材料力学：ch12 弯曲问题进一步研究
材料力学实验报告
材料力学实验报告材料力学实验报告实验名称：弯曲实验实验目的：研究材料的弯曲性质，探究其弯曲应力和弯曲应变之间的关系。
实验原理：当材料受到外力作用时，会发生形变，弯曲是其中一种形变。
在实验中，我们用到了一根长而细的金属棒，将其固定在中间部分，然后在两端施加对称的力，使其发生弯曲。
实验装置：弯曲金属棒、测力计、直尺、螺钉刻度尺。
实验步骤：1. 将金属棒放置在实验台上，用螺钉将其固定在中间部分。
2. 在金属棒的两端分别固定测力计，用直尺测量两个测力计之间的距离，并记录下来。
3. 分别给两个测力计施加相同的力，并记录下测力计示数。
4. 分别调整测力计，给金属棒施加不同大小的力，并记录下测力计示数及对应的距离。
5. 分别拧松两端的螺钉，测量金属棒在不同载荷下的变形情况。
6. 根据实验数据计算出金属棒的弯曲应力和弯曲应变，并绘制出应力 - 应变曲线。
实验结果与分析：根据实验数据计算出金属棒在不同载荷下的弯曲应力和弯曲应变，并绘制了应力 - 应变曲线。
通过对曲线的分析，我们可以得出以下结论：1. 弯曲应力与施加的力成正比，即弯曲应力随载荷的增加而增加。
2. 弯曲应力与材料的几何形状有关，即相同的载荷下，细长的材料受到的弯曲应力更大。
3. 弯曲应变与弯曲应力成正比，即弯曲应变随弯曲应力的增加而增加。
4. 材料的弯曲模量是材料力学性质的一种度量，表示单位应力下的弯曲应变。
在本实验中，我们可以通过斜率来计算出弯曲模量。
结论：通过本次实验，我们研究了材料的弯曲性质，并探究了弯曲应力和弯曲应变之间的关系。
实验结果表明，材料的弯曲应力和弯曲应变是成正比的，且与材料的几何形状有关。
弯曲模量是材料力学性质的一种重要参数，可以通过斜率来计算。
这些结果对于工程设计和材料选择具有一定的指导意义。
参考文献：[1] 张三，杨明. 材料力学实验讲义. 北京：科学出版社，2008.[2] 李四，王五. 材料力学实验指南. 上海：上海大学出版社，2010.。
材料力学课件第十二章 弯曲的几个补充问题
Fy
Fl w= w +w = 3E
2 y 2 z
3
cos ϕ sin ϕ + I Iz y
2
2
（2）挠度方向 ） wz I z tanψ = = tan ϕ wy I y 挠度方向与F力不在同一平面内（因此称为斜弯曲）。 挠度方向与 力不在同一平面内（因此称为斜弯曲）。 力不在同一平面内
FSy az = ∫ rτ dA FSz a y = ∫ rτ dA
A A
FS
3、截面弯曲剪力的作用点为弯曲中心。 、截面弯曲剪力的作用点为弯曲中心。
二、截面弯曲中心的位置规律 1、具有两个对称轴或中心对称 、 截面，弯曲中心与形心重合。 截面，弯曲中心与形心重合。 2、具有一个对称轴截面, 弯曲中 、具有一个对称轴截面 心在该轴上。 心在该轴上。 3、由两个矩形组合的截面，弯曲 、由两个矩形组合的截面， 中心在交接处。 中心在交接处。 4、一侧开口截面弯曲中心在形 心的另一侧。 心的另一侧。
§12—2 开口薄壁杆件的剪应力 弯曲中心 一、开口薄壁杆件的剪应力 1、剪应力计算： 、剪应力计算： F （1） Sy对应的剪影力。 ） 对应的剪影力。 FSy S z∗ τ= I zδ F （2） Sz对应的剪影力。 ） 对应的剪影力。 ∗ FSz S y τ= I yδ 2、截面剪力作用点。 、截面剪力作用点。
Fz
Fy
ymax cos ϕ zmax sin ϕ = Fl + Iz Iy
σ Fy
σ Fz
2、杆端挠度 、 （1）数值计算 ）
Fl 3 cos ϕ = wy = 3EI z 3EI z Fy l
3
Fz
Fz l 3 Fl 3 sin ϕ = 曲正应力计算 横向力作用在主惯性平面内: 1、横向力作用在主惯性平面内:
压杆稳定《材料力学》ch-12课件
02
该方程基于能量平衡原理和变分 法推导得出，通过求解该方程可 以得到压杆的挠曲线，进而分析 其失稳模态和临界载荷。
初始挠度的影响
初始挠度是指压杆在未受力作用前的弯曲程度，对压杆的稳 定性有很大影响。
初始挠度会导致压杆在受力时发生弯曲变形，进而影响其失 稳模态和临界载荷。因此，在进行压杆稳定性分析时，需要 考虑初始挠度的影响，并进行相应的修正。
04
压杆稳定的实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定的基本原 理和影响因素，提高对压杆失稳现象的 认识。
VS
实验原理
压杆稳定是指在外力作用下，细长杆保持 其平衡状态的能力。当外力增大到一定程 度时，压杆可能发生弯曲或失稳。本实验 通过观察不同条件下的压杆失稳现象，分 析影响压杆稳定性的因素。
详细描述
通过改变截面的形状，可以改变压杆的惯性矩和截面的应力分布，从而改变其稳定性。例如，将圆形截面改为方 形、矩形或六面体形，可以增加压杆的抗弯刚度，提高其稳定性。
设置支撑
总结词
设置合理的支撑可以提高压杆的稳定性。
详细描述
支撑可以有效地减少压杆的自由长度，从而提高其稳定性。支撑的设置应考虑到压杆的工作环境和受 力情况，以避免过度的应力集中和支撑结构的破坏。同时，支撑结构的刚度和稳定性也需要进行考虑 和设计。
稳定性丧失的机理
弯曲变形
当轴向压力超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，导致稳定性丧失。
屈曲
当轴向压力继续增大，压杆将发生屈曲，即部分区域发生弯曲，导致整体失稳。
临界压力与欧拉公式临界源自力指使压杆由稳定平衡状态转变为不稳 定平衡状态的轴向压力。
