初二数学-反比例函数难题拓展(学生版)
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反比例函数经典习题例题讲解【例1】如右图,己知Z^OA,，△匕八|八2都是等腰直角三角形，点卩! 斜边OAj 、A^2都在x 轴上.则点A 2的坐标为 ___________________ 1、如例1图,己知△l^OAv AP 2A I A 2, △P 3A 2A 3…△P n A n .1A n 都是等腰直角三角形，点P!、P 2、P 3…P n 都在 4 函数y=— （x 〉0）的图象上，斜边OA!、A02、A 2A 3…A nd A n 都在x 轴上.则点A 10的坐标为 ____________________%【例2】如右阁，已知点（1，3）在函数（x 〉0）的阁像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数y=— （k 〉0）的图象又经过A, E 两点，点E 的横坐标为m, •答下列各题 x1. 求k 的值2. 求点C 的横坐标（用m 表示）3.当ZABD=45°时，求m 的值1124 卩2都在函数y=— （x>0）的图象上， x21、已知：如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，反比例函数y= —（x〉0）的图 x 象经过A, E两点，点E的纵坐标为m.（1）求点A坐标（用m表示）2、如图1,矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E （m, 1）是对角线BD的中点,点A、E在反比例函数的阉象上.（1）求AB的长；b k（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数—的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y= 2的图象（如图2），求卜的值；（3）直线y=-x上有一长为^动线段MN,作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限A的双曲线ky=—于点H、P,问四边形MHPN能否为平行四边形（如阁3） ?若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明 x理由.【例3】在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，1）,矩形OMPN的相邻两边OM, ON分别在x, y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MRNP的交点分别为E,F,AAOF^ ABOE （顶点依次对应）（1）求ZFOE;（2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。
反比例函数经典拓展难题
反比例函数难题拓展填空题1.（2011 浙江金华，16，4 分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中， Bk（2 ，0），∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点 A 的双曲线为y=x，在x 轴上取一点P，过点P 作直线OA 的垂线l，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O′B′. （1））当点O′与点A 重合时，点P 的坐标是.（2））设P（t，0）当O′B′与双曲线有交点时，t 的取值范围是.2.（2011 广东东莞，6，4 分）已知反比例函数y k的图象经过（1，－2）．则k ．x3.（2011 山东滨州，18 ，4 分）若点A(m，－2)在反比例函数y y≥－2 时，自变量x 的取值范围是. 4的图像上，则当函数值x4.（2011 四川南充市，14，3 分）过反比例函数y= k(k≠0)图象上一点A，分别作x 轴，y x轴的垂线，垂足分别为B,C，如果⊿ABC 的面积为 3.则k 的值为.2 5.（2011 宁波市，18 ，3 分）如图，正方形A1B1P1 P2 的顶点P1 、P2 在反比例函数y＝（xx＞0 ）的图像上，顶点A1、B1 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2 P3A2B2，顶点P3 在反比例函数y＝2（x＞0）的图象上，顶点A3 在x 轴的正半轴上，则点P3 的坐标x为6.（2011 浙江衢州,5,4 分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt ABO, AB x轴于点B ，斜边AO 10，sin AOB 3,反比例函数y5k( xx0) 的图像经过AO的中点C ，且与AB 交于点D ,则点D 的坐标为.yICDO B x（第15 题）7. (2011 浙江绍兴，13 ，5 分) 若点A(1, y ), B(2, y ) 是双曲线y 3上的点，则1 2xy1 y2 （填“>”,“<“”=”）.8. （2011 浙江丽水，16，4 分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B(2 ，0) ，∠AOC ＝60° ，点A 在第一象限，过点 A 的双曲线为y= k，在x 轴上取一点P，过点P x作直线OA 的垂线l，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O′B′.（1））当点O′与点A 重合时，点P 的坐标是.（2））设P(t，0)当O′B′与双曲线有交点时，t 的取值范围是.9. （2011 湖南常德，5，3 分）如图1 所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点 A 在此曲线上，则该反比例函数的解析式为.y3 AO 1 x图 110 ．（2011 江苏苏州，18,3 分）如图，已知点 A 的坐标为（ 3 ，3），AB ⊥x 轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y= k（k>0 ）的图象与线段OA、AB 分别交于点C、D.若AB=3BD ，x以点C 为圆心，CA 的5倍的长为半径作圆，则该圆与4x 轴的位置关系是（填“相离、”“相切”或“相）交”11.（2011 山东济宁，11，3 分）反比例函数y 范围是．m 1的图象在第一、三象限，则m 的取值x12.（2011 四川成都，25,4 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数y 2k(kx0) 满足：当x 0 时，y 随x 的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y x3k 都经过点P，且OP 7 ，则实数k= .13.（2011 安徽芜湖，15 ，5 分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y kx经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为（ 4 2 2 ）的圆内切于△ABC，则k 的值为．14.（2011 广东省，6，4 分）已知反比例函数y k的图象经过（1，－2）．则k ．x1 5. (2011 江苏南京，15，2 分)设函数y的值为．2与y xx1 11 的图象的交战坐标为（a，b），则a b16.（2011 上海，11，4 分）如果反比例函数y k（k 是常数，k≠0）的图像经过点(－1，x2) ，那么这个函数的解析式是．17.（2011 湖北武汉市，16 ，3 分）如图，□ABCD 的顶点A，B 的坐标分别是A（－1，0），B（0，－2），顶点C，D 在双曲线y= △ABE 面积的 5 倍，则k= ．k上，边AD 交y 轴于点E，且四边形BCDE 的面积是x18.（2011 湖北黄冈，4，3 分）如图：点 A 在双曲线y面积S△AOB =2，则k=．k上，AB ⊥x轴于B，且△AOB 的xBO xA第 4 题图19.（2011 湖北黄石，15 ，3 分）若一次函数y=kx+1 的图象与反比例函数y=公共点，则实数k 的取值范围是。
