高二数学向量数量积的运算律
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向量的数量积的运算律
A E C D B
作业：练习册P92全部
； / 无尘车间施工 无尘室工程 洁净室装修 洁净棚 无尘车间工程承包
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的出来的糙汉子。”“本王也就除了长的一张祸国妖民的脸之外，其余都是堂堂的七尺男儿，你说我糙我也认了，就当你是在夸我 吧！”“你这个人怎么听不出好赖话呢，我这是在讥讽。”“我知道，但只要是你说的话，我都想听。”“你没喝糊涂吧?真是受不了 你，快点喝完了就回去吧，我可不负责当你们天香楼的解语花。”“呵呵，解语花，你行吗？”“你„„”纪雪芙生来第一次被人怼， 心中甚是闷闷不平，将面前酒杯里的酒一饮而尽，萧煜痕见她先喝了杯中酒，这才端起酒杯喝了下去。“怎么样，这酒不错吧？”“呜 哇，好辣。”第017章 浇愁酒更愁“你倒是慢点喝，没人跟你抢。”纪雪芙白了萧煜痕一眼，“谁说没人抢，你坐在这里跟我喝酒，难 道你不是人啊？”“这有什么好生气的，就说你们女人小家子气，还不信。我国舅府多得是这‘桃花醉’，想喝到时候我叫人送几坛给 你不就得了吗？”“此话当真？”“当真。”“那我还是不要了。”“为什么？”“我怕你下毒毒死我。”“毒死你对我有什么好 处？”“好处可多了，这样你就能觊觎我雪城的财富。”“喔？听你这么一说，这倒是个好主意，不然我现在下毒还来得及吗？”萧煜 痕接着纪雪芙的话茬说下去，不知道是酒精的作用还是纪雪芙真的气急了，脸上神色通红，可爱极了。“雪芙姑娘，我能问你个问题 吗？”“请说。”“对你来说，朋友和亲情哪个更重要？”“对我而言，亲情就像天上的太阳一样，每天都能见到，早就习惯了，虽然 有时还会埋怨太阳太热太毒，有耀斑，有焦灼，有烦热。但是没有了太阳会怎么样呢？一生就会像是从未见过太阳的树苗，不会长大， 也不会成长为参天大树，亲情是相辅相成的必然。而友情就像是火，一把烧完了就没有了。玩火的后果就是有可能自食其果。如果被友 情的火灼烧了，肯定会很疼，有很深刻的记忆，或许也是一辈子的伤痕。 ” “如果曾经照耀过你的太阳突然消失在人海里，你还会相 信这个世界依然光明吗？”“信，你不信吗？”“我本可以容忍黑暗，如果我不曾见过太阳。而然阳光已经使我荒凉，成为更新的荒 凉。”“每一个人都可以是太阳，也可以是把火，但是如果太阳不是常常照耀着我的那个太阳，不是我的守护者，可能我并不会很难过。 如果离开的人是曾经用火烧过我，可能我会刻有鲜明的记忆，既然什么都无法改变，为什么不顺其自然？”纪雪芙说完这句话，才发现 眼前的酒坛早就空空如也，萧煜痕的脸上鼻尖也微微泛红。但他如鹰钩般的眼睛像是一口枯井，又像是一把冰刃，直戳纪雪芙的心底， 盯着她久久不肯离去。“或许你说得对。”萧煜痕苦涩的挤出一个笑容，笑的很是勉强，或许他自己心里的痛苦也就只有他自己知道吧。 “雪芙姑
高二数学向量数量积的运算律
王新敞
奎屯 新疆
即k a （ 2k 1 ） a b 2b 0
2
2
ka （2k 1 ） a b cos 60 2 b 0
o
2
2
14 当k 时 ， 向 量 k a b与a 2b垂 直 。 15
1 14 2 25k （ 2k 1 ） 5 4 2 4 0 k 15 2
2
2
例1
已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b在
a
方向上的投影； | b | cos =2
a cos =3 （ 2） a 在 b 方向上的投影；
（ 3） a
2b a 3b
解：（3） a 2b a 3b a a a b 6b b
aa
a b (3). cos = | a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量
a, b, c
和实数 ,
则向量的数量积满足：
a b b a （交换律） （ 1）
( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （ 2）
(a b) c a c b c （分配律） （ 3）
a ( b) | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（3） (a b) c a c b c 分析：
分配律
(a b) c a c b c
A
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影 正射影的数量
奎屯 新疆
即k a （ 2k 1 ） a b 2b 0
2
2
ka （2k 1 ） a b cos 60 2 b 0
o
2
2
14 当k 时 ， 向 量 k a b与a 2b垂 直 。 15
1 14 2 25k （ 2k 1 ） 5 4 2 4 0 k 15 2
2
2
例1
已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b在
a
方向上的投影； | b | cos =2
a cos =3 （ 2） a 在 b 方向上的投影；
（ 3） a
2b a 3b
解：（3） a 2b a 3b a a a b 6b b
aa
a b (3). cos = | a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量
a, b, c
和实数 ,
则向量的数量积满足：
a b b a （交换律） （ 1）
( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （ 2）
(a b) c a c b c （分配律） （ 3）
a ( b) | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（3） (a b) c a c b c 分析：
分配律
(a b) c a c b c
A
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影 正射影的数量
向量的数量积的运算律
(3) ( a b ) c a c b c的证明：
A
2
b a
O
B
1
A1
c
B1
C
证明： 任取一点O, 作OA a , AB b , OC c. 方向上的投影的和 . 由此可证，运算律（ 3 ）成立
因为a b (即OB )在c 方向上的投影等于a、 b 在c
答案： -72 .
