常微分方程第一章

第一章一阶微分方程

1、1学习目标:

1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、

2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、

3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、

4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、

5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、

6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、

7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、

1、2基本知识:

(一)基本概念

1.什么就是微分方程:

联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是

指等式),称之为微分方程、

2.常微分方程与偏微分方程:

(1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例

如, 、

(2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微

分方程、例如, 、

本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、

3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如,

就是二阶常微分方程;

与就是二阶偏微分方程、

4.n阶常微分方程得一般形式:

,

这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、

5.线性与非线性:

(1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、

(2) 一般n阶线性微分方程具有形式:

这里,…, ,就是得已知函数、

(3)不就是线性方程得方程称为非线性方程、

(4) 举例:

方程就是二阶线性微分方程;

方程就是二阶非线性微分方程;

方程就是一阶非线性微分方程、

6.解与隐式解:

如果将函数代入方程后,能使它变为恒等式,则称函数为方程得解、如果关系式决定

得隐函数就是方程得解,则称为方程得隐式解、

7.通解与特解:

把含有n个独立得任意常数得解称为n阶方程得通解、其中解对常数得独立性就是指,对及其阶导数关于个常数得雅可比行列式不为0, 即

、

为了确定微分方程一个特定得解,通常给出这个解所必须满足得条件,称为定解条件、常见得定解条件就是初始条件, 阶微分方程得初始条件就是指如下得个条件: ,这里就是给定得n+1个常数、求微分方程满足定解条件得解,就就是所谓定解问题、当定解条件为初始条件时,相应得定解问题称为初值问题、把满足初始条件得解称为微分方程得特解、初始条件不同,对应得特解也不同、

(二)解析方法

1.变量分离方程

形如得方程为变量分离方程,其中分别为得连续函数、方程解法如下:若,则

上式确定方程得隐式通解、如果存在,使得,则也就是方程得解、

2、可化为变量分离方程得方程

(1) 齐次方程

形如得方程为齐次方程,为得连续函数、

解法如下:做变量替换,即,有,从而原方程变为

,整理有,此为变量分离方程,可求解、

(2) 形如得方程, 其中为常数、

●得情形、

此时方程化为可解得、

●即得情形:

令则有

此为变量分离方程、

得情形

对得情况, 直接做变量替换、

当不全为零, 求

得解为、

令, 则方程组化为、

原方程化为得齐次方程可求解、

3.一阶线性微分方程

(1) 一般形式:,若,则可写成

得形式、

(2) 一阶齐次线性微分方程:,通解为为任意常数、

(3) 一阶非齐次线性微分方程:,、

(4) 齐次线性微分方程得性质

性质1必有零解;

性质2 通解等于任意常数与一个特解得乘积;

性质3 任意两个解得线性组合也就是该微分方程得解、

(5) 非齐次线性微分方程得性质

性质1没有零解;

性质2 非齐次方程得解加上对应齐次方程得解仍为非齐次方程得解;

性质3 任意两个非齐次方程得解得差就是相应齐次方程得解、

(6) 一阶非齐次线性微分方程得解法:

(i) 猜测-检验法对于常系数得情形,即为常数, 此时方程为, 为常数、

对应齐次方程得通解为, 只需再求一个特解, 这时根据为特定得函数, 可猜测不

同得形式特解、事实上, 当, 为给定常数, 且时可设待定特解为, 而当时, 可设特

解形式为, 后代入方程可确定待定常数、当为或它们得线性组合时, 其中为给定

常数、这时可设待定特解为代入方程后确定得值、当具有多项式形式, 其中为

给定常数且, 这时可设待定特解为代入方程可求得得值、对于有上述几种线性组

合得形式, 则可设待定特解就是上述形式特解得线性组合、

(ii) 常数变易法: 令,代入方程,求出后可求得通解为

、

(iii) 积分因子法:

方程改写为, 将, 乘方程两端得

即, 从而通解为

,即、

注意, 非齐次线性微分方程通解得结构就是: 非齐次线性微分方程得通解等于其对应