2019届中考数学复习 专题26 直角三角形、勾股定理及逆定理试题(B卷,含解析).doc
2019年中考数学试题勾股定理专题经典题型汇编(word版,含答案)
一、填空题时 , 这个三角形是直角三角形 .1.等腰三角形的腰长 5 cm, 底长 8 cm,则底边上的高为cm.二、选择题2.已知 | ﹣2 |+n 2+（﹣22 则以m、n、p为三7.以下选项中 , 不可以用来证明勾股定理的是 ( )） =0m p边长的三角形是三角形．此三角形( )．(A)必定是等边三角形 (B) 必定是等腰三角形(C)必定是直角三角形 (D) 形状没法确立11.如下图, 圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现有一只蚂蚁想从A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食 , 则它爬行的最短距离是3.(2018云南)在△ ABC中,AB=,AC=5. 若 BC边上的高等于3, 则 BC边的长为.4.点 A、B、C在格点图中的地点如下图，格点小正方形的边长为 1，则点C到线段AB所在直线的距离是 __________．5、图甲是第七届国际数学教育大会( 简称ICME~7)的会徽 , 会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的, 其中 OA1=A1A2=A2A3= =A7A8=1,假如把图乙中的直角三角形持续作下去 , 那么OA1, OA2, , OA25这些线段有条线段的长度为正整数.6. 若一个三角形的三边长分别为m+1, m+2, m+3,那么当m= 8．如图为某楼梯，测得楼梯的长为 5 米，高 3 米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度起码为( )A.4 米米米米9.如下图 , 一场暴雨事后 , 垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断 , 树尖 B 恰巧遇到地面, 经丈量AB=2 米 , 则树高为()(A)米(B)米(C)(+1) 米 (D)3 米210. 已知三角形的三边长为n、 n＋1、 m(此中m＝2n＋1)，则()(A)3(B)3(C)(D)312.在△ABC中 , ∠,∠ ,∠C的对边分别为, ,c且AB a b2)( a+b)( a- b)= c , 则 (A.∠A 为直角B.∠ C为直角C.∠B 为直角D.△ ABC不是直角三角形13.如图 , 点 P是以 AB为半径的圆弧与数轴的交点 , 则数轴上点 P 表示的实数是()(A)-2(C)-(D)-+114. 如图，每个小正方形的边长为，在中，点为的中点，则线段的长为（）．A. B. C. D.15. 如图 , 在平面直角坐标系中, 点 P 坐标为 (-4,3), 以点B(-1,0) 为圆心 , 以 BP 的长为半径画弧 , 交 x 轴的负半轴于点18. 如图 , 在 Rt △ ABC中 , ∠ B=90° ,AB=3,BC=4, 将△ ABC折叠 , A, 则点 A 的横坐标介于 ( ) 使点 B 恰巧落在边AC 上 , 与点 B′重合 ,AE 为折痕 , 求 EB′的长度 . 21. 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.(A)-6和-5之间(B)-5和-4之间(C)-4和-3之间(D)-3和-2 之间三、解答题20. 如图 , 一个长 5 m 的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上 , 这时 A,O 的距离为 4 m,假如梯子的顶端A沿墙下滑 1 m至 C点 .(1) 求梯子底端 B 外移距离BD的长度 ;(2) 猜想 CE与 BE的大小关系 , 并证明你的结论 .17. 如下图，四边形 ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=2 3，CD=3，BC=5，求∠ ADC的度数．22.如图,在直角梯形ABCD中,∠D=90°,AB∥DC,AB=3,DC=4,AD=7,若点 P 是线段 AD上一动点 , 当 AP 为什么值时 , △ BCP是直角三角形 ?23. 如图是一面长方形彩旗完整展平常的尺寸图( 单位：cm)．其17、∵ AB⊥ AD，AB=2， AD=2 3 ，中长方形 ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，暗影部分 DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场∴BD= AB2 AD 2 =4，上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm. 在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度25. 已知如图，四边形ABCD中，，，，h. 1∴AB=，，求这个四边形的面积．BD，∠ ADB=30°，22 2 2 2 2∵BD+DC=4 +3 =5 ，2 2 2∴BD+DC=BC．∴∠ BDC=90°，∴∠ ADC=120°18、解 : 依据折叠可得BE=EB′ ,AB′ =AB=3,设 BE=EB′ =x, 则 EC=4-x,由于∠ B=90° ,AB=3,BC=4,因此在 Rt △ ABC中 , 由勾股定理得24.如图 , 在△ABC中 , ∠BAC=120° , ∠B=30° , AD⊥AB, 垂足为A, CD=1 cm,求 AB的长 .AC===5,因此 B′ C=5-3=2,在 Rt△ B′ EC中, 由勾股定理得x2+22 =(4-x) 2, 解得 x=1.5.因此 EB′的长度是 1.5.解:(1)依据题意得AB=CD=5 m,AO=4 m,AC=1 m,在 Rt △ AOB中 ,OB==3 m,CO=AO-AC=3 m,在 Rt △ COD中 ,OD==4 m,BD=OD-OB=1 m.答: 梯子底端 B 外移距离 BD的长度为 1 m.(2)CE=BE.原因 : 在 Rt△ AOB与 Rt △ COD中 ,因此 Rt △ AOB≌ Rt △DOC,因此∠ OAB=∠ ODC. 解：连结 AM，依据题意△ ACM，△ AMD，△ BMD为直角三角形，由勾股定理得：①；②；.∵M是 BC的中点，∴ CM=BM，∴③分别把②，③代入①整理得：，因此.因此 32+x2+50=(7-x) 2+42,解得 x= .2 2 2(2) 当∠ BPC=90°时 ,BP +PC=BC,2 2 2 2 2 2由于 BP=AP+AB,PC =PD+DC,因此 32+x2+(7-x)2+42=50,解得 x1=3,x 2=4,综上所述 : 当 AP= 或 3 或 4 时 , △ BCP是直角三角形.23、解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连结 DE，在 Rt△DEF中，依据勾股定理，得在△ ACE与△ DBE中 , 因此△ ACE≌△ DBE, 因此 CE=BE.＝＝＝ 150.DE22、解 : 易求2 2 2 2 2=50,BC=AD+(DC-AB) =7 +(4-3)h＝220－150＝70(cm)．设点 P 在线段 AD运动时 ,AP=x, 则 DP=7-x.2 2 2∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h 为70 cm.(1) 当∠ PBC=90°时 ,BP +BC=PC,22 2 2 2224、解 : ∵在△ABC中 , ∠BAC=120° , ∠B=30° , 由于 BP=AP+AB,PC =PD+DC,∴∠ C=180° - 120° - 30° =30°,∠ DAC=120° - 90° =30°, 即∠ DAC=∠C,∴CD=AD=1 cm.在 Rt △ABD中 , ∠B=30° , BD=2AD=2 cm,∴AB=cm.25、解：连结AC，如下图：。
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
2019届中考数学复习 专题26 直角三角形、勾股定理及逆定理试题(A卷,含解析).doc
2019届中考数学复习专题26 直角三角形、勾股定理及逆定理试题（A卷，含解析）一、选择题1.（山东东营，9，3分）在△ABC中，AB=10，AC=BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C【逐步提示】本题考查勾股定理，分类讨论思想．根据题意画出相应的图形，然后利用勾股定理分别求出BC的长．【详细解答】解：如图①所示，在Rt△ABD中，8，在Rt△ACD中，2，∴BC=BD+CD=8+2=10．如图②所示，同理求出BD=8，CD=2，∴BC=BD－CD=8－2=6．故选C．【解后反思】解答本题易出现漏解的错误，即只考虑高在三角形内部的情况，而忽视高在外部的情况，而造成漏解．【关键词】勾股定理；分类讨论思想2.（山东潍坊，7，3分）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿射线OM方向滑动，下列各图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）【答案】D【逐步提示】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握能够观察到图中的OP是斜边AB上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP的长度始终保持不变，然后结合图形可选出答案．【详细解答】解：连接OP，∵△AOB为直角三角形，∴12OP AB=．故点P下落路线为以O为圆心，OP为半径的一段圆弧，故选择D .【解后反思】本题在解答时需掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而OP的长度不变，本题是来源于青岛版八下课本.【关键词】直角三角形；14.3.（山东省烟台市，14，3分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC ，以O 为圆心，OC 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 对应的实数为 .【答案】7 【逐步提示】利用等腰△ABC 三线合一定理判断出AB OC ⊥，然后利用勾股定理即可求出OM 的长，则点M 对应的实数即可求出.【详细解答】解： ∵A ，B 两点分别对应-3，3，即OA=OB ，又∵△ABC 为等腰三角形，∴AB OC ⊥, ∴ OM=OC=2234-=7 ，故答案为 7 .【解后反思】1.本题考查数轴与点一一对应关系，需要借助数轴和勾股定理判断出字母对应的数值.2.在数轴上，数轴形象地反应了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，借助于数与形的相互转化来解决数学问题，数轴具有如下作用：（1）利用数轴可以用点直观地表示数.（2）利用数轴可以比较数的大小.（3）利用数轴可以解决绝对值问题.【关键词】等腰三角形；勾股定理；数轴；数形结合思想；4.5. (浙江杭州，9，3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n (m ＜n )，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则( )A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0B ．m 2－2mn ＋n 2＝0C ．m 2＋2mn －n 2＝0D ．m 2－2mn －n 2＝0【答案】C ．【逐步提示】本题考查了直角三角形从一个顶点出发的一条射线将原三角形分成两个等腰三角形条件下的两条直角边的数量关系，解题的关键是画出符合题意的图形后，利用数形结合思想将两条直角边m 、n 及其代数式表示直角三角形的三边后用勾股定理建立等量关系．在解题时，首先画出符合题意的图形，利用斜边的垂直平分线与较长直角边的交点，得到一个等腰直角三角形后就产生了两个等腰三角形；再将等腰直角三角形的斜边用n －m 表示；最后由勾股定理，得到m 、n 的等量关系，化简后即可选择正确答案．【解析】如下图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝m ，BC ＝n ，过点A 的射线AD 交BC 于点D ，且将△ABC 分成两个等腰三角形：△ACD 和△ADB ，则AC ＝CD ＝m ，AD ＝DB ＝n －m ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝m 2－2mn ＋n 2，从而m 2＋2mn －n 2＝0，故选择C ．n －mn －mm mDBC A【解后反思】解答本题的关键在于将题意用图形语言表示出来，所以说几何画图是学习好数学的基本功之一．在本题中，两个等三角形一定有一个是等腰直角三角形，另一个等腰三角形也一定是顶角为135°(45°的邻补角)的等腰三角形，此时利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等来画原三角形斜边的中垂线即可．在解决了画图关后，如何用m 、n 的代数式表示等腰直角三角形的斜边就容易得多了，最后利用勾股定理不难探索出m 、n 的等量关系．综上所述，对于数学的学习，尤其是几何题，将文字语言、符号语言、图形语言三者之间的相互转换，就显得尤为重要了．【关键词】直角三角形；等腰三角形；勾股定理(淅江丽水，7，3分)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为A.13B.17C.20D.26【答案】【逐步提示】根据平行四边形的性质得到BC 及OB+OC 的长,从而求得△OBC 的周长. 【解析】由题意得BC=AD=8, OB+OC=12(AC+BD)=9,所以△OBC 的周长=8+9=17，故选择B. 【解后反思】平行四边形的对角线互相平分,平行四边形的对边相等,对角相等.【关键词】平行四边形的性质；；；；6.(浙江衢州，5，3分)如图，在▱ABCD 中，M 是BC 延长线上的一点，若∠A ＝135°，则∠MCD 的度数是( )A.45°B.55°C.65°D.75°【答案】A.【逐步提示】利用平行四边形和平行线的性质即求.【解析】在▱ABCD 中，∵AD ∥BC ，∠A ＝135°，∴∠B ＝45°，又∵AB ∥D C ，∴∠MCD ＝∠B ＝45°，故选择A . 【解后反思】利用平行四边形的性质可以寻求线的平行关系，而平行线可以转换角的关系.【关键词】平行线的性质、平行四边形的性质、角的计算.MDC B A二、填空题1. (天津，18，3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，E 为格点，B ，F 为小正方形边的中点，C 为AE ，BF 的延长线的交点.(I )AE 的长等于 .(II )若点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 上，且满足AP =PQ =QB ，请在如图所示的网格中，用无刻度尺的直尺，画出线段PQ ，并简要说明P ，Q 的位置是如何找到的(不要求证明) .【答案】(II)如图，AC 与网格线相交，得点P ；取格点M ，连接AM 并延长与BC 相交，得点Q ．连接PQ ，线段PQ 即为所求．【逐步提示】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，三角函数等知识．解题的关键是分析题意并构造出如图所示的三个全等的三角形．在解答本题时，应先从结论AP =PQ =PB 出发，通过构造全等三角形，分析出点P 与点Q 的形成过程，由此得出用直尺画出点P 与点Q 的方法．【解析】(I)AE(II)如图，过A ．Q 作铅垂线，过A ．B ．P 作水平线，构造三个全等且两直角边比为1:2的直角三角形．设BH =PK =QG =a ，则QH =PG =AK =2a ．