人教版初三数学下册三垂直模型-相似三角形专题(学案)
人教版九年级数学下册27.2.1：相似三角形的判定 导学案设计
人教版九年级数学下册第二十七章相似27.2.1 相似三角形的判定导学案1、教学目标1.理解相似三角形的概念.2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论.3.掌握判定三角形相似的预备定理.2、预习反馈阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理.并完成下面的预习内容.①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k.②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝（DE ）（EF ），AB（AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 【点拨】 找准对应线段是关键.3、例题及讲解例1 如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是(B)A.AD AB ＝AE ACB.DE BC ＝EC ACC.AD DB ＝AE ECD.BC DE ＝AC AE 【跟踪训练1】 如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是(A)A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF例2 如图，ED ∥BC ，EC ，BD 相交于点A ，过A 的直线交ED ，BC 分别于点M ，N ，则图中有相似三角形(C)A.1对B.2对C.3对D.4对【跟踪训练2】 如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，△AEF ∽△ABC.4、巩固训练1.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为(C)A.28°B.32°C.42°D.52°2.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE ，BA 交于点F ，下列等式成立的是(C)A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长.解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ，即3AB ＝26. ∴AB ＝9.∴BD ＝AB －AD ＝9－3＝6.5、课堂小结1.本节课我们学习了哪些内容？2.当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？第2课时 相似三角形的判定定理1，21、教学目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.2、预习反馈阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容. ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似.②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. ③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BC HI ，所以他们不相似.乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似.解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确.【点拨】 判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法.3、例题及讲解例1 (根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由： AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A′B′＝12 cm ，B′C′＝18 cm ，A′C′＝24 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝412＝13，BC B′C′＝618＝13， AC A′C′＝824＝13， ∴AB A′B′＝BC B′C′＝ACA′C′. ∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20，在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.解：相似.理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53，∴AC AE ＝AB AD ＝BC DE . ∴△ABC ∽△ADE.例2 根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由： ∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A′＝120°，A′B′＝3 cm ，A′C′＝6 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝73，AC A′C′＝146＝73，∴AB A′B′＝ACA′C′. 又∠A ＝∠A′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练2】 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是正方形. (1)△ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由； (2)求∠1＋∠2的度数.解：(1)相似.理由：设正方形的边长为a ，则AC ＝a 2＋a 2＝2a ， ∵AC CF ＝2a a ＝2，CG AC ＝2a 2a ＝2， ∴AC CF ＝CG AC. 又∵∠ACF ＝∠GCA ， ∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ， ∴∠1＝∠CAF. ∵∠CAF ＋∠2＝45°， ∴∠1＋∠2＝45°.4、巩固训练1.在△ABC 和△A′B′C′中，AB ＝9 cm ，BC ＝8 cm ，CA ＝5 cm ，A′B′＝4.5 cm ，B′C′＝2.5 cm ，C′A′＝4 cm ，则下列说法错误的是(D) A.△ABC 与△A′B′C′相似 B.AB 与B′A′是对应边 C.两个三角形的相似比是2∶1 D.BC 与B′C′是对应边2.在△ABC 与△A′B′C′中，已知AB·B′C′＝BC·A′B′，若使△ABC ∽△A′B′C′，还应增加的条件是(C)A.AC ＝A′C′B.∠A ＝∠A′C.∠B ＝∠B′D.∠C ＝∠C′3.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例.4.右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例.5.如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？解：∵AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ， ∴AE AC ＝AD AB ＝23. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AE AC . 又∵DE ＝43 cm ，∴43BC ＝23.∴BC＝2 cm.【点拨】运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算.5、课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？第3课时相似三角形的判定定理301教学目标1.掌握相似三角形的判定定理3.2.了解两个直角三角形相似的判定方法.3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题.02预习反馈阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法.完成下列预习内容.①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.④如图所示，已知∠ADE＝∠B，则△AED∽△ACB.理由是两角分别相等的两个三角形相似.⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等.再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似.【点拨】要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似.03名校讲坛例1(教材P35例2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长.【解答】 ∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB. ∴AD ＝AC·AE AB ＝8×510＝4.【跟踪训练1】 如图，∠1＝∠3，∠B ＝∠D ，AB ＝DE ＝5，BC ＝4. (1)△ABC ∽△ADE 吗？说明理由； (2)求AD 的长.解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下： ∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ， ∴△ABC ∽△ADE. (2)由(1)，知AB AD ＝BCDE.∴5AD ＝45. 解得AD ＝254.例2 (教材补充例题) 已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【解答】 ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，(1)当BC BD ＝AB CD时，△ABC ∽△CDB ， 此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD. ∴BD ＝b 2a. 即当BD ＝b 2a时，△ABC ∽△CDB. (2)当AB BD ＝BC CD时，△ABC ∽△BDC ， 此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即AB BD ＝AC BC. ∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b aa 2－b 2. ∴当BD ＝b aa 2－b 2时，△ABC ∽△BDC. 综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝b aa 2－b 2时，这两个三角形相似. 【点拨】 本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况.【跟踪训练2】(《名校课堂》27.2.1第3课时习题)在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)A.∠B＝∠B1B.ABA1B1＝AC A1C1C.ABA1B1＝BCB1C1 D.ABB1C1＝ACA1C104巩固训练1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C)A.都含有一个40°的内角B.都含有一个50°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个70°的内角2.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)ABA′B′＝BCB′C′；(2)BCB′C′＝ACA′C′；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(C)A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.证明：∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD.4.如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线.求证：△ABC∽△BCD.证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠ABC，∴△ABC∽△BCD.05课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？。
人教版九年级下册数学 3.相似三角形应用举例导学案
布置作业：
P43习题27·2题8，9，10.
