二次根式 经典答疑2
第01讲 二次根式的概念(2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固)(解析版)
第01讲二次根式的概念课程标准学习目标①二次根式的定义②二次根式有无意义的条件1.掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式。
2.掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟练求值。
知识点01二次根式的定义1.二次根式的定义：一般地，我们把形如()0≥a a 的式子叫做二次根式。
其中叫做二次根号，a 叫做被开方数。
判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于0。
两者必须同时满足。
【即学即练1】1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：A ．，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B ．，三次根式，故此选项不合题意；C ．，是二次根式，故此选项符合题意；D ．，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；故选：C ．知识点02二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义的条件：二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数大于等于0。
即a 中，a 。
注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。
【即学即练1】2．若二次根式有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≥6B ．x ≥﹣6C ．x ≤﹣6D ．x ≤6【分析】根据二次根式有意义的条件可得6+x ≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：6+x ≥0，解得：x ≥﹣6，故选：B ．题型01判断二次根式【典例1】下列式子是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义：形如（a ≥0）的式子，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、无意义，故A 不符合题意；B 、不是二次根式，故B 不符合题意；C 、是二次根式，故C 符合题意；D 、无意义，故D 不符合题意；故选：C ．【变式1】若a 为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．当a＜0时，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．当a＜﹣1时，不是二次根式，故本选项不符合题意；C．是二次根式，故本选项符合题意；D．当﹣1＜a＜1时，不是二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．【变式2】已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是二次根式是个数有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次根式的定义（根指数是2，被开方数是非负数）判断即可．【解答】解：二次根式有①③④，共3个，故选：C．【变式3】若是二次根式，则x的取值范围是x≥﹣3．【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．【解答】解：∵是二次根式，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3，故答案为：x≥﹣3．【变式4】若是二次根式，则x的取值范围是（）A．x为非负数B．x≠1C．x≥1D．x＞1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．题型02根据二次根式有意义的条件求取值范围【典例1】若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≤1．【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【解答】解：根据题意得：﹣x+1≥0，解得：x≤1．故答案为：x≤1．【变式1】若式子有意义，则x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x﹣1≥0且x﹣2≠0，再求出答案即可．【解答】解：要使式子有意义，必须x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．【变式2】若二次根式有意义，则x的取值范围是x＜2．【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2﹣x＞0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．【变式3】若代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．【分析】根据分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0列式求解即可．【解答】解：∵x+1≥0，∴x≥﹣1，∵，∴x≠3，∴x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．故答案为：x≥﹣1且x≠3．【变式4】若，则（）A．a≥6B．a≥0C．0≤a≤6D．a为一切正实数【分析】由二次根式可知要使有意义，则根号里面的数不能小于0，再进行列式计算即可．【解答】解：由题可知，，解得a≥6，故选：A．【变式5】若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞4【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行判断即可．【解答】解：∵＝在实数范围内成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故选：D．题型03利用二次根式有意义的条件求值【典例1】若，则a+b的值为（）A．1B．0C．﹣1D．2【分析】根据二次根式有意义的条件得出2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，求出b＝2，再代入求出a＝﹣1，最后求出a+b即可．【解答】解：要使有意义，必须2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，解得：b＝2，所以a＝0+0﹣1＝﹣1，即a+b＝﹣1+2＝1．故选：A．【变式1】若x，y都是实数，且y＝，则x y的值是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，再代入x y计算即可．【解答】解：由题意，得，解得x＝，∴y＝﹣1，∴x y＝．故选：C．【变式2】如果实数a满足|2021﹣a|+＝a．那么a﹣20212的值是（）A．2022B．2021C．2020D．2019【分析】根据二次根式（a≥0）确定a的范围，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：a﹣2022≥0，∴a≥2022，∴2021﹣a＜0，∴|2021﹣a|+＝a，∴a﹣2021+＝a，∴＝2021，∴a﹣2022＝20212，∴a﹣20212＝2022，故选：A．【变式3】已知：，则（﹣x）y＝﹣．【分析】根据二次根式为非负数，列不等式组可得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．【解答】解：由题意得，解得x＝，∴y＝3，∴（﹣x）y＝（﹣）3＝﹣．【变式4】已知x、y为实数，且，求y﹣x2+17的值．【分析】根据二次根式有意义的条件得出，从而得出x、y的值，代入进行计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：x＝4，∴当x＝4时，y＝2023，∴y﹣x2+17＝2023﹣42+17＝2024．1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义分别判断即可．【解答】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、是三次根式，故此选项不符合题意；C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意；D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．2．若式子是二次根式，则a的值不可以是（）A．0B．﹣2C．2D．4【分析】根据二次根式的定义得出a≥0，再得出选项即可．【解答】解：∵式子是二次根式，∴a≥0，即只有选项B符合，选项A、选项C、选项D都不符合，故选：B．3．当a＝﹣2时，二次根式的值为（）A．2B．C．D．±2【分析】把a＝﹣2代入二次根式，即可解决问题．【解答】解：当a＝﹣2时，二次根式＝＝＝2．故选：A．4．