材料力学-弯曲实验
一实验目的
1更好的了解弯曲时材料所受载荷的变化
2帮助我们了解材料弯曲实验的原理
3提高我们解决问题的能力
二实验仪器
自制弯曲试验仪
三实验原理
将待测物固定在两端支座上，中间施加载荷。
当材料受到载荷载荷时，测量材料发生变形的挠度，通过计算，可算得材料弯曲时应力与应变的关系。
四加载方法
三点加载法：
试样的弯曲与剪力
4max S FL M = 2
F Q =
四点加载法：
试样的弯矩与剪力
2
max Fl M = 2F Q =
正应力计算
根据材料力学的变形假设，变形前后试样的各横截面都是平面，且与试样轴线垂直。
由此可推导出弯曲试样横截面上任一点正应力按下式计算：
I My =
σ 式中：
M ——弯矩，N·mm
y ——横截面上任一点到中性轴的距离，mm
I —— 试样横截面对中性轴的惯性矩 对圆截面试样644
d I π= 对矩形截面试样123
bh I =
θ≈30°。
压杆稳定《材料力学》ch-12课件
实验设备与步骤
实验设备：压杆实验装置、压力表、砝码、各 种不同材料和截面形状的细长杆。
01
1. 准备不同材料和截面形状的细长杆，将 其固定在压杆实验装置上；
03
02
实验步骤
04
2. 在杆的一端施加砝码，逐渐增加压力， 观察压杆在不同压力下的失稳现象；
3. 记录不同条件下（如不同材料、截面形 状、长度、直径等）压杆的失稳载荷；
析。
欧拉公式与临界应力
欧拉公式是计算细长压杆临界应力的公式，其形式为： Pcr = π²EI/L²。
输标02入题
其中，Pcr是临界力，E是弹性模量，I是压杆横截面的 惯性矩，L是压杆长度。
01
03
临界应力是衡量压杆稳定性的重要指标，当压杆所受 应力小于临界应力时，压杆处于稳定状态；当所受应
力大于临界应力时，压杆将发生屈曲失稳。
04
通过欧拉公式可以计算出不同长度和形状的细长压杆 的临界应力。
不同长度压杆的稳定性分析
对于不同长度的压杆，其稳定性分析方法有所不同。
对于细长压杆，可以采用欧拉公式进行计算；对于短粗杆，需要考虑剪切变形和弯 曲变形的影响，可以采用能量法或有限元法进行分析。
在进行稳定性分析时，需要考虑压杆的实际工作条件和载荷情况，以确定合理的分 析方法和参数。
起重机的吊臂、支腿等部位需要承受 较大的压力和弯矩，压杆稳定问题直 接关系到设备的安全性和稳定性。
发动机支架
发动机支架需要承受较大的振动和压 力，压杆稳定问题对于保证发动机的 正常运行至关重要。
其他领域的压杆稳定问题
航空航天
飞机和火箭的结构需要承受较大的气动压力和加速度，压杆稳定问题直接关系到飞行器的安全性和稳定性。
材料力学 章弯曲的几个补充问题(与“弯曲”有关文档共9张)
④其弯对曲于中其心它位截于面截，面一以般外可(S以点查)。表确定。例如：对于横放的槽钢 尽注③非 注①如注工①③工外尽第非工非此注①外尽注梁② ②管意平对意外意程如程力管十对程对交意力管意横横 横 横 平平外 ： 面 称： 力 ： 实 截 实 作 外 二 称 实 称 点 ： 作 外 ： 截向向向面 面力弯弯截 弯作弯际面际用力章截际截就弯用力弯面力力力弯 弯作曲曲面 曲用曲中是中在作面中面是曲在作曲上弯必必必曲 曲用中时梁 中在中采由采主用梁采梁弯中主用中弯曲须须须时 时心梁发 心非心用中用轴发用发曲心轴心曲的与与与梁 梁在在在位的生 位对位的线的面生的生中位面位切几形形形横 横形形形置挠平 置称置某交某内平某平心置内置应个心心心截 截心心心与曲面 与轴与些于些，面些面与，与力(补S主 主 主 面面上上上外线弯外的外薄一薄还弯薄弯外还外合点充轴轴轴上 上，，，力在曲 力平力壁点壁必曲壁曲力必力力)问平平平的 的截截截。大垂的 大面大梁的梁须的梁的大须大作题行行行中 中面面面小直条 小内小的几的过条的条小过小用且且且性 性弯弯弯和于件 和，和截个截弯件截件和弯和点通通通轴 轴曲曲曲材中： 材梁材面狭面曲：面：材曲材过过过一 一同同同料性料除料往长往中往料中料弯弯弯定 定时时时的轴的了的往矩往心往的心的曲曲曲是 是产产产性并性发性只形只只性性中中中形 形生生生质与质生质有组有有质质心心心心 心扭扭扭无外无弯无一成一一无无。。。主 主转转转关力关曲关个。个个关关轴 轴。。。，作，外，对对对，，， ，是用是，是称称称是是它 它截平截还截轴轴轴截截与 与面面面会面，，，面面外 外图相图发图如如如图图力 力形重形生形槽槽槽形形作 作的合的扭的形形形的的用 用几或几转几截截截几几平 平何平何。何面面面何何面 面性行性性。。。性性垂 垂质的质质质质直 直之平之之之之。 。一面一一一一内，是一条平面曲线。
静力学和材料力学课件第十二章 弯曲变形(H)
l
B
第十二章 弯曲变形
解：
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
y
q
B
x l x
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
A
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
由边界条件：
x 0时，w 0 x l 时，w 0
得：
ql 3 C , D0 24
第十二章 弯曲变形
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI
y
q
B
x l x
qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度分别为：
A
max A
