同步北师大版数学选修1-1练习：第二章 §1 1.1 第1课时椭圆及其标准方程

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高中数学北师大版选修1-1课件：第二章 1.1 椭圆及其标准方程

②
由①－②得到|PF1||PF2|＝4.
故△F1PF2 的面积为 S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin60°＝ 3.
[答案] B
题目类型三、椭圆定义的应用
例 3 已知 B、C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程．
[分析] 由△ABC 的周长等于 18，|BC|＝8，可知点 A 到 B、 C 两个定点的距离之和是 10，所以点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，但点 A 与点 B、C 不能在同一直线上．适当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
牛刀小试
1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是 ____________． (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是__________．
[解析] (1)因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>8＝|F1F2|，由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆． (2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2. [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆线段F1F2
∵椭圆过 A(0,2)，B12，

3.

∴m401m＋＋4n＝3n＝11
，解得nm＝＝41 ，
即所求椭圆方程为 x2＋y42＝1. [答案] (1)x2＋y42＝1 (2)1x02 ＋＝1
(2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0，± 5)，则可设所求椭圆方程为xm2＋m＋y2 5＝1(m>0)，
[解析] 本题考查了充分必要条件及椭圆的标准方程的形式，由 mn>0，若 m＝n，则方程 mx2＋ny2＝1 表示圆，故 mn>0⇒/ 方程 mx2＋ny2＝1 表示椭圆，若 mx2＋ny2＝1 表示椭圆 ⇒mn>0，故 mn>0 是方程表示椭圆的必要不充分条件．

北师大版数学高二选修1-1 2-1.1椭圆及其标准方程同步测试

2-1.1椭圆及其标准方程(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案： D2．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 解析：由焦点为(2,0)可知焦点在x 轴上，所以，c 2＝4，b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝6. 答案： D3．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 解析：因为|AB |＝8，|CA |＋|CB |＝18－8＝10，所以顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a ＝10,2c ＝8，所以b 2＝9.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．答案： A4．已知AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝12，其中F 2是椭圆的右焦点，则弦AB 的长是( )A ．4B ．8C ．16D ．9解析：由椭圆定义|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，得|AB |＝8. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.则M 的横坐标为________．解析：把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3. 答案： 3或－36．已知椭圆的两个焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，并且经过点⎝⎛⎭⎫－32，52，则该椭圆的标准方程为________．解析：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，因为2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝210.所以a ＝10，又c ＝2，所以b 2＝6，所以所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. 答案： y 210＋x 26＝1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎨⎧22a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.8．求下列椭圆的标准方程 (1)已知椭圆经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1，求椭圆的标准方程． (2)求经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆．解析： (1)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)． ∵点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1都在椭圆上，∴⎩⎨⎧m ·⎝⎛⎭⎫632＋n ·(3)2＝1，m ·⎝⎛⎭⎫2232＋n ·12＝1，即⎩⎨⎧ 2m3＋3n ＝1，8m9＋n ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1. (2)椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆的方程为x 2λ＋y 2λ＋5＝1(λ>0)．把x ＝2，y ＝－3代入，得4λ＋9λ＋5＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1.9．(10分)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆在圆C 1内部且与圆C 1相内切，与圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．解析：如图所示，由已知可得圆C 1与圆C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4,0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3. 设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|＝r1－r①由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C2C|＝r2＋r.②由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16.即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点．由题意得c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.∴椭圆的方程为x264＋y248＝1.∴动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为x264＋y248＝1.。

高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 1.2 椭圆的简单性质(一)

1.2椭圆的简单性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单性质已知两椭圆C 1、C 2的标准方程：C 1：x 225＋y 216＝1，C 2：y 225＋x 216＝1.思考1怎样求C 1、C 2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2椭圆具有对称性吗？思考3椭圆方程中x ，y 的取值范围分别是什么？梳理知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的________，用e表示．(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近1，椭圆越______，当e越接近______，椭圆就越接近圆．类型一椭圆的简单性质引申探究已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．类型二求椭圆的离心率命题角度1与焦点三角形有关的离心率问题例2设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝1－b 2a2求解．跟踪训练2椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．命题角度2利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． (2)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．反思与感悟若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．类型三利用椭圆的简单性质求方程例4求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且与y 轴的一个交点为(0，－10)，该点与最近的焦点的距离为10－5；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法．跟踪训练4椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程．1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)2.如图，已知直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B ，则椭圆的离心率为() A.15B.25 C.55D.2553．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是()A.x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1D.x 28＋y 25＝1 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为13，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．答案精析问题导学知识点一思考1对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4,0)与(－4,0)．思考2有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．思考3C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.梳理F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤ax轴、y轴和原点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)2a2b知识点二思考如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．梳理(1)离心率(2)(0,1)扁0题型探究例1解已知方程化成标准方程为x2 16＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e ＝c a ＝74.又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)．引申探究解把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1，可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2.又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝c a ＝53.跟踪训练1解椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m ＝1，且e ＝12.(1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)， B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，233)，顶点坐标为A 1(0，－433)，A 2(0，433)，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．例2解(1)由|AF 1|＝3|F 1B |， |AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0，且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|· |BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.跟踪训练23－1 例3(1)33解析直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac ，∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )，令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423， ∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.(2)[22，1) 解析椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，－b ≤y ≤b .由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则c ≥b ，即c 2≥b 2，所以c 2≥a 2－c 2，所以e 2≥1－e 2，即e 2≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是[22，1)．跟踪训练335解析由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得 5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．例4解(1)由题意知a ＝10， a －c ＝10－5，则c ＝ 5.所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以所求椭圆的方程为y 210＋x 25＝1.(2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80，所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.跟踪训练4解∵椭圆过点(3,0)， ∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.当堂训练1．D2.D3.B4.[4－23，4＋23] 5．解(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∵e ＝c a ＝4a ＝13，∴a ＝12，从而b 2＝a 2－c 2＝128，∴椭圆的标准方程为y 2144＋x 2128＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.。

