高等数学大学课件 8-4
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高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容1. 极限与连续数列极限的定义及性质函数极限的定义及性质无穷小、无穷大的概念极限的运算法则函数在一点处的连续性定义函数在区间上的连续性2. 导数与微分导数的定义及几何意义基本导数公式高阶导数微分的定义及运算法则隐函数、参数方程函数求导3. 微分中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则泰勒公式函数的单调性、凹凸性、极值和最值二、教学目标1. 掌握极限、导数、微分等基本概念及其性质、运算法则。
2. 能够运用微分中值定理解决实际问题，分析函数的性质。
3. 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：极限、导数、微分等概念的理解；微分中值定理的应用。
2. 教学重点：极限、导数、微分的基本性质和运算法则；函数的单调性、凹凸性、极值和最值的求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过实际案例，如物体的运动轨迹、温度变化等，引出极限、导数、微分等概念。
2. 例题讲解选取具有代表性的例题，详细讲解极限、导数、微分的基本性质和运算法则。
结合图形，解释函数的单调性、凹凸性、极值和最值的概念。
3. 随堂练习布置与例题难度相当的练习题，让学生巩固所学知识。
对学生进行个别辅导，解答疑问。
4. 课堂小结六、板书设计1. 极限、导数、微分的基本概念及性质。
2. 极限、导数、微分的运算法则。
3. 微分中值定理及其应用。
4. 函数的单调性、凹凸性、极值和最值。
七、作业设计1. 作业题目求下列函数的极限、导数、微分。
判断下列函数的单调性、凹凸性，并求极值、最值。
2. 答案详细的解答过程和答案。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生研究更高级的微积分概念，如泰勒级数、场论等。
鼓励学生参加数学竞赛、数学建模等活动，提高数学素养。
重点和难点解析1. 教学内容的布局与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的识别4. 教学过程的实践情景引入5. 例题讲解的深度和广度6. 板书设计的清晰度与逻辑性7. 作业设计的针对性与答案的详细性8. 课后反思与拓展延伸的实际效果详细补充和说明：一、教学内容的布局与组织教学内容应遵循由浅入深、循序渐进的原则。
高等数学下8_4课件.ppt
I y ( x2 z2 )( x, y, z)dv,
Iz ( x2 y2 )( x, y, z)dv.
8.4.2 重积分在力学中的应用
物体 对 xOy, yOz, zOx 坐标面的转动惯量为
Ixy z2( x, y, z)dv, I yz x2( x, y, z)dv, Izx y2( x, y, z)dv,
8.4 重积分的应用
8.4.1 利用二重分计算曲面面积 8.4.2 重积分在力学中的应用
8.4.1 利用二重分计算曲面面积
设曲面 S 的方程为：z f ( x, y) z
在 xoy 面上的投影区域为 D,
dA S
如图，设小区域 d D,
M dS
点 (x, y) d ,
为S上过 M( x, y, f ( x, y))
薄片对于 y 轴的转动惯量
I y x2( x, y)d . D
8.4.2 重积分在力学中的应用
类似地，占有空间有界闭区域 、在点 ( x, y, z)
处的密度为 ( x, y, z) （假设 ( x, y, z) 在 上连
续）的物体对于 x, y, z 轴的转动惯量为
Ix ( y2 z2 )( x, y, z)dv,
x D
,
( x, y)d
y D
.
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，此时质心称为平面图形的形心.
x
1 A
D
xd
,
y
1 A
D
yd .
其中 A d D
8.4.2 重积分在力学中的应用
例8.22 设平面薄板由
x y
a(t a(1
csions tt)) ,
Iz ( x2 y2 )( x, y, z)dv.
8.4.2 重积分在力学中的应用
物体 对 xOy, yOz, zOx 坐标面的转动惯量为
Ixy z2( x, y, z)dv, I yz x2( x, y, z)dv, Izx y2( x, y, z)dv,
8.4 重积分的应用
8.4.1 利用二重分计算曲面面积 8.4.2 重积分在力学中的应用
8.4.1 利用二重分计算曲面面积
设曲面 S 的方程为：z f ( x, y) z
在 xoy 面上的投影区域为 D,
dA S
如图，设小区域 d D,
M dS
点 (x, y) d ,
为S上过 M( x, y, f ( x, y))
薄片对于 y 轴的转动惯量
I y x2( x, y)d . D
8.4.2 重积分在力学中的应用
类似地，占有空间有界闭区域 、在点 ( x, y, z)
处的密度为 ( x, y, z) （假设 ( x, y, z) 在 上连
续）的物体对于 x, y, z 轴的转动惯量为
Ix ( y2 z2 )( x, y, z)dv,
x D
,
( x, y)d
y D
.