wmax w
常工作。
第十二章 弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件 的加工精度，甚至会出现废品。
F
F
第十二章 弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
P
P
第十二章 弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的
弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
画挠曲线的大致形状
3qa 4
qa 2
A B
q
C D
Q
+
_
qa 4
a
a
a
M
3qa 2 4
+
qa 2 4
qa 2 32
d w M x 2 EI dx
材料弯曲实验报告
材料弯曲实验报告引言弯曲实验是材料力学实验中常用的一种实验方法，通过施加力使材料发生弯曲变形，从而研究材料的力学性能。
本实验旨在探究材料的弯曲行为，并分析其与材料的力学性能之间的关系。
实验装置与材料本次实验使用的主要装置为一台弯曲试验机，其包括一个加载系统和一个记录和读取弯曲力的力传感器。
我们选取了常见的金属材料——钢板作为实验材料。
实验步骤1.准备工作：将实验装置调整至合适的工作状态，确保其能够稳定运行，并保证实验材料的质量和尺寸符合要求。
2.安装实验材料：将待测试的钢板固定在弯曲试验机上，并确保其固定牢固。
3.设置实验参数：根据实验要求，设定加载系统的初始位置、载荷速度以及加载方式等实验参数。
4.开始实验：启动弯曲试验机，加载系统会开始施加力对实验材料进行弯曲。
同时，力传感器将持续记录所施加的力大小。
5.读取数据：实验过程中，及时读取并记录所施加的力大小和相应的位移值。
可以利用计算机系统进行数据记录和处理。
6.结束实验：当实验材料发生破坏或达到预设的弯曲程度时，停止加载系统的运动，并记录最终弯曲力和位移数值。
7.数据分析：根据实验结果，通过绘制弯曲力-位移曲线和弯曲应力-应变曲线，分析材料的弯曲性能。
实验数据与结果在本次实验中，我们记录了实验材料在不同载荷下的弯曲力-位移数据，并绘制了相应的力-位移曲线。
通过对实验数据的分析，我们得到了以下结论： 1. 随着加载力的增加，材料的位移也随之增加，但增速逐渐减缓，呈现出一种非线性关系。
2. 在一定范围内，弯曲力和位移呈正相关，即加载力越大，位移越大。
3. 当材料弯曲到一定程度时，会出现材料发生破坏的情况。
结论通过本次实验，我们深入了解了材料的弯曲行为以及材料力学性能的相关因素。
我们发现，加载力对材料的位移和破坏起着重要的影响。
弯曲实验是研究材料弯曲性能的重要手段，对于材料的设计和应用具有重要意义。
参考文献1.陈永平, 杨丽敏, 刘华, 徐永健. 材料力学实验与材料力学性能评定实验教程[M]. 清华大学出版社, 2011.2.张善民, 严学飞, 袁雷. 材料刚度、强度与韧性综合化分析方法[J]. 材料导报, 2017, 31(15):132-137.3.张政权, 邢吉祥, 吉泽厚. 材料筛选软件[J]. 中国稀土学报, 2018,36(6):594-600.致谢在本次实验中，感谢实验员对实验装置和材料的准备工作和技术支持，以及指导老师对实验过程和数据分析结果的指导和帮助。
材料力学第十一章 弯曲问题的进一步分析
y
M y ( zI z yI yz ) IyIz I
2 yz
外力偶矩Me 作用在包含梁轴线的任意纵向平面内
M y ( zI z yI yz ) M z ( yI y zI yz ) I yIz I
2 yz
广义弯曲 正应力公式
M y ( zI z yI yz ) M z ( yI y zI yz ) I yIz I
右截面：FS、M ＋dM
FN1 a
FN 2 d d x FN1 0
FS S I zd
z
FS S I zd
剪力向上时
z
C
z
切应力流
y
FS S z I zd
F 截面法 C y
z b a dx d x
外力F 沿 y 作用
剪力沿 y 方向，用FSy 表示。 C z FSz FSy
若横截面只有一根对称轴，则弯曲中心必在此 对称轴上。 若横截面没有对称轴，则按弯曲中心的定义来 确定。 对于非对称截面的实体梁和闭口薄壁截面梁， 截面的弯曲中心通常在形心附近，且杆件的扭转刚 度较大，当外力作用在形心主惯性平面内时，引起 的扭转变形可忽略不计。
槽形截面梁实验
弯 曲 + 扭 转
外力作用在形心 主惯性平面Cxy 内
My n I zt
例：图示一简支组合梁，l=3 m，F = 4 kN，该梁由宽 为100 mm、高为150 mm的木梁及其底部加10 mm厚的钢 板组成，横截面如图。已知E木 =10 GPa，E钢 =200 GPa。 试求这两部分的最大正应力。
矩形截面梁 E1A1
z 正应力 对称轴 y
材料力学：ch12 弯曲问题进一步研究
第十二章 弯曲问题进一步研究12-1 在梁的图示横截面上，弯矩M =10 kN·m 。
已知惯性矩I y=I z=4.7×106mm 4，惯性积Iyz =2.78×106mm 4，试计算最大弯曲正应力。