【教育专用】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第二章 1.1 椭圆及其标准方程

1．1椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？思考2在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程思考1椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考2椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?梳理类型一求椭圆的标准方程命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝6；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．反思与感悟用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在x 轴上，且经过两个点(2,0)和(0,1)．命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程例2 求经过(2，－2)和⎝⎛⎭⎫－1，142两点的椭圆的标准方程．反思与感悟如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x 轴上和焦点在y 轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，再解答．跟踪训练2 求经过A (0,2)和B (12，3)两点的椭圆的标准方程．类型二椭圆方程中参数的取值范围例3 “方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )A ．1<m <32B ．1<m <2C ．2<m <3D ．1<m <3反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练3 已知x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x 轴上的椭圆．求α的取值范围．类型三椭圆定义的应用例4 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．引申探究在例4中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长．跟踪训练4已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．1．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．答案精析问题导学知识点一思考1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．思考2 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．梳理常数(大于|F 1F 2|) 知识点二思考1 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半．a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2. 思考2 只有当2a >|F 1F 2|时，动点M 的轨迹才是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，满足条件的点不存在．梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2 题型探究例1 解 (1)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.① 又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ，代入①，得4b 2－b 2＝6，解得b 2＝2， ∴a 2＝8.又∵焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)方法一椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义可得 2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2， ∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为 x 225＋λ＋y 29＋λ＝1，将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋(15)29＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.例2 解设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.跟踪训练2 解当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＝1，(12)2a 2＋(3)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋(12)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.例3 A [要使方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，3－m >m －1，解得1<m <2， ∵A 选项中{m |1<m <32}{m |1<m <2}，故选A.]跟踪训练3 解 x 2sin α＋y 2cos α＝1，可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>1cos α，1sin α>0，1cos α>0，0≤α≤π，解得0<α<π4.∴α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π4. 例4 解在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1.又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，①教育学习+K12教育学习+K12 由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4，② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－43－12. 引申探究解由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.跟踪训练4 解由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.当堂训练1．D 2.B 3.C 4.y 216＋x 2＝1 5.48。

北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件第二章 1.1 椭圆及其标准方程

焦点在 y 轴上
x2
y2
y2
b
a2
a2
+ 2 =1(a>b>0)
x2
+ 2 =1(a>b>0)
b
图形
焦点坐标
a,b,c 的关系
(-c,0),(c,0)
a2=b2+c2
(0,-c),(0,c)
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1.1 椭圆及其标准方程
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当堂检测
名师点拨对椭圆标准方程的认识
(1) 几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴
3.通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养发现规律、认识
规律并利用规律解决实际问题的能力,提高探索数学的兴趣,激
发学习热情.
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1.1 椭圆及其标准方程
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探究学习
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思维脉络
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1.1 椭圆及其标准方程
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知识梳理
1.椭圆的定义
我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的
点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点
F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.
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名师点拨点M满足集合
P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,a>0,c>0,且a,c都为常数.
(1)当a>c,即2a>2c时,动点轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆;
25-9=4.

