主应力法全解析
6 主应力法汇总
第18章 工程应用本章内容：各种方法的原理及应用本章重点：主应力法，滑移线法，摩擦与边界条件的处理。
18．1 主应力法principal stress method塑性理论：分析变形力——确定变形力, 选设备，设计模具，定工艺精确解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫1663塑性条件应力应变关系几何方程应力平衡方程非常困难甚至无法（共18个未知量）必须简化，近似求解⇒主应力法18．1．1基本原理主应力法（切块法slab method）：基本思路：近似假设应力状态，简化应力平衡方程和塑性条件要点：1) 简化应力状态为平面问题或轴对称问题2) 沿变形体整个截面截取基元体，设正应力与一个坐标无关且均匀分布，摩擦为库伦或常摩擦条件，根据静力平衡，得简化的平衡微分方程3) 列塑性条件时，假定基之接触面上的正应力为主应力（即忽略摩擦力对塑性条件的影响）。
4) 联立求解，并利用边界条件确定积分常数，求出接触面上的应力分布进而求得变形力。
注意：准确程度与假设是否接近实际有关。
18．1. 2 轴对称镦粗变形特点及变形力计算18.1.2.1 镦粗upsetting 变形特点无摩擦：均匀变形有摩擦：鼓形，双鼓形——不均匀镦粗inhomogeneous upsetting 变形分区：Ⅰ区：难变形区 Ⅱ区：大变形区 Ⅲ区：小变形区端面：滑动区，粘着区结论：镦粗是一个非稳定的塑性流动过程18.1.2.2 圆柱体镦粗时变形力计算 求接触面上的应力分布，主要步骤： 1) 截取基元 注意条件：轴对称问题，有：0==z θθρττ θσ为主应力θρσσ=2) 列径向静力平衡方程()()2sin2+++-θσθσσθσθd hdr d dr r h d hrd r r r简化为：02=-++hdr dr hdr hrd r r θστσσ圆柱体镦粗：dr d h r r τθσσσ2-==3) 引入塑性条件 设z σ为主应力 S z =-γσσ0=-⇒γσσd d zγτσd hd z 2-=∴4）设定摩擦条件 假设z μστ=rz z h cedr h z d μσμσσ22-=⇒-=∴5） 引入边界条件求积分常数 2D r =时0=r σ 此时S z =σ得C=hDSeμ()⎪⎩⎪⎨⎧===∴--r z r z Dh u Dh SeSe2222)(μμστσμ 上式即解得应力分布 但上式解存在问题，问题在τ的处理，因为τ≤S 5.0max =τ解决方法：重新设定摩擦条件 实验表明：ab 段：z μστ= 滑动区bc 段：S 5.0=τ 制动区co 段：S h r c S 22≈=γγτ停滞区将上式分别代入γστd d hz 2-=几个特殊点：b 点：b 点处有S b 21=τ 又有：()b z b u στ=ab段代入：()b dz hu se γσ-=22可求b γ 即：u u h dn b 222ιγ+=而对于bc 段（制动区），c hsz +-=γσ在处有b γs u z 5.0=σ 可求出()zb h u usC σγ及+=121 C点：CO段停滞区2222c s h z +-=γσ在处h c ==γγ，C 点z σ应相等可求C 2()[]()2222212γσγ-++=-h hs u s h h u z b18.1.2.3 讨论0<u <0.5 )1(2ψ+>h d三区并存 0<u <0.5 2≤h d≤)1(2ψ+制动区消失u >0 h d≤2 只有停滞区u ≤0.5 n d＞2 停滞区+制动区18.1.2.4 锻粗变形力计算 F=dA z σ⎰⎰ 单位流动压力：A F =ρ将前已计算出的z σ分别积分即求得常摩擦时：us =τγσd husd z 2-= ()[]γσ-+=221d h u z s ()huds p 31+=热锻中按最大摩擦条件s 5.0=τ（全部为制动区）()hd z s γσ-+=5.01()h d s p 611+=18.1.2.5 镦粗时变形功deformation work （选设备用）W=-⎰01h h Fdh=⎰-PAdh h h 01W=⎰1h h p v dh hv =⎰10h h ∈=m v hdh p ρ 注意：变形时单位流动压力与坯料体积及打击速度有关习题 18章 318.1.3 开式模锻drop-forging变形特点及变形力计算18.1.3.1 