§13.2.2不等式的基本性质(王宏)8.16
不等式的性质
不等式的性质◎ 不等式的性质的定义不等式的性质：1、不等式的基本性质：不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
即如果a>b，那么a±c>b±c。
不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）。
不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
即如果a>b，c<0，那么ac<bc（或）。
2、不等式的互逆性：若a>b，则b<a。
3、不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c。
◎ 不等式的性质的知识扩展1、基本性质：ⅰ不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
即如果a>b，那么a±c>b±c。
ⅱ不等式的两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）。
ⅲ不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
即如果a>b，c<0，那么ac<bc（或）。
2、不等式的互逆性：若a>b，则b<a。
3、不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c。
◎ 不等式的性质的特性不等式的性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n 次幂<y的n次幂（n为负数）或者说，不等式的基本性质有：①对称性；②传递性：③加法单调性：即同向不等式可加性：④乘法单调性：⑤同向正值不等式可乘性：⑥正值不等式可乘方：⑦正值不等式可开方：⑧倒数法则。
《不等式的基本性质》课件新
（1）请同学们回顾 等式的基本性质：
1、等式两边同时加上（或减去）同一个代数式， 等式仍然成立。 2、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不 为0的数），等式仍然成立。 3，对称性 4. 传递性
不等式的性质呢？？
如图，则a和b间的大小关系如何？
如果在不等式的两边都加上或减去同一个
4、 若a ＜b，则2－a__＞___2－b
5、 若a b,则ac2 _≤___bc2 (c为有理数)
比较2a与-a的大小
解：∵ 2a-(-a)=3a
∴讨论：(1)当a>0时，2a>-a； (2)当a=0时，2a=-a；
(3)当a<0时，2a<-a；
“差比法”比较大小
不等式的性质：
总结
对称性：若a<b,则 b>a. 传递性：若a＜b，b＜c，则 a＜c. 性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整 式,不等号方向不改变.
（3）若a<b，则a － b < 0
（依据 不等式的基本性质1 ）
（4）若－a >－b，则2－a > 2－b
（依据 不等式的基本性质1 ）
选择适当的不等号填空： (1)若 2x＞-6,两边同除以2,得__X_>_－__3__,
依据__不__等__式__的__基_本__性__质. 2
(2)若 -2 x≤1,两边同除以-2,得X_≥__－__1_/_2_,依据 _不__等__式__的__基__本性质3 ；
C.a≥0 D.a≤0
(3)由 a＞b 得 am2＞bm2 的条件
是（ C ）
A.m＞0 B.m＜0 C.m≠0
D.m是任意有理数
(4)若 a＞1，则下列各式中错误
不等式的基本性质(高三复习)课件
不等式的基本性质
教学 1.掌握不等式的基本性质，并能 目的 较灵活运用 .
2.突出强调应用不等式的基本性质 “可乘性”等的注意点.
3.强调与不等式相关的“等价转换” 等数学思想.
不等式的 知识结构 实 数的性 质
不等式的性质
不等式的证明
不等式的解法
不等式的应用
实数的性质
>0
>b
a
b
=
0
a
=
b
＜0
＜b
注意：同向不等式与 异向不等式的概念.
不等式的性质
对称性：如果a>b，那么b<a ；(原命题)
如果b<a ，那么a>b. (逆命题)
即： a>b
b<a .
传递性：如果a>b，b>c，那么a>c ； 如果c<b，b<a，那么c< a.
注意：传递性两命题的 逆命题是假命题.
不等式的性质
可 如果a>b，那么a+c>b+c ； 加 如果a>b，c>d ，那么a+c>b+d. 性 (可推广到有限个同向不等式)
(1)命题A：ba
> >
00，命题B：aab+>b
> 0
0，
充要条件
(2)命题A：xy
> >
22，命题B：
x+ y xy >
> 4
4
充分不必要条件
提醒注意
应用不等式基本性质题解，务必 重视运用“可乘性”可“开性” “可倒性”及“绝对性值”中的 条件的检查与其等号取的得!! 切记!!切记!!
不等式的基本性质
等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一 个代数式，所得结果仍是等式。
a b a c b c
a b a c b c
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同 一个整式，不等号的方向不变。
等式的基本性质2： 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的 数），所得结果仍是等式。 a b
a c b c , a b c c
c 0
不等式的基本性质2： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
不变 的方向＿＿＿＿。 不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号 的方向＿＿＿＿。 改变
在上一节课中，我们猜想，无论绳长l取何值，
l2 l2 圆的面积总大于正方形的面积，即 4 16
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本 性质解释这一结论吗？
4 1 6 1 1 4 16 2 l 0 l2 l2 4 16
（根据不等式的基本性质2）
例1 将下列不等式化成“x＞a”或“x<a”的形式：
(1) x 5 1
(2) 2 x 3
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5， 得 即
成立
成立
你今天这节 课有什么收 获呢？
我今天学到了 ……
P
9
习题1.2
完成下列填空：
2 3 , 2 5 ___3 5 ; 1 1 2 3 , 2 ___3 ; 2 2
2 3 , 2 (1) ___ 3 (1) ; 2 3 , 2 (5) ___3 (5) ; 1 1 2 3 , 2 ( ) ___3 ( ) ; 2 2
x 1 5 x4
不等式的基本性质 完整版课件
(3)你认为加入后产品A的进口税仍超过产品B的进口税的1倍 以上吗?
