广东省云浮市分界中学高二数学上学期12月月考试卷 文(含解析)

广东省云浮市分界中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={0，1}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．{2，3} C．{0，1} D．{1}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x3．（5分）已知α为锐角，且tan（π﹣α）+3=0，则sinα的值是（）A．B．C．D．4．（5分）函数y=2x（x∈R）的反函数为（）A．y=log2x（x＞0）B．y=log2x（x＞1）C．y=log x2（x＞0）D．y=log x2（x＞1）5．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）6．（5分）一枚硬币连抛2次，只有一次出现正面的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．128．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．平面α内所有的直线都与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面a内所有的直线都与α相交D．直线α与平面α有公共点9．（5分）直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（）A．y﹣4=﹣（x+3） B．y﹣4=（x+3）C．y+4=﹣（x﹣3） D．y+4=（x﹣3）10．（5分）已知两个点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“hold直线”．给出下列直线：①y=x，②y=2x+1，③y=x+1，则这三条直线中有（）条“hold直线”．A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知{a n}是等差数列，a1+a2=5，a9+a10=21，则该数列前10项和S10=．12．（5分）一个几何体的主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为．13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．14．（5分）下列四种说法：①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q”为真命题；③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中所有正确说法的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．16．（14分）某校2015届高三有甲、乙两个班，在某次数学测试中，每班各抽取5份试卷，所抽取的平均得分相等（测试满分为100分），成绩统计用茎叶图表示如下：（1）求a；（2）学校从甲班的5份试卷中任取两份作进一步分析，在抽取的两份试卷中，求至多有一份得分在之间的概率．17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E是棱CD上中点，P是棱AA1中点，（1）求证：PD∥面AB1E；（2）求三棱锥B﹣AB1E的体积．18．（14分）数列{a n}的前n项和记作S n，满足 S n=2a n+3n﹣12（n∈N*）（Ⅰ）证明数列{a n﹣3}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=na n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．20．（14分）在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为（0，1）、（0，﹣1），动点P 满足直线AP与直线BP的斜率之积为﹣，直线AP、BP与直线y=﹣2分别交于点M、N．（1）求动点P的轨迹方程；（2）求线段MN的最小值；（3）以MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．广东省云浮市分界中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={0，1}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．{2，3} C．{0，1} D．{1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的定义求解．解答：解：∵集合A={0，1，2，3}，B={0，1}，∴集合A∩B={0，1}．故选：C．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．解答：解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．3．（5分）已知α为锐角，且tan（π﹣α）+3=0，则sinα的值是（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式利用诱导公式变形，求出tanα的值，根据α为锐角，求出cosα的值，即可求出sinα的值．解答：解：∵α为锐角，且tan（π﹣α）+3=﹣tanα+3=0，即tanα=3，∴cosα==，则sinα==．故选：B．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）函数y=2x（x∈R）的反函数为（）A．y=log2x（x＞0）B．y=log2x（x＞1）C．y=log x2（x＞0）D．y=log x2（x＞1）考点：反函数．专题：计算题．分析：由反函数的定义求解即可得出函数的反函数．解答：解：∵y=2x（x∈R）∴x=log2y交换x与y的位置得y=log2x，又x∈R，y=2x＞0∴y=log2x，x＞0故应选A．点评：考查反函数的定义，求本题时要注意把定义域求出来，这是易失分点．5．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）考点：向量的减法及其几何意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的减法运算法则求解即可．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，5），∴==（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3）；故选：B．点评：本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义，基本知识的考查．6．