苏教版2017高中数学(必修二)第2章 2.2.1 第2课时 圆的一般方程PPT课件
高中数学必修2第2章221第二课时圆的一般方程课件(36张)3
垂直平分线的方程是 y－32＝17(x－12)，即 x－7y＋10＝0，同
理，得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x＋y＋5＝0，由
x－7y＋10＝0
2x＋y＋5＝0
得圆心的坐标为(－3,1)，又圆的半径长是 r＝
－3－02＋1－52＝5. 所以，过 A、B、C 三点的圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝ 25，化为一般方程是 x2＋y2＋6x－2y－15＝0，圆心为(－3,1)， 半径为 5
5E＋F＋25＝0， ∴D－2E＋F＋5＝0，
－3D－4E＋F＋25＝0.
D＝6， 解得E＝－2，
F＝－15.
∴过三点 A、B、C 的圆的一般方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
∴－D2 ＝－3，－E2＝1，圆心为(－3,1)，
半径 r＝12 D2＋E2－4F＝5.
方法归纳 (1)与圆的标准方程一样,圆的一般方程也含有三个独立参数， 因此，必须具备三个独立条件，才能确定圆的一般方程． (2)如果已知条件和圆心或半径无直接关系，一般设出圆的一 般方程，利用待定系数法求解．
解析：圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)所求直线与直线x＋ y＝0垂直，故所求直线的斜率k＝1,所求直线方程为y＝x＋1， 即x－y＋1＝0.
4．(2014·云南玉溪一中期末)若方程 x2＋y2－x＋y＋m＝0 表 示圆，则 m 的取值范围是__m_＜__12___．
解析：表示圆的条件是：(－1)2＋12－4m＞0，即 m＜12.
kk2－2a1，0为圆心，以k2k－a 1
为半径的圆． 当 k＝1，即 k2－1＝0 时， 方程(k2－1)x2＋(k2－1)y2－2k2ax＋k2a2＝0 变为－2ax＋a2＝0， 即 x＝a2，表示线段 OA 的垂直平分线．
数学：第2章2.2.1圆的方程 课件(苏教版必修2)
备选例题
1.求圆心在直线5x－3y－8＝0上，且与两坐标
轴都相切的圆的标准方程．
解：法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2， ∵圆与坐标轴相切，∴a＝±b，r＝|a|.
又∵圆心(a，b)在直线5x－3y－8＝0上，∴5a
－3b＝8.
a＝±b， a＝4， a＝1， 由5a－3b＝8，得b＝4，或b＝－1， r＝|a|， r＝4， r＝1. ∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－ 1)2＋(y＋1)2＝1. 法二：圆与两坐标轴都相切，那么圆心必在直 线 y＝±x 上．
3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆 的标准方程．
【思路点拨】
解答本题可以先根据所给条
件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出 方程用待定系数法求解．
【解】
法一：设点C为圆心．
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．(2分)
名师微博
据定义，求圆心，定半径，方便快捷.
①当 D2＋E2－4F＞0 为圆心，
D E － ，－ 2 2 时， 表示以____________
1 2 D ＋E2－4F 2 ____________为半径的圆； ②当 D2＋E2－4F＝0 时，方程只有实数解 x＝ D E D E － ，－ － ， y＝－ ， 即只表示一个点____________； 2 2 2 2 ③当 D2＋E2－4F＜0 时，方程没有实数解，因 而它不表示任何图形．
名师微博
这里采用的是待定系数法，此法常用，勿必 掌握.
a＝－1 解得b＝－2，(10 分) 2 r ＝10 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. (14 分)
高中数学：2.2《圆的一般方程》教案(苏教教必修2)
普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]第14课时 圆的一般方程教学目标（1）掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；（2）能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；（3）解题过程中能分析和运用圆的几何性质．教学重点圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用．教学难点圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程是否为圆方程．教学过程一、问题情境1．情境：方程22(1)(2)4x y -+-=表示怎样的图形？2．问题：方程22(1)(2)4x y -+-=是几元几次方程？二元二次方程一定表示圆吗？二、学生活动观察方程22(1)(2)4x y -+-=整理后的形式222410x y x y +--+=，得到是关于,x y 的二元二次方程，且22,x y 项的系数相等不为零，不含有xy 项；反过来，像这样的二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=一定表示圆吗？三、建构数学将方程220x y Dx Ey F ++++=配方，得22221()()(4)224D E x y D E F +++=+-与圆的标准方程进行比较得到：1．当2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E --为半径的圆；2．当2240D E F +-=时，方程表示一个点(,)22D E --； 3．当2240D E F +-<时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->叫做圆的一般方程．四、数学运用1．例题：例1．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程；分析：由于12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 不在同一条直线上，因此经过12,,O M M 三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵12,,O M M 三点都在圆上，∴12,,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 代入所设方程， 得：02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解之得：860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为22860x y x y +-+=．法二：也可以求1OM 和2OM 中垂线的交点即为圆心，圆心到O 的距离就是半径也可以求的圆的方程：22860x y x y +-+=．