有理数知识总结及经典例题

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有理数第一章有理数经典题型(分知识点整理)

知识点1.负数代表相反意义的量例：（1）下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（）A. 一天凌晨的气温是—50C ，中午比凌晨上升100C ，所以中午的气温是+100CB. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么—12%表示生产成本降低12%C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么—6米表示比海平面低—6米D. 如果收入增加10元记作+10元，那么—8表示支出减少8元（2）某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（50±0.1）kg 、（50±0.2）kg 、（50±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 .知识点2.有理数的定义例：把下列各数填在相应的大括号内-7，3.5，12，3.3333,0，3π，+29,1.362109…,-1.15，-0.1010010001… 非负数集合{ }；整数集合{ }；负分数集合{ }；有理数集合{ }。

知识点3.数轴与相反数1.（1）数轴上到-2点的距离是3的点是（2）在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a2.-3的相反数是，3-π的相反数是3.a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，a+b-cd=4.比较大小45- 89- 5.（1）有理数a 对应点在数轴上的位置如下图所示，则a ，-a ，1的大小关系是。

（2）有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示：则（） 0-11abA ．a + b ＜0B ．a + b ＞0;C ．a －b = 0D ．a －b ＞0知识点4.绝对值1.若∣a ∣=-a ，则a ，若∣a ∣=a ，则a若a 为有理数，且1,a b c a b c ++==1，则a 0，若a ∠0，则1,a b c a b c++== 2. ∣3-π∣=若用A 、B 、C 分别表示有理数a ，b ，c ，O 为原点，如下图所示：化简||||||2a c b c b a c ---+++= 。

有理数知识点及经典题型

有理数知识点及经典题型规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。

完整版)有理数专题训练

完整版)有理数专题训练专题一有理数的概念及其应用例1：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求(a+b+c*d)*m-cd的值。

解：根据题意可得a=-b，c=1/d，|x|=2，代入原式得：a+b+c*d)*m-cd=(0+c*d)*m-cd=cd*(m-1)练：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x|=3，求代数式a+b-cdx+x/3的值。

解：根据题意可得a=-b，c=1/d，|x|=3，代入原式得：a+b-cdx+x/3=-2b-cd*x+x/3=-2b-cd*3+x/3=-2b-3c+x/3巩固：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的平方等于4，试求x^2-cd*x+(a+b)*2010-cd*2009的值。

解：根据题意可得a=-b，c=1/d，x^2=4，代入原式得：x^2-cd*x+(a+b)*2010-cd*2009=4-cd*x-2b+2010c-2009cd=2010c-2b-3cd专题二非负数的性质例2：若x+1+(y-2)^2=0，求xy的值。

解：由非负数的性质可知，(y-2)^2>=0，所以x+1<=0，即x<=-1.又因为x+1+(y-2)^2=0，所以(y-2)^2=-(x+1)<=0，所以y=2.因此，xy=-2.练：已知有理数满足a-1+b+3+3c-1=0，求(a*b*c)^(1/7)*2011的值。

解：整理得a+b+3c=1，代入原式得：a*b*c)^(1/7)*2011=(a*b*c)^(1/7)*(a+b+3c)^2011=(a*b*c)^(1/7)巩固：若x-1与(y+2)^2互为相反数，求x^2015+y^3的值。

解：由非负数的性质可知，(y+2)^2>=0，所以x-1<=0，即x<=1.又因为x-1=-(y+2)^2，所以(y+2)^2=1-x<=2，所以y<=sqrt(2)-2.因此，x^2015+y^3<=1+(sqrt(2)-2)^3，具体值需要进一步计算。

人教版第一章有理数知识点总结及习题

第一章有理数知识点总结及习题一、有理数的基础知识（1）正数：像1、2.5，这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。

概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数要严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。

1.在4，0，-7，3.09，-3.2，-5, 6中，正数的个数是（）A.1B.2C.3D.42..下列说法正确的是( )A 、一个数前面有“－”号，这个数就是负数；B 、非负数就是正数；C 、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数；D 、0既不是正数也不是负数；知识窗口：我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。

3.若-3000元表示亏损3000元，那么1390元表示的意义是4.已知小红比小勇高13cm ，小明比小勇矮9cm ，若将小红的身高记为+13cm ，那么小明的身高应记为，小勇的身高应记为。

