2021-2022年高二2月月考数学理试题

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2021-2022年高二数学第八次月考试题理

2021-2022年高二数学第八次月考试题理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、已知随机变量ξ服从正态分布N （0，σ2），若P （ξ＞2）=0. 023，则P(-2≤ξ≤2)=（）A. 0.477B. 0.628C. 0.977D.0.9542、设服从二项分布的随机变量X 的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数的值为（） A ． B ． C ． D ．3、下列说法错误的是（）A. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高B. 在线性回归分析中，回归直线不一定过样本点的中心C. 在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好D. 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 4、极坐标方程()()()100ρθπρ--=≥表示的图形是（）A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线 5、以下四个命题，其中正确的个数为（）①由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位； ④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、在极坐标系中，点（2，）到直线的距离为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．17、若是离散型随机变量，1221(),()33P X x P X x ====，且，已知，，则的值为（） A ．Ｂ． C ．Ｄ．8、一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当且时称为“凹数”．若，且互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A ．B ．C ．D ． 9、已知的展开式中的系数为,则 ( )A.-4B.-3C.-2D.-110、一个电路如图所示，A 、B 、C、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A ．B ．C ．D ．11、某宾馆安排五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种A. 64B. 84C. 114D. 14412、抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是，反复这样投掷，数列定义如下：a n n n =-⎧⎨⎪⎩⎪11，第次投掷出现正面，第次投掷出现反面，若)(...*21N n a a a S n n ∈+++=，则事件“”的概率是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、直线（为参数）的倾斜角为 14、是曲线上任意一点，则的最大值是 15、随机变量的分布列为()(),1,2,3,4.1cP X k k c k k ===+为常数，则的值为16、位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为三、解答题(本大题共6小题，共70分)17、(10分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服药的共有55个样本，服药但患病的仍有10个样本，没有服药且未患病的有30个样本．（1）根据所给样本数据完成2×2列联表中的数据；（2）请问能有多大把握认为药物有效？ 18、（12分）已知某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（1）画出散点图；（2）根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y 与销售额x 之间的线性回归方程；（参考公式：1221,ni ii nii x y nxyb a y bx xnx ==-==--∑∑，其中：）（3）若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少？19、（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，点的极坐标为，曲线．（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）过点的射线交曲线于点，交直线于点，若，求射线所在直线的直角坐标方程.20、（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时，的值. 21、（12分）有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0, 3张写有数字1,3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0,2张写有数字1,3张写有数字2.(1)如果从甲盒子中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？(2)如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的两张卡片数字之和为X ，求X 的分布列． 22.（12分）因金融危机,某公司的出口额下降,为此有关专家提出两种促进出口的方案,每种方案都需要分两年实施.若实施方案一,预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别为0.3、0.3、0.4;第二年可以使出口额为第一年的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二,预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1.2倍、l.0倍、0.8倍的概率分别为0.2、0.3、0.5;第二年可以使出口额为第一年的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立.令表示方案实施两年后出口额达到危机前的倍数. (Ⅰ)写出、的分布列;(Ⅱ)不管哪种方案,如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额,预计利润分别为10万元、15万元、20万元,问实施哪种方案的平均利润更大. 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBBCBDCADBCA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 14、36 15. 16.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17、解：（1）解依据题意得，服药但没有病的45人，没有服药且患病的20可列下列2×2联表患病不患病合计服药 10 45 55没服药 20 30 50合计 30 75 105 （2）假设服药和患病没有关系，则Χ2的观测值应该很小，而Χ2==6.109．6.109＞5.024，由独立性检验临界值表可以得出，有97.5%的把握药物有效．18、【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）．试题解析：（1）散点图（2）由已知数据计算得：，1221511256 3.40.5,20056653.40.560.4ni iiniix y xybx xa==--⨯⨯===-⨯⨯-=-⨯=∑∑则线性回归方程为（3）将x=10代入线性回归方程中得到（千万元）考点：回归分析及其应用．19、【答案】（1）,；（2）.试题解析：(1)点,的直角坐标分别为,，所以直线的极坐标方程为；曲线化为极坐标为(2)设射线，代入曲线得,代入直线得：依题意得32cos2tan3sinααα⋅=⇒=.))()()(()(2dbcadcbabcadn++++-所以射线所在直线的直角坐标方程为20、【答案】（Ⅰ）曲线：，可以化为，因此，曲线的直角坐标方程为它表示以为圆心、为半径的圆．为参数)代入中得设两个实数根为，则两点所对应的参数为，则，21、【答案】(1)取出3张卡片都写有1的概率为＝.(2)X所有可能取的值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＋＝，P(X＝2)＝＋＋＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.∴X的概率分布为：22、【答案】(Ⅰ)的所有取值为0.8,0.9,1.0,1.125,1.25, 其分布列为：0.8 0.9 1.0 1.125 1.25P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15的所有取值为0.8,0.96,1.0,1,2,1.44,其分布列为 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P0.3 0.20.180.240.08(2)方案一、方案二的预计利润为、,则 10 15 20 P 0.35 0.350.3∴实施方案一的平均利润更大.27777 6C81 沁29925 74E5 瓥36091 8CFB 賻9(22057 5629 嘩x38493 965D 陝30902 78B6 碶40641 9EC1 黁922950 59A6 妦21972 55D4 嗔38324 95B4 閴101520 P0. 5 0.180.32。

2021-2022年高二上学期第一次月考数学(理)试题含答案

D CBAOyxxx 第一学期高二第一次月考2021-2022年高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题：（将你认为正确的答案填在答卷的表格内，每题有且只有一个正确选项）1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ，则P 的子集共有：A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。

若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是：（A ）4（B ）5（C ）6（D ）73.已知函数f （x ）=。

若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值等于： A. -3 B. -1 C. 1 D. 34.设向量则下列结论中正确的是： A. B. C. D. 垂直5、已知在上是减函数，在上是增函数，则的值是： A 、 B 、6 C 、 D 、12 6．如图所示，ABCD 是一平面图形的水平放置的斜二侧直观图。

在斜二侧直观图中， ABCD 是一直角梯形，A B ∥CD ，，且BC 与轴平行。

若，则这个平面图形的实际面积为： A ． B ． C ． D ．7．实数、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y 则的取值范围是：A ．B ．C ．D ．8．圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，三棱柱的底面是正三角形。

那么在圆柱内任取一点，该点落在三棱柱内的概率为： A. B. C. D.9.设，函数4sin()33ππω=+y x +2的图像向右平移个单位后与原图象重合，的最小值是（） A. B. C. D. 310. 数列的通项公式分别是，，则数列的前100项的和为： A ． B ． C ． D ．二、填空题：（将你认为正确的答案填在答卷对应题序的横线上） 11．右面的程序框图给出了计算数列的前8项和S 的算法，算法执行完毕后,输出的S 为．12.函数的定义域是13.已知等比数列中，前项和为，当，时，公比的值为14.下表是避风塘4天卖出冷饮的杯数与当天气温的对比气温 / 20 25 30 33 杯数20386070如果卖出冷饮的杯数与当天气温成线性相关关系，根据最小二阶乘法，求得回归直线方程是，则的值是。

湖南省永州市第一中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学试题

永州一中2022年上期高二第二次月考试卷数学（考试内容：新人教版必修第一册至选修三第一章）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝（） A ．{2}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{x |x ≥－1}2．若复数z 满足i z ⋅＝1－i ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（） A ．0B ．－1C ．－iD ．i 21 3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（） A ．2πB ．πC ．2D ．14．设a ∈R ，直线ax +2y －1＝0与直线x +ay +1＝0平行，则a ＝（） A ．2B ．2-C ．2±D ．±15．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则|PF |等于（） A ．2B ．3C ．4D ．56．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（） A ．恰好有一个白球与都是红球 B ．至多有一个白球与都是红球 C ．至多有一个白球与都是白球 D ．至多有一个白球与至多一个红球 7．数列{n a }的通项902+=n na n ，则数列{n a }中的最大值是（） A ．103 B ．19C ．191 D ．6010 8．已知函数f （x ）＝)(21111+--++--x x e e a x x 其中a ∈R ，则（） A ．f （x ）在（2，+∞）上单调递增 B ．f （x ）在（2，+∞）上单调递减C ．曲线y ＝f （x ）是轴对称图形D ．曲线y ＝f （x ）是中心对称图形二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2－9x +1，若f （x ）在区间（k ，2]上的最大值为28，则实数k 的值可以是（） A ．－5B ．－4C ．－3D ．－210．已知直线l ：mx －（2－m ）y +1－m ＝0，圆C ：x 2+y 2－2x ＝0，则下列结论正确的是（） A ．圆心C 到直线l 的最大距离是2 B ．直线l 与圆C 恒有两个公共点C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当m ＝1时，圆C 与圆x 2+（y －1）2＝1关于直线l 对称11．设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足0FA FB •=，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆的离心率可以取的值是（） A ．617 B ．619 C ．621 D ．35 12．如图，已知直四棱柱ABCD －EFGH 的底面是边长为4的正方形，CG ＝m ，点M 为CG 的中点，点P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．当m ＝4时，存在点P 满足P A +PM ＝8B ．当m ＝4时，存在唯一的点P 满足2π=∠APMC ．当m ＝4时，满足BP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为22D ．当334=m 时，满足2π=∠APM 的点P 的轨迹长度为π938 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．把4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部保送到甲、乙、丙三所大学，每个学校至少去一名，不同的保送方案有种．14．已知点P 在圆x 2+y 2＝1上，点A 的坐标为（－2，0），O 为原点，则AO AP •的最大值为．15．设x ∈R 且x ≠0，则)2(+x 5)11(-x的展开式中常数项为．16．若关于x 的不等式xe x －a （x +3）－alnx ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，8,71227=+=a a S ．（1）求a n ；（2）设n an b 2=，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A +（2c +a ）cos B ＝0．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝4，△ABC 的面积为3，求a +c 的值．19.已知向量→a ＝（2cos2x ，1），→b ＝（2cos （2x －3π），－1）．令f （x ）＝→→⋅b a（1）求f （x ）的最小正周期及单调增区间．（2）当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ时，求f （x ）的最小值以及取得最小值时x 的值． 20.如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ∥CD ，AB BC CD AD 21===，E 在以AB 为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为DE ，BC 的中点．（1）求证：MN ∥平面ABE ；（2）当四棱锥E －ABCD 体积最大时，求二面角N －AE －B 的余弦值．21．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为26，且该双曲线经过点)22,3(p ．（1）求双曲线C 的方程；（2）设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q（2，1），且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若k1+k2＝1，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）＝alnx．（1）记函数g（x）＝x2－（a+2）x+f（x），当a＞2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）设h（x）＝f（x）－x2，若h（x）存在两个不同的零点x1，x2，证明：2e＜a＜x12+x22（e为自然对数的底数）．永州一中2022年上期高二第二次月考答案数学一．选择题（共12小题）1 A2 B 3A4C5B6A7 C8C二．多选题（共4小题）9．：AB．10：BD．11：BD．12：BCD．三．填空题（共4小题）13：36 14：6 15：3 16：[0，e﹣2]四．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）a2+a12＝8⇒a7＝4∵∴a1＝﹣2∴∴a n＝﹣2+n﹣1＝n﹣3；（2）∵a n＝n﹣3，∴b n＝2n﹣3则．214nnT-=18．【解答】解：（1）∵b cos A+（2c+a）cos B＝0，∴sin B cos A+（2sin C+sin A）cos B＝0，化为sin（A+B）+2sin C cos B＝0，∴sin C+2sin C cos B＝0，∵sin C≠0，∴cos B＝﹣，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）由余弦定理可得：42＝a2+c2﹣2ac，可得a2+c2+ac＝16．由S＝ac sin＝，可得ac＝4．∴（a+c）2＝16+ac＝20，解得a+c＝2．19.解：（1）∵向量＝（2cos2x，1），＝（2cos（2x﹣），﹣1）．∴f（x）＝•＝2cos2x2cos（2x﹣）﹣1＝4cos2x（cos2x cos+sin2x sin）﹣1＝2cos22x+2sin2x cos2x﹣1＝cos4x+﹣1＝2sin（4x+）﹣1，故函数f（x）的周期为＝．令﹣+2k，k∈Z，解得﹣，k∈Z，∴f（x）的增区间为[﹣，]，k∈Z．（2）当x∈[，]时，4x+∈[，]，﹣1，故当4x+＝时，函数f（x）取得最小值为﹣2，此时x＝．20．【解答】解：（1）证明：取EC中点F，连接MF，NF，∵AB∥CD，M，N分别为DE，BC的中点，∴NF∥BE，MF∥CD，∴MF∥AB，∵NF∩MF＝F，BE∩AB＝B，∴平面ABE∥平面MNF，∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面ABE；（2）当四棱锥E﹣ABCD体积最大时，E是中点，此时AE＝BE，以E为坐标原点，EB为x轴，EA为y轴，过E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设＝1，则AE＝BE＝，B（，0，0），C（，，），N（，，），A（0，，0），E（0，0，0），＝（0，，0），＝（，，），设平面AEN的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（，0，﹣7），平面ABE的法向量＝（0，0，1），设二面角N﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝755 55．∴二面角N﹣AE﹣B 755．21．【解答】解：（1）由离心率为，且c2＝a2+b2，得c2＝3b2，a2＝2b2，即双曲线方程为．又点在双曲线C上，∴，解得b2＝1，a2＝2，∴双曲线C的方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），则由k1+k2＝1，得，即，解得x0＝0，不符合题意，故直线AB的斜率存在．不妨设直线AB的方程为y＝kx+t，代入，整理得（2k2﹣1）x2+4ktx+2t2+2＝0（2k2﹣1≠0），Δ＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由k1+k2＝1，得，即，整理得（2k﹣1）x1x2+（t﹣2k+1）（x1+x2）﹣4t＝0，∴，整理得：t2+（2k﹣2）t﹣1+2k＝0，即（t﹣1）（t+2k﹣1）＝0，∴t＝1或t＝1﹣2k．当t＝1时，直线AB的方程为y＝kx+1，经过定点（0，1）；当t＝1﹣2k时，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）+1，经过定点Q（2，1），不符合题意．综上，直线AB过定点（0，1）．22．【解答】（1）解：因为f（x）＝alnx，所以g（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx（x＞0），所以g′（x）＝2x﹣（a+2）+＝，当a＞2时，＞1，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，x∈（1，）时，g′（x）＜0，x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（2）证明：由h（x）＝f（x）﹣x2＝alnx﹣x2（x＞0），则h′（x）＝﹣2x＝，①若a≤0，则h′（x）＜0恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）最多有一个零点，不合题意；②若a＞0，令h′（x）＝0得x＝或x＝﹣（舍去），当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）≤h（）＝ln﹣，若h（x）存在两个不同的零点x1，x2，则h（）＞0，即ln ﹣＞0，所以ln＞1，即a＞2e，当a＞2e时，又h（1）＝﹣1＜0，所以h（x）在∈（0，）上恰有一个零点，又e a＞a（a＞0），则h（e a）＝a2﹣（e a）2＜0，又a＞，所以h（x）在（，+∞）上恰有一个零点，所以a＞2e成立，由h（x1）＝h（x2）可得alnx1﹣＝alnx2﹣，即a（lnx1﹣lnx2）＝﹣，可设x1＞x2＞0，则lnx1＞lnx2，则a＝，要证a＜x12+x22，即证＜x12+x22，即证ln＞，设t＝（t＞1），即证lnt＞，设m（t）＝lnt﹣（t＞1），可得m′（t）＝﹣＝＞0恒成立，所以m（t）在（1，+∞）上单调递增，所以m（t）＞m（1）＝0，即lnt＞，则a＜x12+x22，综上可得，2e＜a＜x12+x22．。