备选题：
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路。
运用提高：
1．P41练习题1
2．P41练习题2
让学生在练习中熟悉利用三角形的相似去解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
课堂小结：说说你在本节课的收获.
又∠AOB=∠DFE=900
∆ABO∽∆DEF
二试牛刀：
例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ。
一试牛刀：
例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO。
分析：BF∥ED ∠BAO=∠EDF
备选题答案：x=2
27.2.3相似三角形的应用举例
〔学习设计〕
学习过程
设计意图说明
新课引入：
人教版九年级数学下册第二十七章：相似三角形专题复习优秀教学案例
（二）问题导向
1.设计具有挑战性的习题，引导学生运用相似三角形的知识解决问题。通过解答习题，让学生巩固所学知识，提高他们的解决问题的能力。
在教学过程中，我将关注学生的情感需求，以鼓励性评价为主，让学生在不断取得成功的过程中感受到数学的魅力，提高他们对数学学科的兴趣和自信心。同时，我将引导学生积极参与课堂活动，培养他们的自主学习能力和责任感。此外，通过小组讨论、探究活动等方式，我将培养学生的团队精神和合作意识。
三、教学策略
（一）情景创设
在教学过程中，我将组织丰富多样的课堂活动，如小组讨论、探究活动等，让学生在合作中思考、交流，共同解决问题。同时，我将引导学生运用所学知识进行分析、解答实际问题，提高他们在面对问题时独立思考和解决问题的能力。此外，我将鼓励学生敢于尝试新的解题方法，勇于提出不同的观点，培养他们的创新思维。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心。通过设置合适的教学难度和教学节奏，让学生在不断取得成功的过程中感受到数学的魅力，提高他们对数学学科的兴趣和自信心。
2.培养学生的自主学习能力。鼓励学生在课堂内外积极探究，独立解决问题，培养他们的自主学习能力和责任感。
3.培养学生的团队精神和合作意识。通过小组讨论、探究活动等方式，让学生在合作中体验团队精神，提高他们的合作能力。
为了更好地了解学生对相似三角形知识掌握的程度，我在课前进行了一次摸底测试。结果显示，大部分学生对相似三角形的性质和判定方法有一定的了解，但在实际应用中存在一定的困难。针对这一情况，我在教学中重点关注学生的实际操作能力和思维能力的培养，通过举例讲解、引导思考等方式，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们在解决问题时的灵活性和准确性。
人教版初三数学下册相似三角形学案学生用
相似三角形复习课启东市继述初中施峰艳学习目标：1掌握相似三角形的判定和性质，位似的性质2、掌握用相似三角形的判定和性质证明角相等，线段成比例(或等积式)3、体验用相似三角形的判定和性质求线段的长4、能运用相似三角形解决一些不能直接测量的物体的长度或高度学习重点：灵活运用相似三角形的判定和性质解题学习难点：探索用相似三角形知识解决有关函数、运动类问题学习过程：【知识梳理】活动1：相似三角形基本图形的回顾问题：请同学们根据下列图形给出一个判断厶ADE与厶ABC相似的条件，并说明理由.活动2：如图1中厶ADEABC，相似比为2:3(1) _________________________________ △ ADE和厶ABC对应中线的比_________________________________________ ，对应角平分线的比________ ，对应高的比____(2)若它们的周长差为10,则厶ADE和厶ABC的周长分别是 _________ 和_______ .(3) _________________________________________________________ 若它们的面积和为19.5，则△ ADE和厶ABC的面积分别是_______________________________ 和_______ .总结：相似三角形的性质(1)相似三角形的对应中线比，对应角平分线比，对应高比都等于(2)相似三角形周长的比等于__________ ;(3)相似三角形面积的比等于_________________ .总结：相似三角形的判定方法活动3：相似在日常生活中应用举例(山东济宁中考题)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上•若光源到幻灯片的距离为20 cm,到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为 6 cm,则屏幕上图形的高度为________ cm.总结：本题是相似变换中的特例一一位似变换(1)位似定义：对于两个多边形不仅,如果它们的对应顶点的连线么这两个多边形就是__________________ ，这点叫做___________ .［典例精析】例1 :女口图，下列条件①/ B=Z ACD ;②/ ADC = / ACB ;AC AB③；④AC 2二AB • AD其中能判定△ ABCACDCD BC的是______________ .变式1: (2016杭州)如图，在△ ABC中，点D、E分别在AB、AC上，/ AED = Z B,线段AG分别交线段DE、BC于点F、G 且AD DFAC _ CG(1)求证：△ ADF ACG ;AD 1 AF砧/古(2 )若，求的值.AC 2 FG变式2 (山东泰安中考题)如图四边形ABCD 中，AC平分/ DAB,/ ADC= / ACB=90°, E 为AB 的中点.(1)求证：AC2=AB?AD;(2)求证：CE// AD ;AC(3 )若AD=4, AB=6，求的值.AF例2:如图，正方形ABCD的边长为4, M, N分别是BC, CD上的两个动点，且始终保持AM丄MN .当BM= ________________ 时，四边形ABCN的面积最大.GC DDNCIVIS A BDE - S A CDE =1:4，则 S ^BDE - S ^ADC -()D.-变式1: （2015岳阳）如图，在正方形 ABCD 中，M 是BC 上一点，F 是AM 的中点，EF 丄AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点 E ,交DC 于点N （1）求证：△ ABM EFA ;（2 ）若 AB=12, BM=5，求 DE 的长.变式2 :（扬州市中考题）已知矩形 ABCD 的一边 AD=8，将矩形 落在CD 边上的P 点处.（1）如图1,已知折痕与边 BC 交于点O ,连接AP 、OP 、OA . ① 求证：△ OCPPDA ;② 若△ OCP 与厶PDA 的面积比为1:4，求边AB 的长.【课堂总结】通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑?【当堂检测】1. （ 2016 湘西）如图，在△ ABC 中，DE // BC , DB=2AD , △ ADE DBCE 的面积为2.（山东省莱芜市）如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是AB 、 BC 上的点，且 DE // AC ,若A. 1:16B. 1:18C. 1:20D. 1:24AD3.