5.观察下列一列数：1，-2, 3，-4, 5，-6, 7，-8, 9，........。

（1）请写出这一列数中的第100个数和第2015个数；（2）在前2015个数中，正数和负数分别有多少个？（3）2016和-2016是否都在这一列数中，若在，请指出它们分别在第几个？若不在，请说明理由。

2、有理数的概念及分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 概念剖析： ②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数只有有限小数和无限循环小数是有理数；例1.下列说法中不正确的是（）A.-3.14是分数、负数，也是有理数B.0不是正数，也不是负数，但是整数。

C.-2015是负数，且是有理数D.0.9不是整数，也不是分数，因此它不是有理数。

七年级有理数经典例题

七年级有理数经典例题一、有理数的概念相关例题例1：判断下列数哪些是有理数：公式， -3， 0，公式，公式， 0.333…（循环节为3）， -0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）。

解析：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

-3是负整数，属于有理数。

0是整数，属于有理数。

公式是分数，属于有理数。

0.333…（循环节为3）是无限循环小数，可化为分数公式，属于有理数。

而公式是无限不循环小数，公式也是无限不循环小数， -0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们都不是有理数。

所以有理数有 -3，0，公式，0.333…（循环节为3）。

二、有理数的分类相关例题例2：把下列有理数分类： -1，公式，0， -0.5，3， -2.5，公式解析：1. 按整数和分数分类整数有： -1，0，3。

分数有：公式， -0.5， -2.5，公式。

2. 按正有理数、负有理数和0分类正有理数有：公式，3，公式。

负有理数有： -1， -0.5， -2.5。

0单独一类。

三、有理数的数轴表示相关例题例3：在数轴上表示下列有理数： -2，公式，0， -1.5，1解析：1. 画数轴，确定原点（表示0）、正方向（一般向右为正方向）和单位长度。

2. -2在原点左边2个单位长度处。

3. 公式，在原点右边1.5个单位长度处。

4. 0就在原点处。

5. -1.5在原点左边1.5个单位长度处。

6. 1在原点右边1个单位长度处。

四、有理数的大小比较相关例题例4：比较下列有理数的大小： -3与 -2.5，0与 -1，公式与公式解析：1. 对于 -3与 -2.5：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

公式，公式。

因为3>2.5，所以 -3< -2.5。

2. 对于0与 -1：0大于负数，所以0> -1。

3. 对于公式与公式：先通分，公式，公式。

因为公式，所以公式。

五、有理数的运算相关例题例5：计算：1. 公式2. 公式3. 公式4. 公式解析：1. 对于公式：异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

有理数知识点及典型例题

第1章：有理数知识点及典型例题（一）数的分类（强化记忆）⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数（按符号分）（按定义分、按性质分）注意点：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数（2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.（3）0即不是正数，也不是负数。

0是正数与负数的分界；0不仅表示没有，还表示某种量的基准。

如0不能理解为没有温度。

（4）初中范围内数是指实数正数是指正实数负数是指负实数（5）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数例-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；（6）π不是有理数，而是无理数；（7）非负整数应理解成“非负的整数”，不能理解成“‘非'负整数”，即正整数与零。

{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数例1、把下列各数填在相应的集合里5，-2，4.6，，0，-2.25，1，+0.34，+13，-3.1416，整数集合｛ 5，-2，0，+13，…｝非负整数集合{5，0，+13，… }负分数集合｛，-2.25， -3.1416，…｝正有理数集合｛5， 4.6，1，+0.34，+13，｝例2：一种商品的标准价格是200元，但是随着季节的变化商品的价格可浮动±10％，（1）±10％的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格。

初一数学有理数知识点与经典例题

初一数学有理数知识点与经典例题一、有理数知识点。

（一）有理数的概念。

1. 有理数的定义。

- 整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

例如：5是正整数，属于有理数； - 3是负整数，属于有理数；(1)/(2)是分数，属于有理数；0.25（有限小数，可化为(1)/(4)）也是有理数。

2. 有理数的分类。

- 按定义分类：- 有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质符号分类：- 有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数（二）数轴。

1. 数轴的定义。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2. 数轴上的点与有理数的关系。

- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（例如√(2)等无理数也可以用数轴上的点表示）。

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数 - a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