宁夏银川市第二中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案

【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】【答案】DFra bibliotek【10题答案】
【答案】B
【11题答案】
【答案】A
【12题答案】
【答案】A
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】36
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
A.6种B.11种C.12种D.16种
10.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
A.100B.200C.300D.400
11.为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）
A. 3B. 9C. 12D. 15
2.某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（）
A. 种B. 种C. 种D. 种
3.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()
A. B. C. D.
4.随机变量X 分布列为P(X＝k)＝，c为常数，k＝1,2,3,4，则的值为()
17.已知向量，．
（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；
（2）若x，y在连续区间上取值，求满足的概率．

天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题(含答案解析)

天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，直线l 的斜率是（）ABC ．D ．2．已知()2,1,3=- a ，()4,2,b x =- ，且a b ∥，则x 的值为（）A ．103B ．103-C ．6D ．-63．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则9S 等于（）A ．8-B ．6-C ．10D ．04．已知ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(2,0)-、(2,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于2，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22148x y -=（2x ≠±）B ．2212y x -=C ．22148x y -=D ．2212x y -=（2x ≠±）5．在三棱锥-P ABC 中，点D ，E ，F 分别是BC ，PC ，AD 的中点，设PA a = ，PB b =，PC c = ，则EF =（）A ．111244a b c --B ．111+244a b c- C ．111+244a b c -D ．111++244a b c- 6．已知过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若AF = 3FB ，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．12C D7．直线:20l kx y --=与曲线1C x =-只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．(-8．设1F 是双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点，1A ，2A 是C 的两个顶点，C 上存在一点P ，使得1PF 与以12A A 为直径的圆相切于Q ，且Q 是线段1PF 的中点，则C 的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x=±9．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（）A ．55,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题10．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是__________.11．已知C ：224630x y x y +---=，点()20M -，是C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是__________．12．空间直角坐标系中，四面体ABCD 的各顶点(0,0,2)A ，(2,2,0)B ，(1,2,1)C ，(2,2,2)D ，则点B 到平面ACD 的距离是_______________.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________.14．设点P 是曲线221(0)3x y x -=>上一动点，点Q 是圆()2221x y +-=上一动点，点()20A -，，则PA PQ +的最小值是_____________15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为H ，点P 在C 上，且PH =，则PFH ∆的面积为______．三、解答题16．（1）已知直线1l ：60x ay ++=和直线2l ：(2)320a x y a -++=，若12l l ⊥，求a 值.（2）求与直线220x y --=平行且纵截距是2-的直线3l 的一般式方程.（3）若直线l 经过(2,1)A 、()21,B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角α的取值范围.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//ABCD AB CD ，且2,1CD AB ==，1,,BC PA AB BC N ==⊥为PD 的中点.(1)求证：//AN 平面PBC ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC ，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由.18．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅求数列{}n c 的前n 项和n S .(3)设{}n b 的前n 项和为n T ，求n a T 19．(1)若圆M 的圆心在直线1y x =-上，且圆M 过点(0,1)A ，B ，求圆M 标准方程(2)已知直线0mx ny c ++=和圆O ：221x y +=交于A ，B 两点，且O 到此直线的距离为12，求OA OB ⋅的值.(3)两圆1C ：222240x y ax a +++-=和2C ：2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，求2211a b +的最小值.20．如图，椭圆22221x y a b +=（0a b >>为A ，B ，C ，D ，且||2AB =.(1)求椭圆的方程；(2)P是椭圆上位于x轴上方的动点，直线CP，DP与直线l：4x=分别交于G、H两点.若||4GH=，求点P的坐标；(3)直线AM，BM分别与椭圆交于E，F两点，其中点1,2M t⎛⎫⎪⎝⎭满足0t≠且t贡若BME面积是AMF面积的5倍，求t的值.参考答案：1．B【分析】由图中求出直线l 的倾斜角，再根据斜率公式求出直线l 的斜率.【详解】如图，直线l 的倾斜角为30°，tan30°=l .故选：B.2．D【分析】由向量a b ∥可得21342x-==-，从而得出答案.【详解】由a b ∥，则21342x-==-，则6x =-故选：D 3．D【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得23a =a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴23a =a1a4，∴21(22)a +⨯=a1•（a1+3×2），化为2a1=-16，解得a1=-8．∴则S9=-8×9+982⨯×2=0，故选D ．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．A【分析】首先设点(),,2C x y x ≠±，根据条件列式，再化简求解.【详解】设(),,2C x y x ≠±，2AC BC k k ⋅=，所以222y y x x ⋅=+-，整理为：22148x y -=，2x ≠±，故选：A 5．B【分析】连接DE 由中位线性质可知12DE b =-；利用空间向量的加减法和数乘运算可表示出结果.【详解】连接DE ,D ，E 分别是BC ,PC 的中点111222DE BP PB b∴==-=-()1111122444EF DF DE DA DE AD DE AB AC DE AB AC DE∴=-=-=--=-+-=---()()1111111144442244EF AB AC DE PB PA PC PA PB PA PB PC∴=---=----+=+-PA a = ，PB b =，PC c = 111111244244EF PA PB PC a b c∴=+-=+- 故选：B 6．D【分析】作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°，从而得到直线AB 的斜率k 值.【详解】作出抛物线的准线l ：x ＝﹣1，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.∵AF = 3FB，∴设AF ＝3m ，BF ＝m ，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC ＝3m ，BD ＝m .因此，Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°所以，直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，得直线AB 的斜率k ＝tan 60°=故选：D.【点睛】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k ，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题目.7．C【分析】确定直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，确定曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知，直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有2个交点，此时2k =，不满足题意，直线记为1l ，当直线l 经过点(1,2)时，l 与曲线C 有1个交点，此时4k =，满足题意，直线记为3l ，如图，当直线l1=，解得43k =，直线记为2l ，由图知，当24k <≤或43k =，l 与曲线C 有1个交点，故选：C 8．C【分析】根据图形的几何特性转化成双曲线的,,a b c 之间的关系求解.【详解】设另一焦点为2F ，连接2PF ，由于1PF 是圆O 的切线，则OQ a =，且1OQ PF ⊥，又Q 是1PF 的中点，则OQ 是12F PF △的中位线，则22PF a =，且21PF PF ⊥，由双曲线定义可知14PF a =，由勾股定理知2221212F F PF PF =+，2224416c a a =+，225c a =，即224b a =，渐近线方程为a y x b=±，所以渐近线方程为12y x =±．故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.9．B【分析】设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出c 的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，则1222F F PF c ==，双曲线的半实轴长为12502PF PF a c -==->，则05c <<，又双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以125c ca c <=<-，所以51023c <<，所以20523c <<，即该椭圆的焦距的取值范围是205,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.10【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】抛物线28y x =的焦点为(2,0)，双曲线2213yx -=的渐近线方程为y =，利用点到直线的距离公式可得：d =11．20x +=或724140x y ++=【分析】按切线斜率存在不存在分类讨论，利用点到直线的距离求解.【详解】由题意得圆C ：22(2)(3)16x y -+-=，圆C 是以()23，为圆心，4为半径的圆．当直线的斜率不存在时，2x =-，与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，可设切线l 的方程为()2y k x =+．由圆C 到直线l的距离等于半径，可得4d ==．解得724k =-．所以切线方程为20x +=或724140x y ++=．故答案为：20x +=或724140x y ++=．12【分析】先求出平面ACD 的法向量n，则点B 到平面ACD 的距离是BA n n ⋅.【详解】由题可得()()121220,,，,,AC AD =-=，则设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则20220n AC x y z n AD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()1,1,1n =--.又()222,,BA =-- ，则点B 到平面ACD的距离BA nd n ⋅===13．1-【分析】由椭圆离心率和,,a b c 关系可得,a b 关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.