反比例函数经典拓展难题
反比例函数难题拓展填空题1. （2011浙江金华，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y= kx ，在x 轴上取一点P ，过点P作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是.（2）设P （t ，0）当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .2. （2011广东东莞，6，4分）已知反比例函数ky x=的图象经过（1，－2）．则k = ． 3. （2011山东滨州，18，4分）若点A(m ，－2)在反比例函数4y x=的图像上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是___________. 4. （2011四川南充市，14，3分）过反比例函数y=xk(k ≠0)图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B,C ，如果⊿ABC 的面积为3.则k 的值为 .5. （2011宁波市，18，3分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2x （x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为6. （2011浙江衢州,5,4分）在直角坐标系中，有如图所示的t ,R ABO AB x ∆⊥轴于点B ，斜35=(0)ky xx=>的图像经过AO的中点C，且与AB交于的坐标为 .7. (2011浙江绍兴，13，5分) 若点12(1,),(2,)A yB y是双曲线3yx=上的点，则1y2y（填“>”,“<”“=”）.8. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2，0)，∠AOC＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=kx，在x轴上取一点P，过点P 作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是.（2）设P(t，0)当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 .9. （2011湖南常德，5，3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_______________.10．（2011江苏苏州，18,3分）如图，已知点A的坐标为（3，3），AB⊥x轴，垂足为B，（第15题）xyCDBOIy1OAx3图1连接OA ，反比例函数y=xk（k>0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D.若AB=3BD ，以点C 为圆心，CA 的45倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是___________（填“相离”、“相切”或“相交”）11. （2011山东济宁，11，3分）反比例函数1m y x-=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是 ．12. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数2(0)ky k x=≠满足：当0x <时，y 随x 的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线3y x k =-+都经过点P ，且7OP =，则实数k=_________.13. （2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数ky x=经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为（422-）的圆内切于△ABC ，则k 的值为 ．14. （2011广东省，6，4分）已知反比例函数ky x=的图象经过（1，－2）．则k = ． 15. (2011江苏南京，15，2分)设函数2y x =与1y x =-的图象的交战坐标为（a ，b ），则11a b-的值为__________．16. （2011上海，11，4分）如果反比例函数k yx=（k是常数，k≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是__________．17. （2011湖北武汉市，16，3分）如图，□ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（－1，0），B（0，－2），顶点C，D在双曲线y=xk上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE 面积的5倍，则k=_____．18. （2011湖北黄冈，4，3分）如图：点A在双曲线kyx=上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．19. （2011湖北黄石，15，3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=x1的图象没有公共点，则实数k的取值范围是。
中考数学专题复习《反比例函数》拓展题(含答案)
《反比例函数》拓展题(含答案)知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|例题讲解【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y=4x（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标为 .1、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…P n都在函数y=4x（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则点A10的坐标为2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y=1x的图像上，如果△PAB的面积为6，求P点的坐标。