（三）相反数。

1. 相反数的定义。

- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

特别地，0的相反数是0。

例如，3和 - 3互为相反数，-(1)/(2)和(1)/(2)互为相反数。

2. 相反数的性质。

- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。

（四）绝对值。

1. 绝对值的定义。

- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

2. 绝对值的性质。

- 当a>0时，| a|=a；当a = 0时，| a|=0；当a<0时，| a|=-a。

例如，|3| = 3，| - 3|=3，|0| = 0。

- 非负性：| a|≥s lant0。

（五）有理数的大小比较。

1. 法则。

- 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

- 两个负数，绝对值大的反而小。

例如，比较 - 2和 - 3，| - 2|=2，| - 3| = 3，因为2<3，所以 - 2>- 3。

有理数重点题型总结及应用

有理数重点题型总结及应用题型一绝对值理解绝对值的意义及性质是难点，由于|a|表示的是表示数a的点到原点的距离，因此|a|≥0．可运用|a|的非负性进行求解或判断某些字母的取值．例1 如果a与3互为相反数，那么|a +2|等于( )A．5 B．1 C．-1 D．-5例2 若(a-1)2+|b+2|＝0，则a+ b＝ .规律：若几个非负数的和为0，则这几个数分别为0．题型二有理数的运算有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础．要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注意运算顺序及运算律的应用．例3 (-1)2 011的相反数是( )A．1 B．-1 C．2 011 D．-2 011例 4 (1)计算：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，试求x2-(a+b+cd)x+(a+b)1995+(-cd)1995值.(2)当a=-3，b=-5，c=4时，求下列代数式的值：(1) (a+b)2；(2) a2-b2+c2；题型三运用运算律简化运算过程运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数(如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以简化运算过程．例5 计算下列各题．（1）43+（-77）+27+（-43）(2)（-301）+125+301+（-75）（3）21- 49.5+10.2-2-3.5+19点拨：正、负数分别结合相加灵活运用加法交换律题型四有理数运算的应用例6 有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1.2，-0.8，2．3，1.7，-1．5，-2.7，2，-0.2，则这8箱橘子的总重量是多少? 题型五探索数字规律例7 某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2．5小时后，这种细菌可分裂为( )A ．8个B ．16个C ．32个 D. 64个有理数的混合运算练习(1)32432131+-- (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-7123475 (3)36187436597⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+- （4）-23÷23294⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯ （5）|)2(2||)212()315(|22---+--- （6）[(+131)+(-191)-(-41)+(-127)]÷[-(61)2] （7）75)21(212)75(75211⨯-+⨯--⨯ （8）()39112-⨯÷- （9）222183(2)(6)()3-+⨯-+-÷- （10）155(2)3(1)+⨯--⨯-。