【详解】解：由题意可得c e a ==a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b-+-++=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122121226134y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+.故答案为：1-.14．1【分析】通过双曲线的定义得PA PQ PQ PF +=++【详解】解：设双曲线2213x y -=的右焦点为()20F ，，圆()2221x y +-=的圆心为()02M ，，如图所示：由双曲线的定义得PA PF -=，所以PA PF =，所以2221PA PQ PQ PF FQ FM MQ +=+++-+，当且仅当P ，Q 分别为线段FM 与双曲线的右支，圆的交点时取等号．故PA PQ +的最小值为1．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的定义，双曲线的性质和几何意义，点与圆的位置关系，属于中档题．在解决线段的和或差的最值，常运用圆锥曲线的定义，化曲为直得以解决.15．4±【解析】设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±即可求解．【详解】解：由抛物线C ：24y x =，得焦点()1,0F ，准线方程为 1.x =-过P 作PM 垂直准线于M ，设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±．则PFH ∆的面积为1242t ⨯⨯=±故答案为：4±【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．16．（1）12a =；（2）240x y --=；（3）ππ0,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【分析】（1）根据两直线垂直的公式求解即可；（2）设3:l 20x y a -+=，再根据截距求解即可；（3）根据倾斜角与斜率的关系可得tan 1α≤，再根据倾斜角的范围求解即可.【详解】（1）因为12l l ⊥，故()1230a a ⨯-+=，解得12a =；（2）设3:l 20x y a -+=，因为纵截距是2-，故()0220a -⨯-+=，解得4a =-.故3:l 240x y --=；（3）直线l 的斜率为221112m m -=--，因为20m ≥，故211m -≤，则tan 1α≤.因为[)0,πα∈，故ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭17．(1)见解析(2)23(3)存在M ，且23DM DP =.【分析】（1）过A 作AE CD ⊥于E ，以A 为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和直线AN 的向量，从而可证明线面平行.（2）求出平面PAD 的法向量，利用向量求夹角公式解得.（3）令DM DP λ=，[0,1]λ∈，设(),,M x y z ，求出CM ，结合已知条件可列出关于λ的方程，从而可求出DMDP的值.【详解】（1）过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1DE =，如图，以A 为坐标原点，分别以AE ，AB ，AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,1,0B，()E，()1,0D -，()C ，()0,0,1P ，N Q 为PD的中点，11,22N ⎫∴-⎪⎭，则11,22AN ⎫=-⎭ ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z = ，(0,1,1)BP =-，BC =，则00m BP y z M BC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，，，令1y =，解得：()0,1,1m = .11022AN m =∴⋅=-+uuu r r ，即AN m ⊥uuu r u r ，又AN ⊄平面PBC ，所以//AN 平面PBC ．（2）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n a b c =，(0,0,1)AP =，1,0)AD =- ，所以00AP n c AD n b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1a =，解得(1,n =r .所以2cos ,3m n m n m n⋅==⋅u r ru r ru r r .即平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为23.（3）假设线段PD 上存在一点M ，设(,,)M x y z ，DM DP λ=，[0,1]λ∈.(1,)(x y z λ-+=-Q，,1,)M λλ∴-，则(,2,)CM λλ=--又直线CM 与平面PBC ，平面PBC 的一个法向量()0,1,1m =CM m CM m ⋅=uuu r uuu u r r u r ，化简得22150240λλ-+=，即()()327120λλ--=，[0,1]λ∈ ，23λ∴=，故存在M ，且23DM DP =.18．(1)2n n a =，21n b n =+；(2)1(21)22n n S n +=-⋅+；(3)21222n n n n a T T +==+．【分析】（1）由等差数列的基本量法求得公比q 后可得n a ，再计算得n b ；（2）由错位相减法求和；（3）由等差数列的前n 项和公式计算．【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，则由已知得22222a a q a q =-，20a ≠，则220q q --=，2q =或1q =-（舍去），∴1222n n n a -=⨯=，212log 221nn b n =+=+；（2）(21)2nn n n c a b n ==+⋅，23252(21)2n n S n =⨯+⨯+++⋅ ，∴23123252(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ，相减得231322(222)(21)2n n n S n +-=⨯++++-+⋅ 1114(12)62(21)22(12)212n n n n n -++-=+⨯+⋅=-+-⋅-，∴1(21)22n n S n +=-⋅+；（3）由（1）21n b n =+，2n n a =，2122(3221)35(221)222n n n n nn na T T ++⨯+==+++⨯+==+ ．19．(1)()2214x y ++=(2)12-(3)1【分析】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB =求出a ，可得圆心和半径，从而得到答案；（2）根据O 到此直线的距离为12，得到2π3AOB ∠=，再由数量积公式计算可得答案；（3）由圆和圆的位置关系判断出两圆外切，得到2249a b +=，再由基本不等式求解可得答案.【详解】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB ==，解得0a =，所以()0,1M -2=，圆M 标准方程为()2214x y ++=；（2）因为O 到此直线的距离为12，所以112sin 12∠==OAB ，所以π6∠=∠=OAB OBA ，即2π3AOB ∠=，1== OA OB ，所以1cos 2⋅=⋅∠=- OA OB OA OB AOB ；（3）圆1C ：()224x a y ++=，圆心()1,0C a -，半径为2，圆2C ：()2221x y b +-=，圆心()20,2C b ，半径为1，因为两圆1C 和2C 恰有三条公切线，所以两圆外切，所以123C C =3=，整理得2249a b +=，因为a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，所以()222222222211111145994⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎝⎭⎝⎭a b a b a b b a a b()11559419⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22224=a b a b即223,32==b a 时等号成立.所以2211a b+的最小值为1.20．(1)2214x y +=(2)()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭(3)1t =±【分析】（1）根据短轴，离心率的定义与椭圆的基本量的关系求解即可.（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出点P 的坐标，从而得到点,G H 的坐标，根据4GH =列出方程即可得到结果.（3）分别设直线AM ,直线BM 的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出BME 面积是AMF 面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.【详解】（1）由题意可知22222c e a AB b a b c ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>由()42x y k x =⎧⎨=+⎩得()4,6G k 联立直线CP 的方程与椭圆方程()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222214161640k x k x k +++-=设()00,P x y ，则()202164214k x k --=+，所以20022284,1414k kx y k k -==++，即222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又因为()2,0D ，所以2224142821414DPkk k k k k --+-+==，所以直线DP 的方程为()124y x k =--，由()1244y x k x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩得14,2H k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1642GH k k =+=，因为0k >，所以12k =或16从而得()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭（3）∵()0,1A ,()0,1B -,1,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭,且0t ≠,∴直线AM 的斜率为112k t =-,直线BM 斜率为232k t=,∴直线AM 的方程为112y x t =-+,直线BM 的方程为312y x t=-,由2214112x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140t x tx +-=,∴0x =,241t x t =+,∴22241,11t E t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由2214312x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120t x tx +-=,∴0x =,2129t t x =+,∴222129,99t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；∵1sin 2AMF S MA MF AMF =∠ ,1sin 2BME S MB ME BME =∠ ,AMF BME ∠=∠,5AMF BME S S =△△,∴5MA MF MB ME =,即5MA MB MEMF=,又t 贡∴22541219t tt t t t tt =--++,整理方程得：()22519t t +=+,解得：1t =±.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案

2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}，则A∩（）=（）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π），若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值；（Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。

宁夏银川市景博中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学(理)试题

若，则或
根据否命题的概念即得.
命题“若，则且 ”的否命题为“若，则或 ”.
故答案为：若，则或 .
14.已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知 =120°，且，则椭圆的离心率为___________.
设，由余弦定理知，所以，故填 .
15.已知是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，，则的面积=_________．
C
利用焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程，结合选项，即可得出结论．
由题意，焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程是 .故选：C
本题考查双曲线的方程与性质，考查对概念的理解，属于基础题．
4.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A 2B.3
C.4D.8
D
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
（1）焦点三角形周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4） .
16.过点且被点平分的双曲线的弦所在直线方程为_.
由于双曲线图象关于x轴对称，且M不在x轴上，所以所求直线不平行于y轴，即斜率为实数，设所求直线斜率为a，与双曲线两交点坐标为（3+t，-1+at）和（3-t，-1-at）．
A. B. C. 或 D.
C
根据双曲线标准方程的形式确定，求得的取值范围
因为方程的图像是双曲线，
所以，解得：或，故选：C

