高等数学--无穷小量

练习：下列函数哪个是无穷小？
A. x2 + x5 (x 0) . C. x tan x (x → 0) E. ln(2 + x) (x → 0)
B. ax −1 (x → 0) D. tan x (x → 0)
x F. ln x (x → +∞)
x
无穷小量的简单性质
①同一变化过程中无穷小的和、差、积都是无穷小 这个结论可以由极限的四则运算得到. 两个无穷小的商则不确定. ②有限个无穷小之和仍然是无穷小
lim
x→0
tan
x− x3
sin
x
=
lim
x→0
x− x3
x
=
lim
x→0
0 x3
=0
正确的 做法是:
lim
x→0
tan
x − sin x3
x
=
lim
x→0
sin
x(1− cos x3 ⋅ cos x
x)
= lim x→0
x⋅ 1 x2 2
x3 ⋅ cos x
= lim cos x ⋅ lim
x→0
y = x2
y = ln x
y = 2x
同一变化过程中,
无穷大量与无穷大量的乘积仍然是无穷大量.
但两无穷大量的和、差、商不能确定其结果.
例如当 x→+∞ 时, x +1 , x − 3 都是无穷大量,
但是当 x→+∞ 时,
x +1− x −3 =
4
→0
x+1+ x −3
无穷大量与无穷小量的关系
1. 在同一个变化过程中， 无穷大量的倒数是无穷小量． 2. 在同一个变化过程中， 不等于零的无穷小量的倒数是无穷大量． 当 x → 0时 x sin 1 是无穷小 . 倒数不是无穷大．
2. 无穷小量阶的比较
定义 假设在同一变化过程中 f (x) , g(x) 都是无穷小. (1) 如果 lim f (x) = 1，
g(x) 则称 f (x) 与 g(x) 是等价无穷小量 .记作 f(x)~g(x)
(2) 如果 lim f (x) = c ≠ 0， g(x)
则称 f (x)与 g(x) 是同阶无穷小量 .
lim sin x = 1, x→0 x
lim ln(1+ x) = 1, x→0 x
所以当 x → 0时,
lim ex −1 = 1, x→0 x
x , sin x , ln(1+ x) , ex −1 都是等价无穷小量 .
例2
1− lim
x→0
cos x2
x
=
1 2
.
所 以 当 x → 0 时 , 1− cos x 是 2 阶无穷小.
因为无穷小量是变量,不是常量.
(2)函数 ln x 是不是无穷小 ?
回答 当 x → 1时,ln x → 0, 因此 lnx 是无穷小.
当 x → 2时, ln x → ln 2 ≠ 0 ,
y = ln x
因此当 x → 2时不是无穷小. 1
(3) 实数零是不是无穷小?
回答 常数零不是无穷小量.理由同上. 但是,在某个变化过程中恒等于零的函数是无穷小量. 因为恒等于零的函数以零为极限.
如果 lim f (x) = 0 , g(x)
则称 f (x) 是 g(x) 的高阶无穷小量 . 记作 f (x) = o[g(x)]
(4) 假设当 x → 0时 , α (x) 是无穷小 .k > 0 .
如果
lim
x→0
α (x) xk
=
c
≠
0
,
则称当 x → 0时α (x) 是 k 阶无穷小.
例1
x→0
x
k
最好再知道例题和习题中某些重要结论.
3
2. 将所求表达式变形为两个重要极限或者已知极限
1
1 sin x
例 (1 + sin x ) x = [(1 + sin x ) sin x ] x
当x
→
0时,(1+ sin
x)
1
sin x →
e, sin x
→ 1,
x
1
1 sin x
所以 lim (1+ sin x) x = lim[(1+ sin x)sin x ] x = e
lim f (x) = 0, g(x) 有界, 即存在正数 M , 使得在这个变化过程中恒有
| g(x) |≤ M 则有 0 ≤| f (x) ⋅ g(x) |≤ M | f (x) |→ 0
从而 f(x)g(x) 也是无穷小量.
