届高考数学一轮复习第5章 第5节 数列的综合应用(新人教A版)(山东专用)PPT课件
高考数学(理)一轮复习课件：5-5数列的综合应用(人教A版)
■ ·考点自测· ■
1. [2012·蚌埠二中质检]已知数列{an}的通项公式为 an＝6n－4，数列{bn}的通项公式为bn＝2n，则在数列{an}
的前100项中与数列{bn}中相同的项有( )
A. 50项
B. 34项
C. 6项
D. 5项
答案：D
解析：a1＝2＝b1，a2＝8＝b3，a3＝14，a4＝20，a5＝ 26，a6＝32＝b5，又b10＝210＝1024>a100，b9＝512 ==令=== 6n －4，则n＝86，∴a86＝b9，b8＝256 ==令=== 6n－4无解，b7 ＝128 ==令=== 6n－4，则n＝22，∴a22＝b7，b6＝64＝6n－4 无解，综上知，数列{an}的前100项中与{bn}相同的项有5 项．
∴Tn＝π2 [1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]， 2Tn＝π2 [1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]，
两式相减，得
π
－Tn＝ 2 [1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·
2n＋1]，∴Tn＝π[(2n－3)·2n＋3].
[规律总结] 本题把数列、导数、解析几何等知识巧 妙地融合在一起，具有较强的综合性，在解决数列知识 与其他章节知识的综合题时，要注意思维角度与解题途 径的选择，提高数字变形转换、推理等综合能力．
3. 数列知识的综合问题 (1)数列本身的综合 数列知识内部综合主要是指以等差数列和等比数列 为中心的综合问题，通常涉及到等差、等比数列的证 明，基本计算、求和等．
(2)数列与其他章节知识的综合 与数列常联系在一起命题的知识主要有函数、不等 式和解析几何，以及三角、复数等．有时带有探索性， 涉及到的方法有转化与化归、放缩、数学归纳法、反证 法、函数思想等．
高考数学总复习 第5章 第5讲 数列的综合应用课件 理 新人教A版
第二十三页，共60页。
解：(1)设数列{an}的公差为 d，由题意知
2a1＋2d＝8， 2a1＋4d＝12.
解得 a1＝2，d＝2.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)可得 Sn＝na12＋an＝n2＋2 2n＝n(n＋1)．
[审题视点] (1)在数列中，利用an与Sn的关系求通项公式， 这是最基本的思路；(2)数列是特殊的函数，所以可用函数的思想 解决(jiějué)数列的最值问题．
[解] (1)取 n＝1，得 λa21＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0. 若 a1＝0，则 Sn＝0. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， 所以 an＝0(n≥1)． 若 a1≠0，则 a1＝2λ.
第5讲 数列的综合应用
第一页，共60页。
不同寻常的一本书，不可不读哟iè)的等差关系或等比关 系，并能用相关知识解决相应的问题.
第三页，共60页。
1个必知应用 生活中涉及到银行利率、产品利润、人口增长、工作效率、 图形面积、曲线长度等实际问题时，常考虑用数列知识(zhī shi)求 解．
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对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等 比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系 (guān xì)．往往用到转化与化归的思想方法．
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[变式探究] [2012·重庆(zhònɡ qìnɡ)高考]已知{an}为等差数 列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
第四页，共60页。
2个必会综合 1. 数列知识内部综合问题，通常涉及(shèjí)到等差、等比数 列的证明、基本计算、求和等． 2. 数列知识与其它章节知识的综合问题；有时带有探索性， 涉及(shèjí)到的方法有转化与化归、放缩、函数思想等．
新人教A版高考数学一轮复习第5章数列课件文
2019/7/17
最新中小学教学课件
7
பைடு நூலகம்
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you!
2019/7/17
最新中小学教学课件
8
[导学心语] 1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等 差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列 基本量的计算． 2．重视 an 与 Sn 关系、递推关系的理解与应用，加强由 Sn 求 an，由递推关 系求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．
3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题， 等差(比)数列中共涉及五个量 a1、an、Sn、d(q)、n，“知三求二”，体现了方程 思想的应用．
一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相 减、倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法．
重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力．
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
高考数学总复习 第五章第5课时 数列的综合应用课件 新人教版
an＝a(1＋r)n,属于等比模型.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的 前后两项之间的关系不固定,随项的变 化而变化时,应考虑是an与an＋1之间的
递推关系,还是前n项和Sn与前n＋1项和
Sn＋1之间的递推关系.