当x＝2时，下列二次根式没有意义的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，求解即可．【解答】解：当x＝2时，，，，故选项A、B、C不符合题意；x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，即没有意义，选项D符合题意．故选：D．5．若有意义，则a的值可以是（）A．﹣1B．0C．2D．6【分析】直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．【解答】解：有意义，则a﹣4≥0，解得：a≥4，故a的值可以是6．故选：D．6．若有意义，则x可以取（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．【解答】解：由题意得：2x+1≥0，解得，即x可以取的值是0．故选：A．7．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠0C．x＞0且x≠1D．x≥0且x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到x≥0且，进行计算即可得到答案．【解答】解：根据题意得：x≥0且，解得：x≥0且x≠1，故选：D．8．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（）A．1B．9C．4D．5【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值．【解答】解：∵，∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，∴5﹣x＝0，解得x＝5，∴y＝4，∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．故选：A．9．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．10．已知，则2xyz的相反数是（）A．B．C．D．【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出x、y、z的值，再把x、y、z的值代入2xyz计算，得出2xyz的值，再根据相反数的定义，即可得出答案．【解答】解：在中，∵，，|x﹣2y|≥0，|z+4y|≥0，∴可得：，解得：，∴，∴2xyz的相反数是．故选：B．11．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是②④．（只填序号）【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：①（﹣2）3＝﹣8＜0，故不是二次根式；②（﹣2）4＝16＞0，故是二次根式；③的根指数是3，故不是二次根式，④a2+1＞0，故是二次根式；所以一定是二次根式的是②④．故答案为：②④．12．如果是二次根式，那么x应满足的条件是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．13．如果，那么x y的值是100．【分析】先根据二次根式的非负性求出x的值，进而求出y的值，再代入x y计算．【解答】解：∵，，∴x＝10，∴，∴x y＝102＝100．故答案为：100．14．如果，那么x+y的平方根为±．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x﹣2＝0，可得x和y的值，再解答即可．【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴y＝3，∴x+y＝2+3＝5，∴x+y的平方根为±．故答案为：±．15．要使式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵要使式子有意义，∴x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．16．当x分别取下列值时，求二次根式的值．（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2．【分析】直接将（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错．【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式＝＝3；（2）把x＝，代入二次根式＝＝；（3）把x＝﹣2，代入二次根式＝＝5．17．已知实数x，y满足等式，求3x+4y的立方根．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再求出3x+4y的值，即可求出对应的立方根．【解答】解：∵要有意义，∴，∴x＝5，∴，∴3x+4y＝3×5+4×3＝27，∵27的立方根是3，∴3x+4y的立方根是3．18．若x，y是实数，且．（1）求x，y的值；（2）求的值．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件进行解题即可；（2）将求出的x与y代入进行求解即可．【解答】解：（1）由题可知，，解得x＝，将x＝代入，解得y＝．故x＝，y＝．（2）将x与y代入得＝＝．19．（1）已知一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，求这个数．（2）已知x，y为实数，且，求的平方根．【分析】（1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出a+3+2a﹣15＝0，求出a的值，得出这个数的一个平方根，即可得出这个正数；（2）先根据二次根式有意义的条件得出x＝9，从而求出y＝4，代入求出，即可得出答案．【解答】解：（1）∵一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，解得a＝4，∴这个数一个平方根为4+3＝7，∴这个数为72＝49；（2）∵x，y为实数，，∴，∴，∴x＝9，∴y＝4，∴＝＝6，∴的平方根为．20．（1）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．（2）若x、y都是实数，且y＝++8，求x+y的值．【分析】（1）根据平方根的定义列式求出b，再根据算术平方根的定义列式求出a，然后求出a+2b的值，再根据平方根的定义解答即可；（2）由二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的值，进一步即可求得结果．【解答】解：（1）∵2b+1的平方根为±3，∴2b+1＝9，解得b＝4，∵3a+2b﹣1的算术平方根为4，∴3a+2b﹣1＝16，解得a＝3，∴a+2b＝3+2×4＝11，∴a+2b的平方根是±．（2）由题意得：，解得，所以x＝3，当x＝3时，y＝8，所以x+y＝3+8＝11．。
二次根式经典答疑(一)
二次根式经典答疑（一【学法旨要】1．本章的学习目标是什么？(1)了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式与同类二次根式．(2)掌握积与商的算术平方根的性质：).0,0();0,0(>≥=≥≥⋅=b a b a b a b a b a ab会利用这两个性质熟练地化简二次根式．(3)掌握二次根式的加、减、乘、除的运算法则，会用它们进行运算．(4)会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化．(5)掌握二次根式的性质⎩⎨⎧<-≥==),0(),0(||2a a a a a a 会利用化简二次根式． 学有余力的同学还应该达到以下目标：理解n 次根式的概念及其性质；会化简简单的双重根式；掌握比较两个或两个以上较复杂二次根式大小的特殊方法；能解决含有根式的较复杂的代数式的求值问题等．2．学习本章有关键是什么？正确理解与运用二次根式的概念与性质是学好本章的关键．二次根式与算术平方根有着密切的联系．要充分理解二次根式的意义，必须弄清算术平方根的概念．例如3是３的算术平方根，也就是3)3(2=．推广到一般，可得)0()(2≥=a a a ．要特别注意≥a ０这一限制条件，即二次根式的被开方数必须是非负数．再者，)0(≥a a 表示a 的算术平方根，所以)0(≥a a 也一定非负．二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．必须强调，积的算术平方根和商的算术平方根都是对算术根而言的，并且要避免错误迁移．运用公式||2a a =可以把根号内非负因式外移．反过来，利用公式2||a a =还可以把根号外非负因式内移．这里必须明确，所内移或外移的必须是非负因式．同时要注意，只有被开方数是积的形式时才能进行，要避免出现下面的错误：.7916916916222=-=-=-2【经点答疑】１．怎样理解二次根式的概念？ 一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式．其中，“”叫二次根号，二次根号下的数a 叫做被开方数．可以从以下两方面来理解这个概念：(1)二次根式)0(≥a a 是指非负数a 的算术平方根，因此)0(≥a a 是一个非负数，即).0(0≥≥a a(2)二次根式)0(≥a a 中被开方数a 可以是数也可以是代数式．如果a 是数，必须是非负数；如果a 是代数式，则这个代数式的值必须是非负数．因为负数没有平方根，所以当a<0时，a 没有意义．如5，)3(3,12-≥++a a m 都是二次根式，而)3(3)1(52-<++--a a m ，、就不是二次根式．