∵ a>2b,
（依据：_不__等__式__的_基__本__性__质__3___）.
c2
选择恰当的不等号填空，并说明理由： 1、若a＞-b，则a+b＿＞0. 2、 -a ＜ b, 则a ＿＞ -b. 3 、 -a＞-b，则2-a＿＞2-b. 4、a＞0，且(1-b)a＜0，则b＿＞1. 5、已知a＜b, b＜2a-1,则a_＜__2a-1.
等式
不等式
基本性质1 传递性
基本性质2
若a=b，b=c，则a=c 如果a=b，那么
若a＜b, b＜c, 则a＜c 如果a＞b,那么
基本性质3
a+c=b+c，a-c=b-c
如果a=b，且c≠o， 那么ac=bc，
ab =
cc
a+c＞b+c，a-c＞b-c
如那果么aa＞c＞bb,且c ,c＞a ＞0, b . cc
例1 已知a<0，试比较2a与a的大小.
作差法 数形结合法
不等式基本性质2 不等式基本性质3
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小. 作差法:
∵2a－a=a ＜0， ∴2a＜a.
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
数形结合:
如图,在数轴上分别表示2a和a的点(a＜0). 2a位于a的左边，所以2a＜a.
∣a∣ ∣a∣
2a a 0
不等式的基本性质[整理] [其它]
![不等式的基本性质[整理] [其它]](https://img.taocdn.com/s3/m/8d1d8fc08bd63186bcebbcdb.png)
第34课 不等式的基本性质【考点指津】1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔<b a b a ，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据．3．不等式的性质性质1 a b b a <⇔> （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质． 在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误． 从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．【知识在线】1．下列命题中，正确的命题是（ ）①若a>b ，c>b ，则a>c ； ②a>b ，则0lg >ba ； ③若a>b ，c>d ，则ac>bd ； ④若a>b>0，则b a 11<；⑤若db c a >，则ad>bc ； ⑥若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ． A ． ①② B ． ④⑥ C ． ③⑥ D ． ③④⑤2．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．a 3>b 3，ab>0ba 11>⇒ B ． m>n>0，a>0a a n m >⇒ C ．b ac b c a >⇒> D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若|a|>b ，则a 2>b 2B ． 若a>b>c ，则(a-b)c>(b-a)cC ． 若a>b ，c>d ，则a-b>c-dD ． 若a>b>0，c>d>0，即c bd a > 4．下列命题中，正确的命题是（ ）A ． 若ac>bc ，则a>bB ． 若a 2>b 2，则a>bC ． 若ba 11>，则a<b D ． 若b a <，则a<b 5．设命题甲：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 命题乙：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【讲练平台】例1（2000年全国卷） 若a>b>1，P=b a lg lg ⋅，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，则（ ）．A ． R<P<QB ． p<Q<RC ． Q<P<RD ． P<Q<R分析一 借助对数函数单调性用基本不等式求解．解法一 ∵ a>b>1，∴ lga>lgb>0． ∴2lg lg lg lg b a b a +<⋅，即P<Q ．又∵2b a ab +<， ∴ 2lg lg b a ab +<． ∴ )2lg()lg (lg 21b a b a +<+，即Q<R ． ∴ P<Q<R ，故选B ．分析二 用特殊值法解解法二 取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．∴ P=22，Q=3，R=lg5050．显然P<Q ，R=lg5050>lg1000=3=Q ．∴可排除A 、C 、D ． 故选B ．点评 不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现． 此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．例2 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立． 答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变．例3 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a-2b 的取值范围．分析 本题应视a+b 与a-b 为两个整体．解 设a+b=u ，a-b=v ，则2v u a +=，2v u b -=． ∴v u b a 252123+=-． 由已知1≤u ≤5，-1≤v ≤3，易得-2≤3a-2b ≤10．点评 本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a ≤4，-1≤b ≤3．进一步，得0≤3a ≤12，-6≤-2b ≤2．从而，得-6≤3a-2b ≤14．由解题过程知，u 与v 各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知v u 2521+可取[-2，10]内的一切值．在错误解法中，得到的0≤a ≤4，-1≤b ≤3已不表明a 与b 可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了． 如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b ≤5． 得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p ∈[1，5]与q ∈[-1，3]，存在a ∈[0，4]，b ∈[-1，3]，使得a+b=p ，a-b=q ．不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性． 掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．【知能集成】1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础． 因为解不等式要求的是同解变形．