如图，已知等腰厶ABC 中，顶角/ A=36 ° BD 为/ ABC 的平分线，贝U的值等于（）C.1MABCD 折叠，使得顶点4.(甘肃省陇南市)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F, AF=x( 0.2奚w 0.8, EC=y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是( )B.AB是直径，且CD丄AB,垂足为P ,求证:【分层作业】1.必做题：书本复习题27第3、7题2•选做题：(湖南永州中考题)如图，已知AB丄BD , CD丄BD .(1 )若AB=9, CD=4, BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB=9, CD=4, BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3)若AB=9 , CD=4 , BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4)若AB=m, CD=n, BD=|，请问在m、n、|满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？。
人教版初三数学下册相似三角形导学案
学科养成：△ ABC 中，/ ACB= 90°, CDLAB 于 D,找出图中所有的相似三角形。
【教学过程】时间过程目标 教师活动及方法 学生活动及方法命题立意及思路 点拨形成性评价板书【目标1】知识回顾：1 •相似三角形的概念。
类比全等三角 【例1】已知：△ ABC A ' B ' C ',且相5/形的判定方法 似比为k ，AD 、A ' D '分别是△ ABC 、 △理2 •如何判定两个三角形相似？ 探索其它判定 A ' B ' C '对应边BC 、 B ' C ' 上的高，求证：1、性质1： 相解相似三角 形对应高的3、相似图形的性质有哪些？方法S ABC| 2-------- =k似三角形对应咼的比、对应中线提出问题：【探究】△ ABC 和厶A ' B ' C '是两个相似三角形，比等于相似比15/的比、对应角 1、问题：两个三相似比为k ，其中AD 、A ' D '分别为BC 、B ' C 'A2、性质2： 相平分线的比等于相似比角形相似，除了对边上的高，那么 AD 、A ' D '之间有什么关系？培养学生自/ %似三角形对应角分的这个性质， 应边成比例、对应4主探索问题，积线的比等于相似比并会应用这极参与，归纳概H 一些性质解决角相等之外，还有/括能力图 24.3.93、性质3:相问题.相其他的结论吗？似三角形对应中线同桌讨论，大胆图 24.3.9巩固新知的比等于相似比【目标2】 猜想【讨论】得 AD _AB1 •如果两个三角形相似，相似比为 3 : 5，那么对应4、性质4： 相知识点一：A D A B角的角平分线的比等于多少？经历探索相所以-AD-t =AB 知识系统化、准 2•相似三角形对应边的比为0. 4,那么相似比为似三角形的周长比似三角形的AD r A B确化，对应角的角平分线的比为，周长的比有关性质的知识迁移【结论】相似三角形对应咼的比等于为，面积的比为.等于相似比过程，掌握相2433相似三角形的性质--（导学案）【课程目标】15 似三角形性质的应用方法.【目标3】以探究的思想，培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的应用价值.合作、交流、动手实践(画图说明)知识点二：三边对应成比例的两个三角形相似知识点三:判定两个三角形相似例题讲解【猜想】相似三角形对应中线、对应角分线、周长的比等于什么呢？【结论】相似三角形对应中线的比等于相似三角形对应角分线的比等于三角形相似性3 .如图，在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2 ,这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出-■: A1B1C1 和-■:A2 B2C2 的面积5、性质5:相似三角形的面积比等于相似比的平方例题相似三角形周长的比等于问题：图24. 3. 10中(1)、(2)、( 3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似.图24.3.10质方法的应用检验(2)与(1)(2)与(1)(3)与(1)(3)与(1)的相似比=的面积比=的相似比=的面积比=【猜想】相似三角形的面积比等于相似比的平方？【结论】相似三角形的面积比等于小结：1、性质1：相似三角形对应高的比等于相似比2、性质2：相似三角形对应角分线的比等于相似比3、性质3 :相似三角形对应中线的比等于相似比4、性质4 :相似三角形的周长比等于相似比5、性质5 :相似三角形的面积比等于相似比的平方本课的学习你体会到了哪些重要的数学思想？VL^识框^ 一厂相似三角形的性质性质方法的应用c作业：P59――练习1、2.比.AB 14、已知△ ABC A ' B ' C', 一，一,• = ,AB 边上AB 2的中线CD=4厘米，△ ABC的周长为20厘米，△ A'B 'C '的面积是64平方厘米，求：(1) A ' B '边上的中线C'D'的长(2)^ A ' B ' C'的周长(3)^ ABC的面积教学反思:。
九年级数学下册 27 相似 课题 相似三角形的性质学案 (新版)新人教版
课题：相似三角形的性质【学习目标】1．理解并掌握相似三角形的性质．2．能够运用相似三角形的性质解决相关问题．【学习重点】理解并能运用相似三角形的性质．【学习难点】探索证明相似三角形的性质．情景导入 生成问题类似三角形全等，若两个三角形相似，它有哪些性质？答：相似三角形对应线段的比等于相似比．自学互研 生成能力知识模块一 相似三角形性质1【自主探究】阅读教材P 37，思考：三角形中有各种各样的量，这些量之间有什么关系？【合作探究】教材P 37探究．1．根据你刚才的探究，相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比有什么特征？2．如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是R ，且AD ，A ′D ′分别是△ABC，△A ′B ′C ′对应边上的高线，求AD A ′D ′的值． 解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为R ，∴AB A ′B ′＝R ，∠B ＝∠B′.又∵AD，A ′D′分别是△ABC，△A ′B ′C ′的高，∴∠1＝∠2＝90°，∴△ABD ∽△A′B′D′，∴AD A ′D ′＝AB A ′B ′＝R. 归纳：相似三角形对应线段的比等于相似比．知识模块二 相似三角形性质2【自主探究】阅读教材P 38，思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？【合作探究】如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，则S △ADE S △ABC的值为多少？ 解：∵D，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，∴DE 綊12BC ，∴△ADE ∽△A BC.