1)2(x-1)2-18=0,整理可得(x-1)2=9,适合用直接开平方法; (2)x2+4x-1=0,二次项系数为1,一次项系数为偶数,适合用配方法; (3)9(x+1)2=(2x-5)2,整理可得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0,适合用因式分解法; (4)9x2-12x-1=0,用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便,适合 用公式法.
4 用因式分解法求解一元二次方程
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解析 (1)2(x-1)2-18=0,整理得(x-1)2=9,开平方得x-1=±3,即x-1=3或x-1=
-3, 所以方程的两根为x1=4,x2=-2. (2)原方程变形为x2+4x=1.配方得x2+4x+22=1+22,即(x+2)2=5,由此可得x+2 =± 5 , 所以方程的两根为x1=-2+ 5 ,x2=-2- 5 . (3)9(x+1)2=(2x-5)2,整理得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0,因式分解得 [3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x-5)]=0,于是得3(x+1)+(2x-5)=0或3(x+1)-(2x-5)=0,
北师大版九年级数学上册习题 2.4 用因式分解法求解一
2.4 用因式分解法求解一元二次方程01 基础题知识点1 用因式分解法求解一元二次方程1．方程(x －1)(x ＋2)＝0的两根分别为(D)A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝1，x 2＝－22．(南阳唐河县期末)方程x 2＝2x 的解是(C)A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝±23．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(A)A ．(2x －2)(3x －4)＝0，∴2x －2＝0或3x －4＝0B ．(x ＋3)(x －1)＝1，∴x ＋3＝0或x －1＝1C ．(x －2)(x －3)＝2×3，∴x －2＝2或x －3＝3D ．x(x ＋2)＝0，∴x ＋2＝04．方程x －2＝x(x －2)的解是(D)A ．x ＝1B ．x 1＝0，x 2＝2C ．x ＝2D ．x 1＝1，x 2＝25．利用因式分解法求解下列方程：(1)2x 2－3x ＝0；解：把方程左边因式分解，得x(2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0，解得x 1＝0，x 2＝32.(2)4x 2－121＝0；解：(2x ＋11)(2x －11)＝0，∴x 1＝－112，x 2＝112.(3)x(x －2)＝x.解：∵x(x －2)－x ＝0，∴x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝3.知识点2 用适当的方法解一元二次方程6．一元二次方程x 2－x －2＝0的解是(D)A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝27．用适当的方法解方程：(1)9x 2－25＝0；解：x 1＝－53，x 2＝53.(2)5x 2－2x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝25.(3)(漳州中考)x 2－4x ＋1＝0；解：∵Δ＝(－4)2－4×1×1＝12，∴x ＝4±122，即x ＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.(4)2(t －1)2＋t ＝1.解：2(t －1)2＋(t －1)＝0，(t －1)(2t －1)＝0，∴t －1＝0或2t －1＝0，∴t 1＝1，t 2＝12.02 中档题8．解下列方程：①2x 2－18＝0；②9x 2－12x －1＝0；③3x 2＋10x ＋2＝0；④2(5x －1)2＝2(5x －1)．用较简便的方法依次是(D)A ．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B ．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C ．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D ．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法9．(三门峡期中)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A)A ．12B ．9C ．13D ．12或910．若(2m ＋n)2＋2(2m ＋n)＋1＝0，则2m ＋n 的值是－1．11．(襄阳中考)若正数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，则a 的值是5．12．解方程x(x ＋5)＝3(x ＋5)，甲同学的解法如下：解：方程两边同除以(x ＋5)，得x ＝3.请回答：(1)甲同学的解法正确吗？为什么？(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法．解：(1)不正确．因为当x ＋5＝0时，甲的解法便无意义，而当x ＋5＝0时，方程两边仍相等．(2)原方程可化为x(x ＋5)－3(x ＋5)＝0，(x －3)(x ＋5)＝0，∴x 1＝3，x 2＝－5.13．用适当的方法解方程：(1)y 2＋3y ＋1＝0；解：y 1＝－3－52，y 2＝－3＋52.(2)2x 2－22x －5＝0；解：a ＝2，b ＝－22，c ＝－5，∵Δ＝8＋40＝48，∴x ＝22±434＝2±232. ∴x 1＝2＋232，x 2＝2－232.(3)(3x －1)2－4(2x ＋3)2＝0；解：(3x －1)2－[2(2x ＋3)]2＝0，(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0，(7x ＋5)(－x －7)＝0，∴x 1＝－57，x 2＝－7.(4)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝13.解：原方程可化为x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.14．