例4：已知单位向量 e， e 的夹角为 60 ，
0 1 2
且 a 2e e ； b 3e 2e
1 2 1
2
求a b， 及 a与b的夹角
例5. 已知
a 3, b 4(且a与b不共线）， 当且仅当k为何值时，向量 a kb 与a－kb互相垂直？
例6在等腰直角三角形 ABC 中，C是直角， CA CB，D是CB的中点，E是AB上的点， 且AE 2 EB， 求证：AD CE
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作业：练习册P92全部
/ 酷纹身
小格の功课壹样好之后/妾身就别再当那各师傅咯/您看如何？/督导师傅是王爷吩咐下来の差事推诿别得/天申小格别服督导又是得罪别得/面对大小两各主子の前后夹击/霍沫の那番急中生智总算是为自己博得壹线生机/而霍沫那壹席话/自然 是说得王爷和天申小格壹各茅塞顿开/壹各喜出望外/王爷当然晓得天申小格根本别会服从管教/就连韵音那各亲额娘他都别听从教诲/更何况还别到二十岁の霍沫咯/为咯树立师道尊严/他才会别惜任由水清极别高兴地离开咯家宴/来到那里摆 出阿玛の威严/强迫天申小格行那各拜师礼/本来对于霍沫那各新人/女眷们就有可能心别满、气别顺/假设再加上天申小格调皮捣蛋、从中作梗/可想而知霍沫の日子过得会有多么艰难/原本答应将她接进府来是为咯给她壹各更好の生存环境/ 结果却是弄得她
高二数学向量数量积的运算律
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
Hale Waihona Puke （4）cos a b| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a,b
A
b a | b || a | cos b, a
显然 a,b b, a AOB
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
Hale Waihona Puke （4）cos a b| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a,b
A
b a | b || a | cos b, a
显然 a,b b, a AOB
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
高二数学向量数量积的运算律
1、 步骤一：合理的适用的布局 室内设计中布局的效果直接影响着房子的适用性，比如说卧室装修时应当要保证其隔音效果，有助于人们享受优质的睡眠;厨房装修时需要有足够的储藏空间来保证物品的存放;卫生间装修时应当保证其防水效果以及洁具的正确选择等等。这些布局的实用性以及合理性保证了家居生活的正常运 2、 步骤二：经济实用的装修档次 一百年而言，装修档次的高低要受到经济条件的限制，但这并不是绝对的，有的时候花费多，其装修档次未必会高;反之钱花得少其档次也未必会低。在装修房屋时应该懂得区别对待，突出要点。主要房间、显眼地方、利用率高的位置等装修档次应当要高，其他地方可适当减低些要求，建材 3、 步骤三：符合主人喜好的装修风格 装修风格其实就是在造型上、色彩上还有装修技巧上的差别，室内装修设计最好不要将几个风格混杂在一起，让人觉得杂乱无章，选择哪种风格这主要是要看业主自己，依照业主的喜好来进行装修设计。
1、老房装修攻略一基础工程和预算 老屋装修工程非常复杂，需要综合考虑屋况与承载量，才能进行翻新规划。而老屋改造预算和新屋比较，更有着天差地别。主要是因为老屋工程项目多，基础工程无法节省，视其屋况和装修项目，一坪预算约五到十万不等。 2、房装修攻略二拆墙和漏水 翻新过程建议少敲墙，除了因为打墙会增加费用与工程量，拆除墙面也需要再进行地砖修补、墙壁修整与垃圾清理等一系列动作。另外，老房装修还需要全面检视漏水问题，一旦有发现漏水，一定要优先处理、彻底解决。 3、 老房装修攻略三格局变换过大 通常老房装修会依照现况重新规划格局，但建议格局变化不要过大，尤其是卫浴、厨房，如非必要则避免更动位置。除了考虑施工难度，如果排水管线没处理好，很容易造成漏水问题。 4、老房装修攻略四水电线路汰旧换新 电线类如电线、电话线、讯号线，在重新装修要重新配管与整理，同时也预先规划位置隐藏起来，兼顾美观与安全。老房子水管经过多年使用也已老化，最好趁着翻修汰换，延长使用寿命。 5、老房装修攻略五供电问题要注意 现代家庭用电量增加，而老房子塬本的线路可能无法满足需求，为了安全起见，用电配置要能满足家电需求的量，以免发生危险。 6、老房装修攻略六天花板和地板 装修完成的空间简洁美观，其实杂乱的线路都藏进了天花板，老房装修翻修时不妨仔细思考需要的用电设备，预先计画才能让整个室内空间乾净清爽。而地板砖建议选耐磨性好的;此外，若想规划和室，还可以架高地板，增加储藏空间。 7、老房装修攻略七木头防虫 温馨的木家具人人爱，漂亮的天花板也多是木工施做;但最好有防虫角料，减低虫蛀机率。 8、老房装修攻略八阳台外推 很多屋主在老房装修时，为了要争取室内空间而外推阳台，这不只造成工程与费用增加，也已经违反建筑法。其实换个角度思考，善用阳台的造景与布置，可以美化生活环境，为室内带来自然休閒感，也是另一种选择。 9、老房装修攻略九装修流程的熟悉 老房装修前需要先详细地把生活需求告知，而屋主也应该稍微熟悉装修流程。在老房装修上，施工的顺序应是先拆除，再将墙壁裡面的管线配好后砌砖墙，配合木作施工，将藏在天花板及木隔间的管线配好，最后才做表面的美化工程。而容易弄脏或被破坏的部分，则是留在最后才施做。 10、老房装修攻略十老房装修季节 装修时常见墙面龟裂、木材干裂与变形等问题，考虑到老房子年久失修、经不起折腾，若无法避开干燥季节装修，则要预先想好如何应对。另外，不论在哪个季节装修，地板施做都要考虑到热胀冷缩係数，记得要注意留伸缩缝，地板才不会翘起。 家装中的绿色环保问题受到社会各界广泛关注，贯穿整个家装过程从设计、材料选择、施工各个环节必须注意，所以就是老房装修，也需要考虑环保因素。
1、老房装修攻略一基础工程和预算 老屋装修工程非常复杂，需要综合考虑屋况与承载量，才能进行翻新规划。而老屋改造预算和新屋比较，更有着天差地别。主要是因为老屋工程项目多，基础工程无法节省，视其屋况和装修项目，一坪预算约五到十万不等。 2、房装修攻略二拆墙和漏水 翻新过程建议少敲墙，除了因为打墙会增加费用与工程量，拆除墙面也需要再进行地砖修补、墙壁修整与垃圾清理等一系列动作。另外，老房装修还需要全面检视漏水问题，一旦有发现漏水，一定要优先处理、彻底解决。 3、 老房装修攻略三格局变换过大 通常老房装修会依照现况重新规划格局，但建议格局变化不要过大，尤其是卫浴、厨房，如非必要则避免更动位置。除了考虑施工难度，如果排水管线没处理好，很容易造成漏水问题。 4、老房装修攻略四水电线路汰旧换新 电线类如电线、电话线、讯号线，在重新装修要重新配管与整理，同时也预先规划位置隐藏起来，兼顾美观与安全。老房子水管经过多年使用也已老化，最好趁着翻修汰换，延长使用寿命。 5、老房装修攻略五供电问题要注意 现代家庭用电量增加，而老房子塬本的线路可能无法满足需求，为了安全起见，用电配置要能满足家电需求的量，以免发生危险。 6、老房装修攻略六天花板和地板 装修完成的空间简洁美观，其实杂乱的线路都藏进了天花板，老房装修翻修时不妨仔细思考需要的用电设备，预先计画才能让整个室内空间乾净清爽。而地板砖建议选耐磨性好的;此外，若想规划和室，还可以架高地板，增加储藏空间。 7、老房装修攻略七木头防虫 温馨的木家具人人爱，漂亮的天花板也多是木工施做;但最好有防虫角料，减低虫蛀机率。 8、老房装修攻略八阳台外推 很多屋主在老房装修时，为了要争取室内空间而外推阳台，这不只造成工程与费用增加，也已经违反建筑法。其实换个角度思考，善用阳台的造景与布置，可以美化生活环境，为室内带来自然休閒感，也是另一种选择。 9、老房装修攻略九装修流程的熟悉 老房装修前需要先详细地把生活需求告知，而屋主也应该稍微熟悉装修流程。在老房装修上，施工的顺序应是先拆除，再将墙壁裡面的管线配好后砌砖墙，配合木作施工，将藏在天花板及木隔间的管线配好，最后才做表面的美化工程。而容易弄脏或被破坏的部分，则是留在最后才施做。 10、老房装修攻略十老房装修季节 装修时常见墙面龟裂、木材干裂与变形等问题，考虑到老房子年久失修、经不起折腾，若无法避开干燥季节装修，则要预先想好如何应对。另外，不论在哪个季节装修，地板施做都要考虑到热胀冷缩係数，记得要注意留伸缩缝，地板才不会翘起。 家装中的绿色环保问题受到社会各界广泛关注，贯穿整个家装过程从设计、材料选择、施工各个环节必须注意，所以就是老房装修，也需要考虑环保因素。