（5分）一枚硬币连抛2次，只有一次出现正面的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出至少有一次出现正面的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表如下：正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反）所有等可能的情况有4种，其中只有一次出现正面的情况有2种，则P只有一次出现正面==，故选：D点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12考点：简单线性规划．分析：①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z 有最大值解答：解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．8．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．平面α内所有的直线都与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面a内所有的直线都与α相交D．直线α与平面α有公共点考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：直线a不平行于平面α，直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α，由此能求出结果．解答：解：∵直线a不平行于平面α，∴直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α．∴直线α与平面α有公共点．故选D．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．（5分）直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（）A．y﹣4=﹣（x+3） B．y﹣4=（x+3）C．y+4=﹣（x﹣3） D．y+4=（x﹣3）考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：显然已知点在圆上，设过已知点与圆相切的直线方程的斜率为k，利用点到直线的距离公式，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，由k的值及已知点的坐标写出切线方程即可．解答：解：显然点（﹣3，4）在圆x2+y2=25上，设切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣4=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣4=0，∴圆心（0，0）到直线的距离d==5，解得k=，则切线方程为y﹣4=（x+3）．故选：B．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线的点斜式方程，点到直线的距离公式以及直线的一般式方程，若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．10．（5分）已知两个点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“hold直线”．给出下列直线：①y=x，②y=2x+1，③y=x+1，则这三条直线中有（）条“hold直线”．A．3 B．2 C．1 D．0考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；新定义．分析：满足条件的点P是以M，N为焦点的双曲线﹣=1的右支，问题转化为看所给的直线与双曲线的右支是否有交点．解答：解：由|PM|﹣|PN|=6＜|MN|可得点P是以M，N为焦点的双曲线﹣=1的右支，换言之，点P是双曲线右支与直线的交点，即“hold直线”须满足与双曲线的右支相交，①直线为双曲线的渐近线，故不是“hold直线”；②直线与双曲线的右支无交点，故不是“hold直线”；③直线与双曲线的右支有一交点，故是“hold直线”．故选C．点评：本题考查双曲线的性质，体现等价转化思想与数形结合思想．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知{a n}是等差数列，a1+a2=5，a9+a10=21，则该数列前10项和S10=65．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得数列的首项和公差，代入求和公式计算可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则16d=（a9+a10）﹣（a1+a2）=21﹣5=16，解得d=1，∴a1+a2=2a1+d=2a1+1=5，解得a1=2，∴S10=10a1+d=20+45=65故答案为：65点评：本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．12．（5分）一个几何体的主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中个几何体的主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，结合俯视图为正方形，可得该几何体是一个四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，底面棱长为2，故底面面积S=2×2=4，高h==，故棱锥的体积V==，故答案为：点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及求相关几何量的数据是解答本题的关键．13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是11．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果解答：解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a＜10，故输出11故答案为11点评：本题考察了算法的表示方法，程序框图的意义，循环结构的流程规则14．（5分）下列四种说法：①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q”为真命题；③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中所有正确说法的序号是①②③④．考点：命题的真假判断与应用；特称命题．专题：简易逻辑．分析：利用命题的否定判断①的正误；复合命题的真假判断②的正误；充要条件判断③的正误；三角函数图象的平移判断④的正误；解答：解：对于①，命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，说明两个命题都是假命题，命题的否定是真命题，则“¬p∧¬q”为真命题；所以②正确．对于③，若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；满足充要条件的关系，所以③正确；对于④，把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．符号平移原则，所以④正确；故答案为：①②③④．点评：本题考查命题的子啊的判断，特称命题与全称命题的否定关系，充要条件以及复合命题的真假，三角函数图象的平移，基本知识的考查．