如图，把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆的半径为x m ，则大圆的半径为(x ＋5)m ，根据题意，得π(x ＋5)2＝2πx 2，解得x ＝5＋52或x ＝5－52(不合题意，舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.03综合题15．阅读理解：例如：因为x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3，所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．所以方程x2＋5x＋6＝0用因式分解法解得x1＝－2，x2＝－3.又如：x2－5x＋6＝x2＋[(－2)＋(－3)]x＋(－2)×(－3)．所以x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)．所以方程x2－5x＋6＝0用因式分解法解得x1＝2，x2＝3.一般地，x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．所以x2＋(a＋b)x＋ab＝0，即(x＋a)(x＋b)＝0的解为x1＝－a，x2＝－b.请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：(1)x2＋8x＋7＝0；解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－7，x2＝－1.(2)x2－11x＋28＝0.解：∵x2＋[(－4)＋(－7)]x＋(－4)×(－7)＝0，(x－4)(x－7)＝0，∴x1＝4，x2＝7.。
2.4《用因式分解法求解一元二次方程》北师大版九年级上册教学课件1
想一想 你能用因式分解法解方程 x2–4=0，(x+1)2–25 = 0 吗？
x2–4 = 0 解：原方程可变形为
(x + 2)(x – 2) = 0. x + 2 = 0 或 x –2 = 0. x1 = –2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0 解：原方程可变形为
(x +1+5)(x+1–5) = 0. (x+6)(x–4) = 0. x+6 = 0 或 x–4 = 0. x1 = –6，x2 = 4.
x(5x – 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
x1
=
0，x2
=
4. 5
(2)原方程可变形为 x(x–2) – (x–2) = 0 ， (x–2)(x–1) = 0. x–2 = 0 ，或 x–1= 0. x1 = 2 ，x2 = 1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
5x2=4x
移项
5x2–4x=0
提公因式x
x(5x–4)=0
等价于
x=0或5x–4=0
解一元一 次方程
x1=0，x2=
4 5
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例 解下列方程： (1) 5x2 = 4x；
(2) x(x–2)=x–2.
分析：(2)
x(x–2)=x–2
移项
x(x–2)–(x–2)=0
提公因式(x–2)
(x–2)(x–1)=0
等价于
x–1=0或x–2=0
解一元一 次方程
x1=1，x2=2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
北师大版九年级上册 2.4用因式分解法求解一元二次方程(含答案和解析)
初中数学北师大版九年级上学期第二章 2.4用因式分解法求解一元二次方程一、单选题1.已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2－5x＋6＝0的两个根,则此直角三角形斜边长是（）A. B. C. 13 D. 52.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值是( )A. 7B. -1C. 7或-1D. -5或33.设α、β是方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根，的值是（）A. ﹣1B. 1C.D.4.三角形的两边长分别为3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长是（）A. 12B. 13C. 15D. 12或155.如果三角形的两边长分别为方程x2﹣8x+15＝0的两根，则该三角形周长L的取值范围是（）A. 6＜L＜15B. 6＜L＜16C. 10＜L＜16D. 11＜L＜13二、填空题6.一元二次方程的根是________.7.一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是________.8.若，则的值为________.三、计算题9.解方程：（1）x2-x=0（2）x2+6x-16=0四、综合题10.如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴y轴的垂线相交于B点，且OA，OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形．请直接写出P点坐标．答案解析部分一、单选题1.答案：A解：∵x2－5x＋6＝0 ，∴(x-2)(x-3)=0,∴x-2=0或x-3=0，解得x1=2,x2=3,∴此直角三角形斜边长=故答案为：A。
分析：先利用因式分解法求出方程的两根，然后根据勾股定理算出此直角三角形斜边长即可。
2.答案：A解：∵(x2-x)2-4(x2-x)-12=0∴（x2-x-6）（x2-x+2）=0∴x2-x-6=0或x2-x+2=0当x2-x=6时，x2-x+1=6+1=7x2-x+2=0，b2-4ac=1-8=-7＜0此方程无实数解故答案为：A【分析】将x2-x看着整体，将原方程利用因式分解法解方程可得到x2-x-6=0或x2-x+2=0（此方程无实数解），就来求出x2-x的值，然后整体代入代数式求值。
北师大版数学九年级上册用因式分解法求解一元二次方程课件
例1 解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4. 5
(2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
因式分解，得
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知1－讲
总结
Байду номын сангаас
知1－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技能为： 右化零，左分解，两因式，各求解.