北师大版数学高二选修1-1讲义第二章 1.1 椭圆及其标准方程

§1椭圆1．1椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．(2)椭圆的集合表示设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|，a为常数}．知识点二椭圆的标准方程思考椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a，b，c始终满足关系式a2＝b2＋c2.梳理焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 21．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆．( × ) 2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( × ) 3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( √ )类型一椭圆的标准方程命题角度1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3； (2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4b 2＝1，⎝⎛⎭⎫122a 2＋(3)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. 综上可知，椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得 2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a ，b ，c 的等量关系；④求a ，b 的值，代入所设方程．特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围)例2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (0,1)解析 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.反思与感悟 1.利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式． 2.x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2 (1)已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________．考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (7,10)解析化成椭圆标准形式得x 2k －4＋y 210－k ＝1，根据其表示焦点在x 轴上的椭圆，得⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.(2)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝____________________________.考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4，解得m ＝4.②当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4，解得m ＝8. ∴m ＝4或8.类型二椭圆定义的应用例3 已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题解在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝43，即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. 引申探究若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积．解由椭圆x 212＋y 23＝1，知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝3. 反思与感悟 1.对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． 2．焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3 已知AB 是过椭圆49x 2＋y 2＝1的左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的右焦点，则|AB |＝________. 考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 2解析由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 所以|AF 1|＋|BF 1|＝6－4＝2，即|AB |＝2.1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件考点椭圆的定义题点由椭圆定义确定轨迹答案 A解析若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件． 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案 D解析设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2. 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，故|PF 2|＝8.3．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 B解析由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k ＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.4．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．考点求椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程答案 y 216＋x 2＝1解析由已知得2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.5．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积为________．考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 4解析由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，且|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， ∴△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．一、选择题1．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 考点求椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程答案 C解析 ∵|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4>|F 1F 2|. ∴点P 的轨迹应是以F 1，F 2为焦点的椭圆． ∵c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.3．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m 等于( )A ．6B ．3C ．2D ．4考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 C解析 ∵m 2>m 2－1，∴椭圆焦点在x 轴上，∴a ＝m ，则2m ＝3＋1＝4，∴m ＝2.5．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于() A ．2 B ．4C ．8 D.32考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案 B解析如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4.6．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是() A ．椭圆 B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2 a ·9a ＝6，当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．7．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧ m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m 所以1<m <3且m ≠2；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．8．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33D.3 考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|h ，h ＝223＝33.二、填空题9．若椭圆的两个焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．考点椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程答案x225＋y216＝1解析如图，∵△ABF2的周长等于20，∴4a＝20，即a＝5，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.∴椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.10．若方程x225－m＋y2m＋9＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____________．考点椭圆的标准方程题点求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案(8,25)解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25－m＞0，m＋9＞0，m＋9＞25－m，解得8<m<25.11．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案3解析由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.又∵PF1→⊥PF2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9，又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题12．求过点(0,4)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点的椭圆的方程．考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1，则c ＝9－4＝5，焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝11，∴所求椭圆方程为x 211＋y 216＝1. 13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．考点椭圆的标准方程题点待定系数法求椭圆的标准方程解设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5，∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 四、探究与拓展14．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解方法一设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 方法二设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2. 由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a. 依题意有b 2a＝3，得b 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1. 又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝(52)2＋(32)2－222×52×32＝35.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 1.1 椭圆及其标准方程学案(含解析)北师大版选修1-1-北师大版

1．1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义1．定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的集合表示设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|，a为常数}．知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b21．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆．( ×) 2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( ×)3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.( √) 题型一求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52； (3)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义知， 2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝210，即a ＝10，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝6，所以所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (3)方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.反思感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)与椭圆x 23＋y 2＝1有相同的焦点且经过点M (2，1)．考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26,2c ＝10，所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144. 所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)由椭圆x 23＋y 2＝1，知焦点在x 轴上，则c 2＝3－1＝2，∴c ＝2，∴椭圆的两个焦点坐标分别为(－2，0)和(2，0)．设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－2＝1(a 2>2)，把(2，1)代入方程，得2a 2＋1a 2－2＝1，化简，得a 4－5a 2＋4＝0， ∴a 2＝4或a 2＝1(舍)，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.题型二椭圆定义的应用命题角度1 利用椭圆定义求轨迹方程例2 如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．.考点与椭圆有关的轨迹方程题点与椭圆定义有关的轨迹方程解设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆圆心P 到两定点A (－3,0)和B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8>|AB |，所以动圆圆心P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的椭圆，其中c ＝3，a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7，其轨迹方程为x 216＋y 27＝1.反思感悟利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤跟踪训练2 如图所示，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，当点Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．考点与椭圆有关的轨迹方程题点与椭圆定义有关的轨迹方程解如图所示，连接MA .由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|CM |. 又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5>|AC |＝2.故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，c ＝1，故a ＝52，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.命题角度2 椭圆中的焦点三角形问题例3 已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题解由题意知|F 1O |＝12－3＝3，∴|F 1F 2|＝6.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°，即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝43，即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝ 3. 引申探究若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积．解由椭圆x 212＋y 23＝1，知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝3. 反思感悟 1.对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．2．焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3 已知AB 是过椭圆49x 2＋y 2＝1的左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的右焦点，则|AB |＝________. 考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 2解析由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 所以|AF 1|＋|BF 1|＝6－4＝2，即|AB |＝2.1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件考点椭圆的定义题点由椭圆定义确定轨迹答案 A解析若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件． 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案 D解析设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2. 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，故|PF 2|＝8.3．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 B解析由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积为________．考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 4解析由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，且|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， ∴△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.5．若△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程．考点与椭圆有关的轨迹方程题点与椭圆定义有关的轨迹方程解以直线AC 为x 轴，AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－3,0)，C (3,0)，设B (x ，y )，则|BC |＋|AB |＝a ＋c ＝2b ＝2|AC |＝12， ∴B 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，且a ′＝6，c ′＝3，b ′2＝27. 故所求的轨迹方程为x 236＋y 227＝1(y ≠0)．1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、选择题1．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 考点求椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程答案 C解析 ∵|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4>|F 1F 2|. ∴点P 的轨迹应是以F 1，F 2为焦点的椭圆． ∵c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.3．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程答案 A解析 c ＝1，a ＝12×(2＋12＋0＋2－12＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．方程x －42＋y 2＋x ＋42＋y 2＝10化简的结果是( )A.x 25＋y 23＝1 B.x 23＋y 25＝1C.x 225＋y 29＝1 D.x 29＋y 225＝1 考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程答案 C解析由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝4，a ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝9，故化简结果为x 225＋y 29＝1.5．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案 B解析如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8， ∴|ON |＝4.6．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案 D 解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6，当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．7．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B 解析当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．8．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33D. 3 考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 C解析 ∵MF 1—→·MF 2—→＝0，∴MF 1—→⊥MF 2—→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|h ， h ＝223＝33. 二、填空题9．若椭圆的两个焦点为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．考点椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程答案 x 225＋y 216＝1 解析如图，∵△ABF 2的周长等于20，∴4a ＝20，即a ＝5，又c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 10．短轴长为25，离心率e ＝23的椭圆的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．考点题点答案 12 解析不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． ∵短轴长为25，离心率e ＝23，∴b ＝5，c a ＝23，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3，∴△ABF 2的周长＝|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4a ＝12. 11．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1—→⊥PF 2—→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 3解析由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1—→⊥PF 2—→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9，又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题12．求过点(0,4)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点的椭圆的方程．考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1，则c ＝9－4＝5，焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝11，∴所求椭圆方程为x 211＋y 216＝1. 13．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．考点与椭圆有关的轨迹方程题点与椭圆定义有关的轨迹方程解两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ，∴|MO 1|＋|MO 2|＝10.而|O 1O 2|＝6<10，故由椭圆的定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.14．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15考点椭圆定义及其标准方程的应用题点椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 B解析由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1. 又∵3a 2＝4b 2， ∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35.。

