第五章 数值计算
热流问题数值计算Chapter 5(1)
主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER 2007年11月29日, 西安热流问题数值计算第五章有回流的流动与换热第流场数值计算概述5.1.1两类主要流动与两类数值解法5.1.4两种构造对流项离散格式的方法1.两类主要流动2.两类数值求解方法5.1 流场数值计算概述5.1.2强制对流的涡量方程5.1.3一维模型方程5.1.1 两类主要流动与两类数值解法回流型，其基本区别在于是否存在漩涡(vortex)vorticity) 的区别漩涡是一种宏观的流动形态，特点是流体速度发生反转；涡量是粘性流体的基本特性，只要是粘性流体流动中必有涡量。
动力工程中大多为回流型（椭圆型）流动。
本章仅介绍回流型流动的数值解法。
2. 两类数值求解方法数值求解回流型的流动可以大别为原始变量法与涡量流函数法。
原始变量法u,v,p为求解变量，由于不可压缩流体没有关于压力的独立的方程，数值求解时需要做特殊处理；5.1.3一维模型方程为研究离散格式基本特点又不使过程复杂化，5.1.4两种构造对流项离散格式的方法1. Taylor控制容积积分法－给出界面上被求函数的插值方式对同一种格式，如控制容积积分法得可以认为是控制容积内导数积分中5.2.1 中心差分5.2.2 迎风差分5.2.3 混合格式5.2.4 指数格式5.2.5 乘方格式5.2对流扩散方程的离散格式本节中通过将一维模型方程在取分段线性型线，经整理可得：()eexδΓ+−EaWa做如下变化：()e e x δΓ++为保证代数方程迭代求解的收敛性，我们要求计算中质量守恒一定要满足，于是下列两点边值问题：Pe 随当当当得出结果如右。
，4P =100,W φ=5.5.2 一维对流-扩散方程的迎风控制容积法的定义－界面上未知函数永远取上游Patankar教授提出一种专门符号表示FORTRAN 的Max：,X Y，于是有：(),0,0e P e E eu F Fρφφφ=−−类似地有：(),0,0w W w P wu F Fρφφφ=−−3.对流项一阶迎风、扩散项中心差分的离散方程P P E E W Wa a aφφφ=+,0E e ea D F=+−()P E W e wa a a F F=++−,0W w wa D F=+由于0,0E W a a ≥≥因此FUD 总可以得出物理上合理的解（physically plausible solution )，自五十年代提出以来，半个世纪中得到广泛地采用。
数值计算05-回归分析
ˆ 的置信区间为 [0.6047,0.834]; 1
r =0.9282,
2
F=180.9531,
p=0.0000
p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.
3、残差分析，作残差图： rcoplot(r,rint) 从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残 差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而 第二个数据可视为异常点. 4、预测及作图： z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
数值计算 第五章 回归分析
Galton公式:
y 33.73 0.516x
其中x 表示父亲身高， y 表示成年儿子的身高 （单位：英寸，1英寸=2.54厘米）。
y(cm) 160.07 168.23 173.39 178.55 x(cm) 150 160 170 180
183.71
188.87 194.03
190
200 210
回归分析的内容
回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题： （i）建立因变量y与自变量x 1, x2 ,… , xm 之间的回归 模型（经验公式）； （ii）对回归模型的可信度进行检验； （iii）判断每个自变量x i(i=1,2,…,m) 对y 的影响是否 显著； （iv）诊断回归模型是否适合这组数据； （v）利用回归模型对y 进行预报或控制。
一元回归的Matlab实现
1、确定回归系数的点估计值：b=regress( Y, X ) 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 3、画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）
半导体器件微观结构和物理性质的数值计算研究
半导体器件微观结构和物理性质的数值计算研究第一章：引言近年来，随着半导体器件在电子技术中的广泛应用，对其微观结构和物理性质的认识和研究变得尤为重要。
快速发展的计算机科学为研究人员提供了一种新的方法，即利用数值计算技术来探究半导体器件的微观结构和物理性质。
