江西省南昌市正大学校高三数学周练试题(文科)

江西省南昌市正大学校高三数学周练试题（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是：( )A.棱柱有一条侧棱与底面垂直B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直2．直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在平面α内的射影为C 1，且C 1∉AB ，则△C 1AB 为（ ） （Ａ）锐角三角形（Ｂ）直角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 3 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（ ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 4 设△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且AB =BC =BD =a ,∠CBA =∠CBD =120°,则AD 与平面BCD 所成的角为( ) A 30° B 45° C 60° D 75°5.在正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中12条棱中能组成异面直线的总对数是（ ）A.48对B.24对C.12对D.6对6.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.57. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种8．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A 31B 33C 32D 369. 4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)4810．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( ) A 6π B 4π C 3π D 2π11．在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切,此小球半径为（ ） A 2/5 B 1/2 C 1/3 D 1/412.从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ） A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=- )(R x ∈，则_______)(...)()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。

(用数字作答)14.正三棱锥的底面边长是2cm ，侧棱与底面成60°角，它的外接球的表面积为15．小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙。

如图所示.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线） 米16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17、设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.18．从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.19．已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值.20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；（Ⅱ）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论；（Ⅲ）求DB 与平面DEF 所成角的大小.21. 已知菱形ABCD 边长为a ，且其一条对角线BD ＝a ，沿对角线BD 将∆ABD 折起与∆BCD 所在平面成直二面角，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点。

(1)求AC 与平面AEF 所成的角的余弦值 (2)求二面角A －EF －B 的正切值。

22．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调．（Ⅰ）求字母,,a b c 应满足的条件；（Ⅱ）设001,()1x f x ≥≥，且满足00[()]f f x x =，求证：00()f x x =．南昌市正大学校高三数学（文科）周练（17）答案1．BCCBB BDBCD CD2． 2004964π 4．2 1，3 17、解：（1）4k = （2）100a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩或110a d =⎧⎨=⎩18．.解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分 19．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α∵sin α,sin β,sin γ成等比数列21cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααααααβγαβ或解得即 当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当20解法一：（Ⅰ）（证法一）分三垂线定理三垂线定理又分为正方形4.),(),(2,,.//,, CD EF CD PA CD PD DC AD ABCD AP EF FB PF EB AE ⊥∴⊥∴⊥⊥∴∴∴==（证法二）取BD 的中点O ，连结FO 、OE.分三垂线定理底面底面分又4).(,,2.//,.,.//, CD EF ABCD FO ABCD PD PD FO FB FP CD OE CD AD AD OE EB AE ⊥∴⊥∴⊥∴∴=⊥∴⊥=（Ⅱ）答：G 是AD 的中点.…………5分（方法一）取PC 的中点H ，连结DH.分平面为平行四边形四边形连结中点取平面平面又8.,//,,//21//.,,.,,., PCB GF GF DH DGFH DG BC HF FH GF G DA PCB DH DH BC PDC BC PC DH DC PD ⊥∴∴∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴===（方法二）取AD 中点G ，连结PG 、GB 、GF.PGD ∆ ≌.BGA ∆分平面底面连结中点为又8.,,,,..,.PBC FG BC FG AD FG AD OG ABCD FO GO PB GF PB F GB PG ⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥⊥=∴（Ⅲ）设B 到平面DEF 的距离为d.分所成角为与平面则所成角为与平面设分则设底面边长为分12.63arcsin ,63sin ,.61214186,861090,454342.254,32121,2221,41,21,9.3131,222222222222 DEF DB DB d DEF DB a d a a d a a S DFE DE a a a DF EF a a a DE a PB DF a AP EF a S a FO a FO S d S V V DEF DEB DEB DEF DEB F DEF B ∴===⇒⋅=⋅∴=∴=∠∴==+=+=+=======⋅=⋅∴=∆∆∆∆--θθ解法二：以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a ，则D （0，0，0）、A （a ,0,0）、B(a ,a ,0)、C(0,a ,0))0,2,(a a E 、)2,2,2(a a a F 、).,0,0(a P ……2分 （Ⅰ）,0)0,,0()2,0,2(=⋅-=⋅a a a DC EF .DC EF ⊥∴……4分（Ⅱ）.),,0,(PAD G z x G 平面则设∈分的中点点为即点坐标为8.),0,0,2(.0,0)2(2),,0()2,2,2(;2,0)2()0,0,()2,2,2(),2,2,2(2 AD G a G z a z a a a a a z a a x a x a x a a a z a a x a z a a x FG ∴==-+=-⋅---=⋅==-=⋅---=⋅---= （Ⅲ）设平面DEF 的法向量为).,,(z y x =分即所成角大小为与平面分则取即得由12).63arcsin (63arccos 2,6362,cos 10).1,2,1(,1,2,1.02,0)(2,0)0,2,(),,(,0)2,2,2(),,(0,0 -∴=⋅<-=∴=-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅πDEF DB a az y x y a ax z y x a a a z y x a a a z y x21． (1) 解析：：菱形ABCD 的对角线AC BD BD AO ⊥⊥，因此，BD OC BD AOC ⊥⇒⊥面，中位线EF//BD ，可知EF ⊥面AOC ，EF AEF ⊂面，故面AEF AOC ⊥面，这样AC 在面AEF 内的射影就是AG ，∠CAG 就是AC 与平面AEF 的成角，解三角形AOC 可得AC a CG a AG a ===6234154，， ∴∠=cos CAG 31010(2)分析：由前一小问的分析可知EF AOC ⊥平面，∴⊥⊥∠EF AG EF OG AGO ，，故 就是二面角A －EF －B 的平面角，在Rt AOG ∆中，∠=︒AOG 90，AO a =32，OG a =34 ∴∠===tg AGO AO OG a a 3234222．解：（1）(0)00f c =⇒=；()()00f x f x a +-=⇒=．2'()3f x x b =-，若()f x [1,)x ∈+∞上是增函数，则'()0f x ≥恒成立，即2min (3)3b x ≤=若()f x [1,)x ∈+∞上是减函数，则'()0f x ≤恒成立，这样的b 不存在．综上可得：0,3a c b ==≤． （2）（证法一）设0()f x m =，由00[()]f f x x =得0()f m x =，于是有30030 (1) (2)x bx m m bm x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，（1）－（2）得：33000()()x m b x m m x ---=-，化简可得 22000()(1)0x m x mx m b -+++-=，001,()1x f x m ≥=≥，22001410x mx m b b ∴+++-≥-≥>，故00x m -=，即有00()f x x =．（证法二）假设00()f x x ≠，不妨设00()1f x a x =>≥，由（1）可知()f x 在[1,)+∞上单调递增，故000[()]()()f f x f a f x x =>>，这与已知00[()]f f x x =矛盾，故原假设不成立，即有00()f x x =．。