法三：也可以设圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=将点的坐标代入后解方程组也可以解得22(4)(3)25x y -++=例2．已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点A 的坐标是00(,)x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是AB 的中点，所以0043,22x y x y ++==（＊） 于是，有0024,23x x y y =-=-因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=，即2200(1)4x y ++=（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得22(241)(23)4x y -++-=， 整理得2233()()122x y -+-=所以,x y 满足的关系为：2233()()122x y -+-= 其表示的曲线是以33(,)22为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是M 点的轨迹方程：点M 的轨迹方程就是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式．例3． 某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01米）．解：以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系，那么点,,A B P 的坐标分别为(18,0),(18,0),(0,6)-；设圆拱所在的圆的的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵点,,A P B 在所求的圆上，则坐标代入得：2221818018180660D F D F E F ⎧++=⎪-+=⎨⎪++=⎩，解之得048324D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴圆拱所在的圆的方程为22483240x y y ++-=； 将点2P 的横坐标6x =代入圆方程，解得24 5.39y =-+≈（舍去负值） 答：支柱22A P 的长约为5.39米．2．练习：课本102P 练习第4,5,6题；课本103P 第8题．五、回顾小结：1．圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=及其条件2240D E F +->； 2．方程思想求圆的一般方程．六、课外作业：课本第102页 第5,6,7,9,10题．。
苏教版高中数学(必修2)2.2《圆与方程》精品教案.doc
16的位置关圆与方程复习一、知£只当梳理1. 圆的标准方程：2. 圆的一般方程：3. 直线与圆的位置关系的判断：4. 圆与圆的位置关系的判断:二、典例分析例1：已知两点Pi (4, 9)和P?(6, 3),求以P|P?为直径的圆的方程，并且判断点 M (6, 9), N (3, 3), Q(5, 3)是在圆上，在圆内，还是在圆外。
以C (1, 3)为圆心，并例 2：圆 X? + 寸=4 与圆(X —3) 2 + (y —4) 2 例3：求且和直线3x—4y—7=0相切的圆的方程.例4：过点A (3, 1)和B (-1, 3),且它的圆心在直线3x—y—2=0上的圆的方程。
例5：求半径为10,和直线4x+3y—70=0切于点(10, 10)的圆的方程。
例6：已知圆的方程是?+y2=r2,求经过圆上一点M (x0,为)的切线的方程.例7：求过点A (2, 4)向圆x2 + y2 = 4所引的切线方程。
例&已知一圆与y轴相切，圆心在直线/：x—3y = 0上，且被直线y=x截得的弦AB长为2^7 ,求圆的方程。
例9：求过二点0 (0, 0)、M| (1, 1)、M2 (4, 2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.例1。
：已知-曲线是与两个定点。
(0, 0)、A (3, 0)距离的比为*的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.例11：已知曲线C： (1+a) x2+ (1+a) y 2—4x+8ay=0, (1)当a取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。
例12：已知圆方程为x2 + y2-4x-2y-20=0, (1)斜率为一扌的直线/被圆所截线段长为8,求：(1)直线方程；(2)在圆上求两点A和B,使它们到直线/：4x+3y+19 = 0的距离分别取得最大值或最小值。
例13：自点A (-3, 3)发出的光线/射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2—4x—4y+7 = 0相切，求光线/所在直线的方程。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》52
高中数学苏教版必修2 第2章第2节圆与方程圆的方程〔第一课时〕南京市金陵中学于健【教材分析】本节课?圆的标准方程?是苏教版必修2第二章第二节第一课时的内容，本节课主要研究圆的标准方程，圆的标准方程是本章的重点内容之一．圆的方程在我们江苏?考试说明?中要求为C级，要求学生能到达综合应用的能力．一方面圆的方程与前面学习的直线方程有密切的联系；另一方面，学习圆的方程又为进一步学习圆锥曲线等内容提供了思路．学习圆的方程要类比前一节直线的方程．学习圆的标准方程是学生探究二次曲线的开始，它对以后圆锥曲线的学习，无论在知识上，还是在思维上都具有借鉴的作用．【教学目标】1．通过圆的标准方程的推导，进一步领会坐标法研究几何问题的方法和步骤，渗透“曲线的方程〞和“方程的曲线〞的思想；2．掌握圆的标准方程的结构形式，能运用待定系数法或圆的性质求出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程说出圆的一些具体特征；3．感受“数〞与“形〞的对立和统一，渗透运动变化、相互联系和相互转化等辩证观点．【教学重点】掌握圆的标准方程，会根据条件求圆的方程；并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径．【教学难点】“圆的方程〞与“方程表示的圆〞的理解．教学过程一、创设情境，导入新课〔一〕图片观察，问题思考1．图片观察：生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们一起来认识一下〔圆的图片欣赏〕课件展示：同一硬币的正反面、摩天轮、汽车轮胎等。