【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y=kx（x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=kx（k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标为m，解答下列各题1.求k的值2.求点C的横坐标（用m表示）3.当∠ABD=45°时，求m的值1121、已知：如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，反比例函数y=2 x（x＞0）的图象经过A，E两点，点E的纵坐标为m．（1）求点A坐标（用m表示）（2）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=kx的图象上．（1）求AB的长；（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=kx的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=1kx的图象（如图2），求k1的值；（3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=kx于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．【例3】在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1)，矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF∽△BOE（顶点依次对应）（1）求∠FOE；（2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。
中考数学几何图形复习专题10 反比例函数的综合探究(数形结合)(学生版)
专题10 反比例函数的综合训练(数形结合)1．如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数()0k y k x=≠在第一象限内的图象交于()1,A n 和()3,B m 两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)在第一象限内，当一次函数4y x =-+的值大于反比例函数()0k y k x=≠的值时，写出自变量x 的取值范围(3)求△AOB 面积．2．如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y x b =+的图象交于(1, )A m ，(2, )B n -两点，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．（1）求一次函数的表达式；（2）观察图象，写出2kx b x>+时自变量x 的取值范围； （3）连接OA ，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P ，使得2OCP OCA S S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝k x的图象交于A （a ，﹣2），B 两点．（1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；（2）P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．4．如图，等腰Rt ABO 的直角顶点O 与平面直角坐标系的原点重合，反比例函数()0m y x x=<的图象经过点A ，反比例函数()0n y x x =>的图象经过点B ．(1)试猜想m 与n 的数量关系，并说明理由；(2)若2n =，求当点B 的纵坐标分别为1和2时，等腰Rt ABO 的面积；(3)请直接写出当2n =时，等腰Rt ABO 的面积的最小值_________．5．如图，一次函数()=+0y mx n m ≠的图象与反比例函数()0k y k x =≠的图象相交于第二、四。
2023中考数学专项： 反比例函数与几何图形综合问题(重点突围)(学生版)
专题16反比例函数与几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一反比例函数中K值的几何意义】 (1)【考向二反比例函数与三角形的综合问题】 (4)【考向三反比例函数与矩形的综合问题】 (6)【考向四反比例函数与菱形的综合问题】 (9)【考向五反比例函数与正方形的综合问题】 (11)【考向六反比例函数与圆的综合问题】 (15)【直击中考】【考向一反比例函数中K值的几何意义】【变式训练】1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，若反比例函数______在反比例函数3．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，在过点A、C两点，点B在4．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）AC交y轴于点B，若点B是=【考向二反比例函数与三角形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点①求直线AC的解析式；②求点P的坐标．【变式训练】(1)求反比例函数的解析式；(2)坐标平面内有一点D，若以A(1)求反比例函数的表达式；(2)求等边△ACD的边长．【考向三反比例函数与矩形的综合问题】(1)直接写出B，C，D三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点值．【变式训练】上两点，的顶点【考向四反比例函数与菱形的综合问题】（1）求k的值及AB所在直线的函数表达式；（2）将这个菱形沿x轴正方向平移，当顶点【变式训练】是菱形，点(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)设点P是直线AB上一动点，且ABCD(1)求双曲线y2的函数关系式及(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；(3)若BA的延长线与双曲线【考向五反比例函数与正方形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形标，并判断点B′是否在该反比例函数的图象上，说明理由．【变式训练】在平面直角坐标系中，点(1)求反比例函数的解析式；(2)求四边形OAFM 的面积．2．（2022·山东济南·校考一模）如图，四边形35AE OE =．中点，以备用图4．（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，已知点()6,0A -、()7,3D -，点B 、C 在第二象限内．(1)点B 的坐标_________；(2)将正方形ABCD 以每秒2个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒，若存在某一时刻t ，使在第一象限内点B 、D 两点的对应点B '、D ¢正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问是否存在y 轴上的点P 和反比例函数图像上的点Q ，使得以P 、Q 、B '、D ¢四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考向六反比例函数与圆的综合问题】【变式训练】在反比例函数。