问题3-2图解：1. 确定危险点位置截面的主形心轴u 与v 如图b 所示，其方位角为45=α根据惯性矩转轴公式，得截面的主形心惯性矩为46464646m 1053.7m 1097.109sin )m 1078.2(m 1075.4sin2 −−−−××=××== αyz y v u I I I I 将弯矩M 沿主形心轴u 与v 分解，得相应分量分别为m N 1059.215sin m)N 1010(33⋅×=⋅×= u Mm N 1066.915m)cos N 1010(33⋅×=⋅×= v M 于是得中性轴的方位角为8144)m 107.53)(m N 1059.2()m 10m)(1.97N 1066.9(arctan arctan 463463′=×⋅××⋅×==−− v u u v I M I M ϕ 其方位如图b 所示。
可见，在截面的角点a 与b 处，分别作用有最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
2. 最大弯曲应力计算在坐标系C-yz 内，角点a 的坐标为，m 084.0−=a y m 020.0−=a z 在坐标系C-uv 内，该点的坐标则为 m 0735.0sin cos −=+=ααa a a z y um 0453.0sin cos =−=ααa a a y z v于是得角点a 处的弯曲正应力为MPa 156m 1053.7)m 0753.0)(m N 1066.9(m 1097.1)m 0453.0)(m N 1059.2(463463=×−⋅×−×⋅×=−=−−v a v u a u a I u M I v M σ角点b 位于坐标轴v ，其纵坐标为m 0509.0−=b v 因此，该点处的弯曲正应力为MPa 9.66m 1097.1)m 0509.0)(m N 1059.2(3−=×−⋅×==−u b u b I v M σ 可见，最大弯曲正应力为MPa 156max ==a σσ12-4 图示截面薄壁梁，剪力FS y = 5 kN 。
材料弯曲实验报告总结(3篇)
第1篇一、实验目的本次材料弯曲实验的主要目的是了解和掌握材料在弯曲过程中的力学性能，验证材料力学基本理论，提高对材料力学实验方法的认识。
通过实验，观察和分析不同材料在不同条件下的弯曲行为，为工程设计和材料选择提供理论依据。
二、实验原理材料在弯曲过程中，受到弯矩和剪力的影响，产生正应力和剪应力。
根据材料力学的基本理论，我们可以通过计算得到材料在弯曲过程中的应力分布和变形情况。
实验中，我们主要关注材料的弯曲正应力，即材料在弯曲过程中产生的垂直于中性轴的应力。
三、实验设备与材料1. 实验设备：弯曲试验机、万能材料试验机、测量仪器（如位移计、应变片等）、计算机等。
2. 实验材料：碳素钢、不锈钢、铝合金、塑料等。
四、实验步骤1. 根据实验要求，选择合适的材料，并进行加工处理，确保试样的尺寸和形状符合实验要求。
2. 将试样安装在弯曲试验机上，调整试验机的参数，如加载速度、加载方式等。
3. 对试样进行弯曲试验，记录实验过程中的数据，如位移、应变等。
4. 利用测量仪器对试样进行应变测量，通过应变片采集数据。
5. 对实验数据进行处理和分析，计算材料在弯曲过程中的应力分布和变形情况。
五、实验结果与分析1. 实验结果表明，不同材料在弯曲过程中的力学性能存在差异。
碳素钢具有较高的抗弯强度和刚度，适用于承受较大载荷的工程结构；不锈钢具有良好的耐腐蚀性能，适用于腐蚀性环境；铝合金具有较低的密度，适用于轻量化设计；塑料具有较好的韧性，适用于需要一定变形能力的场合。
2. 实验结果表明，材料在弯曲过程中的应力分布呈现非线性规律。
中性轴附近应力较大，远离中性轴的应力逐渐减小。
在材料弯曲过程中，最大应力出现在中性轴处。
3. 实验结果表明，材料在弯曲过程中的变形情况与材料的弹性模量和泊松比有关。
弹性模量较大的材料，其变形较小；泊松比较大的材料，其横向变形较大。
六、实验结论1. 通过本次材料弯曲实验，我们掌握了材料在弯曲过程中的力学性能，验证了材料力学基本理论。
材料力学第十一章 弯曲问题的进一步分析
B
A
z
11
y
70 中性轴
A 47.4 MPa
非对称截面梁
外力作用在形心主惯性平面Cxy 内或 与形心主惯性平面平行的平面内
My 0
广义弯曲正应力公式
tan
M z I y M y I yz M y I z M z I yz
My Iz
90
中性轴与 y 轴 正交(即为z 轴) 对称弯曲 平面弯曲
③ 梁有纵向对称面，但外力作用面与纵向对称 面间有一夹角
第十一章 弯曲问题 的进一步研究
◆ 非对称纯弯曲梁的正应力 ◆ 两种材料的组合梁 ◆ 开口薄壁截面梁的切应力 弯曲中心
§1-1 非对称纯弯曲梁的正应力
梁有纵向对称面且外力作用在纵向对称面内 对称弯曲
纯弯曲：
My σ Iz
横力弯曲：
M ( x) y σ Iz
非对称弯曲
无纵向对称面 梁 有纵向对称面但外力不作用在纵向对称面内
2 yz
中性轴
设 ( y0，z0) 为中性轴上的任一点
y0 z0
M y ( z0 I z y0 I yz ) M z ( y0 I y z0 I yz ) I yIz I
2 yz
0
中性轴的方程
M y ( z0 I z y0 I yz ) M z ( y0 I y z0 I yz ) 0
非对称截面等直梁 纯弯曲
Me z
任取一正交坐标系Cxyz
Me x
h
中性轴x
y
实验
平面假设、单向受力假设仍然成立
变形后梁中性层 曲率半径为
h
h E E
工程力学中的弯曲和扭转问题的解析
工程力学中的弯曲和扭转问题的解析工程力学作为一门研究物体受力和力的效应的学科，涵盖了广泛的领域。
其中，弯曲和扭转问题是工程力学中的重要内容。
本文将就工程力学中的弯曲和扭转问题展开解析。
一、弯曲问题的解析当一个横截面直径较小，受到一个外力作用时，就会出现弯曲现象。
在工程中，我们常常需要计算和分析杆件的弯曲情况，以便设计出稳定且符合实际需求的结构。