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，此时质心称为平面图形的形心.
x
1 A
D
xd
,
y
1 A
D
yd .
其中 A d D
8.4.2 重积分在力学中的应用
例8.22 设平面薄板由
x y
a(t a(1
csions tt)) ,
第8章高等数学PPT课件
定义6 对于函数y = f (x)在x0附近有定义（在x0可以没有定义），如果当x
无限地趋近于x0（始终不等于x0）时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的常
数A，则称函数y = f (x)当
x →x0时以A为极限，记作f (x) = A 或f (x)
→ A (x →x0)。
lim
xx0
第21页/共40页
余弦函数y = cos x的性质：
定义域是R，值域是[-1, 1]，是偶函数， 是周期函数，最小正周期是2π
正切函数y = tan x的性质：
定义域是{x
x
R, 且x
2
k
,
k
Z}
，
值域是R，是奇函数，是周期函数，最小正周
期是π
第15页/共40页
余切函数y = cot x的性质：
定义域是{x x R,且x k , k Z} ，值
第19页/共40页
二、函数极限的定义
定义3 对于函数y = f (x)，如果当x无限地增 大时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的常 数limA，则称函数y = f (x)当x → +∞ 时以A为
x
极限，记作
f (x) = A或 f (x) → A (x → +∞)。
定义4 对于函数y = f (x)，如果当lixm无限地 x 变小（x的绝对值无限地增大）时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的常数A，则称函数y = f (x)当x → －第∞20页时/共4以0页A为极限，记作
lim
x x0
第22页/共40页
定义8 对于函数y = f (x)在x0附近有定义（在x0可以没有定义），如果当x 从小于x0的方向无限地趋近于x0（始终不等于x0）时，函数值f (x)无限趋近 于一个确定的常数A，则称A是函数y = f (x)当x →x0时的左极限，记为 f (x) = A或f (x) → A (x →x0－)。
高等数学完整详细PPT课件
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第7页/共175页
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
xa ,
xa
在 U 0(a, )内任取一点x, 在以 a 与 x 为端点的区间上,
f1( x), F1( x)满足柯西中值定理的条件, 则有
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) F ( x) F ( x) F (a) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim f ( x) A, xa F ( x)
x0 1
第19页/共175页
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 .
三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x 1 x2 2
( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nbn1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
第6页/共175页
几何解释:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
《高等数学教学课件》8-6共27页文档
故所给直线的对称式方程为 x 1 y z 2 t 4 1 3
参数式方程为
x y
1 t
4
t
z 2 3 t
解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
(1,0,2) 是直线上一点
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
又和直线
L2
:
xy z 相交,求此直线方程 2 1
.
解：方法1 利用叉积.
设直线Li的方向向量为 si(i1,2),过 A 点及 L2的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 ss1n, n
因原 O 在 L 点 2上 ,所以
A
i jk
ns2OA 2 1 1 3i3j3kO 121
L2 s2
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直线L的方程为
x
y
x0 y0
At Bt
z z 0 Ct
代入平面的方程得 tA0xB0yC0zD
A2B2C2
n • M0 d=?
于是交点N的坐标为:
N
x 0 A ( A A 0 2 B B 0 2 x C C 2 0 y D ) , y z 0 B ( A A 0 2 B B 0 2 x C C 2 0 y D ) , z z 0 C ( A A 0 2 B B 0 2 x C C 2 0 y D ) z
L2 B(x0,y0,z0)
即
x 0 2 y 0 ,z 0 y 0
L2
:
xy z 2 1
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而 AB ( x 0 1 ,y 0 2 ,z 0 1 ) L1
高等数学 第八章 数列与无穷级数 8-4幂级数
n 0
n 0
an 1 x n 1 an 1 lim x 1)若0 ρ , lim n n an x n an
当ρ x 1, 即 x 当ρ x 1, 即 x
1 ρ 1 ρ
时, 原级数收敛; 故收敛半径 1 R . 时, 原级数发散. ρ
n
2 6
, n 为奇数 , n 为偶数
不能
lim
n
un ( x ) lim
n
n
2 ( 1)
x 2
备用题
x2 x3 xn 例2-1 x ( 1) n1 2 3 n 求收敛半径及收敛域.