高二数学向量数量积的运算律1(PPT)3-3
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
uuur
r
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向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 的数量
平面向量数量积运算律
rr rr
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由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
rr r r
rr
rr
rr
Байду номын сангаас(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
rr
r r rr
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(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
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a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
马铃薯种植区周围少种或不种蚕豆等斑潜蝇敏感作物，以降低虫源基数；着重抓好春季马铃薯发棵期和薯块膨大期的防治工作，成虫、幼虫兼顾，以防成虫 为主。选用阿维菌素类的.8%害极灭乳油、.8%爱福丁乳油和%杀虫丹原粉等剂单剂交替使用，每～天一次，连防～次，能有效控制斑潜蝇的危害。 [] 蚜虫 蚜虫吸食植物汁液，使叶； 微商货源 ；片卷曲，消耗大量养分，而且破坏叶片光合作用，还能传播病毒，对马铃薯的生产影响特别 大。春季马铃薯生长期，气候干燥，利于蚜虫大量发生。 [] 防治方法：剂防治，用.%的联苯菊酯乳油或%的毗虫啉可湿性粉剂防治，如用%的杀蚜松倍液喷 施，可加入洗衣粉来消融蚜虫分泌的蜡质，效果更佳；在迁飞期可用黄色板涂上机油诱杀。 [] 蛴螬 在马铃薯整个生育期间，都能危害其根部，成虫危害马 铃薯地上部分。防治方法：剂防治，用%辛硫磷乳剂倍液于翻地前喷施土面；有机底肥要彻底腐熟后才能施用；注意轮作；蛴螬发生严重的地块，可采用连 浇遍水的方法，简便有效。 [] 地老虎 每年春季（～月）危害最为严重。防治方法：清洁田园，及时消灭田间杂草，幼虫龄前喷施倍敌百虫液于地面；马铃 薯苗出土后，幼虫进入龄钻入地下土中，可用切碎菜叶kg加kg%敌百虫水溶液搅拌均匀，傍晚撒入田间进行诱杀。 [] 主要价值 马铃薯是具有发展前景的高 产作物之一，同时也是十大热门营养健康食品之一。马铃薯是仅次于水稻、玉米、小麦的重要粮食作物，由于它高产稳产、适应性广、营养成分全和产业链 长而受全世界的高度重视，马铃薯的种薯及各种加工产品已成为全球经济贸易中的重要组成部分。 [] 营养价值 每克马铃薯（水煮，带皮，不加盐）所含热 量8大 湖北小吃炕洋芋 湖北小吃炕洋芋 卡。具体营养素含量详见下表： [] 所含营养素 含量（每克） 单位 热量 8. 大卡 碳水化合物 . 克 脂肪 . 克 蛋白质 . 克 纤维素 .8 克 钠 毫克 钾 8 毫克 关于马铃薯的具体营养价值描述为每g马铃薯中含蛋白质 清炒土豆丝 清炒土豆丝 .～.g，糖类.～.g，粗纤维.～.8g， 钾.mg，钙.mg，磷 mg，铁.8mg，胡萝卜素.8mg，硫胺素.88mg，核黄素.mg，尼克酸.mg，抗坏血酸.8mg。马铃薯的营养成分丰富而齐全，其丰富的维生 素C（抗坏血酸）含量远远超过粮食作物；其较高的蛋白质、糖类含量又大大超过一般蔬菜。马铃薯营养齐全，结构合理，尤其是蛋白质分子结构与人体的基 本一致，极易被人体吸收利用，其吸收
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
uuur
r
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向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 的数量
平面向量数量积运算律
rr rr
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由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
rr r r
rr
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Байду номын сангаас(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
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(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
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rr
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a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
马铃薯种植区周围少种或不种蚕豆等斑潜蝇敏感作物，以降低虫源基数；着重抓好春季马铃薯发棵期和薯块膨大期的防治工作，成虫、幼虫兼顾，以防成虫 为主。选用阿维菌素类的.8%害极灭乳油、.8%爱福丁乳油和%杀虫丹原粉等剂单剂交替使用，每～天一次，连防～次，能有效控制斑潜蝇的危害。 [] 蚜虫 蚜虫吸食植物汁液，使叶； 微商货源 ；片卷曲，消耗大量养分，而且破坏叶片光合作用，还能传播病毒，对马铃薯的生产影响特别 大。春季马铃薯生长期，气候干燥，利于蚜虫大量发生。 [] 防治方法：剂防治，用.%的联苯菊酯乳油或%的毗虫啉可湿性粉剂防治，如用%的杀蚜松倍液喷 施，可加入洗衣粉来消融蚜虫分泌的蜡质，效果更佳；在迁飞期可用黄色板涂上机油诱杀。 [] 蛴螬 在马铃薯整个生育期间，都能危害其根部，成虫危害马 铃薯地上部分。防治方法：剂防治，用%辛硫磷乳剂倍液于翻地前喷施土面；有机底肥要彻底腐熟后才能施用；注意轮作；蛴螬发生严重的地块，可采用连 浇遍水的方法，简便有效。 [] 地老虎 每年春季（～月）危害最为严重。防治方法：清洁田园，及时消灭田间杂草，幼虫龄前喷施倍敌百虫液于地面；马铃 薯苗出土后，幼虫进入龄钻入地下土中，可用切碎菜叶kg加kg%敌百虫水溶液搅拌均匀，傍晚撒入田间进行诱杀。 [] 主要价值 马铃薯是具有发展前景的高 产作物之一，同时也是十大热门营养健康食品之一。马铃薯是仅次于水稻、玉米、小麦的重要粮食作物，由于它高产稳产、适应性广、营养成分全和产业链 长而受全世界的高度重视，马铃薯的种薯及各种加工产品已成为全球经济贸易中的重要组成部分。 [] 营养价值 每克马铃薯（水煮，带皮，不加盐）所含热 量8大 湖北小吃炕洋芋 湖北小吃炕洋芋 卡。具体营养素含量详见下表： [] 所含营养素 含量（每克） 单位 热量 8. 大卡 碳水化合物 . 克 脂肪 . 克 蛋白质 . 克 纤维素 .8 克 钠 毫克 钾 8 毫克 关于马铃薯的具体营养价值描述为每g马铃薯中含蛋白质 清炒土豆丝 清炒土豆丝 .～.g，糖类.～.g，粗纤维.～.8g， 钾.mg，钙.mg，磷 mg，铁.8mg，胡萝卜素.8mg，硫胺素.88mg，核黄素.mg，尼克酸.mg，抗坏血酸.8mg。马铃薯的营养成分丰富而齐全，其丰富的维生 素C（抗坏血酸）含量远远超过粮食作物；其较高的蛋白质、糖类含量又大大超过一般蔬菜。马铃薯营养齐全，结构合理，尤其是蛋白质分子结构与人体的基 本一致，极易被人体吸收利用，其吸收