本文旨在介绍半导体器件微观结构和物理性质的数值计算研究的重要性，并对其研究方法和应用进行探讨。
第二章：半导体器件的微观结构半导体器件的微观结构是指其内部晶体结构和原子间的排列方式。
在研究半导体器件的微观结构时，我们可以使用分子动力学模拟、密度泛函理论等数值计算方法。
分子动力学模拟可以通过模拟原子间的相互作用力来获取器件内部原子的位置和速度信息，从而揭示器件的微观结构。
而密度泛函理论则通过求解薛定谔方程来计算能带结构、电子密度和电子态密度等物理性质。
这些数值计算方法可以为我们提供有关器件内部原子位置、晶体缺陷、晶界以及材料的电子性质等方面的信息。
第三章：半导体器件的物理性质半导体器件的物理性质是指其在电磁场、热场以及应力场等外部条件下的响应行为。
对于半导体器件的物理性质研究，数值计算方法同样发挥了重要作用。
例如，我们可以利用有限元方法对应力场对器件性能的影响进行模拟和计算。
此外，利用数值计算手段，我们还可以研究材料的光电响应特性、载流子输运行为以及材料表面和界面的物理性质。
这些数值计算方法为我们揭示半导体器件的物理性质提供了有效的手段。
第四章：半导体器件微观结构和物理性质相关性的数值计算研究半导体器件的微观结构和物理性质之间存在着紧密的关联。
在数值计算研究中，我们可以通过模拟和计算分析器件的微观结构对器件的物理性质产生的影响。
例如，研究晶体缺陷对器件性能的影响可以揭示晶体缺陷与载流子的相互作用机制，从而优化器件的设计和性能。
此外，通过研究材料的表面和界面结构以及与之相关的物理性质，我们可以改善器件的光电性能和寿命。
因此，将微观结构和物理性质的数值计算研究相结合，可以为我们提供更深入的了解和优化半导体器件的方法。
(完整版)Mathematica数值分析和数值计算
第五章 数值分析和数值计算1． 如何求插值多项式给定n 个点( x i ,y i )，(i=1,2,…,n)，构造一个次数不超过n-1的多项式函数f(x)，使得f(x i )=y i ，则称f(x)为拉格朗日插值多项式。
可以证明该多项式函数由公式))...()(())...()((...))...()(())...()(())...()(())...()((1211212321231113121321--------++------+------=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y唯一给定。
Mathematica 提供了根据插值点数据计算拉格朗日插值多项式的函数InterpolatingPolynomial ，下面是其调用格式：InterpolatingPolynomial[data,var]作出以data 为插值点数据，以var 为变量名的插值多项式。
例：在多数情况下，我们构造插值函数的目的在于计算函数f(x)的值，而并不在意插值多项式的具体表示形式。
对于拉格朗日插值多项式，当n 较大时，得到的高次插值多项式由于截断误差和舍入误差的影响，往往误差较大。
此时在实际应用中，一般采用分段插值。
Mathematica 提供了分段插值函数Interpolation ，其使用格式为：Interpolation[data,InterpolationOrder->n]这里InterpolationOrder->n 指定插值多项式的次数，默认值为3。
此外数据data 中还可以包括插值点处的导数，格式为：{{x1,{y1,dy1}},{x2,{y2,dy2}},…}例：已知f(0)=0,f(1)=2,f’(0)=1,f’(1)=1,求3次插值多项式f(x)，并计算f(0.72)和画出函数f(x)在[0,1]区间上的图形。
数值计算方法 第5章复习
第五章 常微分方程数值解法一、考核知识点：欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法。
二、考核要求：1．熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法求微分方程近似解的方法。
2．了解龙格-库塔法的基本思想；掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的方法。
3．了解稳定性。