2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
1 一元二次方程x2－4x＝12的根是( B )
A．x1=2, x2=-6
B． x1=2, x2=-6
C．x1=2, x2=-6
D． x1=2, x2=-6
知1－练
知1－练
2 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0 的两根，则该等腰三角形的周长是( A ) A．12 B．9 C．13 D．12或9
北师大版数学九年级上册
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
2.4 用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲授 用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，
北师大版九年级数学上册2.4用因式分解法求解一元二次方程教学设计
4.练习与反馈
-提供不同难度的练习题，让学生在课堂上即时练习，巩固所学知识。
-对学生的作业进行及时反馈，指出错误的原因，给出改进的建议，帮助学生纠正错误。
5.情感态度与价值观的培养
-在教学中，强调数学的实用性和逻辑美，提升学生对数学学科的兴趣。
-鼓励学生在面对困难时保持积极态度，培养他们克服挑战的勇气和信心。
6.课后延伸
-设计富有挑战性的课后作业，让学生在课后继续思考，提高解题能力。
-推荐相关的学习资源，鼓励学生自主学习和探索，培养他们的自主学习能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课程的开始，我将通过一个贴近生活的例子来导入新课。例如，我会提出这样一个问题：“同学们，假设我们要制作一个面积为30平方分米的矩形花坛，而花坛的长是x分米，那么宽应该是多少分米呢？”这个问题可以引导学生列出方程：x(x - 10) = 30，从而引出一元二次方程的概念。通过这个例子，学生可以直观地感受到一元二次方程与现实生活的联系，激发他们的学习兴趣。
（四）教学难点与重点
教学难点：一元二次方程因式分解法的应用，尤其是对于不同类型的方程如何选择合适的因式分解方法。
教学重点：理解一元二次方程的解的性质，掌握因式分解法求解一元二次方程的步骤，以及如何将实际问题转化为数学模型。
三、教学策略
（一）导入策略
（二）探究策略
采用问题驱动的教学方法，设计一系列由浅入深的问题，引导学生自主探究因式分解法求解一元二次方程的过程。在学生探究的过程中，教师给予适当的指导和提示，帮助学生克服困难。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会从以下几个方面进行讲解：
北师大版九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程课件(共26张PPT)
4.解下列方程：
( ) ( ) (1)5 x2 - x = 3 x2 + x ;
x1 = 0, x2 = 4；
(3)( x - 2) ( x - 3) =12;
x1 = - 1, x2 = 6； (5)2 y2 +4 y = y +2.
x1
=
-
2,
x2
=
1； 2
(2)( x - 2) 2 =( 2x +3) 2 ;
你知道小亮这一步的依据吗？ 如果agb = 0.
那么a = 0,或b = 0. a=0或b=0包含了哪些情况？
(1)a = 0,b ? 0; (2)a ? 0,b 0; (3)a = 0,b = 0.
a=0且b=0呢？
二、探究新知
因式分解法
由方程x2 = 3x，得：
x2 - 3x = 0.
即x( x - 3) = 0.
x - 3 = 0,或x +2 = 0. x1 = 3, x2 = - 2.
四、随堂练习
(3)( 2x +3) 2 = 4( 2x +3) ;
解：原方程可变形为：
( 2x +3) 2 - 4( 2x +3) = 0. ( 2x +3) ( 2x - 1) = 0.
2x +3 = 0,或2x - 1 = 0.
31
x1
=-
2 , x2
=
. 2
(4)2( x - 3) 2 = x2 - 9.
解：原方程可变形为：
2( x - 3) 2 - ( x +3) ( x - 3) = 0. ( x - 3) ( x - 9) = 0.
x - 3 = 0,或x - 9 = 0. x1 = 3, x2 = 9.
数学北师大版九年级上册用因式分解法求解一元二次方程.4用因式分解法解一元二次方程
如果 a b 0 ,
那么 a 0或 b 0
小亮做得对吗?