例１ 下列各式：223223)21(2122181641a x x a x x a --+>-+--+、、，、、、、、、，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？思路启迪： 判断一个式子是不是二次根式，首先看它是否含有根号；其次看根指数是不是2；最后看被开方数是不是非负数．若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式．不满足三个条件中的任何一个，就不是二次根式．规范解法23、2a 、162++都是二次根式，因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数．38虽然含有根号，但根指数不是2，所以38不是二次根式．二次根式.x不含二次根号，不是21-1x 、a +中，不能确定被开方数是非负数，当a<0时，a 无意义；当01x <+时，1+x 无意义，所以1x 、a +不一定是二次根式．不是二次根式.4没有意义，40，4中，4在--<--不是二次根式.2x 1无意义，2x 10,2x )中，121(x 2x 1在--<->-,a 2,a 2,a ,a 2222没有意义总是负数为任何实数无论是中在------22a --不是二次根式． 点评：满足二次根式的条件有三个：①含有根号②根指数是2③被开方数是非负数，三个条件缺一不可．例2 x 是怎样的实数时，下列式子有意义？;34)1(x - ;53)2(x x -+-;)1()3(2+x .31)4(--x x思路启迪： 要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数．对于(1)、（2）、(3)题只要使被开方数非负就可以了，对于(4)题不但要使被开方数非负，而且要使分母不等于零．规范解法.34,34,.34,034)1(有意义时当所以得由x x x x -≤≤≥-.53,53,.53,05,03)2(有意义式子时当所以得由x x x x x x -+-≤≤≤≤⎩⎨⎧≥-≥-.)1(,,.)1(,)3(22总有意义取任何实数时当所以都是非负数为任何实数无论++x x x x.31,3.3,03,01)4(有意义时所以当得由-->>⎩⎨⎧>-≥-x x x x x x2．如何巧妙运用二次根式的非负性解题？.0,)0(≥≥a a a a 所以的算术平方根表示非负数二次根式例 .,03422的值求已知b a b a a +=-+-思路启迪： ,03,04≥-≥-b a a 两个非负数的和等于零，则这两个数都等于零，从而得到,03,04=-=-b a a 再由零的算术平方根等于零求得a 、b 的值．规范解法.160124b a .12b ,4a .0b a 3,04a .0b a 3,04a ,0b a 3,04a ,0b a 34a 2222=+=+⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=-∴=-=-∴≥-≥-=-+-则解得且而点评 解此题的关键是：①利用二次根式的非负性；②根据几个非负数的和等于零，则这几个数都等于零，将问题转化为解方程组的问题．注 初中阶段，课本中出现的三种非负数已全部学完．这三种负数是：实数的绝对值；实数的偶次方；非负数的算术平方根．利用非负数的意义求值，是解代数式求值问题常用的方法之一．3．怎样运用二次根式的性质)a (a )a (02≥=？ 二次根式的基本性质),0()(2≥=a a a 是由非负数a 的算术平方根的意义得到的．利用)0()(2≥=a a a ，可以把二次根式化简．如计算;175725)7(5)75(222=⨯=⨯=反过来，利用)0()(2≥=a a a ，可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式，如.)7(72= 例1 计算：;)5.1)(1(2;)32)(2(2⨯- ;)434)(3(2- .)5()2()4(22⎪⎭⎫ ⎝⎛- 思路启迪： ).0()(2≥=a a a 利用公式规范解法.5.1)5.1)(1(2=.632)32)(2(2=⨯=⨯-.124316434)434)(3(22=⨯=⨯=-.2054)5()2()5()2()4(22222=⨯=⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-例2 .9624在实数范围内分解因式把+-a a思路启迪：3,)3(3.)3(,96222224-=-+-a a a a 所以因为可分解成是完全平方式式子仍可分解．规范解法[].)3()3()3()3()3(962222224-⋅+=-⋅+=-=+-a a a a a a a点评 根据因式分解的意义，在实数范围内进行因式分解，其结果必须是几个整式的的积．对于2)3(-x ，不能再分解成，.33),3)(3(4444不是整式和因为-+-+x x x x4．积与商的算术平方根有什么性质？根据算术平方根的概念可以得到如下性质：(1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．即);0,0(≥≥⋅=b a b a ab(2)商的算术平方根等于被除式的算术平方根，除以除式的算术平方根．即).0,0(>≥=b a b a b a 因为二次根式)0(≥a a 就是a 的算术平方根的表示式，所以上述算术平方根的两个性质就是二次根式的性质．这两个性质依赖于0,0≥≥a a 这两个非负性．因此在应用性质时，一定要注意：3232;32)3()2(--≠---⋅-≠-⋅-．因为在以上两式中，32--、没有意义．根据二次根式的性质，以上两式的正确写法是：.323232;3232)3)(2(==--⋅=⨯=--另外，公式中a 、b 既可以表示数，也可以表示代数式，但都必须是非负数．积的算术平方根的性质，还可以推广到多个非负数的情况．如).0,0,0,0(≥≥≥≥⋅⋅⋅=d c b a d c b a abcd注 由积与商的算术平方根，有的同学可能会自己类比推得和与差的算术平方根：).0)(0();0,0(≥≥-=-≥≥+=+b a b a b a b a b a b a 但这些等式都不成立的．例如时3,2==b a .146.3732.1414.132,236.2532=+≈+=+≈=+=+b a b a 一般地，.;b a b a b a b a -≠-+≠+5．积的算术平方根的性质有哪些应用？(1)化简二次根式如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质和公式),0(2≥=a a a 将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．例1 化简：;2000)1( ;312313)2(22-;8)3(543c b a;813421615)4(⨯ .)5(224y x x +思路启迪： 若被开方数是积的形式，把能开得尽的方的因数或因式开出来；若被开方数不是积的形式，应先化成积的形式，再把可以开得尽方的因式开出来．规范解法.5205210521052102000)1(2222=⨯⨯=⋅⋅=⨯⨯=.2516251625)312313()312313(312313)2(22=⋅=⨯=-⋅+=-.22b 228)3(22222222543ac c ab c c c b a a c b a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=.2791449811961681811961681813421615)4(=⨯=⨯=⨯=⨯.)()5(22222222224y x x y x x y x x y x x +=+⋅=+=+点评 解此题主要利用积的算术平方根的性质．因此，化简时就先把被开方数化成几个整式积的形式．这里应注意：.22y x y x +≠+注 现行教材规定，在本章中没有特别说明，所有字母都表示正数，这里也有同样的规定．(2)二次根式的乘法运算．0).b 0,(a ab b a 0)反过来，得b 0,(a b a ab 把≥≥=⋅≥≥⋅=这就是说，二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变．例2 计算：;515)1(⨯ ;6622)2(⨯;3858327)3(⨯⨯ );18(24)4(3x x -⨯.125136)5(222b a b a ⨯ 思路启迪： 利用)0,0(≥≥⋅=b a b a ab 时，应考虑被开方数相乘时进行因式分解或因数分解．如果515⨯直接可得352⨯而不要先写成75再分解．规范解法.5555515)1(2=⨯=⨯.324321262626622)2(2=⨯=⨯⨯⨯=⋅.24135323856338526333858327)3(=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯.x 3123x 2x 6x 2x 6x 32x 2x 3x 62)x 18(x 24)4(23-=⋅⋅-=⨯⨯⨯-=⨯-=-⨯.b a 536b a 656 b1b a a 2356b a 12b a 3516b a 1251b a 36)5(2222222222222=⨯=⋅⋅⋅⨯=⨯⨯=⨯ 注 根号前的因数是带分数时，必须化成假分数.如2b a 536，不能写成2b a 517．点评 二次根式的乘法运算就是利用公式)0,0(≥≥⋅=b a b a ab 进行的，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．6．公式)a (a a 02≥=有哪些方面的应用？