弯曲问题的解析可以采用梁理论。
梁理论是一种基于假设的方法，即假设杆件是一维的、线弹性的，并且横截面上的应力是均匀的。
在解析弯曲问题时，首先需要确定外力作用下的弯矩分布。
然后，可以利用梁理论中的方程，例如欧拉－伯努利方程或蒙薩漢方程，来计算杆件受力、应变和位移的分布。
最后，根据梁的受力平衡条件，可以得到横截面上的剪力分布和弯曲变形的方程。
通过这些计算和分析，我们可以得出关于杆件在弯曲条件下的各种特性，例如最大弯矩、最大剪力和挠度等。
二、扭转问题的解析扭转是指杆件受到一个扭矩作用时的变形情况。
扭转问题的解析是工程中另一个重要的内容，尤其是在设计机械结构和柔性轴承时。
扭转问题的解析可以采用圆柱弹性理论。
圆柱弹性理论是一种假设杆件是圆柱形的、同轴的，并且材料满足胡克定律的理论方法。
在解析扭转问题时，首先需要确定杆件受到的扭矩分布。
然后，可以利用圆柱弹性理论中的方程，例如圆柱弹性方程和剪应力方程，来计算杆件受力和位移的分布。
最后，根据杆件的受力平衡条件和位移约束条件，可以得到关于杆件扭转情况的各种特性，例如最大剪应力、转角和扭转刚度等。
三、综合应用弯曲和扭转问题在实际工程中常常同时存在。
例如，柱子在受到向下的压力时会发生弯曲和扭转。
在这种情况下，我们需要将弯曲和扭转问题综合起来进行分析。
综合应用时，可以通过梁理论和圆柱弹性理论相结合的方法来解析问题。
首先，需要确定杆件的受力情况，包括弯矩和扭矩的分布。
然后，可以利用梁理论和圆柱弹性理论中的方程来计算杆件受力、应变和位移的分布。
材料力学：第十一章 弯曲问题的进一步研究与组合变形
檩条
y
q
a
z
试验结果以及后面的分析均表明此时挠曲线不再位于外力所在的纵 向平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
一. 正应力计算及强度条件
z
Mz
z
z
C y, z
My
Fz
(1) 将力F沿y、z轴方向分解
x Fy F cos , Fz F sin
Fy单独作用：
y
x
y
l
Fy
lx
F
y
若以b角表示总挠度与y轴之间的夹角，则
wz I z Fz I z tan b tan wy I y Fy I y
wz
wy b
y
z
(a)
由于Iy≠Iz（矩形截面），所以b≠
F
w
表明：梁在斜弯曲时的挠曲平面与外力所在的纵向平面不重合
tan b
wz I z Fz I z tan wy I y Fy I y
例11-1 悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由 端受集中力F作用，F力均通过这些截面的形心C。试指出这三 种截面梁各产生何种变形形式。
F F F z
C
z
A
F
A
l
C
y
z C A
y
a
平面弯曲和扭转
y
b
斜弯曲和扭转
c
斜弯曲
§11-3
斜弯曲
前面讲过只要作用在杆件上的横向力通过弯心，并与一个形心主轴 方向平行，杆件将只发生平面弯曲。但在工程实际中，有时横向力 通过弯心，但不与形心主轴平行。例如屋架上倾斜放置的矩形截面 檩条，它所承受的屋面荷载q就不沿截面的形心主轴方向。
工程力学中的弯曲问题研究
工程力学中的弯曲问题研究工程力学是工程学科中的基础学科之一，研究力的作用下物体的运动和变形规律。
而弯曲问题是工程力学中的一个重要研究内容，是指当外力作用于物体上时，物体会发生弯曲变形的现象。
本文将对工程力学中的弯曲问题进行研究，重点探讨弯曲问题的基本原理、计算方法以及应用领域。
一、基本原理在工程力学中研究弯曲问题时，基于两个重要原理：胡克定律和梁理论。
1. 胡克定律胡克定律是描述弹性体在受力下的变形规律的基本原理。
该定律可以简单地表达为“应变与应力成正比”。
在弯曲问题中，当梁受到外力作用时，梁的上表面会受到拉力，下表面则会受到压力。
根据胡克定律，这种受力会导致梁在纵向产生弯曲变形。
2. 梁理论梁理论是工程力学中用于解决弯曲问题的基本理论。
在梁理论中，将梁近似看作是一个线弹性体，可以通过均匀受力、拉伸、剪切和弯曲等的研究来描述梁的力学特性。
基于梁理论，可以建立适当的假设和方程，通过求解这些方程可以得到梁的弯曲变形和应力分布。
二、计算方法解决弯曲问题的计算方法主要包括弯矩-剪力法和位移法。
1. 弯矩-剪力法弯矩-剪力法是一种较为常用的计算方法，通过计算梁在不同截面上的弯矩和剪力，进而得到梁的变形和应力分布。
在该方法中，首先需要确定梁的受力情况，然后根据受力情况绘制合适的剪力图和弯矩图。
最后，通过求解弯矩图或剪力图的积分方程，可以得到梁的形变和应力分布情况。
2. 位移法位移法是一种更为精确的计算方法，在处理复杂的弯曲问题时具有较大的优势。
该方法通过假设梁的位移函数形式，然后通过变分法或极值原理来推导出梁的位移方程。
最后，通过求解位移方程，可以得到梁的精确变形情况。
三、应用领域工程力学中的弯曲问题研究在各个领域都得到了广泛的应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 结构工程在结构工程中，弯曲问题是一个非常重要的研究内容，尤其是对于梁、桁架等结构。
通过研究梁的弯曲变形和应力分布，可以确保结构在受力时的稳定性和安全性。
弯曲与扭转力学分析
弯曲与扭转力学分析弯曲与扭转是材料力学中非常重要的概念和研究方向。
弯曲通常是指材料的一个部分受到外力作用，导致该部分发生形变的过程。
而扭转是指材料整体在一个点处受到外力扭矩作用，导致整体发生旋转的过程。
本文将深入探讨弯曲与扭转的力学分析。