解
1 an n lim R lim 1 n n a n 1 n1
( 该幂级数的收敛域： 1, 1).
设S ( x )
n 1
( 1)n1 n( n 1) x n ( 1)n1 nx n1
0
x
S ( x )dx
n 1
x 2 ( 1)n1 nx n1 令F ( x )
n 1
n 1
( 1)n1 nx n1
余项：
例1 (1) 和函数
1 ( x 1) 2
发散域： ( , 0 ]
等比级数 1 公比: x
2
收敛域：
(2)
级数发散 ;
故级数的收敛域: 收敛域一般不一定为区间
二、幂级数及其收敛性
1. 定义
1 ( x 1), 例如, 等比级数 为幂级数 x 1 x n 0
n
问题
一般幂级数的收敛域是否为区间？
n0
其和函数.具体步骤如下：
n 0
an 1 x n 1 an 1 lim x 1)若0 ρ , lim n n an x n an
当ρ x 1, 即 x 当ρ x 1, 即 x
1 ρ 1 ρ
时, 原级数收敛; 故收敛半径 1 R . 时, 原级数发散. ρ
n
2 6
, n 为奇数 , n 为偶数
不能
lim
n
un ( x ) lim
n
n
2 ( 1)
x 2
备用题
x2 x3 xn 例2-1 x ( 1) n1 2 3 n 求收敛半径及收敛域.
解
1 an n lim R lim 1 n n a n 1 n1
( 该幂级数的收敛域： 1, 1).
设S ( x )
n 1
( 1)n1 n( n 1) x n ( 1)n1 nx n1
0
x
S ( x )dx
n 1
x 2 ( 1)n1 nx n1 令F ( x )
n 1
n 1
( 1)n1 nx n1
余项：
例1 (1) 和函数
1 ( x 1) 2
发散域： ( , 0 ]
等比级数 1 公比: x
2
收敛域：
(2)
级数发散 ;
故级数的收敛域: 收敛域一般不一定为区间
二、幂级数及其收敛性
1. 定义
1 ( x 1), 例如, 等比级数 为幂级数 x 1 x n 0
n
问题
一般幂级数的收敛域是否为区间？
n0
其和函数.具体步骤如下：
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第8章
系数行列式，把系数行列式第 j 列元素用方程组右端的常数项代
替后得到二阶行列式 Dj ( j 1，2)，即有
D1
b1 b2
a12 a22
，D2
a11 a21
b1 b2
当 D 0 时，例1方程组的唯一解可表示为
x1
D1 D
，x2
D2 D
例2
求解二元线性方程组
32xx11
2x2 12 x2 1
a2n
an1 an2
ann
a11 a21
an1
那
DT a12 a22
an2
么
a1n a2n
ann
性质1 行列式与其转置行列式的值相等，即 D DT。
性质2 互换行列式的任意两行〔列〕，行列式的值改变符号。
推论2 如果行列式有两行〔列〕的对应元素完全相同，那么 此行列式的值等于0。
推论2 n 阶行列式某一行各元素与另一行对应元素的代数余子 式乘积之和为0，即
a11
a12
a13
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a21 a21 a22 a22 a23 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31
a32
a33
a31 a32 a33
a31 a32 a33
性质6 将行列式某一行〔列〕的各个元素都乘以同一常数k后，再 加到另一行〔列〕的对应元素上，行列式的值不变。
3
0 6
0 2 1 2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13
(1)21 1 2 1 2 27
7 7 12
（2）计算 Dj 。
8 1 5 1
替后得到二阶行列式 Dj ( j 1，2)，即有
D1
b1 b2
a12 a22
，D2
a11 a21
b1 b2
当 D 0 时，例1方程组的唯一解可表示为
x1
D1 D
，x2
D2 D
例2
求解二元线性方程组
32xx11
2x2 12 x2 1
a2n
an1 an2
ann
a11 a21
an1
那
DT a12 a22
an2
么
a1n a2n
ann
性质1 行列式与其转置行列式的值相等，即 D DT。
性质2 互换行列式的任意两行〔列〕，行列式的值改变符号。
推论2 如果行列式有两行〔列〕的对应元素完全相同，那么 此行列式的值等于0。
推论2 n 阶行列式某一行各元素与另一行对应元素的代数余子 式乘积之和为0，即
a11
a12
a13
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a21 a21 a22 a22 a23 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31
a32
a33
a31 a32 a33
a31 a32 a33
性质6 将行列式某一行〔列〕的各个元素都乘以同一常数k后，再 加到另一行〔列〕的对应元素上，行列式的值不变。
3
0 6
0 2 1 2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13
(1)21 1 2 1 2 27
7 7 12
（2）计算 Dj 。
8 1 5 1
高等数学完整详细PPT课件
注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
第6页/共175页
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) f (b).