2．问题1：有人说，圆是平面内最完美的曲线，通过观察这几幅图片，大家能从数学的角度说说为什么吗？【设计意图】同一硬币的正反面，它们的轮廓是两个圆心位置不同、半径相等的圆；摩天轮快速旋转后里面是一个个圆心相同半径不等的同心圆轮廓．暗示了确定一个圆需要两个条件：圆心的位置和半径的大小．生活中圆的图形无处不在，圆具有对称美，以图片吸引学生，把学生的目光吸引到研究圆的问题．〔二〕问题导入，启发探究问题2：在平面几何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点C为圆心，r为半径的圆？问题3：在平面几何中，我们学习了圆的哪些主要性质？问题4：确定一个圆需要哪些条件？【设计意图】三个问题逐个呈现．圆的定义是列式推导圆方程的关键；回忆圆的几何性质为使用几何法求圆的方程作准备；确定一个圆需要明确圆心和半径，为后面推导圆的标准方程打下根底．启发与提问：前面我们学习了立体几何，知道立体几何研究的是空间点、线、面的位置关系，现在又学习解析几何，即用代数的方法研究几何图形的性质，那么我们是如何用代数方法研究几何图形的性质的呢？通过建立平面直角坐标系，将点与坐标、直线与方程建立了一一对应的关系，从而将几何问题转化为代数问题．问题5：我们学习过了直线与方程，请大家回忆一下，我们是如何研究的呢？【设计意图】解析几何的核心思想是通过建立平面直角坐标系，将点与坐标、曲线与方程建立一一对应的关系．回忆研究直线与方程，一方面是根据条件求直线方程，另一方面是根据直线方程研究直线的性质和位置关系．类比这一方法，为研究圆的方程做铺垫．二、深入探究，螺旋建构问题6：圆的半径为r12．设点：设圆上任一点2；4圆心为C2，－3．5求圆心在直线＝－上，且过两点A2，0，B0，－4的圆的标准方程．【设计意图】5个问题分层次出示．题1、2、3比拟根底，学生很容易完成，既能增加他们学习的兴趣和信心，还能加深其对圆的标准方程的理解和应用；题4可以直接求半径，从而得到圆的方程，也可以运用待定系数法，设所求方程－22＋＋32＝r2，将0，0代人求出r．题5可以用待定系数法，也可以运用圆的几何性质，即弦AB的垂直平分线经过圆心．让学生总结出圆的标准方程的两种求法——待定系数法和几何法．要求学生在解题过程中能择优应用，进一步培养学生一题多解的发散思维能力和数形结合的思想．例2说出以下方程所表示的图形的特征：12＋2＝16≥0；2－22＋－12＝1≥2；3－a2＋2＝4；4＝错误!．【设计意图】在数学应用的环节，教师应充分发挥“引导者〞、“组织者〞的角色，为了将学生学习“圆的方程〞认知过程中的难点和细节点拨到位，我设置了例2这一题组，将学生运用知识时可能会产生的错误暴露出来并及时纠正到位，让学生在例题应用过程中加深知识的理性认知，最终到达对知识的透彻理解，而诸如数形结合、运动变化等思想也能渐渗渐透．四、反应训练，形成方法求满足以下条件的圆的方程：1．A0，－5，B0，－1，以线段AB为直径的圆；2．圆心为C3，－5，并且与直线－7＋2＝0相切；3．圆过点0，1和0，3，半径等于1；〔学生独立完成，暴露出问题，教师及时纠正〕【设计意图】设计三个小题作为稳固性训练，使学生掌握求不同条件下的圆的方程的求法，要求学生限时、独立完成，让学生体验解决数学问题的乐趣、成功的喜悦，从而增强学好数学的信心．五、课堂小结问题10：这节课我们学习了什么？请大家总结一下：学生：思考交流，小组展示．教师：及时补充．表达三个方面：〔1〕知识：圆的标准方程的推导和方程的结构特点．〔2〕方法：求圆的方程的两种方法：1待定系数法；2几何法．〔3〕思想：数形结合思想．【设计意图】在这个环节里，先由同学们组内交流、小组展示，使学生在互相交流中获得更多的学习经验，同时培养学生的团队合作精神、口头表达能力、归纳概括能力．最后由老师作全面总结，这样，学生对本节课的知识掌握的才更加系统牢固．六、布置作业作业1、课本第111页练习第1，3两题作业2、思考题：将圆的标准方程展开，我们将会得到什么样的方程？是否所有的这种形式的方程都可以表示圆的方程？【设计意图】我设计两个作业作为本节课的稳固和延伸，完成作业一，到达稳固本节知识的效果；完成作业二，为下节课学习圆的一般方程做好预习工作，从而起到温故知新的作用．教学设计说明：数学课堂教学不再是灌输式的、填鸭式的教学模式，我们在课堂教学中要更多的以学生为主体，要精心设计好每一节课的教学环节，要精细到每一个问题以及提问的方式，以便让学生不仅在课堂上学习到知识，更重要的是要让学生在学习的过程中学会学习，通过自己发现问题并解决问题；使学生在知识方面得到拓展、延伸，同时还在思维、创新意识方面也能够得到提升为此，本节课我采用以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学课堂教学模式，每个环节都力争给学生创造一种思维情景，一种主动参与的学习时机，激发学生的求知欲，促使学生解决问题的同时锻炼了思维能力、培养了学习兴趣、增强了学好数学的愿望与信心．在本节课堂教学中，我采用了“问题探究〞教学法，课堂上采用学生“自主、合作、探索〞的教学方式，即把教学内容设计为假设干问题，从而引导学生进行充分地探究思考，教师充当组织者、效劳者的身份，使学生在课堂上的主体地位会得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣．。
苏教版高中数学必修二2.2.1圆的方程.docx
2.2.1圆的方程
一、填空题
1、圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是____________ (2,-3), 2
2、过两点P (2,2),Q (4,2)且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是___2)3()3(22=-+-y x
3、方程052422=+-++m y x y x 表示圆的条件是___________________1<m
4、圆034222=++-+y x y x 的圆心到直线x-y=1的距离为___________2
5、圆0222222=-++y x y x 关于y=x 对称的圆的方程_________
6、)0,3(M 是圆0102822=+--+y x y x 内一点，过M 点最长的弦所在的直线
方程是_______ x-y-3=0
7、已知点)1,6(),5,4(---B A ，则以线段AB 为直径的圆的方程____(x-1)2+(y+3)2=29
8、若实数x 、y 满足042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是____5+3
9、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3,1)，则直线AB 的方程是_x+y-4=0
二、解答题：
10、求经过点)2,3(),2,5(B A ，圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程。
答案：(x-4)2+(y-5)2=10
11、求经过三点)2,4(),4,1(),1,1(--C B A 的圆的方程。
答案：x 2+y 2-7x-3y+2=0
12、已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:22=-+-y x C ，求一束光线从点A 经x 轴反射
到圆周C 的最短路程。
答案：8。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》90
圆的标准方程
学习目标：
〔1〕掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程
〔2〕会用待定系数法求圆的标准方程
新课导入:
生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就一起来认识一下！
合作探究：
思考1:确定一个圆最根本的要素是什么？
思考2:圆可以看成是平面上的一条曲线，在平面几何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点C为圆心，r为半径的圆？
M={P||PC|=r}