有理数的认识经典例题练习

有理数的认识【知识要点】1．正数和负数为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，另一种与它的意义相反的量规定为负的，正的量用算术数前加“+”号表示，如：6+，133+,……（正号可省略）它们都比0大；负的量用算术数前加“－”号表示，如：4-，162-,……它们都比0小. 2．有理数(1)正整数，0，负整数统称为整数;正分数，负分数统称为分数.整数和分数统称为有理数.(2)有理数还可以这样定义：能够表示成分数mp的形式（m 、p 均为整数，且0≠m ,m,p 互质）的数是有理数．3. 有理数的分类：【典型例题】例1.（1）如果把上升20m 记作+20m ，那么下降15m 记作（2）海平面的高度一般用数表示，比海平面高8844m 的山峰处，它的高度记作海拔 m ，比海平面低11034m 的海沟处，它的高度记作海拔 m（3）房价上涨12%，记作+12%，则下跌50%记作例2. 表达出下列语句所表示的意义.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无限循环小数负有限小数负分数正无限循环小数正有限小数正分数分数负整数零正整数整数有理数（1）向东走－100米（2）气温上升－3℃ （3）支出－100元例3. 数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－4，+11，－7，0. 则这五名同学的实际成绩分别为多少？例4. 把下列各数填在相应的大括号里. －1，0，+0.8，－37， 2.4-，8844，134-，227，80- 正整数集合:{ }；负整数集合:{ }；正分数集合:{ }；负分数集合:{}.例5. 将下列有理数从尽可能多的角度进行分类，再与同学交流，比一比，看看谁的分类多，谁分得准.3.14，722-，-1，4，32-，0.2，0，1%* 例6. 若b a b a +-是不等于1的有理数，求证：ba为有理数．【初试锋芒】1．（1）如果零上2℃记作+2℃，那么零下4℃记作（2）如果收入50元记作+50元，那么支出30元记作（3）如果下降10米记作－10米，那么上升20米记作（4）如果向南走5米记作－5米，那么向北走10米记作 2．说出下列语句的意义.（1）收入－20元；（2）支出－120元；（3）前进－2米．3．一艘潜水艇的高度是－80米，如果它上浮－10米，这时它所在位置是海平面以下米．4.提供下列数据，请填入相应的大括号内 411-，53-，－2，80，0.001，3.14，722，0，－100正数集合:{ }; 负数集合:{ }; 整数集合:{ };分数集合:{ }．5．判断正确或错误，分别用“√”或“×”填在各题后面的括号内：（1）零是自然数：（）（2）零是正数；（）（3）零是非负数；（）（4）零是偶数．（） 6．（1）下列说法正确的是（）A.有理数不是正数就是负数B.0是最小的有理数C.正有理数和负有理数统称为有理数D.71是分数也是有理数（2）下列说法正确的个数有（） ① 0既不是正数，也不是负数 ② 34-是负数，但不是分数 ③ 自然数都是正数④ 负分数一定是负有理数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（3）下列说法正确的是（）A. 一个有理数不是正数，就是负数B.整数一定是正数C. 最小的整数是0D.自然数是整数（4）关于0，下列说法正确的个数有（）个① 0既不是正数，也不是负数；② 0既不是整数，也不是分数；③ 0不是自然数，但它是整数A. 0B. 1C. 2D. 3（5）有理数集合是（）A.正数与负数的集合B.正整数、负整数与分数的集合C.整数与分数的集合D.整数与负数的集合7．一条笔直的公路，A 、B 两地相距6千米，某同学骑自行车从A 地去B 地，他骑车走了2千米，却与B 地相距8千米．你能说出这是为什么吗？【大显身手】1．把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）. －8, 0.07,65, －0.3, 1999, －433, －3456, 88.8, 0, 722（1）正整数集合：{ }；（2）负整数集合：{ }；（3）整数集合：{ }；（4）正分数集合：{ }；（5）负分数集合：{}2．冬天某地的某一天，早晨5时的气温是零下2度，记作－2℃，上午10时，气温上升到零上2度，应记作 ;正午12时比上午10时上升了2度，这时的气温应记作 ; 下午6时比正午12时下降了4度，这时的气温应记作 ; 晚间12时比下午6时又下降了5度，这时的气温应记作．3．一种零件的长在图纸上标出为：20±0.01（单位：mm ），表示这种零件的长应是20mm ，加工要求最大不超过，最小不小于 4．非负数为和，非正数为和 5．下列说法中错误的是（）A. 正整数、负整数、零统称为整数B.正分数、负分数统称为分数C.没有最大的有理数D.π是有理数 6．在下列的说法中，正确的是（）A. 带“＋”号的数是正数B. 带“－”号的数是负数C. 自然数都大于零D. 负数一定小于正数。

有理数的概念知识点归纳及练习题

有理数的概念知识梳理有理数的概念一、目标认知学习目标：了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。

掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。

掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。

重点：有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。

运用数轴理解绝对值的几何意义。

有理数比较大小的方法的掌握。

二、知识要点梳理知识点一：负数的引入要点诠释：正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点二：正数和负数的概念要点诠释：（1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

（2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。

负数比0小。

（3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。

因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。

有理数知识点及练习题

第二章有理数及其运算第一讲正数、负、0【引入】欧洲人的盲目：古代印度人创造了阿拉伯数字后.大约到了公元7世纪的时候.这些数字传到了阿拉伯地区.来.这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲.欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的.所以便把这些数字叫做阿拉伯数字.以后.这些数字又从欧洲传到世界各国.刘徽的先见与德∙摩根的固执：1、1831年英国数学家德∙摩根认为负数是“虚构”的，他还特意举了一个“特例”来说明他的观点：“父亲56岁，他儿子29岁，问什么时候父亲的岁数将是儿子的两倍？”，通过列方程解得x=―2，他认为这个结果是荒唐的，他不懂得x=―2正是说明两年前父亲的岁数将是儿子的两倍。

2、你看过电视或听过广播中的天气预报吗？中国地形图上的温度阅读。

（可让学生模拟预报)请大家来当小小气象员，记录温度计所示的气温25ºC，10ºC，零下10ºC，零下30ºC。

为书写方便，将测量气温写成25，10，―10，―30。

3、最早的负教定义三国时期著名数学家刘徽在负数概念的建立上贡献最大.刘徽第一次给出了正负数的定义,他说:“今两算得失相反,要令正负以名之意思就是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数来区分它们。