过点A 作AN⊥BC 交DE 于点M ，交BC 于点N ，∵△ADE ∽△ABC ，∴AM AN ＝12，∴S △ADE S △ABC ＝12DE ·AM 12BC ·AN ＝14. 归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识模块三 相似三角形性质的运用 【自主探究】阅读教材P 38例3，体会相似三角形的性质的运用．【合作探究】如图所示，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD. (1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)∵AD∥BC，∴∠EBC ＝∠AFB，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠A ＝∠C，∴△ABF ∽△CEB ；(2)24.交流展示 生成新知 【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一 相似三角形性质1知识模块二 相似三角形性质2知识模块三 相似三角形性质的运用检测反馈 达成目标 【当堂检测】1．(台州中考)若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( A )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶62．(哈尔滨中考 )如图，在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，则△AM N 的面积与四边形MBCN 的面积比为13．(第2题图)(第3题图)3．(绥化中考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶EC ＝2∶3，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( D )A ．2∶5∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．4∶10∶25【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．这节课的学习，你的收获是：__________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定(3)》教案
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》是相似三角形章节的一部分，主要介绍了相似三角形的判定方法。
本节课的内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行的，目的是让学生进一步理解相似三角形的判定方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于相似三角形的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，学生在运用判定方法解决问题时，可能会出现理解不深刻、应用不熟练的情况。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生深入理解判定方法，提高运用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用判定方法解决问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：运用判定方法解决问题，理解判定方法的本质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生主动探究相似三角形的判定方法。
2.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对判定方法的理解。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：三角板、直尺、圆规。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的相似图形，如建筑物的立面图、服装设计图等，引导学生观察并思考：这些图形为什么说是相似的？激发学生的学习兴趣，引出相似三角形的概念。
2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的判定方法，引导学生通过观察、操作、思考，总结出判定方法。
方法一：三边法如果三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
方法二：两边及其夹角法如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形相似。
九年级数学下册 27 相似 课题 相似三角形的判定学案1
课题：相似三角形的判定(1)【学习目标】1．了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的表示方法及判定方法．(平行线分线段成比例定理及预备定理)2．经历用类比三角形全等知识探究相似三角形的定义及表示方法的过程，进一步探索相似三角形的预备定理．【学习重点】平行线分线段成比例定理及相似三角形的预备定理及应用．【学习难点】两个定理的探索过程．情景导入 生成问题旧知回顾：下列各线段的长度成比例的是( D )A ．2cm ，5cm ，6cm ，8cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，6cm ，7cm ，9cmD ．3cm ，6cm ，9cm ，18cm 自学互研 生成能力知识模块一 相似三角形的概念与相似比【自主探究】阅读教材P 29，思考：如果k ＝1，这两个三角形有怎样的关系？解：全等．如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并用符号表示出来．解：△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB ，△ADE ∽△EFC .知识模块二 平行线分线段成比例定理【自主探究】教材P 29探究．【合作探究】1.(宁德中考)如图，在▱ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于4．【分析】在▱ABCD 中，AB ∥CD ，所以△AEF∽△CDF.所以AE CD ＝AF CF .因为AE ＝EB ，所以AE ＝12CD ，所以CF ＝2AF ＝4.2.如图，已知DE∥BC，DE 分别交AB ，AC 的反向延长线于DE ，则△ADE 与△ABC 能相似吗？为什么？ 解：△ADE∽△ABC，∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B，∠AED ＝∠C，∴△ADE ∽△ABC.知识模块三 平行线分线段成比例定理的应用【自主探究】(乌鲁木齐中考)如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为65．【合作探究】如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝EC ，DB ＝1cm ，AE ＝4cm ，BC ＝5cm ，求DE 的长．