运用公式)0b ,0a (ab b a )0a (a a 2≥≥=⋅≥=及公式，可将根号外面的非负因式移到根号里面．例1 把根号外面的因式移到根号里面：;34)1(-;21)2)(2(--a a.)3(x x -- 思路启迪：． 因式内移，是把根号外面的非负因式或因数平方后移到根号内，与根号内的被开方数相乘．第(1)题根号外面是－4，要把负号留在根号外面；第(2)题因为被开方数02,021>->-a a 所以，所以;02<-a 第(3)题中被开放数0≥-x ，根号外面的－x 也是非负的．规范解法.483434)1(2-=⨯-=-.221)2(21)2(21)2)(2(2--=-⨯--=---=--a a a a a a a.)()()3(32x x x x x -=-⋅-=--点评 根号外的因式内移是本章的一个难点．必须注意判断根号外因式的正负性． 例2 比较下列两个数的大小：;2319)1(与.7667)2(--与思路启迪： 一般地，b a b a b a >>>>那么如果时当,,0,0．根据这个性质，根号外面的非负因式移到根号内，就可以比较二次根式的大小．答案 .7667)2(;2319)1(-<->7．商的算术平方根的性质有哪些方面的应用？(1)化简二次根式．.a 2b 3a 4b 3a 4b 3 ,65362536252222====如(2)二次根式的除法运算．).0b ,0a (b a b a ,)0b ,0a (b a b a >≥=>≥=就得到反过来把公式这就是说，二次根式相除，被开方数相除，根指数不变． 当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，直接利用这个公式计算很方便．如6224372372===÷．例 计算;43234819)3(762535)2(;3663)1(÷÷÷.3)276485)(6(;3521805)5(;502712)4(÷-÷÷⨯÷思路启迪： 这几道题都可以利用二次根式除法法则计算．被开方数相除时，也可以用“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”的法则．含有乘除运算的题目，要注意运算顺序．规范解法.22136633663)1(==÷.57207528720528762535)2(=⨯=÷=÷.1616361643481)239(43234819)3(=⨯==÷÷=÷.231092005027112502712502712)4(==⨯⨯=⨯÷=⨯÷ .35122535180)25(3521805)5(==÷÷÷=÷÷-=÷6(= )(485-÷=÷-÷-=÷627634827318205353).2482763二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的．。
二次根式及经典习题与答案
二次根式及经典习题与答案二次根式的知识点汇总二次根式的概念是指形如√a的式子，其中被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
需要注意的是，因为负数没有平方根，所以当a<0时，二次根式无意义。
为了使二次根式有意义，只需要满足被开方数大于或等于零，即a≥0.此外，二次根式的非负性也是一个重要的知识点，即√a表示a的算术平方根，且当a≥0时，√a是一个非负数。
二次根式的性质包括：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是，当被开方数是负数时，需要先将其化为绝对值形式，再根据绝对值的意义进行化简。
综上所述，二次根式的知识点包括概念、取值范围、非负性、性质等。
在解题时，需要注意化简时的符号变化和取值范围的限制。
4.当x满足什么条件时，(1-x)²是一个二次根式。
5.在实数范围内分解因式：x⁴-9=(x²+3)(x²-3)，x²-22x+2=(x-11-√119)(x-11+√119)。
6.若4x²=2x，则x的取值范围是x=0或1/2.7.已知(x-2)²=2-x，则x的取值范围是x=1-√2或1+√2.8.化简：x²-2x+1÷(x-1)，结果是x-1.9.当1≤x≤5时。
10.把a-√a的根号外的因式移到根号内，等于√a(a-1)。
11.使等式(x-1)²+x-5=。
成立的根号外的因式是x-1.12.若a-b+1和a+2b+4互为相反数，则(a-b)²=4.13.在式子x²,2,y+1(y=-2),-2x(x²+1),x+y中，二次根式有3个。
14.下列各式一定是二次根式的是a²+1.15.若2/a-7/a³=2/a²-a，则(2-a)²-(a-3)等于1-2a。
16.若A=√(a²+4)/2，则A=(a+2)/2.17.若a≤1，则(1-a)³化简后为1-a³。
二次根式易错题和重点题
二次根式易错题和重点题摘要：一、二次根式的基本概念1.二次根式的定义2.二次根式的性质二、二次根式的运算1.二次根式的加减法2.二次根式的乘除法3.二次根式的指数运算三、二次根式的化简1.完全平方公式2.平方差公式3.分母有理化四、二次根式的应用1.求解二次方程2.计算几何图形的面积和周长3.应用二次根式的实际问题正文：二次根式是数学中常见的一种表达形式，它涉及到许多基本概念和运算。
首先，我们需要了解二次根式的定义和性质，这是解决二次根式问题的关键。
一、二次根式的基本概念二次根式，通常表示为√a，其中a是一个正实数。
它表示的是一个数的平方根，即a的算术平方根。
根据定义，我们可以知道二次根式的值必须是非负的。
此外，二次根式还有一些重要的性质，如：1.√a = a2.√a * √b = √(ab)3.(√a) = a二、二次根式的运算二次根式的运算主要包括加减法、乘除法和指数运算。
1.二次根式的加减法：对于两个二次根式√a和√b，它们的和与差分别为√(a + b)和√(a - b)。
2.二次根式的乘除法：二次根式的乘法可以简单地将根号下的数相乘，即√a * √b = √(ab)。
而除法运算则较为复杂，通常需要利用分母有理化来解决。
3.二次根式的指数运算：二次根式的指数运算可以表示为(√a)，它的结果是a的1/2次方。
三、二次根式的化简二次根式的化简是解决二次根式问题的关键。
化简的方法主要包括完全平方公式、平方差公式和分母有理化。
1.完全平方公式：对于一个二次根式√(a + b)，我们可以通过完全平方公式将其化简为√(a + b) = √a + √b。
2.平方差公式：对于一个二次根式√(a - b)，我们可以通过平方差公式将其化简为√(a - b) = √a - √b。
3.分母有理化：在涉及到分数的二次根式中，我们可以通过分母有理化来化简。
例如，将√(a/b)化简为√(a/b) * √(b/b) = √(ab/b) = √(a/b)。
二次根式的性质(例题+经典习题)
二次根式的性质复习以前所学相关知识点：平方差公式： ()()b a b a b a -+=-22完全平方公式：()()22222222b a b ab a b a b ab a -=+-+=++同底数幂的乘法法则：()都是正整数n m a a a nm n m ,+=∙幂的乘方法则：()()都是正整数n m a a mn nm,= 积的乘方法则：()()是正整数n b a ab n n n= 规定：()010≠=a a ； 000= ； ()是正整数n a a a nn,01≠=-二次根式2)(a 的性质()2a =a (a ≥0)计算:(1)2)25(=__ __; (2)2)23(=___ __; (3)2531⎪⎭⎫⎝⎛=_______;(4)2)23(-=_______;(5) 2321⎪⎭⎫⎝⎛-=____ __; （6）()2b a =____ _.二次根式2a 的性质2a =|a |=()()00 a a a a -≥1、计算:(1)25=_ __; (2)2)7(-=__ __; (3)2)21(-=______ ; +（2=______．二次根式积的性质 ab =b a ⋅(a ≥0,b ≥0)1、=_ _; (2)=_ __; (3)49.001.0⨯=___ ___; (4) 2253⨯=_ ___ __;2、下列运算正确的是（ ）×（-5）=20C =513+1213=1713 D二次根式商的性质 b a =b a(a ≥0,b ＞0)1、(1) 259=________;(2) 92=______;2、能使等式3+a a =3+a a成立的a 的取值范围是__________.3、化简：2) 34最简二次根式：①被开方数中不含分母。
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
例1：把下列各根式化为最简二次根式：()()00121253504722009614323≥≥≥≥b a cb a b a b a ，）（）（，）（ 解：()（）·，196166460032a b a ab a ab a b ==≥≥()（）（）·，224750147504932527532753222710632512125121511002342242==⨯⨯==⨯⨯===≥≥a bc a b b c abc b a b练习：1、把227化成最简二次根式，结果为：( ) A ．233B ．29C ．69D ．392、下列根式中，最简二次根式为：( ) A ．4xB ．x 24-C ．x 4D ．()x +42同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式。
二次根式经典答疑(二)
(3)
2 5 3
2( 5 3 ) ( 5 3 )( 5 3 ) 2( 5 3 ) ( 5 ) 2 ( 3) 2 2( 5 3 ) 5 3. 2
( x )2 ( y)2 x y ( x y )( x y ) x y x y.
