河北省衡水中学高一数学下学期期中试题 文(扫描版)
2016-2017年河北省衡水中学高一(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 3．（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n4．（5分）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．125．（5分）若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4πC．D．3π7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π8．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCDB．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3πD．4π10．（5分）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．（5分）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）体积为V球A．B．C．D．12．（5分）在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC （m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1B．2C．D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．15．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D 两点所经过的路程之和是．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD 将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD ﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A 和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选：D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．3．（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n【解答】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故D错误．故选：C．4．（5分）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．12【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2．故选：A．5．（5分）若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O 为正方形ABCD的中心．连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，∴SE==．在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2，∴3=，解得a=2．∴SO=1，∴棱锥的体积V==．故选：B．6．（5分）已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4πC．D．3π【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=3，O1O=2，∴Rt△O1OC中，O1C=．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r==，可得截面面积为S=πr2=．故选：A．7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π【解答】解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为=48+π．故选：A．8．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCDB．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线【解答】解：如图作出过M的中截面，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD；∵几何体是正方体，∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC．过ACC1A1的平面如图，面MEF与面MPQ不垂直，当Q、P与D1，B1重合时，面MEF与面MPQ垂直，直线l与EF平行，是定直线．D错误．故选：D．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3πD．4π【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，则几何体的表面积为，该几何体的体积为；设其内切球半径为r，则，求得，所以内切球的表面积为．故选：B．10．（5分）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．11．（5分）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）球A．B．C．D．【解答】解：如图，设球O的半径为R，由V==，球得，∴R=，即OA=．设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG⊥平面ABCD，且AG=．∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为．故选：A．12．（5分）在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC （m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=2，AA1=3，点D为棱BC的中点，∴A（0，﹣1，0），C（0，1，0），D（），A1（0，﹣1，3），又点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），∴，设E（x，y，z），则，，∴（x，y+1，z﹣3）=（﹣mx，m﹣my，﹣mz），得x=0，y=，z=．∴E（0，，），则，，设平面AED的一个法向量为，由，取x=，得．平面ADC的一个法向量．∴|cos＜＞|=||=||=．解得：m=1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．【解答】解：构造三棱锥A﹣A 1DB，并且有=，因为=sh=××1×1×1=，所以==．设点A到平面A1DB的距离为x，又因为=×S A1BD×x=×××x=，所以x=，即点A到平面A1DB的距离为．故答案为：14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为8π．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三边为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：a=2，b=2，c=2，所以球的直径为：=2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π故答案为：8π．15．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=4，∴AO=DO=2，在△AOD中，AO=DO=2，又AD=2，∴cos∠AOD===0，则∠AOD=，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是×2π×OA=．故答案为：．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是①③④．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：对于①，显然三棱锥A﹣D1BC体积与P点位置无关，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，﹣1，﹣1），∴cos＜＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当p在直线BC1上运动时，AP平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C 的大小不变，故③正确；对于④，设Q为直线A1D1上任意一点，则Rt△QDD1≌Rt△QC1D1，∴QD=QC1，∴M的轨迹为直线A1D1，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC．∵的中点为D，∴OD⊥BC．又AC、OD共面，∴AC∥OD．又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD；（Ⅱ）解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h=r，l=，由，得r=3，∴，．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM﹣DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，又MA⊂平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴MA⊥BD．又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC=A，MA，AC⊂平面MAC，∴BD⊥平面MAC．…（6分）（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A﹣A1B1D1体积V==，∴h=，故该组合体的体积为V==．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD 将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．【解答】证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角，连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3，在Rt△ADF中，AF==，在△BCD中，由题设知∠BDC=60°，则BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos60°=28，∴BC=2，∴BE=，∴cos，在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE•cos∠CBD=13，在Rt△ADE中，cos∠AEF===，∴∠AEF=60°，'∴异面直线AE与BD所成的角为60°．20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）如图，连接AD1，∵E，F分别是AD，DD1的中点，∴AD1∥EF．又∵AD1∥BC1，∴EF∥BC1，∵EF⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1解：（2）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B﹣A1B1C1=，∴V ABCD﹣A1C1D1即S ABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的长为4．（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．（7分）因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．（10分）∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴=，∴C1Q=1又∵PQ∥BC，∴PQ=BC=．∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，∴A1P==21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．。
2016-2017年河北省衡水中学高一(下)期中数学试卷(理科)含参考答案
2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 3．（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n4．（5分）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．125．（5分）若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4πC．D．3π7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π8．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCDB．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3πD．4π10．（5分）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．（5分）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）体积为V球A．B．C．D．12．（5分）在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC （m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1B．2C．D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．15．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D 两点所经过的路程之和是．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD 将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD ﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A 和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选：D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．3．（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n【解答】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故D错误．故选：C．4．（5分）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A．B．3C．D．12【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2．故选：A．5．（5分）若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O 为正方形ABCD的中心．连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，∴SE==．在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2，∴3=，解得a=2．∴SO=1，∴棱锥的体积V==．故选：B．6．（5分）已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4πC．D．3π【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=3，O1O=2，∴Rt△O1OC中，O1C=．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r==，可得截面面积为S=πr2=．故选：A．