河北省邯郸市一中2013届高三10月份月考数学理试题

河北省邯郸市一中2013届高三上学期10月份月考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{,}23A a =，集合{,,}01B b a =-，且{}1A B ⋂=，则A B ⋃= A ．{,,}013 B ．{,,}124 C ．{,,,}0123 D ．{,,,,}012342.设1sin()43πθ+=,则sin 2θ= A.79- B.19- C.19 D.793.已知等差数列{}n a 满足32=a ，)3( 513>=--n S S n n ，100=n S ，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．114.设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 的取值范围是A. []1,2-B. []0,2C. [1,)+∞D. [0,)+∞ 5. 在等差数列{}n a 中12100,a 30,na a a >+++= 且则56a a ⋅的最大值等于A. 3B. 6C.9D. 366. 设()x f 是定义在正整数集上的函数,且()x f 满足:“当()2k k f ≥成立时，总可推出 ()()211+≥+k k f 成立”，那么，下列命题总成立的是A.若()11<f 成立，则()10010<f 成立B. 若()93≥f 成立，则当1≥k 时，均有()2k k f ≥成立C.若()42<f 成立，则()11≥f 成立D.若()416f ≥成立，则当4≥k 时，均有()2k k f ≥成立 7. 设等比数列{}n a 各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++= A ． 12 B ． 10 C ． 8 D ． 32log 5+ 8．定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在[0,2]上是增函数,则A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<9. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标 伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是A.sin(2)10y x π=-B.sin(2)5y x π=-C.1sin()210y x π=-D.1sin()220y x π=-10.现有四个函数①sin yx x =⋅ ②cos y x x =⋅ ③|cos |x x y ⋅= ④x x y 2⋅=的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A.①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①11. 已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是A.15[,]24B. 13[,]24C. 3(0,]4D.(0,2]12．方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos sin ϕθθ=D ．sin sin θθϕ=-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在题中横线上．13. 函数211tan )(x x x f -+-=的定义域为________.14.如图，由两条曲线224,x y x y -=-=及直线1-=y 所围成的图形的面积为15. 已知函数()ϕω+=x y cos [))2,0,0(πϕω∈>的部分图象如右图所示，则ϕ的值为________.16．已知正项数列{}n a 满足:1111,()2n n na S a a ==+,其中n S 为其前n 项和,则n S =_______ 三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=⋅+-。

（1）求()f x 的最小正周期：（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

18. （本题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般 情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当 桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度 x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)19．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差 ,50,053=+≠S S d 且 1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知c o s 2c o s 2c o s A C c aB b --=（1）求sin sin CA的值；（2）若1cos ,2,4B b ==求ABC ∆的面积S 。

21. （本题满分12分）设*))((,10031)(,)(,)2()(11N n x f x x f x x f x a x x f n n ∈===+=+有唯一解且.（1）求实数a ；（2）求数列{x n }的通项公式；（3）若*)(2,400941221N n a a a a b x a nn nn n n n ∈+=-=++，求证：b 1+b 2+…+b n<n ＋1.22.（本题满分12分）已知函数()xf x xe -=，()x R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； 证明：当1x >时，()()f x g x >（3）如果12x x ≠且12()()f x f x =，证明122x x +>高三数学（理）10月试卷答案一、选择题：CACDC DBDCA CB二、填空题：15、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,4π 16、43 17. 47π 18.三、解答题：17.（本题满分10分）解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f 1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x1cos 22sin 32-+=x x xx 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1.18. （本题满分12分）解：(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.………………………………4分故函数v (x )的表达式为60,(020)()200,(20200)3x v x xx ≤<⎧⎪=-⎨≤≤⎪⎩……………………………………………………6分 (2)依题意并由(1)可得60,(020)()(200),(20200)3x x f x x x x ≤<⎧⎪=-⎨≤≤⎪⎩………………………………………8分 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；……9分当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋200－x 22＝100003. ……………10分 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值100003.……………11分综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． ………12分 19．（本题满分12分）（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a 解得⎩⎨⎧==231d a ， 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．（Ⅱ）13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=-n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= .20.（本题满分12分）解：（1）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C ===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B ---==所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C AB B --=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B C π++=，所以sin 2sin C A = 因此sin 2.sin CA = （2）由sin 2sin CA =得2.c a =由余弦定理22222212cos cos ,2,4144.4b a c ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a 解得a=1因此c=2 又因为1cos ,.4B G B π=<<且所以sin B =因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯= 21.解：（1）由,21,0)12(,)2(,)2(2时当且仅当得==-+∴=+=+a x a ax x x ax x x a x.2004222004)1(2111,220051,1003122,10031)(.21,1}1{.2111,22)()2(.22)(.21,0)(111111111+=∴+=-+=∴=∴=+=+=∴=+=+==∴==+++n x n n x x x x x x f x x x x x x x x f x x xx f a x x x f n n n n n n n n n n 得由的等差数列公差为为首项是以所以得由此时有唯一解.11211121121171511513113111,121121114211414)12)(12(2)12()12(2,124009422004,20042)3(21222221221+<+-+=+--+++-++-++-+=+++∴+--+=-+=-+=+-++-=+=∴-=-⨯+=∴+=++n n n n n b b b n n n n n n n n n a a a a b n n a n x n nn nn n n n22.（本题满分12分） 【解】（Ⅰ）()()1e x f x x -'=-．令()()1e 0x f x x -'=-=，则1x =．当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),1-∞内是增函数，在区间()1,+∞内是减函数．函数()f x 在1x =处取得极大值()1f ．且()11e f =．（Ⅱ）因为函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以()()2g x f x =-，于是()()22e x g x x -=-．记()()()F x f x g x =-，则()()2e 2e x x F x x x --=+-，()()()221e 1e x xF x x --'=--，当1x >时，220x ->，从而22e 10x -->，又e 0x ->，所以()0F x '>，于是函数()F x 在区间[)1,+∞上是增函数．因为()111e e 0F --=-=，所以，当1x >时，()()10F x F >=．因此()()f xg x >．（Ⅲ）(1) 若()()12110x x --=，由（Ⅰ）及()()12f x f x =,得12x x =,与12x x ≠矛盾；(2) 若()()12110x x -->，由（Ⅰ）及()()12f x f x =,得12x x =,与12x x ≠矛盾；根据(1)，(2)可得()()12110x x --<．不妨设121,1x x <>．由（Ⅱ）可知()()()2222f x g x f x >=-，所以()()()()12222f x f x g x f x =>=-．因为21x >，所以221x -<，又11x <，由（Ⅰ），()f x 在区间(),1-∞内是增函数，所以 122x x >-，即122x x +>．。