( 4)
x
75 5 2 3 5 3 , 2x y x 2x x 2 xy , y y y y
1
4 2 2 xy 12 x x 3 x 32 3 3 2 xy , 3, xy xy xy xy 3 3 3 3 3 9 1 3 1 x y x xy . 3 3 2 1 11 x , 75 , 1 , 3 , 是同类二次根式; 3 16 3 3
12．如何进行二次根式的加减运算？ 二次根式的加减，首先要化简二次根式，化简之后，就类似整式的加减运算了．整式 的加减实质就是去括号和合并同类项．二次根式的加减也是如此．合并同类二次根式与合 并同类项类似．如：
例1
计算：
(1)
1 5 20 2 2
1 1 1 5 45 405 ; 5 5 2
2
1 11 2x 32 x 1 , 75 , 1 , 3 , x ,3 , , x 3 y. xy 3 3 3 3 16 y
先化二次根式为最简二次根式．最简二次根式只要被开方数相同，就是
思路启迪：
同类二次根式，与根号外面的因式无关． 规范解法
2
1 2 3, 3 3 11 27 3 3, 16 16 4
4 (1) 5 a 3 9 ；
(2) x 2
2 x
(3)
20 x 2 y 2 ; z5 1 1 ; 4 9
(4) 0.48(a 3 b 2 a 2 b 3 );
二次根式易错点和典型题
二次根式易错点和典型题二次根式是数学中的重要概念，也是高中数学中的重点内容之一。
然而，学生在学习二次根式时常常会遇到一些易错点和典型题。
本文将针对二次根式的易错点和典型题进行详细的讲解，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
易错点一：二次根式的化简在化简二次根式时，学生常常容易遗漏或错误地进行操作。
化简二次根式的基本原则是尽量将根号内的式子化为最简形式，常用的化简方法有去除平方因子、合并同类项以及有理化等。
需要注意的是，在合并同类项时，要注意系数的合并和符号的运算，容易混淆。
此外，有时候还需要利用公式进行化简，例如平方差、平方和等。
易错点二：二次根式的运算在进行二次根式的运算时，学生常常会将根号外的系数运算错误，或是忽略运算规则。
例如，在计算二次根式乘法时，要注意乘法运算的顺序，同时要注意系数和指数的运算。
另外，对于二次根式的除法和加减法，一般需要先进行有理化处理，然后再进行运算。
典型题一：二次根式的简化题目：将 $\sqrt{12}$ 化简为最简形式。
解析：首先，我们找到根号内的平方因子，发现12可以写成4和3的乘积。
因此，我们可以将 $\sqrt{12}$ 化简为 $\sqrt{4 \cdot 3}$。
接下来，利用乘积的性质，我们可以将其进一步化简为 $\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$。
再利用平方根的性质，我们可以得到最终结果为 2$\sqrt{3}$。
典型题二：二次根式的运算题目：计算 $(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 1)$。
解析：首先，我们利用乘法公式将括号内的乘积展开，得到 $\sqrt{2} \cdot\sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} - 3$。
然后，我们化简相同项，得到 $2 +2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 3$。
接下来，我们再次合并同类项，得到最终结果为 $-1 +\sqrt{2}$。
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)二次根式计算专题——30题(教师版含答案)在代数学中，二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
二次根式的计算是代数学的重要组成部分，对于学生来说也是一项基本技能。
本文将介绍30道关于二次根式的计算题，并附上教师版含答案，供教师参考。
题目1: 计算√9的值。
解答: 由于9是一个完全平方数，所以√9=3。
题目2: 计算√25的值。
解答: 由于25是一个完全平方数，所以√25=5。
题目3: 计算√2的值。
解答: √2是一个无理数，无法精确计算，可以使用近似值1.414进行计算。
题目4: 计算√32的值。
解答: 首先将32分解为16×2，再将16分解为4×4，可以得到√32=√(4×4×2)=4√2。
题目5: 计算√(3×5)的值。
解答: √(3×5)=√15。
题目6: 计算√(8×12)的值。
解答: 首先将8和12分别分解为2×2×2和2×2×3，可以得到√(8×12)=√(2×2×2×2×2×3)=4√6。
题目7: 计算√(a^2×b^2)的值。
解答: √(a^2×b^2)=√(a^2)×√(b^2)=|a|×|b|。
题目8: 计算√(16÷4)的值。
解答: 首先计算16÷4=4，然后√4=2，所以√(16÷4)=2。
题目9: 计算√(x^2÷y^2)的值。
解答: √(x^2÷y^2)=√(x^2)÷√(y^2)=|x|÷|y|。
题目10: 计算√(4^2÷2^2)的值。
解答: 首先计算4^2=16和2^2=4，然后16÷4=4，所以√(4^2÷2^2)=√4=2。
二次根式易错题和重点题
二次根式易错题和重点题一、二次根式的定义和性质二次根式是指在数学中关于平方根的表达式，它的一般形式可以表示为√a（其中a≥0）。
在学习二次根式时，常常会遇到一些易错题和重点题，下面将逐一讨论这些问题。
1. 二次根式的化简化简二次根式是学习二次根式的基本技能。
对于像√(4a^2)这样的二次根式，我们可以将指数提出来，得到2a√a。
类似地，对于√(9b^4)，化简后可得3b^2√b。
化简二次根式可以使得运算更加简便，因此在解题过程中需要注意灵活运用化简技巧。
2. 二次根式的加减运算对于同类项的二次根式，可进行加减运算。
例如，对于√2 + √3，由于两个二次根式不具备相同的根次数和根数，无法进行简单的加减运算。
但是，如果是√2 + √2，则可以合并为2√2。
在进行二次根式加减运算时，需要注意根次数和根数是否相同。
3. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算一般需要使用分配律。
例如，对于(√3 + √2)(√3 - √2)，可以按照分配律展开，并利用√a * √a = a的性质得到3 - 2 = 1。
在进行二次根式乘法运算时，需要注意运用分配律以及二次根式的性质。
4. 二次根式的除法二次根式的除法运算需要利用有理化方法。
例如，对于√6 / √2，可以将分子和分母同时乘以√2，得到√12 / 2。
而√12可以继续化简为2√3，因此答案为√3。
在进行二次根式的除法运算时，需要注意利用有理化方法将分母中的二次根式消除。
二、常见易错题和重点题解析1. 题目：化简√(2+√3) - √(2-√3)解析：利用二次根式的加减运算，将两个二次根式合并。
根据公式(a+b)(a-b) = a^2 - b^2，可以得到(√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。
因此答案为-1。
2. 题目：求解2√3 = √(x+4)解析：首先进行两边的平方运算，得到4 * 3 = x + 4。
化简后得到12 = x。
因此答案为x = 12。
二次根式经典难题(含答案)
二次根式经典难题(含答案)1.当x满足x+2+1-2x有意义时。
2.若-m+1/(m+1)有意义，则m的取值范围是什么。
3.当x满足1-x为二次根式时。
4.在实数范围内分解因式：x^4-9=(x^2+3)(x^2-3)，x^2-22x+2=(x-11+3√3)(x-11-3√3)。
5.若4x^2=2x，则x的取值范围是0和1/2.6.已知(x-2)^2=2-x，则x的取值范围是{x|x≤2+√2或x≥2-√2}。
7.化简：x^2-2x+1(x+1)的结果是(x-1)^2.8.当1≤x≤5时，(x-1)^2+x-5=x^2-2x+5.9.把a-1/a的根号外的因式移到根号内等于|a-1|。
10.使等式(x+1)(x-1)=x-1/x+1成立的条件是x不等于1.11.若a-b+1与a+2b+4互为相反数，则(a-b)^2005=1.12.在式子x^2(x,2,y+1)(y=-2),-2x(x,3,3),x^2+1,x+y中，二次根式有2个。
14.下列各式一定是二次根式的是a2+1.15.若2a=3，则(2-a)^2-(a-3)^2等于5-2a。
16.若A=(a^2+4)^4，则A=(a^2+2)^2.18.能使等式x/(x-2)=x-2成立的x的取值范围是{x|x≠2且x≥2}。
19.计算：(2a-1)^2+(1-2a)^2的值是4a^2-4a+2.20.下面的推导中开始出错的步骤是(2)。
21.当a≤0，b≤0时，ab^3=-a^2b。
23.去掉下列各根式内的分母：(1) 2y/3x(x)。
(2) (x-1)/(x^5(x+1))(x-1)。
24.已知x^2-3x+1=0，求x^2+1/x^2-2的值为-1/3.25.已知a,b为实数，且1+a-(b-1)/(1-b)=0，求a^2005-b^2006的值为a^2005-b^2005.2.若 $2m+n-2$ 和 $33m-2n+2$ 都是最简二次根式，则$m=11,n=24$。
高中数学二次根式应用问题解答技巧
高中数学二次根式应用问题解答技巧在高中数学学习中，二次根式是一个重要的知识点。
它不仅在解方程、求函数的定义域等方面有广泛的应用，还在现实生活中的测量、建模等问题中起到了重要的作用。
本文将针对高中数学二次根式应用问题的解答技巧进行详细介绍，并通过具体的例题来说明。