反比例函数经典拓展难题
1：（2007年浙江省初中数学竞赛）函数y＝图象大致形状是（）A B C D2．(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则矩形空白部分面积之和为．3．作出函数图象，并根据图象回答下列问题，当－3＜x＜2时，求y取值范围为4．如图，A、B是函数图象上关于原点对称任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC面积记为S，求S．5．如图，点A、B是函数y＝x与图象两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，求四边形ACBD面积为．6．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD一边OC在x轴上，∠C＝90°，点D在第一象限，OC＝3，DC＝4，反比例函数图象经过OD中点A．(1)求该反比例函数解析式；(2)若该反比例函数图象与Rt△OCD另一边交于点B，求过A、B两点直线解析式．7．如图，A、B两点在函数图象上．(1)求m值及直线AB解析式；(2)如果一个点横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点坐标．8．如图，已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，点C(0，1)，若△ABC面积是3，则反比例函数解析式为____________．9．如图，双曲线(k＞0)经过矩形OABC边BC中点E，交AB于点D。
若梯形ODBC面积为3，求双曲线解析式为．10．如图，直线y＝kx＋b与反比例函数(x＜0)图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A坐标为(－2，4)，点B横坐标为－4．(1)试确定反比例函数关系式；(2)求△AOC面积．11．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b图象和反比例函数图象两个交点．(1)求反比例函数和一次函数解析式；(2)求直线AB与x轴交点C坐标及△AOB面积；(3)求方程解(请直接写出答案)；(4)求不等式解集(请直接写出答案)．12．如图，已知点A，B在双曲线上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC中点，若△ABP面积为3，求k值．13（2010 山东济南）如图,已知直线与双曲线交A ，B 两点，且点A 横坐标为4.（1）求k 值； （2）若双曲线上一点C 纵坐标为8，求△AOC 面积；（3）过原点O 另一条直线l 交双曲线于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成四边形面积为24，求点P 坐标．14（2010 河北）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC 顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ． （1）求直线DE 解析式和点M 坐标；（2）若反比例函数（x ＞0）图象经过点M ，求该反比例函数解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数图象上；（3）若反比例函数（x ＞0）图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 取值范围．xMNyD AB CEO图1321．（2010四川）一次函数y=kx+b 图象与反比例函数y=图象交于点A （2，1），B （－1，n ）两点。
反比例函数经典拓展难题
11：（2007年浙江省初中数学竞赛）函数y= —」图象的大致形状是（x2 （2009年牡丹江市）如图，点A、B是双曲线y=3上的点，分别经过A、B两点向X轴、y轴作垂线x骰，若Spn® =人则S +$£ =3. 已知y与2x-3成反比例，且时，y=- 2,求y与x的函数关系式.44. 已知函数y= y i- y2,且屮为x的反比例函数，y为x的正比例函数，且x--和x= 1时，y的值都21?求y 关于x 的函数关系式.边形ACBD 勺面积为（).6.如图，A 、B 是函数y2BC // x 轴，AC 〃 y 轴,7.x△ ABC 的面积记为 S,贝V （s=AC 丄x 轴于C,作BD 丄x 轴于D ，则四的图象上关于原点对称的任意两点，8.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt △ OCD勺一边0C在x轴上，/ C= 90°,点D在第一象限，4，反比例函数的图象经过0D的中点A(1) 求该反比例函数的解析式；⑵若该反比例函数的图象与Rt △ OCD勺另一边交于点B求过A B两点的直线的解析式9.如图，A. B两点在函数y=—(XA0)的图象上.⑴求m的值及直线AB的解析式；⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点？请直接写出图中阴影部分边界)所含格点的个数.(不包括12.如图，已知点A在反比例函数的图象上，AB丄x轴于点B,点C(0, 1)，若△ ABC的面积是3则反0C = 3, DC=x)OKI)Cy BxyjkA 0 B占 八4 ,点B 的横坐标为D r ------ Bm的图象的两个交交于A B 两点，过点A 作AM 丄x 轴，垂足为M,连结BM 若13?如图，直线 y = mx 与双曲线y k S ^ABM = 2,贝U k 的值是(15.如图，直线y=坐标为(一Z kx+ b 与反比例函数k (X V 0)的图象交于点 A, B,与x 轴交于点C,其中点A 的xk14.如图，双曲线y(k> 0)经过矩形xOABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。
反比例函数经典拓展难题