【同步课堂】北师大版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆之1.1椭圆及其标准方程教学课件

．o ．
P(-3,0) Q(3,0)
x
轨迹是以P,Q为焦点的椭圆．
(2) 经过分析可以知道椭圆的焦距为
2c=|PQ|=6，所以c=3，椭圆中2a=R=10, 所以a=5
由b2=a2-c2得到椭圆中b=4，所以a=5, b=4, c=3
动点M的轨迹为：x 2 y2 1
椭圆及其标准方程
25 16
13
中心在坐标原点，焦点在y轴上
的椭圆标准方程为：
y2 a2
x2 b2
1
推导过程
(a b 0)
课后作业
特点焦距为：2c 焦点：F1(0,c)，F2(0,-c)
y
F1 a
c
ob
ca F2
椭圆及其标准方程
x
A
x
10
椭圆的应用
随堂练习
在下列椭圆中，请指出a,b,c的值及焦点坐标
1、x2 y2 1
用数学语言描述椭圆
❖ 回顾：圆的定义及方程
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。标准方程： (x a)2 (y b)2 r2
其中圆心为点(a,b)，半径为r。
?问题：平面内到两定点的距离之和等于定长的
点的集合（轨迹）是什么？
看轨迹生成图例
椭圆
. 椭. 圆. 及. . 其. 标准方程
5
对椭圆的理性认识
椭圆的定义
定义 :平面内到两定点F1，F2的距离之和等于定长2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
M|MF1|ຫໍສະໝຸດ |MF2|=2a(2a>|F1F2|)
F1称为椭圆左焦点，F2称为右焦点
F1
思考
F2

数学北师大版高中选修1-1北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程第一节椭圆及其标准方程PPT课件

x y 2 1a b 0 2 a b
2
2
F1
x y 2 1a b 0 2 b a
2
2
椭圆的标准方程焦点所在坐标轴的判断方法： 2 2
只要看
x
和
y
的分母的大小
共同进步！
F1
M
O
F2
x
b | MO |
y
M F1 o
F2
x
x y 2 1a b 0 2 a b
2
2
表示焦点在x轴，焦点为F1（-c,0），F2（c,0）焦距为2c, b2 = a2 - c2的椭圆的标准方程。如果是以F1，F2所在直线为y轴，建立直角坐标系，所求出的椭圆的标准方程又是什么呢？ y 这也是椭圆的标 2 准方程 y2
2 2
解：（1）因为4>3 ，所以椭圆的焦点在
x 轴上，
a 2 4 , b2 3 c a2 b2 1 2c 2
则椭圆的两个焦点分别是(-1,0) 和(1,0),焦距为2
（2）
x2 y2 原式可化为 1 4 8
得椭圆的焦点在 y 轴上
a 2 8, b2 4, c a 2 b 2 2,
x c 2 y 2
a
2a
x c 2 y 2
两边平方得：x c 2 y 2 4a 2 4a 移项化简得：
x c 2 x c 2 y 2
a 2 cx
x c 2 y 2
移项化简得：两边平方：化简得
a x c y 2 a4 2a2cx c2 x2
神舟六号飞船飞行轨道图
预备知识回顾：
两点间距离公式：已知：点A ( x1 , y1 ) ，B ( x2 , y2 ) ，则