变形特点定义：利用模具die迫使金属坯料产生塑性变性并充满锻模型腔的一种塑性加工方法过程：1) 镦粗阶段2) 充满模镗阶段3) 上下模闭合阶段（打靠）飞边槽作用：1) 形成阻力2) 容纳多余金属18.1.3.2 变形力计算上下模闭合时需要力最大，所以计算此时的力以圆盘类锻件为例：可分为三个部分⎪⎩⎪⎨⎧飞边仓部飞边桥部锻件主体18.1.3.3 飞边仓部受力分析作用：阻止桥部金属向外流动受力模型：厚壁筒thick-walled barrel 受内压作用1) 取单元体 2) 列静力平衡方程()()0sin 2=⋅⋅-∂+++θγσγθσθγγσσγθγγd d d d d d22sin θθd d ≈()0=++∴γσσγσθγγγd d d即0=++γσσγσθγγd d 3) 屈服准则 ()s βσσγθ=--代入上式γγβσd r sd -=热模锻S 为常数，应力状态为平面应力1.1=βcr s r ln 1.1-=∴σ4) 边界条件21D =γ 处0=γσC=12D∴γσ21ln 1.1D r S =∴仓桥交界处()b D+=2γγγισ211.1D ns =锻模设计常识：一般b D D 21+≤1.6在b D+=2γ处，S S 5.06.1ln 15.1=≈γσ18.1.3.4 飞边桥部变形力计算 受力模型：轴对称镦粗 1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd hd 2-=热模锻用最大摩擦条件s 5.0=τγσγd hsd -=∴C hs+-=∴γσγ3) 边界条件：b D +=2γ s 5.0=γσ()hbD s C ++=∴25.0()5.0222+=∴-+hb D sγγσ4) 屈服准则（近似） s z =-γσσ()[]γσ-++=∴b s Dh z 215.1F b =⎰⎰+=22DD z bdA σγπγσd z ∂⋅()()bD b D h b b D b sb F +++⋅++=3225.1π()b D b Fb Ab Fb p b +==π模锻件D>>b 再简化132≈++b D b D()h b b s p 25.1+=∴18.1.3.5 锻件本体变形力受力模型（简化）：圆盘镦粗D φ h 0=2h (透镜状镦粗)1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd h d o2-=最大摩擦条件 s 5.0=τc hos +-=∴γσγ3) 边界条件 2D =γ ()5.0222+=-+hr b D s γσ 可求出C()oh D hbs 225.0γγσ-++=∴4) 屈服准则（近似）s z =-γσσ （h 0=2h ）()hD hbz s 425.1γσ-++=∴⎰=∴01224D d D p π()h D h b S 425.1γ-++ =()h Dh b S 125.1++结论：模锻力F=dd b b A p A p +=()()Ad S A S h Dh b b h b 1225.15.1++++=()[]h Dh b Ad Ab h b S D 12225.15.14++++π习题 18章 218.1.4 板料弯曲定义：把平板、型材（管材）弯成一定曲率（角度）的塑性成形工序应用：模具弯、折弯、滚弯、拉弯18.1.4.1 线性弹塑性弯曲 18.1.4.2 弹性弯曲弯矩小⇒弹性变形（弯曲角度小，曲率半径大） 外区受拉内区受压⇒交界处受力为0且位于板厚中间2t+==γρρσε 且应变公式为：()εεεεθρρραρεyy =∂∂-+=（ερ应变中性层曲率半径，y 到中性层距离，弯曲角度） 而弹变时0==z σσρ3ρθθεσEyE ==∴18.1.4.3 弹塑性弯曲弯矩↑⇒角度↑⇒曲率半径↓γ。
主应力法
接触面上正应力σz的分布规律
1．滑动区
d z 2f z 0 dr h
k f z
2fr C1 exp h
上式积分得： σ
z
当r=R时， r 0 ，将屈服准则 代入上式，得积分常数C1
2f z 2K exp (R r ) 因此： h
x h ( x d x )h 2 k dx 0
d x 2 k 整理后得： dx h 0
（2）由近似塑性条件 y x s 2 K
（ x、 y分别为数值，即绝对值）
→
d y d x 0
（3）将上式带入平衡方程，得： d y 2 k