课前热身
1.(2012· 盘锦调研 ) 已知 {an},{bn} 均为
等差数列 , 且 a2 ＝ 8,a6 ＝ 16,b2 ＝ 4,b6 ＝ a6, 则由 {an},{bn}的公共项组成的新数 列{cn}的通项公式cn＝( A.3n＋4 ) B.6n＋2
低题目的难度,解题时有时还需利用条
件联立方程求解.
例1
已知等差数列 {an}的前四项的和
A4＝60,第二项与第四项的和为 34,等比
数列{bn}的前四项的和 B4＝120,第二项
与第四项的和为90. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2) 设 cn ＝ an· bn, 且 {cn} 的前 n 项和为 Sn, 求Sn.
＋
① －②得：
－ 2Sn ＝ 9· 3 ＋ 4· 32 ＋ 4· 33 ＋…＋ 4· 3n － (4n＋ ＋ 5)· 3n 1 3 1－3 ＝ 27＋4· 1－3 ＝ 27＋2· 3
n＋ 1 2 n－1
－ (4n＋5)· 3n
n＋ 1
＋1
－ 18－(4n＋5)· 3
,
1 n＋ 1 ∴ Sn＝ [(4n＋ 3)· 3 － 9]. 2
答案：B
4.某种产品三次调价,单价由原来的每克
512 元降到 216 元 , 则这种产品平均每次
降价的百分率为________. 答案：25%
5.(2012· 威海调研 )已知函数 f(x)＝a· bx 的图 1 象过点 A(2, ),B(3,1),若记 an＝ log2f(n)(n∈ 2 N*),Sn 是数列 {an}的前 n 项和 ,则 Sn 的最小 值是________.
2021届新课标数学一轮复习讲义_第五章_第5讲_数列的综合应用
第5讲 数列的综合应用考点一__等差数列与等比数列的综合问题______已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)． (2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.[规律方法] 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．1.已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25 ，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2.故a n ＝－2n ＋27. (2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .考点二__数列的实际应用问题__________________某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，求S n (n ≥7)．[解] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ； 当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，34为公比的等比数列．又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7. (2)由等差及等比数列的求和公式得 当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6 ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6.[规律方法] 解答数列实际应用问题的步骤：(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型．基本特征见下表：数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少等比数列 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 简单递推数列指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a (常数)作为下年度的开销，即数列{a n }满足a n ＋1＝1.2a n －a(2)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确；(3)给出问题的答案：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．2.现有流量均为300 m 3s 的两条河A ，B 汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2 kgm 3和0.2 kgm 3，假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1 s 内交换100 m 3的水量，即从A 股流入B 股100 m 3水，经混合后，又从B 股流入A 股100 m 3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01 kgm 3(不考虑沙沉淀)． 解：设第n 个观测点处A 股水流含沙量为a n kg m 3，B 股水流含沙量为b n kgm 3，则a 1＝2，b 1＝0.2，b n ＝1400(300b n －1＋100a n －1)＝14(3b n －1＋a n －1)，a n ＝1400(300a n －1＋100b n －1)＝14(3a n －1＋b n －1)，a n －b n ＝12(a n －1－b n －1)，∴{a n －b n }是以(a 1－b 1)为首项，12为公比的等比数列．∴a n －b n ＝95×⎝⎛⎭⎫12n －1.解不等式95×⎝⎛⎭⎫12n －1<10－2，得2n －1>180，∴n ≥9.因此，从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01 kg m 3.考点三__数列与不等式的综合问题(高频考点)__数列与不等式的综合问题是每年高考的难点，多为解答题，难度偏大． 高考对数列与不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度： (1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题．等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *， ∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18， ∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2.∴2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3. ∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)，∴3(2n －1)>k ·3·2n －1－2，∴k <2－13·2n －1对一切n ∈N *恒成立． 令f (n )＝2－13·2n －1，则f (n )随n 的增大而增大，∴f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53，∴k <53.∴实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，53. [规律方法] 数列与不等式的综合问题的解题策略(1)数列与不等式的恒成立问题．此类问题常构造函数，通过函数的单调性、最值等解决问题；(2)与数列有关的不等式证明问题．解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．3.(1)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.①当n ∈N *时，求f (n )的表达式；②设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2； (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－⎝⎛⎭⎫2n ＋1a n (n ∈N *)．①求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；②设数列{2n a n }的前n 项和为T n ，A n ＝1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ，试比较A n 与2na n 的大小．解：(1)①令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，∴f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n .②证明：设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝⎛⎭⎫12n， ∴T n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ，12T n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2×⎝⎛⎭⎫123＋3×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴T n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n <2.(2)①证明：由a 1＝S 1＝2－3a 1，得a 1＝12，当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n n ＝12×a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项和公比均为12的等比数列．②由①得a n n ＝12n ，于是2n a n ＝n ，所以T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，则1T n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，于是A n ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1，而2na n ＝2n ＋1n 2，所以问题转化为比较2n n 2与n n ＋1的大小． 设f (n )＝2n n 2，g (n )＝n n ＋1，当n ≥4时，f (n )≥f (4)＝1，而g (n )<1，所以f (n )>g (n )． 经验证当n ＝1，2，3时，仍有f (n )>g (n )． 因此对任意的正整数n ，都有f (n )>g (n )．