2021-2022学年河南省灵宝市高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】

2021-2022学年河南省灵宝市高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X ,则表示“放入袋中5回小球”的事件为( )A ．X=4B ．X=5C ．X=6D ．X ≤4【答案】C【分析】“放入袋中回小球”也即是第次抽取到了红球，由此求得的值.56X 【详解】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所有“放入袋中回小5球”也即是前次都是抽到黑球，第六次抽到了红球，故，所以选C.56X =【点睛】本小题主要考查对离散型随机变量的理解，考查抽样方法的理解，属于基础题.2．若，则整数（）33235n n C A =n =A ．B ．C ．D ．891011【答案】A【分析】由排列数和组合数公式计算即可得到结果.【详解】，，33235nnC A = ()()()()221223512321n n n n n n --∴⨯=⨯--⨯⨯整理可得：，解得：或或，()()3298180n n n n n n -+=--=0n =1n =8n =，.3n ≥ 8n ∴=故选：A.3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有．A ．280种B ．240种C ．180种D ．96种【答案】B【详解】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有种，46360A =3560A =乙从事翻译工作的有种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，3560A =则选派方案共有360-60-60=240种．故选：B.4．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）A ．20B ．55C ．30D ．25【答案】D【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．【详解】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，3735C =若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，3510C =则有种不同的选取方案，351025-=故选：D ．5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有A ．16种B ．18种C ．37种D ．48种【答案】C【分析】根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，44464⨯⨯=其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；33327⨯⨯=则符合条件的有种，642737-=故选C ．【点睛】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时34448⨯⨯=特别要注意．6．已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（）()62211x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A【分析】令，可求出，再写出的通项，再考虑展开式中的每一项与中的1x =2a =6211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x a +哪项之积为常数即可.【详解】令，则，所以．1x =()612192a +⨯=2a =在中，的展开式的通项，()622121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭216621rr r rr T C C x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以的展开式中的常数项为．()622121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2120106666228x C x C C C -+⨯=+=故选：A【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．7．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（）A ．B ．C ．D ．15253545【答案】D【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：．213042423366C C C C 4(2)(2)(3)C C 5P X P X P X ≥==+==+=故选：D ．8．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】直接利用枚举法写出所有的等比数列即可得到答案.【详解】（2）以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个.故选：D.【点睛】本题考查了等比关系的确定，考查了学生观察问题的能力，是中档题.9．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．5641564532516【答案】C【分析】先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比2获胜，即前5局甲胜3局，最后一局甲胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．【详解】解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．12记“甲以4比2获胜”为事件，A 则．()335351115(()22232P A C -=⨯=故选：．C 【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A ．恰有1名女生与恰有2名女生B ．至多有1名女生与全是男生C ．至多有1名男生与全是男生D ．至少有1名女生与至多有1名男生【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项．【详解】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女．恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A 正确；至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B 错误；至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C 错误；至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D 错误．故选：A ．11．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X ，若X 的数学期望(0,1)p ∈，则P 的取值范围是（）() 1.75E X >A ．B ．C ．D ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解，可解出值.() 1.75E X >p 【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即，发球次数为2即二次发球成(1)p X p ==功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望(2)(1)P X p p ==-2(3)(1)P X p ==-，依题意有，22()2(1)3(1)33E X p p p p p p =+-+-=-+() 1.75E X >即，解得或，结合p 的实际意义，可得.233 1.75p p -+>52p >2p 1<102p <<故选：C ．12．下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；a a ②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位；35y x =-x y ③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；r ④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为0.4，则ξ()()21,0N σσ>ξ()0,1位于区域内的概率为0.6；ξ()1,+∞⑤利用统计量来判断“两个事件的关系”时，算出的值越大，判断“与有关”的把握就2χ,X Y 2χX Y 越大其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用统计的相关知识逐一分析判断即可.【详解】逐一判断所给的说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍，原说法错误；a a②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，原说法正确；35y x =-x y ③线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，原说法错r 误；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为0.4，而ξ()()21,0N σσ>ξ()0,1位于区域内的概率为0.5，原说法错误；ξ()1,+∞⑤利用统计量来判断“两个事件的关系”时，算出的值越大，判断“与有关”的把握就2χ,X Y 2χX Y 越大，原说法正确.故选：B.二、填空题13．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活X 动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50n 小时的人数大约为________．【答案】0.35n【分析】利用正态分布的对称性求解即可【详解】解：由题意，，则，40μ=()240,X N σ 由，可得，()30500.3P X ≤≤=()10.3500.352P X ->==故累计时长超过50小时的人数大约有人．0.35n 故答案为：．0.35n 14．的展开式中，含项的系数为______．（用数字作答）()()532x y x y -+24x y 【答案】110-【分析】的展开式的通项公式为,采取赋值法令和令，进()52x y +()5152rr rr T C x y -+=51r -=52r -=一步求出答案.【详解】的展开式的通项公式为，令得，令得，()52x y +()5152rr rr T C x y -+=51r -=4r =52r -=3r =∴的展开式中，的系数为,故答案为.()()522x y x y -+24x y 42255232110C C ⋅-⋅=-110-故答案为：.110-【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，赋值法是解决二项展开式的系数和问题的工具，属于基础题型.15．若的方差为2．则的方差为____________．128,,,k k k ()()()12823,23,,23k k k --- 【答案】8【分析】根据给定条件，利用方差的定义直接计算作答．【详解】设的平均数为，则，128,,,k k k k ()()()222128128k k k k k k ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦ 而的平均数为，()()()12823,23,,23k k k --- 2(3)k -则其方差为．()()()222212814444288s k k k k k k ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎢⎥⎣⎦ 故答案为：8．16．某地区数学考试的成绩服从正态分布，正态分布密度函数为X 2~(,)X N μσ()22()2x x f x σ--=，其密度曲线如图所示，则成绩位于区间的概率是__________．（结果保留3(,)x ∈-∞+∞X (86,94]为有效数字）本题用到参考数据如下：，()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=.(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤【答案】0.0215【分析】利用图象求出，利用参考数据计算，再利用对称性即μσ，(5486)P X <<，(4694)P X <<可得出答案.【详解】由图像可知，所以，8,70σμ==(70167016)0.9544P X -<<+=即；又，(5486)0.9544P X <<=(70247024)0.9974P X -<<+=即，(4694)0.9974P X <<=故结合图形可知，1(8694)(0.99740.9544)0.02152P X <<=-=故答案为：．0.0215三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数），在以原点为极点，3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩αx 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为.sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点，l 和C 交于A ，B 两点，求.(0,2)P ||||PA PB +【答案】(1) .. (2)2219x y +=4π||||PA PB +=【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点在直线l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.(0,2)P 【详解】（1）消去参数α得，3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩2219x y +=即C 的普通方程为.2219x y +=由，得，（*）sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=将，代入（*），化简得，cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩+2y x =所以直线l 的倾斜角为.4π（2）由（1），知点在直线l 上，可设直线l 的参数方程为（t 为参数），(0,2)P cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即（t 为参数），2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入并化简，得，2219x y +=25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>设A ，B 两点对应的参数分别为，，1t 2t 则，，120t t +=<122705t t =>所以，，所以10t<20t<()1212 ||||PA PBt t t t+=+=-+=【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算. 18．在二项式的展开式中，n（1）若所有二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．64（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．【答案】（1）;（2） .52-1256【详解】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为，，根据中间项的64264n=6n∴=二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令计算的大小，即可得答案.1x=n试题解析：（1）由已知得，，0164nn n nC C C+++=264n=6n∴=展开式中二项式系数最大的项是6331130334611520282T C x x x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）展开式的通项为，23112r n rrr nT C x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0,1,,r n=由已知：成等差数列，∴n=8,02012111,,222n n nC C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12112124nnC C⨯=+在中令x=1，得各项系数和为n125619．设.求：8878710(31)x a x a x a x a-=++++(1) ；871a a a+++(2) .86420a a a a a++++【答案】（1）255；（2）32896【详解】试题分析：（1）令，求得，再令，即可求解的值；x=01a=1x=871a a a+++（2）由（1），再令，即可求解的值.=1x-86420a a a a a++++试题解析：令，得.x=01a=(1)令得，①1x =()8871031a a a a -=++++ ∴.88721022561255a a a a a ++++=-=-= (2)令得.②1x =-()88761031a a a a a --=-+--+①＋②得，()8886420242a a a a a +=++++∴.()8886420124328962a a a a a ++++=+=20．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．（注：方差，其中为，，…… 的平均数）()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦x 1x 2x n x 【答案】（Ⅰ）平均数为方差为3541116（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=同理可得所以随机变量Y 的分布列为：Y 1718192021P17(17)18(18)19(19)20(20)EY P Y P Y P Y P Y =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=21(21)P Y +⨯===1911111171819202184448⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【分析】（Ⅰ）当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10. 所以平均数为＝；x 8+8+9+1035=44方差s 2＝＋＋＋＝.2135(8)44-235(84-235(9)4-235(10)4-1116（Ⅱ）当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果．因此P (Y ＝17)＝＝.21618同理可得P (Y ＝18)＝，P (Y ＝19)＝，1414P (Y ＝20)＝，P (Y ＝21)＝ .1418所以随机变量Y 的分布列为Y1718192021P1814141418E (Y )＝17×P (Y ＝17)＋18×P (Y ＝18)＋19×P (Y ＝19)＋20×P (Y ＝20)＋21×P (Y ＝21)＝17×＋18× ＋19×＋20× ＋21×＝19.181414141821．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555（1）判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？99.9%（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为，求的分布X X 列、数学期望.（参考公式：，其中）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++2()P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关；（2）见解析99.9%【分析】（1）计算K 2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和．()E X 【详解】（1）由公式，所以有的把握认为喜欢“人()22552020105K 11.97810.82830252530⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯99.9%文景观”景点与年龄有关.（2）随机变量可能取得值为0，1，2，3.X ∴，()37310C 7P X 0C 24===，()2173310C C 21P X 1C 40⋅===，()1273310C C 7P X 2C 40⋅===，()33310C 1P X 3C 120===∴的分布列为XX 0123P72421407401120则.()72171E X 01230.9244040120=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．22．某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图：（1）由图可以看出，这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；y x （2）求关于的线性回归方程，并预测当温度为时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确y x 30C ︒到0.01）参考数据：，.6152.5i i y ==∑()()6185i ii x x y y =--=∑ 5.5= 2.65≈参考公式：相关系数.r =回归直线方程，，.y a bx =+()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑a y bx =-【答案】（1）详见解析（2）线性回归方程为；预测当温度为时，这种酶的活3.020.34y x =+30C ︒性指标值为13.22【解析】（1）根据题中所给数据，利用公式求得，非常接近1，从而得到酶的活性与0.97r ≈ry 温度具有较强的线性关系；x （2）根据公式求得关于的线性回归方程为，将代入回归方程，即可求得y x 3.020.34y x =+30x =结果.【详解】解：（1）由题可知，，1(81114202326)176x =+++++=，()622222221(817)(1117)(1417)(2017)(2317)(2617)252ii x x =-=-+-+-+-+-+-=∑则，0.97r ===≈因为非常接近1，所以酶的活性与温度具有较强的线性相关性.||r y x （2）由题可知，，61152.58.7566i i y y ====∑，()()()61621850.34252iii i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑，858.7517 3.02252a y bx =-=-⨯=所以关于的线性回归方程为，y x 3.020.34y x =+当时，.30x =ˆ 3.020.343013.22y=+⨯=故预测当温度为时，这种酶的活性指标值为13.22.30C ︒【点睛】本题考查线性回归分析，线性相关关系的判断以及求线性回归方程，正确利用公式是解题的关键，考查计算能力.。

北京市北师大附属实验 2021-2022高二下学期数学月考试题

北京师范大学附属实验中学2021-2022学年度高二年级第二学期数学月考试卷行政班级教学班级姓名学号分数一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填在答题卡上）1．在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy ）,则yx∆∆为( )A.12x x ∆++∆B.12x x ∆--∆C.2x +∆D. 12x x+∆-∆ 2．设X则q 等于( )A ．1B ．1±2 C ．1－2D ．1＋23．函数sin(3)4y x π=+的导数为( )A. cos(3)4x π+B. 3cos(3)4x π+C.-cos(3)4x π+D. 3sin(3)4x π+4. 在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A ．1321B ．1141C ．1021D ．105．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A. 1220 B. 2755 C. 27220 D. 21256. 设()()221122,,,XN Y N μσμσ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是( ) A.()()21P Y P Y μμ≥≥≥ B. ()()21P X P X σσ≤≤≤C.对任意正数t, ()()P X t P Y t ≤≥≤D.对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥7．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．-e C.1e D ．1e-8．曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--9．函数的导函数为，对任意的，都有)()(x f x f >'成立，则（）A.)3(ln 2)2(ln 3f f >B.)3(ln 2)2(ln 3f f <C.)3(ln 2)2(ln 3f f =D.)2(ln 3f 与)3(ln 2f 的大小不确定 10．数列{}n a 满足：对所有*n N ∈且3n ≥，*,i j N ∃∈，使得(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<，则称数{}n a 是“F 数列”.现有以下四个数列：①{}n ；②{}2n；③(){}lg 1n n +⎡⎤⎣⎦；④1122n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎛+-⎪⎢⎥- ⎬ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎭；其中是“F 数列”的有（） A ．①④ B ．①③④ C ．②③ D ．①②二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 曲线x x y 1+=在点)25,2(处的切线斜率是_________。

2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题(解析版)