平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
思考3:方程
是圆方程吗？
思考4:方程
与
表示的曲线分别是什么？
例1 求圆心为C〔2，-3〕，且经过坐标原点的圆的方程。
例2 如图，隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
例3 圆心为C的圆经过点A1,1和B2,-2，且圆心C 在直线：-1=0上，求圆的标准方程
课堂训练：
1.A0，－5，B0，－1，那么以线段AB为直径的圆的方程是什么？
2求圆心为C3, －5，并且与直线－7＋2＝0相切的圆的方程
课后作业：
完成课本111页练习第1,3两题。
高中数学 2.2.1圆的方程课件 苏教版必修2
学习
分析：设出点P的坐标，转化为求函数最值问题．
解析：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y 20＋(x0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2， 欲求d的最值，只需求ω＝x 20＋y 20的最值，即求圆C上 的点到原点的距离的平方的最值，故过原点O与圆心C的 直线与圆的两个交点P1，P2即为所求．
(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2)2＋y20＝1.②
把①代入②，得(2x－2)2＋(2y)2＝1，
整理，得(x－1)2＋y2＝14.
所以，点 M 的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝14.
方法二(定义法) (1)当 O，P，C 三点不共线时，连接 PC，取
OC 的中点为 O1， ∵M 为 OP 的中点，∴MO1 是△OPC 的中位线． ∴MO1＝12PC＝21. 因 O1 是定点，其坐标为(1，0)．
学习
栏
目 链
预习
接
典例
►变式训练
2．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0，1)的直线l交圆于A、
B两点，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，
求动点P的轨迹方程．
学习
栏
解析：方法一
设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，
目 链 接
预习
y2)．
典例
因为A、B在圆上，所以x21＋y21＝4，x22＋y22＝4.两式
典例
△POM 为直角三角形，其中∠OPM＝90°，故点 P 的轨迹方程为：
x2＋y－122＝41.
与圆有关的最值问题
学习
若实数
x，y
满足(x－2)2＋y2＝3，则xy的最大值为________，最
高中数学(苏教版必修2)同步文档第2章 2.2.1 第2课时 圆的一般方程 Word版含解析
第课时圆的一般方程．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理圆的一般方程的定义阅读教材，完成下列问题．．圆的一般方程的定义时，方程＋＋＋＋＝叫做圆的一般方程，其圆心为()当＋－>，半径为.()当＋－＝时，方程＋＋＋＋＝表示点.()当时，方程＋＋＋＋＝不表示任何图形．＋－<．点与圆的位置关系已知点(，)和圆的方程＋＋＋＋＝(＋－>)，则其位置关系如下表：．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√)()二元二次方程＋＋＋＋＝一定是某个圆的方程．(×)()方程＋－＋＋＝表示圆，则≠.(√) ()二元二次方程＋＋＋＋＋＝表示圆应满足的条件是①＝≠；②＝；③＋－>.(√)．圆＋－＋＋＝化为标准形式为．【解析】由＋－＋＋＝，得(－)＋(＋)＝.故圆的标准形式为(－)＋(＋)＝.【答案】(－)＋(＋)＝．方程＋＋－＋＝表示圆的条件是．【解析】由题意可知，＋(－)－＞，解得＜.【答案】(－∞，)[小组合作型]二元二次方程的曲线与圆的关系下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径．()＋－＋＝；()－＋＋＋＝；()＋－－＋＝；()＋－＝；()＋－(－)＋＝(≠)．【精彩点拨】根据二元二次方程表示圆的条件判断．【自主解答】()∵≠，∴不能表示圆．()∵前的系数不等于，∴不能表示圆．()∵＋－＝(－)＋(－)－×<，∴不能表示圆．()方程变形为＋－＝.配方得＋(－)＝，故方程表示圆，其圆心为()，半径为.()法一：∵≠，∴原方程可化为＋－＋＝，即＋＝.。
高中数学：2.2《圆的一般方程》教案(苏教教必修2)
高中数学：2.2《圆的一般方程》教案（苏教教必修2）第14课时 圆的一般方程教学目标（1）掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；（2）能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；（3）解题过程中能分析和运用圆的几何性质．教学重点圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用．教学难点圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程是否为圆方程．教学过程一、问题情境1．情境：方程22(1)(2)4x y -+-=表示怎样的图形？2．问题：方程22(1)(2)4x y -+-=是几元几次方程？二元二次方程一定表示圆吗？二、学生活动观察方程22(1)(2)4x y -+-=整理后的形式222410x y x y +--+=，得到是关于,x y 的二元二次方程，且22,x y 项的系数相等不为零，不含有xy 项；反过来，像这样的二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=一定表示圆吗？三、建构数学将方程220x y Dx Ey F ++++=配方，得22221()()(4)224D E x y D E F +++=+-与圆的标准方程进行比较得到：1．当2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E --为圆心，2为半径的圆；2．当2240D E F +-=时，方程表示一个点(,)22D E --； 3．当2240D E F +-<时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->叫做圆的一般方程．四、数学运用1．例题：例1．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程；分析：由于12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 不在同一条直线上，因此经过12,,O M M 三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵12,,O M M 三点都在圆上，∴12,,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 代入所设方程， 得：02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解之得：860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为22860x y x y +-+=．