三、重、难点分析例1 用欧拉法，预估——校正法求一阶微分方程初值问题⎩⎨⎧=-='1)0(y y x y ，在0=x （0.1）0，1近似解 解 （1）用1.0=h 欧拉法计算公式n n n n n n x y y x y y 1.09.0)(1.01+=-+=+，01n =，计算得 9.01=y 82.01.01.09.09.02=⨯+⨯=y（2）用预估—校正法计算公式1,0)(05.01.09.0)0(111)0(1=⎩⎨⎧-+-+=+=++++n y x y x y y x y y n n n n n n n n n计算得91.01=y ，83805.02=y例2、取0.1h =, 用改进欧拉法预测－校正公式求初值问题⎩⎨⎧=++='1)0(12y y x y 在0.10.2x =，处的近似值. 计算过程保留3位小数.解：改进欧拉法预测－校正公式为2n 12211111(,)(1)[(,)(,)](2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n y y hf x y y h x y h h y y f x y f x y y x y x y ++++++⎧=+=+++⎪⎨=++=+++++⎪⎩，由h =0.1,x 0=0，y 0=1，x 1=0.1，有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++++==+++=227.1)2.11.0102(21.012.1)101(1.0122121y y ， 由h =0.1,x 1=0.1，y 1=1.227，x 2=0.2，有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++++==+++=528.1)488.12.0227.11.02(21.0227.1488.1)227.11.01(1.0227.122222y y ， 故，所求y (0.1)≈y 1=1.227 y (0.2)≈y 2=1.528。
数值计算方法第05章插值法
n( x0 ) a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0
n
(
x1
)
a0
a1 x1
a2 x12
an x1n
y1
n( xn ) a0 a1 xn a2 xn2 an xnn yn
17
1 x0 x02 x0n a0 f ( x0 )
一次
二次
三次 15
➢ 三个基本问题
插值多项式n(x)是否存在唯一？ 若n(x)存在, 截断误差 f (x)－n(x)=? 如何求n(x)？
16
➢ 插值多项式n(x)的存在唯一性
n 次多项式n(x)有(n+1)个待定系数ai (i=0, 1, 2, …, n), 插值条件 n(xi)= f (xi)= yi (i=0, 1, 2, …, n)也是
表2.1.1 刹车距离实验数据
v 20 25 30 35 40 45 50
d 42 56 73.5 91.5 116 142.5 173
v 55 60 65 70 75 80
d 209.5 248 292.5 343 401 464
插值法是一种古老的数学方法。早在1000 多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值 和二次插值的实例。
伟大的数学家：拉格朗日（Lagrange）、牛顿 Newton）、埃尔米特（Hermite）等人分别给出了 不同的解决方法。
生产实践中常常出现这样的问题：给出一批 离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑 曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映 在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻 求它的分析表达式。因为由函数的表格形式 不能直接得出表中未列点处的函数值，也不 便于研究函数的性质。此外，有些函数虽有 表达式，但因式子复杂，不容易算其值和进 行理论分析，也需要构造一个简单函数来近 似它。
数值计算方法及其应用
数值计算方法及其应用第一章引言数值计算方法是一种基于数学分析和计算机技术的计算方法，是概括了现代计算各个领域的一类方法。
随着计算机技术的不断进步，数值计算方法已经成为了计算机科学中的一个重要领域，涉及到计算机科学、数学、物理、工程等领域。
本文将从数值计算方法的基本概念、数值计算方法算法的分类、数值计算方法的优缺点以及数值计算方法的应用等方面加以探讨。
第二章数值计算方法的基本概念数值计算方法是使用数学方法和数值技术处理各种数学问题的一种方法。
它是一种解决数学问题的有效工具，不同于传统的数学方法，数值计算方法采用的是数值计算机计算技术，使得计算机可以精确计算、预测和模拟各种数学问题，如数值微积分、连续函数数值解、离散方程数值解等。
数值计算方法的核心概念就是数值算法，数值算法是指实现数值计算方法的算法，包括基于数学分析的算法和基于经验数据的算法。
第三章数值计算方法算法的分类数值计算方法算法可以分为以下几类：1.数值微积分算法2.解线性方程组的数值方法3.常微分方程的数值解法4.偏微分方程的数值解法5.数值优化方法6.数值统计算法7.数学模型的数值计算方法第四章数值计算方法的优缺点数值计算方法的优点：1.数值计算方法可以解决非常复杂和高度非线性的数学问题2.数值计算方法无所不能，可做大量的计算3.数值计算方法具有较高的可重复性和可验证性4.数值计算方法可以通过计算机进行高速计算，节省了人力成本和时间成本数值计算方法的缺点：1.数值计算方法的实现程序错误会导致计算结果失真2.数值计算方法对于计算精度的要求很高3.数值计算方法对于计算机硬件和软件的要求也很高第五章数值计算方法的应用数值计算方法已经被广泛应用于各个领域，如：1.科学研究：能够用计算机进行大规模复杂计算，计算机模拟得出科学研究结论，如气象学模拟，生命科学中的反应动力学分析等。