2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题一、单选题1．202220212020819811980⨯⨯⨯⨯等于（） A ．19802022A B ．412022A C ．422022A D ．432022A【答案】D【分析】根据排列数公式判断即可；【详解】解：因为19802022一共有20221980143-+=个数，所以4320220A 20222021202081981198⨯⨯⨯⨯=，故选：D2．从2名男生和4名女生中选3人参加校庆汇报演出，其中至少要有一男一女，则不同的选法共有（） A ．16种 B ．32种 C ．95种 D ．192种【答案】A【分析】依题意分选出的3人为1男2女和选出的3人为2男1女两类，按分类计数原理求解即可【详解】若选出的3人为1男2女的情况有1224C C 种．若选出的3人为2男1女的情况有2124C C 种．所以至少要有一男一女的选法有21122424C C C C 16+=，故选：A3．下面几种概率是条件概率的是（）A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率B ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率C ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率【答案】C【分析】根据条件概率的定义一次对选项进行判断即可.【详解】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率．选项A ：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；选项B ：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；选项C ：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；选项D ：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率．故选：C4．下列结论正确的是（）A ．若()2sin f x x x =+，则()cos 2f x x x '=-+B ．若()f x ()f x '=C ．若()2f x =，则()2f x '=D ．若()()321f x x =-，则()()2321f x x ='- 【答案】B【分析】根据导数运算法则，结合基本函数的导数公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，()2sin f x x x =+，()cos 2f x x x ='+，故A 错误；对于B 选项，()12f x x =，()1212f x x -'=⋅=B 正确；对于C 选项，()2f x π=，()0f x '=，故C 错误；对于D 选项，()()321f x x =-，()()()23'3212621f x x x =-⋅=-，故D 错误．故选：B 5．函数31226y x x =-+的极小值点是（） A ．2 B ．23-C ．2-D ．143【答案】A【分析】利用极值点的定义求解. 【详解】解：由题意得：∵31226y x x =-+， ∴2122y x '=-，令0y '=，则2x =±，当(),2x ∞∈--时，0y '>，函数31226y x x =-+单调递增当[]2,2x ∈-时，0y '≤，函数31226y x x =-+单调递减当()2,x ∈+∞时，0y '>，函数31226y x x =-+单调递增故2x =是函数的极小值点.故选：A6．将三颗骰子各掷一次，设事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率()P B A 的值是（） A ．6091B ．12C ．518D ．91216【答案】B【分析】根据题意，计算()P AB ，()P A ，进而结合条件概率公式求解即可.【详解】根据条件概率的含义，()P B A 其含义为在A 发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，因为()23533C A 5618P AB ==，()363A 569P A ==，所以()()()5118529P AB P B A P A ===．故选：B7．()()52x y x y +-的展开式中的33x y 系数为（） A ．30 B ．10 C ．30- D ．10-【答案】B【分析】求得()5x y -的通项，令3r =和2r =，即可求出答案.【详解】因为()()()()55522x y x y x x y y x y +-=-+-，()5x y -的通项为：()515C rr rr T x y -+=-令3r =，则()33245=C T x y -，令2r =，则()22335=C T x y -，所以33x y 的系数为()()32325512C 110C 2010-+-=-+=．故选：B.8．回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味，相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成3位“回文数”的个数为（） A ．30 B ．36C ．360D ．1296【答案】B【分析】根据题意，第一步选择第一位数，第二步选择第二位数，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，第一步选择第一位数，有6种方法，第二步选择第二位数，有6种方法，利用分步计数原理，共有6636⨯=种．故选：B. 二、多选题9．若随机变量X 的分布列如下，则（）A ．10t =B ．()10.8P X >=C ．11t =D ．()30.6P X ≥=【答案】AD【分析】由分布列的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为()112341t+++=，解得10t =，故A 正确，C 错误．由分布列可知：()()11110.10.9P X P X >=-==-=，故B 错误；()30.40.20.6P X ≥=+=，故D 正确.故选：AD.10．已知2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（）A ．二项展开式中各项系数之和为63B ．二项展开式中二项式系数最大的项为32160xC ．二项展开式中有常数项D ．二项展开式中系数最大的项为390x【答案】ABC【分析】根据二项式系数和得6n =，进而根据二项式展开式，二项式系数的性质等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以题中二项式为62x ⎛⎝，二项式展开式的通式公式为：()3666216622rr rrr r r T C x C x ---+==，对于选项A ，令1x =，可得二项展开式中各项系数之和为63，所以选项A 正确；对于选项B ，第4项的二项式系数最大，此时3r =，则二项展开式中二项式系数最大的项为336336322462160T C xx -⨯-==，所以选项B 正确；对于选项C ，令3602r -=，则4r =，所以二项展开式中的常数项为36446426260C x -⨯-=，所以选项C 正确；对于选项D ，令第1r +项的系数最大，则()()6161666161662222r r r r r r r r C C C C -----+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，解得5733r ≤≤，因为*r N ∈，所以2r =时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为 2433362240T C x x ==，所以选项D 错误．故选：ABC11．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（） A ．若任意选科，选法总数为1224C C B ．若化学必选，选法总数为1123C CC ．若政治和地理至多选一门，选法总数为11112222C C C C +D ．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为111222C C C + 【答案】ABC【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，利用组合数的计算公式，逐项计算，即可求解.【详解】对于A 中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，根据分步计数原理，可得选法总数为1224C C 种，所以A 正确；对于B 中，先从物理、历史中选1门，有12C 种选法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有13C 种选法，由分步计数原理，可得选法共有1123C C 种，所以B 正确；对于C 中，先从物理和历史中选1门，有12C 种选法，若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有1122C C 种选法，若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类计数原理，可得共有111222(1)C C C +，所以C 正确；对于D 中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有1122C C 种选法，若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类计数原理，可得选法总数为11221C C +，所以D 错误. 故选：ABC.12．过点(),0P a 作曲线x y xe =的切线，若切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（） A ．2 B ．0 C ．4- D ．6-【答案】AD【分析】设切点为000(,)xx x e ，求得切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，将切线过点(,0)P a ，代入切线方程，得到2000x ax a --=有两个解，结合0∆>，即可求解．【详解】由题意，函数x y xe =，可得(1)x y x e '=+设切点为000(,)xx x e ，则000|(1)x x x y x e ='=+，所以切线方程为：()()000001x xy x e x e x x -=+-，切线过点(,0)P a ，代入得()()000001x x x e x e a x -=+-，即方程2000x ax a --=有两个不同解，则有240a a ∆=+>，解得0a >或4a ．故选：AD. 三、填空题13．已知X 是一个离散型随机变量，分布列如表，则常数c 的值为__________．【答案】13【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，列出方程组，即可求解.【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可得22903809381c c c c c c ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-+-=⎩，解得13c =.故答案为：13.14．118除以9的余数是__________. 【答案】8【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】()1111819=-+，展开式的通项公式为()111119kkk C -⋅-⋅，当0k =时，为()11011191C ⋅-⋅=-. 所以118除以9的余数是198-+=. 故答案为：815．已知一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，则事件“第二次取到一等品”的概率为__________．【答案】340.75【分析】分析可得所求事件可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，即可求得答案.【详解】设事件“第二次取到一等品”为事件A ，可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，所以()3213343434P A =⨯+⨯=．故答案为：3416．()5231x x ++的展开式中2x 的系数为__________．【答案】95【分析】将2x ，3x ，1看作三个不同的对象，把问题可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题求解.【详解】解：将2x 看作对象甲，3x 看作对象乙，1看作对象丙，则题设可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，则要得到2x ，则给甲1个元素，给乙0个元素，给丙4个元素，或给甲0个元素，给乙2个元素，给丙3个元素，即2x 的系数为1422551395C C ⨯+⨯=．故答案为：95 四、解答题17．已知()727012712x a a x a x a x -=++++.求：(1)1237a a a a ++++；(2)1357a a a a +++. 【答案】(1)2-； (2)1094-.【分析】（1）（2）根据给定的二项式的展开式，利用赋值法计算作答.【详解】(1)依题意，令()7()12f x x =-，当0x =时，0(0)1a f ==，当1x =时，()701234567(1)1211a a a a a a a a f =+++++++=-⨯=-，所以，1237(1)(0)2a f a a f a =-++++=-.(2)由（1）知，当1x =-时，7012345673218(71)a a a a a a a a f ++==-+---=-，因此，1357(1)(1)12187109422f f a a a a ----+++===-. 18．某种产品的加工需要经过5道工序．（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空【详解】解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有14C 4=种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有4424A =种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有42496⨯=种加工顺序；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有236A =种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有336A =种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有6636⨯=种加工顺序；（3）先排这2道工序，有222A =种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有4424A =种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有22448⨯=种加工顺序；（4）先排其余的3道工序，有336A =种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有2412A =种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有61272⨯=种加工顺序，19．已知等差数列{}n a 中11a =，公差为()0d d ≠，n S 为其前n 项和，且1S ，3S ，9S 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前2022项的和2022T ．【答案】(1)21n a n =- (2)202220224045T =【分析】（1）利用基本量法求解即可；（2）由（1）有21n a n =-，再利用裂项求和求解即可【详解】(1)等差数列{}n a 中11a =，公差为d （0d ≠），n S 为其前n 项和，且1S ，3S ，9S 成等比数列．所以111S a ==，333S d =+，9936S d =+．1S ，3S ，9S 成等比数列．所以()233936d d +=+，又因为0d ≠，解得2d =．所以21n a n =-． (2)因为21n a n =-，故()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭． 11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭．所以21n n T n =+．所以202220224045T =．20．某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品． (1)求得到一件合格零件的概率；(2)合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列．【答案】(1)0.8 (2)答案见解析【分析】（1）设事件A ：“一次性成型即合格”，设事件B ：“经过技术处理后合格”，求得(),()P A P B 的值，结合互斥事件的概率公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量X 可取700，600，800-，求得相应的概率，即可得出X 的分布列.【详解】(1)解：设事件A ：“一次性成型即合格”，设事件B ：“经过技术处理后合格”，则()0.6P A =，()()10.60.50.2P B =-⨯=．所以得到一件合格零件的概率为()()0.8P P A P B =+=． (2)解：若一件零件一次成型即合格，则1500800700X =-=．若一件零件经过技术处理后合格，则1500800100600X =--=．若一件零件成为废品，则800100100800X =-+=--．所以X 可取700，600，800-，则()7000.6P X ==，()()60010.60.50.2P X ==-⨯=，()()()80010.610.50.2P X =-=-⨯-=，所以随机变量X 的分布列为21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°．【答案】（1）见解析（2）当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°【分析】（1）证明PA BC ⊥．AB BC ⊥，推出BC ⊥平面PAB ．得到AE BC ⊥．证明AE PB ⊥，得到AE ⊥平面PBC ．然后证明平面AEF ⊥平面PBC ．（2）分别以,,AB AD AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方形ABCD 的边长为2，求出为平面AEF 的法向量，平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）∵P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BC ∵ABCD 为正方形 ∴AB ⊥BC又 P A ∩AB =A ，P A ，AB ⊂平面P AB ∴BC ⊥平面P AB ∴AE ⊂平面P AB ∴AE ⊥BC∵P A =AB ，E 为线段PB 的中点 ∴AE ⊥PB又 PB ∩BC =B ，PB ，BC ⊂平面PBC ∴AE ⊥平面PBC（2）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）P （0，0，2）E （1，0，1）∴(1,0,1)AE =，(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =- 设F （2，λ，0）（0≤λ≤2）， ∴(2,,0)AF λ=设平面AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =则·0·0n AE n AF ⎧=⎨=⎩∴1111020x z x y λ+=⎧⎨+=⎩ 令y 1=2，则11x z λλ=-⎧⎨=⎩ ∴(,2,)n λλ=-设平面PCD 的一个法向量为()222,,m x y z =则·0·0m PC m PD ⎧=⎨=⎩∴2222200x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令y 2=1，则2201x z =⎧⎨=⎩ ∴()0,1,1m =∵平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°，∴2cos302m n m n︒===⨯ 解得λ=1，∴当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．22．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，抛物线上一点()(),20A m m >到F 的距离为3． (1)求抛物线C 的方程：(2)设直线l 与抛物线C 交于D ，E 两点，抛物线C 在点D ，E 处的切线分别为1l ，2l ，若直线1l 与2l 的交点恰好在直线3y =-上，证明：直线l 恒过定点．【答案】(1)24x y = (2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；（2）设直线l 的方程并与抛物线方程联立，写出韦达定理和两条切线方程，将两切线方程联立可得交点坐标，根据交点在直线3y =-上，即可得到所求定点. 【详解】(1)由抛物线C ：22x py =上一点(),2A m 到F 的距离为3，可得232p+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =． (2)证明：设211,4x D x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x E x ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx n =+，联立方程24y kx nx y=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx n --=，所以216160k n ∆=+>，且124x x k +=，124x x n =-，又由24x y =，可得=2x y '，所以抛物线C 在点D 处的切线1l 的方程为()211124x x y x x =-+，即21124x x y x =-，同理直线2l 的方程为22224x x y x =-，联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得122x x x +=，124x x y =，又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线y ＝－3上，所以，1234x x =-即1212x x =-，所以12412x x n =-=-，解得3n =，故直线l 的方程为3y kx =+，所以直线l 恒过定点()0,3．。