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r 1 r zr 1 ( r ) 0 r r z r r 1 zr 2 r 0 r r z r rz 1 z z rz 0 r r z r
F xe
单位流动压力为： p P 1
xe
0
y dx
k . xe
h
ye
在摩擦系数较大时（热镦粗平板（长度远远大于宽 度）），整个接触面上作用着最大摩擦 力
k K
2
s
2
S
，则单位流动压力公式为：
2 1w p S (1 ) 4h 3
当考虑滑动摩擦时，将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
1 3 s
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz
主应力法
C = 2k + 2k
R h
2k σ z = 2k + ( R − r ) h
总压力和平均压力
假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 沿接触面的积分： 沿接触面的积分： R R
P=
2µ ( R−r ) h
∫
0
σ z ⋅ 2π rdr = ∫ σ s e
r z
为单元体边界上的摩擦应力，且是已知 为单元体边界上的摩擦应力，
的，剩下的未知应力只有两个，即 剩下的未知应力只有两个， 个方向的平衡方程就可以了。 个方向的平衡方程就可以了。
σr 和 σz
只需要建立一
§6.2 直角坐标平面应变问题解析
低摩擦条件下镦粗矩形件时， 低摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 假定在任一瞬间工件的厚度 为h，接触面宽度为b，如 接触面宽度为b 图所示。由于对称性，仅研 图所示。由于对称性， 究其右半部。 究其右半部。
2µ ( R−r ) h
当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ=k 当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得：dσ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得： 积分后得： 积分后得： σ z = − 2 k 由边界条件可得： 由边界条件可得：
r +C h
z
= −2k
dr h
把k作常量处理 作常量处理
dσ x = dσ y
轴对称问题基本方程的简化
研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 ( r , θ , z ) 研究轴对称问题， 根据主应力法的假设， 认为变形是均匀的。 根据主应力法的假设 ， 认为变形是均匀的 。 从变形体内分 离出来的单元体的界面是圆柱面， 离出来的单元体的界面是圆柱面 ， 在变形过程中仍保持为 圆柱面。假想一个半径为r 圆柱面 。假想一个半径为r ，高为 z的圆柱体，在变形过程 高为z的圆柱体， 中满足下面的体积不变条件： 中满足下面的体积不变条件：
主应力法全解析
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
主应力法
x
x
yx
y
0
xy
y
0
x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
cos
cos
u
dx
cos
sin
l
dx
cos
sin
0
整理
xh ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
ydx
sin( ) dx cos
u
cos
dx
cos
0
y tan u 0
ij 0 （3个）
x j
f ( ij ) C （1个）
dij d ij '
（6个）
dij
1 2
(dui x j
)
(du xi
j
)
（6个）
未知量： ij , dij , dui 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分方 程，无足够边界条件，不可解。
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 平衡方程简化 x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