即A n <2na n.交汇创新——数列与函数的交汇设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n . [解] (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n . 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以T n ＝2n ＋1－n －22n.[名师点评] 数列与函数的交汇创新主要有以下两类：(1)如本例，已知函数关系转化为数列问题，再利用数列的有关知识求解；(2)已知数列，在求解中利用函数的性质、思想方法解答．[提醒] 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决，同时要注意n 的范围．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)．(1)求{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，3a n ＋1＋2S n ＝3⇒a 2＝13；当n ≥2时，3a n ＋1＋2S n ＝3⇒3a n ＋2S n －1＝3，得3(a n ＋1－a n )＋2(S n －S n －1)＝0，因此3a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1a n ＝13，因为a 2a 1＝13，所以数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝13的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1.(2)因为∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，即32k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，所以k ≤1－⎝⎛⎭⎫13n .令f (n )＝1－⎝⎛⎭⎫13n，n ∈N *，所以f (n )单调递增，k 只需小于等于f (n )的最小值即可， 当n ＝1时，f (n )取得最小值，所以k ≤f (1)＝1－13＝23，实数k 的最大值为23.1．设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则a b 1＋a b 2＋a b 3＋a b 4＋a b 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1， ∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0. 4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，则a n ＝( ) A ．(n －2)·2n B ．1－12n C.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n ，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)．设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n ＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n－2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n＝1时，上式成立，所以选A.5．在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，其公比为1q ，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q 3.又因为⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n ， 即a 1（1－q n）1－q≤1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q 3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：67．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________． 解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2. 再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2. 答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q 为常数，∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1. ∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n .解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)， 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n＋1)．故数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n－（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.1．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n－1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1， 3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.2．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，北京市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．依题意，得{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列．所以{a n }的前n 项和S n ＝128×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n1－32＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n－1，{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n （n －1）2a . 所以经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n－1＋400n ＋n （n －1）2a .(2)若计划7年内完成全部更换，则S (7)≥10 000，所以256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫327－1＋400×7＋7×62a ≥10 000，即21a ≥3 082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.3．已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n .问T n >1 0002 015的最小正整数n 是多少？解：(1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，a 1＝f (1)－c ＝13－c ， a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。
高三数学 一轮复习 第5知识块第5讲 数列的综合应用课件 文 新人教A版
同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长
模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前
几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推关系的知识求解问题．
2．数列与其他分支的知识的综合应用 (1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何、极限等知识的 综合． (2)解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支 内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分 解成若干个小题或“步骤”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最 后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论．
答案：B
2．(2009· 江西卷)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比
中项，S8＝32，则S10等于( A．18 解析：由题意可知 B．24 ) C．60 D．90
S10＝10×(－3)＋ 答案：C
×2＝60.
3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案，则 第n个图案中有白色地面砖的块数是( )
第5讲
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数列差关系或等比关系，
并能用相关知识解决相应的问题.
1．数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量有一个固定的具体量时，该模 型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． (2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，该模型是 等比模型． (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，
(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第五章数列5_5数列的综合应用课件文新人教A版
3．掌握数列与函数、不等 查求通项，第二问考查求和，并与不等
式的综合问题.
式、函数、最值等问题综合.