一、弯曲力学分析弯曲是在横截面内发生的，通常发生在杆件之类的结构中。
弯曲过程中，材料上的顶点处的应变是最大的，而中性轴附近的应变较小。
弯曲时，杆件上各点的应力呈现梯度状，越靠近顶点的应力越大，越靠近中性轴的应力越小。
为了分析弯曲问题，常用的方法是欧拉－伯努利理论和斯格米定理。
欧拉－伯努利理论是假设杆件在受到外力时，各截面处的纤维保持笔直，未发生剪切形变。
斯格米定理则是假设截面上所有的纤维在应力状态和平衡方面相同。
在弯曲力学分析中，常涉及到杆件的截面性质，如惯性矩和截面模量。
惯性矩是描述截面抵抗物体弯曲的能力，而截面模量则表示物体抵抗拉伸和压缩的能力。
这些参数对弯曲性能的分析和设计至关重要。
二、扭转力学分析扭转是材料整体或部分在某个轴上产生转动的过程，通常出现在轴类结构和圆形截面杆件中。
扭转产生的力矩和角度之间的关系由杨氏模量决定。
杨氏模量描述了材料在受到扭转作用时变形和应力之间的关系。
扭转力学分析中，将杆件视为薄壁的圆筒，应用薄壁圆筒的形变和应力理论进行分析。
扭转力矩和扭转角之间的关系可以通过圆筒壁的剪切应力和圆筒半径来计算。
在扭转过程中，圆筒壁上的剪切应力是非常重要的参数，也是设计和分析的关键指标。
结论弯曲与扭转力学分析是研究材料力学中的重要方向。
通过对弯曲和扭转过程中的力学特性进行分析和计算，可以为工程设计和材料选择提供有力的依据。
在实际应用中，需要结合材料的力学性能参数和实际的工程需求，进行适当的材料选择和设计。
弯曲和扭转力学分析在许多工程领域具有广泛的应用，如建筑结构、机械设计和航空航天等。
深入理解弯曲和扭转的原理和力学特性，对于工程师和研究人员来说是非常重要的。
材料力学(II)第一章
材料力学(II)电子教案
弯曲问题的进一步研究
15
上式表明，只要外力作用在形心主惯性平面内，或 者外力作用面平行于形心主惯性平面时，对称弯曲 时的正应力公式仍然适用。 由(1-2)式，得
tan q ，即 q 90
说明中性轴为z轴，梁只绕z轴弯曲，梁的挠曲线和 外力均在xy平面内，或外力所在平面和挠曲线平面 平行，即梁发生平面弯曲。
材料力学(II)电子教案
弯曲问题的进一步研究
18
(4) 梁具有纵向对称平面，但外力作用面与纵向对 称平面有一夹角。 这种情况，是情况3的特 例，已在材料力学(Ⅰ)的§82中研究过。
材料力学(II)电子教案
弯曲问题的已知：Iy=283×10-8 m4，Iz=1 930×10-8 m4， Iyz=532×10-8 m4，[s]=170 MPa。求[q]。
2
§1-1 非对称纯弯曲梁的正应力
当梁具有一个纵向对称平面，且外力作用在该 对称平面内时，梁将发生对称弯曲(图a)，材料力学 (I)中已研究了该情形下梁横截面上的正应力。
F z y (a)
F
Me
x
z y (对称轴)
材料力学(II)电子教案
弯曲问题的进一步研究
3
当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对 称平面，但外力作用面与该平面间有一夹角，梁将 发生非对称弯曲(图b)。本节研究非对称弯曲时，梁 横截面上的正应力。
材料力学(II)电子教案
弯曲问题的进一步研究
14
M y ( zI z yI yz ) M z ( yI y zI yz ) s 2 I y I z I yz
(1-1)
(2) 梁不具有纵向对称平面，但外力作用在梁的 形心主惯性平面内，或外力作用面与形心主惯性平 面平行 如图所示Z字形截面梁，图 中y,z轴为形心主惯性轴(Iyz=0)， xy，xz均为形心主惯性平面。 弯矩M位于xy面内(M的矢量沿z 轴)。将My=0，M=Mz，Iyz=0代 人(1-1)式，得 M s y Iz
3-材料力学实验报告(弯曲)
测点 1 的平均读数差Δ A1 平=
1 平 A1 平 10
6
梁的材料： 梁的弹性模量 梁的截面尺寸 加载位置
低碳钢(Q235) E=200GPa 高 H= a=
WZ bH 6
2
宽 b=
抗弯截面模量
平均递增载荷
P平
P平 2
与Δ P 相应的弯矩 M
max
a
四、测点 1 实验应力值与理论应力值的比较
1 实 E . 1 平
1理
M
max
WZ
误差：
1 理 1实 1理
100 %
五、回答问题 1．根据实验结果解释梁弯曲时横截面上正应力分布规律。
2.产生实验误差的原因是由哪些因素造成的？
审阅教师
材 料 力 学 实 验 报 告（二）
实验名称：弯曲正应力实验
实 验 地 点 指 导 教 师 小 组 成 员 实验日期 班级、学号 报 告 人
一、实验目的
二、实验设备及仪器
设备型号、名称 其他
三、实验记录
载荷 （kgf） 测点 1 读数 Δ A1 A1 测点 2 A2 Δ A2 电阻应变仪读数 测点 3 A3 Δ A3 测点 4 A4 Δ A4 测点 5 A5 Δ A5
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第十二章 弯曲问题进一步研究12-1 在梁的图示横截面上，弯矩M =10 kN·m 。
已知惯性矩I y=I z=4.7×106mm 4，惯性积Iyz =2.78×106mm 4，试计算最大弯曲正应力。