代入 u y tan l y tan
第13讲主应力法详解
Lesson 13
第六章 主应力法及其应用
主要内容
Main Content
教材第六章-P186-205
▪ 主应力法基本原理
▪ 平面应变镦粗型的变形力
▪ 平面应变挤压型的变形力
▪ 轴对称镦粗型的变形力
▪ 轴对称挤压型的变形力
▪ 主应力法在塑性成形中的应用
▪ 接触面上的摩擦切应力及其对压应力分布的影响
2
Lesson 13
6.1 解析法的解本思路
1、基本假设 （1） 连续的，宏观的 （2） 确定的
描述方程+边界条件 求定解 2、描述方程，基本方程 平衡方程 几何方程 物理方程 屈服准则 边界条件 连续方程 塑性变形体积不变
3
（1）平衡方程
Lesson 13
ij 0 i. j x.y.z
xi
材料成形原理C Principle of Material Forming C
第十三讲 Lesson Thirteen
李振红
Li Zhenhong
Phone：15195871486 E-Mail： hflzh@
南京工程学院材料工程系 Department of Material Science and Engneering Nanjing Institute of Technology
d 3 d
2
（2）几何方程
ij
1 2
( u j xi
ui xj
)
应力应变 速率方程
ij ij '
3d
（3）物理方程
弹性
ij
1 2G
ij
'
1 2
E
mij
塑性 增量理论
弹塑性 dij
【材料成型原理——锻压】第九章 主应力法
k表 示 屈 服 时 的 最 大 剪 应力
按 密 席 斯 屈 服 ，k
1 3
s
•4.将上述的近似平衡微分方程与塑性条件联解，以求接触 面上的应力分布，这就是主应力法。
9.2 几种金属流动类型变形公式的推导
• 一、平面应变的横向流动（镦粗型）变形力公式的推导
右图表示平行砧板间的平面应变镦粗，
设 'S(若改变摩擦条件，
2
停 滞 区 ： S r S r (h 试 样 高 度)
2 rc 2 h
或
c
r h
( c 停 滞 区 外 端 点 之 )
现在，根据前面所推得的近似平衡方程
与近似塑性条件
d r
2
h
dr
d r d z
•第九章 塑性成形问题的主应力解法
• 9.1 主应力法的实质 • 9.2 几种金属流动类型变形公式的推导 • 9.3 拉延凸缘变形区应力分布
9.1主应力法的实质
• 塑性成形力学的基本任务之一就是确定各种成形工序所 需的变形力，这是合理选择加工设备、正确设计模具和制 定工艺规程所不可缺少的。由于塑性成形时，变形力是通 过工具表面或毛坯的弹性变形区传递给变形金属的，所
由于变形体是旋转体，所以采用圆柱坐标。
• 轴对称状态时，旋转体的每个子午面（θ面）都始终保持平面，而且各子午面 之间的夹角始终不变。所以：
• 1）在θ面上没有剪应力 • 2）各应力分量与θ坐标无关，对θ的偏导数为零 • 3） θ向的位移分量v=0 • 4）各位移分量与θ坐标无关
• 对于圆柱体的平砧均匀镦粗时： • 径向正应力和周向正应力是相等的，即
联结后得
d z
2
h
dr
z
2
塑性加工力学__第8章_主应力法
这样，力平衡方程简化为：
d x 2 f 0 dx h
或者可以从变形体上截取微元体，进行受力分析 建立力平衡方程，有：
x d x hl x hl 2 f ldx 0
则：
σx+dσx
d x h 2 f dx 0 d x 0 dx h 2 f
x d x hl x hl 2 ldx 0
2 ………（１） d x dx h 3、由Tresca屈服准则（忽略 ），
x
向受力平衡方程：
化简得：
1 3 s 3 z 其中 ： 1 x ；
所以：
x z s
镦粗 方向
σy σx
τ
σye
金属流动方向 x τ xe
σy dx
（显然，上式也是假设 在y方向均匀分布。）
x
h
σye
x
3、接触表面摩擦规律的简化
接触表面的摩擦多采用近似关系：
f n f mk (m为摩擦因子，取值在0 ~ 1） f k
其中
k
为屈服剪应力。
4、变形区几何形状的简化 根据所取坐标系以及变形特点，把变形区的 几何形状作简化处理。 如平锤下镦粗时，侧表面始终保持与接触面 垂直关系等。 5、其他假设 如将变形区材料视为均匀、各向同性，变形 均匀，剪应力在坯料厚度或半径方向线性分布， 某些数学近似处理等。