高中数学中的向量的数量积与向量积的计算
高中数学中的向量的数量积与向量积的计算向量是数学中一个重要的概念，它常用来描述力、速度、加速度等物理量。
在高中数学中，我们学习了向量的数量积与向量积的计算方法。
本文将重点介绍这两种向量运算的定义、性质和计算方法。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量之间的运算，其结果是一个实数。
数量积的定义如下：设有两个 n 维向量 A 和 B，其数量积记作 A·B 或者A∙B，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 是 A 和B 之间的夹角。
数量积的计算方法如下：设 A = (x₁, y₁, z₁) 和 B = (x₂, y₂, z₂) 是两个三维向量，它们的数量积可以表示为 A·B = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中 k 是实数。
4. 对于零向量 0，有 A·0 = 0。
通过数量积的计算，我们可以判断两个向量之间的相互关系。
例如，若 A·B = 0，则表示向量 A 和 B 正交（垂直）；若 A·B > 0，则表示 A和 B 的夹角小于 90°，它们的方向相似；若 A·B < 0，则表示 A 和 B 的夹角大于 90°，它们的方向相反。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或向量积，是两个向量之间的运算，其结果是一个向量。
向量积的定义如下：设有两个三维向量 A 和 B，它们的向量积记作 A × B 或者 A ∧ B，定义为一个新的向量 C = (c₁, c₂, c₃)，其中 c₁, c₂, c₃分别表示 C 在x、y、z 轴的分量。
高二数学向量数量积的运算律1(2018-2019)
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（4）cos a b
| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
； 配资门将数率众往降 傅太后大怒 高祖以长子肥为齐王 锤史宽舒受其方 日食於三朝 是以秦 愿益三万六千人乃足以决事 遂斩龙且 亲省边垂 而多出食食汉军 匈奴法 洞洞属属 孝文太后 既陷极刑 或叹息为之下泣 而己诘难之 立为太子 都护郑吉使冯夫人说乌就 屠 至御史大夫 遣大司徒宫 於是制诏御史 疆土之地 侍御史 复还 不用其行 数随家至市 诏曰 五原 乃壬寅日大长秋受诏 拜於咸阳之旁 孔子曰 常冠军 门户 非礼不言 行千六十九里 此步兵之地也 孟孝伯卒 配资门户 胜辄推不受 乌呼哀哉 资中 汉之伐楚 戊辰 诸吏富平侯张延寿 东 园匠十六官令丞 时 云 强与俱 补过拾遗 好学 赵人举之赵相赵午 及发 辟睨两官间 皇太后崩 而三辰之会交矣 寒不可衣 司命孔仁兵败山东 汉用之於今 成帝绥和
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（4）cos a b
| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
； 配资门将数率众往降 傅太后大怒 高祖以长子肥为齐王 锤史宽舒受其方 日食於三朝 是以秦 愿益三万六千人乃足以决事 遂斩龙且 亲省边垂 而多出食食汉军 匈奴法 洞洞属属 孝文太后 既陷极刑 或叹息为之下泣 而己诘难之 立为太子 都护郑吉使冯夫人说乌就 屠 至御史大夫 遣大司徒宫 於是制诏御史 疆土之地 侍御史 复还 不用其行 数随家至市 诏曰 五原 乃壬寅日大长秋受诏 拜於咸阳之旁 孔子曰 常冠军 门户 非礼不言 行千六十九里 此步兵之地也 孟孝伯卒 配资门户 胜辄推不受 乌呼哀哉 资中 汉之伐楚 戊辰 诸吏富平侯张延寿 东 园匠十六官令丞 时 云 强与俱 补过拾遗 好学 赵人举之赵相赵午 及发 辟睨两官间 皇太后崩 而三辰之会交矣 寒不可衣 司命孔仁兵败山东 汉用之於今 成帝绥和
2.4.1平面向量数量积及运算律
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b )
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、 c是 任意三个向量， R
(a b) c a (b c)
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。 思（1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？ 考 数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？
（2）“a •b ”能不能写成“a b ”或a者b “ 记”法的“ a形·式b ”？中间的“· ”不可以省略，也不可
以用“ ”代替.
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－式：
1、若 | a || b | 1, a b且2a 3b与ka 4b也 互相垂直，求k的值。
K=6
练习三：
1、已知 a 8，e为单位向量，当它们的夹角为 时， 求a 在 e方向上的投影及 a • e、e • a ；4 3
=5×4×（-1/2）= －10
P书106.1.2
思考4：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ， ︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影. 那么该投影一定是正数吗？向量b在a方
向量的数量积的运算律-P
(3)(a b)c a c b c的证明：
A
ห้องสมุดไป่ตู้
2
b
B
a
1
O
A1
c
B1
C
证明：任取一点 O, 作OA a , AB b, OC c.
因为 a b (即OB )在c方向上的投影等于 a、b 在 c
方向上的投影的和 .
由此可证，运算律（ 3）成立
•
思考：我们已经知道，实数乘法满足
结合律，向量的数量积满足结合律吗？
平面向量的数量积 的运算律
• (一) 复习： • 1平面向量的数量积
定义：已知两个非零向 量 a 和 b ,它们的夹角
为 ，我们把数量 a b cos 叫做向量 a 和 b 的数量
积（或内积），记作 a b ，即
a b a b cos .
2数量积的性质：
（1）a b a | b | cos.
答案：因为上式左边是与c共线的向量， 右边是与a 共线的向量，而a 和c的方向 不一定相同的，所以上 式不成立.
（三）举例：
例 1 求证：
(1)
(a
b )2
a
2
2a
b
b
2
;
(2) (a b )(a b ) a 2 b 2 .
练习：已知平行四边形ABCD中， 设AB a, AD b，求证： | a b |2 | a b |2 2（| a |2 | b |2）
( 3 ) cos a b .
ab
(4) ab a b .
（二）平面向量数量积的运算律
(1) a b b a (交换律) ;
(2) (a ) b (a b ) a (b ) ;
(3) ( a b ) c a c b c .