五、证明下列不等式：
1、 arctan a arctan b a b ； 2、当x 1时 ，e x ex . 六、证明方程x5 x 1 0 只有一个正根 .
第20页/共175页
七、设函数 y f ( x)在 x 0的某邻域内且有n阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
第15页/共175页
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange
定理
中值定理
F ( x) x Cauchy
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
第16页/共175页
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可.
第5页/共175页
二、拉格朗日(Lagrange)中值 定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
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y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) f (b).
五、证明下列不等式：
1、 arctan a arctan b a b ； 2、当x 1时 ，e x ex . 六、证明方程x5 x 1 0 只有一个正根 .
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七、设函数 y f ( x)在 x 0的某邻域内且有n阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
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四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange
定理
中值定理
F ( x) x Cauchy
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
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思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可.
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二、拉格朗日(Lagrange)中值 定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
精品课件-高等数学-第八章
从上式可看出ΔS由两部分组成． 第一部分yΔx+xΔy是 Δx、 Δy的线性函数，即图8-3中带有单条斜线的两个矩形面 积的和；第二部分ΔxΔy，当Δx→0，Δy→0时，是比 (x)2 (y)2 较高阶的无穷小量. 当|Δx|，|Δy|很小时，有 ΔS≈yΔx+xΔy． 我们把yΔx+xΔy叫做面积S的微分．
dz=AΔx+BΔy 也称函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微．
对二元函数，可以证明如果函数z=f(x，y)在点(x，y)的 某一邻域内有连续的偏导数fx′ (x，y)，fy′ (x，y)，则函 数z=f(x，y)在点(x，y)处可微，并且
dz=fx′ (x，y)Δx+fy′ (x，y)Δy
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 8.2 高阶偏导数与全微分 8.3 多元函数的极值
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 一、 多元函数的概念 在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间 的依赖关系． 引例1 [直角三角形面积] 直角三角形面积S与底边长x， 高y之间具有关系
类似地，有
第八章 多元函数微分学及其应用
r
2y
y
y 2 x2 y 2 z 2 r
r
2z
z
z 2 x2 y 2 z 2 r
例6 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证：
证明 因为
p V T 1 V T p
p RT , V
V RT , p
T pV , R
p V
RT V2
p RT (V>0，T>0，R为常量)
dz=AΔx+BΔy 也称函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微．
对二元函数，可以证明如果函数z=f(x，y)在点(x，y)的 某一邻域内有连续的偏导数fx′ (x，y)，fy′ (x，y)，则函 数z=f(x，y)在点(x，y)处可微，并且
dz=fx′ (x，y)Δx+fy′ (x，y)Δy
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 8.2 高阶偏导数与全微分 8.3 多元函数的极值
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 一、 多元函数的概念 在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间 的依赖关系． 引例1 [直角三角形面积] 直角三角形面积S与底边长x， 高y之间具有关系
类似地，有
第八章 多元函数微分学及其应用
r
2y
y
y 2 x2 y 2 z 2 r
r
2z
z
z 2 x2 y 2 z 2 r
例6 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证：
证明 因为
p V T 1 V T p
p RT , V
V RT , p
T pV , R
p V
RT V2
p RT (V>0，T>0，R为常量)
高等数学第八章 第四节
则复合函数 z = f [ ( t ),ψ ( t )]在对应点 t可导, 且
其导数可用下列公式计算: 其导数可用下列公式计算 d z z d u z d v . = + d t u d t v d t
证 设 t 获得增量 t,
则 u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
问: 项数 每一项 中间变量 的个数 的个数.