2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b ，ab>0b a 11<⇒”这一性质时． 有些同学要么是弱化了条件得a>b b a b 1<⇒． 要么是强化了条件而得ba b a 110<⇒>>． 【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ．b ac b c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（ ）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（ ）A ． b b a a )1()1(1->-B ． (1+a)a >(1+b)bC ． a b a a )1()1(->-D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（ ） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（ ）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c ，③bc>ad ． 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们． 即_______． （把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。
不等式的基本性质(书)
不等关系【知识点归纳】【知识点1】 回顾等式的基本性质:基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.【知识点2】不等式的基本性质有哪些？基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．字母表示：若a > b ，则a+c > b+c ，a-c > b-c ．基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．字母表示：若a > b ，c > 0，则ac > bc ，a c > b c． 基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 字母表示：若a > b ，c < 0，则ac < bc ，a c <bc ． 【知识点3】比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即: a>b <===> a-b>0a=b <===> a-b=0a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.【知识点4】不等式的基本性质与等式的基本性质有什么异同？①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加(或减)同一个数或同一个整式，②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘(或除以)同一个正数(或同一个负数)，等式仍然成立， 但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号要改变方向．1． 以知a>b 用”>”或”<”连接下列各式；（1）a-3 ______b-3, (2)2a ______ 2b, (3)- a 3 ______ －b 3(4)4a-3_______4b-3 (5)a-b ______0例1、不等式的基本性质的简单应用：将下列不等式化成“x a >”或“x a <”的形式．（1）51x -<； （2）34x x >-； （3）132x >-； （4）52x -<-．解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得15x <+，即6x <．（2）根据不等式的基本性质1，两边都减去x ，得34x x ->-，即24x >-．根据不等式的基本性质3，两边都除以2，得2x >-．（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以2，得6x >-．（4）根据不等式的基本性质3，两边都除以5-，得25x >． 例2、不等式的基本性质的综合应用：2． 以知a>b 用”>”或”<”连接下列各式；（1）a-3 ______b-3, (2)2a ______ 2b, (3)- a 3 ______ －b 3(4)4a-3_______4b-3 (5)a-b ______0 （1）若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.（2）若－35x ＞5，则x ________－3.【课堂训练】1. 如果b a <，则下面不等式错误的是（ B ）A.b a 66<B.34+<+b aC.33-<-b aD.22b a ->- 2．已知x >y 且xy <0,a 为任意实数，下列式子正确的是（ C ）A.－x >yB.a 2x >a 2yC.a －x <a －yD.x >－y3．若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( B )A.－55b a -<B.－2a ＞－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b )4．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( B )A.ac ＞bcB.c b c a <C.a －c ＜b －cD.a +c ＜b +c5．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）100x ->； （2）162x x >-； （3）350x +<； （4）125x -<-． 答案：（1）10x < （2）12x >- （3）53x <- （4）10x > 6．如果3415x -<，那么3154x <+，其根据是 ，如果33a b ->-ππ，则a b <，其根据是 ．答案：不等式的基本性质1，不等式的基本性质3．7．用“<”或“>”号填空.①已知a <b<0，则－a ______－b ；a 1______b1； ②若a >b ，则a －6______b －6；③若a <b ，c ≠0，则－ac 2______－bc 2.答案：①＞ ＞ ②＞ ③＞；8．若0a b >>，则b a - 0，22a b - 0答案：<>>，，9．若2x >时，化简|2|x -＝ ．解：由2x >，得2x <．20x ∴-<．|2|(2)2x x x ∴-=--=-．【课后作业】1、将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：（1）x －5＞－1; （2）－2x ＞3; （3）3x ＜－9.（4）21>-x （5）65<-x （6）321≤x 2．已知y x >，下列不等式一定成立吗？（1）66-<-y x （2）y x 33< （3）y x 22-<- （4）1212+>+y x1. 讨论下列式子的正确与错误.