考点一|等差、等比数列的综合问题 (方法突破) 【例 1】 (2016·高考北京卷)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3 ＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和．
＝34－12n＋1 1＋n＋1 2. ∵Tn＋1－Tn＝n＋11n＋3>0， ∴数列{Tn}单调递增， ∴{Tn}中的最小项为 T1＝13.
考点三|数列与不等式综合问题 (能力突破) 【例 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＋a7＝－9，S9＝－929. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝21Sn，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证：Tn>－34.
[解析] (1)设数列{an}的公差为 d， 2a1＋6d＝－9，
考点二|数列的实际应用 (思维突破) 【例 2】 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间 更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型 和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 400 辆； 计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%，混合动力型车每年比上一年 多投入 a 辆． (1)求经过 n 年，该市被更换的公交车总数 S(n)； (2)若该市计划 7 年内完成全部更换，求 a 的最小值．
跟踪训练 (1)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝5，S8＝64. ①求数列{an}的通项公式； ②证明：Sn1－1＋Sn1＋1>S2n(n≥2，n∈N*)． 解析：①设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 则aS38＝ ＝a81a＋1＋2d28＝d5＝，64， 解得 a1＝1，d＝2. 故数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
高考数学第一轮复习 第五篇 第5讲 数列的综合应用课件 理 新人教A版
审审题题路路线线 (1)求 f′(x) ⇒由 f′π2＝0 得 an、an＋1、an＋2 的关系式
⇒可推出数列{an}为等差数列 ⇒根据条件求公差 d ⇒得出通项 an
解（1）由题设可得，对任意 n∈N*，f′(x)＝ an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x.
f′π2＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即 an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列． 由 a1＝2，a2＋a4＝8，解得 d＝1，所以 an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
3n1－2，
∴an＝ 3n－2. 答案 an＝ 3n－2
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数列(shùliè)与函数、不等式的综合
考
应用
点
【例 3】设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意 n∈N*，函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x
满足 f′π2＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)见下一页
等差、等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的综合问题
考 点
【训练 1】(2014·昆明模拟)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列， 它的前 n 项和为 Sn，且 a1＋1，a3＋1，a7＋1 成等比数列．
(1)求{an}的通项公式； (2)求数列S1n的前 n 项和 Tn.
解（1）
(2) 由(1)知 an＝2n＋1，则 Sn＝n(n＋2)，
解（2） 因为ana1n＋1＝2n－112n＋1 ＝122n1－1－2n1＋1，
所以，Tn＝121－13＋13－15 ＋…＋2n1－1－2n1＋1
＝121－2n1＋1. ∴Tn＜12，要使不等式 4Tn＜a2－a 恒成立，
高考数学第一轮复习强化训练 5.5《数列的综合应用》新人教版必修5
5.5数列的综合应用【考纲要求】1．探索并掌握一些基本的数列求前n 项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。
【基础知识】一、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决。
二、方法总结1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。
3、单利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和)1(nr p S n +=；复利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和n n r p S )1(+=。
【例题精讲】例1 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===）解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利：63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092≈-=+++++++Λ（万元）， 银行贷款本息：29.16%)51(1010≈+（万元），故甲方案纯利：34.2629.1663.42=-（万元）， ②乙方案获利：5.02910110)5.091()5.021()5.01(1⨯⨯+⨯=⨯+++⨯++++Λ 50.32=（万元）；银行本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++⨯Λ 21.1305.0105.105.110≈-⨯=（万元） 故乙方案纯利：29.1921.1350.32=-（万元）；综上可知，甲方案更好。
高三数学人教A数学(理)高考一轮复习课件：第五章 第五节 数列的综合应用
第十二章
选考部分
考点一
1 ． (2016· 贵州七校联考 ) 已
典题悟法
试题
(2)若 an<an＋1， 由(1)知 an＝2n－1， 1 1 1 ∴ ＝ ＝ anan＋1 2n－12n＋1 2
a11－qn 21－2n n 项和 Sn＝ ＝ 1－ q 1－ 2 棵数是前一天的 2 倍，则
植 2 棵，以后每天植树的
n 1 n 1 ＝ 2 － 2. 由 2 －2≥100，得 需要的最少天数 n(n∈N )
*
＋ ＋
6 ． 等于________
2
n＋1
≥102. 由 于 2 ＝ 64,2 ＝
演练冲关
1，且 b3S3＝36，b2S2＝8(n∈N*)． (1)求 an 和 bn；
1 (2)若 an<an＋1， 求数列a a 的前 n n＋1
2 d＝－ ， 3 或 q＝6， 或
an＝2n－1， ∴ n－1 b ＝ 2 ， n
n 项和 Tn.