2.工程设计：例如结构力学分析、电路设计、流体力学分析和控制系统等。
3.数据科学：如数据挖掘、计算机视觉、自然语言处理、人脸识别等。
于开平-结构动力学第十五讲
xt t
( xt t xt ) (1 ) xt (1 )txt t 2
K K a0 M a1C
将它们同时代入第三个方程，只剩下待求时刻的位移，整理得 Kxt t Qt t
Qt t Qt M (a6 xt a2 xt a3 xt ) C (a1 xt a4 xt a5 xt )
x(t ) lim
x(t t ) x(t ) xt t xt t 0 t t
1 x x x x xt t t t t t t 2 t t
x(t ) lim
x(t ) x(t t ) xt xt t t 0 t t
2.3 纽马克方法(Newmark method)
对待求的下一时刻的位移、速度和加速度在当前时刻������进行泰勒展开
1 1 x (t t ) x (t ) tx (t ) t 2 x (t ) t 3 x (t ) O(t 4 ) 2 6 1 x (t t ) x (t ) tx (t ) t 2 x (t ) O(t 3 ) 2 x (t t ) x (t ) x (tn ) O(t ) x(t t ) x(t ) tx (t ) O(t 2 ) t
(2) 确定初始值
x 0 , x 0 , x0
x0 = M 1 (Q (0) Cx0 - Kx0 )
1 1 2
(3) 选择时步长∆������ , 使它满足∆������ < ∆������������������ = ������������ /������(������������ 为系统的最小周期)
结 构 动 力 学
第五章 结构动力学中常用的数值算法
热流体数值计算基础第5章 流场的数值计算
P
N
n
t
nb
P
T
t
* at wt* anb wnb
* * an vn anb vnb
* * * * ae ue anb unb b PP PE Ae
b P P A b P P A
* P * N n
* P * T
t
P*——估计的压力场； u* ，v* ，w*——估计的速度场。
p p * p
u u * u
v v * v
w w* w
* PE ue u e d e PP * PN vn vn d n PP
anbunb PP PE Ae aeue
半隐
de
a E e d e yz aW w d w yz a N n d n zx
aS s d s zx
aT t d t xy
a B b d b xy
b
*
aP aE aW a N aS aT aB
0 P
v
Ae ae
PT wt wt* d t PP
5.3 压力修正算法 —— SIMPLE算法
2.压力修正方程 连续性方程：
u v w 0 t x y z
对控制体积积分
0 P P xyz u e u w yz t v n v s zx wt wb xy 0
● 非线性问题
迭代法
● 存在未知压力场
将连续性方程中的间接信息转换成用 无直接求解压力P的方程； 于计算压力的一个直接算法。
三个方程复杂的耦合在一起。
数值积分与数值微分21599
b
a
f ( x)dx I n Ak f ( xk ) 至少具有n次代数精度，
k 0
n
所以用插值基函数lk(x)当作f(x)代入，上式精确成立，即：
b
a
lk ( x)dx I n Aj lk ( x j ) Ak
n
j 0
n
所以 I n Ak f ( xk ) 为插值型的求积．
b a 1i n
则称求积公式是收敛的． 中，由于计算 f(xk) 定义 在求积公式a f ( x)dx Ak f ( xk )
b n
可能产生误差，实际得到 fk 即： f ( xk ) fk k n n 记 I n ( f ) Ak f ( xk )，I n ( f ) Ak f k 如果对任
由书中表知，当 n 8 时柯特斯系数出了负值，所以
(n) (n) C C k k 1 k 0 k 0 n n
故 n 8 时Newton-Cotes 公式不适用。
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
二、偶数阶求积公式的代数精度
n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。 证明： 当n 为偶数时，由于有 f ( n1) ( x) ( xn1 )( n1) (n 1)!