解：∵DE∥BC，∴AD DB ＝AE EC .又∵AD＝CE ，∴AD 2＝4，∴AD ＝2，∴AB ＝3.由DE∥BC 可知△ADE∽△ABC，∴AD AB＝DE BC ，∴DE ＝2×53＝103(cm )． 交流展示 生成新知 【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一 相似三角形的概念与相似比知识模块二 平行线分线段成比例定理知识模块三 平行线分线段成比例定理的应用检测反馈 达成目标【当堂检测】1．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相似的三角形有3对．(第1题图) (第2题图) (第3题图)2．(成都中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，BD ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( B )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，直线l 1∥l 2，AF ∶FB ＝2∶3，BC ∶CD ＝2∶1，则AE∶E C 为( C )A ．5∶2B ．4∶1C ．2∶1D ．3∶2【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．这节课的学习，你的收获是：_________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形(教案)
-相似三角形的判定方法：学生容易混淆判定法则，难以把握何时使用备较强的抽象思维能力，如对应角的平分线、中线、高线等比例关系。
-解决实际问题中的应用：将相似三角形应用于实际问题求解时，学生往往难以从实际问题中抽象出数学模型，找到解决问题的关键。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指对应角相等且对应边成比例的两个三角形。它在几何学中具有重要地位，帮助我们理解和解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过比较不同形状和大小的三角形，我们探讨相似三角形在实际中的应用，以及如何利用它们的性质来解决问题。
c.在解决实际问题中，难点在于引导学生从复杂问题中抽象出相似三角形的模型。教师可提供多个实际问题，指导学生分析问题，逐步引导学生抓住问题的关键，将实际问题转化为数学问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的三角形？”比如，放大镜下的三角形和实际三角形的比较。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
4.培养学生的数学抽象与模型构建能力，通过对相似三角形的研究，形成对几何图形相似性的一般性认识，并能构建相应的数学模型。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的定义：学生需掌握相似三角形的含义，即对应角相等且对应边成比例的两个三角形。
-掌握相似三角形的判定方法：重点讲解AA、SAS、SSS判定法则，并通过具体例题进行巩固。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定方法（AA、SAS、SSS）和性质（周长和面积的比例关系）。对于难点部分，我会通过具体例题和图形分析来帮助大家理解。
九年级数学下册相似三角形教案人教版
九年级数学下册相似三角形教案人教版
〔教学目标〕
1．了解相似比的定义；掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交；所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等；
那么这两个三角形相似。
2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力；感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系；体验事物间特殊与一般的关系。
3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程；发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1；因此在教学设计中突出了“探究”的过程；先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究；然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究；从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。
此外；本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”⇒“类比”⇒“猜想”的教学法；促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构；并在这一建构过程中发展合情推理能力。
三垂直模型-相似三角形专题（学案）
三垂直模型-相似三角形专题（学案）三垂直模型相似三角形(学案)班别姓名一、学习目标1、掌握相似三角形的性质和判定，并能熟练运用三垂直模型解决问题。
2、经历运用相似三角形的基础知识解决的过程，体验图形的运动以及方程等数学思想。
二、授课（一）【导入新课】（二）【探究活动】【探究1】构造格点三角形请在图1中画一个直角三角形ABC，满足条件：（1）以线段AC为斜边；（2）顶点B落在线段MT的格点上。
【探究2】构造三垂直模型在图1正方形中，且∠ABC=90°，ΔAMB与ΔBTC这两个三角形相似吗？请写出依据。
F E D CB A 例题1：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，∠BEF=90°，AB=6，AE=9，DE=2，求线段EF 的长度。
【探究3】构造折叠例题2：如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC边上F 点处，已知CE=6cm,AB=16cm,求BF 的长。
（三）下面我们研究一下三垂直模型中，三个三角形出现两两相似的情况。
【探究4】综合运用如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个点E ，连接ED 、EC,使得Rt ?CED 、Rt ?DAE 、Rt ?EBC ，三个三角形两两相似。
【探究5】如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处。
若Rt ?EMC、Rt?AME、Rt?BEC，三个三角形两两相似，则请试探究AB和BC的数量关系。
三、课堂检测：如图，已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2，点P是AB上的一个动点，与点A、B 不重合，过点P作PE垂直DP，交边BC于点E，设PA=x，BE=y。
求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值。
四、小结收获，交流归纳。