则①BN =BH +PG +PK =a +2a +a =4a ；②QR =QG +AK =a +2a =3a ；③AR =KP +PG =a +2a =3a ．在网格中，∵BN =6，BN =4a ，∴a =1.5，∴AK =2a =3，过点K 的水平线与AC 的交点即为点P ．∵QR =AR =2a ，∠ARQ =90°，∴∠RAQ =45°，∴点Q 在AM 的延长线上，由此可确定点Q ．【解后反思】在解答有关格点的问题时，应注意分析已作图形的特点，通过逆推找出用于直尺作图的网格点或直线的交点，从而得出作图的过程．【关键词】勾股定理；矩形的性质；全等三角形的性质；格点作图；2.(浙江舟山，16，4分)如图，在直角坐标系中，点A．B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 .【答案】4【逐步提示】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意能将点Q运动的总路程正确分解成几段路径之和. 根据已知条件在Rt△AOB中求出OB=3，AB=2. 设AB的中点为C，当点P运动一周时，点Q运动的总路程可以分解为点P从“O→B”、“B→C”、“C→A”、“A→O”四段路径之和.【解析】∵A(－1，0)，∴OA=1.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴AB=2，OB= 3.设AB的中点为C.当点P从点O→B运动时，点Q运动的路径长(自右到左)为3；当点P从点B→C运动时，点Q运动的路径长(自左到右)为1；当点P从点C→A运动时，点Q运动的路径长(自右到左)为2－3；当点P从点A→O运动时，点Q运动的路径长(自左到右)为1；因此当点P运动一周时，点Q运动的总路程为3+1+2－3+1=4，故答案为4 . 【解后反思】本题的难点是点P在B→A运动过程中，点Q运动的路径长，化解该难点的方法一是抓住“AB的中点C”这个特殊的零界点，而是关注点P到达A．C．B这三个特殊点时，线段AQ相应的长度，由此可确定点Q 运动的路径长.【关键词】特殊角三角函数值的运用；点的位置的确定；实验操作题型；动线题型3.（四川省广安市，24，8分）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，画四种图形，并直接写出其周长（所画图形相似的只算一种）.周长＝周长＝周长＝周长＝【逐步提示】本题考查了直角三角形的画法及勾股定理的运用，解题的关键是利用格点画出90°角.本题中，可以画出的直角三角形的两条直角边可以有以下几种关系：两直角边相等、一条直角边等于另一条直角边的2倍、一条直角边等于另一条直角边的3倍、一条直角边等于另一条直角边的4倍等.【详细解答】解：第一种（四选一）：周长＝周长＝周长＝周长＝第二种（二选一）：周长＝周长＝5第三种：第四种：第五种：周长＝周长＝周长＝【解后反思】（1）在网格中通过画两个45°角的和画出直角；（2）相同边长的正方形网格，如果线段在网格线上，可以通过数网格得到线段的长度，如果线段不在网格线上，还需要结合勾股定理解决问题．【关键词】直角三角形；勾股定理；网格数学题型。
2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理及参考答案
一、选择题1．(2019·广元)如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是________【答案】843【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝,∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x1,DM＝MB1,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝843.2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( )A.524 B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ， 根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5， 解得：x ＝4，∴DM ＝6，∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM =＝5， 过点B 作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 3．（2019·益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC 、BC ，则△ABC 一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示， ∵AM=MN=2，NB ＝1，∴AB=AM=MN+NB ＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， ∴25522==AB ，16422==AC ，9322==BC , ∴222AB BC AC =+， ∴△ABC 是直角三角形.4．(2019·广元)如图,在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E.使得∠CDE ＝15°,连接BE 并延长BE 到F,使CF ＝CB,BF 与CD 相交于点H,若AB ＝1,有下列结论:①BE ＝DE;②CE+DE ＝EF;③S △DEC ＝134,④231DH HC.则其中正确的结论有( )A.①②③B.①②③ ④C.①②④D.①③④【答案】A【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC ≌△DEC,∴BE ＝DE,①正确;②在EF 上取一点G,使CG ＝CE,∵∠CEG ＝∠CBE+∠BCE ＝60°,∴△CEG 为等边三角形,易得△DEC ≌△FGC,CE+DE ＝EG+GF ＝EF,②正确;③过点D 作DM ⊥AC 于点M,S △DEC ＝S △DMC －S △DME ＝13412,③正确;④tan ∠HBC ＝2－,∴HC ＝2－,DH ＝1－HC ＝－1,∴3+1DH HC,④错误.故选A.5. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c 2－a 2－b 2+b(a+b －c),由勾股定理可知,c 2＝a 2－b 2,∴S 阴影＝c 2－a 2－b 2+S 重叠＝S 重叠,即S 阴影＝S 重叠,故选C.6.（2019·重庆B 卷）如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AB =3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 与点E ，AE =1.连接DE ，将△AED 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面，得△AEF ，连接DF .过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G.则四边形DFEG 的周长为( ) B. C. D.【答案】D【解析】∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AD=BD.∵BE ⊥AC ，AD ⊥BD ， ∴∠DAC =∠DBH ，4212题图F∴△D BH ≌△DAC （ASA ）. ∵DG ⊥DE ， ∴∠BDG =∠ADE ，∴△DBG ≌△DAE （ASA ）， ∴BG=AE ，DG=DE ，∴△DGE 是等腰直角三角形， ∴∠DEC =45°.在Rt △ABE 中，BE ， ∴GE =，∴DE =.∵D ，F 关于AE 对称， ∴∠FEC =∠DEC =45°，∴EF=DE=DG =，DF=GE =，∴四边形DFEG 的周长为2（+2-）=.故选D ． 二、填空题221221222221127．（2019·苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）.（图①）（图②）（第15题）【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰×10=5cm，设正方形阴影部分三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为12x=sin45°，解得x.的边长为x cm，则5第15题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ADC＝°【答案】105°【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD ＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，cm，则图中阴影部分的面积三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为为 cm：（结果保留根号）．（第18题）【答案】第18题答图解析：，所以△ABC与△DEF 有公共内心O ，连接AD 、BE 、FC 并延长相交于点O ，过O 作OG ⊥AB 于G ，交DE 于H .则GH =，S △ABC =12OG ×（AB +AC +BC ）=12AB ×AC ，∴OG =8AB AC AB AC BC ⨯==-+-OH =8-∵DE ∥AB ，∴△ODE ∽△OAB ，∴OH DEOGAB=8DE=，解得DE =6-S阴影= S △ABC -S △DEF =(2211861022⨯--=+10．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，若DA ＝1，CP ⊥DP 于点P ，则点P 的坐标为 .【答案】（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）【解析】设点P 的坐标为（x ，0），（1）当点D 在线段AB 上时，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224-，22）. ∴222)224()]224(4[-+--=CD 22)22(2416)22(+-+=2417-=， 222)22()]224([+--=x PD 222)22()224()224(2+-+--=x x 2417)28(2-+--=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+，∴2417)28(2-+--x x 3282+-+x x 2417-=， 即032)216(22=+--x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯---=2322-＜0， ∴原方程无解，即符合要求的点P 不存在. （2）当点D 在线段BA 的延长线上，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224+，22-）. ∴222)]22(4[)]224(4[--++-=CD 22)224()22(++-=2417+=， 222)22()]224([-++-=x PD 222)22()224()224(2++++-=x x 2417)28(2+++-=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+， ∴2417)28(2+++-x x 3282+-+x x 2417+=， 即032)216(22=++-x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯-+-=2322+＞0， ∴222322216⨯+±+=x 42322216+±+=， ∴点P 的坐标为（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）.11.(2019·枣庄)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝MC＝112. (2019·巴中)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.【答案】【解析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'因为PP'＝8,P'C＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△＝S△BPP'+S△PP'C＝ABP+S△BPC.三、解答题13.(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.（1）求证:EC＝BD;（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB＝90°,AC＝BC, ∴∠ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,∵BD⊥CD, ∴∠AEC＝∠CDB＝90°,∴△AEC≌△CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝12(AE+BD)ED＝12(a+b)(a+b),S梯形＝12ab+12c2+12ab，∴12(a+b)(a+b)＝12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.。
勾股定理及其逆定理专题练习
勾股定理及其逆定理专题练习（一）几何法证明勾股定理.1、如图所示， 90=∠=∠BCE ADE ,a CE AD ==，b BC DE ==，c BE AE ==，利用面积法证明勾股定理.（二）勾股定理的应用.一、勾股定理的简单计算：1、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．2、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是__________.3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4、在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．二、勾股定理与实际问题： 1、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_____米.2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________m ．3、如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有__________m ．b c c a a b D CA E B4、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需___________米.5、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图）．设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是___________．三、勾股定理与图形变换：1、如图，已知ABC ∆中， 5.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D ，26=BD ，BC AE ⊥于E ,求AE 的长.2、如图，将长方形ABCD 沿直线AB 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于E ，48==AB AD ，,求BED ∆的面积.3、现有一长方形纸片ABCD，在剪纸过程中需要折叠，如图所示，将ADE∆沿AE 折叠，且使AD落在长方形内，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB,108=BC,求EC的长.=四、表面路径最短问题：1、如图，一圆柱形油罐底面圆的周长是24 m，高为6 m，一只壁虎从距底面1 m的A处爬行到C处去捕食，壁虎在油罐的侧面爬行，它爬行的最短路线长为多少？2、如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？（三）勾股定理的逆定理的应用.1、三角形的三边长为c b a ,,若()01692612522=+-+-+-c c b a ，则A B C ∆的形状是（ ）A 、以a 为斜边的直角三角形B 、以b 为斜边的直角三角形C 、以c 为斜边的直角三角形D 、不是直角三角形2、测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个花坛的面积是 .（四）定理及逆定理的综合应用：1、如图，在A B C ∆中，D 为BC 边上的点，已知13=AB ,12=AD ,15=AC ,5=BD ，则ADC ∆的面积为___________.2、如图， 90121334=∠====B DC AD BC AB ，，，，,则四边形ABCD 的面积是__________.。