余项
b
余项 R[ f ]
b a 4 (4) h f ( ) , 180
( a, b) , h
ba 2
2019/4/23
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n = 4: C
(4) 0
7 (4) 16 (4) 2 (4) 16 (4) 7 , C1 , C2 , C3 , C4 柯特斯公式 90 45 15 45 90
第5章多自由度系统的数值计算方法
第5章多自由度系统的数值计算方法在工程实践中，我们经常会遇到多自由度系统（Multiple Degree of Freedom，简称MDOF）的问题，例如振动台、建筑结构等。
这些系统通常由多个自由度所组成，因此其运动方程会比单自由度系统更加复杂。
因此，我们需要使用数值计算方法来求解这些系统。
在本章中，我们将介绍两种常见的数值计算方法，包括直接积分法和模态叠加法。
一、直接积分法直接积分法，也称为时步法或时间积分法，是一种常用的求解MDOF系统的数值计算方法。
它的基本原理是将多自由度系统的运动方程转换为一组一阶常微分方程。
然后，利用数值积分方法，如欧拉法、Runge-Kutta法等，对这组常微分方程进行求解，得到系统的运动响应。
直接积分法的主要步骤如下：1.确定系统的运动方程：根据多自由度系统的动力学原理，可以得到系统的运动方程。
一般来说，这个方程是非线性方程，通常需要进行线性化处理。
2.将运动方程转化为一阶常微分方程组：将系统的运动方程进行适当的变换，将其转化为一组一阶常微分方程。
这样，就可以使用数值积分方法对其进行求解。
3. 选择数值积分方法：选择适合系统的数值积分方法，例如欧拉法、Runge-Kutta法等。
这些方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代来逼近准确解。
4.进行数值计算：根据选择的数值积分方法，进行迭代计算，得到系统的运动响应。
尽管直接积分法是一种广泛应用的数值计算方法，但也存在一些问题。
例如，随着自由度的增加，计算量会大大增加。
此外，由于数值积分方法的局限性，可能会出现数值不稳定、数值发散等问题。
二、模态叠加法模态叠加法是求解MDOF系统的另一种常用数值计算方法。
该方法基于模态分析的思想，将MDOF系统的运动方程转化为一组无耦合的一自由度系统的运动方程。
然后，按照模态响应的叠加原理，将各个模态的响应相加，得到系统的总体响应。
模态叠加法的主要步骤如下：1.确定系统的模态参数：通过模态分析方法，可以得到系统的模态参数，包括模态频率、振型等。
《数值计算方法》复习资料
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算CH5常微分方程数值解法—51引言(基本求解公式
h5 R(Sk ) 180 16
f (4) (k , y(k ))
将以上求积公式代入(11)式, 并加以处理, 得求解公式：
2021/4/21
23
(一) 矩形求解公式
由 以及 可得
y(xk ) y(xk1)
xk xk 1
f (x, y)dx
xk xk 1
f
(x,
y)dx
hf
( xk 1,
(4)式中区间 [x j , x上j1第] 一等式的一般格式：
1
h
y j1 y j
y(x j
)
h 2
y' ' (
j
)
f
(x
j
,
y
j
)
h 2
y' ' (
j
)
即
y j1
yj
hf (x j , y j )
h2 2
y''( j )
j 0,1,, n 1
得近似解及误差：
y
j
1
yj
hf
(x j ,
解: 由(9)式, 有
y1
y0
h( y0
2 x0 y0
)
1
0.1(1
20) 1
1.1
y1
y0
h( y1
2 x1 y1
)
1
0.1(1.1
2 0.1) 1.1
1.0918
y2
y1
h( y1
2 x1 y1
)
1.0918
0.1(1.0918
2 0.1 ) 1.0918
1.1827
y2
y1
15 高斯型积分
高斯积分
y
y
x
梯形插值积分选择被 积函数端点构造线性函 数，近似被积函数。
18
x
x1
x2
高斯积分选择积分区 间内的点，构造函数， 近似被积函数。
二点高斯积分
例：计算积分 1.5 exdx 1
解：
方法一、牛顿 -莱布尼兹公式：
1.5 exdx e1.5 - e 1.763407241879019 1
由正交性知ω(x)与1及x带权正交，即得
1
1
0 x( x)dx 0, 0 x x( x)dx 0.
于是得
2 2 b 2 c 0, 2 2 b 2 c 0.