（1）如果a ＜b ，那么a +c ＜b +c ; （2）如果a ＜b ，那么a －c ＜b －c ;（3）如果a ＜b ,那么ac ＜bc ; （4）如果a ＜b ,且c ≠0,那么c a 2.设a ＞b ,用“＜”或“＞”号填空.（1）a +1 b +1; （2）a －3 b －3; （3）3a 3b ;（4）4a 4b ; （5）－7a －7b ; （6）－a －b . 变式训练：1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：（1）x －2＜3; （2）6x ＜5x －1;（3）21x ＞5; （4）－4x ＞3.2.设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空.（1）a －3 b －3; （2）2a 2b ; （3）－4a －4b ; （4）5a 5b ; （5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0;（7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0.能力提高：1.比较a 与－a 的大小. （ 说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.）2.有一个两位数，个位上的数字是a ，十位上的数是b ，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a 与b 哪个大哪个小？3．若实数1a >，比较实数M a =，23a N +=，213a P +=的大小关系，并说明原因。
不等式的性质
不等式的性质不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的关系。
与等式不同，不等式允许有不同的可能性，因此在解决问题时更具灵活性。
不等式的性质包括以下几个方面：基本性质、平移性质、乘法性质和倒数性质。
基本性质不等式的基本性质是指不等式的传递性、对称性和反射性。
不等式的传递性意味着如果一个数大于另一个数，而后者又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
例如，如果a > b且b > c，则a > c。
不等式的对称性表示当两个数的顺序发生变化时，不等号的方向也会发生变化。
例如，如果a > b，则b < a。
不等式的反射性表示任何数都大于或小于自身。
例如，对于任何数a，都有a > a或a < a。
这些基本性质帮助我们在解决不等式问题时建立起一些规则和判断依据。
平移性质不等式的平移性质指的是当不等式的两边加减同一个数时，不等式的方向仍然保持不变。
例如，如果a > b，那么a + c > b + c，其中c是任意实数。
这个性质可以用来简化不等式的解题过程。
我们可以通过加减同一个数将不等式变形为一个更简单的形式，使得问题更容易处理。
乘法性质不等式的乘法性质是指当不等式的两边同时乘以同一个正数时，不等式的方向保持不变；当两边乘以同一个负数时，不等式的方向发生改变。
例如，如果a > b且c > 0，则ac > bc；如果a > b且c < 0，则ac < bc。
乘法性质也可以用来简化不等式的解题过程。
通过乘以一个适当的数，我们可以使得不等式变得更易处理。
需要注意的是，在乘法性质中，如果乘的是一个负数，不等式的方向就会发生改变。
这是因为负数的平方大于本身。
所以，在运用乘法性质时需要特别小心。
倒数性质不等式的倒数性质是指，如果a > b且a和b都是正数，则1/a < 1/b。
这个性质可以通过两个数的倒数比较来推导。
关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结
关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结不等式是数学中非常重要的概念之一，它在数学的各个领域和实际问题中有着广泛的应用。
在高考数学中，不等式也是一个考查频率较高的知识点。
下面是对不等式的基本性质的总结：1.不等关系性质不等关系具有自反性、对称性、传递性。
即对任意实数a，b，有：自反性：a≥a，a≤a对称性：如果a≥b，则b≤a；如果a≤b，则b≥a传递性：如果a≥b，b≥c，则a≥c；如果a≤b，b≤c，则a≤c2.加减性质对于不等式a<b和任意实数c，有：a+c<b+ca-c<b-c3.乘除性质(1)正数乘除：对于不等式a<b，如果c是正数，则有：正数乘性：ac < bc正数除性：如果c是正数且c≠0，则有：a/c<b/c(2)负数乘除：对于不等式a<b，如果c是负数，则有：负数乘性：ac > bc负数除性：如果c是负数且c≠0，则有：a/c>b/c(3)双边不等式乘除：对于不等式a<b和任意非零实数c，有：a/c<b/c（当c>0时）a/c>b/c（当c<0时）4.基本不等式基本不等式是指在特定条件下，可以将不等式简化为更为简单形式的不等式。
(1)三角形不等式：对于三角形的三边长a，b，c，有：a+b>ca+c>bb+c>a(2) 平均值不等式：对于任意n个非负实数a1，a2，...，an，有：平均值不等式：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)5.同向不等式同向不等式的性质和解法与等式类似。
对于同向不等式，如果对不等号两边同时乘除以同一个正数，或者对不等号两边同时乘除以同一个负数，则不等号方向不变。
例如，对于不等式2x+1<3x-2，可以同时减去2x，得到1<-2x-2，再同时减去1，得到0<-2x-3，再同时乘以(-1/2)，得到0>(2x+3)/2，最后反转不等号得到(2x+3)/2<0。
《不等式的基本性质》 知识清单
《不等式的基本性质》知识清单一、不等式的定义用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。
例如：3 ＜ 5 ，x ＋ 2 ＞ 1 ，y 1 ≤ 0 等都是不等式。
二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。
简单来说，就是两个数的大小关系，反过来也是成立的。
比如，已知 5 ＞ 3 ，那么必然有 3 ＜ 5 。
2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c ，那么 a ＜ c 。
这意味着，如果有多个数按照大小顺序排列，那么它们之间的大小关系可以依次传递。
例如，因为 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，所以 7 ＞ 3 ；同理，因为 2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，所以 2 ＜ 6 。
3、加法性质如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。
也就是说，在不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。
比如，若 x ＞ 5 ，两边同时加上 3 ，得到 x ＋ 3 ＞ 8 。
4、减法性质如果 a ＞ b ，那么 a c ＞ b c ；如果 a ＜ b ，那么 a c ＜ b c 。
与加法性质类似，在不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向也不变。