2019届中考数学试题分类汇编：勾股定理(含解析)
（2019•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．=10S△ADB=AB•DE=×10×3=15．（2019•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．中，，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，AD=×2=1，=，∴AE=CF=×=EF=2×=，CE===（2019•巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 5 ．，==（2019•达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：由勾股定理，得AC＝5，因为平行边形的对角线互相平分，所以，DE一定经过AC中点O，当DE⊥BC时，DE最小，此时OD＝32，所以最小值DE＝3（2019•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。
设AE=x，则x的取值范围是. 答案：2≤x≤6解析：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中，x2＋y2＝（6－y）2，即x=8(0)3y≤≤，当y＝0时，x取最大值为6；当y＝83时,x取最小值2，故有2≤x≤62019•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．﹣|=6面积是 CA．48B．60C．76D．80（2019鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．解答：解：∵cosA=，∴AC=AB•cosA=8×=6，∴BC===2．故答案是：2．图1点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2019鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．考点：三角形中位线定理；勾股定理．分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．故答案为：11．点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．（2019•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（），A′E=2+3=5，BE===8（2019•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）xx+x=150x=﹣﹣﹣（2019•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是6或2．=，∴AB=2CD=2=3，∴AB=2EF=6，或．（2019•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是10 ．（2019•吉林省）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－6，0）、（0，8）.以点A 为圆心，以AB ，则点C 的坐标为 .（2019•包头）如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 135 度．∴EE′=2(2019山东滨州，14，4分)在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为______________．【答案】（2019•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．的点．．，离容器上沿0.3m与蚊子相对A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3 m（容器厚度忽略不计）.2019•绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是2或﹣2 ．y=的横坐标是=2（2019•黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为A、5 B C、5（2019•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）=×3×4÷5=，=×3h+×4h=×5×h=×3×BD•，BD=。
2019年全国中考数学模拟卷分类汇编：直角三角形与勾股定理(含答案)
直角三角形与勾股定理一、选择题1、（浙江一模）如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA ，CB 分别相交于点P ，Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ． 4.8B ．4.75C ．5 D．答案：A2、（广州海珠区毕业班综合调研）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为（ ） A ．6 B ．3C ．32D 答案：C3、（昆山一模）一个直角三角形的两边长分别为4与5，则第三边长为（ ） A ．3 B C 3 D ．不确定 答案：C4、(广西钦州市模拟)如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则12∠+∠等于 （A ）270° （B ）180° （C ）135° （D ）90°答案：A5、（昆山一模）一个直角三角形的两边长分别为4与5，则第三边长为（ ） A ．3 B C 3 D ．不确定 答案：C6．(宁德市一摸)如图，已知Rt△ABC ，∠B=90º，AB=8，BC=6，把斜边AC 平均分成n 段，以每段为对角线作边与AB 、BC 平行的小矩形，则这些小矩形的面积和是（ ） A ．n 24 B ．n 48 C ．248n D ．296n答案：B7、（北京市大兴区）如图，圆柱底面直径AB 、母线BC 均为4cm ，动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离第1题图AC 21第2题A.（212π+）cmB.（2412π+）cmC.（214π+）cmD.（242π+）cm 答案：A8、如图，在Rt ∆ABC 中，∠C＝90°，两直角边AC 、BC 的长恰是方程2x －4x ＋2＝0的两个不同的根，则Rt ∆ABC 的斜边上的高线CD 的长为 （A（B（C（D ）9、（犍为县五校联考）写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆 答案：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.10、（2018江苏省盐城市一摸）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC=4BC ，若CD 的长为5，则四边形ABCD 的面积为 ；答案：10二、解答题1、（安徽芜湖一模）如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立.（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（090θ<<）时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G.① 求证：BD ⊥CF ；② 当AB ＝4，ADBG 的长.图1 图2 图3答案：（本小题满分12分）解（1）BD ＝CF 成立.理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，图13.3图13.2图13.1A45°θG C DEFFED C FE DC BADC第2题图ABCD∴AB=AC ，AD=AF ，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=DAC BAC ∠-∠，∠CAF=DAC DAF ∠-∠，∴∠BAD=∠CAF ，∴△BAD ≌△CAF.∴BD ＝CF.……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG 交AC 于点M.∵△BAD ≌△CAF （已证），∴∠ABM ＝∠GCM. ∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG.∴∠BGC ＝∠BAC ＝90°.∴BD ⊥CF.……………………………………（7分） ②过点F 作FN ⊥AC 于点N.∵在正方形ADEF 中，AD ＝2，∴AN ＝FN ＝121=AE .∵在等腰直角△ABC 中，AB ＝4， ∴CN ＝AC －AN ＝3，BC ＝2422=+AC AB .Rt △FCN ∽Rt △ABM ，∴ABCNAM FN = ∴AM ＝=⨯AB 3134. ∴CM ＝AC －AM ＝4－34＝38，310422=+=AM AB BM .…… （9分） ∵△BMA ∽△CMG ，∴CGCMBA BM =. ∴CG 3843104=. ∴CG ＝5104.…………………………………… （11分） ∴在Rt △BGC 中，=-=22CG BC BG 5108. ……………… （12分） 2、（江苏东台实中）如图,在△ABC 中,∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，AC=6，CD=32。
2019届中考数学复习《直角三角形与勾股定理》专项练习含答案
2019届初三数学中考复习 直角三角形与勾股定理 专项复习练习1．下列各组中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 2. 一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( ) A ．5 B.7 C. 5 D ．5或73. 如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＋∠DCB ＝90°，且BC ＝2AD ，以AB ，BC ，DC 为边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1＝3，S 3＝9，则S 2的值为( )A ．12B ．18C ．24D ．484. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为( )A ．5B ．6C ．7D ．255. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 6. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )A ．2aB ．22aC ．3a D.433a 7. 由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( ) A ．∠A＋∠B ＝∠CB ．∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2C ．(b ＋c)(b －c)＝a 2D ．a ＝3＋k ，b ＝4＋k ，c ＝5＋k(k ＞0)8. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A 重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC ＝3，则B′C 的长为( )A ．3 3B ．6C ．3 2 D.219. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么(a ＋b)2的值为( )A．13 B．19 C．25 D．16910. 如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( )A．13 cm B．261 cm C.61 cm D．234 cm11. 三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于_______．12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD ＝3，则BD的长为______．13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝______．14. 在△ABC中，BD和CE分别是边AC，AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O.若OD＝2 cm，OE＝4 cm，则线段OA的长度为___________cm.15. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.参考答案：1---10 BDDAC BDACA11. 2.512. 613. 214. 4 515. 解：连接DC，∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∠A＝∠B＝∠DCA＝∠DCB＝45°，CD＝DB，∴∠FDB＋∠CDF＝90°，又DE⊥DF，∴∠EDC＋∠CDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD(ASA)，∴DE＝DF2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若4＜k ＜5，则k 的可能值是（ ）A B C ．D 2．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x ，下列方程正确的是（ ） A ．1000（1+x ）2＝1210 B ．1210（1+x ）2＝1000 C ．1000（1+2x ）＝1210D ．1000+10001+x ）+1000（1+x ）2＝12103．如图，D 是BC 上的一点，DE AB DA CE ∥，∥，若65ADE ∠=︒，则B C ∠∠，的度数分别可能是（ ）A ．46,68︒︒B ．45,71︒︒C ．46,70︒︒D ．47,68︒︒4．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC 的坡度（或坡比）为i ＝1：2，BC ＝12米，CD ＝8米，∠D ＝36°，（其中点A 、B 、C 、D 均在同一平面内）则垂直升降电梯AB 的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）A.5.6B.6.9C.11.4D.13.95．