7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π【解答】解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为=48+π．故选：A．8．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCDB．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线【解答】解：如图作出过M的中截面，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD；∵几何体是正方体，∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC．过ACC1A1的平面如图，面MEF与面MPQ不垂直，当Q、P与D1，B1重合时，面MEF与面MPQ垂直，直线l与EF平行，是定直线．D错误．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3πD．4π【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，则几何体的表面积为，该几何体的体积为；设其内切球半径为r，则，求得，所以内切球的表面积为．10．（5分）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．11．（5分）已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）球A．B．C．D．【解答】解：如图，==，设球O的半径为R，由V球得，∴R=，即OA=．设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG⊥平面ABCD，且AG=．∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为．故选：A．12．（5分）在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC （m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=2，AA1=3，点D为棱BC的中点，∴A（0，﹣1，0），C（0，1，0），D（），A1（0，﹣1，3），又点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），∴，设E（x，y，z），则，，∴（x，y+1，z﹣3）=（﹣mx，m﹣my，﹣mz），得x=0，y=，z=．∴E（0，，），则，，设平面AED的一个法向量为，由，取x=，得．平面ADC的一个法向量．∴|cos＜＞|=||=||=．解得：m=1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．【解答】解：构造三棱锥A﹣A 1DB，并且有=，因为=sh=××1×1×1=，所以==．设点A到平面A1DB的距离为x，又因为=×S A1BD×x=×××x=，所以x=，即点A到平面A1DB的距离为．故答案为：14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为8π．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三边为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：a=2，b=2，c=2，所以球的直径为：=2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π故答案为：8π．15．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=4，∴AO=DO=2，在△AOD中，AO=DO=2，又AD=2，∴cos∠AOD===0，则∠AOD=，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是×2π×OA=．故答案为：．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是①③④．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：对于①，显然三棱锥A﹣D1BC体积与P点位置无关，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，﹣1，﹣1），∴cos＜＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当p在直线BC1上运动时，AP平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C 的大小不变，故③正确；对于④，设Q为直线A1D1上任意一点，则Rt△QDD1≌Rt△QC1D1，∴QD=QC1，∴M的轨迹为直线A1D1，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC．∵的中点为D，∴OD⊥BC．又AC、OD共面，∴AC∥OD．又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD；（Ⅱ）解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h=r，l=，由，得r=3，∴，．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM﹣DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，又MA⊂平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴MA⊥BD．又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC=A，MA，AC⊂平面MAC，∴BD⊥平面MAC．…（6分）（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A﹣A1B1D1体积V==，∴h=，故该组合体的体积为V==．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD 将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．【解答】证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角，连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3，在Rt△ADF中，AF==，在△BCD中，由题设知∠BDC=60°，则BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos60°=28，∴BC=2，∴BE=，∴cos，在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE•cos∠CBD=13，在Rt△ADE中，cos∠AEF===，∴∠AEF=60°，'∴异面直线AE与BD所成的角为60°．20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD ﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）如图，连接AD1，∵E，F分别是AD，DD1的中点，∴AD1∥EF．又∵AD1∥BC1，∴EF∥BC1，∵EF⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1解：（2）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，∴V ABCD=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B﹣A1B1C1=，﹣A1C1D1即S ABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的长为4．（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．（7分）因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．（10分）∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴=，∴C1Q=1又∵PQ∥BC，∴PQ=BC=．∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，∴A1P==21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）等腰RT△条件：△OAB ，△OCD 均为等腰直角三角形结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB =90°；③OE 平分∠AED （易忘）任意等腰三角形条件：△OAB ，△OCD 均为等腰三角形，且∠AOB =∠COD结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB =∠AOB ；③OE 平分∠AED （易忘）模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA =OB ，OC =OD ；②∠AOB =∠COD导角核心图形模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOBOC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。
2016-2017年河北省衡水中学高一下学期期中数学试卷(文科)及参考答案
19． （12 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面△ABC 是边长为 2 的等边 三角形，D 为 AB 的中点． （Ⅰ）求证：BC1∥平面 A1CD （Ⅱ）若 A1D= ，求直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值．
20． （12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD， CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H，将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置． （Ⅰ）证明：AC⊥HD′； （Ⅱ）若 AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥 D′﹣ABCFE 体积．
14． （5 分）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱， 如图，∠AOC=120°，∠A1O1B1=60°，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧，则异 面直线 B1C 与 AA1 所成角的大小是 ．
15． （5 分）四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD，AB=2，若 该四棱锥的所有顶点都在表面积为 16π 的同一球面上，则 PA= ．
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）已知直线 2x﹣y﹣3=0 的倾斜角为 θ，则 sin2θ 的值是（ A． B． ） C． D． ）
2． （5 分）下列命题正确的是（
A．两两相交的三条直线可确定一个平面 B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 3． （5 分） 如图， △A'B'C'是△ABC 用“斜二测画法”画出的直观图， 其中 O'B'=O'C'=1， O'A'= ，那么△ABC 是一个（ ）
河北省衡水市武邑中学高一数学下学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集是（）A．{x|x＞2或x＜1} B．{x|x≥2或x≤1} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1＜x＜2}2．在下列命题中，不是公理的是（）A．经过两条相交直线有且只有一个平面B．平行于同一直线的两条直线互相平行C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线3．已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab B．|a|＜|b| C．D．4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+25．某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱6．在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．97．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90° B．30° C．45° D．60°8．如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣39．在等差数列{a n}中，a n＞0，且前10项和S10=30，则a5a6的最大值是（）A．3 B．6 C．9 D．3610．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π B．50π C．125πD．都不对11．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．12．在等差数列{a n}中，若＜﹣1，且{a n}的前n项和S n有最小值，则使得S n＞0的最小的n为（）A．11 B．19 C．20 D．21二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.13．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于．14．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a3=﹣6，S1=S5，则公差d= ；S n 的最小值为．15．若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=的定义域为A．（1）求A；（2）已知k＞0，集合B={x|}，且A∩B≠∅，求实数k的取值范围．18．如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，图中阴影部分（梯形剪去一个扇形）绕AB旋转一周形成一个旋转体．（1）求该旋转体的表面积；（2）求该旋转体的体积．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AD1⊥平面CDA1B1；（2）求直线AD1与直线BD所成的角．20．设数列{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+log2a n}（n∈N*）的前10项和T10．21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D 是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1（Ⅱ）求证：AC⊥BC1（Ⅲ）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．22．已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣ED﹣B的正弦值．2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集是（）A．{x|x＞2或x＜1} B．{x|x≥2或x≤1} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1＜x＜2}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式﹣x2+3x﹣2≥0化为x2﹣3x+2≤0，因式分解为（x﹣1）（x﹣2）≤0，即可解出．【解答】解：不等式﹣x2+3x﹣2≥0化为x2﹣3x+2≤0，因式分解为（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得1≤x≤2．