【讲解】1．相反意义的量：在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）：例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。

例2：温度是零上10℃和零下5℃。

例3：收入500元和支出237元。

例4：水位升高1.2米和下降0.7米。

例5：买进100辆自行车和买出20辆自行车。

试着让学生考虑这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？（具有相反意义。

向东和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、买进和卖出都具有相反意义）2．正数和负数：①能用我们已经学的来很好的表示这些相反意义的量吗？例如，零上5℃用5来表示，零下5℃呢？也用5来表示，行吗？说明：在天气预报图中，零下5℃是用―5℃来表示的。

有理数知识总结及经典例题

有理数一、学习目标：理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。

二、重点难点：有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。

三、学习策略：先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到内容系统化和应用的灵活性。

四、知识框架：五、知识梳理1、知识点一：有理数的概念（一）有理数：（1）整数与分数统称__________________按定义分类： _______________⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩_ _ _ _ _ _ _ _ _有理数　_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类：__________⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩_ _ _ _ _ _ _ _有理数零_ _ _ _ _ _ _ _注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________.（2）认识正数与负数：，2008等大于_______________的数，叫做_______________.①正数：像1，，175，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________②负数：像-1，，-175都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________.（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________ .（4）有理数“0”的作用：（二）数轴（1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可.②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.（2）数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的______________；②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________：③确定向右的方向为______________，用______________表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.⑤数轴画法的常见错误举例：错例原因不统一没有（3）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都是有理数，如π.（三）相反数（1）相反数：只有的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是；若a与b互为相反数，则___+= ，反之亦然 .a b（2）相反数的性质：①代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0．相反数必须出现，不能单独存在．例如+5和互为相反数，或者说+5是的相反数，－5是的相反数，而单独的一个数不能说是．另外，定义中的“只有”指除以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然不同，但它们不是相反数．②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的________相等．这两点是关于_____ 对称的．③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数a的相反数是；这里以a表示任意一个数，可以为、、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是．注意：当a＞0时，－a 0(正数的相反数是数)；当a=0时，－a O(0的相反数是 )；当a＜0时，-a O (负数的相反数是 )．④互为相反数的两个数的和为，即若a与b互为，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为．⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部；一个正数前面有个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，即“ 负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“ ”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的 .（四）绝对值（1）绝对值的代数意义及几何意义① 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是 .② 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的与_______的距离.数a 的绝对值记作 .注意：①取绝对值也是一种，这个符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号.②绝对值具有性，取绝对值的结果总是 .③任何一个有理数都是由部分组成：和它的，如：－5，符号是，绝对值是 .（2）字母a 的绝对值的分类___,()___,(0)___,(0)a o a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩ 或___,(0)___,(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 或___,(0)___,(0)a a a >⎧=⎨≤⎩ （3）利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而 .步骤：①计算两个负数的 .②比较这两个的大小.③写出正确的判断结果.④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为 . 例如：若0,____,____,______a b c a b c ++====则2、知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小（1）数轴上的数，右边的数总左边的数．（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数，绝对值大的反而；（4）两数比较大小，可按符号情况分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同正：__________大的数大两数同号同负：__________大的反而小比较大小两数异号（一正一负）：______大于_______正数与0：_______大于0其中有时负数与0：_______小于0（二）有理数的加减法（1）有理数加法法则①同号两数相加，取相同的，并把绝对值 .②绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大的减去较小的 .③一个数同0相加，仍得 .（2）有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的 .（3）有理数加法的运算律①两个加数相加，交换加数的位置，不变.即a+b=b+a(加法律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，不变.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加法律）（4）有理数加法的运算技巧①分数与小数均有时，应先化为形式.②带分数可分为与两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合 .⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥ 相同的数可以先结合在一起.（5）有理数减法法则减去一个数，等于，即a-b=a+( )（6）有理数减法的运算步骤①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.（7）有理数加减混合运算的步骤①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+（）+(-9)+(+5)+(-11)=+5-11，它的含义是正3，负，负9，正5，负11的和。

有理数知识点及经典题型

有理数知识点及经典题型有理数的基本知识点及经典题型如下：1. 有理数定义：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