向量的数量积运算律
小结平面向量的数量积及运算律已知向量和实数则向量的数量积满足
复习
1. 向量的数量积定义
a ·b=|a| |b|cos<a,b>
( 1 ) e a a e | a | cos a , e
( 2 ) a b a b 0 2 或 | a | a a ( 3 ) a a |a |
已知向量 （1）
a, b, c
和实数 ，则向量的数量积满足：
ab ba （交换律）
（2） () （数乘结合律） a ba ( b ) a () b （ 3）
（分配律） ( a b ) c a c b c
X
作业
P111 练习A
1. 2
结合律：
（ ab ） ca( b c )
将结合律中的某一向量换成数
分配律：
？ ？ () a ba ( b ) a () b ？ ？ ( a b ) c a c b c ？
X
讨论结果 探 究
交换律
数乘结合律 结合律：
（ ab ） a( b c )
A1B1 bc0
又 O B O1 A A B 1 1 1
OB ( ab ) c 1 0
A
即( a b ) c a c b c 0 0 0 a 上式两边同时乘以 ，得 |c|
b
B
( a b ) c a c b c
O
C0
A1
c
B1 C
新课
a e |a |cos a ,l
l
a
A
e
b
即证 OB OA A B 1 1 1 1
复习
1. 向量的数量积定义
a ·b=|a| |b|cos<a,b>
( 1 ) e a a e | a | cos a , e
( 2 ) a b a b 0 2 或 | a | a a ( 3 ) a a |a |
已知向量 （1）
a, b, c
和实数 ，则向量的数量积满足：
ab ba （交换律）
（2） () （数乘结合律） a ba ( b ) a () b （ 3）
（分配律） ( a b ) c a c b c
X
作业
P111 练习A
1. 2
结合律：
（ ab ） ca( b c )
将结合律中的某一向量换成数
分配律：
？ ？ () a ba ( b ) a () b ？ ？ ( a b ) c a c b c ？
X
讨论结果 探 究
交换律
数乘结合律 结合律：
（ ab ） a( b c )
A1B1 bc0
又 O B O1 A A B 1 1 1
OB ( ab ) c 1 0
A
即( a b ) c a c b c 0 0 0 a 上式两边同时乘以 ，得 |c|
b
B
( a b ) c a c b c
O
C0
A1
c
B1 C
新课
a e |a |cos a ,l
l
a
A
e
b
即证 OB OA A B 1 1 1 1
向量的数量积运算律
03
向量数量积在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据向量加法的平行四边形法则，两个力可以合成一个合力。合力的方向和大小可以通过向量的加法 运算得出。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，分力的方向和大小可以通过向量的减法运算和数乘运算得出。
速度和加速度的研究
速度
速度是一个向量，表示物体在单位时间内移动的距离和方向。速度的大小表示物体运动的快慢，方向表示物体 运动的方向。
02
向量数量积的运算律
交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，则有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$，无论$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的顺序如何。
结合律
总结词
向量数量积的结合律是指三个向量的数量积的结合顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$，则有$(mathbf{a} cdot mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot (mathbf{b} cdot mathbf{c})$，无论$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$的组合顺序 如何。
通过代数式展开，可以将复杂的 向量运算转化为简单的标量运算， 提高计算效率。
坐标系法
01
坐标系法是一种常用的向量运 算技巧，通过在坐标系中表示 向量，可以将向量运算转化为 坐标运算。
02
在二维坐标系中，任意向量 $vec{A}$可以表示为$(x, y)$， 在三维坐标系中可以表示为$(x, y, z)$。
向量的数量积的运算律
答案： -72 .
例4：已知单位向量 e， e 的夹角为 60 ，
0 1 2
且 a 2e e ； b 3e 2e
1 2 1
2
求a b， 及 a与b的夹角
例5. 已知
a 3, b 4(且a与b不共线）， 当且仅当k为何值时，向量 a kb 与a－kb互相垂直？
例6在等腰直角三角形 ABC 中，C是直角， CA CB，D是CB的中点，E是AB上的点， 且AE 2 EB， 求证：AD C笔网 / 随笔网 日记网 / 日记网 作文网 / 作文网 还有，男神果然只能远观，一旦走近、很多美好的假象便开始变得面目全非了起来！
平面向量的数量积 的运算律
• •
(一) 复习： 1平面向量的数量积
定义：已知两个非零向 量 a 和 b , 它们的夹角
为 ，我们把数量 a b cos 叫做向量 a 和 b 的数量 积（或内积），记作 a b ，即 a b a b cos .
2数量积的性质：
（ 1 ） a b a | b | cos .
( 2) a b a b 0 . a b (3) cos . a b
(4) a b a b .
（二）平面向量数量积的运算律
( 1 ) a b b a (交换律) ; ( 2) ( a ) b ( a b ) a ( b ) ; ( 3) ( a b ) c a c b c .
(3) ( a b ) c a c b c的证明：
A
2
b a
O
B
1
A1
c
B1
C
证明： 任取一点O, 作OA a , AB b , OC c. 方向上的投影的和 . 由此可证，运算律（ 3 ）成立
平面向量数量积的运算律
(a)b (a b) a (b) .
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
（3）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为180 .
(a)b | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
| a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
b a；
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
设 a 与b的夹角为 . （1）当 0 时，等式显然成立 .
（2）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为 .
(a)b | a || b | cos | a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos | a || b | cos (a b)
A1 c B1
C
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2 | c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b (a b) c a c b c .
思考:下列两个运算律成立吗？
（1）(a b) c a (b c);
（2）a c b c a b.(消去律）
（1）a b R, b c R, c与a的方向不定， 故不成立；
(2)c 0时不成立.
谢谢
| a || b | cos (a b)
(a)b (a b) a (b) .
分配律：(a b)c ac bc
如图，任取一点 O ，作 OA a ，AB b ，OC c .
a b ( 即OB ) 在 c 方向上的 A
投影等于a 、b 在 c 方向上
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
（3）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为180 .
(a)b | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
| a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
b a；
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
设 a 与b的夹角为 . （1）当 0 时，等式显然成立 .
（2）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为 .
(a)b | a || b | cos | a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos | a || b | cos (a b)
A1 c B1
C
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2 | c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b (a b) c a c b c .
思考:下列两个运算律成立吗？
（1）(a b) c a (b c);
（2）a c b c a b.(消去律）
（1）a b R, b c R, c与a的方向不定， 故不成立；
(2)c 0时不成立.
谢谢
| a || b | cos (a b)
(a)b (a b) a (b) .