75 3
97 5
16
由此解得 即
10
5
b , c .
9
21
( x) x2 10 x 5 .
b xm ( x)dx
a
m 0,1, ,2n 1.
(6.5)
k0
当给定权函数(x)，求出右端积分，则可由(6.5)式解
得xk及Ak(k=0,1, ,n).
由于(6.5)式是关于xk及Ak(k=0,1, ,n)的非线性方 程组,当n>1时求解是困难的.只有在节点xk(k=0,1, ,n) 确定以后，方可利用(6.5)式求解Ak(k=0,1, ,n)，此时
b
I a f ( x)( x)dx
这里(x)为权函数，类似(1.3)式，它的求积公式为
6
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk ).
(6.4)
k0
在这个求积公式里Ak(k=0,1, ,n)为不依赖于f(x)的求 积系数， xk(k=0,1, ,n)为求积节点，可适当选取xk及 Ak(k=0,1, ,n)使(6.4)式具有2n+1次代数精度.
数值计算方法(第5章)1 深圳大学 科学与工程计算 数值分析 PPT课件
5
1 19, 75,50,50, 75,19 288
6
1 41, 216, 27, 272, 27, 216, 41 840
7
1 751,3577,1323, 2989, 2989,1323,3577, 751 17280
8
1 989,5888, 928,10496, 4540,10496, 928,5888,989 28350
其中
RT
[
f
]
（b a）3 12
f
'' (
)
(a,b)
y f (x)
f (x) Ln (x) Rn (x)
由Lagrannge插值,任何一的函数
都
L可n (x以) 近似l的j (x表) y示j是成f (x)的Lagrage插值多项式。
j0
其中
为简便起见,取节点为等分
h ba,x
25几个常用的求积公式的代数精度几个常用的求积公式的代数精度1t公式的代数精度公式具有一次的代数精所以xdxdxs公式的代数精度成立所以xdxdx27精确成立28精确成立同理可得n公式具有三次代数精度c公式具有五次代数精度
第5章 数值积分
引言
在数学分析中，我们学习过微积分基
本定理 Newton-Leibniz 公式：
Newton Cotes积分公式
定义 设f (x)是[a, b]上的连续函数，将
[a, b]区间等分n等分，取h
ba n
, xj
a kh
( j 0,1,2..., n), 记f (x j ) f j ,以{x j }0n 为节点作
f (x)的lagrage插值多项式，即
f (x) Ln (x) Rn (x)
数值计算方法褚衍东第五章
数值计算方法褚衍东第五章哎呀呀，亲爱的朋友，今天咱就来唠唠这个《数值计算方法褚衍东第五章》。
这第五章啊，就像是一个神秘的宝库，里面藏着好多实用的宝贝方法。
首先呢，咱来说说第一个关键的方法，就像是打开宝库的第一把钥匙——插值法。
这插值法呀，你就把它想象成你去参加一个猜价格的游戏。
比如说有几个已知的价格点，就像给了你几个提示，然后让你去猜猜中间那些不知道价格的地方大概是多少。
插值法就是帮你根据已知的点，去估摸那些未知的。
具体咋操作呢？比如说给了你几个点（x1,y1），（x2,y2）…… 那咱就可以通过一些公式，像拉格朗日插值公式啥的，来算出中间那些没告诉你的点的数值。
这公式就像是一个神奇的魔法咒语，你得把那些点的坐标带进去，然后就能算出个大概来。
接着，咱们迎来了第二个方法——数值积分法。
这数值积分啊，就好比你要算一块形状不规则的地有多大。
你没办法直接用学过的公式来算，那咋办？咱们就把这块地切成好多小块，每一小块都近似看成一个规则的形状，比如长方形啥的，然后把这些小块的面积加起来，大概就知道整块地的面积啦。
这里面常用的方法，像矩形法、梯形法，你可别被这名字吓到。
矩形法呢，就是把那些小块都看成矩形来计算；梯形法呢，就是把它们看成梯形来算。
再来说说第三个方法——常微分方程数值解法。
这个就有点像你追着一个调皮的小孩跑。
这个小孩的运动轨迹不好直接算，但是咱们可以一小段一小段地去估计他的位置。
比如说，咱们可以用欧拉方法，每一步都根据前面的位置和速度来推测下一步他会跑到哪儿。
在实际操作的时候，你得先确定好初始条件，就像知道小孩从哪儿开始跑，跑得多快。
然后按照公式一步一步地算下去，慢慢地就能大概知道他之后的位置啦。
总之，这第五章里的数值计算方法，虽然听起来有点复杂，但其实就跟咱们日常生活中的一些小事情差不多。
只要你多琢磨琢磨，多练练手，就一定能掌握这些神奇的“魔法”！朋友，加油，相信你能搞定！回头你要是弄明白了，别忘了来跟我分享分享你的成果哟！。
《数值分析》第五章课件
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
山西高等数学教材
山西高等数学教材山西高等数学教材是山西省高等教育教学改革的重要成果之一。