北师大版数学选修1-1的第二章第一节《椭圆及其标准方程》优质课教学设计

椭圆及其标准方程教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用北师大版数学选修1-1的第二章《圆锥曲线与方程》在高考中，一道选择题，一道解答题，解答题一般放在第20题，对学生基础知识的掌握，运算能力有较高的要求。

《椭圆及其标准方程》是本章第一节内容，是学生继学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定的了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，因此，本节教学起着承上启下的作用，是学好本章内容的关键。

2、教学目标(1)知识目标：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导。

(2)能力目标：让学生通过自我探究、操作实践、数学思想（待定系数法）的运用等，从而提高学生实际动手，合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。

(3)情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极探索、勇于创新的精神。

3、教学重点与难点重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

难点：椭圆标准方程的建立和推导二、学情分析第一，我所教的班级学生文化基础较差，上课注意力不是太集中，他们专注学习的时间一节课也就十五分钟左右，所以必须通过各种方式比如做实验、讲故事甚至要做游戏等手段，提高他们学习的注意力。

第二，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在一定障碍.第三，在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，去根式的策略选择不当，导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。

三、教法及学法分析（一）教学方法按照“自主学习、引导交流、探索讨论、有效训练”的模式来组织教学。

（二）学习方法小组探究、合作交流式。

（三）教学准备1.学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一块木板。

2.教师准备：导学案和多媒体课件。

四、教学过程（一）、创设情境,引入新课【问题1】请问“神州七号”飞船运行轨道是什么？(用学生关注的事件引出，激发学生学习的兴趣，感性认识椭圆。

北师版数学选修1-1：第2章 §1 1.1 椭圆及其标准方程学业分层测评5

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3，0) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，±32D ．(0，±3)【解析】 ∵y 21＋x 214＝1，∴椭圆的焦点在y 轴上，并且a 2＝1，b 2＝14， ∴c 2＝34，即焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32.【答案】 C2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1 【解析】由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.【答案】 A3．若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2【解析】 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，∴a ＞3或－6＜a ＜－2. 【答案】 D4．已知A (0，－1)，B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B ．y 24＋x 23＝1(y ≠±2) C.x 24＋y 23＝1(x ≠0)D ．y 24＋x 23＝1(y ≠0)【解析】 ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．【答案】 B5．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1 B ．y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D ．y 294＋x 2254＝1【解析】由椭圆定义知：2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3102＋102＝210.∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝6，故椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.【答案】 A。

高中数学北师大选修1-1练习：第二章 §1 1.1 椭圆及其标准方程

[A 组基础巩固]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1解析：由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.答案：A2．已知△ABC 的两个顶点的坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 解析：顶点C 到两个定点A ，B 的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程．答案：D3．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2，又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4.又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. 答案：C4．“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若方程x 27－m ＋y2m －5＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0m －5>07－m ≠m －5，解得5<m <7且m ≠6，所以“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选C.答案：C5．已知P 是椭圆x 2100＋y 236＝1上一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1交椭圆于另一点A ，则△P AF 2的周长为( )A ．10B ．16C ．20D ．40解析：设△P AF 2的周长为l ，则l ＝|P A |＋|PF 2|＋|AF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|AF 1|＋|AF 2|)＝2×10＋2×10＝40.答案：D6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 答案：y 216＋x 2＝17．若方程x 2a 2－y 2a ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________；若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________．解析：方程变形为x 2a 2＋y 2－a＝1，当焦点在y 轴上时，有－a >a 2，所以－1<a <0；当焦点在x 轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>－a ，－a >0，所以a <－1.答案：(－1,0) (－∞，－1)8．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27.由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且过点(1，23)和(2,0)，求椭圆的方程． (2)焦点在x 轴上，焦距是4，且经过点M (3，－26)．解析：(1)由焦点在y 轴上，故设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a2＝1.∵点(1,23)和(2,0)在椭圆上，∴⎩⎨⎧1b 2＋12a 2＝1，4b 2＋0a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝4.故所求的椭圆方程为x 24＋y 216＝1.(2)由焦点在x 轴上，焦距是4，得焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，且c ＝2.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(3＋2)2＋(－26)2＋(3－2)2＋(－26)2＝12，所以a ＝6.所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32.因此，所求椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1.10.如图所示，已知椭圆的两焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求该椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．解析：(1)由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2，所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，所以|PF 1|＝65，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.[B 组能力提升]1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.23 B ．1 C.43D.53解析：椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)中，a ＝1，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，相加得|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4－|AF 1|－|BF 1|＝4－|AB |.∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，于是2|AB |＝4－|AB |，∴|AB |＝43.答案：C2．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝⎛⎭⎫52，－32的椭圆的标准方程是( ) A.x 210＋y 26＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫322＝3102＋102＝210. ∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6. 答案：A3．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：因为F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且正三角形POF 2的面积为3，所以S △POF 2＝12|OF 2|·|PO |·sin 60°＝34c 2＝3，所以c 2＝4.所以点P 的坐标为(c 2，32c )，即(1，3)，所以1a 2＋3b 2＝1，又b 2＋c 2＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3a 2＝a 2b 2a 2＝4＋b 2，解得b 2＝2 3. 答案：2 34．设P 是椭圆 x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝ 6.答案： 65．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍．解析：原方程可化为x 225＋y 29＝1.其中a ＝5，b ＝3，则c ＝4.∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)．设P (x ，y )是椭圆上任一点，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即{ (x ＋4)2＋y 2＝2，(x －4)2＋y 2＝8，解得⎩⎨⎧ x ＝－154y ＝347或⎩⎨⎧x ＝－154，y ＝－347.故P 点坐标为(－154，347)或(－154，－347)．6．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且点P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k P A ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.所以k P A ＝y x ＋5，k PB ＝yx －5.所以k P A ·k PB ＝y x ＋5·y x －5＝y 2x 2－25.因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以y 2＝16×(1－x 225)＝16×25－x 225.把y 2＝16×25－x 225代入k P A ·k PB ＝y 2x 2－25，得k P A ·k PB ＝16×25－x 225x 2－25＝－1625.所以k P A ·k PB 为定值，这个定值是－1625.由Ruize收集整理。