法二：也可以求1OM 和2OM 中垂线的交点即为圆心，圆心到O 的距离就是半径也可以求的圆的方程：22860x y x y +-+=．法三：也可以设圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=将点的坐标代入后解方程组也可以解得22(4)(3)25x y -++=例2．已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？ 解：设点A 的坐标是00(,)x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是AB 的中点，所以0043,22x y x y ++==（＊） 于是，有0024,23x x y y =-=-因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=，即2200(1)4x y ++=（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得22(241)(23)4x y -++-=， 整理得2233()()122x y -+-=所以,x y 满足的关系为：2233()()122x y -+-= 其表示的曲线是以33(,)22为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是M 点的轨迹方程：点M 的轨迹方程就是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式．例3． 某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01米）．解：以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系，那么点,,A B P 的坐标分别为(18,0),(18,0),(0,6)-；设圆拱所在的圆的的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵点,,A P B 在所求的圆上，则坐标代入得：2221818018180660D F D F E F ⎧++=⎪-+=⎨⎪++=⎩，解之得048324D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴圆拱所在的圆的方程为22483240x y y ++-=； 将点2P 的横坐标6x =代入圆方程，解得24 5.39y =-+≈（舍去负值） 答：支柱22A P 的长约为5.39米．2．练习：课本102P 练习第4,5,6题；课本103P 第8题．五、回顾小结：1．圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=及其条件2240D E F +->； 2．方程思想求圆的一般方程．六、课外作业：课本第102页 第5,6,7,9,10题．。
高二数学苏教版必修二学案：2.2 圆与方程 第2课时---圆的一般方程
课题：§2.2 圆与方程第2课时 圆的一般方程 主备人：陈高峰学习目标：（1）掌握圆的一般方程，能由圆的一般方程写出圆心的坐标和圆的半径；（2）能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程． 学习重点：掌握圆的一般方程．学习难点：如何根据不同条件，合理选择圆的方程的形式来求解．【温故习新·导引自学】1．将方程220x y Dx Ey F ++++=配方，得___________________________． 与圆的标准方程进行比较得到：（1）当2240D E F +->时，方程表示____________________________；（2）当2240D E F +-=时，方程表示____________________________；（3）当2240D E F +-<时，方程________________________________．2．圆的一般方程为________________________________，其中圆心为 _ ，半径为 ．3．若二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cxy By Ax 表示圆方程，则参数满足的条件为_______________．【交流质疑·精讲点拨】例1、已知圆C 的方程为02)1()2(22=-+++-++m y m x m y x ，根据下列条件确定实数m 的取值，并写出相应的圆心坐标和半径：（1）圆心在x 轴上；（2）圆的面积最小；（3）圆心距离坐标原点最近．例2、已知△ABC 的三个顶点的坐标是)5,5(),2,2(),5,1(C B A ---，求它的外接圆方程，并求出这个圆的圆心及半径．变式、已知圆C 经过)2,2(),5,1(---B A 两点，且在两坐标轴的四个截距之和为6-，求圆C 的方程．例3、设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．【当堂反馈·效果评价】1、已知022=++++F Ey Dx y x 圆心为（-2，3），半径为4，则=D ____=E __ F= ___．2、已知圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则=b ．3、已知圆在轴上x 截距分别为1和3，在y 轴上的一个截距为-1，求这个圆方程．【作业巩固·拓展迁移】1、若02)2()12(2222=+++-+-+m y m m x m m 表示一个圆的方程，则=m ．2、已知圆032:22=-+++ay x y x C （a 为实数），上任意一点关于直线02:=+-y x l 的对称点都在圆C 上，则=a ________．3、若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22，则=a ________． 4、经过圆0222=++x y x 的圆心G ，且与直线0=+y x 垂直的直线方程是________．5、已知R m ∈，则圆0222222=-+-+m mx y x 的半径最大时圆的方程为________．6、已知△ABC 顶点A(0,0),B(1,1),C(4,2)，求△ABC 外接圆方程，并求出这个圆的圆心及半径．7、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆．（1）求实数m 取值范围；（2）实数m 取何值时圆面积最大；（3）求圆心坐标所满足的曲线方程．8、圆经过A(4,2)，B(-1,3)两点，且在两坐标轴的4个截距之和为2，求圆的方程．9、证明)3,4(),5,4(),3,2(),4,1(D C B A --四点共圆．10、已知过点)1,0(A 和),4(a B 且与x 轴相切的圆只有一个，求实数a 的值及圆的方程．。
高中数学2.2.1圆的方程课件苏教必修2
解析：(1)x2＋y2＝3；
(2)(x－3)2＋(y－4)2＝a2；
(3)方法一 ∵半径 r＝CP＝ （5－8）2＋（1＋3）2＝5，
圆心在点(8，－3)，
∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
栏 目
链
方法二 ∵圆心为 C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋
接
(y＋3)2＝r2.