例 设 y = (cos x )
sin x
dy , 求 dx
法一:对数求导法 解 法一 对数求导法
v 法二 令u = cos x , v = sin x , 则y = u
dy y du y dv = + dx u dx v dx
= vu
v 1
( sin x ) + u ln u(cos x )
例
设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数, 连续偏导数,求 和 . x xz
解 令 u = x + y + z, 记
v = xyz;
f ( u , v ) f1′ = , u ′′ f11 ,
2 f ( u, v ) ′′ f12 = , u v ′′ f 22 .
z z u z v z w + = + x u x v x w x
z z u z v z w = + + y u y v y w y
z
u v w
x
y
例 设z =
1
u2 + v 2 + w 2 w = 2xy . 求 z x
高等数学讲座PPT
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
函数与极限
21
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
函数与极限
22
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
邻域U(a) :以a为中心的任何开区间
邻域U(a, ) {x || x a | }
中心
a
半径
a
函数与极限
aபைடு நூலகம்
x 11
0
去 心邻 域 U (a, ) { x 0 x a }.
左 邻域（a , a) 右 邻域（a, a )
函数与极限
12
4.常量与变量:
在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法：
则称函数f (x)在X上有界. 否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
函数与极限
27
有界 M 0,使得x D( f ),都有 f ( x) M .
无界 M 0,都 x0 D( f ), 使 f ( x0 ) M.
思考：用上述方法表述函数‘有上(下) 界’ ‘无上(下)界’。
马克思：一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能 达到真正完善的地步 .
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转动惯量依次为
n
I x mi yi 2 ，
i 1
n
I y mi xi 2 .
i 1
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域
D，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在 D上连续，平面薄片对于 x轴和 y 轴
的转动惯量为
薄片对于x轴的转动惯量
Ixy2(x,y)d, D
D
所以
y
7 3
7 3
因此所求形心是 C(0, 73)
下页
例4. 求由 z 1 抛 x 2 物 y 2 与面 z 平 0 所 面 围 的 质 心 立
解 设 质 心(x 为 ， y， z),则 xy
z Vzdxdydz
z
1
z1r2 V rdrdθdz
Ω
2π
1
1r2
dθ rdr
0
0
0
U的元素，记为dU ，所求量的积分表达式为
Uf(x,y)d
D
一、曲面的面积
１．设曲面的方程为： zf(x,y)
z
在xoy面上的投影区域D,为
s
如图， 设小区 d 域 D,
M dA
点 (x,y)d,
o
为 S上M 过 (x,y,f(x,y))
的切 . 平面
x
(x, y) y
d
以d边界为准线，母 于z线 轴平 的行 小
第八章 重积分 第四节 重积分的应用
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性( 即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且
在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 d 时
，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)d 的形式 ，其中(x, y) 在d 内．这个f(x,y)d 称为所求量
解 由 对 称 性 知 A 4 A 1 , D 1 ： x 2 y 2 a(x x,y0)
曲 面 方 程 za 2 x 2 y 2 ,
于 是 1 x z2 y z2
a
,
a2 x2 y2
面 积 A 4 1zx2zy2dxdy
D 1
4
D1
a dxdy
a2x2y2
4a 2dacos 1 rdr
y A1 Dyd.
其中AdDຫໍສະໝຸດ 设有一空间立体 ，在点 ( x, y, z) 处的体密度 为 ( x, y, z) ，假定 ( x, y, z) 在 上连续，空间立
体的质心
由元素法
x
x(x,
y,z)dv ,
(x, y,z)dv
y
y(x,
y,
z)dv ,
(x, y,z)dv
z
z(x,
y,
z)dv ,
二、质心
设 xoy平面上有n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， ,( xn , yn )处，质量分别
为m1 , m2 , , mn．则该质点系的质心 (x, y)
的坐标为
n
x
My M
mi xi
i 1 n
，
mi
i 1
n
y
Mx M
mi yi
i 1 n
．
mi
i 1
柱面，截s曲 为d面 s；截切平 为面 dA，
则有 dAds.
d为dA 在xo面 y 上的 , 投 d 影 dA co , s
cos 1 ,
1fx2fy2
dA 1fx 2fy2d曲面S的面积元素
A 1fx2fy2d, D
曲面面积公式为：A 1(xz)2(yz)2dxdy
Dxy
同理可得
２．设曲面的方程为：xg(y,z)
Iy (x 2z2)(x,y,z)d,v
立体对于z 轴的转动惯量
Iz (x 2y2)(x,y,z)d,v
例 5 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边
长分别 为a、b，求这三角形对其中任一直角边
的转动惯量.