一、简化二次根式在解答二次根式应用问题时，我们常常需要对二次根式进行简化。
简化二次根式的关键是找到根号内的最大平方数因子，然后将其提取出来。
例如，对于√12，我们可以将其简化为2√3。
这样做的好处是可以减少计算的复杂性，提高解题的效率。
例题1：化简√50+√18。
解：首先，我们可以找到根号内的最大平方数因子，即√50=√(25×2)=5√2，√18=√(9×2)=3√2。
因此，√50+√18=5√2+3√2=(5+3)√2=8√2。
二、合并同类项在解答二次根式应用问题时，我们经常会遇到需要合并同类项的情况。
合并同类项的关键是找到根号内的相同因子，然后进行合并。
例如，对于√8+2√2，我们可以将其合并为(1+2)√2=3√2。
这样做的好处是可以简化计算，使解题更加简洁明了。
例题2：合并同类项√12+√27-2√3。
解：首先，我们可以找到根号内的相同因子，即√12=2√3，√27=3√3。
因此，√12+√27-2√3=2√3+3√3-2√3=(2+3-2)√3=3√3。
三、应用二次根式解决实际问题除了简化和合并二次根式，我们还可以应用二次根式解决一些实际问题。
例如，在测量问题中，我们常常需要计算某个物体的面积、体积等。
而这些计算往往涉及到二次根式的运算。
下面通过一个例题来说明。
例题3：一个长方形花坛的长和宽分别为(√3+1)m和(2√3-1)m，求该花坛的面积。
解：花坛的面积可以通过长和宽的乘积来计算。
即面积=长×宽。
代入已知条件，我们可以得到面积=(√3+1)(2√3-1)m^2。
接下来，我们需要将二次根式进行展开和合并。
求解二次根式及经典习题与答案
求解二次根式及经典习题与答案引言本文档旨在解答关于二次根式的求解方法和一些经典题，并提供相应的答案。
通过研究和掌握这些知识点，读者将能够更好地应对相关问题和挑战。
二次根式的求解方法1. 完全平方式：将二次根式进行因式分解，使得根号下的数可以被完全平方。
2. 配方法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，通过配方法将其转化为完全平方式进行求解。
3. 公式法：使用二次根式的求根公式求解。
完全平方式对于形如√(a^2 * b)的二次根式，可以将其因式分解为a * √b。
例子：√(27)可以分解为√(9 * 3)，进一步化简为3√3。
配方法1. 将二次方程写成一元二次方程的标准形式，即ax^2 + bx + c = 0。
2. 如果a不等于1，将方程两边除以a，使其化为标准形式。
3. 通过配方法将方程转化为完全平方式进行求解。
例子：求解方程2x^2 + 7x + 3 = 0，可以通过配方法将其转化为(x + 1)(2x + 3) = 0，进而求得x的值。
公式法对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，其根的求解公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)例子：求解方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以通过二次根式的求根公式计算得到x的值。
经典题与答案1. 求解方程√(x - 3) + 2 = 5的解。
答案：根据方程，可得√(x - 3) = 3，进而得到x的值为6。
2. 求解方程2√(x + 1) - 3 = 1的解。
答案：根据方程，可得2√(x + 1) = 4，进而得到x的值为3。
3. 求解方程(√(x - 1))^2 = 3的解。
答案：根据方程，可得x - 1 = 3，进而得到x的值为4。
结论通过本文档的学习，我们了解了二次根式的求解方法，并通过经典习题加深了对这些方法的理解。
希望读者能够通过练习和实践，掌握二次根式的求解技巧，并在解决实际问题时灵活运用。
二次根式 相关概念难点及答案解析
二次根式16.1二次根式的相关概念16.1.1二次根式的定义一般地，我们把形如______（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号【答案】a16.1.2．二次根式有无意义的条件二次根式有意义：被开方数(式)为______,a有意义______.二次根式无意义：被开方数(式)为______,a无意义______.【答案】非负数;a≥0;负数;a＜0.16.1.3．二次根式的性质在二次根式a中，a的取值必须满足______，即二次根式的被开方数必须是______ a(a≥0)表示非负数a的算术平方根，由算术平方根的定义可知a______0.所以：二次根式a具有______，即a≥0，a≥0【答案】a≥0;非负数;≥；双重非负性.16.2二次根式的乘除法运算16.2.1.二次根式的乘法法则（1）二次根式的乘法法则:______，(a≥0,b≥0)（2）二次根式的乘法法则的逆用:______，(a______0,b______0)（3）二次根式相乘,把______相乘,根______不变（4）注意此法则成立的前提条件是______（5）拓展a b c abc（6）a b c d ______【答案】a b ab，ab a b，≥，≥，被开方数，指数，a≥0,b≥0，ac bd，（3）因为是两个二次根式相除,所以被开方数必须是非负数,又分母不为0所以此法则成立的前提条件是______.【答案】b>016.2.3．同类二次根式某些二次根式化成最简二次根式后，如果______相同，则这样的二次根式可以______.这几个二次根式就叫同类二次根式.【答案】被开方数;合并。
16.2.4．最简二次根式（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含______；(2)被开方数中不含能开得尽方的______.（2）在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含______（3）注意：二次根式化成最简二次根式，要注意以下几点：1)被开方数是带分数的要化成______；2)被开方数是小数的要化成______；3)被开方数中含有能开方的因式时，要分解因式并将能开方的因式______；4)化简结果为分数形式时，要保证______和______.【答案】分母;因数或因式;二次根式;假分数;分数;开方;分母中不含根号;根号中不含分母.16.2.5．分母有理化二次根式的除法可以用化去分母中的______的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上______，化去分母中的根号【答案】根号;分母的有理化因式.16.3二次根式的加减法运算16.3.1.同类二次根式的定义:某些二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数______，这几个二次根式就叫______.【答案】相同、同类二次根式16.3.2.二次根式的加减法则：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成______，再将被开方数相同的二次根式进行合并.【答案】最简二次根式16.3.3.二次根式加减运算的一般步骤：(1)化:将每个二次根式都化成______;(2)找:找出被开方数______的二次根式;(3)合:类似于______同类项,将被开方数相同的二次根式合并成一项.4.二次根式的加减混合运算法则：一般地，二次根式加减混合时，可以先将二次根式化成______，再将被开方数的二次根式（可以看成同类项）按照整式加减混合运算法则进行合并.【答案】最简二次根式、相同、合并、最简二次根式、相同、16.4二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算种类:二次根式的加、减、乘、除、______(或开方)的混合运算.（2）二次根式的混合运算顺序:先______,再______,最后______,有括号的先算里面的(或先去掉括号).与整式的混合运算顺序相同.（3）二次根式的混合运算依据:有理数的运算律(______、______、______)、多项式乘法法则和乘法公式(______、______)在二次根式的运算中仍然适用.【答案】（1）乘方；（2）乘方、乘除、加减、括号；（3）交换律、结合律、分配律、平方差公式、完全平方公式16.5二次根式的大小比较（1）直接估值法：在二次根式______的条件之内，根据二次根式的性质进行大小比较.（2）作差法：就是将比较大小的两个数______，根据所得的差来看两数的大小，也是平时比较大小最常用的方法.视其差值的正负就可以判断它们的大小，若等于零，即说明两者______；若大于零，则说明前者______后者；若小于零，则说明前者______后者.（3）特殊值法就是通过对比较大小的代数式子赋______的方法来确定大小的方法.对于含有字母比较的式子，可以根据实际有意义的条件赋予特殊值比较大小.（4）乘方法是对要比较大小的两个数先______，根据乘方后数的大小来确定原数的大小.1）乘方发适用于一个含根号的数与不含根号的数相比较。
二次根式典型例题(较好)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式典型例题讲解【知识要点】10)a ≥的式子叫做二次根式。
注意：这里被开方数a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中0a ≥ 2、二次根式的性质：（10(0)a ≥≥ （2）2(0)a a =≥ （3a=（4）)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅= （50,0)a b ≥>3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