例如 x → 0时 x2 是无穷小，sin 1 是有界函数 . x
因此 x → 0时 x2 sin 1 是无穷小 . x
6
=
lim
x→1
(x (x
+ +
1)(x 6)( x
− 1) − 1)
= lim x +1 x→1 x + 6
=
2 7
无穷小小结
1．无穷小量是变量：趋向于零的函数． 2．无穷小的阶：等价、同阶和高阶．比较而定． 3．廉价高效的求极限技巧：等价无穷小代换． 4．需要记住的几个极限． 5．需要掌握的求极限技巧：四则运算、等价代换．
无穷小量和阶的比较
1 无穷小量概念 2 无穷小量阶的比较 3 无穷大量 4 问题研究 5 小结：怎样熟练地求极限
两个重要极限与几个常用极限
lim sin x = 1
1
lim(1+ x) x = e
x→0 x
x→0
lim ln(1 + x) = 1 lim ex −1 = 1 lim ax −1 = ln a(a > 0)
x ln x
当 x → 1时,
y = ln x
sin πx , ln x 都是无穷小 .
1
无穷小的两个基本特征：
①是变量，是处在某个变化过程中的函数.
②绝对值越来越小，趋向于零.
注释 无穷小量是处在某个变化过程中的变量.
因此任意一个非零实数(不论它的绝对值多么小)
都不是无穷小量. 问题 (1) 10−100 是不是无穷小量 ? 讨论 回答 不是! 任何非零实数都不是无穷小.
1− cos x 与 x2 等价. 2
等价无穷小代换
在求极限的过程中，等价的无穷小可以互相代换．
从而可以使问题变得简单．
例3
求极限
lim
x→0
(1− cos x)sin 2x ln(1+ x2 )(ex −1)
解 当 x → 0 时 , 1− cos x 与 x2 等价. sin 2x 与 2x 等价 . 2
x2 x⋅
⋅
1 3
x
1 2
x
2
=
2 3
.
当 x → 0时,
tan2 x 与 x2 等价 . 3 1+ x −1与 1 x 等价 . 3
arctan x 与 x 等价 . 1− cos x 与 x2 等价. 2
2
等价的无穷小因子可以互相代换的原理如下:
可以举例说明:
lim
x→0
(1 − ln(1
cos x) sin 2x + x2 )(ex −1)
4
③无穷小与函数极限的关系 lim f (x) = A ↔
The function g(x) = f (x) − A is a infinitesmals . lim f(x)=A 的充分必要条件是:
f(x)=A+α 其中 α 是一个无穷小量.
1
④无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量. 证明 假设在某个变化过程中,
x→0
x→0
例
lim x sin 1
x→∞
x
= lim sin u = 1 u→0 u
3. 熟练地运用极限运算法则
lim
x→0
cos x − 4 1− 2x2 sin x2
= lim x→0
cos x
−4 x2
1− 2x2
⋅
lim
x→0
x sin
2
x
2
= lim x→0
cos x − 4 1− 2x2 x2
ex −1与 x 等价.
原式变成
lim
x→0
(1
− cos x) ln(1+ x
sin 2)x
2
x
⋅
ex
x −
1
原来的极限并未改变. 于是无穷小量可以 被它的等价无穷小量 取代.
求极限过程中,加减项不能随意用等价无穷小代替!
例 下面的做法是错误的! 当 x → 0时tan x 和 sin x 都与 x 等价无穷小 , 于是
x→0
x⋅ 1 x2 2 x3
=
1 2
3 无穷大量
定义 在某个变化过程中,绝对值无限增大的函数称为无穷大.
例如 当 x → 0时, 1 , ln | x |, cot x 都是无穷大量. x
y=1 x
y = ln | x |
y = cot x
当 x → +∞时, x2, ln x, 2x 都是无穷大量.
函数极限运算综合例题
1. lim xsin 1 = lim sin u = 1
x→∞
x u→0 u
2. lim (1+ x)α − (1+ x)β (α , β > 0)
x→0
x
u=1 x
= lim[(1+ x)α −1 − (1+ x)β −1] = α − β