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
随堂练习1
1.解下列方程:
1 . x 2 x 4 0 , 2 . 4 x 2 x 1 3 2 x 1 . 解 : 1 . x 2 0, 或 ( x 4 ) 0 .
2 . 4 x 2x 1 3 2x 1 0 , 2 x 1 4 3 x 0 ,
2 x 1 0 , 或 4 x 3 0 . 1 3 x 1 ,x 2 . 2 4
x 2 ; x 4 . 1 2
随堂练习2
我只有奋力奔跑，才能看见光亮、认知方向。
想一想 你能用分解因式法解下列方程吗？ (1)x2-4=0 (2)(x+1)2-25=0 2 (3)x -10x+25=0 (4)(x-2)(x-3)=12
范例学习
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x(x-2)=x-2.
2 解 : 1 . 5 x 4 x 0 , 分解因式法解一元二次方程的步骤是: x 5 x 4 0 . 1.化方程为一般形式; x 0 , 或 5 x 4 0 . 2. 将方程左边因式分解; 4 3. 根据“至少有一个因式为零”,转 x ; x2 . 1 0 5 化为两个一元一次方程. 2 . x x 2 x 2 0 , 4. 分别解两个一元一次方程， 它们的根就是原方程的根. x 2 x 1 0 . x 2 0 , 或 x 1 0 .
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北师大新版九年级数学上册《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》2016年同步练习一、选择题1．方程x2+x﹣12=0的两个根为（）A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3 2．方程x（x﹣5）=0的根是（）A．x=0 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=﹣53．方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（）A．x=5 B．x=5或x=6 C．x=7 D．x=5或x=74．一元二次方程x2﹣4x=12的根是（）A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6 5．若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2的值为（）A．4或﹣2 B．4 C．一2 D．一46．根据图中的程序，当输入方程x2=2x的解x时，输出结果y=（）≤≤＞A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．2或﹣27．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24 B．48 C．24或8D．88．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对9．我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x （x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（）A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想10．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（）A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2二、填空题11．方程x2=﹣x的解是．12．一元二次方程x（x﹣2）=0的解是．13．方程（x﹣3）2=x﹣3的根是．14．方程x2+4x﹣5=0的解是．15．方程x（x﹣2）=﹣（x﹣2）的根是．16．若x2﹣3x+2=0，则x2+=．17．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=．18．若（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2=．19．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=．20．若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是．三、解答题21．解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．22．解方程：x2﹣3x+2=0．23．解方程：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2（2）x2+3x+2=0．24．小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：（1）小明的解法从第步开始出现错误；此题的正确结果是．（2）用因式分解法解方程：x（2x﹣1）=3（2x﹣1）25．若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48（1）求3※5的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．北师大新版九年级数学上册《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》2016年同步练习参考答案与试题解析一、选择题1．（2016•天津）方程x2+x﹣12=0的两个根为（）A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3【解答】解：x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．故选D．2．（2016•湖州一模）方程x（x﹣5）=0的根是（）A．x=0 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=﹣5【解答】解：方程x（x﹣5）=0，可得x=0或x﹣5=0，解得：x1=0，x2=5．故选C3．（2010•双鸭山）方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（）A．x=5 B．x=5或x=6 C．x=7 D．x=5或x=7【解答】解：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0（x﹣5）（x﹣7）=0解得：x1=5，x2=7；故选D．4．（2016•沈阳）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（）A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6【解答】解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选B5．（2016春•当涂县期末）若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2的值为（）A．4或﹣2 B．4 C．一2 D．一4【解答】解：设a2+b2为x，可得：x（x﹣2）=8，解得：x1=4，x2=﹣2，因为a2+b2的值为非负数，所以a2+b2的值为4，故选B6．（2016春•威海期中）根据图中的程序，当输入方程x2=2x的解x时，输出结果y=（）≤≤＞A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．