由于接触面上摩擦力的存在，正应力的分布是不 均匀的，需要利用应力平衡微分方程、应力应变关系 式、变形连续方程和塑性条件等联立求解。但是，这 种数学解析法计算十分复杂，用一般的解析方法求解 是非常困难的，甚至是不可能的。只有在某些特殊情 况下或将实际问题进行一些简化后，对于平面问题和 轴对称问题才能求解。 因此，为解决变形力的实际问题，需要引进各种 假设以简化联立方程，主应力法（也称工程法或切块 法）就是在此基础上建立起来的一种近似求解方法。
材料力学主应力
材料力学主应力为了进一步了解主应力，我们首先需要了解材料的应力状态。
材料在外力作用下会受到内部分子间的相互作用力，这些力会导致材料产生内部应力。
根据力的性质，我们可以将内部应力分解为正应力和剪应力。
正应力是指垂直于截面的分量，剪应力是指平行于截面的分量。
在一维静力学问题中，材料受到的应力只有一个方向，因此只存在一个正应力。
但在三维静力学问题中，材料受到的应力存在多个方向，因此存在多个正应力。
这些正应力中，具有最大值的称为主应力，具有最小值的称为次应力。
主应力对于材料的力学行为和断裂性能具有重要影响。
在材料的拉伸、压缩、扭转和弯曲等不同加载方式下，主应力的分布是不同的。
在拉伸或压缩加载中，材料的主应力沿加载轴方向，而在扭转加载中，主应力沿材料截面法线方向。
在弯曲加载中，则存在两个方向的主应力。
根据主应力的大小和正负号，可以判断材料的受力状态。
当主应力为正时，材料受到拉伸力，当主应力为负时，材料受到压缩力。
当主应力的大小相等时，材料受到平衡状态的等轴应力。
主应力的分析对于材料的工程应用具有重要意义。
具体来说，主应力的分布可以用来判断材料的断裂行为。
材料在主应力达到其极限强度时会发生断裂。
在构造设计中，合理地选择材料和加载方式可以使主应力分布均匀，避免材料发生断裂。
此外，主应力的研究也对于材料的变形行为有着重要的影响。
主应力的大小和分布会对材料的塑性行为和变形能力产生影响。
合理地调节主应力分布可以改变材料的变形行为，从而使其具有更好的工程性能。
综上所述，主应力是材料力学中一个重要的概念。
主应力的分布可以用来判断材料的断裂行为，而主应力的大小和分布也会对材料的变形行为产生影响。
因此，在材料力学研究和工程应用中，主应力的分析是必不可少的一步。
第05章 主应力法
x h x h x (tan tan )dx d x h d x (tan tan )dx 2dx u tandx l tan dx 0
x (tan tan )dx d x h 2dx u tandx l tandx 0
he K2 y ln( ) ye K1 hb xK1
x
we K2 ln( ) xe K1 wb yK1
讨论
we K2 x ln( ) xe K1 wb yK1
2 x - y Y 3
we K2 2 2 x = x - Y ln( ) xe - Y K1 wb yK1 3 3
当 y=ye时
ye 0
2 xe - ye Y 3
2 xe Y 3
讨论
we K2 2 2 x = x - Y ln( ) xe - Y K1 wb yK1 3 3
2 xe Y 3
we K2 2 x = x - Y ln( ) 3 K1 wb yK1
倾斜砧板问题
平衡方程简化
x (tan tan )dx d x h 2dx u tandx l tandx 0
代入 u y tan
l y tan
x (tan tan )dx hd x 2dx y tan dx tan 2 dx y tan dx tan 2 dx 0 x (tan tan )dx hd x 2dx y (tan tan )dx (tan 2 tan 2 )dx 0
s主应力法讲解
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
Байду номын сангаас
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
第六章 主应力法及其应用
当
K
变形力
2 2 (x) c x h
P F y dF l y (x)dx 1a =2kla(1+ ) 4h
4 2 2 1 ( y) c 2 K 2 2 y h
单位流 动压力
p