∴原不等式的解集为{x|1≤x≤2}，故选：C．2．在下列命题中，不是公理的是（）A．经过两条相交直线有且只有一个平面B．平行于同一直线的两条直线互相平行C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据空间中平面的基本公理与推论，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，经过两条相交直线有且只有一个平面，是公理2的推理，不是公理；对于B，平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理；对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是公理1；对于D，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，是公理3．故选：A．3．已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab B．|a|＜|b| C．D．【考点】不等关系与不等式．【分析】令a=﹣2，b=﹣1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，从而得出结论．【解答】解：令a=﹣2，b=﹣1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，故选：C．4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+2【考点】平面图形的直观图．【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选B．5．某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形．【解答】解：根据该几何体的三视图，得出该几何体是平放的三棱柱，如图所示；故选：B．6．在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．9【考点】等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，可得=9， =27，两式相除可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得a3a6===9，①a2a4a5===27，②可得a2=3故选B7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90° B．30° C．45° D．60°【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．8．如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选B．9．在等差数列{a n}中，a n＞0，且前10项和S10=30，则a5a6的最大值是（）A．3 B．6 C．9 D．36【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的求和公式和性质结合题意可得a5+a6=6，由基本不等式可得．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a n＞0，且前10项和S10=30，∴S10==5（a1+a10）=5（a5+a6）=30，∴a5+a6=6，∴a5a6≤=9当且仅当a5=a6=3时取等号，故选：C10．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π B．50π C．125πD．都不对【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选B．11．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A．12．在等差数列{a n}中，若＜﹣1，且{a n}的前n项和S n有最小值，则使得S n＞0的最小的n为（）A．11 B．19 C．20 D．21【考点】等差数列的前n项和．【分析】＜﹣1，且{a n}的前n项和S n有最小值，可得a10＜0＜a11，0＜﹣a10＜a11，再利用求和公式即可判断出结论．【解答】解：∵＜﹣1，且{a n}的前n项和S n有最小值，∴a10＜0＜a11，0＜﹣a10＜a11，∴S19==19a10＜0．S20=＞0，则使得S n＞0的最小的n为20．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.13．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长×．【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径=1，底面周长=2π，∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π，故答案为：2π．14．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a3=﹣6，S1=S5，则公差d= 12 ；S n的最小值为﹣54 ．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】通过设数列{a n}的公差为d，利用S1=S5即a2+a3+a4+a5=0可知﹣24+2d=0，进而可得结论．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，∵a3=﹣6，∴a2=﹣6﹣d，a4=﹣6+d，a5=﹣6+2d，又∵S1=S5，∴a2+a3+a4+a5=0，即﹣24+2d=0，解得：d=12，∴a1=a3﹣2d=﹣6﹣24=﹣30，∴a n=﹣30+12（n﹣1）=12n﹣42，∴S n==6（n﹣3）2﹣54，∴当n=3时S n取最小值﹣54，故答案为：12；﹣54．15．若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞）．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据基本不等式可知a+b≥2，代入题设等式中得关于不等式方程，进而求得的范围，则ab的最大值可得．【解答】解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°；其中正确结论是①②④（写出所有正确结论的序号）【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论．【解答】解：作出如图的图象，其中A﹣BD﹣C=90°，E是BD的中点，可以证明出∠AED=90°即为此直二面角的平面角对于命题①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题③AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE=45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；对于命题④可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60°；综上知①②④是正确的故答案为①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=的定义域为A．（1）求A；（2）已知k＞0，集合B={x|}，且A∩B≠∅，求实数k的取值范围．【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由题意，得，解得即可，（2）求出集合B，再根据A∩B≠∅，即可求出a的范围．【解答】解：（1）由题意，得，解得﹣3＜x＜0，或2＜x＜3，∴函数的定义域为A={x|﹣3＜x＜0或2＜x＜3}．（2）∵x2﹣2x+1﹣k2≥0，∴当k＞0时，x≤1﹣k，或x≥1+k又x＞1，∴x≥1+k，∴B={x|x≥1+k}，又∵A∩B≠∅，∴，∴0＜k＜2，∴实数k的取值范围为0＜k＜2．18．如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，图中阴影部分（梯形剪去一个扇形）绕AB旋转一周形成一个旋转体．（1）求该旋转体的表面积；（2）求该旋转体的体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）旋转体为圆台挖去一个半球后的几何体，圆台的上下底面半径为AD，BC，高为AB，半球的半径为AD．于是几何体的表面积为圆台侧面积与底面积半球面积的和；（2）体积为圆台体积与半球体积的差．【解答】解：（1）旋转后的几何体是一个圆台从上面挖去一个半球，圆台的上下底面半径分别为2，5高为4，半球半径为2．圆台的母线长为CD==5．∴，S圆台侧=π×（2+5）×5=35π，，∴旋转体的表面积为S表=8π+35π+25π=68π．（2）V圆台=（4π+25π+10π）•4=52π，，∴旋转体的体积为．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AD1⊥平面CDA1B1；（2）求直线AD1与直线BD所成的角．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在正方体中AD1⊥A1D，又可得AD1⊥A1B1，由线面垂直的判定定理可得；（2）连接B1D1，AB1，可得∠AD1B1即为所求的角，解三角形可得．【解答】解：（1）∵在正方体中AD1⊥A1D，A1B1⊥面ADD1A1，且AD1⊂面ADD1A1，∴AD1⊥A1B1，而A1D，A1B1在平面CDA1B1内，且相交∴AD1⊥平面CDA1B1；（2）连接B1D1，AB1，∵BD∥B1D1，∴∠AD1B1即为所求的角，而三角形AB1D1为正三角形，故∠AD1B1=60°，∴直线AD1与直线BD所成的角为60°20．设数列{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+log2a n}（n∈N*）的前10项和T10．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，∴14﹣a2=6a2，解得a2=2，∴=14，又q＞1，解得q=2，a1=1，∴．（2），∴a n+log2a n=2n﹣1+n﹣1．，∴．21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D 是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1（Ⅱ）求证：AC⊥BC1（Ⅲ）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BC1∩B1C=O，由三角形的中位线性质可得OD∥AC1，从而利用线面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1，（Ⅱ）利用勾股定理证明AC⊥BC，证明C1C⊥底面ABC，可得AC⊥CC1，由线面垂直的判定定理证得AC⊥平面BCC1B1，从而证得AC⊥BC1．（Ⅲ）得到∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成的角，解三角形即可．【解答】解：（Ⅰ）如图：设BC1∩B1C=O，则O为BC1的中点，连接OD，∵D为AB的中点，∴OD∥AC1，又∵OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（Ⅱ）∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又∵C1C∥AA1，AA1⊥底面ABC，∴C1C⊥底面ABC，∴AC⊥CC1．又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1．而BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1．（Ⅲ）由（Ⅱ）得AC⊥平面B1BCC1，∴直线B1C是斜线AB1在平面B1BCC1上的射影，∴∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成的角，在RT△AB1C中，B1C=4，AC=3，∴tan∠AB1C==，直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值为．22．已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣ED﹣B的正弦值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．【分析】（1）通过已知条件可知，AC⊥底面BCED，再求出梯形BCED的面积，根据三棱锥的体积公式即可求出体积．（2）先找到异面直线所成的角，可过B作DE的平行线，则角ABF便是异面直线所成的角，根据条件求出即可．（3）先找出二面角的平面角，过C作CG⊥ED，并交ED于G，连接AG，则∠AGC即是所找的二面角的平面角，根据条件求出即可．【解答】解：（1）∵∠ACE，∠ACB都是直角，∴AC⊥BC，AC⊥CE，CB∩CE=C，CB⊂平面BCED，CE⊂平面BCED；∴AC⊥平面BCED．∴V=．（2）取CE中点F，连接BF，则BF∥DE，则∠ABF即异面直线DE与AB所成的角，连接AF．在△ABF中，AB=4，BF=，AF=；∴由余弦定理得：cos∠ABF=；异面直线DE与AB所成角的余弦值是．（3）过C作CG⊥DE，交DE于G，连接AG，∵AC⊥平面BCED，ED⊂平面BCED，∴AC⊥ED；∴ED⊥平面ACG，AG⊂平面ACG，∴ED⊥AG，∴∠AGC是二面角A﹣ED﹣B的平面角；在Rt△ACG中，AC=4，CG=，∠ACG=90°；∴tan∠AGC=，sin．。
河北省衡水中学11-12学年高一下学期期中考试(数学文必修4)
2011—2012学年度第二学期期中考试高一年级数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（2）选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．tan2012°是（ ）A.正数B.负数C.零D.不存在2．已知等于（ ） A.D.3．已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是 （ ） A. B.3 或C. D.或 4．函数1()()sin 2xf x x π=-在区间[0,2]上的零点个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5．如果(010,)6k k k Z πθ=≤≤∈,则θθsin tan ≥的概率为（ ） A.511 B.611 C.12 D.256．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4， 则P 的取值范围是 （ ）3cos()||,tan 222ππϕϕϕ-=<且则22ππθ-<<sin cos ,a θθ+=()0,1a ∈tan θ3-1313-3-13-A. 715816P <≤ B.1516P >C. 715816P ≤<D. 3748P <≤7．将直线10x y +-=绕点（1，0）沿逆时针方向旋转15︒得到直线l ，则直线l 与圆22(3)4x y ++=的位置关系是 （ ）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切8．方程a x =+)32sin(2π在],0[π上有两个不等的实数根21,x x ，则=+21x x （ ）A.πB.6π C.6π或67πD.与a 的取值有关 9下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是（ ）A ．)32sin(π-=x y B.)62sin(π-=x y C.)62sin(π+=x yD.)62sin(π+=x y 10．若，且，则下面结论正确的是 （ ） A. B. C. D.11．已知函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=，则f(x)的值域是 （ ）A.]1,1[-B.]1,22[-C.]22,1[-D.]22,1[-- 12．当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，下面四个函数中最大的是（ ） A. sin(cos )x B. sin(sin )x C. cos(sin )x D. cos(cos )x第Ⅱ卷（非选择题 共90分）（3）填空题（每题5分，共20分。