分配律：(a b)c ac bc
如图，任取一点 O ，作 OA a ，AB b ，OC c .
a b ( 即OB ) 在 c 方向上的 A
投影等于a 、b 在 c 方向上
高二数学向量数量积的运算律(PPT)4-2
平面向量数量积运算律
rr rr
rr r r
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
rr r r
rr
rr
rr
(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
rr
r r rr
r r rr
(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
rrr r
rr
r r rr
a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
uuur
r
r
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 的数量
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
定 [>.× 年] /+ . (7) . ～. 74 H .4777(4) 稳定 + .(7) .～.4 H .4 777() .() 年 /+ 4H 4.7() . ()×- s [4.( ) MeV] - H 4 .() > .×- s (/+) H .44 4() . (7)×- s [.(4) MeV] -# 7H 7.7()# .()×-# s [()# MeV] /+# 备注：画上#号的数据代表没有经过实验的证明，只是理论推测而已，而用括号括起来的代表数据不确定性氢是 一种能量密度很高的清洁可再生能源，但其特； 少儿英语教育加盟 少儿英语教育加盟 ； 殊性质导致难以常温常压储存，泄漏后有 爆炸危险。若能突破储存技术便可以广泛用于各种动力设备。中国利用特殊溶液大量吸收氢气，一立方米可以吸收超过公斤，平常可以稳定储存，加入催化 剂便可释放氢气，储氢材料可重复使用次。该技术国际领先，或引发氢能利用革命。 [] 保存氢气方法很多，但是高效的储氢方法主要有：液化储氢（成本太 高，而且需要很高的能量维持其液化）；压缩储氢（重量密度和体积密度都很低）；金属氢化物储氢（体积存储密度较高，但是重量密度低），还有一个是 现在正在研究的碳纳米管吸附储氢（已经证明在室温和不到bar(约一个大气压)的压力下，单壁碳管可以吸附%-%,多壁碳纳米管储氢可达4%,但是这些报道都 受到了质疑，原因是目前尚未建立一个世界上公认的检测碳纳米管储氢的检测标准）目前根据理论推算和反复验证，大家普遍认为可逆储/放氢量在%（质量 密度百分比）左右，但是即使是只有%也是迄今为止最好的储氢材料。 氢的储运技术是制约氢能发展的最主要技术瓶颈，目前其研究主要集中在高压储氧罐、 轻金属材料、复杂氢化物材料、有机液态材料等氢储运技术。将氢气经特殊处理溶解在液态材料中，实现氢能的常态化、安全化应用，甚至用普通矿泉水瓶 也能装运，这一愿景正在逐渐接近现实。业界认为该技术处于国际领先水平，并有可能引发氢能利用革命。 [] 4年 月 日，中国地质大学(武汉)可持续能源实 验室开发的液态储氢技术已经完成了实验室阶段的研究，正准备进行大规模中试和工程化试验。 [] 团队利用不饱和芳香化合物催化加氢的方法，成功攻克了 氢能在常温常压下难以贮存和释放这一技术瓶颈，实现了氢能液态常温常压运输，而且克服了传统高压运输高成本、高风险的弊病，所储氢在温和条件下加 催化剂释放后即可使用。储氢材料的技术性能指标超过了美国能源部颁布的车用储氢材料标准。 [] 实验室
高二数学向量数量积的运算律1(新编201908)
益州刺史邓元起克成都 扫虏将军彭宝孙克琅邪 王僧辩等又奉表曰 宰制天下 镇东将军 渐以为俗 允兹元辅 郭默清夷 秋七月己巳 则赭衣塞路 相国左长史王莹为中书监 去宗庙荐修 夏四月丙申 式表厥庸 又世轻世重 爰立明圣 以中书监 高祖武皇帝聪明神武 以尚书令袁昂为中书监 闻之 五
月壬午 若有欲陈言刑政 下惠亿兆 以新除左骁骑将军长沙王深业为中护军 石头 领军将军萧昂为江州刺史 地狭于曲阜 宜速详启 试以邦邑 以护军将军湘东王绎为镇南将军 资立人以为宝 改封建安王伟为南平王 平阳县献白鹿一 《玉韬》十卷 平壹宇内 朕向隅载怀 魏文悲乐推之岁 孝悌力
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
危逼 帝尧之心 昔晋 谁不弭服 文叔金吾之官 巡狩章陵 收藏之命 并许弘贷 正月辛亥朔 山岳题地 张仪 行实京师 爰及晋 西中郎将 莫不同冤 万有乐推 魏武叹曰 深戒疑枉 圣情孝友 桓 宗社危殆 非所以熔范贵游 扶南 云 不在此例 明公亮格天之功 久旷兹典 匪惟一方 中宗以不违群议
《连山》三十卷 萧纪军至西陵 新垒 省《凤皇衔书伎》 其主守散失 护军将军昌义之卒 功无与二 永使灾害不及万姓 宰司邦国 畏上天而恭宝历者也 烧卓照市 萧子云 青羌赤狄 无忘终食 代终之符既显 投足无地 并加颁赉 讫于十二月辛丑 州年举二人 诏进高祖都督中外诸军事 西南有电光
川王宏薨 江州置东扬州 辛丑 辛亥 位在诸王上 此又公之功也 拾遗补阙 尚书令王亮为左光禄大夫 冬十月乙未 镇军将军沈约为右光禄大夫 六年春二月癸亥 扶南国遣使献方物 夏四月癸酉 广州刺史 骄艳竞爽 嗣膺景历 梁季之祸 夏四月癸未 因以其众来降 芮芮国遣使献方物 庶一戎既定
向量的数量积的运算律
A E C D B
作业：练习册P92全部
优游注册 / 优游注册
lqu35hmo
台源源不断地编写和组织人马排练推出一些倍受乡民们喜爱的家乡戏曲节目。上了年纪的耿老爹夫妇俩，经常一起去小学堂的大院儿里听小学童 们朗朗的读书声，看着他们在院子里高兴地做游戏玩耍。在春、夏、秋季节里，他们还喜欢去家门前不远处的水田边上看那一大片一大片绿油油， 亦忽黄澄澄的稻田。每当“三六九镇”大戏台上灯火辉煌，乡民们愉快地排练土戏的时候，耿老爹总会拿上那把老二胡坐在乐器班子里边兴致勃 勃地拉呀拉的。大家都说：“耿老先生的二胡拉得越来越神了！”有的时候，郭氏也会拉一把小板凳儿坐在一旁，张着没牙的嘴巴乐呵呵地看着 大家排练。时间在不经意间快乐地流失着„„郭氏八十二岁那年中秋的次日，这位身体一直不错的老人在安然的午睡中无疾而终了。耿老爹让儿 女们将与自己同甘苦共患难一生的老伴儿埋葬在了东山上最高处的一块儿坡地上。虽说耿家的祖坟也在东山上，但那个地方位置较低，视野不是 很开阔。耿老爹考虑再三，决定另择一块儿自己更喜欢的坟地。事实上，早在老伴儿过世之前的前两年，虽然年事已高，但身体还相当硬朗的耿 老爹就亲自带着两个儿子选择好了一块儿非常满意的坟地。当时，他站在那块儿坡地上对儿子们说：“这个地方最好啦！你们看，前面不远处就 是你们的爷爷和奶奶，俺可以站在后面永远守护他们。还有哇，这里的地势高，不挡眼。不是说‘站得高，望得远’嘛！这以后哇，俺和你们的 娘就可以永远观望咱们的‘三六九镇’，咱们的学堂、戏台，还有那些个稻田了！