如图，正△ABC 内接于⊙O ，将△ABC 绕点O 顺时针旋转20°得到△DEF ，若⊙O 半径为3，则DB 的长为（ ）A ．53π B ．2π C ．73π D ．83π 6．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1，0)与(0，2)，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是( )A ．x 1>-B ．x 1<-C ．x 2>D ．x 2<7．下列计算正确的是（ ） A ．34a a a -= B ．236a a a ⋅= C ．824a a a ÷=D ．()326a a =8．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是( ) A ．16B ．12C ．13D ．239．如图，一次函数y ＝kx+b 与y ＝x+2的图象相交于点P （m ，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2kx y by x -=-⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ． 1.84x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ． 2.44x y =⎧⎨=⎩10．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（ ）A.甲超市的利润逐月减少B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市11．在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（ ）A ．5、3、4.6B ．5、5、5.6C ．5、3、5.6D ．5、5、6.612．如图,在△ABC 中,点D 、E 分别为AB 、AC 边上的点,连接DE,且DE ∥BC,点F 为BC 边上一点,连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．BD AGAD FG= B ．AG AEGF BD= C ．BD ABCE AC= D ．FG CEAE AG= 二、填空题13．已知m ，n 是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1＝0（其中a ＜b ）的两根，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是_____．14．在x 2+（________）+4=0的括号中添加一个关于x 的一次项．．．，使方程有两个相等的实数根. 15．如图，已知Rt △AOB ，∠OBA ＝90°，双曲线ky x=与OA ，BA 分别交于C ，D 两点，且OC ＝2AC ，S 四边形OBDC＝11，则k ＝_____．16．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，tanC ＝12，AB AC ＝_____．17．如图，在▱ABCD 中，AB ＝AD ＝4，将▱ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为_____．18．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________. 三、解答题19．计算：﹣12+（π0﹣2|． 20．为奖励表现优秀的学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元．（1）求文具袋和圆规的单价．（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干．文具店给出两种优惠方案：方案一；购买一个文具袋送1个圆规．方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由．21．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE＝13，求∠AED的度数；（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝DF和DN的长．22．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN，直线BD与MN交于点E．（1）如图1．当点M在BC上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M作CD的平行线交BD于点P．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，则BD，DE，BM之间满足的数量关系是．（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，如图3，若1,3AFADCM＝2，则线段DG＝．23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当x＞0时，的解集．（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．24．某校在苏州园林研学时，校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为即AB BC ),且:,,B C E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(侧倾器的高度忽略不计).25．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°的方向上，求C处与灯塔A的距离.【参考答案】***一、选择题13．m＜a＜b＜n14．4x±（只写一个即可）15．121617．318．(-5，-3)三、解答题19．﹣【解析】【分析】根据负整数指数幂的性质、乘方的定义、零指数幂的性质、二次根式的性质及绝对值的性质依次计算后，，再合并即可求解.【详解】3+1﹣．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟知实数的运算法则及运算顺序是解决问题的关键.20．（1）文具袋的单价为15元/个，圆规的单价为3元/个；（2）选择方案一更合算，理由见解析.【解析】【分析】（1）设文具袋的单价为x元/个，圆规的单价为y元/个，根据“购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量结合两种优惠方案，分别求出选择方案一和选择方案二所需费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）设文具袋的单价为x元/个，圆规的单价为y元/个，依题意，得：221 2339 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：153xy=⎧⎨=⎩．答：文具袋的单价为15元/个，圆规的单价为3元/个．（2）选择方案一更合算，理由如下：选择方案一所需费用为15×20+3×（100﹣20）＝540（元），选择方案二所需费用为15×20+3×10+3×0.8×（100﹣10）＝546（元）．∵540＜546，∴选择方案一更合算．本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．21．（1）CE＝AF，见解析；（2）∠AED＝135°；（3）DF53 DN=.【解析】【分析】（1）由正方形和等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；（3）由AB∥CD，得出12OM OA AMOD OC DC===，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，得到DF DNDC DO=，求出DN、DF即可．【详解】解：（1）CE＝AF，在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝AD，∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴CE＝AF；（2）设DE＝k，∵DE：AE：CE＝1 3∴AE k，CE＝AF＝3k，∴EF，∵AE2+EF2＝7k2+2k2＝9k2，AF2＝9k2，即AE2+EF2＝AF2∴△AEF为直角三角形，∴∠AEF＝90°∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；（3）∵M是AB的中点，∴MA＝12AB＝12AD，∵AB∥CD，∴△MAO∽△DCO，∴12 OM OA AMOD OC CD===，在Rt△DAM中，AD＝4，AM＝2，∴DM＝∴DO＝3，∵OF＝3∴DF∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，∴△DFN∽△DCO，∴DF DNDC DO==，∴DN＝53．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断△AEF为直角三角形是解本题的关键，也是难点．22．（1）见解析；（2）BD+2DEBM；（3）2.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM＝DN，列出方程求出AB的长度，根据DF∥BM，得到413,43DF DGBM BG===即可求解.【详解】解：（1）如图1，过点M作MP∥CD，交BD于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∵PM∥CD，∴∠NDE＝∠MPE，∠BPM＝∠CDB＝45°，∴△BPM 是等腰直角三角形，∴PM ＝BM，PB =，∵BM ＝DN ，∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中， ,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°，∵∠CBD ＝45°，∴△BMP 是等腰直角三角形，∴BM ＝PM ＝DN ，与（1）证法类似：△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD+PD ＝BD+2DE ，根据勾股定理得：BPBM ，即BD+2DE ＝BPBM ，故答案为：BD+2DEBM ；（3）如图3，∵AB ∥CD ，∴AB∥DN，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，∵BM＝DN，∴x+2＝2x，x＝2，∴AB＝AD＝2，DF＝43，∴BD=∵DF∥BM，∴413,43 DF DGBM BG===∴14DG=⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．23．（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析.【解析】【分析】（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式；（2）根据图像解答即可；（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，∴B（4，1），把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，∵B（4，1），∴B′（4，﹣1），设直线AB′的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线AB′的解析式为，令y＝0，得，解得x＝，∴点P的坐标为（，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P 的位置是解答（3）的关键.24．树高为9米【解析】【分析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，可得四边形ABEF 为矩形，设DE=x ，在Rt △DCE 和Rt △ABC 中分别表示出CE ，BC 的长度，求出DF 的长度，然后在Rt △ADF 中表示出AF 的长度，根据AF=BE ，代入解方程求出x 的值即可．【详解】如图，过点A 作AF DE ⊥于F ，则四边形ABEF 为矩形，3AF BE EF AB ∴===，米，设DE x =，在Rt CDE ∆中,60DE CE tan =，在Rt ABC ∆中，33ABAB BC BC ==∴=， 在Rt AFD ∆中()333330x DF DE EF x AF x tan -=-=-∴==-，，)3AF BE BC CE x ==+-=，，解得9x =(米).答：树高为9米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．25．25海里【解析】【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC 为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的腰长相等即可得出答案．【详解】解：由题意得，∠1=∠2=30°，∵∠ACD=60°，∴∠ACB=90°，∴∠CBA=75°-30°=45°，∴ΔABC为等腰直角三角形，∵BC=50×0.5=25，∴AC=BC=25海里．【点睛】本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是（）A.方程没有实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.方程的根是1、﹣5和3．如图，在△OAB中，OA=AB，∠OAB=90°，E是OB的中点，反比例函数y=8x在第一象限的图象与AB交于点C，过点C作CD⊥AE于点D，则S△AOE-S△ADC值为（）A．B．3 C．4 D．4．某颗人造地球卫星绕地球运行的速度是7．9×103m／s，那么这颗卫星绕地球运行一年（一年以3．2×107 s计算）走过的路程约是（）A．1.1×1010m B．7.9×1010m C．2.5×1010m D．2.5×1011m5．如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中与△ABD面积相等的三角形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6．如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A ．GE ＝GDB ．GF ⊥DEC ．∠DGE ＝60°D ．GF 平分∠DGE7．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°8．二次函数y ＝ax 2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y 轴交于点A ，且过点B （3，6）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ，那么tan ∠CBA 的值是（ ）A ．23B ．43C ．2D ．349．计算的结果为( )A. B. C. D.10．下列运算正确的是（ ）A.2a 2+2a 2=4a 2B.（a 2）3=a 5C.a 2•a 3=a 6D.a 6÷a 3=a 211．下列运算正确的是（ )A ．2223x 25x x +=B ．2223a 26a a ⋅=C ．236(2)8x y x y -=-D ．22322m()m n m m n -=-12．如图一，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 、Q 从点B 同时出发，点P 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，点Q 以1cm/s 的速度沿BA ﹣AC 方向运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y(cm 2)，运动时间为x(s)，则y 与x 之间的函数关系图象如图二所示，则BC 长为( )A ．4cmB ．8cmC ．D ．二、填空题 13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝15，E 是CD 上的点，将△ADE 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 边上点F 处，点P 是线段CB 延长线上的动点，连接PA ，若△PAF 是等腰三角形，则PB 的长为____．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 是AB 的中点，点P 是直线AC 上一点，将△ADP沿DP所在的直线翻折后，点A落在A1处，若A1D⊥AC，则点P与点A之间的距离为______．15．点A（1，a）在函数3yx的图象上，则点A关于y轴的对称点B的坐标是____________。