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河北省衡水中学高一下学期期中考试（数学理）第I 卷一，选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1,已知数列{}n a 的通项公式为()()1121+-=+n a n n ，则=3a （ ） A ．10- B.10 C.4 D.4- 2.求537+和537-的等差中项和等比中项分别是（ ）A ． 7, 2 B.7-，2 C. 7，2± D.7，2-3， 有四个命题：①d b c a d c b a ->-⇒<>,；②bd ac d c b a <⇒<<>>0,0③330b a b a <⇒<<；④22110b a b a >⇒>>；⑤若b a ,为实数，则2>+b aa b 其中命题正确的有（ ）个A ．2B 。
3C 。
4D 。
5 4．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21332a a a +=，则公比q 为（ ）A. 21B.1-C. 23D.325.某环保小组发现衡水市生活垃圾年增长率为b ，衡水市生产垃圾量为a 吨，由此可以预测垃圾量为（ ）A ．)101(b a + 吨B 。
()b a 91+ 吨C 。
10)1(b a + 吨D 。
9)1(b a +吨6. 等差数列{an} 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A ．130B 。
170C 。
210D 。
1607. 已知等比数列{}n a 中，102415321=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则1185a a a 等于 ·············· （ ）A ．16B 。
4C 。
72D 。
1088. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a = （ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 9. 已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( )A ．(]1,-∞-B 。
河北省衡水市2023-2024学年高一下学期期中考试 数学含答案
2023—2024学年度下学期期中测试高一数学试题（答案在最后）出题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A.B. C. D.2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i- B.42i- C.62i+ D.42i+3.如图，在ABCD Y 中，E 是BC 的中点，若AB a =，AD b = ，则DE等于（）A.12a b-r r B.12a b + C.12a b+ D.12a b-r r 4.在ABC 中，若1b =，60A =︒，ABC 的面积为3，则=a （）A.13B.13C.2D.25.已知||2a = ，向量a 在向量b 上的投影为3，则a 与b的夹角为（）A.π3B.π6C.2π3 D.π26.如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积()A. B.1 C.D.(21+7.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()22234S b a c =+-，则B ∠=A.90︒ B.60︒ C.45︒ D.30︒8.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2- B.32-C.43-D.1-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1=+z ，z 为z 的共轭复数，复数zzω=，则下列结论正确的是（）A.ω对应的点在复平面的第二象限B.||1ω=C.ω的实部为12-D.ω10.如果平面向量()2,4a =-，()6,12b =- ，那么下列结论中正确的是（）A.3b a= B .//a b C.a 与b的夹角为30︒D.a在b方向上的投影向量为()2,4-11.在ABC ∆中，下列命题正确的是（）A .若A B >，则sin sin A B>B.若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形C.若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D.若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________.13.水平放置的ABC 的直观图如图所示，已知3A C ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的实际长度为______．14.在同一个平面内，向量,,OA OB OC 的模分别为OA 与OC 的夹角为α，且tan 7,OB α= 与OC的夹角为45，若(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n +=_________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知||3a = ，||5b =，||7a b =+ .（1）求向量a 与b的夹角θ；（2）当向量ka b +与2a b -r r垂直时，求实数k 的值.16.复数22i(1i)1iz =++-，其中i 为虚数单位．（1）求z 及z ；（2）若223i z az b ++=+，求实数a ，b 的值．17.ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知sin cos c B b C =．（1）求C ；（2）若c =，b =，求ABC ∆的面积．18.已知复数1i z m =+（i 是虚数单位，R m ∈），且(3i)z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）（1）求实数m 及z ；（2）设复数20231i a z z-=，且复数1z 对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．19.在ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，现有下列四个条件：①a =②2b =;③cos 2cos 0A A +=；④2223a cb ac +-=-．（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）已知ABC 同时满足上述四个条件中的三个．请选择使ABC 有解的三个条件，求ABC 的面积．2023—2024学年度下学期期中测试高一数学试题出题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【详解】试题分析：B 是经过正方体对角面的截面；C 是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D 是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．考点：截面及其作法2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i -B.42i- C.62i+ D.42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.3.如图，在ABCD Y 中，E 是BC 的中点，若AB a =，AD b = ，则DE等于（）A.12a b-r r B.12a b + C.12a b+ D.12a b-r r【答案】D 【解析】【分析】利用三角形法则与平行四边形法则表示向量.【详解】因为E 是BC 的中点，AB a =，AD b =，所以111222CE CB AD b ==-=- ，所以12DE DC CE AB CE a b =+=+=-.故选：D.4.在ABC 中，若1b =，60A =︒，ABC=a （）A.13B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】先用面积公式求出c ，再用余弦定理求出a .【详解】在ABC 中，1b =，60A =︒，ABC 的面积为所以11sin 1222ABC bc A S c ==⨯⨯⨯= 解得：c =4.由余弦定理得：2222cos 116413a b c bc A =+-=+-=,所以=a 故选：B.5.已知||2a =，向量a 在向量b ，则a 与b 的夹角为（）A.π3B.π6C.2π3 D.π2【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出a 与b夹角的余弦值，即可得出夹角大小.【详解】记向量a与向量b的夹角为θ，a ∴ 在b上的投影为cos 2cos a θθ= .a 在b上的投影为3，3cos 2θ∴=，[]0,πθ∈ ，π6θ∴=.故选：B.6.如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积()A.22B.1C.2D.(212+【答案】A 【解析】【分析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB 2=，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×2=2．故选A ．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．7.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()22234S b a c =+-，则B ∠=A.90︒ B.60︒ C.45︒ D.30︒【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及()2224S b a c =+-，得1sin 2cos 24ab C ab C =⋅,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =.故选D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．8.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2-B.32-C.43-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[()]24PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，32y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1=+z ，z 为z 的共轭复数，复数zzω=，则下列结论正确的是（）A.ω对应的点在复平面的第二象限B.||1ω=C.ω的实部为12-D.ω【答案】BC 【解析】【分析】根据共轭复数的概念求出z ，然后结合复数的除法运算求出ω，根据复数的概念以及几何意义和模长公式逐项分析即可.【详解】因为1=+z ，所以1z =，所以21i422z z --====--ω，对应点为122⎛-- ⎪⎝⎭，在第三象限，1ω==，实部为12-，虚部为2-，选项B ，C 正确，选项A ，D 错误．故选：BC ．10.如果平面向量()2,4a =-，()6,12b =- ，那么下列结论中正确的是（）A.3b a= B.//a bC.a与b的夹角为30︒D.a在b方向上的投影向量为()2,4-【答案】AB 【解析】【分析】根据向量模、共线、夹角、投影向量等知识确定正确选项.【详解】3a b b a ===，A 正确.3a b =- ，所以//a b 且,a b反向，所以B 正确，C 错误.a 在b 方向上的投影向量为()2,4a b b b b-⋅⋅==-，D 错误.故选：AB11.在ABC ∆中，下列命题正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B>B.若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形C.若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D.若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B ，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项C ，用正弦定理边化角，再将sin sin()C A B =+代入展开，整理可得cos 0A =，所以正确；选项D ，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.【详解】在ABC ∆中，若A B >，则a b >，因此sin sin A B >，A 正确；若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误；若cos cos a B b A c -=，则sin cos sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+，所以sin cos 0B A =，即cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3:5:7，设最大边所对的角为θ，则2223571cos 2352θ+-==-⨯⨯，因为0θπ<<，所以23πθ=，D 正确.故选:ACD.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于0180，属于中档题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________.【答案】75【解析】【详解】由正弦定理sin sin b c B C =，得3sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B = ，则18075A B C =--=o o .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.13.水平放置的ABC 的直观图如图所示，已知3A C ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的实际长度为______．【答案】52【解析】【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出ABC 实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且3,24AC A C BC B C ''''====，AC BC ⊥,所以22291625AB AC BC =+=+=，所以5AB =，故AB 边上中线长为5 2.522AB ==.故答案为：2.5.14.在同一个平面内，向量,,OA OB OC的模分别为OA 与OC 的夹角为α，且tan 7,OB α= 与OC的夹角为45，若(),OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m n +=_________．【答案】3【解析】【详解】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则()1,0A ，由OC的模为与OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=知，cos ,1010sin αα==，可得17,,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()cos 45,45B sin αα++ ，34,55B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+可得13173455,,,74555555m n m n n n ⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知||3a = ，||5b = ，||7a b =+ .（1）求向量a 与b 的夹角θ；（2）当向量ka b + 与2a b -r r 垂直时，求实数k 的值.【答案】（1） 60θ= ；（2）8512-.【解析】【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出a b ⋅，再利用夹角公式计算作答；（2）利用垂直的向量表示及数量积的运算律求解作答.【小问1详解】因||3a = ，||5b = ，||7a b =+ ，则有22249()29252a b a b a b a b =+=++⋅=++⋅ ，解得152a b ⋅= ，因此1512cos 352||||a b a b θ⋅===⨯ ，而0180θ≤≤ ，于是得60θ= ，所以向量a 与b 的夹角60θ= .