包括整数、分数和小数。

2. 有理数的加减乘除：- 加法：同号相加，异号相减取绝对值相加，结果取两数的符号。

- 减法：加上被减数的相反数即可。

- 乘法：符号相同时，两数相乘的结果是正数；符号不同时，两数相乘的结果是负数。

- 除法：符号相同时，两数相除的结果是正数；符号不同时，两数相除的结果是负数。

注意除数不能为0。

3. 有理数的比较：- 同号两数比较大小，绝对值大的数更大。

- 异号两数比较大小，正数大于负数。

4. 有理数的绝对值：- 正数的绝对值就是它本身。

- 负数的绝对值是其相反数。

5. 有理数的约分：- 化简分数，将分子和分母的最大公约数约去。

6. 有理数的四则混合运算：- 先进行括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算。

7. 解有理数的应用问题：- 求两个有理数的和、差、积或商。

- 求多个有理数的和、差、积或商。

- 根据已知条件设置方程并求解。

经典题型示例：1. 求两个有理数的和：已知 a = -5/6，b = 2/3，求 a + b。

解答：a + b = (-5/6) + (2/3) = (-5/6) + (4/6) = -1/6。

2. 求两个有理数的差：已知 a = 2/3，b = 5/6，求 a - b。

解答：a - b = (2/3) - (5/6) = (2/3) - (10/6) = -4/6 = -2/3。

3. 求两个有理数的积：已知 a = -1/2，b = 3/4，求 a * b。

解答：a * b = (-1/2) * (3/4) = (-1 * 3) / (2 * 4) = -3/8。

4. 求两个有理数的商：已知 a = -5/6，b = 2/3，求 a / b。

解答：a / b = (-5/6) / (2/3) = (-5/6) * (3/2) = (-5 * 3) / (6 * 2) = -15/12 = -5/4。

有理数知识点归纳及典型例题

有理数知识点归纳及典型例题一、正负数有理数分为正数、负数和0，其中正整数、负整数、0都属于整数；分数属于有理数。

有理数是指可以表示成两个整数比值的数，例如2、-5/3都是有理数。

基础练：1.正整数集{1.25.6/7}；正有理数集{1.25.6/7}；负有理数集{-789.-20.-590}；负整数集{-789.-20}；自然数集{1.25}；正分数集{6/7}；负分数集{-5/3}。

2.元表示价格上涨，原价为76元的食用油现在的卖价无法确定，需要给出更多信息。

二、数轴数轴是一条直线，上面的每个点都表示一个实数。

在数轴上，规定原点为0，正方向为右，负方向为左。

基础练：1.图中正确的数轴为D。

2.-|2|-4>1.3.数轴上的点可以表示有理数。

4.(1) 比-3大的负整数是-2；(2) -3,-2,-1,0,1,2；(3) 最大的负整数是-1，最小的正整数是1，最大的非正数是0；(4) 6个点，分别表示-3，-2，-1，1，2，3.5.点A表示-3.三、相反数相反数指的是互为相反的两个数，例如2和-2.一个数a的相反数为-a，互为相反数的两个数和为0.基础练：1.-(-5)=5；-(-(-8))=-8；-1/2的相反数是1/2；a的相反数是-a；-的相反数的倒数是-1/2.2.a和b互为相反数，则a+b=0.3.(1) -(-13)=13；(2) a=-1；(3) x=6；(4) x=-9.1.A。

-52 = 25.B。

(-1)1996 = -1.C。

(-1)2003 - (-1) = -1.D。

(-1)99 - 1 = -2正确答案：A2.此题需要讨论符号优先级，按照先乘除后加减的原则，应该先算32×（-6），再加上2，即：2+32×（-6）=2-192=-190.3.小幅度改写：① -3×[-5-(2/9)] = -3×[-45/9-(2/9)] = -3×[-47/9] = 141/9 = 47/3② (-1)×2+(-2)÷4 = -1×2+(-0.5) = -2.5③ -5³-3×(-4) = -125+12 = -113④ 4×(-1)×(1/5)÷(-3) = 4/15⑤ (-4)²-(3+3×2) = 16-9 = 7⑥ [-4×(-3)] = 12⑦ [2-(1-(-2/5))]×24 = (9/5)×24 = 216/5⑧ [-10+8×(-2)²-(-4)×(-3)]÷(-5) = [-10+32+12]/(-5) = -2⑨ -0.252÷(-0.5)³+(-1)¹⁰ = -0.252÷(-0.125)+1 = -2.016+1 = -1.016⑩ -3×(-2)²-4×(1-(-1))÷2 = -3×4-4×2/2 = -12-4 = -164.此题需要小幅度改写：1☆ 0 = 0×10⁰。