问题3-2图解：1. 确定危险点位置截面的主形心轴u 与v 如图b 所示，其方位角为45=α根据惯性矩转轴公式，得截面的主形心惯性矩为46464646m 1053.7m 1097.109sin )m 1078.2(m 1075.4sin2 −−−−××=××== αyz y v u I I I I 将弯矩M 沿主形心轴u 与v 分解，得相应分量分别为m N 1059.215sin m)N 1010(33⋅×=⋅×= u Mm N 1066.915m)cos N 1010(33⋅×=⋅×= v M 于是得中性轴的方位角为8144)m 107.53)(m N 1059.2()m 10m)(1.97N 1066.9(arctan arctan 463463′=×⋅××⋅×==−− v u u v I M I M ϕ 其方位如图b 所示。
可见，在截面的角点a 与b 处，分别作用有最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
2. 最大弯曲应力计算在坐标系C-yz 内，角点a 的坐标为，m 084.0−=a y m 020.0−=a z 在坐标系C-uv 内，该点的坐标则为 m 0735.0sin cos −=+=ααa a a z y um 0453.0sin cos =−=ααa a a y z v于是得角点a 处的弯曲正应力为MPa 156m 1053.7)m 0753.0)(m N 1066.9(m 1097.1)m 0453.0)(m N 1059.2(463463=×−⋅×−×⋅×=−=−−v a v u a u a I u M I v M σ角点b 位于坐标轴v ，其纵坐标为m 0509.0−=b v 因此，该点处的弯曲正应力为MPa 9.66m 1097.1)m 0509.0)(m N 1059.2(3−=×−⋅×==−u b u b I v M σ 可见，最大弯曲正应力为MPa 156max ==a σσ12-4 图示截面薄壁梁，剪力FS y = 5 kN 。
试画弯曲切应力分布图，并计算最大弯曲切应力。
题12-4图解：设形心C 示如图12-4（1），则图12-4m 025.0m 2010.0100.0050.0010.0100.0=××××=C y464223m 1008.2m )025.0100.0010.0025.0100.0010.012100.0010.0(−×=××+××+×=z I()()1411105.2025.0010.0ηηη−×=×=Z S()())21025.0(010.0025.0100.0010.0222ηηη−+××=Z S223245105105.2105.2ηη−−−×−×+×=()MPa 00.3Pa 1000.3m010.01008.2N 1025.11056265311max ,S max ,1=×=×××××==−−δητz z y I S F ()MPa 75.6Pa 1075.6m010.01008.2N 1081.21056265322max ,S max ,2=×=×××××==−−δητz z y I S F 弯曲切应力分布图示如图12-4（2），MPa 75.6max =τ12-5 一薄壁梁，其横截面如图所示，剪力FS y = 40 kN ，壁厚δ=10 mm 。
试：（1）计算A ，B 与D 三点处的弯曲切应力； （2）确定截面的剪心位置。
题12-5图解：（1）算弯曲切应力 坐标示如图12-5。
图12-5由图可知，454323m 10335.3 m 12010.0100.02100.0010.0100.0212200.0010.02[−×=××+×××+××=z I 35322,m 1025.1m 050.02010.02)(−×=×==A A z y S δω 3432,m 10875.1 m )075.0050.0010.0100.0100.0010.0100.02010.0()(−×=××+××+×=ωB z S 据公式()()δωητz z I S F S =得MPa 499.1Pa 10499.1m 010.010335.3N 1025.1104062553=×=×××××=−−A τ MPa 5.22Pa 1025.2m010.010335.3N 10875.11040743=×=×××××=−−B τ MPa 5.22==B D ττ （因为上下对称）（2）确定截面的剪心位置因为上下对称，所以剪心必在z 轴上，问题归结为求。
z e 据合力矩定理，取G 点为矩心（见图12-5），有()200.02100.021S ×+××=⋅F F e F z y其中，zy zy I F I F q F S 63S 100.0 0111106667.13100.0005.0d −×=××==η()zy zy I F I F q F S 533S 100.0 0222100000.1100.0005.0100.0005.0d −×=×+×==⎰η于是，[][])( mm 70.0m 070.0 m 100000.1200.0106667.1200.010335.31m 200.02100.0156521S 腹板形心左侧==××+×××=+×⋅=−−−F F F e yz 12-6 试指出图示截面的剪心位置。
题12-6图解：（a ）双对称截面，剪心与形心重合；（b ）角钢形截面，剪心在二边条中心线相交处；（c ）T 形截面，剪心在翼缘中心线与腹板中心线相交处。
12-9 试确定图示各截面的剪心位置。
题12-9图(a)解：由图12-9a(1)可知，ϕδθδθϕϕsin d cos )(2000 0R R R S z =⋅=⎰2π3R I z δ=因此，S S πsin 2)()(R F I S F q y zz y ϕϕϕ==图12-9(a)如图12-9a(2)所示，以圆心O 为矩形，根据合力矩定理可知，π4d πsin 2d )(0S ππ0S 00S R F R F R q R e F y y z y ⎰⎰==⋅=ϕϕϕϕ由此得，π40R e z =（b ）解：设剪力作用于剪心E （见图12-9b ），有y F S y y y F F F S 2S 1S =+及()y y F h h h F S 3231322S +=δδ其中，和分别为左、右腹板分担的剪力。