【小问2详解】因向量ka b + 与2a b -r r 垂直，由（1）知152a b ⋅= ，则22()(2)2)15(19(120)5022k ka k a b a b a b k k b +=+⋅-=-⋅--=+- ，解得8512k =-，所以实数k 的值为8512-.16.复数22i (1i)1iz =++-，其中i 为虚数单位．（1）求z 及z ；（2）若223i z az b ++=+，求实数a ，b 的值．【答案】（1）13i z =-+，z =（2）3,7.a b =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解z ；（2）首先将13i z =-+代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【小问1详解】∵()()()()222i 1i 2i (1i)12i i 2i i 1i 13i 1i 1i 1i z +=++=+++=++=-+-+-，∴z ==【小问2详解】由（1）可知13i z =-+，13iz =--由223i z az b ++=+，得：2(13i)(13i)23i a b -++--+=+，即(8)(63)i 23i a b a --++--=+，∴82,63 3.a b a --+=⎧⎨--=⎩，解得3,7.a b =-⎧⎨=⎩17.ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知sin cos c B b C =．（1）求C ；（2）若c =，b =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）4π；（2）5.【解析】【分析】（1）根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，化简即得C 的值；（2）先利用余弦定理求出a 的值，再求ABC ∆的面积．【详解】（1）因为sin cos c B b C =，根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，又sin 0B ≠，从而tan 1C =，由于0C π<<，所以4C π=．（2）根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，而c =，b =，4C π=，代入整理得2450a a --=，解得5a =或1a =-（舍去）．故ABC ∆的面积为11sin 55222ab C =⨯⨯=．【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.已知复数1i z m =+（i 是虚数单位，R m ∈），且(3i)z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）（1）求实数m 及z ；（2）设复数20231i a z z-=，且复数1z 对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3m =-，z =（2）1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简(3i)z ⋅+，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出m 的值，即可求出z ，从而求出其模；（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简1z ，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】∵1i z m =+，∴1i z m =-，∴i)(1i)(3i)(3)(13)i z m m m +=-+=++-， (3+i)z ⋅为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-，故13i z =-，则z ==【小问2详解】2023450533i i i i ⨯+===- ，()()()()20231i 1+3i i i 331=i 13i 13i 1+3i 1010a a a a a z z ∴+-+-+===+--， 复数1z 所对应的点在第二象限，∴301031010a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得133a -<<，故实数a 的取值范围为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.在ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，现有下列四个条件：①a =②2b =;③cos 2cos 0A A +=；④2223a cb ac +-=-．（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）已知ABC 同时满足上述四个条件中的三个．请选择使ABC 有解的三个条件，求ABC 的面积．【答案】（1）不能同时成立，理由见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得π3A =，由④利用余弦定理可得2ππ3B <<，即可三角形内角和可得结论；（2）确定满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选①②③，则可由正弦定理求得B ，即可由三角形面积公式求得答案；若选①②④，可由余弦定理求得c ，再求得sin B ，即可求得三角形面积.【小问1详解】由条件③cos 2cos 0A A +=，可得22cos cos 10A A +-=．解得1cos 2A =或cos 1A =-（因为()0,πA ∈,舍去），因为()0,πA ∈，所以π3A =；由条件④2223a c b ac +-=-，可得222cos 23a cb B ac +-==-，因为312πcos cos 323B =-<-=，且()0,πB ∈，而cos y x =在()0,π上单调递减，所以2ππ3B <<．若条件③④能同时成立，则π2ππ33A B +>+=与πA B +<矛盾，所以③④两个条件不能同时成立．【小问2详解】因为ABC 同时满足题目条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选择①②③：由（1）知π3A =，由sin sin a b AB =，可得32sin 2sin 1b A B a ⨯===，因为()0,πB ∈，所以π2B =，所以△ABC 为直角三角形，所以1c ==，所以ABC的面积1122S =⨯=．若选择①②④：由（1）知cos 3B =-，由2222cos b a c ac B =+-，得2433c c ⎛⎫=+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，即221c c+=，解得1c =（负值舍去）．因为()0,πB ∈，所以sin 3B ==，所以ABC的面积)112sin 12232S ac B ==⨯=．。
河北省衡水中学高一(下)期中数学试卷(理科)
河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B． C．D．2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1 B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C13．在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥β B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥β D．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n4．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A． B．3 C． D．125．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A． B． C． D．6．已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A． B．4π C． D．3π7．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+π B．48﹣π C．48+2π D．48﹣2π8．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直 D．当x变化时，l不是定直线9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A． B． C．3π D．4π10．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上 B．恒有平面A′GF⊥平面BCED C．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值 D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．12．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1 B．2 C． D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．15．如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．19．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．20．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B． C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D．2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A ，B ，C 的直线都和直线EF 异面，而由图形即可看出直线B 1C 1和直线相交，从而便可得出正确选项．【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA 1，A 1B 1，A 1D 1都和直线EF 为异面直线； B 1C 1和EF 在同一平面内，且这两直线不平行； ∴直线B 1C 1和直线EF 相交，即选项D 正确． 故选：D ．3．在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α且α∥β，则m ∥βB ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nC ．若m ⊥α且α∥β，则m ⊥βD ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n 【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A 中，m ∥β或m ⊂β；在B 中，m 与n 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β；在D 中，m 有可能垂直于n ．【解答】解：由m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知： 在A 中，若m ∥α且α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误； 在C 中，若m ⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故C 正确； 在D 中，若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 有可能垂直于n ，故D 错误． 故选：C ．4．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的周长为（ ）A ．B ．3C ．D ．12【考点】LB ：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法得到三角形OAB的底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，然后求三角形的周长即可．【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2．故选：A．5．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高与斜高，得出侧面与底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面边长，代入体积公式计算．【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O为正方形ABCD 的中心．连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，∴SE==．在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2，∴3=，解得a=2．∴SO=1，∴棱锥的体积V==．故选B．6．已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4π C．D．3π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD，而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=3，O1O=2，∴Rt△O1OC中，O1C=．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r==，可得截面面积为S=πr2=．故选A．7．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，可得原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．然后利用正方体的表面积及球的表面积求解．【解答】解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为=48+π．故选：A．8．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】画出直线l，然后判断选项即可．【解答】解：如图作出过M的中截面，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD；∵几何体是正方体，∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC．过ACC1A1的平面如图，面MEF与面MPQ不垂直，当Q、P与D1，B1重合时，面MEF与面MPQ垂直，直线l与EF平行，是定直线．D错误．故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3π D．4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据图中数据求出几何体的表面积与体积，从而求出其内切球的半径r，再计算内切球的表面积．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，则几何体的表面积为，该几何体的体积为；设其内切球半径为r，则，求得，所以内切球的表面积为．故选：B．10．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．=，11．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A．B．C． D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】过球心O作平面ABCD的垂线OG，则G为正方形中心，∠OAG为OA与平面ABCD所成的角，求出球的半径OA，再求出AG，即可得出所求角的余弦值．【解答】解：如图，设球O的半径为R，由V==，球得，∴R=，即OA=．设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG⊥平面ABCD，且AG=．∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为．故选：A．12．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由题意画出图形，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面AED的一个法向量（用含有m 的代数式表示），再求得平面ADC的一个法向量，结合二面角E﹣AD﹣C的余弦值为列式求得m值．