人教版九年级数学下册27.2相似三角形的应用导学案-word文档
第 1 页相似三角形的应用导学案【学习目标】1.会灵活运用相似三角形的知识解决实际问题；2.会根据题目需要找到所需的两个三角形；【学习重点】会灵活运用相似三角形的知识解决实际问题；【学习难点】培养识图能力，能找到和实际问题有关的两个三角形；【教学过程】（一）【创设情境，引入新课】测量旗杆的高度BD a =米，标杆高FD m =米，其影长DE b =分析：∵太阳光线是平行的∴∠____________＝∠____________又∵∠____________＝∠____________＝90°∴△____________∽△____________∴__________________，即AB=__________（二）【探究新知，练习巩固】 探究一：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF 长2 m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO ． 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：探究二：.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A 、B 之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？方案一：先从B 点出发与AB 成90°角方向走50m 到O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m 到C 处，在C 处转90°，沿CD 方向再走17m 到达D 处，使得A 、O 、D 在同一条直线上．那么A 、B 之间的距离是多少？AB 的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，第 2 页 镜子与教学大楼的距离EA=21 m ，当他与镜子的距离CE=2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ，已知他的眼睛距地面高度DC=1.6 m ，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB 是多少m.(注意:根据光的反射定律，反射角等于入射角)（四）【课堂小结】1.用相似三角形的知识解决实际问题时，你有什么收获与困惑?2.把实际问题转化为数学问题时，步骤如何？（五）【当堂达标，拓展延伸】1．已知一棵树的影长是30m ，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ，则这棵树的高度是( ) 。
人教版九年级数学下册第二十七章：相似三角形中的基本模型 导学案设计
E A B C DF A 相似三角形中的基本模型导学案 教学目标知识与技能 相似三角形常见模型过程与方法利用相似三角形的判定及其性质进行有关判断及计算，培养培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力 情感态度与价值观 使学生认识数学与生活的密切联系，体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣，通过合作交流学习，培养他们的团队合作精神，增强学习数学的兴趣和信心教学重点相似三角形常见模型教学难点培养培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力类型一：平行线型例1.如图,DE ∥BC ,AD =1, BD =2,图中的相似三角形是 ,相似比是 ,DE:B C =练习1. 如图所示，在△ABC 中，P 是AC 上一点,PQ //BC 交AB 于Q ，若BC =5，PQ =3, PC＝2，则AP 的长为（ ）例2 已知AB //CD ，AD 与BC 交于点O ，AB=4，AO :OD =2:3，则△AOB ∽ △ ，OC :OB = ,CD= .练习2 如图，已知E 是□ABCD 中AD 边上一点，且AE :DE ＝3:2,CE 交BD 于点F ,BF ＝15cm ，求DF 的长.88.2...3.73A B C DA B CD 类型二：相交线型例3 如图，要判断△ADE 与△ACB 相似，添加一个条件，不正确的是：（ )练习3 如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 的交点为E ，AE =3，DE =5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ,D 的对应点分别为A ，C 那么线段CE 的长是 .类型三：子母型例4 如图，△ABC 中，∠A =∠DBC ，BC =3 ,CD =2,则AC = .例5 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高线，则图中相似三角形共有 对.练习4. 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角（∠A 、∠B ）向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边的点F 处，AD =3,BC =5，则EF 的长为 .. ...ADE C B AE A AE DE AE AD C D AB CB A AC B B D ∠=∠=∠=∠=练习5. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长BE交CD的延长线于点F，交AC于点G.(1)若FD=2，ED:BC=1:3 ，求线段DC的长.(2)求证: EF GE BF GB挑战题如图所示，△ABC是直角三角形，∠C=90°，点D是直角边AC上一点，过D点的直线截三角形的两边得到小三角形，如果得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有( )条..1.2.3.4A B C D。
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形相似三角形的性质学案(新版)新人教版
一、新课导入1.课题导入问题 1：相似三角形有什么性质？问题 2：三角形中有各样各样的几何量，除了三条边的长度、三个内角的度数外，还有高、中线、角均分线的长度，以及周长、面积等. 若是两个三角形相似，那么除边、角外的其他几何量之间有什么关系呢？这节课我们研究相似三角形的性质(板书课题 ).2.学习目标（1）知道三角形对应高的比，对应中线的比与对应角均分线的比都等于相似比. （2）知道相似三角形对应线段的比等于相似比.（3）知道相似三角形面积的比等于相似比的平方.3. 学习重、难点重点：相似三角形性质..难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材 P37.（2）自学时间： 6 分钟 .（3）自学要求：完成研究大纲 .（4）研究大纲：②求对应中线的比.AD ABkAD AB③求对应角均分线的比.AD ABkAD AB④相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角均分线的比都等于相似比.⑤相似三角形对应线段的比等于相似比.⑥相似三角形的周长比等于相似比.2. 