1 an＝ 5－2n， 3 n－1 b ＝ 6 . n
n
演练冲关
an (1)求证：数列3n－1是等差数列；
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
an ∴数列3n－1 是等差数列．
栏目 导引
第十二章
选考部分
考点一
在数列{an}
典题悟法
试题
解析
an (2)由(1)知数列3n－1 是等差数列，
第十二章
选考部分
知识点
具体解题步骤用框图表示如下：
知识点
栏目 导引
第十二章
选考部分
知识点
届高考数学一轮总复习 第5章 数列 第五节 数列的综合应用课件 文 新人教A版
(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋…＋n＝nn2＋1. 要使(n－8)bn≥nk 对任意 n∈N*恒成立， 即实数n－82n＋1≥k 对任意 n∈N*恒成立． 设 cn＝12(n－8)(n＋1)，则当 n＝3 或 4 时，cn 取得最小值，为 －10，所以 k≤－10. 即实数 k 的取值范围为(－∞，－10]．
[即时应用] (2016·南昌三校联考)已知公比不为 1 的等比数列{an}的首 项 a1＝12，前 n 项和为 Sn，且 a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6 成等 差数列． (1)求等比数列{an}的通项公式； (2)对 n∈N*，在 an 与 an＋1 之间插入 3n 个数，使这 3n＋2 个数成等差数列，记插入的这 3n 个数的和为 bn，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn.
解：(1)证明：由已知，bn＝2an＞0. 当 n≥1 时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以，数列{bn}是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列． (2)函数 f(x)＝2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在 x 轴上的截距为 a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，
第五节
数列的综合应用
考点一 等差数列与等比数列的综合问题 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列； (3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.
解：(1)设数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由 a10＝30，a20＝50，得方程组aa11＋＋91d9＝d＝305，0， 解得ad1＝＝21.2， 所以 an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10. (2)由(1)，得 bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n， 所以bbn＋n 1＝44n＋n 1＝4. 所以{bn}是首项为 4，公比为 4 的等比数列．
高中一轮数学练习 第五章 第5节 数列的综合应用
第五章第五节数列的综合应用题组一等差、等比数列的综合问题1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则am＋cn等于() A．4B．3 C．2 D．1解析：由题意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，则am＋cn＝an＋cmmn＝a·b＋c2＋c·a＋b2a＋b2·b＋c2＝ab＋ac＋ac＋bcab＋ac＋b2＋bc2＝2.答案：C2．数列{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a6＝b7，则有() A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定解析：∵a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．答案：B3．(文)已知等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a2＝3，S6＝36.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{a n·b n}的前n项和为T n，求T n.解：(1)∵数列{a n}是等差数列，∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，又∵a1＝a2－d＝1，∴a n＝2n－1.(2)由等比数列{b n}满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，得b 4＋b 5b 1＋b 2＝q 3＝8，∴q ＝2， ∵b 1＋b 2＝3，∴b 1＋b 1q ＝3，∴b 1＝1，b n ＝2n －1， ∴a n ·b n ＝(2n －1)·2n －1.∴T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1， 则2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减得(1－2)T n ＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n －2＋2·2n －1－(2n －1)·2n ，即 －T n ＝1＋2(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝1＋2(2n －2)－(2n －1)·2n ＝(3－2n )·2n －3， ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列{a n －2}为等比数列； (3)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列， ∴(a n ＋1＋S n ＋1)－(a n ＋S n )＝2，即a n ＋1＝a n ＋22.∵a 1＝1，∴a 2＝32，a 3＝74.(2)证明：由题意得a 1－2＝－1， 又∵a n ＋1－2a n －2＝a n ＋22－2a n －2＝12，∴{a n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列．(3)由(2)得a n －2＝－(12)n －1，∴na n ＝2n －n ·(12)n －1，∴T n ＝(2－1)＋(4－2·12)＋[6－3·(12)2]＋…＋[2n －n ·(12)n －1]，＝(2＋4＋6＋…＋2n )－[1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n －1]，设A n＝1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n－1，①∴12A n ＝12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n ， ② ①－②得12A n ＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n －1－n ·(12)n ，∴12A n ＝1－(12)n1－12－n ·(12)n ， ∴A n ＝4－(n ＋2)·(12)n －1，∴T n ＝n (2＋2n )2＋(n ＋2)·(12)n －1－4＝(n ＋2)·(12)n －1＋n (n ＋1)－4.4.气象学院用3.2用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N ＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了 ( ) A ．600天 B ．800天 C ．1 000天 D ．1 200天解析：由第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N ＋)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n 的值． 