2021-2022学年四川省南充市高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】

2021-2022学年四川省南充市高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．抛物线的准线方程是（）22y x =A ．B ．C ．D ．12x =12y =12x =-12y =-【答案】C【分析】利用抛物线的准线方程为即可得出．22y px =2px =-【详解】由抛物线，可得准线方程，即．22y x =24x =-12x =-故选：C ．2．在长方体中，，，点为的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -4AB =12AD AA ==P 1CC AP 所成角的正切值为11C DA B C D ．14【答案】A【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出与D DA x DC y 1DD zAP的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的11C D 正切值.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，D DA x DC y 1DD z 则，()()()()112,0,0,0,4,1,0,4,2,0,0,2A P C D,()()112,4,1,0,4,0AP C D =-=-设异面直线与所成角为，AP 11C Dθ则1111cos AP C D AP C D θ⋅===⋅sin θ==，sin tan cos θθθ==异面直线与A.∴AP 11C D 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.3．双曲线（7＜λ＜9）的焦点坐标为22197x y λλ+=--A．（±4，0）B ．（0）C．（0，±4）D ．（0，）【答案】B【详解】试题分析：∵双曲线（7＜λ＜9）22197x y λλ+=--∴9-λ＞0且7-λ＜0，方程化为22197x y λλ-=--由此可得：双曲线焦点在x轴，且c===∴双曲线的焦点坐标为(故选B【解析】双曲线的标准方程．4．如图，南北方向的公路，地在公路正东处，地在北偏东方向处，河流L A 2 km B A 60︒km 沿岸曲线上任意一点到公路和到地距离相等．现要在曲线上某处建一座码头，向，PQ L A PQ A 两地运货物，经测算，从到，修建公路的费用都为万元，那么，修建这两条公路的B M A B a /km总费用最低是（）A ．万元B ．万元C ．万元D ．万元(2a+1)a 5a 6a 【答案】C【分析】依题意知曲线是以A 为焦点、为准线的抛物线，利用抛物线的定义求的PQ L MA MB+最小值，即可求解.【详解】根据抛物线的定义知：欲求从到A ，修建公路的费用最低，即求的最小值，设点到直线的距离为，M B MA MB+M L d 且，即求的最小值，即为点到直线的距离．d MA=d MB+B L 因地在A地东偏北300方向处，B ∴到点A 的水平距离为3（km ），B ∴到直线距离为：3+2=5（km ），B l 那么修建这两条公路的总费用最低为：（万元）．5a 故选：C ．5．圆锥曲线的离心率，则实数的值为（）22189x y m +=+2e =m A ．B ．C ．D ．5-35-1911-【答案】B【分析】首先根据离心率判断曲线为双曲线，根据双曲线的离心率列方程，解方程求得的值.m 【详解】由于曲线的离心率为，所以曲线为双曲线.故，方程化为2e =80m +<22189x y m +=+，所以，解得.22198y x m -=--2e ===35m =-故选B.【点睛】本小题主要考查根据圆锥曲线的离心率求参数，考查椭圆、双曲线离心率的特征，属于基础题.6．已知椭圆与双曲线）22132x y -=A ．B ．2212025x y +=2212520x y +=C ．D ．221255x y +=221525x y +=【答案】B【分析】设椭圆的方程为，求出即得解.22221x y a b +=(0)a b >>,a b 【详解】由题得双曲线的焦点为，所以椭圆的焦点为，设椭圆的方程为，22221x y a b +=(0)a b >>所以.225,5,a b a b ⎧=+∴===所以椭圆的标准方程为.2212520x y +=故选：B7．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )(0,2)28y x =A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条【答案】C【详解】因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，(0,2)故3条．8．已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于22x a 25y ABC ．D ．3243【答案】C【详解】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝＝．ca 329．已知直线与双曲线交于A ､B 两点，以AB 为直径的圆恰好()0y kx k =≠22221 (0,0y a b b x a -=>>）经过双曲线的右焦点F ，若的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（）ABF △A B C ．2D 【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为，则可得四边形为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三1F 1AF BF 角形面积可得，即可求出离心率.222(2)(2)16a c a =-【详解】设双曲线的左焦点为，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接1F ，则四边形为矩形，11,AF BF 1AF BF则可得，，1||2AF AF a-=()222211||2AF AF F F c +==所以，()222211111||2||||2||AFAF AF AF AF AF F F AF AF -=-+=-又因为，1211||42ABF AF F S S AF AF a ==⋅=所以，得，222(2)(2)16a c a =-c =所以ce a =故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形的性质列出关于的齐次方程式，即可求出离心率.,a c 222(2)(2)16a c a =-10．椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则221259x y +=M 1F N 1MF O 的值为ONA ．4B ．8C ．3D ．2【答案】A【详解】根据椭圆的定义得，28MF =由于中，是的中点，11MF F ∆,N O 112,MF F F 根据中位线定理得，故选A ．4ON =11．已知分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，12,F F ()222210,0x y a b a b -=>>P 使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）2F 1PF a A ．B ．C ．D ．⎛⎝⎫+∞⎪⎪⎭()+∞【答案】B【分析】根据已知条件可知点到过且平行于渐近线的直线的距离大于，由此可构造不等式求2F 1F a 得的范围，根据可求得结果.ba e =【详解】由双曲线方程可知：双曲线的一条渐近线为，焦点，，by xa =()1,0F c -()2,0F c 过点作该渐近线的平行线，则该直线方程为：，即；1F ()by x c a =+0bx ay bc -+=若双曲线右支上存在点，使得点到直线的距离为，则只需点到直线的P 2F 1PF a 2F 0bx ay bc -+=距离大于，d a即，，22bcd b a c ===>12b a ∴>双曲线离心率.∴e =>=⎫+∞⎪⎪⎭故选：B.12．设双曲线=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线2222x y a b -的离心率为A ．B ．5CD54【答案】D【详解】双曲线＝1的一条渐近线设为y ＝x ，由方程组消去y ，得2222x y ab -ba 2{1b y x a y x ==+x 2－x ＋1＝0，由题意知该方程有唯一解，所以Δ＝－4＝0，所以e ＝b a 2()b a ca二、填空题13．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为_______．22112x y k k +=-+x k 【答案】12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据题意，列出不等式，即可求解.120k k ->+>【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，22112x y k k +=-+x 可得，解得，120k k ->+>122k -<<-所以的取值范围为.k 12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：.12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭14．双曲线的一条渐近线为，则_____221x y m -=20x y -=m =【答案】4【分析】利用双曲线渐近线方程即可.【详解】由题知，且双曲线的焦点在轴上，0m >x 所以，2,1a m b ==因为双曲线的一条渐近线为，221x y m -=1202b x y y x xa -=⇔==所以，24a m =⇒=故答案为：4.15．过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.24y x =l ,A B ||AB =【答案】8【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，求y 12x x +12||22p p AB x x =+++得答案.【详解】抛物线的焦点为，且斜率为1，则直线的方程为，()1,01y x =-代入抛物线方程得，设24y x =2610x x -+=()()1122,,,A x y B x y ，126x x ∴+=根据抛物线的定义可知.1212||62822p pAB x x x x p =+++=++=+=故答案为：8.16．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若22(0)y px p =>F l ,A B C ，且，则为_______．4BC BF=6AF =p 【答案】92【分析】分别过A 、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将A 、B 到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p 值．【详解】设A ，B 在准线上的射影分别为A ′，B ′，则|BC |＝4|BB ′|，且'6AF AA ==由于|BC |＝4|BB ′|，故|AC |＝4|AA ′|＝24，从而即31CF AF =34CF AC =故，即p ＝，3'4p AA =92故答案为．92【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．三、解答题17．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．2212x y -=【答案】椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．()122195x y +=()22212y x -=【分析】设出椭圆的标准方程，根据2a ，2c 所表示的几何意义求得a ，c 的值，再根据椭圆()1 ，求得b 2的值，进而可得到椭圆的标准方程；222a b c =+先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为，将点代入双曲线()222221(,0)x y a b a b -=>方程，结合双曲线，解方程可得a ，b ，进而可得双曲线的方程．222c a b =+【详解】设椭圆标准方程为，则()122221(0)x y a b a b +=>>焦距为4，长轴长为6，，，，椭圆标准方程为；3a ∴=2c =25b ∴=∴22195x y +=双曲线双曲线的焦点为，()22212x y -=()设双曲线的方程为，22221(,0)x y a b a b -=>可得，223a b +=将点代入双曲线方程可得，，22221a b -=解得，，1a =b =即有所求双曲线的方程为：．2212y x -=【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.18．已知双曲线中，，虚轴长为.()222210,0x y a b a b -=>>:c a =4(1)求双曲线的标准方程；(2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.()0,145 l A B O AOB △【答案】(1)2214x y -=(2)43【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可求得双曲线的标a b c 准方程；（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，求出点、的横坐标，即可求得的面积.l A B AOB △【详解】（1）解：由已知条件可得，解得2222=4=+c b c a b ⎧⎪⎨⎪⎩=1=2a b c ⎧⎪⎨⎪⎩因此，双曲线的标准方程为.2214x y -=（2）解：由题意可知，直线的方程为，设点、，l =+1y x ()11,A x y ()22,B x y 联立，可得，解得，，22=+14=4y x x y -⎧⎨⎩23250x x --=11x =-253x =因此，.1214123AOB S x x =⨯⨯-=△19．如图，四棱锥中，底面是正方形，，，且，E 为P ABCD -ABCD PB BC ⊥PD CD ⊥PA AB =中点.PD （1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）求二面角的正弦值.A BE C --【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）由，，即：，又因为，，即：PB BC ⊥BC AB ⊥BC PA ⊥PD CD ⊥CD AD ⊥，所以平面.CD AD ⊥PA ⊥ABCD （2）通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可求出二面角的正弦值.A BE C --【详解】解：（1）∵底面是正方形，ABCD ，又，，平面，.BC AB ∴⊥BC PB ⊥AB PB B ⋂=BC ∴⊥PAB BC PA ∴⊥同理可得，又，平面.CD PA ⊥BC CD C ⋂=PA ∴⊥ABCD （2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设底面正方形的边长为2，则，，，.()0,0,0A ()2,2,0C ()0,1,1E ()2,0,0B 设是平面的法向量，则(),,m x y z = ABE 0,0,m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 又，，令，则，()0,1,1AE = ()2,0,0AB = 1y =-1z =得.()0,1,1m =- 设是平面的法向量，则(),,n x y z = BCE 0,0,n CE n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 又，，令，()2,1,1CE =-- ()0,2,0BC = =1x -2z =是平面的一个法向量，()1,0,2n = BCE 则，cos ,m m m n n n ⋅==sin ,m n ∴= ∴二面角A BE C --【点睛】本题主要考查线面垂直及二面角的知识，属于中档题目.20．如图，斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，直线PM 垂直平分弦AB ，且分别交AB 、x 轴于M 、P ，已知P (4，0).(1)求M 点的横坐标；(2) 求面积的最大值.PAB ∆【答案】（1）；（2）28【分析】（1）设，，，，，，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公1(A x 1)y 2(B x 2)y 0(M x 0)y 式，解方程可得所求坐标；（2）设直线即，与抛物线联立，运用韦达定理和弦长0:()2AB x m y y =-+0:2AB x my my =-+24y x =公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大值．【详解】解：（1）设，，，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 0(M x 0)y 则，，，121200,22x x y y x y ++==2114y x =2224y x =，∴121212042y y k x x y y y -===-+而，004MP y k x =-由得，即；1MP k k =- 042x -=-02x =（2）设直线即，0:()2AB x m y y =-+0:2AB x my my =-+与抛物线联立得，24y x =204480y my my -+-=则，，124y y m +=12048y y my =-所以，12|||AB y y =-而到直线的距离为P AB d =所以01||2|22PAB S d AB my ∆==+又由于，012y m k==所以，222(24(PAB S m m ∆=+=+，则且，t =0t >222m t =-所以，234(3)124PAB S t t t t ∆=-=-令，3()124(0)g t t t t =->则，2()121212(1)(1)g t t t t '=-=-+当，，当时，，01t <<()0g t '>1t >()0g t '<故，()3()12418g t t t g =-= 即面积的最大值为8．PAB ∆【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝2AD ＝4，四边形EDCF 为矩形，DE ＝2，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF ∥平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；(3)若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF AP 的长．【答案】(1)证明见解析；；(3)6.【分析】（1）由DE ⊥CD ，及面面垂直的性质定理得线面垂直，取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立如图所求的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出平面的一个法向量，ABE 由法向量与的方向向量垂直，再由不在平面内可证线面平行；DF DF ABE （2）求出平面ABE 与平面BEF 的法向量，由法向量的夹角正弦值得二面角正弦值；（3）点P 在线段EF 上，由，用表示出点坐标，由与平面BEF 方向向量的夹角EP EF λ= λP AP，求出，从而可得线段长．λ【详解】(1)证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ∩平面ABCD ＝CD ，∴ED ⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (2，0，0)，B (2，4，0)，C (﹣2，4，0)，E (0，0，2)，F (﹣2，4，2)，设平面ABE 的法向量＝(x ，y ，z )，m ∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(0，4，0)，BE AB 由，取z ＝1，得＝(1，0，1)，242040BE m x y z AB m y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩ m 又＝(﹣2，4，2)，∴＝﹣2+0+2＝0，DF DF m ⋅ 则⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴DF ∥平面ABE ．DF m (2)解：设平面BEF 的法向量＝(a ，b ，c )，n ∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(﹣2，4，0)BE EF 由，取b ＝1，可得＝(2，1，4)，2420240BE n a b c EF n a b ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩ n ∴cos ＜＞＝，,m n||||||m n m n ⋅== ∴sin ＜，,m n=即平面ABE 与平面BEF ．(3)解：∵平面BEF 的法向量＝(2，1，4)，n 点P 在线段EF 上，设P (m ，n ，t )，，则(m ，n ，t ﹣2)＝(﹣2λ，4λ，0)，EP EF λ= 解得P (﹣2λ，4λ，2)，∴＝(﹣2λ﹣2，4λ，2)，AP∵直线AP 与平面BEF∴||||||AP n AP n ⋅= 解得λ＝1，∴线段AP |．6=【点睛】本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角，直线与平面所成的角，从而求得空间线段长，解题关键是建立空间直角坐标系．考查了空间想象能力与运算求解能力．22．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为，点P 为椭圆22x a 22y b 1231,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点C (0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1＝2k 2，求直线l 斜率的值．【答案】（1）＋＝1；（2）.24x 23y 32【分析】(1)由椭圆的离心率,和点P 在椭圆上求出椭圆的标准方程;31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx ＋1, 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2), 联立方程组消去y ,再将k 1＝2k 2用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线l 的斜率.【详解】(1)因为椭圆的离心率为，所以a ＝2c .12又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b .所以椭圆的标准方程为＋＝1.224x c 223y c 又因为点P 为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c ＝1.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭214c 2943c 所以椭圆的标准方程为＋＝1.24x 23y (2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx ＋1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程组消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.所以由根与系数关系可知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.2834k k +2834k +因为k 1＝，k 2＝，且k 1＝2k 2，所以＝.112y x +222y x -112y x +2222y x -即＝.　①()21212y x +()222242y x -又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，所以＝ (4－)，＝ (4－)．　②21y 3421x 22y 3422x 将②代入①可得：＝，即3x 1x 2＋10(x 1＋x 2)＋12＝0.1122x x -+()22422x x +-所以3＋10＋12＝0，即12k 2－20k ＋3＝0.2834k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭2834k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭解得k ＝或k ＝，又因为k >1，所以k ＝.163232【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.。