该教材旨在为山西省高校数学专业的学生提供系统、全面、深入的数学学习资源，强调理论与实践的结合，培养学生的数学分析能力和问题解决能力。
第一章线性代数本章以矩阵与行列式为主要内容，通过引入数学对象和符号，使学生理解向量和矩阵的基本概念与性质。
同时，详细介绍线性方程组的求解方法、向量空间与线性相关性等内容，培养学生抽象思维和逻辑推理能力。
第二章微分学本章重点讲解函数、极限、连续性和导数等概念，通过理论推导和实例分析，引导学生正确理解微分学的基本原理和方法。
此外，还介绍了微分学在几何、物理等领域的应用，提高学生的问题解决能力与创新思维。
第三章积分学本章主要探讨不定积分与定积分的概念、性质和运算法则。
通过引入积分的几何意义和物理意义，增加学生对积分学的兴趣和认识。
同时，深入讲解变量替换、分部积分、定积分的应用等相关内容，培养学生的计算能力与问题解决能力。
第四章微分方程本章以一阶微分方程与二阶线性微分方程为主要内容，详细讲解微分方程的基本概念与解法。
通过引入数学模型和实际应用，使学生理解微分方程在科学与工程等领域的重要性，并能运用微分方程解决实际问题。
第五章数值计算本章重点介绍数值逼近与数值求解方法。
通过引入插值多项式、数值积分、常微分方程数值解等知识，使学生掌握数值计算的基本原理和方法。
同时，提供算法流程图和编程实例，培养学生的计算机应用能力。
第六章概率统计本章以概率论与统计学为主要内容，引入概率的基本概念和性质，讲解统计学的基本原理和方法。
通过实例分析和实际应用，培养学生对概率统计的理解和应用能力，使其具备科学研究和决策问题的能力。
总结山西高等数学教材的编写旨在提供全面、系统、科学的数学学习资源，为山西省高校数学专业学生提供优质的教学内容。
通过引入相关理论和实际应用，培养学生分析问题、解决问题的能力，为学生今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
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三、多项式计算
1. 多项式的建立 已知一个多项式的全部根X求多项式系数的函数是poly(X) 该函数返回以X为全部根的一个多项式P，当X是一个长度为m的向量时，P是 一个长度为m+1的向量。 2. 多项式求根 求多项式p(x)的根的函数是roots(P)，这里，P是p(x)的系数向量，该函数返回 方程p(x)=0的全部根(含重根，复根)。 3. 多项式求值 求多项式p(x)在某点或某些点的函数值的函数是polyval(P,x)。若x为一数值， 则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求 其多项式的值。
第五章 MATLAB的数值计算 的数值计算
MATLAB的数值计算功能 的数值计算功能
• 线性代数中的数值计算问题 • 数据统计与分析 • 多项式计算 • 数值微积分 • 常微分方程的数值求解 • 非线性方程组求解
一、线性代数中的数值计算问题
1. 矩阵的实现 2. 矩阵的特征值与特征向量 3. 行列式的值 4. 矩阵的逆及线性代数方程组求解
7、 求累计和、累积积、标准方差与升序排序 求累计和、累积积、 MATLAB提供的求累计和、累积积、标准方差与升序排序等函数分别为 CUMSUM、CUMPROD、STD和SORT，这里仅STD函数为MATLAB程序， 其余均为内部函数。 这些函数调用的参数与操作方式都与上小节的MEDIAN（中值）函数基本 上一样。 8. 曲线拟合 MATLAB中，提供了解决使用最小二乘法进行曲线拟合的函数。 调用格式为： [P,S]=polyfit(X,Y,m) 其中： • 函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样 点的误差向量S。 • X、Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量。
二、数据统计与分析
1、查取最大值 MAX函数的命令格式有： [Y,I]= max (X)：将max(X)返回矩阵X的各列中的最大元素值及其该元素的位 置赋予行向量Y与I；当X为向量时，则Y与I为单变量。 [Y,I]=max(X,[],DIM)：按数组X的第DIM维的方向查取其最大的元素值及其该 元素的位置赋予向量Y与I。 2、查取最小值 MIN函数的命令格式有： [Y,I]= min (X)：将min(X)返回矩阵X的各列中的最小元素值及其该元素的位 置赋予行向量Y与I；当X为向量时，则Y与I为单变量。 [Y,I]=min(X,[],DIM)：按数组X的第DIM维的方向查取其最小的元素值及其该 元素的位置赋予向量Y与I。