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，∴A（0，﹣1，0），C（0，1，0），D（），A1（0，﹣1，3），又点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），∴，设E（x，y，z），则，，∴（x，y+1，z﹣3）=（﹣mx，m﹣my，﹣mz），得x=0，y=，z=．∴E（0，，），则，，设平面AED的一个法向量为，由，取x=，得．平面ADC的一个法向量．∴|cos＜＞|=||=||=．解得：m=1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】利用等体积法，即=，求点A到平面A1DB的距离．【解答】解：构造三棱锥A﹣A1DB，并且有=，因为=sh=××1×1×1=，所以==．DB的距离为x，设点A到平面A1×x=×××x=，又因为=×SA1BD所以x=，即点A到平面ADB的距离为．1故答案为：14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：a=2，b=2，c=2，所以球的直径为： =2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π故答案为：8π．15．如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【考点】G7：弧长公式．【分析】由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=2，在△AOD中，AO=DO=2，又AD=2，∴cos∠AOD===0，则∠AOD=，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是×2π×OA=．故答案为：．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是①③④．（写出所有正确命题的编号）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】利用体积公式判断①，利用向量计算夹角判断②，根据二面角的定义判断③，利用全等判断④．【解答】解：对于①，显然三棱锥A﹣D1BC体积与P点位置无关，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，﹣1，﹣1），∴cos＜＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当p在直线BC1上运动时，AP平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，故③正确；对于④，设Q为直线A1D1上任意一点，则Rt△QDD1≌Rt△QC1D1，∴QD=QC1，∴M的轨迹为直线AD1，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由AB是底面圆的直径，可得AC⊥BC．再由的中点为D，可得OD⊥BC．则AC ∥OD．由线面平行的判定可得AC∥平面POD；（Ⅱ）设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，由题意可得h=r，l=，由△PAB面积是9求得r=3，代入圆锥表面积公式与体积公式求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC．∵的中点为D，∴OD⊥BC．又AC、OD共面，∴AC∥OD．又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD；（Ⅱ）解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h=r，l=，由，得r=3，∴，．18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．结合BD⊥AC，证明BD⊥平面MAC．（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM﹣DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，又MA⊂平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴MA⊥BD．又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC=A，MA，AC⊂平面MAC，∴BD⊥平面MAC．…（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A﹣A1B1D1体积V==，∴h=，故该组合体的体积为V==．19．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AD⊥CD，AD⊥BD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面BCD．（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∠AEF是异面直线AE与BD所成角，由此能求出异面直线AE与BD所成的角．【解答】证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角，连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3，在Rt△ADF中，AF==，在△BCD中，由题设知∠BDC=60°，则BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos60°=28，∴BC=2，∴BE=，∴cos，在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE•cos∠CBD=13，在Rt△ADE中，cos∠AEF===，∴∠AEF=60°，'∴异面直线AE与BD所成的角为60°．20．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【考点】LS：直线与平面平行的判定；L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）法一：连接D1C，已知ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，可证四边形A1BCD1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；法二：根据长方体的几何特征由平面A 1AB ∥平面CDD 1C 1．证得A 1B ∥平面CDD 1C 1． （2）设A 1A=h ，已知几何体ABCD ﹣A 1C 1D 1的体积为，利用等体积法VABCD ﹣A 1C 1D 1=VABCD ﹣A 1B 1C 1D 1﹣VB ﹣A 1B 1C 1，进行求解．（3）在平面CC 1D 1D 中作D 1Q ⊥C 1D 交CC 1于Q ，过Q 作QP ∥CB 交BC 1于点P ，推出A 1P ⊥C 1D ，证明A 1P ⊥C 1D ，推出△D 1C 1Q ∽Rt △C 1CD ，再求求线段A 1P 的长． 【解答】证明：（1）证法一：如图，连接D 1C ， ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体， ∴A 1D 1∥BC 且A 1D 1=BC ．∴四边形A 1BCD 1是平行四边形． ∴A 1B ∥D 1C ．∵A 1B ⊄平面CDD 1C 1，D 1C ⊂平面CDD 1C 1， ∴A 1B ∥平面CDD 1C 1．证法二：∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体， ∴平面A 1AB ∥平面CDD 1C 1．∵A 1B ⊂平面A 1AB ，A 1B ⊄平面CDD 1C 1． ∴A 1B ∥平面CDD 1C 1．解：（2）设A 1A=h ，∵几何体ABCD ﹣A 1C 1D 1的体积为，∴V ABCD ﹣A1C1D1=V ABCD ﹣A1B1C1D1﹣V B ﹣A1B1C1=， 即S ABCD ×h ﹣×S △A 1B 1C 1×h=，即2×2×h ﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A 1A 的长为4．（3）在平面CC 1D 1D 中作D 1Q ⊥C 1D 交CC 1于Q ， 过Q 作QP ∥CB 交BC 1于点P ，则A 1P ⊥C 1D ． 因为A 1D 1⊥平面CC 1D 1D ，C 1D ⊂平面CC 1D 1D ， ∴C 1D ⊥A 1D 1，而QP ∥CB ，CB ∥A 1D 1， ∴QP ∥A 1D 1， 又∵A 1D 1∩D 1Q=D 1， ∴C 1D ⊥平面A 1PQC 1，且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴=，∴C1Q=1又∵PQ∥BC，∴PQ=BC=．∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，∴A1P==21．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由AD⊥平面A1BC得BC⊥AD，由AA1⊥平面ABC得BC⊥AA1，故BC⊥平面A1AB，所以BC⊥A1B；（II）设PC=x，用x表示出棱锥A1﹣BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．。
河北省衡水市武邑中学2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析)
河北武邑中学2021-2022高一下学期期中考试数学试题一.选择题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合，再由补集的定义可得结果.【详解】因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法以及集合补集的定义，属于基础题.2.已知向量，，，若，则的值为（）A. 3B.C.D. -3【答案】A【解析】【分析】先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.【详解】因为，所以由得，选A. 【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.3.要得到函数图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（）A. 伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度B. 伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度4C. 缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度D. 缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度【答案】A【解析】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到再将得到的图象向左平移个单位长度得到故选A．点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键．4.若函数.则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求出与时函数值的取值范围，再求并集即可.【详解】因为时，；时，所以函数值域是，故选A.【点睛】本题主要考查分段函数的值域以及指数函数与对数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（）A. -1B. 1C.D.【解析】【分析】先根据得到，可得,再根据向量投影的定义即可得结果. 【详解】因为平面向量是非零向量,,,即,因为，所以,所以，向量在向量方向上的投影为，故选A.【点睛】平面向量数量积公式主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.6.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得的值，然后利用，展开后计算得出正确选项.【详解】由于，所以.故，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7.已知、、是锐角的三个内角，向量，，则与的夹角是（）A. 直角B. 钝角C. 锐角D. 不确定【答案】C【分析】根据锐角三角形的性质可知，可得，从而可得结果.【详解】因为是锐角的三个内角，所以，即，所以，又因为向量，，.故的夹角为锐角.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示以及锐角三角形的性质、诱导公式以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是.8.如图图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，，在上任取一点，则此点取自正方形的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，由可得，解得，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】设，因为，所以，即，解得，设在任取一点，则此点取自正方形的事件为，由几何概型概率公式可得，.故选A.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.9.如图是函数（）的部分图象，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由,求得，从而求出函数的解析式，再由求得，进而可得结果. 【详解】由函数图象得,所以，所以，又因为，所以或，又因为函数周期为，故，解得，则.故选D【点睛】本题主要考查的是三角函数的图象与解析式，同时考查了正弦函数的周期公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.10.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的性质可得而且，利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上单调递增且连续，而，，即，所以，函数的零点所在的区间是，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.11.已知中，，，，于，，则（）A. 6B.C. 3D.【答案】A【解析】【分析】求得结合，利用，根据平面向量数量积的运算法则化简即可得结果.【详解】因，，，所以，因为，且,所以，，可得，，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.12.若是方程的解，是方程的解，则等于（）A. B. 1 C. D. -1【答案】B【解析】【分析】方程的根就是对应函数图象的交点，利用函数与互为反函数，推出函数图象交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题．【详解】因为是方程的解，是方程的解；所以是方程的解，是方程的解，是图象交点的横坐标；是图象交点的横坐标，因为与互为反函数，所以与的图象关于对称，又因为的图象也关于对称，所以关于对称，可得，，故选B.【点睛】本题主要考查反函数的性质，函数图象的应用，考查转化思想，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将方程的根的问题转化成曲线交点问题是解题的关键.二.填空题：将答案填在答题卡上相应位置.13.不共线向量，满足，且，则与的夹角为________.【答案】【解析】由垂直可知=0,即,,,又因为 ,所以.填（或）.14.定义在上的函数满足，若，且，则________.【答案】4【解析】【分析】先化简的表达式，然后计算的表达式，结合的奇偶性可求得的值. 【详解】依题意，故为奇函数..故，所以.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.15.若圆与圆相切，则的值为________.【答案】【解析】【分析】根据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值，解得的值.【详解】因为，所以,因为两圆相切，所以或，解得或.【点睛】本题考查两圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基本题.16.