北师大版高中数学选修1-1§1 椭圆同步练测.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§1 椭圆同步练测（北师大版选修1-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知椭圆221x my +=的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A.14 B.12C.2D.4 2.已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，O 为原点，F 为右焦点，点M 是椭圆右准线l 上（除去与x 轴的交点）的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，则线段ON 的长为（） A.c B.b C.a D.不确定3.已知曲线C 上的动点M (x ,y )和向量a =(x +2,y ), b =(x -2,y )满足|a |+|b |=6,则曲线C 的离心率是( )A.23 B. C.33 D.134.平面内有两定点,A B 及动点，设命题甲：“||PA +是定值”，命题乙：“点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆”，那么（）A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的既不充分也不必要条件5.如果椭圆上两点间的最大距离是，那么（） A.32 B.16 C.8 D.46.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为（） A. B.C. D.7.已知点P 是椭圆221625400x y +=上一点，且在x 轴上方，12F ,F 分别是椭圆的左、右焦点，直线2PF 的斜率为43-，则12PF F △的面积是（） A.243 B.123 C.63 D.338.椭圆222212x y a a +=与连接两点的线段没有公共点，则正数的取值范围是（） A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）9.椭圆22221(0)x y a b a b+>>＝的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于A,B 两点，若FAB △的周长最大时，FAB △的面积为ab ，则椭圆的离心率为 .10.若焦点在轴上的椭圆2221(0)45x y b b +=>上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是 .11.已知点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，是圆22142：F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．12.已知椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是．三、解答题（本题共3小题，共36分）13.（本小题满分12分）已知椭圆221259y x +＝的上、下焦点分别为2F 和1F ，点(13)A -，.（1）在椭圆上有一点M ，使2F M MA +的值最小，求最小值；（2）当2F M M A +取最小值时，求2AMF △的周长．14.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心223e=.（1）求椭圆的方程；（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为12-，求直线倾斜角的取值范围. 15.（本小题满分12分）已知向量，，，(其中是实数).又设向量，，且∥，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于两点，当42||3MN=时，求直线的方程.§1 椭圆同步练测（北师大版选修1-1）答题纸得分：_________一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案二、填空题9.__________ 10. 11. 12.三、解答题13.14.15.§1 椭圆同步练测（北师大版选修1-1）答案一、选择题1.A 解析：椭圆方程可化为22111x y m+=,由焦点在轴上可得长半轴长为1m ,短半轴长为1，所以1m ，解得14m =. 2.C 解析：由题意可设(0)F c,，点2a M ,m c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2OM mck a =.∵ OM FN ⊥，∴ FN 的方程为20()a y x c mc-=--.整理，得2()a my x c c =--，即22a my x a c+=.①∵ 过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，∴ ON NM ⊥，即1ON NM k k =-•.设()N x y ，，则21y y m •a x x c-=--.整理，得222a x y x my c +=+.② 联立①②，得2222a x y x my a c+=+=，∴ 22ON x y a =+=．3.A 解析：|a |+|b |=6表示动点M 到两定点(-2,0),(2,0)的距离之和为6,所以曲线C 是以(-2,0),(2,0)为焦点,以6为长轴长的椭圆,故离心率e ==.4.B 解析：若点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆,则是定值；当时，是定值，但此时点的轨迹是线段,所以甲是乙成立的必要不充分条件.5.B 解析：由题意得.将椭圆方程化为2214x y k k +=.由04k k >>，得. 6.C 解析：由题意设椭圆方程为221(0)50x y m m m +=>+,与直线方程联立，得22150320x y m m x y ⎧+=⎪+⎨⎪--=⎩，，消去并整理，得.由弦的中点的横坐标为12,可得1211050mm =+,解得.所以椭圆方程为2212575x y +=. 7.C 解析：∵ 椭圆221625400x y +=化成标准形式为22=12516x y +，∴ 222516a b ==，，可得223c a b =-=.∴ 椭圆的焦点为130F -（，），230F （，）.设位于椭圆x 轴上方弧上的点为(,)m n ，则22=125160=433m n n m ⎧+⎪⎪⎨-⎪-⎪-⎩，，解得5223m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（负值舍去）. ∴ △12PF F 的面积1623632S =⨯⨯=. 8.A 解析：由题意得，当点在椭圆222212x y a a +=的外部或点在椭圆222212x y a a +=的内部时，椭圆222212x y a a +=与连接两点的线段没有公共点，所以221412a a +>或224912a a +<,解得或.二、填空题 9.22解析：设椭圆的右焦点为E ．由椭圆的定义得FAB △的周长为(2)(2)AB AF BF AB a AE a BE ++=+-+-4a AB AE BE =+--.∵ AE BE AB +≥,∴ 0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号.∴ FAB △的周长44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤. ∴ FAB △的周长的最大值是4a .此时FAB △的面积为21222b c ab a⨯⨯=，∴ 22a bc =.平方,得42224()a a c c =-,即424410e e -+=，∴ 22e =. 10.3100,2⎤⎛⎥ ⎥⎝⎦解析：设椭圆222145x y b +=的上顶点为，焦点为,椭圆2221(0)45x y b b +=>上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则1290F AF ∠︒≥.由余弦定理可得2222112|||||0AF AF F F +-≤，即22240a a c +-≤,所以222222()a c a b =-≤，即2245b ≤，解得31002b <≤. 11.22413x y += 解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其中12c =，,213144b =-=,所以椭圆方程为22413x y +=. 12.1625解析：原方程可化为2214x y +=,，，所以，，.不妨设A 为右顶点，设所作的等腰直角三角形与椭圆的一个交点为，可得，代入曲线方程得45y =，所以21162225S y =⨯=.三、解答题13.解：由题意知534a ,b ,c ===，1(04)F -，，2(04)F ，，12AF =. ∵ M 是椭圆上任一点，∴ 12210MF MF a +==，∴ 2111210()10102≥=F M MA a MF MA MF MA AF +=-+=----. 当且仅当11MF MA AF -=时等号成立，此时点1M ,A,F 共线． ∴ 2F M MA +的最小值为102-.（2）当2F M MA +取最小值时，点1M ,A,F 共线．2AMF △的周长2210 2 5 2 1042l MF MA AF =++=-+=+．14.解：（1）设椭圆方程为22221y x a b+=.，223c a =，所以，所以. 故所求椭圆方程为2219y x +=.（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得.由题意得222122(2)4(9)(9)0,21,9kb k b kbx x k ⎧=-+->⎪⎨+=-=-⎪+⎩∆解得或. 又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是πππ2π,,3223⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭.15.解：（1）由题意得22(0,)(2,2)(2,2)x y y x =+=+m ，(,0)(2,2)(2,2)x x =-=--n .因为∥m n ，所以2()(222)2(0)y x x --+-=，即所求曲线的方程是2212x y +=.（2）由22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去，得，解得12240,12kx x k ==-+.由2212244112123k MN k x x k k =+-=+=+,解得. 所以直线的方程为或.。