2 4 2 y2 2 xc2 K 2 代入6 x h h 式得 （7） c 2 x y h
当z=ze时， z 0 ∴ c K1 ln(rb ze tan )
rb z tan z K1 ln( ) ……(7) rb ze tan rb rb 当z=0处， z 即为挤入深 p K ln( ) K1 ln( ……(8) ) 1 rb ze tan re 度为 ze 所需的单位变形力 ∵∴
h
p
x
y 4
2
2 xy
4 2 4K s 3
2
a
2 x y 2 K 2 xy (2)
当y=0时，xy =0 1 xy y h
(3)
得
（2）代入（1）得
2
2
K
2
2 xy
xy
xy
2
xy
第六章 主应力法及其应用
6.1 解析法的求解思路
1、基本假设 （1） 连续的，宏观的 （2） 确定的 描述方程+边界条件 求定解 2、描述方程，基本方程 平衡方程 几何方程 物理方程 屈服准则 边界条件 连续方程 塑性变形体积不变
（1）平衡方程
ij xi 0
i. j x. y.z
确定主应力大小和方向问题分析解读
确定主应力大小和方向问题分析基础部秦定龙一问题的提出在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失，经常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题，以便于分析结构破坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正确布置结构内的受力钢筋等。
图一(a)所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏?图一(b)所示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成的斜面上发生破坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。
在图二(a)中，钢筋混凝土简支梁的两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的，而图二(b)中梁内的弯起钢筋和纵向受力钢筋则是根据图二(a)中梁的主应力轨迹线布置的。
图一（a）q(a)图二(b)上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大小的计算和确定主应力方向的问题。
一般情况下，主应力的大小可按特定的公式算出来，而在确定应力的方向时，人们往往不容易正确确定出来。
本文就怎样快速准确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。
二主应力大小及方向的确定方法图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。
假定在一对竖向平面上的正应力为,切应力为；在一对水平面上的正应力为y，切应力为y，它们的大小和方向已经求出。
现要求出这个单元体的最大正应力、最小正应力即主应力的大小和方向。
对应力、和角度的正负号规定如下：正应力(或主应力)以拉应力为正，压应力为负；切应力对单元体内的任一点以顺时针转为正，以反时针转时为负；角度以从x轴的正向出发量到截面的外法成n是反时针转为正，是顺时针转为负。
按照上述的规定，可以判断出，、、及是正值；是正值，是正值，角是负值。
（a）主应力的确定方法有两种：一种是解析法，一种是应力圆法。
下面分别讨论之。
1．确定主应力大小和主平面位置的解析法(b)图三根据对主应力的定义，进行严格的数学推导，得出计算平面应力状态下单元的主应力公式如下： (1)由式(1)可以看出， α有两个根。
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北京：国防工业出版社 北京：冶金工业出版社 北京：机械工业出版社
徐秉业等编.弹塑性力学及其应用. 北京：机械工业出版社
结论：
主应力法的运算比较简单，所得的数学表达式 中，可以分析各有关参数（如摩擦系数、变形 体几何尺寸、变形程度、模孔角等）对变形力 的影响，因此至今仍是变形力计算的一种重要 的方法。
参考文献
王仲仁等编.塑性加工力学基础. 王占学主编.塑性加工金属学. 俞汉清等编.金属塑性成形原理.