即)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅。
4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。
0,0)a b=≥>。
5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。
6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。
分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式2(0)a a =≥。
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。
一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：①；③a +a④7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
8、二次根式的加减法二次根式的加减，就是合并同类二次根式。
二次根式加减法运算的一般步骤：（1）将每一个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。
【典型例题】例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1（2 （3（4（5 （6例2、x 是怎样的实数时，下列各式有意义。
（1（2（3（4例3、（12；（2（3）设,,a b c 为ABC ∆的三边，化简例4、化简：（1（2（30,0,0)x y z >>>（4）)56(1031-⋅例5、把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内。
八年级数学下册12_1二次根式二次根式疑难解析素材新版苏科版
《二次根式》疑难解析1．二次根式的定义:一般地,式子0)a ≥叫做二次根式,可以从以下几个方面理解：（1a 可以是一个非负数，也可以是代数式，这个代数式的值必须是非负数，（2）0)a ≥既是二次根式，又表示非负数a 的算术平方根，0≥.2．二次根式的基本性质: 2(0)a a =≥，该公式也可以倒过来,即2(0)a a =≥,也就是说,可以利用它把任何一个非负数或式子写成一个数或式子的平方的形式.3．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.4．商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.例1 函数1y x=+x 的取值范围是 . 解：变量x 的取值范围,须使120x -≥(即被开方熟大于或者等于零)且10x +≠(即分母不等于零),即12x ≤且x ≠-1. 所以应填12x ≤且x ≠-1. 评注：①考虑二次根式有意义；②考虑分式有意义，只有同时有意义，才能求出自变量的取值范围.例2 已知x ＞2,的结果是( ).(A)x-2 (B)x+2 (C)-x-2 (D)2-x解： 选(A)∵x ＞2,故应选(A)评注：解此类题,被开方数能化成完全平方式的.可根据2(0)a a =≥进行化简.例3 已知a ＞b,( )(A) --(D) 解：选(D).评注：理解并熟练运用2(0)a a =≥,化简二次根式时,要判断或讨论根号内字母的符号,然后进行化简.此题也可以根据二次根式化简的法则,采取观察、分析符号两个步骤，运用排除法解答：（1）观察被开方数：由于被开方数中只有平方因式可以从根号内移到根号外，根号内的符号并不发生变化，观察原根式内的符号易知根号内不可能去掉负号，故可排除(B)、(C)；（2知ab ＜0,而a ＞b,故a ＞0,观察原来根号外为省略的“+”号，应保持正数性，故根号外必为a ，综合可得.例4 若x 、y为实数，且12y x =+解: 由x 的取值范围可知: 22404020x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪+≠⎩∴x=2，y=1342==. 评注：本题实际是通过题目中的隐含条件：240x -≥，240x -≥，20x +≠，即x 的取值范围，求出x 和y 的值.例5把(a -(a-1)移到根号内得( )解: 根据二次根式的定义,被开方数11a -≥0,即a-1＞0∵(a -=故选(A)评注：根号外面的因式移到根号内,运用根式化简的逆向思维,即2(0)a a =≥,所以应选判断(a-1)的正负,若为正,则把这个数写成它的平方移到根号内.。
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二次根式经典答疑（二）8．分母有理化时如何选择有理化因式？ 把分母中的根号化去，叫做分母有理化．根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母同乘以一个不等于零的整式，分式的值不变．因此化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数(或代数式)，用这个数(或代数式)去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号．如.26222323=⋅⋅=一般地，两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如，.b a b a ;x x 都互为有理化因式与与-+ 常用有互为有理化因式有以下几种：0).a(a a a 为是最简二次根式)，因a 互为有理化因式(这里a 与a (1)≥=⋅.b m a )b m (a )b m a )(b m a (;b a )b (a )b a )(b a (),0b (b m a b m a b a b a )2(2222222-=-=-+-=-=-+≥-+-+因为互为有理化因式与或与()b.n a m )b (n )a (m )b n a )(m b n a (m b,a )b ()a (b a )b a 因为：(互为有理化因式.这是b n a 与m b n a 或m b a 与b a (3)222222-=-=-+-=-=-+-+-+注 分母有理化的因式不是惟一的．这在前面“二次根式一章疑点是什么？”中已有说明，这里不再赘述．例1 把下列各式分母有理化：;4832)1(;2a 3)2(+ ;352)3(-;)4(y x yx +- ).2(4242)5(22>-++-+-x x x x x思路启迪： 第(1)题分母是483，先化简，再分母有理化；第(2)题分母2+a 的有理化因式仍是2+a ；第(3)题分母35-的有理化因式是35+；第(4)题分子x －y 可以分解成))((y x y x -+后，直接与分母约分，从而化去分母；第(5)题若直接分母有理化比较麻烦，根据本题特点，分子、分母分别分解因式，然后约分．规范解法.36633123234324832)1(=⋅⋅=⨯=.2a 2a 32a 2a 2a 32a 3)2(++=+⋅++⋅=+.352)35(2)3()5()35(2)35)(35()35(2352)3(22+=+=-+=+-+=-.y x yx )y x )(y x (yx )y ()x (yx y x )4(22-=+-+=+-=+-.2x 4x 2x 2x 2x 2x 2x 2x )2x 2x (2x )2x 2x (2x 2x 2x )2x (2x 2x )2x ()2x )(2x ()2x ()2x )(2x ()2x (4x 2x 4x 2x )5(2222222+-=+⋅++⋅-=+-=-+++++--=-⋅+++-⋅++-=-+++-++-=-++-+-点评 分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时,应结合题目的具体特点,选择适当的方法．如上面第(1)题若使分母、分子都乘以48，虽然可以达到分母有理化的目的，但计算比较繁．所以，当分子、分母中二次根式可以化简时应选将其化简．再如第(4)、(5)两题分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化．注 形如y x yx +-的式子，分母有理化时，不宜采用分子、分母都乘以y x -，因为y x -有可能等于零．此题也可以这样解：则时当,0,≠-≠y x y x;))(())(())((y x y x y x y x y x y x y x y x yx y x -=---=-+--=+-.00,0,y x yx yx yx y x y x -==+=+-=-=则时当.,y x yx y x -=+-综上例2 计算：;3223)1(÷;23)3465)(2(÷- );2762()6227)(3(-÷+).7263(6)4(-÷思路启迪： 有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．规范解法.2633232332233223)1(=⋅⋅==÷.6323356643102232)3465(23346523)3465)(2(-=-=⋅⋅-=-=÷-.33728376174356122)27()62(24122898)2762)(2762()2762)(6227(27626227)2762()6227)(3(22--=-+=-++=+-++=-+=-÷+().1342139134292854)429(2 72)63(42218)7263)(7263()7263(672636)7263(6)4(22+=+=-+=-+=+-+=-=-÷9．如何判断一个二次根式是不是最简二次根式？我们已知知道，根据二次根式的性质可以把二次根式化简，就是把一个二次根式化成最简单的形式．