又∵点 P(5，1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2.
点 P 的坐标为(0，0)，也满足③，
链 接
因为点 P 在圆(x－2)2＋y2＝1 上运动，所以点 P 的坐标满足方程
(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2)2＋y20＝1.②
把①代入②，得(2x－2)2＋(2y)2＝1，
整理，得(x－1)2＋y2＝14.
所以，点 M 的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝14.
方法二(定义法) (1)当 O，P，C 三点不共线时，连接 PC，取
规律总结：(1)求圆的方程的一般步骤：
①选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点
的坐标，一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆
心两坐标间的关系，一般选用标准方程)；
栏
②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
目 链
接
③解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入
第2章 平面解析几何初步 2．2 圆与方程 2．2.1 圆的方程
课标点击
栏 目 链 接
1．理解圆的方程的意义． 2．掌握圆的标准方程和一般方程的形式特征． 3．会根据圆的方程求圆心坐标和半径． 4．会用待定系数法求圆的方程．
典例剖析 栏 目 链 接
圆的方程
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》0
圆的标准方程一、教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的根底上，进一步运用解析法研究圆的方程、它与其他图形的位置关系及其应用。
同时，圆是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了根底。
也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。
由于“圆的方程〞一节内容的根底性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握〞，为了激发学生的主体意识，培养学生的创造和应用意识，本节内容我采用“引导探究〞型教学模式进行教学设计。
二、三维目标1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心坐标和半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。
2、用待定系数法和几何法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力。
三、教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用。
四、教学难点会根据不同的条件，会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。
五、课时安排 1课时六、教学过程设计七、板书设计八、教学反思圆是学生比拟熟悉的曲线，求圆的标准方程是本节课的重点和难点。
为此我设置了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点。
利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，增强学生应用数学的意识。
另外，为了培养学生的理性思维，在例题二中我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。
本设计把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣，完本钱节的学习任务。
高中数学 第二章 2.2.1圆的方程(二)配套课件 苏教版必修2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1（二）
跟踪训练 1 求过三点 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程， 并求这个圆的半径长和圆心坐标．
解 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵O，M1，M2 三点都在圆上， ∴O，M1，M2 三点坐标都满足所设方程，
把 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)代入所设方程，
F＝0 得：D＋E＋F＋2＝0
D＝－8 ，解得：E＝6 ，
4D＋2E＋F＋20＝0
F＝0
所以，所求圆的方程为：x2＋y2－8x＋6y＝0.
r＝12 D2＋E2－4F＝5；－D2 ＝4，－E2＝－3，
得圆心坐标为(4，－3).
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1（二）
例 2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆(x ＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段 AB 中点 M 的坐标(x，y)中 x， y 满足的关系？并说明该关系式表示什么曲线？
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1（二）
问题 3 观察圆的一般方程，你能归纳出圆的一般方程的特 点吗？ 答 ①x2 和 y2 的系数相同都等于 1； ②没有 xy 这样的二次项.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1（二）
问题 4 求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些 量？
答 圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F，因此只 要求出这三个系数，圆的方程就确定了.