陕西省西安市第一中学2022-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题 Word版含答案

西安市第一中学2022-2021学年高二第一学期其次次月考数学试题（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题3分，共36分）1. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意R x ∈，都有02<xB ．不存在R x ∈，使得02<xC ．存在R x ∈0，使得020≥x D ．存在R x ∈0，使得020<x2. 若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种状况均有可能3. AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦，已知A ，B 两点的横坐标分别是x 1，x 2且x 1+x 2=6，则|AB |等于（）A ．10B ．8C ．7D ．64.,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC •=，0AC AD •=，0AB AD •=，M 为BC 的中点，则AMD ∆是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形 C. 直角三角形 D ．不确定5. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（） A ． 32 B ．22C ． 12D ．336.在同一坐标系中，方程222221与0(0)a x b y ax by a b +=+=>>的曲线大致是（）A ．B ．C ．D ．7.与双曲线3322=-y x 的焦点相同且离心率互为倒数的椭圆方程为（）A.1322=+y x B.1322=+y x C.1161222=+y x D.1121622=+y x 8.动点P 到直线05=+x 的距离减去它到M （2，0）的距离的差等于3，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为（）A ．3 2B ．2 3C ．303D ．32 610.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距为c ，若直线x y 2=与椭圆的一个交点的横坐标恰好为c ，则椭圆的离心率为（）A ．221-B ．212-C ．12-D ．13-11．抛物线y=x 2到直线2x ﹣y=4距离最近的点的坐标是（）A ．35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．（1，1）C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．（2，4）12. 椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: 12,,,n P P P ，椭圆的右焦点为F .数列{||}n P F 是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是（） A ．198 B. 199 C. 200 D. 201二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．命题“若|x |=1，则x=1”的否命题为．。

2021-2022年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案(III)

2021-2022年高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案(III)一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共50分）1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．C ．D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题 “若抛物线的开口向下，则”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①是的充要条件. ②是的充要条件.③是的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．个B ．个C ．个D ．个4．若命题“”为假，且“”为假，则（）A ．或为假B ．假C ．真D ．不能判断的真假5．下列各组向量中不平行的是（）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．C ．D ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g6．若A ，B ，C ，则△ABC 的形状是（）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形7．,若,则的值等于（）A ．B ．C ．D ．8 下列命题为假命题的是( )A ．B. C ． D ．9 已知条件，条件，则是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 长方体中,AB=BC=2 ,,点E 是的中点，则与平面AEC 所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每空5分，共20分）11. 若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ，则__________________。

12.已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________。

13．函数的导数为_________________。

14.曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；哈32中xx～xx下学期月考试数学（理）试题答题卡一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共50分。