那么，什么是最简二次根式呢？满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式． (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对应上面两个条件，最简二次根式可以这样理解： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中的每一个因式或因数都开不尽方． 例 下列式子哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？.2,,23,23,4,27,24,.152422x m m y x ab ++思路启迪： 根据最简二次根式的条件来判断，不满足其一个条件的，都不是最简二次根式．规范解法 方的被开方数含有能开得尽因为其余的都不是是最简二次根式6224.,23,4,15222⨯=+y x 因数；ab ab 3327=被开方数含有能开得尽方的因数；23的被开方数不是整数；)1(2224+=+m m m m 被开方数含有能开得尽方的因式；x212x =被开方数不是整数．10．将二次根式化为最简二次根式的方法步骤是什么？ 把一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：(1)如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化化简．(2)如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．化二次根式为最简二次根式的步骤：(1)把被开方数(式)分解质因数(式)，化为积的形式；(2)把根号内能开得尽方的因数(或式)移到根号外；(3)化去根号内的分母．若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数．例 把下列各式化成最简二次根式：3945)1(a ；x x 2)2(2;20)3(522z y x );(48.0)4(3223b a b a + ;9141)5(+.111)6(+a a思路启迪： 根据化简二次根式的方法步骤，进行化简． 规范解法.37949945)1(33a a a a == .22222)2(2222x x x x x x x xx xx x x=⋅=⋅⋅=⋅=.52522020)3(322222522522z zxy zz z z z y x z y x z y x =⋅⋅⋅⋅⋅==.)b a (3ab 52)b a (3ab 104)b a (b a 10048)b a b a (48.0)4(223223+=+=+=+.136136139141)5(==+ .)1(11111111)6(2+=⋅⋅+=+=+a a a aa a a aa a aa a11．同类二次根式的判断方法是什么？几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．判断几个二次根式是不是同类二次根式，首先，要看它们是不是最简二次根式，把不是最简二次根式的化成最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同．例1 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？.y x 31,33x ,xy 323,y x 2x ,3,16111,75,3123-思路启迪： 先化二次根式为最简二次根式．最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式，与根号外面的因式无关．规范解法,222 ,343162716111,353575 ,3323122xy y x yy y x x y xx =⋅⋅⋅=-=-=-=⨯==;33,3,16111,75,312.3131,39333333,21224332332是同类二次根式xxy x y x x x x xy xy xy xy xy xy -∴==⋅⋅==⋅⋅⋅=;323,2是同类二次根式xy y x x点评 同类二次根式的判断，关键是能熟练准确地化二次根式为最简二次根式． 例2.,623420012002423的值求是同类根式和最简根式已知最简根式b a b a b a b a -+-+++思路启迪： 是同类根式必须满足以下条件：在最简根式的前提下，(1)根指数相同，(2)被开方数相同．规范解法,6234423是同类根式与因为最简根式+++-+b a b a b a.6234,423+-=++=+b a b a b a 且所以.b a ,b ,a .b a b a ,b a 011111162344232001200220012002=-=-=-∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+-=++=+解得由12．如何进行二次根式的加减运算？二次根式的加减，首先要化简二次根式，化简之后，就类似整式的加减运算了．整式的加减实质就是去括号和合并同类项．二次根式的加减也是如此．合并同类二次根式与合并同类项类似．如：例1 计算：;405214551551252021)1(-++-;98173118134)2(-+-);1()3(33ab b b a b +-+).0()4(322244>>-+--y x y x y xy yx y x思路启迪： 先化简二次根式，再合并同类二次根式． 规范解法.21521 215)29311( 529535215 405214551551252021 )1( -=--++=-++-=-++-解.23232)2161(3)3132(22133126133298173118134)2(-=--++=-+-=-+-.ab )ab1a (b )b 1(ab ab1b b ab a b )ab 1b (b a b )3(33-+-=--+=+-+.)()()()0()4(2222222224222324224322244y x y x y yxy x y x y y x yx yx y x y x y y x yy x x yx y xy y y x x y x y x y xy y x y x ---=----=-⋅--⋅⋅+--=-+--=>>-+--13．怎样快速准确地进行二次根式的混合运算？二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．(2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． (3)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例１ 计算：).32(312)4();323)(232)(3(;)3)(2();65153(1021)1(33+÷---÷+--⋅xy xy xy y x思路启迪： 这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法法则进行运算．规范解法.1556215152256523610251510236510211531021)65153(1021)1(-=⋅-⋅=⨯-⨯=⋅-⋅=-⋅.y xy 3x xyxy y xyxy xy xy 3xyxy x xy xy xy xy 3xy y x xy )xy xy 3y x )(2(3333+-=+⋅-=÷+÷-÷=÷+-.626366662323322332)323)(232)(3(+--=+⨯-⨯-⨯=--.333232)32(332)32()32()32(33232312)32(312)4(=+-=--=-⋅+-⋅-=+-=+÷-点评 第(1)、(2)、(3)题都与整式运算类似．第(4)题，因为除法不满足分配律，可先转化成分数形式，再分母有理化．例2 计算：).6233)(6233)(3(;)23()23)(2();21)(21)(31)(31)(1(22---+-+-+-+思路启迪： 这三道题都可以利用平方差公式或完全平方公式． 规范解法.2)21)(31(])2(-[1 ])3(1[)21)(31)(31)(1(222=--=-=+-+.1)23(])2()3[()]23)(23[()23()23)(2(2222222=-=-=-+=-+ .269186263)23()6(632)3()23()63(]23)63][(23)63[()6233)(6233)(3(22222--=-+-=-+⋅⋅-=--=--+-=---+例3 计算：);3267()2453)(1(-÷+ ;73271141145)2(+---- ;2318233323223)3(-+++-- .211)121132231)(4(-÷++---思路启迪： 分母有理化是解决此题的关键． 规范解法282683561563021)32()67(3224672432536753)3267)(3267()3267)(2453(32672453)3267()2453)(1(22+++=-⋅+⋅+⋅+⋅=+-++=-+=-÷+.173711114)73()711(114)7(3)73(2)7()11()711(4)11(4)114(573271141145)2(222222=+---+=--+-+=----+--+=+----.3232323)32(323232318233323223)3(-=-+++---=-+++--.624)1222(2)12(2)21)(222()21()121323()21(1)2(12)13()13(2)2()3(23211)121132231)(4(22222-=+--=--=--=-⨯-+--+=-⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-+--+=-÷++---。