2或﹣2【解答】解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，∴x=0或x=2，当x=0时，y=x﹣4=0﹣4=﹣4，当x=2时，y=﹣x+4=﹣2+4=2，故选：C．7．（2017•德州校级自主招生）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24 B．48 C．24或8D．8【解答】解：x2﹣16x+60=0（x﹣6）（x﹣10）=0，x﹣6=0或x﹣10=0，所以x1=6，x2=10，当第三边长为6时，如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，AD===2，所以该三角形的面积=×8×2=8；当第三边长为10时，由于62+82=102，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积=×8×6=24，即该三角形的面积为24或8．故选C．8．（2015•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．9．（2015•山西）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（）A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想【解答】解：我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A．10．（2011•龙岩）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（）A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2【解答】解：依题意，原方程化为x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，分解因式，得（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4．故选B．二、填空题11．（2016•莲湖区二模）方程x2=﹣x的解是0或﹣1．【解答】解：原方程变形为：x2+x=0x（x+1）=0x=0或x=﹣1．12．（2016•曲靖一模）一元二次方程x（x﹣2）=0的解是x1=0，x2=2．【解答】解：x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．13．（2016•湘潭模拟）方程（x﹣3）2=x﹣3的根是x1=3，x2=4．【解答】解：（x﹣3）2=x﹣3，（x﹣3）2﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3﹣1）=0，∴x1=3，x2=4．14．（2016•无锡一模）方程x2+4x﹣5=0的解是x1=﹣5，x2=1．【解答】解：∵x2+4x﹣5=0，∴（x+5）（x﹣1）=0，∴x+5=0或x﹣1=0，∴x1=﹣5，x2=1．15．（2016•苏州模拟）方程x（x﹣2）=﹣（x﹣2）的根是x1=2，x2=﹣1．【解答】解：x（x﹣2）=﹣（x﹣2）移项得：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=﹣1．故答案为：x1=2，x2=﹣1．16．若x2﹣3x+2=0，则x2+=1或．【解答】解：∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，当x=1时，原式=1+1=2；当x=2时，原式=4+=，故答案为：1或．17．（2016•磴口县校级二模）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=6．【解答】解：设x2+y2=t（t≥0）．则t2﹣5t﹣6=0，即（t﹣6）（t+1）=0，解得，t=6或t=﹣1（不合题意，舍去）；故x2+y2=6．故答案是：6．18．（2016春•萧山区期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2=4．【解答】解：设t=x2+y2（t≥0），则原方程可化为：t（t﹣1）﹣12=0，即t2﹣t﹣12=0，∴（t﹣4）（t+3）=0，∴t=4，或t=﹣3（不合题意，舍去），∴x2+y2=4．故答案是：4．19．（2016•锦江区模拟）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=﹣5或1．【解答】解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为﹣5或1．20．（2016•杭州校级模拟）若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是5．【解答】解：解方程x2﹣7x+12=0解得x=3，x=4；由勾股定理得：斜边长==5．故这个直角三角形的斜边长是5．三、解答题21．（2016•山西）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．【解答】解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=9．22．（2015•东莞）解方程：x2﹣3x+2=0．【解答】解：∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣2=0，∴x1=1，x2=2．23．（2016•曲靖一模）解方程：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2（2）x2+3x+2=0．【解答】解：（1）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣2）=0，x﹣1=0或3x﹣2=0，所以x1=1，x2=；（2）（x+1）（x+2）=0，x+1=0或x+2=0，所以x1=﹣1，x2=﹣2．24．（2016•许昌二模）小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：（1）小明的解法从第二步开始出现错误；此题的正确结果是x1=0，x2=．（2）用因式分解法解方程：x（2x﹣1）=3（2x﹣1）【解答】解：（1）小明的解法是从第二步出现错误，方程两边不应该同时除以x，3x2﹣8x（x﹣2）=0，x（3x﹣8x+16）=0，x（5x﹣16）=0，x1=0，x2=；（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1），（2x﹣1）（x﹣3）=0，2x﹣1=0或x﹣3=0，x1=，x2=3．25．（2016春•无锡校级期中）若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48（1）求3※5的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．【解答】解：（1）∵a※b=4ab，∴3※5=4×3×5=60，（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，4x2+8x﹣32=0，即x2+2x﹣8=0，∴x1=2，x2=﹣4，（3）由a*x=x得，4ax=x，无论x为何值总有4ax=x，∴a=．参与本试卷答题和审题的老师有：曹先生；sks；MMCH；1987483819；三界无我；gsls；lanchong；zhjh；zhangCF；lanyan；cook2360；zxw；733599；gbl210；nhx600；HJJ；Linaliu；lantin；leikun（排名不分先后）hu2017年3月11日。