河南省高二下学期2月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，则一100122100333=++⋯+a a a x 1a 2a ⋯100a x 定不属于 ()A ．，B ．，C ．D ． [01)(01]12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】运用特殊值法，逐个排除、、，即可得出答案为．A B D C 【详解】解：本题可以用特殊值法进行排除，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，1a 2a ⋯100a 当得，，故错误，1231000a a a a ===⋯==0x =A 当，，，故、错误， 12a =231000a a a ==⋯==23x =B D 故选：．C 【点睛】本题根据选择题的特点，可以运用特例法进行排除得出结论，考查学生灵活运用数学方法解决问题的能力，属于基础题．2．已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则{}n a n n S 3110S S -=124,,a a a （）3a =A ．B ．C ．或D ．265612【答案】B【解析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求. 3a 【详解】设等差数列的公差为，则， d ()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得或（舍），故， 122a d =⎧⎨=⎩150a d =⎧⎨=⎩()322316a =+⨯-=故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．3．已知等比数列满足，，则 {}n a 118a =35421a a a =-2a =A ． B ． C ．1 D ．21412【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式及，代入首项即可求得公比q ，进而求得的值．35421a a a =-2a 【详解】由等比数列通项公式及，可得，代入 35421a a a =-24311121a q a q a q ⋅=-118a =化简得，即 6316640q q -+=()2380q -=所以2q =由等比数列通项公式可得 2111284a a q ==⨯=所以选A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题．4．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为{}n a {}n b n n S n T 1n n S n T n =+87a b （）A ．B ．C ．D ． 1312141315141615【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首{}n a {}n b 1d 2d 项、公差之间的关系,可得结论. 【详解】设等差数列的公差分别为和{}{},n n a b 1d 2.d ,即 11111,12n n S S a n T n T b =∴==+1112a b =,即 ① 2112122223S a d T b d +∴==+11232b d d =-,即 ② 311312333334S a d T b d +∴==+21143d d b =-由①②解得1211,.d d b d == 11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C5．已知为等差数列，公差，，则（）{}n a 2d =24618a a a ++=57a a +=A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】利用等差数列的性质求解.【详解】， 24618a a a ++=，4318a ∴=解得，46a =，64210a a d ∴=+=.576220a a a ∴+==故选：D6．四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若P ABCD -，则等于（）23AE x AB yBC z AP =++ x y z ++A ．1B ．C ．D ．21112116【答案】B 【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可111222AE AB BC AP =++ ,,x y z 得选项.【详解】因为， ()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE =++=++=++- 所以，所以，所以， 2AE AB BC AP =++ 111222AE AB BC AP =++ 111,2,3222x y z ===解得，所以， 111,,246x y z ===11111++24612x y z ++==故选：B.7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（n a n ）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4*9,≤∈n n N {}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数个圆环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．10C ．12D ．22【答案】A【分析】由递推式依次计算．【详解】由题意知，，， 21212111=-=⨯-=a a 32222124=+=⨯+=a a 43212417=-=⨯-=a a 故选：A.【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．8．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（）A ．545B ．547C ．549D ．551【答案】C【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有个数，可求出前行共有个数，根据12m -m 21m -以上特征，即可求解.【详解】由题意可得该数阵中第行有个数，m 12m -所以前行共有个数，所以前8行共255个数.m 21m -因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.()127512549+-⨯=故选:C.【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前项和，认真审题，注意观察找出规律n 是解题的关键，属于中档题.二、多选题9．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，1F 2F C 221y x b -=2F x C A B 若为正三角形，则下列结论正确的是（）1ABF AA ．B ．的焦距是2b =CC ．D ．的面积为C1ABF A 【答案】ACD【分析】设，则，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心2||AF t =1||2AF t =率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】设，则，离心率C 正确， 2||AF t =1||2AF t =1212||||F F e AF AF ==-∴，，选项A正确，e =2b =，选项B 错误，12F F ==设，将，()AA A x y ，A x =的面积为D 正确，1ABF A 12122A S F F y =⋅⋅=故选:ACD.10．已知数列满足，下列说法中正确的有（）{}n a ()*,01N n n a n k n k =⋅∈<<A ．当时，数列为递减数列12k ={}n a B ．当时，数列不一定有最大项112k <<{}n a C ．当时，数列为递减数列 102k <<{}n a D ．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项1kk -{}n a 【答案】CD【分析】由于，再根据k 的条件讨论即可得出. ()()1111n n n n n kn k a a n k n +++⋅+==⋅【详解】选项A ，当时，，12k =12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴，当时，，()111112212n n n n n a n a n n ++⎛⎫+⋅⎪+⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭1n =12a a =因此数列不是递减数列，故A 不正确．{}n a 选项B ，当时，，112k <<()()1111n n n n n k n ka a n k n +++⋅+==⋅∵随n 的增大逐渐减小，当时，， 111n n n +=+1n =()121n kk n +⋅=>当时，，且小于1， n →+∞()1n k k n+⋅→∴数列一定有最大项，故B 不正确． {}n a 选项C ．当时，，102k <<()()1111112n n n n n k n k a n a n k n n +++⋅++==<≤⋅∴，因此数列为递减数列，故C 正确．1n n a a +<{}n a 选项D ，∵为正整数，∴，∴． 1k k -1k k ≥-112k ≤<， ()()1111n n n n n k n k a a n k n+++⋅+==⋅当时，， 12k =1234a a a a =>>> 当时，令，则， 112k <<()*N 1k m m k =∈-1m k m =+∴，又，，总有成立， ()()111n n n m a a n m ++=+*N m ∈*N n ∈m n =∴， 11n na a +=因此数列必有两项相等的最大项，故D 正确．{}n a 综上可知，只有CD 正确．故选：CD.11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为{}n a n n S ，则下面对该数列描述正确的是（）A ．B ．C ．D ．共有202项11a =333S =437a a -=【答案】AB【分析】利用等差数列的定义、通项公式、前项和公式进行逐一判断即可.n 【详解】将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31 ，2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列， L 所以，所以，因此选项A 正确；109n a n =-11a =，因此选项B 正确； 31313210332S =⨯+⨯⨯⨯=，所以选项C 不正确；4310a a -=，∴．∴共有203项，所以选项D 不正确，1092021n -≤203n ≤故选：AB12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则n a n 数列满足：，记，则下列结论正确的是（）{}n a 12211,n n n a a a a a ++===+121ni n i a a a a ==+++∑ A ．B ．C ．D ．1055a =()2233n n n a a a n -+=+≥201920211i i a a ==∑20212202120221i i a a a ==∑A 【答案】ABD【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.【详解】依题意，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A 正{}n a 1055a =确；依题意，当时，，得，B 正3n ≥12n n n a a a --=+21213n n n n n n n n a a a a a a a a ---+=+++=++22n n a a -+=+确；由给定的递推公式得：，，…，，累加得321a a a -=432a a a -=202120202019a a a -=，20212122019a a a a a -=+++ 于是有，即，C 错误；1220192021220211a a a a a a +++=-=- 2019202111i i a a ==-∑，，，…，2121a a a =⋅()222312321a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅()233423432a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅ ()22021202120222020a a a a =⋅-，因此，，D 正确.2021202220212020a a a a =⋅-⋅22212202120212022a a a a a +++=⋅ 故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题13．记为等差数列的前n 项和，已知，，则______n S {}n a 40S =510a =n n a S +=【答案】22410n n --【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求出答案.d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，d 因为，，40S =510a =所以，解得， 1143402410a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩164a d =-⎧⎨=⎩所以， 2(1)64(1)6424102n n n n a S n n n n -+=-+--+⨯=--故答案为： 22410n n --14．已知数列满足则___.{}n a 111,2(1),n n a na n a +==+8a =【答案】1024【分析】由可得，从而可得数列是以2为公比，1为首项的111,2(1),n n a na n a +==+121n n a a n n +=⋅+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等比数列，可求出通项公式，进而可求出8a 【详解】因为111,2(1),n n a na n a +==+所以， 121n n a a n n+=⋅+所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，所以， 112n n a n-=⨯12n n a n -=⋅所以，8137108822221024a -=⨯=⨯==故答案为：102415．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解.【详解】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，{}n a 其公差为3，所以，解得， 515453602S a ⨯=+⨯=16a =所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．29a =故答案为：916．已知数列的首项，则_________． {}n a 1111,12n na a a +==-2021a =【答案】1-【分析】根据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期1234,,,,a a a a {}n a 3性，即可求解.【详解】由，则， 1111,12n n a a a +==-234123111111,12,1,2a a a a a a =-=-=-==-= 以此类推可知，对任意的，都有，*n ∈N 3n n a a +=即数列是以为周期的周期数列，{}n a 3因为，所以.202136732=⨯+202121a a ==-故答案为：.1-四、解答题17．记是等差数列的前项和，若，n S {}n a n 535S =-721S =-(1)求的通项公式，{}n a (2)求的最小值n S 【答案】(1)419n a n =-(2)-36【分析】（1）设的公差为d ，由等差数列的前项和公式建立方程组，然后可得公差和首项，{}n a n 从而根据等差数列的通项公式即可得答案；（2）由解得，再根据等差数列的前项和公式及二次函数的性质即可求解. 0n a ≥194n ≥n 【详解】（1）解：设的公差为d ，则，， ()1{}n a 1545352a d ⨯+=-1767212a d ⨯+=-，，；115a ∴=-4d =()1541419n a n n ∴=-+-=-（2）解：由得， 4190n a n =-≥194n ≥，，，时，时，，1n ∴=2340n a <5n ≥0n a >的最小值为. n S ∴41434362S a d ⨯=+=-18．已知数列是等差数列，且，求：{}n a 11a =1028a a -=(1)的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值． 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S ()12n m S m N +≤∈n N +∈m 【答案】(1)n a n =(2)9【分析】（1）根据等差数列的定义以及题中所给条件求出公差，即求出了通项公式； d （2）写出数列的前项和，再通过裂项相减法化简，放缩法求出的范围，最后结合所给条件n n S n S 数轴法求出的取值范围并求得最小值.m 【详解】（1）设数列公差为，则，{}n a d 1019a a d =+21a a d =+则，解得.102119()8a a a d a d -=+-+=1d =∴的通项公式为：{}n a 1(1)1n a n n =+-⋅=（2）根据题意， 1324221111111324n n n n n a a a a a a S a a ++=+++=+++⨯⨯ 21111111111111112324223342n n a a n n +⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ . ()()111132331221242124n n n n n ⎡⎤+⎛⎫=⨯+-+=-< ⎪⎢⎥++⋅+⋅+⎝⎭⎣⎦若对任意恒成立，则，解得. ()12n m S m N +≤∈N n +∈3124m ≥9m ≥∴的最小值为9.m 19．在数列中，，对，．{}n a 11a =*n N ∀∈1(1)(1)n n na n a n n +-+=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和． n b ={}n b n n S 【答案】（1）；（2） . 2n a n =1n n +【解析】（1）先由，进而说明数列是首项、公差均为11(1)(1)11n n n n a a na n a n n n n ++-+=+⇒-=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1的等差数列，求出，即可求得； n a n n a （2）先由（1）中求得的求出，再利用裂项相消法即可求得其前项和．n a n b n n S 【详解】（1），1(1)(1)n n na n a n n +-+=+ ，又， ∴111n n a a n n +-=+111a =数列是首项、公差均为1的等差数列． ∴{)n a n ，所以； ∴()111n a n n n=+-⨯=2n a n =（2）由（1）得，2n a n =， 111(1)1n b n n n n ∴===-++． 111111(1()()1223111n n S n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为{}n a 13a =n n S {}n b 11b =，且. (1)≠q q 222212S b S q b +==，(1)求与；n a n b (2)证明：. 1211123n S S S +++< 【答案】(1)；13,3n n n a n b -==(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差d ，公比q 的方程组，解方程组即可计算作答. （2）由（1）的结论，求出，再利用裂项相消法求和推理作答.n S 【详解】（1）设的公差为，因，，，则，而，解{}n a d 13a =11b =222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩0q >得：，，3q =3d =于是得，3(1)33n a n n +-⨯==11133n n n b --=⨯=所以，.3n a n =13n n b -=（2）由（1）知，则，， (33)3(1)22n n n n n S ++==12211()3(1)31n S n n n n ==-++*N n ∈于是得， 12111211111111[()((()]31223341n S S S n n +++=-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+所以. 1211123n S S S +++< 21．已知数列的前项和满足，．{}1n a +n n S 3n n S a =*n ∈N （1）求证数列为等比数列，并求关于的表达式；{}1n a +n a n （2）若，求数列的前项和． ()32log 1n n b a =+(){}1n n a b +n n T 【答案】（1）证明详见解析；;（2）．312n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为，即，当时()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=12...3n n a a a n a ++++=2n ≥，两式相减再配凑得到数列是首项为，公比为的等比数1211...13n n a a a n a --++++-={}1n a +3232列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式；{1}n a +{}n a （2）根据（1）的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，根据{}n b {(1)}n n a b +通项公式的特点运用错位相减法计算出前项和．n n T 【详解】（1）由题设，()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=即①12...3n n a a a n a ++++=当时，，解得， 1n =1113a a +=112a =当时②2n ≥1211...13n n a a a n a --++++-=①－②得，即 1133n n n a a a -+=-13122n n a a -=+又 ()()131122n n a a n -+=+≥1312a +=所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 {}1n a +3232312n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故． 312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1），则， ()33223log 1log 2n n n b a n ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭()312n n n a b n ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭ ()123133333123...+122222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2341333333123...1222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111333333...+2222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1333122n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和，考查学生逻辑推理能力n 和数学运算能力．属中档题．22．已知为等差数列的前项和，，.n S {}n a n 5134a a a =+416S =（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）；（2）. 21n a n =-21n n T n =+【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式； {}n a 1a d 1,a d （2）用裂项相消法求和．n T 【详解】（1）设数列的首项为，公差为.{}n a 1a d 由题意得 11141442,4616,a d a a d S a d +=++⎧⎨=+=⎩解得 11,2.a d =⎧⎨=⎩∴数列的通项公式{}n a ()121n a n =+-.21n =-（2）由（1）得， ()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+∴． 1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等n 求和方法．。

吉林省四平市博达高级中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题

(1)
(2)
�� = 2� − 1, � ∈ �∗ ；
2
�� = 2� + � + 3, � ∈
18. 设 � ∈ �，圆 �： � − 1
(1)
2
�∗
．
+ �−�
(1)
求抛物线的方程；
(2)
不过原点的直线 �: � = � + � 与抛物线交于不同两点 �，�，若 �� ⊥ ��，求 � 的值．
22. 已知点 � 0, − 2 ，椭圆 �:
C． � − � + 1 = 0
D． � − � − 1 = 0
3. 经过圆 �2 + 2� + �2 = 0 的圆心 �，且与直线 � + � = 0 垂直的直线方程是
4. 过点 � 1, − 1 与 � −1,1 且圆心在直线 � + � − 2 = 0 上的圆的方程为
A． � − 3
长为 2，则 � 的离心率为
A．
2 3
B．
3
C．
2
D． 0,
5
2
2 5
5
+ �2 = 4 所截得的弦
D． 2
3
9. 已知抛物线 �2 = 2�� > 0 ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 �，� 两点，若线
段 �� 的中点纵坐标为 2，则该该抛物线的标准方程为
A． �2 =− 4�
�� 的斜率为
(1)
2
= 4．
若 � = 0，点 � 坐标为 3,2 ，� 为圆 � 上的动点，求线段 �� 中点 � 的轨迹方程；
(2)
2 3
3
�2
�2