在平面内，点是定点，动点，满足，，则集合所表示的区域的面积是________.【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积.【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.三.解答题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知定义在上的函数是增函数.（1）若，求的取值范围；（2）若函数是奇函数，且，解不等式.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)结合函数的定义域，利用单调性,原不等式转化为,由此解不等式组可求得的范围；(2)利用函数的单调性、奇偶性、结合，将原不等式转化为,解不等式即可得出结论.【详解】（1）由题意可得，，求得，即的范围是.（2）∵函数是奇函数，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴.∴不等式的解集为.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性、奇偶性的应用，以及抽象函数解不等式，属于中档题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.18.设向量，，为锐角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示可得，求出的值，进而可得结果；(2) 由,利用向量共线的充要条件可得，再利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】（1）∵，∴.∴又∵为锐角，∴.(2) ∵,∴.∴，∵.【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标表示以及向量共线的充要条件，考查了两角差的正切公式的应用，属于中档题.向量的位置关系问题是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.19.如图所示，平面上，点，点在单位圆上且.（1）若点，求的值：（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.【答案】（1）﹣，（2）．【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得tanθ，进而得到tan2θ，最后求出．（2）由条件求出•，于是得到+•=sinθ+cosθ+1=sin（θ+）+1（0＜θ＜π），然后再根据三角函数的相关知识求解．【详解】（1）由条件得B（﹣，），∠AOB=θ，∴ tanθ==﹣，∴ tan2θ = = = ，∴tan（2θ+）= = =﹣．（2）由题意得=||||sin（π﹣θ）=sinθ．∵=（1，0），=（cosθ，sinθ），∴ =+=（1+cosθ，sinθ），∴ •=1+cosθ，∴ +•=sinθ+cosθ+1=sin（θ+）+1（0＜θ＜π），∵ ＜＜，∴﹣＜sin（）≤1，∴ •．∴+•的取值范围为．【点睛】本题将三角函数的知识与向量结合在一起考查，体现了向量的工具性，解题时可根据所给的条件及要求逐步将问题进行转化，最后化为三角函数的问题求解．20.一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面；已知水轮按逆时针做匀速转动，每转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1) 设，，先根据的最大和最小值求得和的值,利用周期公式求得,根据当时,,可求得的值,从而可得结果；(2)由最大值为3,可得三角函数方程,进而可求点第一次到达最高点的时间;【详解】（1）设，，则，，∴，∴∴，∵，，∴，∴.∵，∴，∴（2）令，得，∴，∴∴点第一次到达最高点大约要的时间.【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求解析式，以及三角函数性质的实际应用，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延长交于点，因为，为中点，所以≌，所以．因为，所以．由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（3）设为中点，连接，．由已知，所以平面．又因为，所以平面，所以平面平面．因为，，所以平面，所以多面体为直三棱柱．因为，且，所以．由已知，且，所以，且．又因为，平面，所以平面．因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数（1）设，比较：与的大小关系；（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）分别求出与的值，利用对数的运算法则化简，从而可得结果; （2）先判断函数的单调性与奇偶性，函数有零点，等价于有解，即方程有解，换元后，利用导数求出的取值范围即可.【详解】（1）∵又∵，（2）由得，所以定义域关于原点对称，又∵，即函数是奇函数若当时，函数有零点.即当时，方程有解，即有解，又∵，是减函数，则有解，则有解，设，∵.，设函数，则在上为增函数，∴，，∴，所以.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，以及函数单调性、奇偶性的应用，考查了同角三角函数的关系以及利用导数研究数的单调性，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于难题.。
河北省衡水市武邑中学高一下学期期中考试数学试题 答案和解析
【全国百强校】河北省衡水市武邑中学【最新】高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合3A |01x x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则C R A =（ ） A ．[3,1)-B ．(,3)[1,)-∞-⋃+∞C ． (3,1)-D ． (,3](1,)-∞-⋃+∞2．已知向量(1,2)a =，(2,1)b =-，(1,)c λ=，若()a b c +⊥，则λ的值为（ ） A ．3 B ．13- C ．13 D ．-33．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度 4．若函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩.则函数()f x 的值域是（ ）A ．(,2)-∞B ．[0,)+∞C ．(,0)(0,2)-∞D ．(,2]-∞ 5．已知向量a ，b 满足2=a ，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．-1B ．1 CD． 6．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为（ ） A．10- B．10 C．10 D．10-7．已知A 、B 、C 是锐角ABC ∆的三个内角，向量()sin ,1p A =，()1,cos q B =-，则p 与q 的夹角是（ ）A ．直角B ．钝角C ．锐角D ．不确定8．如图图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，已知2BC =，AC 4=，在ABC 上任取一点，则此点取自正方形DEFC 的概率为（ ）A ．49B ．29 C ．59 D ．129．如图是函数()cos()f x x πφ=+（02πφ<<）的部分图象，则()0f 6x =（）A ．12B ．12-C ．D 10．函数2()ln(1)f x x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．(1,1)e - C ．(1,2)e - D ．(2,)e11．已知ABC 中，2AB =，3,AC =，60A ︒∠=，AD BC ⊥于D ，AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．6B ．C ．3D ．12．若1x 是方程x xe 1=的解，2x 是方程ln 1x x =的解，则12x x 等于（ ） A ．eB ．1C ．1eD ．-1二、填空题13．不共线向量a ，b 满足||||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为________. 14．定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，若()()cos 1g x f x x =+，且(ln 2)2g =-，则1ln 2g ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 15．若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为________. 16．在平面内，点A 是定点，动点B ，C 满足||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{|,12}P AP AB AC λλ=+≤≤所表示的区域的面积是________.三、解答题17．已知定义在[3,3]-上的函数()y f x =是增函数.（1）若(1)(21)f m f m +>-，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，解不等式(1)10f x ++>.18．设向量(2,sin )a θ=，(1,cos )b θ=，θ为锐角.（1）若136a b ⋅=，求sin cos θθ+的值； （2）若//a b ，求tan 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 19．如图所示，在xoy 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上且AOB θ∠=(0)θπ<<.（1）若点34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求tan 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值：（2）若OA OB OC +=，四边形OACB 的面积用S 表示，求S OA OC +⋅的取值范围. 20．一半径为2m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1m ；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s 转一圈，如果当水轮上点p 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，将点P 距离水面的高度()h m 表示为时间()t s 的函数；（2）点P 第一次到达最高点大约要多长时间？21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ︒∠=，1AB AD ==，2BC =.（1）求证：AF CD ⊥；（2）若M 为线段BD 的中点，求证：//CE 平面AMF ；（3）求多面体ABCDEF 的体积.22．已知函数()1lg 1x f x x-=+. （1）设(),1,1a b ∈-，比较：()()f a f b +与1a b f ab +⎛⎫⎪+⎝⎭的大小关系； （2）当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数()()2sin cos 2y f x f m x m =++有零点，求实数m 的取值范围.参考答案1．B【分析】利用分式不等式的解法化简集合A ，再由补集的定义可得结果.【详解】 因为{}33|0|0|3111x x A x x x x x x ++⎧⎫⎧⎫=≥=≤=-≤<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭， 所以C R A =()[),31,-∞-+∞，故选B. 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法以及集合补集的定义，属于基础题.2．A【分析】先求a b +，再根据向量数量积得方程，解得λ的值.【详解】因为()3,1a b +=，所以由()a b c +⊥得()()3,11,0303λλλ=+==-，，，选A. 【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式||||cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.3．B【详解】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．详解：将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到12233y x x ππ=⨯-=-（）（），再将得到的图象向左平移4π个单位长度得到3412y x x （）（），πππ=-+=- 故选B ． 点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合ω和ϕ的关系是解决本题的关键．【分析】分别求出1x <与1≥x 时函数值的取值范围，再求并集即可.【详解】因为1x <时，22x <；1≥x 时，2log 0,x -<所以函数()f x 的值域是(),2-∞，故选A.【点睛】本题主要考查分段函数的值域以及指数函数与对数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5．A【分析】先根据()2a a b ⊥+得到(2)0a a b ⋅+=，可得2a b ⋅=-,再根据向量投影的定义即可得结果.【详解】因为平面向量,a b 是非零向量,(2)a a b ⊥+, (2)0a a b ∴⋅+=,即220a a b +⋅=, 因为2=a ，所以2a b ⋅=-,所以，向量b 在向量a 方向上的投影为21||2a b a ⋅-==-，故选A. 【点睛】 平面向量数量积公式主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b θ= （此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.【分析】 先求得πsin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，展开后计算得出正确选项. 【详解】由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin 4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43525210=⨯-⨯=，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 7．C【分析】 根据锐角三角形的性质可知02A B π>->，可得sin cos 0p q A B ⋅=->，从而可得结果. 【详解】因为,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角， 所以2A B π+>，即02A B π>->， 所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-=⎪⎝⎭， 又因为向量()sin ,1p A =，()1,cos q B =-，sin cos 0p q A B ⋅=->.故,p q 的夹角为锐角.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示以及锐角三角形的性质、诱导公式以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+.8．A【分析】设CD x =，由//DE BC 可得424x x -=，解得43x =，利用几何概型概率公式可得结果. 【详解】设CD x =，因为//DE BC ， 所以AD DE AC CB=， 即424x x -=，解得43x =， 设在ABC ∆任取一点，则此点取自正方形DEFC 的事件为A ，由几何概型概率公式可得，2DFFC 443()19422ABC S P A S ∆⎛⎫ ⎪⎝⎭===⨯⨯.故选A. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.9．D【分析】由()02f =,求得6π=ϕ，从而求出函数的解析式，再由()02f x =求得053x =，进而可得结果.