有理数复习知识点+例题

板块一、正数、负数、有理数有理数:按定义整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数；例题精讲知识网络图⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.0.31 【例1】 ①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大； ②没有最大的非负数，也没有最小的非负数； ③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等； ④只有负数的绝对值等于它的相反数．A ．0B ．1C ．2D ．3在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为个．①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是（填序号）．下列说法正确的个数是（）①互为相反数的两个数一定是一正一负 ②0没有倒数③如果a 是有理数，那么a +一定是正数，a -一定是负数 ④一个数的相反数一定比原数小 ⑤a 一定不是负数⑥有最小的正数，没有最小的负数A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个下列说法正确的是（）A ．a -表示负有理数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．两个数的和一定大于每个加数D ．绝对值相等的两个有理数相等两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（）A ．这两个加数的符号都是正的B ．这两个加数的符号都是负的C ．这两个加数的符号不能相同D ．这两个加数的符号不能确定板块二、倒数【例2】有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20022003a b +=【例3】若0a b +=，c 和d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式2a bm cd a b c++-+-的值【例4】在一列数123...a a a ，，中，已知112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”⑴ 求234a a a ，，的值 ⑵ 根据以上计算结果，求202007a a ，的值板块三数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π. 利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.【例5】 ⑴在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来.4-，0， 4.5-，112-，2，3.5，1，122⑵如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________.【例6】数轴上有一点A 它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是，点C 表示的数是．【巩固】如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ，那么以下结论正确的是( )A .0m <，0n <，m n >B .0m <，0n >，m n >C .0m >，0n >，m n <D .0m <，0n >，m n <【例7】数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为（）A.a c b d +<+B.a c b d +=+C.a c b d +>+D.不确定的【巩固】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D ，，，对应的数分别为整数a b c d ，，，，并且29b a -=，那么数轴的原点对应点为（）A.A点B.B点C.C点D.D点【巩固】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米时，有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？【巩固】已知数轴上有A B，两点，A B，之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B所对应的数为【例8】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置⑵小明家距离小彬家多远？⑶货车一共行驶了多少千米？【巩固】在数轴上，点A和点B都在与154-对应的点上，若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A和点B所处的位置对应的数是什么？这时线段AB的长度是多少？【例9】在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为【巩固】数轴上表示整数的点称为整点。

有理数知识点及相关题

有理数：定义：凡能写成q p(p 、q 为整数，q≠0) 形式的数，都是有理数（整数可看成分母是1的分数）。

正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。

注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数。

分类：按定义分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数按符号分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数例题：一、选择题1、在数0，2，-3，-1.2中，属于负整数的是（）A ． 0B ． 2C ． -3D ． -1.2答案：C解析：在这些数0，2，-3，-1.2中，属于负数的有-3，-1.2，则属于负整数的是-3。

2、最小的正有理数是（）A ．0B ．1C ．-1D ．不存在答案：D解析：正有理数没有最小也没有最大，故选D 。

3、下列四种说法：①0是整数；①0是自然数；①0是偶数；①0是非负数。

其中正确的有（） A ．2个 B ．0个 C ． 4个 D ． 1个答案：C解析：①①①①都正确。

4、如果m 是一个有理数，那么-m 是（）。

A ．正数B ．0C ．负数D ．以上三种情况都有可能答案：D解析：当m>0时，-m< 0；当m = 0时，-m = 0；当m<0时，-m> 0，所以三种情况都有可能。

5、下列说法中，正确的是（）。

A ．0是最小的整数B ．最大的负整数是-1C ．有理数包括正有理数和负有理数D ．一个有理数的平方总是正数答案：B解析：选项A ，负整数比0小，没有最小的整数，错误；选项B ，正确；选项C ，有理数包括正有理数，0和负有理数，错误；选项D ，一个有理数的平方是非负数，错误。

6、下列说法中不正确的是（）。

A ．-3.14既是负数，分数，也是有理数B ．0既不是正数，也不是负数，但是整数C ．-2000既是负数，也是整数，但不是有理数D ．0是正数和负数的分界答案：C解析：-2000既是负数，是整数，也是有理数。