1：（2007年浙江省初中数学竞赛）函数y ＝1x-图象的大致形状是（ ）A B C D3．已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．4．已知函数y ＝y 1－y 2，且y 1为x 的反比例函数，y 2为x 的正比例函数，且23-=x 和x ＝1时，y 的值都是1．求y 关于x 的函数关系式．5．作出反比例函数xy 12=的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时，求y 的值；(2)当y ＝－2时，求x 的值；(3)当y ＞2时，求x 的范围．6．作出反比例函数xy 4-=的图象，结合图象回答： (1)当x ＝2时，y 的值；(2)当1＜x ≤4时，y 的取值范围；(3)当1≤y ＜4时，x 的取值范围．7．作出函数xy 12=的图象，并根据图象回答下列问题： (1)当x ＝－2时，求y 的值；(2)当2＜y ＜3时，求x 的取值范围； (3)当－3＜x ＜2时，求y 的取值范围．8．如图，A 、B 是函数xy 2=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴， △ABC 的面积记为S ，则(s= )．9．如图，点A 、B 是函数y ＝x 与xy 1=的图象的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ACBD 的面积为( )．10．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C ＝90°，点D 在第一象限，OC ＝3，DC ＝4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ． (1)求该反比例函数的解析式；(2)若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式．11．如图，A 、B 两点在函数)0(>=x xmy 的图象上．(1)求m 的值及直线AB 的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数．12．如图，已知点A 在反比例函数的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C (0，1)，若△ABC 的面积是3，则反比例函数的解析式为____________．13．如图，直线y ＝mx 与双曲线xky =交于A ，B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ，若S △ABM ＝2，则k 的值是( )．14．如图，双曲线xky =(k ＞0)经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。
反比例函数难题拓展(含标准答案)
反比例函数难题拓展(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：反比例函数经典专题知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|例题讲解【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y=4x（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标为 .1、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…P n都在函数y=4x（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则点A10的坐标为2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y=1x的图像上，如果△PAB的面积为6，求P点的坐标。
【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y=kx（x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=kx（k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标为m，解答下列各题1.求k的值2.求点C的横坐标（用m表示）3.当∠ABD=45°时，求m的值1121、已知：如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，反比例函数y=2 x（x＞0）的图象经过A，E两点，点E的纵坐标为m．（1）求点A坐标（用m表示）（2）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=kx的图象上．（1）求AB的长；（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=kx的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=1kx的图象（如图2），求k1的值；（3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=kx于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．【例3】在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1)，矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF∽△BOE（顶点依次对应）（1）求∠FOE；（2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。
反比例函数经典拓展难题
反比例函数难题拓展填空题1. （2011浙江金华，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y= kx ，在x 轴上取一点P ，过点P作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是.（2）设P （t ，0）当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .2. （2011广东东莞，6，4分）已知反比例函数ky x=的图象经过（1，－2）．则k = ． 3. （2011山东滨州，18，4分）若点A(m ，－2)在反比例函数4y x=的图像上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是___________. 4. （2011四川南充市，14，3分）过反比例函数y=xk(k≠0)图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B,C ，如果⊿ABC 的面积为3.则k 的值为 .5. （2011宁波市，18，3分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2x （x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为6. （2011浙江衢州,5,4分）在直角坐标系中，有如图所示的t ,R ABO AB x ∆⊥轴于点B ，斜(0)ky xx=>的图像经过AO的中点C，且与AB交于7. (2011浙江绍兴，13，5分) 若点12(1,),(2,)A yB y是双曲线3yx=上的点，则1y2y（填“>”,“<”“=”）.8. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2，0)，∠AOC＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=kx，在x轴上取一点P，过点P 作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是.