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．16．（14分）某校2015届高三有甲、乙两个班，在某次数学测试中，每班各抽取5份试卷，所抽取的平均得分相等（测试满分为100分），成绩统计用茎叶图表示如下：（1）求a；（2）学校从甲班的5份试卷中任取两份作进一步分析，在抽取的两份试卷中，求至多有一份得分在之间的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）依题意得，由此求得的值．（2）从甲班的5份试卷中任取2份的所有结果用列举法求得有10种，其中至多有一份得分在之间的所有结果有7种，由此求得在抽取的样品中，至多有一份得分在之间的概率．解答：解：（1）依题意得，…（2分）解得a=3．…（4分）（2）从甲班的5份试卷中任取2份的所有结果有：（88，89），（88，90），（88，91），（88，92），（89，90），（89，91），（89，92），（90，91），（90，92），（91，92），共10种．…（7分）其中至多有一份得分在之间的所有结果有：（88，91），（88，92），（89，91），（89，92），（90，91），（90，92），（91，92），共计7种，…（10分）所以在抽取的样品中，至多有一份得分在之间的概率，…（11分）答：在抽取的样品中，至多有一份得分在之间的概率．…（12分）点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法．还考查了茎叶图的应用，属于基础题．17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E是棱CD上中点，P是棱AA1中点，（1）求证：PD∥面AB1E；（2）求三棱锥B﹣AB1E的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）取AB1中点Q，连接PQ，利用三角形中位线定理和正方体的性质，证出四边形PQDE为平行四边形，可得PD∥QE，利用线面垂直判定定理即可证出PD∥面AB1E；（2）由正方体的性质，算出BB1=2是三棱锥B1﹣ABE高，而S△ABE= S ABCD=2，利用锥体体积公式算出V B1﹣ABE=S△ABE•BB1=，即得三棱锥B﹣AB1E的体积．解答：解：（1）取AB1中点Q，连接PQ，∵△AA1B1中，PQ为中位线，∴PQ A 1B1，…（2分）又∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CD中点，∴DE A 1B1，…（4分）∴PQ DE，得四边形PQDE为平行四边形，可得PD∥QE…（6分）∵QE⊂平面AB1E，PD⊄平面AB1E，∴PD∥面AB1E；…（8分）（2）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABE，∴BB1为三棱锥B1﹣ABE高，BB1=2…（10分）∵四边形ABCD为正方形，∴S△ABE= S ABCD=2…（12分）故三棱锥B﹣AB1E的体积为V B﹣AB1E=V B1﹣ABE=S△ABE•BB1=…（14分）点评：本题在正方体中求证线面平行，并求锥体的体积．着重考查了正方体的性质、线面平行的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．18．（14分）数列{a n}的前n项和记作S n，满足 S n=2a n+3n﹣12（n∈N*）（Ⅰ）证明数列{a n﹣3}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=na n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a n﹣3=2（a n﹣1﹣3），a1﹣3=6，由此能证明{a n﹣3}是首项为6，公比为2的等比数列，并能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由b n=na n=3n（2n+1），利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和T n．解答：（Ⅰ）证明：把n=1代入S n=2a n+3n﹣12，得a1=2a1+3﹣12，解得a1=9，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n+3n﹣12）﹣=2a n﹣2a n﹣1+3∴a n﹣3=2a n﹣1﹣6=2（a n﹣1﹣3），∵a1﹣3=9﹣3=6，∴{a n﹣3}是首项为6，公比为2的等比数列．∴a n﹣3=6•2n﹣1，∴a n=6•2n﹣1+3=3（2n+1）．（Ⅱ）解：∵b n=na n=3n（2n+1）∴T n=3（1×2+2×22+3×23+…+n×2n）+，①设A=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，2A=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+2，两式相减，得：A=n×2n+1﹣（2+22+23+…+2n）=n×2n+1﹣=（n﹣1）•2n+1+2，代入①式得T n=3∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，属于中档题．20．（14分）在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为（0，1）、（0，﹣1），动点P 满足直线AP与直线BP的斜率之积为﹣，直线AP、BP与直线y=﹣2分别交于点M、N．（1）求动点P的轨迹方程；（2）求线段MN的最小值；（3）以MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设动点P（x，y），由k1•k2=﹣，得，由此能求出动点P的轨迹方程．（2）设直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线BP的方程为y+1=k2（x﹣0），由，得M（﹣），由，得N（﹣，﹣2），由此能求出线段MN长的最小值．（3）设点Q（x，y）是以MN为直径的圆的任意一点，则，由此能求出以MN为直径的圆过定点（0，﹣2+2）或（0，﹣2﹣2）．解答：解：（1）设动点P（x，y），∵A（0，1），B（0，﹣1），∴直线AP的斜率k1=，直线BP的斜率，又k1•k2=﹣，∴，∴动点P的轨迹方程为（x≠0）．（2）设直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线BP的方程为y+1=k2（x﹣0），由，得，∴M（﹣），由，得，∴N（﹣，﹣2），由，得|MN|=||=||≥=4，当且仅当，即时，等号成立，∴线段MN长的最小值为4．（3）设点Q（x，y）是以MN为直径的圆的任意一点，则，即，又k1k2=﹣，∴以MN为直径的圆的方程为，令x=0，得（y+2）2=12，解得y=﹣2，∴以MN为直径的圆过定点（0，﹣2+2）或（0，﹣2﹣2）．点评：本题考查动点P的轨迹方程的求法，考查线段MN的最小值的求法，考查满足条件的定点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。