1S y F 2S yF图12-9(b)对左腹板形心C 1取矩，有b F z F y e y 2S S =由此得b h h h b F F z y y e 323132S 2S +==（在左翼缘形心右侧）12-10 图示用钢板加固的木梁，承受载荷F= 10 kN 作用，钢与木的弹性模量分别为E s=200 GPa 与E w= 10 GPa 。
试求钢板与木梁横截面上的最大弯曲正应力以及截面C的挠度。
题12-10图解：以钢为基本材料，模量比为201s w ==E E n 等效截面示如图12-10，其形心坐标为m 1525.0m 010.0100.0200.0005.00.2050.0100.1000.1000.2000.005[=×+×××+××=C y该截面的惯性矩为()()4642323m 1085.8m ]1525.0205.0010.0100.012010.0100.0 100.01525.0200.0005.012200.0005.0[−×=−××+×+−××+×=z I由此得()()MPa 3.43Pa 1033.4m1085.83N 1525.0210.0110102210.07263max t max ,s =×=××−××××=−=−zC I y M σ MPa 74.5Pa 1074.5m1085.8320N 1525.011010216263max cmax,w =×=××××××××==−zCI y nM σ图12-10最后，根据公式)(6222b l x lEIFbx w +−=求挠度。
C w 这里，. , m,3 m,1 m,2s z I I E E l b a x ======得36942223222s m N 1085.81020036m N )132(211010)(6⋅×××××⋅+−××××=+−=−b l a I lE Fba w zC()↓−=×−=− mm 51.2 m 1051.2312-11 图示截面复合梁，在其纵向对称面内，承受正弯矩M = 50 kN·m 作用。
已知钢、铝与铜的弹性模量分别为E st =210 GPa ，E al =70 GPa 与E co = 110GPa ，试求梁内各组成部分的最大弯曲正应力。
题12-11图（a ）解：以钢为基本材料，模量比为31st al ==E E n 等效截面示如图12-11a ，其形心坐标为()m 1786.0m200.0100.03100.0100.0m 200.0200.0100.03050.0100.0100.023=×+×××+××=C y 该截面的惯性矩为()()44423223m 10337.1m ]1786.0200.0200.0100.012200.0100.0 050.01786.0100.031312100.0100.0[−×=−××+×+−××+××=z I由此得MPa 3.22Pa 1023.2m 10337.13N 1786.010507243cmax,al =×=××××==−zC I nMy σ () MPa 4.45Pa 1054.4m 10337.1N 1214.01050300.07243tmax,st =×=×××=−=−zC I yM σ图12-11（b ）解：以钢为基本材料，模量比分别为31st al 1==E E n 2111st co 2==E E n 等效截面示如图12-11b ，其形心坐标为m1603.0 m )2111100.0100.0100.0100.03100.0100.0(m )2111250.0100.0100.0150.0100.0100.03050.0100.0100.0(23=××+×+××××+××+××=C y 该截面的惯性矩为()()()45422323223m 1092.9 =m 211603.0250.0100.0112112100.0100.011150.01603.0100.0100.0 12100.0100.03050.01603.0100.0312100.0100.0[−×−××+×××+−××+×+−×+××=z I 由此得MPa 9.26Pa 1069.2m 1092.93N 1603.0105072531cmax,al =×=××××==−zC I My n σ()MPa 4.30Pa 1004.3m 1092.9N 0603.01050100.07253cmax,st =×=×××=−=−zC I y M σ()MPa 9.36Pa 1069.3m 1092.921N 1397.010*******.072532tmax,co =×=×××××=−=−zC I y M n σ （c ）解：根据及al st M M M +=alal alst st st I E M I E M = 得由此得M M 4248.0st =M M 5752.0al =MPa 2.108Pa 10082.1 P )100.0150.0π(075.06410505752.08443max,al =×=−××××=a σ MPa 216Pa 1016.2 Pa 100.0π3210504248.0833maxst,=×=××××=σ 12-12 图示简支梁，承受均布载荷作用，该梁由木材与加强钢板组成。