2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理及参考答案
一、选择题1．(2019 ·广元 ) 如图 , △ ABC中, ∠ABC＝90°,BA＝BC＝2, 将△ ABC绕点 C 逆时针旋转 60°获得2△DEC,连结 BD,则 BD的值是 ________【答案】8 4 3【分析】连结 AD,过点 D 作 DM⊥BC于点 M,DN⊥AC于点 N,易得△ ACD是等边三角形 , 四边形 BNDM是正方形 , 设 CM＝x, 则 DM＝MB＝x+2, ∵BC＝2, ∴CD＝AC＝2 2 , ∴在 Rt△MCD中, 由勾股定理可求得 ,x ＝ 3 1,DM＝MB＝2 2 23 1 ,∴在Rt△BDM中,BD ＝MD+MB＝843.2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，搁置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进步行旋转倾斜后，水面恰巧触到容器口边沿，图 2 是此时的表示图，则图 2 中水面高度为( )A. 24B. 32C. 12 34D. 20 3417 17 5 5【答案】 A【分析】如下图：设 DM＝x，则 CM＝8﹣x，依据题意得：（8﹣x+8）× 3×3＝3×3×5，解得： x＝4，∴ DM＝6，∵∠ D＝90°，由勾股定理得： BM＝B D 2DM 24232＝5，过点 B 作 BH⊥AH，∵∠ HBA+∠ABM＝∠ ABM+∠ABM＝90°，∴∠ HBA+＝∠ ABM，因此 Rt△ABH∽△ MBD，∴BH BD，即BH 3，解得BH＝24，即水面高度为24．AB BM855 53．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A 为圆心，AN长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC、BC，则△ ABC必定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】 B【分析】如下图，∵A M=MN=2，NB＝1，∴A B=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，∴ AB2 52 25， AC2 42 16 ， BC2 32 9 ,∴AC2 BC2 AB2，∴△ ABC是直角三角形 .4．(2019 ·广元 ) 如图 , 在正方形 ABCD的对角线 AC上取一点 E. 使得∠ CDE＝15°, 连接 BE并延伸BE到 F, 使 CF＝CB,BF与 CD订交于点 H,若 AB＝1, 有以下结论 : ①BE＝DE;②CE+DE ＝EF;③S ＝ 1 3 , ④DH2 3 1.则此中正确的结论有( )△DEC4 12 HCA. ①②③B. ①②③ ④C.①②④D.①③④【答案】 A【分析】①利用正方形的性质, 易得△ BEC≌△ DEC,∴BE＝DE,①正确 ; ②在 EF上取一点 G,使 CG＝CE,∵∠ CEG＝∠ CBE+∠BCE＝60° , ∴△ CEG为等边三角形 , 易得△ DEC≌△ FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF, ②正确 ; ③过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝1 3, ③正确 ; ④ tan ∠ HBC＝ 2 －3,∴HC＝2－ 3 ,DH＝1－HC＝ 3 －1,∴4 12DH3+1 ,④错误.应选A.HC5.(2019 ·宁波 ) 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一 , 在我国古算书《周髀算经》中早有记录 . 如图 1, 以直角三角形的各边分别向外作正方形 , 再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式搁置在最大正方形内 . 若知道图中暗影部分的面积 , 则必定能求出A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和【答案】 C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大挨次为:a,b,c, 则 S 暗影＝ c2－ a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c 2＝a2－b2,∴S暗影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠, 即S阴影＝S 重叠 , 应选 C.6.（2019·重庆 B 卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点 E，AE=1.连结 DE，将△ AED沿直线 AE翻折至△ ABC所在的平面，得△AEF，连结 DF.过点 D作 DG⊥DE交 BE于点 G.则四边形 DFEG的周长为()B. 4 2C. 2 2 4D. 3 2 2AEG FBD C12题图【答案】 D【分析】∵∠ ABC=45°， AD⊥BC，∴△ ABC是等腰直角三角形，∴A D=BD.∵B E⊥AC， AD⊥BD，∴∠ DAC=∠ DBH，∴△ D BH≌△DAC（ASA）.∵D G⊥DE，∴∠ BDG=∠ ADE，∴△ DBG≌△ DAE（ASA），∴B G=AE，DG=DE，∴△ DGE是等腰直角三角形，∴∠ DEC=45°.在 Rt△ABE中，BE= 3212 2 2，∴GE=2 2 1，2∴DE=22 .∵D，F 对于AE对称，∴∠ FEC=∠ DEC=45°，2∴EF=DE=DG22 ，DF=GE2 2 1，∴四边形的周长为 2（2 2 1 +2-2）=3 2+2.应选D．DFEG2 二、填空题7．（2019·苏州） “七巧板”是我们先人的一项优秀创建．能够拼出很多风趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7 块图形之一的正方形边长为cm （结果保存根号） .（图①）（图②）（第 15 题）【答案】5 22【分析】 此题考察了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等， 且它们的斜边长都为 1×10=5cm ，设正方形暗影部分2的边长为 x cm ，则 x =sin45 °= 2 ，解得 x = 5 2 ，故答案为 5 2 .5 22 2第 15 题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD中， AB∥ CD，连结 AC，BD.若∠ ACB＝90°， AC＝BC, AB＝BD, 则∠ADC＝°【答案】 105°【分析】过点 D作 DE⊥ AB于点 E，过点 C作 CF⊥ AB垂足为 F，由∠ ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得 CF为中线，进而推出2CF＝AB，由 AB∥ CD得 DE＝CF，由 AB＝BD得 BD＝2DE，在 Rt△DEB中利用三角函数可得∠ ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ ADC＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有 45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm，则图中暗影部分的面积为cm ：（结果保存根号）．（第 18 题）【答案】 10+12 2第 18 题答图分析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2 cm ，因此△ ABC与△ DEF 有公共心里 O ，连结 AD 、BE 、FC 并延伸订交于点 O ，过 O 作 OG ⊥AB 于G ，交 DE 于 H .则 GH =2 ， S= 1 OG × （ AB +AC +BC ） = 1△ABC22AB AC 8 8 2 ，∴ OH =8 5 2，∵AB AC BC8 8 8 48 2AB × AC ， ∴ OG =∵DE ∥AB ，∴△ ODE ∽△ OAB ，∴OHDE ∴ 8-5 2 DE ，解得 DE =6- 2 2 ，OGAB 8-4 2 8S 暗影 = S △ABC - S △DEF = 1821 212 2.622102210．（2019·江西） 在平面直角坐标系中， A ， B ，C 三点的坐标分别为 (4 ，0) 、(4 ，4) ，(0 ，4) ，点 P 在 x 轴上，点 D 在直线 AB 上，若 DA ＝1，CP ⊥DP 于点 P ，则点 P的坐标为.【答案】（16 22 32 2 ，0）或（ 16 22 32 2，0）44【分析】设点P 的坐标为（ x，0），（ 1）当点 D 在线段 AB上时，如下图：∵DA=1，∴点 D的坐标为（4 2 ，2）.2 2∴ CD2 [4 (4 2)]2 ( 4 2 )2 ( 2 )2 1642( 2 )2 1742，2 2 2 2PD 2 [ x (4 2)]2 ( 2 )2 x2 2(4 2)x (4 2 )2 ( 2 )2 x2 (8 2) x 17 4 2 ，2 2 2 2 2 PC 2(x 4)242x28x32 .∵CP⊥DP于点 P，∴PC2PD 2CD 2，∴ x2 (8 2 ) x 17 4 2 x2 8x 32 17 4 2，即 2x2(162) x 320 ，∵△ =[ (162)]2 4 2 32 =232 2 ＜0，∴原方程无解，即切合要求的点P不存在 .（ 2）当点 D 在线段 BA的延伸线上，如下图：∵DA=1，∴点 D的坐标为（4 2 ，2）.2 2∴ CD2 [4 (4 2)]2 [ 4 ( 2)]2 ( 2 )2 (4 2 )2 17 42，2 2 2 2PD 2 [ x (4 2)]2 ( 2 )2 x2 2( 4 2) x (4 2 )2 ( 2)2 x2 (8 2 ) x 17 4 2 ，2 2 2 2 2 PC 2(x 4)242x28x32 .∵CP⊥DP于点 P，∴PC2PD 2CD 2，∴ x2 (8 2) x 17 4 2 x2 8x 32 17 4 2，即 2x2(162) x 320 ，∵△ =[ (16 2)]2 4232= 2 322＞，∴ x 16 2 2 322 16 2 2322，2 2 4∴点 P 的坐标为（16 22 32 2 ，0）或（ 16 2 2 32 2 ，0）.4 411.(2019 ·枣庄 ) 把两个相同大小含 45°的三角尺按如下图的方式搁置 , 此中一个三角尺的锐角极点与另一个三角尺的直角极点重合于点A, 且此外三个锐角极点B,C,D 在同向来线上 , 若 AB＝2, 则 CD＝________.【答案】6－ 2【分析】在等腰直角△ ABC中, ∵AB＝2, ∴BC＝2 2 , 过点 A 作 AM⊥BD于点 M,则 AM ＝MC＝1 BC＝2 , 在 Rt△AMD中,AD＝BC＝2 2 ,AM＝2 , ∴MD＝6 , ∴CD＝MD－MC＝6－22 .12. (2019 ·巴中 ) 如图 , 等边三角形 ABC内有一点 P, 分别连结 AP,BP,CP,若 AP＝6,BP＝8,CP＝10, 则 S△ABP+S△BPC＝________.【答案】 16 3 +24【分析】将△ ABP绕点 B 顺时针旋转 60°到△ CBP', 连结 PP', 因此 BP＝BP', ∠PBP' ＝60°, 因此△ BPP'是等边三角形 , 其边长 BP为 8, 因此 S△BPP'＝16 3 , 由于 PP' ＝8,P'C2 2 2 ＝24, 因此 S＝PA＝6,PC＝10, 因此 PP' +P'C ＝PC, 因此△ PP'C 是直角三角形 ,S△PP'C △ABP+S△ BPC＝S△ BPP'+S△PP'C＝16 3 +24..三、解答题13.(2019 ·巴中 ) 如图 , 等腰直角三角板如图搁置, 直角极点 C在直线 m上, 分别过点A,B 作 AE⊥直线 m于点 E,BD⊥直线 m与点 D.（1）求证 :EC＝BD;（2）若设△ AEC三边分别为 a,b,c, 利用此图证明勾股定理 .证明：（1）∵△ ABC是等腰直角三角形 ,∴∠ ACB＝ 90°,AC＝BC, ∴∠ ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠ EAC+∠ACE＝90°, ∴∠ BCD＝∠ CAE,∵B D⊥CD, ∴∠ AEC＝∠ CDB＝ 90°,∴△ AEC≌△ CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△ AEC≌△ CDB,△ AEC三边分别为 a，b，c, ，∴BD＝EC＝ a,CD＝AE＝b,BC＝ AC＝c,1 (AE+BD)ED＝1 (a+b)(a+b),∴S梯形＝2 2S 梯形＝1 ab+ 1 c2+1 ab，22 2∴ 1 (a+b)(a+b) ＝ 1 ab+1 c2+ 1 ab,2 2 2 2整理可得 a2 +b2＝c2, 故勾股定理得证 .。
2018届中考数学复习专题26直角三角形、勾股定理及逆定理试题(B卷,含解析)