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104＋(5＋n ＋4910)n2n ＝3.2×104n ＋n 20＋4.95，当且仅当3.2×104n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800. 答案：B5．(2010·邯郸模拟)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.解析：由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n}为等差数列，所以{1x n}为调和数列，则可得数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝20010＝20. 答案：206．数列{a n }中，a 1＝6，且a n －a n －1＝a n －1n ＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则这个数列的通项a n＝________.解析：由已知等式得na n ＝(n ＋1)a n －1＋n (n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)，则a nn ＋1－a n －1n ＝1，所以数列{a n n ＋1}是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，即a nn ＋1＝n ＋2，则a n ＝(n＋1)(n ＋2)．n ＝1时，此式也成立． 答案：(n ＋1)(n ＋2)7.2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A ．6秒钟 B ．7秒钟 C ．8秒钟 D ．9秒钟 解析：设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100， ∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7. 答案：B8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励．解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2，a n －a n －1＝12a n ，即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2046.答案：20469．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么 x ＋y ＋z 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝6×(12)4＝38，故x ＋y ＋z ＝2.答案：B10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9(k ∈N *)，则k 的值为________．解析：∵S n ＝23a n －13，∴S 1＝23a 1－13＝a 1，a 1＝－1.a n ＝S n －S n －1(n >1)，即a n ＝(23a n －13)－(23a n －1－13)＝23a n －23a n －1，整理得：a n a n －1＝－2，∴{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列，S k ＝a 1(1－q k )1－q ＝(－2)k －13，∵1<S k <9，∴1<(－2)k －13<9，即4<(－2)k <28，仅当k ＝4时不等式成立． 答案：411．(文)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项为S n ；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a 1≠0，∴a n ≠0，∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列．(2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2， ∴S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.(3)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1，∴λ≤(3n ＋1)(3n －2)3n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立．设C n ＝(3n ＋1)(3n －2)3n －3，则C n ＋1－C n ＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1)>0，故C n ＋1>C n ，∴C n 的最小值为C 2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值． 解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式． ∴a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列， 由{b n }的前9项和为153，可得9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5，∴b n ＝3n ＋2. (2)c n ＝3(2n －1)(6n ＋3)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)． ∵n 增大，T n 增大， ∴{T n }是递增数列． ∴T n ≥T 1＝13.T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，只要T 1＝13＞k 57，∴k ＜19，则k max ＝18.。
高考数学一轮总复习 5.5 数列的综合应用课件(含高考真题)文 新人教版
所以 5a1+10>12 +8a1,即12 +3a1-10<0,解得-5<a1<2.
第十四页，共37页。
)一
探究(tànjiū)
突破
考点(kǎo diǎn)二
数列与函数的综合应用
【例 2】已知函数 f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列{an}满足
关闭
19(19+1)
正整数
x,应为 19.∴200B
2
=10.
答案
解析
答案
(jiě xī) (dá àn)
解析
第八页，共37页。
梳理(shūlǐ)
自测
9
4.在数列{an}中,对任意自然数 n∈N*恒有 a1+a2+…+an=2n-1,则 a1+22 +
33 +…+ =
.
∵a1+a2+…+an=2n-1,当 n≥2 时,a1+a2+…+an-1=2(n-1)-1,两式作差得
探究(tànjiū)
突破
1
2
(2)解:f(x1)=f
f(xn+1)=f
2
1+2
=-1,
=f
+
1+
=f(xn)+f(xn)=2f(xn),
1
2
y2-x2=1 上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前
n 项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
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∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，
f1n＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
用裂项法求和得 Sn＝n＋n 1.
【答案】
n n＋1
5．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，
如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x) 为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如
故数列lg
a1n的前 6 项的和最大．
规律方法 1 1.1本题的切入点是求 a1，从而得 an 与 Sn 的关 系，转化成等比数列求通项公式；2递减的等差数列的前 n 项和 有最大值，运用函数思想求解.