②
将①式代入②，得：(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1（二）
整理得x－322＋y－322＝1， 所以 x，y 满足的关系为：x－322＋y－322＝1， 其表示的曲线是以32，32为圆心，1 为半径的圆． 小结 本题求轨迹方程的方法称为代入法．若点 A 的运动与 点 B 的运动相关，且点 B 的运动有规律或在某一曲线上运动， 则找出两点坐标的关系，用 A 点坐标表示出 B 点坐标，代入 点 B 所满足的方程，整理即得点 A 的轨迹方程．
数学苏教版必修2 第2章2.2.1第一课时 圆的标准方程 课件(35张)
3．点与圆的位置关系 如图，点 A 与圆 C 有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点 在圆外．
判断方法如下： 点 A(x0，y0)到圆心 C(a，b)的距离为 d＝ x0－a2＋y0－b2： (1)当 d＝r，即 x0－a2＋y0－b2＝r， 即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 时，点 A(x0，y0)在____圆__上_______；
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 10:49:49 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
[解] 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为线段 P1P2 的中 点得 a＝3＋2 5＝4，b＝8＋2 4＝6，即圆心坐标为 C(4,6)，又由两 点间的距离公式得 r＝CP1＝ 4－32＋6－82＝ 5，故所求 圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M，N，P 到圆心 C 的距离： CM＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， CN＝ 4－32＋6－42＝ 5， CP＝ 4－32＋6－52＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
(2)过 A、B 两点面积最小的圆就是以线段 AB 为直径的圆， ∴圆心坐标为(0,2)，半径 r＝12|AB|. ∵AB＝ 1＋12＋1－32＝ 8， ∴r＝12· 8＝ 2. ∴所求的圆的标准方程为 x2＋(y－2)2＝2.
高中数学第二章平面解析几何初步2.2圆与方程2.2.1圆的方程课件2苏教版必修2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2. ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
x
D 2
2
y
E 2
2 ຫໍສະໝຸດ D2E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
所求圆的方程为
(x 2)2 ( y 3)2 25
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
苏教版高中数学必修二课件2.2.1圆的方程
y
2
9 的最小值为____________ 分析：
P(x,y) N
· C
M
O x
( x 3) ( y 4) 4
2 2
x y OP OP OM OC r
2 2 2
思考：最大值呢？
2 2
52 3
2
( x y )max ON 49
x 5 y 3 9上的点，则M 例3 .设M是圆C：
则
a 的取值范围是
y
1 a 1
分析： P在圆C的内部
· P(1,1) r x
o
则
PC r
· C(a,-a)
(1 a ) 2 (1 a ) 2 2
即
1 a 1
2 2 x y 6 x 8 y 21 0 ， 例2 .已知实数x，y满足
则
x y
40 . 和BD,则四边形ABCD的面积为_______
y B A
AC=10,BD=8
D
M
·
P
·
O C
S ABCD
x
1 AC BD 40 2
例7.求过两点 A 2, 3 , B 2, 5 且圆心在直线 x 2 y 3 0 上的圆的标准方程.
方法提炼： 本题注意圆的弦的垂直平分线过圆心,从而直接 求出圆心和半径， 或者可由待定系数法列出
x1x2 y1 y2 OA OB
OA OB cos AOB
1 2 2 ( ) 2 2
5 3 例 . 6 在圆 x y 5x 内过点P ( 2 , 2 ) 有n条弦的长度
2 2
成等差数列，最小弦长为数列的首项 a1，最大弦长为 a n ，
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 第2课时 圆的一般方程学案 苏教版必修2
第2课时 圆的一般方程学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.知识点 圆的一般方程思考1 方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0分别表示什么图形？思考2 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆？ 梳理类型一 圆的一般方程命题角度1 圆的一般方程的概念例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径.反思与感悟 形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为____________，半径为________.(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.命题角度2 求圆的一般方程)例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.引申探究若本例中将条件改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.类型二圆的方程在实际生活中的应用例3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？反思与感悟本类题一般是用解析法解决实际问题.解析法解决实际问题的步骤：建系、设点、列式、计算、总结.跟踪训练3 已知隧道的截面是半径为 4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？类型三求动点的轨迹问题例4 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.反思与感悟求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示动点P的坐标.(2)写出适合条件的点P的集合M＝{P|M(P)}.(3)用坐标表示条件M(P)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式.(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程.1.圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为________.2.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是____________.3.M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是________.4.若圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________.5.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是______________.1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.答案精析问题导学 知识点思考1 对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝－1，不表示任何图形． 思考2 对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方并移项，得 (x ＋D2)2＋(y ＋E2)2＝D 2＋E 2－4F4.①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，它表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形． 题型探究例1 解 由表示圆的条件， 得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0， 解得m <15，即实数m 的取值范围为(－∞，15)．圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m . 跟踪训练1 (1)(－2，－4) 5 (2)9π例2 解 (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋－2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0，∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6. 引申探究解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为(72，52)，∴AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3(x －72)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－x －72，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为(132，－132)，r ＝132－2＋－132－2＝3702， ∴圆C 的方程为(x －132)2＋(y ＋132)2＝1852.跟踪训练2 解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.④ 联立①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.例3 解 以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则由已知得A (6，－2)． 设圆的半径为r ， 则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.①将点A 的坐标(6，－2)代入方程①， 得36＋(r －2)2＝r 2，∴r ＝10. ∴圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.②当水面下降1米后，可设点A ′的坐标为(x 0，－3)(x 0>0)， 将A ′的坐标(x 0，－3)代入方程②， 得x 0＝51，∴当水面下降1米后， 水面宽为2x 0＝251米．跟踪训练3 解 如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0)，将x ＝3代入得y ＝16－32＝7<9＝3<3.5，即在离中心线3 m 处，隧道的高度低于货车的高度． 