直角三角形、勾股定理及逆定理一、选择题1. （ 安徽，10，4分）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC,AB=6，BC=4.P 是△ABC 内部的一个懂点，且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP 长的最小值为（ ） A.23B.2C.13138D.131312【答案】B.【逐步提示】先根据三角形内角和和已知条件求出∠APB =900,并根据圆周角定理判断出动点P 的活动轨迹，把问题转化为圆外一点与圆上动点的最值问题，最后根据勾股定理即可求解.【详细解答】解：如图，∵AB ⊥BC,∴∠ABP+∠CBP=900,∵∠CBP=∠BAP,∴∠ABP+∠BAP=900,∴∠APB=900,∴点P 在以AB 为直径的⊙E 落在△ABC 内部的部分，当点C,P,E 在一条直线上时，CP 取最小值，此时由勾股定理得CE=2243+=5，CP=CE-PE=5-3=2.，故选择B .【解后反思】在动态问题中求两点之间距离的最值问题，一般应先确定动点的活动规律，再运用相关知识求解，此类问题与圆结合的较多.【关键词】最值问题，圆的性质，勾股定理，动态问题2. （ 江苏省连云港市，7，3分）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中161=S ，452=S ，115=S ，146=S ，则=+43S S A ．86 B ．64 C ．54 D ．48图2图1S 6S 5S 4S 3S 2S 1【答案】C【逐步提示】本题考查了勾股定理的应用，找出这些面积之间的关系是解题的关键．先根据等边三角形的面积公式和扇形的面积公式，得出1S ，2S ，3S 之间的关系以及4S ，5S ，6S 之间的关系，最后可得出结论．【详细解答】解：设直角三角形的三边长为a ，b ，c ；则214S =，234S b =，224S =，∵222a b c +=，∴321451629S S S =-=-=；设图2中的扇形的圆心角为α，则24360S c α=π，25360S a α=π，26360S b α=π，同样得到465111425S S S =+=+=，∴34292554S S +=+=，故选择C ．【解后反思】由于等边三角形的面积是与边长的平方成正比例的，扇形在圆心角相同的情形下也是与半径即边长的平方成正比例的，而勾股定理又是与边长的平方有关的，于是可得出321S S S =-以及465S S S =+之间的关系，从而使问题得以解决．【关键词】勾股定理；等边三角形的面积；扇形的面积；；3. （江苏省无锡市，10，3分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，△ABC 绕点C 顺时针旋转得△A 1B 1C ，当A 1落在AB 边上时，连接B 1B ，取BB 1的中点D ，连接A 1D ，则A 1D 的长度是（ ）AB．C ．3D．A 1DBB 1【答案】A【逐步提示】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理以及中位线等，解题的关键是构造出求A 1D 边长所需的直角三角形，本题的思路是要求A 1D 的长度，过点D 作DE ⊥A 1B ，求出A 1E 和DE ，利用勾股定理可求出A 1D 的长度，可先证明△ACA 1、△BCB 1为等边三角形，再利用中位线和等边三角形的性质求出A 1E 和DE 的长．【详细解答】解：∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，∴∠A ＝60°，AB ＝4， ∵CA ＝CA 1，∴△ACA 1为等边三角形，∴∠A 1CA ＝∠CA 1B 1＝60°，AA 1＝2， ∴A 1B 1∥AC ，∴A 1F 是△ABC 的中位线，即A 1F ＝12AC ＝1， ∵∠A 1CB 1＝∠ACB ＝90°，∴∠BCB 1＝∠ACA 1＝60°， ∵CB ＝CB 1，∴△BCB 1为等边三角形，∵F 为BC 中点， ∴B 1F 为等边△BCB 1的高，∴B 1F＝＝3， 过点D 作DE ⊥A 1B ，∵D 为BB 1的中点，DE ∥BF ，∴E 为B 1F 的中点， ∴EF ＝1.5，DE ＝12BF在Rt △A 1DE 中，A 1DA .【解后反思】本题解题思路，求“斜”线长，常考虑构造直角三角形，本题有两个中点，点A 1和点D ，与中点想中位线也是常用思路，总之本题综合了好几个知识点，平时多积累解题经验特别重要． 【关键词】勾股定理；等边三角形的性质；中位线；旋转；转化思想；好题；4. （江苏省宿迁市，7，3分）如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则FM 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．1NMFE D CBA（第7题图） 【答案】B【逐步提示】根据翻折前后对应的线段相等，可以知道AB =BF ，又M 为BC 中点，故BM =1，在直角△BMF 中，利用勾股定理即可求出FM 的长． 【详细解答】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AB =BC =2∵M 、N 是一组对边的中点 ∴ MN ⊥BC ，且BM =1∵△BEF 是由△BEA 翻折得到的， ∴AB =BF 在Rt △BFM 中，FM =3122222=-=-BM BF ，故选择B ．【解后反思】折叠问题是属于轴对称变换，折叠后图形的形状和大小不变，三角形折叠后得到的三角形与原三角形全等，对应边和对应角相等。
勾股定理逆定理典型例题
勾股定理逆定理典型例题
勾股定理逆定理是指如果一个直角三角形的斜边长为 a，两条直角边长分别为 b 和 c，那么有:a2 = b2 + c2。
下面是一些勾股定理逆定理的典型例题:
1. 已知直角三角形 ABC 的斜边长为 a，求其他两条直角边的长度 b 和 c。
解：由勾股定理可得:a2 = b2 + c2。
代入已知条件 a = BC，则b2 = a2 - c2 = (BC)2 - c2，即 b2 = BC2 - c2。
同理可求出 c = (BC)2 - a2。
2. 已知直角三角形 ABC 的三条边长，求斜边长 a。
解：由勾股定理可得:a2 = b2 + c2。
代入已知条件，则 b2 + c2 = a2。
因此，a = b2 + c2 - 2bc = (b + c)2 - 2bc。
3. 已知直角三角形 ABC 的两条直角边长分别为 b 和 c，求斜边长 a。
解：由勾股定理可得:a2 = b2 + c2。
代入已知条件 a2 = (b + c)2 - 2bc = (2bc + b + c)2 - 2bc = 2(b2 + c2) - 2bc = 2b2 + 2c2 - 2bc。
因此，a = 2b2 + 2c2 - 2bc。
4. 已知直角三角形 ABC 的斜边长 a，求其他两条直角边的长度
b 和 c。
解：由勾股定理可得:a2 = b2 + c2。
代入已知条件 a = BC，则b2 = a2 - c2 = (BC)2 - c2，即 b2 = BC2 - c2。
同理可求出 c = (BC)2 - a2。
天津市河东区2019届中考复习《勾股定理的逆定理》专题练习含答案
天津市河东区普通中学2019届初三中考数学复习勾股定理的逆定理专题复习练习1. 下列各组数可以构成直角三角形的一组是( )A.3,5,6B.2,3,4C.6,7,9D.1.5,2,2.52. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )A.6，7，8B.5，6，7C.4，5，6D.3，4，53. 在Rt△ABC 中，若∠A =90°，BC =7，AC =5，则AB =___________.4. 以下各组数为边长，能构成直角三角形的有__________（填写编号）.①6，7，8 ②8，15，17 ③7，24，25 ④12，35，375. 在△ABC 中，∠C =90°，已知a∶b=3∶4,c=15,则b =_______.6. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则AB =___________.7. 若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为___________.8. 如果三角形的三边长a,b,c满足____________，那么这个三角形是____________，_______所对的角是直角.9. 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，则∠___________=90°.10. 在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为________________.11. 如果三条线段长a,b,c满足a 2=c 2-b 2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？如果不是，请说明理由；如果是，请找出哪条边所对的角是直角.12. 三边长度分别为3 cm,4 cm,5 cm的三角形与以3 cm,4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？说说你是怎样得到的？13. A，B，C三地的距离如图X17-12-2所示，A 地在B 地的正东方向，C 地在B 地的什么方向？14. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile，它们离开港口一个半小时后相距30 n mile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？15. 如图，∠C =90°，AC =12，BC =9，AD =8，BD =17，求△ABD 的面积.参考答案：1. B2. D3.4. ②③④5. 126.7. 3或8. a 2+b 2=c 2直角三角形 c9. A10. 25∶1211. 解:是直角三角形，∠C =90°.12. 解：它们是全等的.理由：以3cm,4cm为直角边的直角三角形其斜边为5cm，从而它与以3cm,4cm,5cm 为边的三角形对应相等,所以两三角形全等.13. 解：正北方向.14. 解：根据题意，得PQ =16×1.5=24（n mile）,PR =12×1.5=18（n mile），QR =30（n mile）．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR =90°．由“远航号”沿东北方向航行可知∠QPS =45°，则∠SPR =45°，即“海天”号沿西北方向航行.15. 解：∵∠C =90°，AC =12，BC =9，∴AB 2=AC 2+BC 2,∴AB ==15.∵AD =8,BD =17,∵AB 2+AD 2=152+82=289=172=BD2∴∠DAB =90°.∴△ABD的面积=AB×AD=60.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP2．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如左图所示．其俯视图不可能是（ ）A. B. C. D.3．若关于x 的不等式组()3223212x x x m x --⎧<⎪⎨⎪+≥-⎩有且仅有三个整数解，且关于x 的分式方程2333m x x x x x -+=--+的解为整数，则符合条件的整数m 的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列计算结果正确的是( )A ．B ．(-3m 2)·(-2m 3)=6m 6C ．(-tan60°-1D ．(-a+2b)2=a 2-4b 25．从-2、-1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0的k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是（ ） A.15 B.25 C.35 D.456．已知反比例函数y ＝与一次函数y ＝kx+b 的图象相交于点A （4，1），B （a ，2）两点，一次函数的图象与y 轴交于点C ，点D 在x 轴上，其坐标为（1，0），则△ACD 的面积为（ ）A.12B.9C.6D.57．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD 沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长交AD于点Q．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论为（）A．①②B．①②③C．①③④D．②③9．如图，这是健健同学的小测试卷，他应该得到的分数是（）A．40 B．60 C．80 D．10010．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A.2x-8x+17=0B.2x-6x-10=0C.2xD.2x-4x+4=011．将方程x＋5＝1－2x移项，得（）A．x＋2x＝1－5 B．x－2x＝1＋5 C．x＋2x＝1＋5 D．x＋2x＝－1＋512．我们知道方程组：237324x y x y +=⎧⎨-=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩，则方程组2(3)3(2)73(3)2(2)4x y x y -++=⎧⎨--+=⎩ 的解是（ ） A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．51x y =⎧⎨=-⎩D ．15x y =-⎧⎨=⎩ 二、填空题 13．明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问郡多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个和笔套5个，怎样安排笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x 根，用于制作笔套的短竹数为y 根，则可列方程为：_____．14．关于x 的方程2x ax 2a 0+-=的一个根为3，则该方程的另一个根是________．15有意义，则字母x 的取值范围是 ．16．如图，有一条折线A 1B 1A 2B 2A 3B 3A 4B 4…，它是由过A 1（0，0），B 1（2，2），A 2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线恰有2n （n≥1，且为整数）个交点，则k 的值为______．17．如图，AB ∥CD ，∠B ＝150°，FE ⊥CD 于E ，则∠FEB ＝_____．18．不等式382x -+<的解集是_________.三、解答题19．计算:2020193tan 302-+-⎝⎭︒.20．计算：324cos 45-︒-21．现在A 、B 两组卡片共5张，A 组中三张分别写有数字2、4、6，B 组中两张分别写有3、5，他们除数字外完全一样。
中考数学培优复习题：勾股定理及其逆定理(含解析)
中考数学培优复习题：勾股定理及其逆定理（含解析）中考数学培优复习题：勾股定理及其逆定理（含解析）中考数学培优复习题：勾股定理及其逆定理（含解析）一、单选题（共有9道小题）1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B.6C.7D.252.下列各组数能构成直角三角形三边长的是（）．A．1，2，3 B．4，5，6 C．12，13，14 D．9，40，413.以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．5cm，6cm，7cmB．2cm，3cm，4cmC．2cm，2cm，1cmD．5cm，12cm，13cm4.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为1:2:3B.三边长的平方之比为1:2:3C.三边长之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:55.下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④中，，两直角边、分别是方程的两个根，则边上的中线长为正确命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6.如图，在Rt△ABC中, ∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC=2，AC=4，则BD=（）A. B. 2 C. D.37.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．过对角线交点O作OE⊥AC交AD 于E，则AE的长是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.1258.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若AB=3，AD=4，则ED的长为（）A. B. 3 C. 1 D.9.如图，在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线上, ⊙P恒过点.且与直线始终保持相切，则n=____________(用含a的代数式表示).二、填空题（共有9道小题）10.平面直角坐标系中，点（2，3）到原点的距离是11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，则CD的长是．12.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱表面爬行的最短路程是（π取近似值3）13.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，则△BCG 的周长为．14.观察下面几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；请你根据规律写出第⑤组勾股数是．15.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。