（2）设P(t，0)当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 .9. （2011湖南常德，5，3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_______________.10．（2011江苏苏州，18,3分）如图，已知点A的坐标为（3，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA ，反比例函数y=xk（k>0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D.若AB=3BD ，以点C 为圆心，CA 的45倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是___________（填“相离”、“相切”或“相交”）11. （2011山东济宁，11，3分）反比例函数1m y x-=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是 ．12. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数2(0)ky k x=≠满足：当0x <时，y 随x 的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y x =-+都经过点P ，且OP =k=_________.13. （2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数ky x=经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为（4-ABC ，则k 的值为 ．14. （2011广东省，6，4分）已知反比例函数ky x=的图象经过（1，－2）．则k = ． 15. (2011江苏南京，15，2分)设函数2y x =与1y x =-的图象的交战坐标为（a ，b ），则11a b-的值为__________．16. （2011上海，11，4分）如果反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是__________．17. （2011湖北武汉市，16，3分）如图，□ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （－1，0），B （0，－2），顶点C ，D 在双曲线y=xk上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k=_____．18. （2011湖北黄冈，4，3分）如图：点A 在双曲线ky x=上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k=______．19. （2011湖北黄石，15，3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=x1的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是 。
(易错题精选)初中数学反比例函数难题汇编及解析
（易错题精选）初中数学反比例函数难题汇编及解析一、选择题1．下列函数：①y=-x；②y=2x；③1yx=-；④y=x2．当x<0时，y随x的增大而减小的函数有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】【分析】分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可．【详解】一次函数y＝－x中k＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项正确；∵正比例函数y＝2x中，k＝2，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误；∵反比例函数1yx-＝中，k＝－1＜0，∴当x＜0时函数的图像在第二象限，此时y随x的增大而增大，故本选项错误；∵二次函数y＝x2，中a＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项正确．故选B．【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函数的增减性．2．如图，是反比例函数3yx=和7yx=-在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点,A B，点P在x轴上．则点P从左到右的运动过程中，APB△的面积是（）A．10 B．4 C．5 D．从小变大再变小【答案】C【解析】【分析】连接AO 、BO ，由AB ∥x 轴，得ABP ABO S S =V V ，结合反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】连接AO 、BO ，设AB 与y 轴交于点C ．∵AB ∥x 轴，∴ABP ABO S S =V V ，AB ⊥y 轴， ∵73522ABO BOC AOC S S S -=+=+=V V V ， ∴APB △的面积是：5．故选C ．【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数图象上的点与原点的连线，反比例函数图象上的点垂直于坐标轴的垂线段以及坐标轴所围成的三角形面积等于反比例函数比例系数绝对值的一半，是解题的关键．3．如图，反比例函数y ＝2x的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】【分析】 由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．【详解】解：Q 反比例函数2y x=， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，2AB AD ∴=．∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===⨯=g g ．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k y x x=>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()10y x x=>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变大后变小【答案】A【解析】【分析】 根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 12=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -．【详解】∵点A 是函数(0k y x x =>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，∴矩形ACOB 的面积为k ，∵点E 、F 在函数1y x =的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12=， ∴四边形OFAE 的面积11122k k =--=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．