2.8 课时规范训练

2.8 函数模型及其应用
一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)
1
x 1.9934 5.1 6.12
y 1.5 4.047.51218.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是_____．
①y＝2x－2 ②y＝1
2
(x2－1) ③y＝log3x④y＝2x－2
2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方
式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费
s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相
差________元．
3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2 (0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．
4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注入2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗浴．
5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是________．
6．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m] 是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈________.
7．有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方
围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图
所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)
8．(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六
月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
9．某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为______________．
二、解答题(本大题共4小题，共55分)
10．(13分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年
产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 2
5－48x ＋8 000，已知此生产线年产量
最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
11．(14分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55 元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
12．(14分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛
AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．
(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN 的长为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．
13．(14分)某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已
其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计m ∈[6,8]．另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A 、B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
答案 1.② 2.10 3.150 4.4 5.① 6.(17,18] 7. 2 500 m 2 8.20 9.y ＝a
4
x (x ∈N *)
10.解 (1)每吨平均成本为y
x
(万元)．
则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x
－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000
x ，即x ＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元，
则R (x )＝40x －y ＝40x －x 2
5
48x －8 000
＝－x 2
5＋88x －8 000
＝－1
5(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．
∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，
R (x )有最大值为－15(210－220)2
＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 11.解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，
∴设y ＝k
x －0.4 (k ≠0)．
把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，
得0.8＝k
0.65－0.4，k ＝0.2.
∴y ＝0.2x －0.4＝1
5x －2
，
即y 与x 之间的函数关系式为y ＝1
5x －2
.
(2)根据题意，得⎝⎛⎭⎫1＋15x －2×(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)． 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75，
故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.
答 当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%. 12.解 (1)设DN 的长为x (x >0)米，则AN ＝(x ＋2)米
∵DN AN ＝DC
AM ，∴AM ＝3(x ＋2)x
， ∴S AMPN ＝AN ·AM ＝3(x ＋2)2
x .
由S AMPN >32，得3(x ＋2)2
x
>32，又x >0，
得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x <2
3或x >6，
即DN 长的取值范围是⎝⎛⎭⎫
0，
23∪(6，＋∞)．
(2)矩形花坛AMPN 的面积为 y ＝3(x ＋2)2x ＝3x 2＋12x ＋12x ＝3x ＋12x ＋12
≥23x ·12
x
＋12＝24，
当且仅当3x ＝12
x ，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.
故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．
13.解 (1)设年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A 、B 两产品的年利润y 1、y 2分 别为：
y 1＝10×x －(20＋mx )＝(10－m )x －20
0≤x ≤200且x ∈N
y 2＝18×x －(40＋8x )－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40 ＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N . (2)∵6≤m ≤8，∴10－m >0， ∴y 1＝(10－m )x －20为增函数， 又0≤x ≤200，x ∈N ，
∴x ＝200时，生产A 产品有最大利润为 (10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． 又y 2＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N . ∴x ＝100时，生产B 产品有最大利润为460(万美元) 作差比较：
(y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460 ＝1 520－200m ⎩⎪⎨⎪
⎧
>0， 6≤m <7.6＝0， m ＝7.6<0， 7.6<m ≤8
.
所以：当6≤m <7.6时，投资生产A 产品200件获得最大年利润； 当m ＝7.6时，生产A 产品与生产B 产品均可获得最大年利润； 当7.6<m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．。