例如，已知 y ＞ 10 ，两边同时减去 5 ，则有 y 5 ＞ 5 。
5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＜ bc 。
即在不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变。
比如，已知 2 ＞ 1 ，两边同时乘以 3 ，得到 6 ＞ 3 。
（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＞ bc 。
不等式的基本性质教学课件
2023《不等式的基本性质教学课件ppt》contents •不等式的定义和表示方法•不等式的基本性质•不等式的解法•不等式的应用•不等式的历史和未来发展•课后习题与答案目录01不等式的定义和表示方法1不等式的定义23不等式是表示两个数或两个式子之间不相等关系的数学符号。
不等式的定义包括算术不等式、几何不等式、函数不等式等。
不等式的种类描述两个数或式子之间的数量关系，可以反映事物的某些性质和规律。
不等式的意义一般用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号来表示两个数或式子之间的大小关系。
不等式的表示方法数学符号如x > 3，a < b等都是不等式。
举例说明不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变。
注意问题03解题步骤首先分析问题中涉及的变量及其关系，然后建立相应的不等式模型，最后解不等式得到所需的结果。
如何使用不等式进行数学建模01建立数学模型通过建立不等式模型，可以描述实际问题中变量之间的关系，反映事物的规律和性质。
02实例说明如实际生活中的购物问题、投资问题等都可以通过建立不等式模型来分析解决。
02不等式的基本性质总结词基础且重要详细描述不等式的传递性是不等式基本性质的核心内容之一，它表明如果a>b和c>d，那么ac>bd。
这个性质在解决一些复杂不等式问题时非常有用，需要学生熟练掌握。
不等式的传递性总结词基础且常用详细描述不等式的可加性表明，如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
这个性质在解决一些实际问题时非常常用，如比较两个商品的价格等。
不等式的可加性重要但较难理解总结词不等式的可乘性表明，如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。
这个性质在解决一些复杂不等式问题时需要逆用，同时需要注意乘积为负的情况。
详细描述不等式的可乘性总结词易忽视但有技巧详细描述不等式的可除性表明，如果a>b>0，c>d>0，那么ad>bc。
不等式的性质
不等式的性质不等式是数学中常见的一种关系符号，用于表示两个数或两个表达式之间的大小关系。
在数学问题的解决中，不等式起到了至关重要的作用。
本文将介绍不等式的性质，以帮助读者更好地理解和应用不等式。
1. 不等式的定义不等式是数学中表示两个数或两个表达式之间关系的符号，常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
通常用字母表示不等式中的未知数，例如：x > 3，其中x表示未知数，>表示大于。
2. 不等式的解不等式的解是满足不等式关系的数的集合。
对于一元不等式（只含一个未知数的不等式），我们可以通过将不等式转化为等价形式，确定其解的范围。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以将其转化为等价形式2x > 4，然后求解得到x > 2，表示解的范围是大于2的实数。
对于多元不等式（含多个未知数的不等式），解的表示方式更复杂。
可以通过绘制不等式的图像、使用数学软件进行计算等方法来确定多元不等式的解。
3. 不等式的性质不等式具有许多重要的性质，下面将介绍其中几个常用的性质：a. 传递性不等式具有传递性，即若a > b且b > c，则有a > c。
例如，若2x + 1 > 5且5 > 3，则可以得出2x + 1 > 3。
b. 加法性不等式具有加法性，即若a > b，则对于任意实数c，有a + c > b + c。
例如，若2x + 3 > 7，则可以得出2x + 3 + 2 > 7 + 2，进而化简为2x + 5 > 9。
c. 乘法性不等式具有乘法性，即若a > b，且c > 0，则有ac > bc。
例如，若2x > 4，且x > 0，则可以得出2x^2 > 4x。
d. 反号性不等式的反号性指对不等式两边同时取反，不等号方向会发生变化。
例如，若2x + 3 > 7，则取反得到-(2x + 3) < -7，即-2x - 3 < -7。
不等式的基本性质知识点总结
4.2 实例分析 以一道具体的不等式问题为例，详细分析其 解题过程和思路，展示如何运用不等式的性 质进行解题。通过实例分析，加深对不等式 基本性质的理解和掌握
不等式的常见题型与解题技巧
如何激发对不等式学习的兴趣
A
学习不等式 需要耐心和
毅力
B
当我们遇到困 难时，不要轻 易放弃，而是 要坚持下去， 相信自己能够
解决问题
C
通过不断练习 和反思，我们 可以逐渐提高 自己的解决问
题的能力
总结与展望未来
12.1 总结
01
本文总结了不等式的基本性质、解法与变形、常见题型 与解题技巧等方面的知识点，并探讨了如何进一步提高 不等式问题的解决能力以及学习不等式的重要性和意义。 同时，也提出了一些激发对不等式学习兴趣的方法
不等式在实际生 活中的应用
7.1 经济学中的应用：在经济学中，不等式常被用来描述和解决资 源分配、市场供需、成本与收益等问题。例如，通过比较不同投资 方案的收益与成本，利用不等式来选择最优的投资方案
7.2 物理学中的应用：在物理学中，不等式被广泛应用于力学、 热学、电磁学等领域。例如，牛顿第二定律中的力与加速度的 关系就可以用不等式来描述
10.4 提高综合素质
学习不等式不仅可以提高我 们的数学能力，还可以培养 我们的耐心、毅力和创新精 神
通过解决复杂的问题，我们 可以锻炼自己的意志品质， 提高自己的综合素质
如何激发对不等式学习的兴趣
了解不等式在实际生活中的应用，可以激发我们对不等式学 习的兴趣。当我们知道所学知识能够解决实际问题时，自然 会产生学习的动力 参加数学竞赛和活动，可以让我们更好地了解数学的魅力， 提高解决数学问题的能力。在竞赛和活动中，我们可以结交 志同道合的朋友，共同探讨数学问题，分享解决问题的乐趣 寻找合适的学习资源，如教材、网络课程、学习 app 等， 可以帮助我们更好地学习不等式。同时，也可以通过参加学 习小组或找老师请教等方式，获取更多的学习帮助和支持
不等式的基本性质 课件
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
类比等式的基本性质，不等式有哪些基本 性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是 正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
以性质（3）为例给出证明：
（3）a b a c b（c 可加性）;
证明：（1）先证明：a b ac bc
a b a-b 0
ab .