数学北师大版高中选修1-1《椭圆及其标准方程(第 1课时)》

§1.1.1椭圆及其标准方程(第1课时)学习目标：理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程重点：掌握椭圆的定义及其标准方程难点：椭圆的标准方程的推导与化简[教材助读]:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作道具，自画椭圆问题2：写出椭圆上的点满足的关系式问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。

两个定点的距离用______表示。

问题4：指出图中的哪些线段的长度是a___________________。

问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，阅读教材理解推导椭圆方程过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c三个量满足的关系式__________________________[预习自测]1、设P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则=+21PF PF ( ) A 、10 B 、8 C 、5 D 、42、椭圆的顶点为（-5，0），（5，0）和（0，-4），（0，4），则其方程为_________________________3、椭圆221259x y +=的焦点坐标____________________________。

4、椭圆22x y 110036+=上一点P 到左焦点的距离是6.5，则P 到右焦点的距离是_____ 5、已知椭圆12222=+y a x 的一个焦点为（2,0），则椭圆的方程为( ) A 、 12422=+y x B 、 12322=+y x C 、1222=+y x D 、12622=+y x决。

[合作探究展示点评]探究一：椭圆的基本量例1. 根据下列方程，分别求出椭圆中 a,b,c 的值1．椭圆2222146x y +=，则a = ,b = ,c = 。