解 设 三 角 形 的 两 直 角 边 分 别 在 y
薄片对于y轴的转动惯量
Iy x2(x,y)d. D
设有一空间立体 ，在点 (x, y, z) 处的体密度 为 (x, y, z) ，假定 (x, y, z) 在 上连续，空间立
体对于 x轴和 y 轴和 z 轴的转动惯量为
立体对于x 轴的转动惯量
Ix (y 2z2)(x,y,z)d,v
立体对于y 轴的转动惯量
曲面面积公式为：A 1 x y2 x z 2dy;dz Dyz
３．设曲面的方程为：yh(z,x)
曲面面积公式为：A
1 yz
2 y x
2dz.dx
Dzx
例 1求 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 ， 含 在 圆 柱 体 x 2 y 2 a 内 部 x 的 那 部 分 面 积 .
(x, y,z)dv
例3 求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心
解: 由对称性, 所以形心 C(x, y) 位于 y 轴上, 于是 x 0
因 为 y d 2 sd id n 0 sd i n 2 4 s s i in 2 n d 7, DD d 2 2 1 2 3 ,
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在
D 上连续，平面薄片的质心
x( x, y)d
y( x, y)d
由元素法 x D
, y D
.
( x, y)d
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，质心称为形心.
x A1 Dxd,
由z1(x2y2)得 a
zx
2x, a
zy
2y a
,
1zx2z2y
12x2 2y2 a a
1 a24x24y2, a
由 z2ax2y2知1zx2z2y 2 ,
故 S 1 a24x24y2dxdy 2dxdy
a Dxy
Dxy
2da1 a24r2rdr 2a2
0 0a
a2(6 25 51). 6
00
a2r2
2 a24a2.
例 2 求 由 曲 面 x 2 y 2 a和 z z 2 a x 2 y 2 (a 0 )所 围 立 体 的 表 面 积 .
x2 y2 az
解
解方程组
z 2a
, x2 y2
得两曲面的交线为圆周
x2 y2 a2
,
z a
在xy平面上的投影域为 D xy : x2y2a2,
dz 2
. .
..
.
2
o
z
π
Ω
zdxdydz
2 2π
1
1r2
x
z=0 y
π0 dθ0rdr0 zdz
1
1
3
故质心为(0,0,1) 3
三、平面薄片的转动惯量
设 xoy平面上有n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， ,( xn , yn )处，质量分别为 m1, m2 , , mn．则该质点系对于 x轴和 y 轴的
n
I x mi yi 2 ，
i 1
n
I y mi xi 2 .
i 1
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域
D，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在 D上连续，平面薄片对于 x轴和 y 轴
的转动惯量为
薄片对于x轴的转动惯量
Ixy2(x,y)d, D
D
所以
y
7 3
7 3
因此所求形心是 C(0, 73)
下页
例4. 求由 z 1 抛 x 2 物 y 2 与面 z 平 0 所 面 围 的 质 心 立
解 设 质 心(x 为 ， y， z),则 xy
z Vzdxdydz
z
1
z1r2 V rdrdθdz
Ω
2π
1
1r2
dθ rdr
0
0
0
U的元素，记为dU ，所求量的积分表达式为
Uf(x,y)d
D
一、曲面的面积
１．设曲面的方程为： zf(x,y)
z
在xoy面上的投影区域D,为
s
如图， 设小区 d 域 D,
M dA
点 (x,y)d,
o
为 S上M 过 (x,y,f(x,y))
的切 . 平面
x
(x, y) y
d
以d边界为准线，母 于z线 轴平 的行 小
第八章 重积分 第四节 重积分的应用
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性( 即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且
在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 d 时
，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)d 的形式 ，其中(x, y) 在d 内．这个f(x,y)d 称为所求量
解 由 对 称 性 知 A 4 A 1 , D 1 ： x 2 y 2 a(x x,y0)
曲 面 方 程 za 2 x 2 y 2 ,
于 是 1 x z2 y z2
a
,
a2 x2 y2
面 积 A 4 1zx2zy2dxdy
D 1
4
D1
a dxdy
a2x2y2
4a 2dacos 1 rdr
y A1 Dyd.