自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①了然学情：关注学生能否理清证明思路.②差异指导：依照学情分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、商议.4.增强：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比、周长的比、对应线段的比都等于相似比 .1.自学指导（1）内容：教材 P38.（2）自学时间： 8 分钟 .（3）自学方法：完成自学参照大纲.（4）自学参照大纲：①研究相似三角形的面积比与相似比之间的关系.设△ ABC与△ A′B′C′的相似比为k，分别作△ ABC和△ A′B′C′的对应高AD,A′D′.则 AD= k A′D′， BC= k B′C′.1 1∴S△ ABC=2 BC·AD= 2× k B ′C′· k A ′D′= k2 S △A′B′C′，S∴SABC k 2A B C .相似三角形的面积比等于相似比的平方.②教材 P38 例 3，如图，在△ABC和△ DEF中， AB=2DE,AC=2DF,∠ A=∠ D.若△ ABC的边 BC上的高为 6，面积为125，求△ DEF的边 EF 上的高和面积.先证△ ABC∽△ DEF，并求得相似比 . 再运用相似三角形对应高的比等于相似比，求边EF上的高；运用相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积.③你的解答是：∵∴△ ABC∽△ DEF, AB ACDE DF =2，∠A=∠D,1∴边 EF 上的高为3， S△ DEF=4 S△ ABC=3 5 .④判断题 ( 正确的画“√”，错误的画“×”).a. 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的角均分线也扩大为原来的 5 倍（.√）b. 一个三角形的各边长扩大为原来的9 倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9 倍 . （×）⑤在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的 2 cm 变成了 6 cm, 放缩比率是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？放缩比率3∶ 1; 面积是原来的9 倍 .2. 自学：学生参照自学指导进行自学.3. 助学（1）师助生：①了然学情：认识学生自学大纲中四个题目的完成情况.②差异指导：依照学情进行针对性指导.（2）生助生：小组交流、商议 .4. 增强（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方.（2）点 3 名学生口答自学参照大纲中第④、⑤题，并议论.三、议论1.学生学习的自我议论：这节课你学到了哪些知识？有哪些收获和不足？2.教师对学生的议论：（1）表现性议论：从学生课堂的注意力，小组协作和回答以下问题的情况等方面进行议论. （2）纸笔议论：课堂议论检测.3. 教师的自我议论（授课反思）.本课时的授课过程中，第一提出问题让学生回答，这有助于学生回顾有关知识，出问题并让学生自主研究形成初步认识，最后师生共同归纳，得出结论：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比、周长的比、对应线段的比都等于相似比，面积比等接着老师提于相似比的平方.在上述授课过程中，教师要充分调动学生的积极性，自主研究，领悟发现和解决问题的乐趣.一、基础牢固（ 70 分）1.(10 分 ) 若是两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的周长的比 3 ∶ 5 ，面积的比为9∶25.2.(10 分 ) 若是两个相似三角形面积的比为1∶ 9 ，那么它们的对应高的比为1∶3 .3.(10分)两个相似三角形对应边上的中线长分别是 6 cm 和 18 cm ，若较大三角形的周长是442 cm ，面积是12 cm2，则较小三角形的周长为14 cm ，面积为3 cm2.AD24.(10 分 ) 如图，平行于BC的直线 DE把△ ABC分成面积相等的两部分，则AB=2.5.(10 分 ) △ ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15 cm ，则△ ABC的周长为（ C）15A.60 cmB.45 cmC.30 cmD. 2 cm6.(20 分 ) 如图，△ ABC 与△ A′B′C′相似， AD,BE 是△ ABC 的高，AD BEA′D′,B ′E′是△ A′B′C′的高，求证: A D B E .证明：∵△ ABC∽△ A′B′C′，ADAB BE AB AD BE∴AD AB,BE AB,∴AD BE .二、综合应用（ 20 分）7.(20 分 ) 如图，△ ABC 是一块锐角三角形的资料，边 BC=120 mm ，高 AD=80 mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QP 落在 BC 边上，另两个极点 E ，F 分别在 AC ，AB 边上，求这个正方形零件的边长.解：设高 AD 与 EF 交于 N 点，正方形零件边长为x mm.∵ E F ∥ BC,∴△ AFE ∽△ ABC.EFAN x 80 x ∴ CBAD,即80 .120解得 x=48.∴正方形零件的边长为48 mm.三、拓展延伸（ 10 分）8.(10 分 ) 如图，△ ABC 中， AB=8， AC=6，BC=9.若是动点D 以每秒 2 个单位长度的速度从点 AC 于点 E.关于 x 的解解：经过x∵DE ∥ BC,∴ △ ADE ∽AD DE∴ AB BC ,8 2xy即89,即B 出发沿边 BA 向点 A 运动，此时直线DE ∥ BC,交记 x 秒时 DE 的长度为 y, 写出 y析式，并画出它的图象.秒后， BD=2x,AD=8-2x.△ ABC.9y=- 4 x+9(0 ≤x ≤4).。
人教版数学九年级下册 27.2.3 相似三角形应用 学案
27.2.3相似三角形的应用 导学案教学目标：进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重点：用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度 教学难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题， 教学过程： 一、新知引入给我一个支点我可以撬起整个地球!——阿基米德 你知道其中的原理吗？我们知道数学于生活又应用于生活，那么今天我们就一起来探索相似三角形在生活中的奥秘吧！ 二、新知讲解知识点一、 了解平行投影自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。
自然界中最标准的平行光是太阳光。
在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影. 在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系?（教师展示PPT 在同时刻和不同时刻的高度与影长） 同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体在不同的时刻影长不相等。