dc
证明：1 1 c d c d 0 1 1 0
d c dc
dc
1 1 0又a b 0 a b 0
dc
dc
故 a,c<d<0,e<0,求证：
a
e
c
b
e
d
证明： a b 0,c d 0a c b d
则 1 1 bacd 0 a c b d (a c)(b d )
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）; （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）;
单向性 双向性
ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc;
ab0,cd 0acbd;
（5）ab0,nN,n1an bn;
（6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
例 4．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋2 β，α－2 β的取
值范围．
解：∵－π2≤α≤π2， －π2≤β≤π2， ∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋2 β≤π2. 又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2， ∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－2 β≤π2. ∴α＋2 β、α－2 β的取值范围均为[－π2，π2]．
不等式的基本性质(优秀公开课课件)
万源市井溪乡中心小学校 伍高兴
回顾旧知
a±c a=b
等式的基本性质：
=
b±c
ac = bc
a÷c = b ÷c （c ≠ 0）
1、等式两边同时加（或减）同一个代数式，结果仍是等式。
2、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）， 所得结果仍是等式。
不等式的基本性质还是这样吗？
回顾旧知
不等式的定义：
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连 接的式子叫做不等式。
我 会 判 断
5x + 3y = 0
m2 m2 ＞ 4 π 16
5x + 3y
6 + 5t ≤ 180
情境引入
通过师生对话，年龄的差异现场生成不等式。你能告 诉我你的年龄吗？你知道老师的年龄吗？ 14 < 34
收获新知
不等式的性质2 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变. 不等式的性质3 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变.
符号表示为：
如果a＜b,c >0那么ac ﹤
bc
(或
如果a＜b,c＜0那么ac ＞
a b ＞ ). 如果a＞b,c >0那么ac ＞ bc (或 ___ c ac b ﹤ ). 如果a＞b,c＜0那么ac ﹤ bc (或 ___
乘胜追击
2、不计算，完成下列填空
x＞y x-z ＞ y-z
z＜0
x z
xz ＜ yz
＜
y z
善于观察
3、 x ＞ y，下列不等式一定成立吗？
x-6＜y-6
2x ＞
3y
-2 x ＞ -2y
不等式的基本性质 课件
∴m－n≥0，即 m≥n(当 x＝y 时，等号成立)．
比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤 是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是 关键，常用的方法是分解因式、配方等．
不等式的证明 [例2] 已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：a－e c>b－e d. [思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明．
(2)设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b. 解得λ1＝53，λ2＝－23. ∴－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(a－2b)≤－23. ∴－131≤a＋3b≤1. 即a＋3b的取值范围为－131，1.
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方 面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答 此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个 变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化 为同向不等式后作和．
1．不等式的基本性质
1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置 关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 大 ．
(2)如果 a－b＞0，则a＞b；如果 a－b＝0，则 a＝b ；如果 a－b ＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数 a 与 b 的大小，归结为判断它们的差与0的大小；
比较m和n的大小．
[思路点拨]
两式作差
变形 ――――→
转化为因式 乘积形式
――与―0比―较―→
判断正负，得出大小
[解]
m
－
ห้องสมุดไป่ตู้
n
＝
1 x
＋
1 y
－
(最新整理)2、2不等式的基本性质
结论
类似地得到，如果在不
活动内容： 参照教材与多 等式的两边都加上或
媒体课件提出问题：
都减去同一个整式，结
课 时 教 学 流 程 （1）还记得等式的基本性质 果不等号方向不（变试。用）
二次备课补充
吗？请用字母表示它。不等式有
，
类似的教性质师吗。行 为
学生行为
自主设计环
第 页（总 页）
2、2 不等式的基本性质
2、2 不等式的基本性质
2、2 不等式的基本性质
编辑整理：
尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对 文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2、2 不等式的基本性质）的 内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的 源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以 下为 2、2 不等式的基本性质的全部内容。
先猜一猜。
节，课堂变化
（2）用等号或不等号
及处理，主要
完成下面的填空。
学生完成（2)
环节的效果
如果 2 < 3；那么
字母表示为：∵a＞b,∴a
2×5
3 ±c＞b±c；或∵a＞b，∴a±c＜b
× 5；
±c.