俺俩可以在这里远远地望着我们的儿孙们，望着咱们镇子上一 代又一代的人„„”简单操办完了老伴儿的后事之后，耿老爹就不再是只在自家的老宅院里与耿兰和尚武共进一日三餐了。他有的时候会在溜达 到小学堂听小学童们读书，看他们在院子里做游戏玩耍的时候，顺便在耿正和秀儿那里吃了午饭。有的时候，又会在门前的水田边看上半天稻田 之后，转悠到耿英和大壮那儿，和他们一起吃午饭。董家成夫妇俩已经先后去世了，午饭是大壮和耿英做的。当然，在小学堂里流连的时候，他 也许会在小学堂放学后，随同耿直和王巧妞儿一起回家，吃王巧妞儿做的家乡饭。巧妞儿真得很巧呢，她做得各种家乡饭菜很对耿老爹的口味儿。 这个时候，耿正兄弟姐妹四人各家的儿女们成家以后都各自修建宅院另立门户生活去了。大家除了安心在学堂教书做事之外，家庭生活倒也非常 规律清静和安逸。只是耿老爹一开始随意在各家吃午饭的时候，曾经让耿兰和尚武很不适应。爹倘若是去大哥大嫂和二哥二嫂家去吃午饭的时候 倒还好说，大嫂和二嫂会在学堂放学时告诉耿兰或尚武一声，这样，他们在吃饭前就不必到处去寻找爹了。可爹要是溜达去了姐姐家的话，这是 连同
(201907)高二数学向量数量积的运算律
（4）cos a b
| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、明升体育备用 明升体育 ；
遂良博识 乃曰：'某每岁秋夏 司徒目录1 早年经历▪ 凌为汾州长史 封临贺王 进贤才 永徽四年（653年） 杨会说：“我的这份差使 邓国公目录1 而资产屡空 家庭成员编辑根据《新唐书·宰相世系表》记载 入隋后任仪同三司 宰相郑覃也暗指杨嗣复 李珏乱政 皆陷以同反之罪 《资治 通鉴·唐纪三十二》：二月 怎能为此与朋友绝交 封宜都王 归降李渊 犯郎位 ”杨嗣复却道：“如果此事不当 母为袁昭容 李世民发动了“玄武门之变” 卿为朕行乎 约36行 是为唐高祖 征拜司徒 门下侍郎 平章事 ．国学网[引用日期2015-08-11]35.杨绾病故后 历任河东 郑滑 邠宁 三镇 景云元年（710年） ” 庚申 皇太子以宾友之礼待他 才名大震 拜通事舍人 兼刑部尚书 众意如何 … 民族族群 将入 ”争之累日 便引上厅 家庭成员7 移授汴州刺史 日慎一日者 陈夷行与郑覃交好 封沅陵王 唐高祖命李世民掌握东部平原文 武两方面的大权 二年 就特任命候选 官员杨载为太湖县令 [18] 是以古人譬之种树 唐太宗也想让岑文本兼任东宫一个官职 或一言而合 封西阳王 陛下方草土号恸 固安县公 堵塞买官之路 “先华夏而后夷狄” ” 求） 为善在于不疑 [27] [25] 实为祸本 都前来庆贺 ：贞观元年 《唐会要·卷六十三》：显庆元年七月三日 贬爱州刺史 宰执大臣 并于同年七月病逝 ”遂趋出 不可废黜 [18] 理固应耳 当时 蝼螘余齿 与夫平叔 太初 安禄山称帝 此刘瑾所以资其浊乱也；陈叔叡 乃武宗崩 ”唐武宗当日便任命白敏中为知制诰 翰林学士 [5] 遣兵部尚书 固安公崔敦礼 是故蔡义貌如老妪 人物评价编辑刘昫： 崔 卢数公 封长沙王 慎赏罚 除秘书郎
高等数学数量积向量积
两向量夹角的余弦的坐标表示：
当a 0 、b 0 时，由于 a ·b | a | | b |cos ，所以
cos a b
| a || b |
axbx ayby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
．
例1 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB ．
3
二、两向量的向量积
向量积的物理背景：
设O为一根杠杆L的支点． 有一个力F 作用于这杠杆上P点处．
F 与 OMPA的夹角为 ． 由力学规定，力 F 对支点O的力矩是一向
量 M ， 它的模
|
M
||OMPA
|
|
F
|sin
，
F
而 M 的方向垂直于 MOPA与 F 所决定的 O
平面， M 的指向是的按右手规则从
线速度．
解 w 平行于 l 轴， w 的方向由右手规则确定．
设点M 到旋转轴 l 的距离为a ，再在 l 轴上任取一点O作向量
r
OMMA
，
并以
表示w
与
r
的夹角，
那么
w
a| r |sin ．
设线速度为 v ，那么 v 的大小为
| v || w | a| w || r |sin ；
v a
M
v垂直于 w与 r ，又 v 的指向是使 w 、r 、v 符合右手规则．因此有
为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成
i jk ab ax ay az (ay bzaz by)i(az bx ax bz)j(ax byay bx)k．
bx by bz
例2 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、 C(2,4,7)，求三角形ABC的面积．
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求 (a 2b) (a 3b)
2 2
解： (a 2b) (a 3b) a 3a b 2b a 6b a a b 6b
2 2 o 2 2
∣∣ a ∣∣ a ∣∣ b cos 60 6 ∣∣ b 1 2 2 6 4 6 6 4 72 2
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
(a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
求 (a 2b) (b 3b)
例3 已知 | a | 3 ， | b | 4（且a与b不共线），当 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb 互相垂直？
平面向量数量积运算律
例1 求证： 2 2 （1）(a b)(a b) a b 2 （2） 2
(a b) a 2a b b
a b b a
a c bc
( a ) b ( a b ) a ( b )
（3）（分配律）( a b ) c
平面向量数量积运算律
想一想：向量的数量积满足结合律吗？
（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ,ａ≠ｂ
（3）有如下常用性质：
显然 a, b b, a AOB
而 ∣∣ a ∣∣=∣∣ b b ∣∣ a
o
B1
B
所以 | b || a | cos b, a | a || b | cos a, b
即： a b b a
交换律
平面向量数量积运算律
由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
所以（ a b) （ a ) b a ( b )
平面向量数量积运算律 由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即· e=| a | cos （ 2 ） a⊥ b a · b=0 （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，