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
6、得结论：宽为b、高为h的工件平面应变自由镦粗时 接触面上的压应力σy和单位变形力p：
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy Nhomakorabeaσy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
主应力法的特点：
优点：
主应力法的运算比较简单，所得的数学表达式中，可以分 析各有关参数（如摩擦系数、变形体几何尺寸、变形程度 、模孔角等）对变形力的影响，因此至今仍是变形力计算 的一种重要的方法。 使用这种方法无法分析变形体内部的应力分布。因为所做 的假设是变形体内的应力分布在一个坐标方向上平均化了 。 求解的准确性受假设近似程度的限制。 求解复杂形状变形力时需要复杂分解和拼合，降低了准确 度和应用灵活性。 仅适用于接触面积较大的工序，接触面较小时很难算出变 形力的大小。
第三篇 主应力法的基本原理
实质
将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解
基本假设(要点)
一、 把问题简化成平面问题或轴对称问题
二、根据工件变形特点选取基本分析单元——基元体（板块）。
三、接触面上的摩擦切应力采用库伦（常、最大）摩擦条件。
四、建立基元体的力学平衡条件。 五、在屈服条件中忽略切应力的影响。
m b y 2 K [1 ( x)] h 2 mb p 2 K (1 ) 4h
二、轴对称镦粗型的变形力
镦粗 方向
σz τ
σr
σze
金属流动方向
h
dθ σr
σθ σr+ dr σθ
σr+ dr
dr σz
r
τ re
高度为h，直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的压 应力σz和单位变形力p m d z Y [1 ( r )]
{简化后的屈服准则方程：σx － σy = 2K（当σx ＞σy）}
第三篇 主应力法的基本原理
得出主应力概念：
将简化的平衡微分方程和屈服方程联立求解 ，并利用应力边界条件确定积分常数，以求得接 触面上的应力分布，进而求得变形力。经过简化 后的应力平衡方程和屈服准则方程实际上都是用 主应力来表示的，故称此法为主应力法。又因为 此法需要切去基元体或基元板块着手，故又称为 “切块法”
h 2 md p Y (1 ) 6h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
3．模锻变形力分析
图6—13a表示圆盘类锻件模锻过程的闭合(打靠)瞬 间。此时的变形力为最大，它包括两部分：飞边 的变形力Pb和锻件本体的变形力Pd .
二、在板料成形中的应用
1、板料成形的特点 1）在板料成形，坯料大多只有一个板面 与模具接触，而另一个板面为自由表面。 2)板料成形大多在室温下进行，因此必须 考虑材料的加工硬化。 3）板料成形过程中，变形区的板料厚度 是变化的。 4)在必要时，还需考虑板料的各向异性的 影响。 2．薄壁管缩口变形的力学分析 薄壁管缩口时，其变形区集中在管子 的锥面段内。现用两个相交的径向平面(子 午面)和两个垂直于锥面的平行平面在变形 区内切取一基元体，其上作用的内、外力 如图。
金属塑性成形原理
——主应力法求解塑性成形问题的要点及存在的问题
指导教师：李纬民 小组成员：周均博 曹 琛
张 杨 祖晓阳
孔晓华
第一篇 概述
研究不同形状和性能的坯料，在不同 形状的工模具和不同外力作用下发生塑性 变形时的应力、 应变、流动状态，是塑性 成形理论的根本任务。
第二篇 塑性成形方法概述
求解塑性变形时的应力、应变和流动状态的基本方程有平衡微分方程 、屈服准则方程、几何方程、本构方程。这些基本方程包含15个未知 数，且为高阶微分方程，加之变形体的几何形状和边界条件很复杂， 因此求得一般解析是非常困难，甚至是不可能的。目前只有特殊情况 或将一些实际问题进行一些简化假设后才能求得。根据简化假设的不 同，求解方法有主应力法、滑移线法、上限法、有限元法等。 现在让我们来讨论主应力法在求解塑性成形问题时的要点和出现的问 题
缺点：
缺点优化讨论：
接触表面上的摩擦切应力都 是按常摩擦条件 τ ＝ mK确定的。 事实上，接触表面上摩擦切应力 的分布相当复杂，不可能是一个 恒值。例如，在接触面上正压力 较小的区域， 的分布更符合库仑 摩擦定律即 ；当正压力较 大以致 达到极值时，则 将不 再随正压力 的增大而增大，此相 应的区域应遵循最大摩擦力不变 条件，即 τ ＝ K；而在分流点 （线）附近的区域，根据金属 沿 接触 表面流动的特点，该区域内 的τ将由某一数值递减至零，过分 流点后沿反向再由零递增至某一 数据。
第四篇 几种金属流动类型
1.平面应变镦粗型的变形力 2.平面应变挤压型的变形力 3.轴对称镦粗型的变形力 4.轴对称挤压型的变形力
一、平面应变镦粗型的变形力
镦粗 方向
σy τ
σx σx+ dx dx σy
σye
1、基元板（设长dl）平衡方程
P
h
x
xlh ( x d x )lh 2 ldx 0