5．ABC ∆的面积为2，边BC 的长为x ，边BC 上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据三角形面积公式得出y 与x 的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可．【详解】根据题意得 122xy = ∴4y x=∵00x y >>，∴y 与x 的变化规律用图象表示大致是故答案为：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．6．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝xC ．y ＝x+1D ．1y x = 【答案】D【解析】【分析】需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的函数．【详解】解：A 、y ＝x 2是二次函数，开口向上，对称轴是y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，错误；B 、y ＝x 是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而增大，错误；C 、y ＝x+1是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而减小，错误；D 、1y x=是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，正确；故选D ．【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．7．在平面直角坐标系xoy 中，函数()20y x x =<的图象与直线1l ：()103y x b b =+<交于点A ，与直线2l ：x b =交于点B ，直线1l 与2l 交于点C ，记函数()20y x x =<的图象在点A 、B 之间的部分与线段AC ，线段BC 围城的区域（不含边界）为W ，当4233b -≤≤-时，区域W 的整点个数为（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．没有【答案】D【解析】【分析】根据解析式画出函数图象，根据图形W 得到整点个数进行选择.【详解】∵()20y x x=<，过整点（-1，-2），（-2，-1）， 当b=43-时，如图：区域W 内没有整点，当b=23-时，区域W 内没有整点，∴4233b-≤≤-时图形W增大过程中，图形内没有整点，故选：D.【点睛】此题考查函数图象，根据函数解析式正确画出图象是解题的关键.8．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线kyx=过点F，交AB于点E，连接EF．若BF2OA3=，S△BEF＝4，则k的值为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】A【解析】【分析】由于23BFOA=，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=4m，然后即可求出E（3m，n-4m），依据mn=3m（n-4m）可求mn=6，即求出k的值．【详解】如图，过F作FC⊥OA于C，∵23BF OA =， ∴OA=3OC ，BF=2OC∴若设F （m ，n ）则OA=3m ，BF=2m∵S △BEF =4∴BE=4m则E （3m ，n-4m ） ∵E 在双曲线y=k x 上 ∴mn=3m （n-4m） ∴mn=6即k=6．故选A ．【点睛】 此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E 点坐标是解题关键．9．如图，ABDC Y 的顶点,A B 的坐标分别是()(), 0,3 1, 0A B -，顶点,C D 在双曲线k y x=上，边BD 交y 轴于点E ,且四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，则k 的值为:（ ）A ．6-B ．4-C ．3-D ．12-【答案】A【解析】【分析】 过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，利用平行四边形的性质证明,DCF ABO ∆≅∆利用平移写好,C D 的坐标，由四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，得到2,DB BE =利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D 的坐标，列方程求解k ．【详解】解：过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，则,CF DF ⊥ABDC QY ，,CDF BAO ∴∠∠的两边互相平行，,AB DC =CDF BAO ∴∠=∠，90,DFC BOA ∠=∠=︒Q,DCF ABO ∴∆≅∆,,CF BO DF AO ∴== 设(,),k C m m由()(), 0,3 1, 0A B -结合平移可得：(1,3)k D m m ++， Q 四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，11()322BD BE DE CA h h BE ∴+=⨯⨯， ,,BD BE h h AC BD ==Q3DE AC BE ∴+=，4,DE BD BE BE ∴++=2,DB BE ∴=(1,3),(1,0),0,E k D m B x m++=Q ∴ 由中点坐标公式知：110,2m ++= 2m ∴=- ，(1,)1k D m m ++Q ， 3212k k ∴=+-+-， 6.k ∴=-故选A ．【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题关键．10．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB （顶点为网格线交点）绕原点O 顺时针旋转90°，得到△OA ′B ′，若反比例函数y=k x的图象经过点A 的对应点A′，则k 的值为（ ）A ．6B ．﹣3C ．3D ．6【答案】C【解析】【分析】直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．【详解】如图所示：∵将△OAB （顶点为网格线交点）绕原点O 顺时针旋转90°，得到△OA ′B ′，反比例函数y=k x 的图象经过点A 的对应点A′， ∴A ′（3，1）， 则把A′代入y=k x ， 解得：k=3．故选C ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出A′点坐标是解题关键．11．如图，A 、C 是函数1y x=的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ．记Rt AOB ∆的面积为1S ，Rt COD ∆的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12=S SD ．