2019年浙教版数学中考复习 直角三角形与勾股定理 综合测试 (含答案)
2019年浙教版数学中考复习直角三角形与勾股定理综合测试一．选择题1．(2018·山东滨州中考)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A ．5B ．6C ．7D ．82．(改编题)下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是( )A ．一锐角对应相等B ．两锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条直角边对应相等3. (2017·黑龙江大庆中考)如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BCD ＝60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( )A ．30°B ．15°C ．45°D ．25°4．(2018·山东德州中考)如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，OC ＝5，OM ＝4，则点C 到射线OA 的距离为( )A.3B.4C.5D.65．(2018·山东枣庄中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F.若AC ＝3，AB ＝5，则CE 的长为( )A.32B.43C.53D.856．(2017·湖南常德中考)如图，已知在Rt △ABE 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，BE ＝10，D 是线段AE 上的一动点，过点D 作CD 交BE 于点C ，并使得∠CDE ＝30°，则CD 长度的取值范围是 ( )A ．-5<CD≤5B ．-5<CD≤0C ．0<CD≤5D ．-5<CD≤5 7．(2018·湖北黄冈中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD ＝2，CE ＝5，则CD ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．2 3 8．(2018·海南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△AB 1C 1，连结BC 1，则BC 1的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．129．(2018·四川泸州中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b.若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A ．9B ．6C ．4D ．310．(2017·贵州毕节中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE ∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( )A．6 B．4 C．7 D．1211．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则该直角三角形的面积为( )A．5 B．6 C．7 D．812．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A．90 B．100C．110 D．121二．填空题13. (2018·福建中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D为AB的中点，则CD＝______．14．(2018·浙江宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_____________________米(结果保留根号)．15．(2018·福建中考)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝2，则CD＝________．16．(2018·湖北襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为__________．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以AB，AC，BC为边在AB同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝________．18．(2018·江苏无锡中考)已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于______________．19．(2017·山东青岛中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连结BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为______度.20．(2017·湖北襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为_______.三．解答题21．(2018·四川广安中考)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；(4)画一个一边长为22，面积为6的等腰三角形．22. (2017益阳10分)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．23. (2017内江)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，求点P到三边的距离之和.24.如图，在平面直角坐标系中，将含30°角的三角尺的直角顶点C落在第二象限，其斜边两端点A，B分别落在x轴、y轴上，且AB＝12 cm.(1)若OB＝6 cm，①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；(2)点C与点O的距离的最大值＝________cm.25．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图1△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设APPM＝k，若∠BPC ＝90°，则称k为勾股比．(1)如图1，过B，C分别作中线AM的垂线，垂足为E，D.求证：CD＝BE.(2)①如图2，当k＝1，且AB＝AC时，AB2＋AC2＝________BC2(填一个恰当的数)．②如图1，当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图1，3，请用含勾股比k的表达式直接表示AB2＋AC2与BC2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)．参考答案1-6 ADBAAC7-12 CCDACC 13. 314. 1 200(3－1)15. 3－116. 23或2717. 1818. 153或10 319. 3220. 25 821. 解：(1)如图(1)所示．(2)如图(2)所示．(3)如图(3)所示．(4)如图(4)所示．22. 解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)23. 解：如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH ＝32，AH ＝AB 2－BH 2＝332. 连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB·PD ＋12BC·PE ＋12CA·PF ＝12BC·AH ， ∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332.24. 解：(1)①如图，过点C 作y 轴的垂线，垂足为点D ，在Rt △AOB 中，AB ＝12，则BC ＝6.∵OB ＝6＝BC ，AB ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △ABO ，∴∠BAO ＝30°，∠ABO ＝60°.又∵∠CBA ＝60°，∴∠CBD ＝60°，∠BCD ＝30°，∴BD ＝3，CD ＝33，∴OD ＝BD ＋OB ＝3＋6＝9，∴点C 的坐标为(－33，9)．②如图，设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x.∴AO ＝AB·cos ∠BAO ＝12×cos 30°＝6 3.∴A′O ＝63－x ，B′O ＝6＋x ，A′B′＝AB ＝12.在△A′OB′中，由勾股定理，得 (63－x)2＋(6＋x)2＝122，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝6(3－1)．∴滑动的距离为6(3－1)cm.(2)1225. (1)证明：∵M 是BC 的中点，∴BM ＝CM.∵BE ⊥AM 于E ，CD ⊥AM 于D ，∴∠E ＝∠CDM ＝90°.在△BME 和△CMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠CDM ＝90°，∠BME ＝∠CMD ，BM ＝CM ，∴△BME ≌△CMD(AAS)，∴CD ＝BE.(2)①AB 2＋AC 2＝2.5BC 2②结论仍然成立．设EM ＝DM ＝a ，则AE ＝AM ＋a ，AD ＝AM －a.在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝(AM ＋a)2＋BE 2＝AM 2＋2AM·a ＋a 2＋BE 2， 在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝(AM －a)2＋CD 2＝AM 2－2AM·a ＋a 2＋CD 2， ∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋(a 2＋BE 2)＋(a 2＋CD 2)．∵BE ⊥AM 于E ，CD ⊥AM 于D ，∴∠E ＝∠CDM ＝90°，∴a 2＋BE 2＝BM 2＝14BC 2，a 2＋CD 2＝CM 2＝14BC 2， ∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋12BC 2. ∵AP PM＝1，∴AP ＝PM. ∵∠BPC ＝90°，AM 是△ABC 的中线，∴PM ＝12BC. 若△ABC 是锐角三角形，则AM ＝AP ＋PM ＝PM ＋PM ＝2PM ＝BC ，∴AB 2＋AC 2＝2BC 2＋12BC 2＝52BC 2， 即AB 2＋AC 2＝2.5BC 2.③结论：锐角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2， 钝角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2－2k ＋22BC 2.。
勾股定理及逆定理习题及答案
勾股定理及逆定理习题及答案1、由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（）2、由于0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（）3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有( )（1）9，12，15; （2）15，36，39;（3）12，35，36 ; （4）12，18，22.4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是（）cm2 .(A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（）.(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( )A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为 2.5 m的木梯，准备把梯子架到 2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( )A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m 8．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距（ ）海里．9. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝ 12 b ，则△ABC 是什么特殊三角形？1ｘ 2.ｘ ３．（1）(2)(4) B (5)D 6.A 7.A(8)50海里9. 解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ，所以(c ＋a)(c －a)＝2b·12b.所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形．。