其中AdDຫໍສະໝຸດ 设有一空间立体 ，在点 ( x, y, z) 处的体密度 为 ( x, y, z) ，假定 ( x, y, z) 在 上连续，空间立
体的质心
由元素法
x
x(x,
y,z)dv ,
(x, y,z)dv
y
y(x,
y,
z)dv ,
(x, y,z)dv
z
z(x,
y,
z)dv ,
二、质心
设 xoy平面上有n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， ,( xn , yn )处，质量分别
为m1 , m2 , , mn．则该质点系的质心 (x, y)
的坐标为
n
x
My M
mi xi
i 1 n
，
mi
i 1
n
y
Mx M
mi yi
i 1 n
．
mi
i 1
柱面，截s曲 为d面 s；截切平 为面 dA，
则有 dAds.
d为dA 在xo面 y 上的 , 投 d 影 dA co , s
cos 1 ,
1fx2fy2
dA 1fx 2fy2d曲面S的面积元素
A 1fx2fy2d, D
曲面面积公式为：A 1(xz)2(yz)2dxdy
Dxy
同理可得
２．设曲面的方程为：xg(y,z)
Iy (x 2z2)(x,y,z)d,v
立体对于z 轴的转动惯量
Iz (x 2y2)(x,y,z)d,v
例 5 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边
长分别 为a、b，求这三角形对其中任一直角边
的转动惯量.
解 设 三 角 形 的 两 直 角 边 分 别 在 y
薄片对于y轴的转动惯量
Iy x2(x,y)d. D
设有一空间立体 ，在点 (x, y, z) 处的体密度 为 (x, y, z) ，假定 (x, y, z) 在 上连续，空间立
体对于 x轴和 y 轴和 z 轴的转动惯量为
立体对于x 轴的转动惯量
Ix (y 2z2)(x,y,z)d,v
立体对于y 轴的转动惯量
曲面面积公式为：A 1 x y2 x z 2dy;dz Dyz
３．设曲面的方程为：yh(z,x)
曲面面积公式为：A
1 yz
2 y x
2dz.dx
Dzx
例 1求 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 ， 含 在 圆 柱 体 x 2 y 2 a 内 部 x 的 那 部 分 面 积 .
(x, y,z)dv
例3 求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心
解: 由对称性, 所以形心 C(x, y) 位于 y 轴上, 于是 x 0
因 为 y d 2 sd id n 0 sd i n 2 4 s s i in 2 n d 7, DD d 2 2 1 2 3 ,
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在
D 上连续，平面薄片的质心
x( x, y)d
y( x, y)d
由元素法 x D
, y D
.
( x, y)d
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，质心称为形心.
x A1 Dxd,
由z1(x2y2)得 a
zx
2x, a
zy
2y a
,
1zx2z2y
12x2 2y2 a a
1 a24x24y2, a
由 z2ax2y2知1zx2z2y 2 ,
故 S 1 a24x24y2dxdy 2dxdy
a Dxy
Dxy
2da1 a24r2rdr 2a2
0 0a
a2(6 25 51). 6
00
a2r2
2 a24a2.
例 2 求 由 曲 面 x 2 y 2 a和 z z 2 a x 2 y 2 (a 0 )所 围 立 体 的 表 面 积 .
x2 y2 az
解
解方程组
z 2a
, x2 y2
得两曲面的交线为圆周
x2 y2 a2
,
z a
在xy平面上的投影域为 D xy : x2y2a2,
dz 2
. .
..
.
2
o
z
π
Ω
zdxdydz
2 2π
1
1r2
x
z=0 y
π0 dθ0rdr0 zdz
1
1
3
故质心为(0,0,1) 3
三、平面薄片的转动惯量
设 xoy平面上有n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， ,( xn , yn )处，质量分别为 m1, m2 , , mn．则该质点系对于 x轴和 y 轴的