2．椭圆1522=+y x 则a = ,b = ,c = 。

3．椭圆 8222=+y x 则a = ,b = ,c = 。

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§1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程
第1课时椭圆及其标准方程
课时过关·能力提升
1.已知△ABC 的顶点B ,C 在椭圆x 2
3+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( )
A.2√3
B.6
C.4√3
D.12
解析:由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于2a ,可得△ABC 的周长为4a=4√3,所以选C.
答案:C
2.P 是椭圆x 216+y 2
9=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF 1|x 0·|PF 2|=12,
则∠F 1PF 2的大小为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:由椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=2a=8,两边平方,得(|PF 1|+|PF 2|)2=64. 又|PF 1|·|PF 2|=12,
∴|PF 1|2+|PF 2|2=40.
由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=
|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=40-2824=1
2, 又∠F 1PF 2∈(0°,180°), ∴∠F 1PF 2=60°.
答案:B
3.已知点P 为椭圆x 2
5+y 2
4=1上一点,以点P 以及焦点F 1,F 2为顶点的三
角形的面积为1,则点P 的坐标为( )
A .(±√152
,1) B.(√152
,±1) C .(√152
,1) D.(±√152
,±1) 解析:∵S △PF 1F 2=12×|F 1F 2|·|y P |=12×2×|y P |=1, ∴|y P |=1,y P =±1,代入椭圆方程,
得x P =±
√152. 答案:D
4.★已知椭圆C :x 216+y 212=1的右焦点为F,点P(x,y)在椭圆C 上,若点Q 满足|QF
⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,且QP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A .√3 B.3 C.12
5 D.1
解析:依题意知,点Q 在以F (2,0)为圆心,半径为1的圆上,PQ 为圆的切线, ∴|PQ
⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−1. 设P (4sin θ,2√3cos θ),θ∈[0,2π],
∴|PF
⃗⃗⃗⃗⃗ |2=16sin2θ−16sin θ+4+12cos 2θ=4(sin θ-2)2. ∵-1≤sin θ≤1,
∴当sin θ=1时,|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最小值4,即|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |min
2=3. ∴|PQ
⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√3.故选A . 答案:A
5.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,-2√3),且a =2b,则椭圆的标准方程为______________.
解析:∵c=2√3,a 2=4b 2,
∴a 2-b 2=3b 2=c 2=12,b 2=4,a 2=16.
又焦点在y 轴上,
∴椭圆的标准方程为y 216+
x 24=1. 答案:y 216+x 24=1
6.已知方程x 2|m |-1+y 22-m =1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是______________.
答案:(-∞,-1)∪(1,3
2)
7.如图,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,若△POF 2是面积为√3的正三角形,则b 2的值是_____________.
解析:因为F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,点P 在椭圆上,且正三角形POF 2的面积为√3,所以S △POF 2=12|OF 2|·|PO|sin 60°=
√34c 2=√3,所以c 2=4. 故点P 的坐标为(c 2,
√32c),即(1,√3), 即1a +3b =1,又b 2+c 2=a 2,
所以{b 2+3a 2=a 2b 2,a 2=4+b 2,
解得b 2=2√3. 答案:2√3
8.已知椭圆C 经过点A (2,3),且点F (2,0)为其右焦点,求椭圆C 的标准方程. 解:由已知,得c=2,焦点在x 轴上,可设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0),且可知左焦点为F'(-2,0).
从而有{c =2,2a =|AF |+|AF '|=3+5=8,解得{c =2,a =4.
又a 2=b 2+c 2,
所以b 2=12.
故椭圆C 的标准方程为x 216+y 212=1.
9.已知焦点为F 1(-3,0),F 2(3,0)的椭圆经过点A (0,-4),求该椭圆的标准方程. 解:方法一(待定系数法):
由已知,得c=3,焦点在x 轴上,
可设该椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),
则由题意,得{02a +(-4)2b =1,b 2=a 2-32.解得{a 2=25,b 2=16. 故该椭圆的标准方程为x 225+y 216=1.
方法二(定义法)
因为2a=|AF 1|+|AF 2|=√(-3-0)2+(0+4)2+√(3-0)2+(0+4)2=10, 所以a=5.所以b 2=a 2-c 2=52-32=16.
由焦点坐标,知椭圆的焦点在x 轴上,
故该椭圆的标准方程为x 225+y 216=1.
10.★椭圆x 29+y 2
4=1的焦点为F 1,F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1PF 2为钝角时,求点P
横坐标的取值范围.
解:如图,以F 1F 2为直径,O 为圆心的圆x 2+y 2=5与椭圆x 2
9+y 2
4=1交于A ,B ,C ,D 四点,
则∠F 1AF 2=∠F 1BF 2=∠F 1CF 2=∠F 1DF 2=90°,
由{x 2+y 2=5,4x 2+9y 2=36,
得x=±3√55. 如果点P 在椭圆弧AB 及CD 上,即在圆的内部,那么∠F 1PF 2是钝角.
3√5 5<x<
3√5
5
.
故−
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同步北师大版数学选修1-1练习：第二章 §1 1.1 第1课时 椭圆及其标准方程