2.等差数列与等比数列的联系： 1若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为 ad，其中 a 是常数，d 是{an}的公差.a＞0 且 a≠1. 2若数列{an}是等比数列，且 an＞0，则数列{logaan}是等差数 列，公差为 logaq，其中 a 是常数且 a＞0，a≠1，q 是{an}的公比.
【解析】 每天植树的棵树构成以 2 为首项，2 为公比的 等比数列，其前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝211－－22n＝2n＋1－2.由 2n＋1－2≥100，得 2n＋1≥102. 由于 26＝64,27＝128，则 n＋1≥7， 即 n≥6. 【答案】 6
考向一 [096] 等差数列与等比数列的综合应用
(2)当 λ＝100 时，令 bn＝lg a1n， 由(1)知，bn＝lg 120n0＝2－nlg 2，
于是数列{bn}是公差为－lg 2 的递减数列．
b1>b2>…>b6＝lg
12060＝lg
100 64 >lg
1＝0，
当 n≥7 时，bn≤b7＝lg
12070＝lg
100 128<lg
1＝0.
成等差数列，则 S4＝( ) A．7
B．8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．15
D．16
【解析】 设数列{an}的公比为 q，则 4a2＝4a1＋a3， ∴4a1q＝4a1＋a1q2，即 q2－4q＋4＝0，∴q＝2. ∴S4＝11－－224＝15. 【答案】 C
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒
的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样
抓
住
挖
２
掘
个
１
基
大
础
技
知 识
第五节 数列的综合应用
法
点
掌
握
课
３
堂
个
限
核
时
心
检
考
测
向
[考情展望] 1.结合函数、不等式、方程、几何等知识，综合 考查数列的相关性质，如最值、不等关系的证明等.2.在具体情景中， 借助等差或等比数列的有关知识解决实际问题．
一、数列应用题常见模型 1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模 型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． 2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． 3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不 固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an＋1 的递推关系，还 是前 n 项和 Sn 与 Sn＋1 之间的递推关系．
的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6 秒钟
B．7 秒钟
C．8 秒钟
D．9 秒钟
【解析】 设至少需要 n 秒钟，则 1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，
∴11－－22n≥100，∴n≥7.
【答案】 B
3．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝4π，则 tan(a2＋a12)的值为________．
【解析】 ∵{an}是等差数列，且 a1＋a7＋a13＝4π， ∴a1＋a13＝a2＋a12＝2a7. 又 3a7＝4π，故 2a7＝83π. ∴tan(a2＋a12)＝tan83π＝tan23π＝－ 3.
【答案】 － 3
4．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则数列f1n (n∈N*)的前 n 项和是________．
(2012·四川高考改编)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 常数 λ＞0，a1≠0，且 λa1an＝S1＋Sn 对一切正整数 n 都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 λ＝100，当 n 为何值时，数列lg
a1n的前 n 项和最大？
【思路点拨】 (1)由 an 与 Sn 的关系，得 an 与 an－1 的递推公
②中，ffaan＋n1＝22aan＋n 1＝2an＋1－an＝2(q－1)an 不满足定义．
对于③，fan＋1＝ fan
aan＋n 1＝ |q|满足定义．
对于④，取 an＝2n，则 f(an)＝ln|2n|＝n·ln 2 不是等比数列．
综上知，①、③是“保等比数列”函数．
【答案】 C
6．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第 一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最 少天数 n(n∈N*)等于________．
二、解答数列应用题的步骤 1．审题——仔细阅读材料，认真理解题意． 2．建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题 转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． 3．求解——求出该问题的数学解． 4．还原——将所求结果还原到原实际问题中．
1．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，且 4a1,2a2，a3
式，利用等比数列的定义求 an；(2)根据等差(比)数列的性质，求
lg
a1n前 n 项和的最值．
【尝试解答】 (1)当 n＝1 时，λa21＝2S1＝2a1， ∵a1≠0，∴a1＝2λ， 从而 2an＝2λ＋Sn，① 当 n≥2 时，2an－1＝2λ＋Sn－1，② 由①－②，得 2an－2an－1＝an， ∴an＝2an－1(n≥2)， 故数列{an}是公比为 2，首项 a1＝2λ的等比数列， 因此 an＝2λ·2n－1＝2λn.
下函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝ |x|；
④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
【解析】 设等比数列{an}的公比为 q，则aan＋n 1＝q， ①中，ffaan＋n1＝aa2n＋2n 1＝q2，∴①满足定义，