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2019届中考数学复习 专题26 直角三角形、勾股定理及逆定理试题（B 卷，含解析）一、选择题1. （ 安徽，10，4分）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC,AB=6，BC=4.P 是△ABC 内部的一个懂点，且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP 长的最小值为（ ） A.23B.2C.13138D.131312【答案】B.【逐步提示】先根据三角形内角和和已知条件求出∠APB =900,并根据圆周角定理判断出动点P 的活动轨迹，把问题转化为圆外一点与圆上动点的最值问题，最后根据勾股定理即可求解.【详细解答】解：如图，∵AB ⊥BC,∴∠ABP+∠CBP=900,∵∠CBP=∠BAP,∴∠ABP+∠BAP=900,∴∠APB=900,∴点P 在以AB 为直径的⊙E 落在△ABC 内部的部分，当点C,P,E 在一条直线上时，CP 取最小值，此时由勾股定理得CE=2243+=5，CP=CE-PE=5-3=2.，故选择B .【解后反思】在动态问题中求两点之间距离的最值问题，一般应先确定动点的活动规律，再运用相关知识求解，此类问题与圆结合的较多.【关键词】最值问题，圆的性质，勾股定理，动态问题2. （ 江苏省连云港市，7，3分）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中161=S ，452=S ，115=S ，146=S ，则=+43S S A ．86 B ．64 C ．54 D ．48图2图1S 6S 5S 4S 3S 2S 1【答案】C【逐步提示】本题考查了勾股定理的应用，找出这些面积之间的关系是解题的关键．先根据等边三角形的面积公式和扇形的面积公式，得出1S ，2S ，3S 之间的关系以及4S ，5S ，6S 之间的关系，最后可得出结论．【详细解答】解：设直角三角形的三边长为a ，b ，c ；则214S =，234S b =，224S =，∵222a b c +=，∴321451629S S S =-=-=；设图2中的扇形的圆心角为α，则24360S c α=π，25360S a α=π，26360S b α=π，同样得到465111425S S S =+=+=，∴34292554S S +=+=，故选择C ．【解后反思】由于等边三角形的面积是与边长的平方成正比例的，扇形在圆心角相同的情形下也是与半径即边长的平方成正比例的，而勾股定理又是与边长的平方有关的，于是可得出321S S S =-以及465S S S =+之间的关系，从而使问题得以解决．【关键词】勾股定理；等边三角形的面积；扇形的面积；；3. （江苏省无锡市，10，3分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，△ABC 绕点C 顺时针旋转得△A 1B 1C ，当A 1落在AB 边上时，连接B 1B ，取BB 1的中点D ，连接A 1D ，则A 1D 的长度是（ ）AB．C ．3D．A 1DBB 1【答案】A【逐步提示】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理以及中位线等，解题的关键是构造出求A 1D 边长所需的直角三角形，本题的思路是要求A 1D 的长度，过点D 作DE ⊥A 1B ，求出A 1E 和DE ，利用勾股定理可求出A 1D 的长度，可先证明△ACA 1、△BCB 1为等边三角形，再利用中位线和等边三角形的性质求出A 1E 和DE 的长．【详细解答】解：∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，∴∠A ＝60°，AB ＝4， ∵CA ＝CA 1，∴△ACA 1为等边三角形，∴∠A 1CA ＝∠CA 1B 1＝60°，AA 1＝2， ∴A 1B 1∥AC ，∴A 1F 是△ABC 的中位线，即A 1F ＝12AC ＝1， ∵∠A 1CB 1＝∠ACB ＝90°，∴∠BCB 1＝∠ACA 1＝60°， ∵CB ＝CB 1，∴△BCB 1为等边三角形，∵F 为BC 中点， ∴B 1F 为等边△BCB 1的高，∴B 1F＝＝3， 过点D 作DE ⊥A 1B ，∵D 为BB 1的中点，DE ∥BF ，∴E 为B 1F 的中点， ∴EF ＝1.5，DE ＝12BF在Rt △A 1DE 中，A 1DA .【解后反思】本题解题思路，求“斜”线长，常考虑构造直角三角形，本题有两个中点，点A 1和点D ，与中点想中位线也是常用思路，总之本题综合了好几个知识点，平时多积累解题经验特别重要． 【关键词】勾股定理；等边三角形的性质；中位线；旋转；转化思想；好题；4. （江苏省宿迁市，7，3分）如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则FM 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．1NMFE D CBA（第7题图） 【答案】B【逐步提示】根据翻折前后对应的线段相等，可以知道AB =BF ，又M 为BC 中点，故BM =1，在直角△BMF 中，利用勾股定理即可求出FM 的长． 【详细解答】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AB =BC =2∵M 、N 是一组对边的中点 ∴ MN ⊥BC ，且BM =1∵△BEF 是由△BEA 翻折得到的， ∴AB =BF 在Rt △BFM 中，FM =3122222=-=-BM BF ，故选择B ．【解后反思】折叠问题是属于轴对称变换，折叠后图形的形状和大小不变，三角形折叠后得到的三角形与原三角形全等，对应边和对应角相等。
勾股定理是求线段长度的常用方法，当在一个直角三角形中知道关于边的两个条件，即可使用勾股定理求出直角三角形的各边长，要熟练掌握． 【关键词】 正方形的性质；翻折；勾股定理；；二、填空题1. （ 安徽，14，5分）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处.有下列结论：①∠EBG=450；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG =23S △FGH ；④AG+DF=FG.其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上） A A 1DBB 1EF【答案】①③④.【逐步提示】由折叠得到相等的角和相等的线段，结合矩形的性质可求∠EBG 的度数；在Rt △DEF 和Rt △FGH 中根据勾股定理建立方程分别求出DE,GH,FG 的长，根据相似三角形的判定方法对②进行判断，根据三角形面积公式对③进行判断.④可以根据各线段的长度直接进行判断.【详细解答】解：由折叠知∠ABG=∠FBG,∠FBE=∠CBE,∴∠EBG=21∠ABC=450,①正确；又BC=BF=10，由勾股定理求得AF=22610-=8，DF=2，设CE=EF=x,由勾股定理得x 2=22+(6-x)2,x=310,DE=38;又AB=BH=6，HF=4，设AG=GH=y,由勾股定理y 2+42=(8-y)2,y=3,GF=5，∵34238236=≠==AG AB ,∴△DEF 与△ABG 不相似，②错误；S △ABG =96321=⨯⨯，S △FGH =4321⨯⨯=6，故③正确；AG+DF=3+2=5=FG,④正确，故答案为①③④. 【解后反思】1.凡涉及到折叠的问题，我们都找到其中的相等的角和相等的边；2.在直角三角形中，根据勾股定理若能建立关于一个未知数的方程，那么这个直角三角形的三边的长就可以分别求出来，这是我们解决直角三角形问题时常用的方法之一.【关键词】 折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定，矩形的性质，三角形的面积2. （ 甘肃省天水市，16，4分）如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴，y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 翻折，点A 落在A ′位置，若OBtan ∠BOC ＝12，则A ′的坐标为______．【答案】(－35，45)．【逐步提示】本题是坐标系中的图形折叠问题，考查了坐标与图形的性质，主要涉及轴对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定等知识以及勾股定理的灵活运用．解题的关键是过点A ′作A ′E ⊥OC 于点E ，将问题转化为求线段A ′E 和OE 的长，然后根据第二象限的点的坐标特征得到点A ′的坐标．其中最关键的是求线段A ′E 和OE 的长．先根据OB，tan ∠BOC ＝12，求出BC ＝1，OC ＝2．再设OC 与A ′B 交于点F ，由折叠及矩形的性质可证FO ＝FB ．然后设OF ＝x ，得FB ＝x ，CF ＝2－x ，进而在Rt △BCF 中运用勾股定理构建方程求出x 值，得到线段OF 的长．最后，在Rt △OA ′F 中，结合A ′E 是斜边OF 上的高及折叠产生的OA ′＝OA ＝1，综合运用勾定理及面积的不同表示方法就可求得A ′E 和OE 的长．【详细解答】解：如图，过点A ′作A ′E ⊥OC 于点E ，设OC 与A ′B 交于点F ．∵OBtan∠BOC＝BCOC＝12，∴BC＝1，OC＝2．∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，AB∥OC，OA＝BC＝1．∴∠OBA＝∠FOB．由折叠，知∠OBA＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO．∴FO＝FB．设OF＝x，则FB＝x，CF＝OC－OF＝2－x．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC2＋CF2＝FB2，∴12＋(2－x)2＝x2，解得x＝54，∴OF＝54．又由折叠，知OA′＝OA＝1，∠OA′F＝∠OAB＝90°，∴A′F34．∴S△OA′F＝12OA′·A′F＝12OF·A′E，∴1×34＝54×A′E，解得A′E＝35．又在Rt△OA′E中，OE＝45．∴点A′的坐标是(－35，45)．故答案为(－35，45)．【解后反思】本题还可以从相似三角形的角度思考解决．如在求出OF＝BF＝54后，可得CF＝OC－OF＝2－54＝34，然后通过证明△OA′E∽△BFC，产生相似比A EFC′＝OEBC＝OABF′，得到34A E′＝2OE＝154，从而求出线段A′E和OE的长．这类沿着矩形对角线翻折的矩形折叠问题中，“等腰三角形△FOB”是一个基本图形结构，必须熟识并掌握其证明方法．【关键词】矩形的性质；轴对称变换；锐角三角函数的定义；勾股定理；在坐标系中求解几何图形中点的坐标；方程思想；数形结合思想；面积法．3.（湖北省十堰市，14，3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=213cm,AD=4cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长__________cm.【答案】4【逐步提示】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题的关键是△DBC 比△ABC 的周长长等于BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理，分别表示出△DBC 的周长与△ABC 的周长，找出BD-AC 的值即可.【详细解答】解： 如图，设AC 与BD 交于点F,因为AB=213cm,AD=4cm,AC ⊥BC ，所以 AC=6364)132(2222==-=-BC AB ;因为平行四边形ABCD 中，所以，AF=FC,BF=DF;BF=5342222=+=+CF BC , BD=10;因为△DBC 的周长=BD+BC+CD=10+AB,△ABC 的周长=AB+BC+6,所以△DBC 比△ABC 的周长长4.【解后反思】平行四边形的对边相等和对角线互相平分、勾股定理是初中数学中的重点，但是，求出△DBC 比△ABC 的周长长等于BD-AC ，却是一个难点，需要应用整体的数学思想进行处理.解法拓展：本题也可以过点D 作DE ⊥BC 于E ，用勾股定理计算后完成.【关键词】勾股定理; 平行四边形的性质;三、解答题1. （ 甘肃省天水市，25，10分）（1）（3分）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD和等边△ACE ，连结BE 、CD ，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE ＝CD ； （2）（3分）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边分别向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连结BE 、CD ，猜想BE 与CD 有什么数量关系？并说明理由； （3）（4分）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B 、E 的距离，已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长（结果保留根号）．图1 图2 图3F【逐步提示】本题是一道几何综合问题，考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形、等腰直角三角形以及正方形的性质，勾股定理．解题的关键是（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，即得图形．再利用“SAS”证得△CAD≌△EAB，即可利用全等三角形的对应边相等证得BE＝CD．（2）猜想BE＝CD，证明方法和（1）相同．（3）“按图索骥”，根据（1）、（2）的经验，以AB为直角边向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD＝90°，则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，然后利用勾股定理先在Rt△ABD中求出BD的长，再在Rt△DBC中求出CD的长，即得BE的长．【详细解答】解：（1）完成作图，如下图所示．证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°．∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB．∴△CAD≌△EAB．∴CD＝EB，即BE＝CD．（2）BE＝CD．说理如下：∵四边形ABFD和ACGE都是正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB．∴△CAD≌△EAB．∴CD＝EB，即BE＝CD．（3）如图，由（1）（2）的解题经验可知，以AB为直角边向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD＝90°，则AD ＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝连接CD，则由（2）可得BE＝CD．∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝90°．在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝∴CD＝AB D∴BE 的长为【解后反思】运用构造法解几何题时，可以根据题设条件或结论所具有的性质、特征，构造出满足条件或结论的一个基本图形生成新的结论，从而在条件与结论之间架起一座“桥”，把一个复杂问题的条件明朗化，使问题获得简捷明了的解答方法．（1）（2）这两问的共性是围绕等边三角形和正方形能产生含有公共顶点的两组相等的边，并在这一顶点处通过角的和差计算得到新的相等的两个角，具备“SAS ”的全等三角形结构．求解第（3）问的难点是运用构造法在图3中构造出该图形结构．这对同学们的知识学习迁移的能力有较高要求．另外，尺规作图问题是近几年中考热点题型，需要同学们熟练掌握五种基本尺规作图：1. 作一条线段等于已知线段．2. 作一个角等于已知角．3. 平分已知角．4. 作一条线段的垂直平分线．5. 经过直线外一点作这条直线的垂线．【关键词】等边三角形；三角形全等的识别；全等三角形的性质；正方形的性质；勾股定理；画线段；综合法证明；学习型阅读理解问题；构造法．2. （ 湖南省益阳市，20，10分）在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，求△ABC 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你．．按照．．他们的解题思路完成解答过程．．．．．．．．．．．．．．【逐步提示】按学习小组给出了下面的解题思路进行解答．【详细解答】解：如图，在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13， 设BD x =，∴14CD x =-． 由勾股定理得：2222215AD AB BD x =-=-， 2222213(14)AD AC CD x =-=--， ∴2215x -=2213(14)x --，解之得：9x =．∴12AD =．∴12ABC S BC AD ∆=11412842=⨯⨯=．【解后反思】根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型是解答此题的关键． 【关键词】勾股定理；方程模型。