1
2×
2 1
；
2
生 2：对于等式的基本性质 3×
2， 用 字 母 可 以 表 示 为 ：
a b, a c b c, a c b c
2
如下:
a b, c 0, a c b c, a c b c
（1） 验证你的结论, a b, c 0, a c b c, a c b c
2.2不等式的基本性质
§ 2 .1 不等式的基本性质
抚顺市新宾满族自治县职业中专
梁艳涛
高等教育出版社 中职课改国家规划新教材《数学》（基础模块）上册
§ 2 .1 不等式的基本性质
1.理解并掌握不等式的基本性质。 2.运用不等式的基本性质解决问题。
抚顺市新宾满族自治县职业中专
抚顺市新宾满族自治县职业中专 梁艳涛
高等教育出版社 中职课改国家规划新教材《数学》（基础模块）上册
§ 2 .1 不等式的基本性质
怎样比才公平？
两个同学比高矮： ①同时站在地面上； ②一人站在地面上，另一人站在桌子上； ③两人都站在桌子上； ④一人站在地面上，另一人站在地下室里； ⑤两人都站在地下室里。
请问怎样比才公平？
抚顺市新宾满族自治县职业中专 梁艳涛
高等教育出版社 中职课改国家规划新教材《数学》（基础模块）上册
§ 2 .1 不等式的基本性质
先填空，后归纳总结 1.对于4<6，那么
(1) 4 2 (3) 4 0
6 2; 6 0;
(2) 4 2
6 2;
(4) 4 0
梁艳涛
高等教育出版社 中职课改国家规划新教材《数学》（基础模块）上册
§ 2 .1 不等式的基本性质
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个 正数，不等号的式的两边都乘以（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变。
抚顺市新宾满族自治县职业中专 梁艳涛
高等教育出版社 中职课改国家规划新教材《数学》（基础模块）上册
梁艳涛
高等教育出版社 中职课改国家规划新教材《数学》（基础模块）上册
§ 2 .1 不等式的基本性质
21版：§13.2 第2课时 不等式的证明（步步高）
第2课时 不等式的证明 最新考纲 考情考向分析 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式，题型为解答题，中档难度.1.比较法(1)作差比较法已知a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明a －b >0即可，这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为作商比较法.2.综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法.3.分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.4.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.5.放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.概念方法微思考1.综合法与分析法有何内在联系？提示 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程.2.分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？提示 因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特点，因此在证明时，这些词是必不可少的.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b 2≥ab .( √ ) (2)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”的假设为“a ，b ，c 全不为0”.( × )(3)若实数x ，y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( √ )(4)若m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则n ≥m .( √ )题组二 教材改编2.已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8答案 B解析 因为a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2，所以(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4， 所以1a ＋1b ≥4a ＋b ＝2，即1a ＋1b的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立).故选B. 3.若a ，b ，m ∈R ＋，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.b ＋m a ＋m ≥b aB.b ＋m a ＋m >b aC.b ＋m a ＋m ≤b aD.b ＋m a ＋m <b a答案 B解析 因为a ，b ，m ∈R ＋，且a >b . 所以b ＋m a ＋m －b a ＝m (a －b )a (a ＋m )>0，即b ＋m a ＋m >b a，故选B.题组三 易错自纠4.已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ac >0，abc >0，用反证法求证a >0，b >0，c >0时的假设为( )A.a <0，b <0，c <0B.a ≤0，b >0，c >0C.a ，b ，c 不全是正数D.abc <0答案 C5.若a >b >1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b ，则x 与y 的大小关系是( ) A.x >y B.x <y C.x ≥y D.x ≤y答案 A 解析 x －y ＝a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab. 由a >b >1，得ab >1，a －b >0，所以(a －b )(ab －1)ab>0，即x －y >0，所以x >y .故选A. 6.若a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.a >c >bC.b >c >aD.c >a >b 答案 A解析 “分子”有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5， c ＝17＋6，∴a >b >c .用综合法与分析法证明不等式例1 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3； (2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3.证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )2·1(x －y )2＝3(当且仅当x －y ＝1时，等号成立)， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. (2)因为a ，b ，c >0，所以要证a ＋b ＋c ≥3，只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立，所以原不等式成立.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野. 跟踪训练1 已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |·f ⎝⎛⎭⎫b a .(1)解 依题意，原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|≥8.当x <－3时，则－2x －2≥8，解得x ≤－5.当－3≤x ≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅.当x >1时，则2x ＋2≥8，解得x ≥3.所以不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8的解集为{x |x ≥3或x ≤－5}.(2)证明 要证f (ab )>|a |·f ⎝⎛⎭⎫b a ，只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2.因为|a |<1，|b |<1，知a 2<1，b 2<1，所以(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0.故(ab －1)2>(b －a )2成立.从而原不等式成立.放缩法证明不等式例2 (1)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a 3，求证：|2x ＋y －4|<a . 证明 由a >0，|x －1|<a 3，可得|2x －2|<2a 3， 又|y －2|<a 3， ∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|<2a 3＋a 3＝a . 即|2x ＋y －4|<a .(2)设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)<1. 证明 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n； 当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n； …当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n， ∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n＝1. ∴原不等式成立.思维升华 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：①变换分式的分子和分母，如1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1，上面不等式中k ∈N *，k >1；②利用函数的单调性；③利用结论，如“若0<a <b ，m >0，则a b <a ＋m b ＋m.” (2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一起应用，利用放缩法时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.跟踪训练2 设f (x )＝x 2－x ＋1，实数a 满足|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1).证明 |f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，即|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1).通过翻阅近几年全国各省市高考数学试题，发现不少题目可以利用柯西不等式来求解，灵活地运用柯西不等式将会使我们的解题变得更为便利.例1 函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C.3D.5答案 B解析 根据柯西不等式知，y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝5(当且仅当x ＝265时取等号). 例2 设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为 . 答案 5 解析 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时等号成立，所以m 2＋n 2的最小值为 5.例3 已知a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 证明 方法一 ∵a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－(2ab ＋2bc ＋2ac )≥(a ＋b ＋c )2－2(a 2＋b 2＋c 2)， ∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 方法二 ∵a 2＋b 2＋c 2－13＝a 2＋b 2＋c 2－(a ＋b ＋c )23＝13(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ) ＝13[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 方法三 ∵(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，即3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
难点:列不等式
四、导学过程
(一)知识链接:
1.在下列式子：x＝5,a＞0,7m＋2n＜0,－5≠0,a－2＞b＋3,x2＋xy－y2中,
是不等式的有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
2.某种品牌奶粉合上标明“蛋白质 ”,它所表达的意思是（）
A．蛋白质的含量是20%.B．蛋白质 的含量不能是20%.