4. 多项式的四则运算 (1)多项式的加减法 (2)多项式的乘法 函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。 (3)多项式的除法 函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运 算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q 和r仍是多项式系数向量。 deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。 5. 多项式的导函数 对多项式求导数的函数是： p=polyder(P) 求多项式P的导函数 p=polyder(P,Q) 求P*Q的导函数 [p,q]=polyder(P,Q) 求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
五、常微分方程的数值求解
基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数。 一般调用格式为： [X,Y]=ode23(f,[x0,xn],y0) [X,Y]=ode45(f,[x0,xn],y0) 其中： • X、Y是两个向量，X对应自变量x在求解区间[x1，xn]的一组采样点，其采样 密度是自适应的，无需指定；Y是与X对应的一组解； 由方程的初值给定。 • 函数在求解区间[x0，xn]内，自动设立采样点向量X，并求出解函数y在采样 点X处的样本值。
5、求和 命令格式有： Y=sum(X)：将sum(X)返回矩阵X各列元素之和赋予行向量Y；若X为向量， 则Y为单变量。 Y=sum(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其和赋予Y。若DIM=1， 为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若 X为一维数组，则Y为单变量。 6、求积 命令格式有： Y= prod(X)：将prod(X)返回矩阵X各列元素之积赋予行向量Y。若X为向量， 则Y为单变量。 Y= prod(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其积赋予向量Y。若 DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个 向量；若X为一维数组，则Y为单变量。
四、数值微积分
1、数值微分 MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数。 DX=diff(X) 计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，0<i<n。 DX=diff(X,n) 计算X的n阶向前差分，diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim) 计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差 分，dim=2，按行计算差分。 2、数值积分 (1)被积函数是一个解析式 函数quad(f,a,b,tol,trace)用于求被积函数f(x)在[a,b]上的定积分 其中： • tol是计算精度，缺省值是0.001。 • trace非0时，画出积分图形 调用quad函数时，先要建立一个描述被积函数f(x)的函数文件或语句函数。 (2)被积函数由离散值定义 函数trapz(X,Y) 其中： • 向量X、Y定义函数关系Y=f(X)。
3、求中值 所谓中值，是指在数据序列中其值的大小恰好在中间。例如，数据序列9，-2，5， 7，12的中值为7 。 如果为偶数个时，则中值等于中间的两项之平均值。 MEDIAN函数调用的命令格式有： Y=median(X)：将median(X)返回矩阵X各列元素的中值赋予行向量Y。若X为向 量，则Y为单变量。 Y=median(X,DIM)：按数组X的第DIM维方向的元素求其中值赋予向量Y。若 DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量； 若X为一维数组，则Y为单变量。 4、求平均值 MEAN函数调用的命令格式有： Y= mean(X)：将mean (X)返回矩阵X各列元素之的平均值赋予行向量Y。若X为 向量，则Y为单变量。 Y= mean(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其平均值赋予向量Y。若 DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量； 若X为一维数组，则Y为单变量。
六、非线性方程组求解
函数fsolve调用格式为： X=fsolve(F,X0) 其中： • F为要解的方程组 • x0为给出的方程组的初值解