【详解】由函数图象得()()00cos f f x ϕ===, 所以6π=ϕ， 所以()cos()6f x x ππ=+，又因为()00cos 6f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以0266x k ππππ+=+或011266x k ππππ+=+， 又因为函数()f x 周期为22T ππ==，故002x <<，解得053x =，则()06(10)cos 1062f x f ππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选D【点睛】 本题主要考查的是三角函数的图象与解析式，同时考查了正弦函数的周期公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.10．C【分析】根据对数函数的性质可得而(1)0f e -<且(2)0f >，利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()()2ln 1f x x x =+-在()0,∞+上单调递增且连续， 而22(1)ln(11)1011f e e e e -=-+-=-<--， 2(2)ln(21)ln 3102f =+-=->， 即()(1)20f e f -<，所以，函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是()1,2e -，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.11．A【分析】求得,BC AC AB =-结合AD AB AC λμ=+，利用AD BC ⊥，根据平面向量数量积的运算法则化简即可得结果.【详解】因为2AB =，3,AC =，60A ︒∠=， 所以12332AB AC ⋅=⨯⨯=， 因为,BC AC AB =-AD AB AC λμ=+，且AD BC ⊥,所以()()0AB AC AC AB λμ+⋅-=，22()0AB AC AB AC λμλμ∴-++-⋅=，可得493()0λμλμ-++-=，66λλμμ=⇒=，故选A. 【点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.12．B【分析】方程的根就是对应函数图象的交点，利用函数ln y x =与x y e =互为反函数，推出函数图象交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题．【详解】因为1x 是方程1x xe =的解，2x 是方程ln 1x x =的解；所以1x 是方程1x e x=的解，2x 是方程1ln x x =的解， 1x 是1,x y e y x==图象交点的横坐标； 2x 是1ln ,y x y x ==图象交点的横坐标， 因为ln y x =与xy e =互为反函数，所以ln y x =与xy e =的图象关于y x =对称， 又因为1y x=的图象也关于y x =对称， 所以()()1122,,,x y x y 关于y x =对称，可得2112,x y x y ==，12111111x x x y x x ==⨯=，故选B. 【点睛】 本题主要考查反函数的性质，函数图象的应用，考查转化思想，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将方程的根的问题转化成曲线交点问题是解题的关键.13．3π 【解析】由垂直可知()a a 2b -=0,即2||20a a b -⋅=,2||2a a b ⋅=,1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅,又因为,[0,]a b π<>∈ ,所以,3a b π<>=.填π3（或60︒）. 14．4【分析】 先化简()ln 22g =-的表达式，然后计算1ln 2g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，结合()f x 的奇偶性可求得1ln 2g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【详解】依题意()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数.()()()ln 2ln 2cos ln 212g f =+=-.故()()ln 2cos ln 23f =-，所以()()111ln ln cos ln 1ln 2cos ln 21222g f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()ln 2cos ln 21314f -+=+=.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.15．911-或【分析】根据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值，解得m 的值.【详解】因为22680x y x y m +---=，所以()223(4)25x y m -+-=+,1=1=， 解得9m =-或11.【点睛】本题考查两圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基本题.16．3π【分析】以A 为原点建立平面直角坐标系，根据0AB AC ⋅=设出,B C 两点的坐标，利用向量运算求得P 点的坐标，化简后可求得P 点的轨迹也即P 表示的区域，由此计算出区域的面积.【详解】以A 为原点建立平面直角坐标系，由于||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥,故设()ππcos ,sin ,cos ,sin 22B C αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()sin ,cos C αα-，设(),P x y ，由AP AB AC λ=+得()(),cos sin ,sin cos x y λααλαα=-+，即cos sin ,sin cos x y λααλαα=-=+，则2221x y λ+=+，故P 表示的是原点在圆心，半径为21λ+的圆，由于12λ≤≤，故P 的两个圆之间的扇环，故面积为π5π23π⨯-⨯=.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.17．（1）[1,2)-；（2）{32}xx -<∣. 【分析】（1）根据函数定义域，结合函数单调性，列出不等式组，求解即可；（2）根据函数奇偶性得到()12f -=-，再利用函数单调性，结合函数定义域，即可求得不等式.【详解】（1）由题意可得，3133213121m m m m -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩，求得12m -<，即m 的范围是[1,2)-.（2）∵函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，∴(2)(2)1f f -=-=-，∵(1)10f x ++>，∴(1)1f x +>-，∴(1)(2)f x f +>-，∴12313x x +>-⎧⎨-≤+≤⎩， ∴32x -<≤.∴不等式的解集为{32}xx -<∣. 【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，涉及函数奇偶性的应用，注意考虑函数定义域即可，属综合基础题.18．(1) sin cos θθ+=tan 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示可得1sin cos 6θθ=，求出()2sin cos θθ+的值，进而可得结果；(2) 由//a b ,利用向量共线的充要条件可得tan 2θ=，再利用两角差的正切公式可得结果.【详解】（1）∵132sin cos 6a b θθ⋅=+=， ∴1sin cos 6θθ=. ∴()24sin cos 12sin cos 3θθθθ+=+=又∵θ为锐角，∴sin cos 3θθ+=. (2) ∵//a b ,∴sin 2cos θθ=.∴ tan 2θ=，∵tan 3πθ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查向量数量积的坐标表示以及向量共线的充要条件，考查了两角差的正切公式的应用，属于中档题.向量的位置关系问题是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.19．（1）﹣3117，（2）(1⎤⎦． 【分析】 （1）根据三角函数的定义求得tanθ，进而得到tan2θ，最后求出tan 2θ4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（2）由条件求出sin θ,S OA θ=•1cos θOC =+，于是得到S θ+OA •OCsin （θ+4π）+1（0＜θ＜π），然后再根据三角函数的相关知识求解． 【详解】（1）由条件得B （﹣35，45），∠AOB=θ， ∴ tanθ=4535-=﹣43， ∴ tan2θ = 221tan tan θθ- = 423 1619⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-= 247， ∴tan（2θ+4π）= 21 12tan tan θθ+-= 2417 241?7+-=﹣3117． （2）由题意得S θ=|OA ||OB |sin （π﹣θ）=sinθ．∵ O A =（1，0），OB =（cosθ，sinθ），∴ OC =OA +OB =（1+cosθ，sinθ），∴ OA •OC =1+cosθ，∴ S θ+OA •OCsin （θ+4π）+1（0＜θ＜π）， ∵ 4π＜4πθ+＜54π，sin （4πθ+）≤1， ∴ 0S OA θ<+•21OC ≤+．∴S θ+OA •OC 的取值范围为(1⎤⎦． 【点睛】本题将三角函数的知识与向量结合在一起考查，体现了向量的工具性，解题时可根据所给的条件及要求逐步将问题进行转化，最后化为三角函数的问题求解．20．(1) 22sin 136h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ (2) 1s 【分析】(1) 设()sin h A t k ωϕ=++，02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，先根据h 的最大和最小值求得A 和k 的值,利用周期公式求得ω,根据当0t =时,0h =,可求得ϕ的值,从而可得结果；(2)由最大值为3,可得三角函数方程,进而可求点P 第一次到达最高点的时间;【详解】（1）设()sin h A t k ωϕ=++，02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭， 则2A =，1k =，∴23T πω==，∴23πω= ∴22sin 13h t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵0t =，0h =， ∴02sin 1ϕ=+，∴1sin 2ϕ=-. ∵02πϕ-<<，∴6πφ=-，∴22sin 136h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （2）令22sin 1336t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得2sin 136t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴2362t πππ-=，∴12y x t =+ ∴点P 第一次到达最高点大约要1s 的时间.【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求解析式，以及三角函数性质的实际应用，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23. 【分析】（1）由题意结合几何关系可证得AF ⊥平面ABCD ，由线面垂直的定义即可证得AF CD ⊥．（2）延长AM 交BC 于点G ，由题意可证得四边形GCEF 为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设G 为BC 中点，连接DG ，EG ．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体ABCDEF 的体积.【详解】（1）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ⋂平面ABCD AD =，AF ⊂平面ADEF ，所以AF ⊥平面ABCD ．又CD ⊂平面ABCD ，所以AF CD ⊥．（2）延长AM 交BC 于点G ，因为//AD BC ，M 为BD 中点，所以BGM ∆≌DAM ∆，所以1BG AD ==．因为2BC =，所以1GC =．由已知1FE AD ==，且//FE AD ,又因为//AD GC ，所以//FE GC ，且FE GC =， 所以四边形GCEF 为平行四边形，所以//CE GF ． 因为CE ⊄平面AMF ，GF ⊂平面AMF ，所以//CE 平面AMF ．（3）设G 为BC 中点，连接DG ，EG ．由已知//DG AB ，所以//DG 平面AFB ．又因为//DE AF ，所以//DE 平面AFB ，所以平面//DEG 平面AFB ．因为AD AB ⊥，AD AF ⊥，所以AD ⊥平面ABF ， 所以多面体AFB DEG -为直三棱柱．因为1AB AF AD ===，且90BAF ∠=︒， 所以11111122AFB AFB DEG V V S AD ∆-==⋅=⨯⨯⨯=三棱柱． 由已知//DG AB ，且DG AB =，所以DG GC ⊥，且1DG GC ==．又因为//DE AF ，AF ⊥平面CDG ，所以DE ⊥平面CDG ．因为1DE AF ==， 所以211111113326CDG E CDG V V S DE ∆-==⋅=⨯⨯⨯⨯=三棱锥， 所以12112263ABCDEF V V V 多面体=+=+=．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．(1) ()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+=⎪+⎝⎭ (2) 102m -<≤ 【分析】（1）分别求出()()f a f b +与1a b f ab +⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值，利用对数的运算法则化简，从而可得结果; （2）先判断函数的单调性与奇偶性，函数()()2sin cos 2y f x f m x m =++有零点，等价于2cos 2sin m x m x +=-有解，即方程2cos 12cos x m x -=+有解，换元后，利用导数求出2cos 12cos x x -+的取值范围即可.【详解】（1）∵()()11lglg 11a b f a f b a b --+=+++ 1lg 1ab a b ab a b +--=+++ 又∵1lg 11a b ab a b f ab ab a b ++--⎛⎫= ⎪++++⎝⎭， ()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（2）由101x x->+得{|11}x x -<<，所以定义域关于原点对称， 又∵()()11lg lg 11x x f x f x x x +--==-=--+，即函数()f x 是奇函数 若当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数()()2sin cos 2y f x f m x m =++有零点. 即当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程()()2sin cos 20f x f m x m ++=有解， 即()()()22cos 2sin sin f m x m f x f x +=-=-有解， 又∵()2lg 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，()1,1x ∈-是减函数， 则2cos 2sin m x m x +=-有解，则22sin cos 12cos 2cos x x m x x--==++有解， 设2cos t x =+，∵0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.23t <≤ ()22134t m t t t--==+-， 设函数()34h t t t=+-，则()h t 在23t <≤上为增函数， ∴()122h =-，()30h =，∴()102h t -<≤， 所以102m -<≤. 【点睛】本题主要考查对数的运算法则，以及函数单调性、奇偶性的应用，考查了同角三角函数的关系以及利用导数研究数的单调性，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于难题.。