活动1 测高度怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?（展示图片）想一想：如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用：旗杆的高度和影长组成的三角形相似于人身高和影长组成的三角形，再利用相似三角形对应边成比例来求解. 如图：１、旗杆的高度是线段____CB_____；旗杆的高度与它的影长组成什么三角形？（Rt △ABC ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？2、人的高度与它的影长组成什么三角形（ Rt △A'B'C' ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？活动2 测宽度问题：估算一条很难通过的河的宽度，你有什么好办法吗？思考：河面的宽度测量要借助什么呢？例 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P ，在近岸处取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与岸垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直于PS 的直线b 交于点R ，测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ．求河的宽度PQ.分析：设河宽PQ 长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有PQ PS ＝QR ST ，即x x ＋45＝6090.再解x 的方程可求出河宽．解法一：∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△PQR ∽△PST ， ∴PQ PS ＝QR ST ， 即PQ PQ ＋QS ＝QR ST ，即PQ PQ ＋45＝6090， ∴PQ ×90＝(PQ ＋45) ×60， 解得PQ ＝90，因此河的宽度PQ 为90 m .问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？ 解法二：如图，构造相似三角形．(解法略)●总结：利用平行线构造相似测宽度三、课堂小结利用自然界的太阳光、利用人类的视线，再借助于一些数学知识，解决实际中存在的问题，这是学习数学的目的。
人教版九年级数学下册《相似三角形的复习》教学设计
AD P 识图 析图 研图—— 一个基本图形的应用与拓展教学目标：1、深刻理解并掌握“三垂图”这一基本图形，并能应用基本图形的一般结论解决问题。
2、增强识图能力，能从图形中分解出基本图形。
3、从“三垂足一线”到“三等角一线”体会从特殊到一般的数学思想，对基本图形的提炼与研究有助于把习题类型化、知识系统化，从而培养举一反三、触类旁通的思维品质和创新能力。
教学重点：提炼基本图形，应用基本图形教学难点：发现基本图形并能灵活应用。
教学过程：一、中考试题回顾： 如图，已知AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，P 是线段BC 的中点，且AP ⊥PD ， AB =1，BC =4，那么CD =_______.二、归纳基本图形：一般结论：（1）△PAB ∽△PCD（2）AB·CD=PB·PC（两平行线段之积等于第三个垂足与前两个垂足之间的线段的积）A B P CDA B C DQP三、应用基本图形：1、已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AD=2，BC=3，AB=7，若AB 上有一点P 使得PD ⊥PC 。
则AP 的长度是____________。
点P 存在的条件：以DC 为直径的圆与AB 有交点, 即d ≤r,2、如图，点P 在矩形ABCD 上运动（不运动至点A 、点B ），连接PC ，作PQ ⊥PC 于P ，已知AB =3，BC =2，设AP =x ，△CDQ 的面积为S 。
(1)求S 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； (2)判断CQ 是否可能与CD 重合。
四、基本图形变式：应用基本图形：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =9，BC =12，AB =a ，在线段BC 上任取一点P ，连结DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线AB 交于点E 。
(1)试确定CP =3时点E 的位置；(2)若设CP =x ，BE =y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式；(3)若在线段BC 上能找到不同的两点P 1、P 2，使按上述作法得到的点E 都与点A 重合，试求出此时a 的取值范围。
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三垂直模型相似三角形（学案）
班别_________________ 姓名________________
一、学习目标
1、掌握相似三角形的性质和判定，并能熟练运用三垂直模型解决问题。
2、经历运用相似三角形的基础知识解决的过程，体验图形的运动以及方程等数学思想。
二授课
（一）【导入新课】
（二）【探究活动】
【探究1】构造格点三角形请在图1中画一个直角三角形
ABC
满足条件：（1）以线段AC为斜边；
（2）顶点B落在线段MT的格点上。
【探究2】构造三垂直模型
在图1正方形中，且/ ABC=90 , △ AMB W A BTC这两个三角形相似吗？请写出依据。
例题1如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD DC上,
/ BEF=90 , AB=6, AE=9 DE=2 求线段EF 的长度。
【探究3】构造折叠
A D 例题2:如图，将矩形ABCD&直线AE折叠，顶点D恰好落在BC
边上F点处，已知CE=6cm,AB=16cm求BF的长。
B FC
（三）下面我们研究一下三垂直模型中，三个三角形出现两两相似的情
况。
【探究4】综合运用
如图2,在矩形ABCD中, AB=5, BC=2,且A，B, C, D
四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）
的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD勺边
AB上的一个点E,连接ED EC,使得Rt?
CED Rt?DAE Rt?EBC,三个三角形两两相似。
【探究5】如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E 处。
若Rt
?EMC Rt?AME Rt?BEC三个三角形两两相似，则请试探究AB和
BC的数量关系。
三、课堂检测:
如图，已知矩形ABCD中, AB=3，AD=2点P是AB上的一个动点，
与点A、B不重合，过点P作PE垂直DP,交边BC于点E，设PA=x,
BE=y。
求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最
大值。
四、小结收获，交流归纳。