因此，该货车不能驶入这个隧道．例4 解 (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M |MA ＝12MB }．由两点间的距离公式知，点M 适合的条件可表示为x －2＋y 2＝12x －2＋y 2，平方后再整理，得x 2＋y 2＝16. 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标为(x 1，y 1)． 由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点， 所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12，所以x 1＝2x －2，y 1＝2y .①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点， 所以点M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.② 将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆． 跟踪训练4 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2， 从而y 2＋2＝x 2＋3.故圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 在曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3. 当堂训练1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，1922.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，123．x －y －3＝0 4.1145．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1。
高中数学 第二章 2.2.1 第二课时 圆的一般方程课件 苏教版必修2
第
二
二
章
课
2.2
平
2.2.1
时
面
圆与
圆的方
解
方程 (fāng
程 (fāngc
圆 的
析
chén
几
g)
héng)
一 般
何
方
初
程
步
理解 教材 ( jiào cái) 新知
把握 热点 考向
入门答辩
新知自解 考点一 考点二
考点三
应用创新演练
第一页，共35页。第二Leabharlann ，共35页。第三页，共35页。
第四页，共35页。
x2＋y2＋Dx＋Ey＋
第九页，共35页。
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示(biǎoshì)的图 形
方程
条件
方程解的 情况
图形
x2＋y2＋ Dx＋Ey＋ F＝0
D2＋E2－＜0
没有实数 不表示任何
解
图形
第十页，共35页。
方程
条件
x2＋y2＋ D2＋E Dx＋Ey＋F 2－4F＝0
＝0
方程解的 情况
14＋ 9＋14140＋ 0＋D7＋D＋12E10＋E＋F＝F0＝，0， 81＋4－9D＋2E＋F＝0. 解得 D＝－2，E＝－4，F＝－95，于是所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－95＝0. 将上述方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝100. 于是，圆的圆心坐标为(1,2)，半径为 10.
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1) 运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已 知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
第三十五页，共35页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
阶 段 三
第2课时
圆的一般方程
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问 题．(重点、难点)
[ 基础· 初探] 教材整理 圆的一般方程的定义
阅读教材P109，完成下列问题． 1．圆的一般方程的定义
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( √ ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( × ) (3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( √ ) (4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝ C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0.( √ )
2 a2－2a＋2 半径r＝ . |a|
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两 种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方 程表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否 可以表示圆．
【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断．
【自主解答】 (1)∵A≠B，∴不能表示圆．
(2)∵xy前的系数不等于0，∴不能表示圆． (3)∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0， ∴不能表示圆． (4)方程变形为x2＋y2－2y＝0. 配方得x2＋(y－1)2＝1， 故方程表示圆，其圆心为(0,1)，半径为1.
D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其 1 2 D E 2 D ＋ E －4F － ，－ 2 圆心为____________ 2 ，半径为____________. 2
(1)当
D E － ，－ (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点______________. 2 2
[ 再练一题] 1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状．
【解】 当a<－1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)，半径为 a2－1的圆； 当a＝± 1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)； 当－1<a<1时，此方程不表示任何曲线．
圆的一般方程的求法
已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，－1)，C(－ 3,5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M(1,2)，N(4,5)， Q(2,3)与圆的位置关系．
【精彩点拨】 解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可 根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．
【自主解答】
(1)法一：设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． ∵此圆过A，B，C三点， 12＋32＋D＋3E＋F＝0， 2 2 ∴－1 ＋－1 －D－E＋F＝0， －32＋52－3D＋5E＋F＝0， D＝4， 解得E＝－4， F＝－2. ∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
2 a2－2a＋2 半径r＝ . |a|
Hale Waihona Puke 法二：∵a≠0，∴原方程可化为 4a－1 4 x ＋y － a x＋ay＝0.
2 2 2 2 16 a － 1 16 a － 1 ＋16 16 2 2 ∵D ＋E －4F＝ ＋ a2 ＝ >0， a2 a2
∴原方程表示圆，
2a－1 2 此时圆心坐标为 ，－ ， a a
(3)当 D2＋E2－4F<0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位 置关系如下表：
位置关系 点M在圆外 点M在圆上 点M在圆内 代数关系
2 x2 0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F > 0 2 x2 0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F ＝ 0 2 x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F < 0
[小组合作型]
二元二次方程的曲线与圆的关系
下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径． (1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－2xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4y＝0； (5)ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)．
2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0化为标准形式为_____________________．
【解析】 由x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝2. 故圆的标准形式为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
【答案】 (x－1)2＋(y＋2)2＝2 3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是______________． 【解析】 由题意可知，16＋(－2)2－20m＞0，解得m＜1. 【答案】 (－∞，1)
4a－1 4 2a－1 2 (5)法一：∵a≠0，∴原方程可化为x ＋y － a x＋ ay＝0，即x－ a
2 2 2 22 4[a－1 ＋1] ＋y＋a ＝ . 2 a
4[a－12＋1] ∵ >0，∴原方程表示圆， a2
2a－1 2 此时圆心坐标为 ，－ ， a a
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ① 1－a2＋3－b2＝r2， 2 2 2 则－1－a ＋－1－b ＝r ， ② －3－a2＋5－b2＝r2， ③
a＋2b－2＝0， ②－①，③－①得 2a－b＋6＝0，
解得a＝－2，b＝2. ∴r2＝10. ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10. 即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.