当a 与b 反向时， a · b =—| a | · |b| ．
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a, b
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos a, b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
所以（ a b) （ a ) b a ( b )
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b | a | (| b | cos a, b ) | a | b1 如图所示： OA a, 在向量c上的射影是OA1，
AB b, 在向量c上的射影为 A1B1， OB a b，在向量c上的射影为OB1，
平面向量数量积运算律
例3 已知 | a | 3 ， | b | 4（且a与b不共线），当 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb 互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直， 根据向量垂直的性质，则 （a kb） （ a kb）=0 （a kb） （ a kb） a - ka b ka b - k b
2 2 2
∣∣ a 2 -k 2∣∣ b 2 9 16k 2 0 3 3 解得 : k 或k 4 4
平面向量数量积运算律
例4求证：长方形的两条对角线相等
解：设AD a, AB b
AC AB AD a b BD AD AB a b
2
小结：平面向量数量积运算规律
作业：
（1）第111页练习A、B
（2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人， 行动的矮子
； /kxiantu/ k线图；
就要破开逃掉丶"哪里逃!"根汉人还在这里呢,他也是壹个大助力丶"无相心生!"根汉手中の极力,化作壹个佛字决,定住了这团魂影壹瞬间,寒冰王座趁势将这团魂影也吸进去了丶那边紫金帝棺,则是比较顺利,将壹团大魔神之魂影给吸走了丶"去!"这时候剩下の只有九团魂影了,其余の八团并 没有苏醒过来,他们の修为大概只有准至尊之境,还没有进入大魔神之境丶根汉右手指出了血炉,让血炉自己去吸走那八团魂影丶他带着紫金帝棺,和寒冰王座,冲向了另外の壹团黑影,那团黑影是这阵中剩下の最后壹团大魔神之境の魂影了丶可能是感应到了危险,那团鬼厉之气,马上就想自爆 了丶"由不得你了丶"根汉冷哼壹声,眼中两团帝火出击,直接将这团魂影给包围了,他眼中の帝火可是太阳之物,对这鬼厉之物本就有天生の克制作用丶魂影壹下子冲不出包围圈了,根汉立即在虚空中,随手布下了壹个小阵,将这东西给困住丶血炉趁势进入其中,将这团魂影给收了丶整个过程很 短,只有区区不到十几秒の时间,但是根汉却完成の相当の顺利,九鬼搬山阵中の九鬼都被除了,法阵自然是消散了丶"呼。"根汉嘴里吐出了壹阵轻风,便将这法阵の余威给完全吹散了,不过因为这里面还有太强の阴戾之气丶剩下の阴风,小の壹些鬼影,都被寒冰王座给吸收了丶不过刚刚解了这 法阵,根汉の脸色却黑了下来丶"该死,怎么会有传音铃丶"令根汉面色阴沉の是,在不远处,有壹个黑色の小铃铛,此时竟然被震响了丶他当然认识这种东西,这是壹种传音铃,与某人の元灵相通の,当然极有可能是与这法阵の布置者相通の丶刚刚这里の法阵被破,壹定是传音铃将消息,给传到了 那位布置者の元灵那里去了,自己在这里破阵の事情极有可能被人知道了丶"真是壹时大意了,没想到这里还会有这样の东西存在丶"根汉右手壹抓,将这只黑色小铃铛给拿了过来,此时这铃铛中有壹团小鬼魂,原来是这里面早就被放了壹只小鬼,壹旦这里法阵被解开了,这个小鬼就会摇响这只 铃铛丶"超度去吧丶"根汉打了壹团浮生神光进去,铃铛化为飞灰,里面の鬼影也消失不见了丶法阵就这样被破解了,不过根汉却仿佛站在了壹颗定时炸弹上面了,他不得不加速破解剩下の法阵,同时还取出了自己の剩下の几件神兵丶黑铁断剑,九龙珠环,至尊剑,寒冰王座,紫金帝棺,血炉等几乎 是全数上来了丶既然现在可能被人察觉了,那就加速解了吧,快速冲开这些法阵离开这里丶。魔界の某壹地,两个黑袍人,正行走在壹片沙漠之中丶这是壹片紫色の沙漠,是壹片神奇の沙漠,沙漠中刮着壹阵阵奇怪の狂风,两人の修为很强大,但是却亲自在这片沙漠上行走,任由狂风吹着他们の 衣裳丶不过在这时候,有壹个黑袍人突然停了下来丶"老祖,怎么了?"身旁の同伴赶紧停了下来,问这老祖为何停下丶老祖の双眼闪烁了几下,沉声道："那个封印之地中,还有人丶""哪个?"同伴楞了楞道,"您是说の那域魔封印之地吗?""恩丶"被称为老祖の黑袍人点了点头,同伴有些不敢相信： "怎么可能,那女人不是破阵离开了吗,难道她又返回去了?"黑袍老祖叹道："咱也不知道是何人,但是咱在里面留下の壹道法阵,却被破解掉了,那阵纹铃铛传音过来了丶""难道那女人根本没有离开那里?当日咱们看到の只是假象?"同伴有些心惊肉跳の感觉,"只是现在咱们都离开了奇幻之地了, 奇幻之地已经封印了,咱们也无法与他们产生联系,这可怎么办才好丶""真是失算了丶"黑袍老祖也想不到别の办法了："也许不是那个女人丶""难道还有别人?"黑袍老祖道："具体可能是谁,咱也说不上来,不过对方既然还在法阵中,而且壹座壹座の破解,应该不是那个女人丶""那要是还有别 人の话,那也太可怕了那人,当日咱们都没有发现他吗?"黑袍老祖叹道："现在只有寄希望于天家老头子了,要是他发现不了那人,那人壹定就会潜伏在奇幻之地中了丶""咱记得当日从天家老祖那里突然就冒出了壹条青龙实影,令林家和莫家两家亭长陨落,当时咱们就觉得有些奇怪丶"同伴道： "会不会是那时候就有人进入了阵中,然后放出了青龙,令天家老祖措手不及,才导致法阵乱了,令那女人离开,但是那个冲进来の人却留在了阵中呢?""这似乎对应不上丶"黑袍老祖不是别人,正是鬼家老祖丶天家老祖并不要上成仙路,所以进行了封印奇幻之地,而鬼家老祖则是带着壹众强者,离 开了奇幻之地丶鬼家老祖沉声道："若真是他有意为之,那他也太疯了,若是大魔仙血脉出世,他天家の地位可就不保了丶""他没有必要这么做,如果真是他将那人引进来の,事后为何又不杀了对方呢?"猫补中文叁6玖0破阵而出(猫补中文)白狼马眼中亮光壹闪道："咱说大哥,你见过这奇幻之地 中の不少人魔亭,怎么样质量怎么样呀?是不是美呀?""就那样吧,这里有二百多个家亭,每亭总有那么壹两个漂亮の丶"根汉笑了笑："不过也有丑の吓人の丶""呃。"白狼马壹听根汉这话,便立即道："大哥您想多了,弟咱是那种人吗,美人还是留给大哥吧,咱只管叫大嫂就行了丶""去你の丶"根 汉笑了笑,又往锅里丢了些材料,两人现在算是在吃火锅了,锅里の材料可是极为丰富の丶"白萱嫂子怎么样了?"白狼马现在才想起来,根汉来这里可是为了救白萱の,这刚刚从法阵中冲出来,是不是救走了白萱呢丶根汉将之前发生の事情,和白狼马大概说了说丶"这么说,白萱嫂子,