2.某数x的2倍加上5不大于这个数的3倍减去4，用不等式表示为__________．
3.不等式：①－＜－；②0＞－5；③－4＜︱－5︱；④3a＋2＞3a－4；⑤︱a＋2︱＞0；⑥(x＋5)2＋1＞0中，恒成立的有__________．（填序号）
3.若－2a＞1，则a__________－，根据的是不等式的基本性质__________．
2.(1)用两根长度均为 ㎝的绳子,分别围成正方形和圆,如图所示,如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长 应 满足怎样的 关系式.
(2)如果要使圆的 面积大于100cm2那么绳长 应满足怎样的关系式？
(3)当 =8㎝时,正方形和圆那个面积大？
(四)学习提升：
*1.满足不等式x≥－6的最小整数为______；满足不等式x≤6的最大整数为________．
4.如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误的是（）
A.ab＜0B.a+b＜0C. D.
5.适合不等式x－5＜0的非负整数是哪几个数？请你写出来．
6.某商场彩电按原价提高 40%，然后在广告中写上“大酬宾八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚的钱数在240元以上，试问彩电原价至多多少元以上？设彩电原价为 元，用不等式表示题目中的不等式关系.如果彩电的原价是2200元，它是否符合要求？
A.①②B.①③C.②③D.①②③
6．x的 倍减 的差不大于 ,那么列出不等式正确的是（）
A．3x-5≤1B.3x-5≥1C．3x-5＜1D.3x-5＞1
7.不等式的基本性质(用文字语言叙述)：
①______________________________________________________________；
*2.在a克糖水中含糖b克（a＞b＞0,且a、b为定值）,再加入适量的糖t克（t＞0）,
则糖水更甜,请你据此写一个正确的不等式__________．
**3.在钝角三角形中,一个锐角是另一个锐角的2倍,求其中较小的一个锐角的度数的范围．
五、练习：
1．在式子①4x+2＞2②2x-1≤4③3x＜4④ ⑤2x-3⑥a+3b＜3中属于不等式的有.（只填序号）
②______________________________________________________________；
③______________________________________________________________。
(二)新知初探:
1 0．如图,天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克,那么图中显示物体的质量范围是（）
(A)大于2千 克(B)小于3千克(C)大于2千克小于3千克(D)大于2千克或小于3千克
13.用a,b,c表示三种不同的物体,现放在天平上比较两次,情况如图所示,那么这三种物体按质量从大到小的顺序排 列应为（）
a
c
c
a
b
c
a
c
b
b
c
b
aabc来自abc
a
b
c
(A)(B)(C) (D)
(三)能力部分：
1.某班学生准备向山区小学捐赠100本课外读物,结果每人捐出了3本课外读物,超出了原计划的赠书量．你认为怎样表示出上述关系？
教师复备栏或学生笔记栏
课题:§13.2不等式的基本性质课时:2第2课时课型:学案编号:13-03
编制人:王宏审核人:张辅晔使用时间:班级:姓名:小组:评价等级:
一、学习目标:
1.理解不等式的概念；
2.能熟练运用不等式的基本性质进行不等式变形；
3.初步学会列不等式。
二、重点：运用不等式的基本性质进行不等式的变形
C．蛋白质大含量高于20%.D.蛋白质的含 量不低于20%.
3.当x＝1时,下列不等式成立的是（）
A.x＋3＞4B.x－2＜1C.x＋1＞2D.x－1＜0
4.如果x＞y,那么下列结论中错误的是（）
A. 3x＞3yB.x－3＞y－3C.＜D.－x－3＞－y－3
5.已知4>3,则下列结论正确的（）① ② ③