由A 、C 两点的位置确定【答案】C【解析】【分析】 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12k|． 【详解】由题意得：S 1=S 2=12|k|=12． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数y ＝k x中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．12．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA ⊥x 轴于点A ，反比例函数y=k x(x>0)的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，若△OAB 的面积为3，则k 的值为 ( )A ．13B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】连接OC ，如图，利用三角形面积公式得到S △AOC =12S △OAB =32，再根据反比例函数系数k 的几何意义得到12|k|=32，然后利用反比例函数的性质确定k 的值． 【详解】连接OC ，如图，∵BA ⊥x 轴于点A ，C 是线段AB 的中点，∴S △AOC =12S △OAB =32， 而S △AOC =12|k|， ∴12|k|=32， 而k ＞0，∴k=3．故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键在于掌握在反比例函数y=k x图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．13．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k =>B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70<V<80C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 也变为原来的一半D ．当60100V 剟时，气压P 随着体积V 的增大而减小 【答案】D【解析】【分析】A．气压P与体积V表达式为P= kV,k＞0，即可求解；B．当P=70时，600070V ,即可求解；C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P变为原来的两倍，即可求解；D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，即可求解．【详解】解：当V=60时，P=100，则PV=6000，A．气压P与体积V表达式为P= kV，k＞0，故本选项不符合题意；B．当P=70时，V=600070＞80，故本选项不符合题意；C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P变为原来的两倍，本选项不符合题意；D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思求解．14．若A（-3，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A． y1＞y2＞y3B． y3＞y1＞y2C． y3＞y2＞y1D． y2＞y1＞y3【答案】B【解析】【分析】反比例函数y=kx（k＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y随x的增大而减小，而A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上的点，可得y2＜y1＜0，C（1，y3）在第一象限双曲线上的点y3＞0，于是对y1、y2、y3的大小关系做出判断．【详解】∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象在一、三象限，∴在每个象限内y随x的增大而减小，∵A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上，∴y2＜y1＜0，∵C（1，y3）在第一象限双曲线上，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2，故选：B．【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k ＞0，时，在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，y 随x 的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．15．如图所示，已知()121,,2,2A y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(),0P x 在x 轴正半轴上运动，当AP BP -的值最大时，连结OA ，AOP ∆的面积是 （ ）A ．12B ．1C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数解析式求出A ，B 的坐标，然后连接AB 并延长AB 交x 轴于点P '，当P 在P '位置时，PA PB AB -=,即此时AP BP -的值最大，利用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而求出P '的坐标，进而利用面积公式求面积即可．【详解】当12x =时，2y = ，当2x =时，12y = ， ∴11(,2),(2,)22A B ．连接AB 并延长AB 交x 轴于点P '，当P 在P '位置时，PA PB AB -=,即此时AP BP -的值最大．设直线AB 的解析式为y kx b =+ ， 将11(,2),(2,)22A B 代入解析式中得 122122k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得152k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ， ∴直线AB 解析式为52y x =-+． 当0y =时，52x =，即5(,0)2P '， 115522222AOP A S OP y '∴=⋅=⨯⨯=V ． 故选：D ．【点睛】 本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法以及找到AP BP -何时取最大值是解题的关键．16．若反比例函数()2221my m x -=-的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A ．-1或1B ．小于12的任意实数C ．-1D ．不能确定 【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程221m -=-且210m -<求解即可．【详解】解：22(21)m y m x -=-Q 是反比例函数，∴221m -=-，210m -≠，解之得1m =±．又因为图象在第二，四象限，所以210m -<， 解得12m <，即m 的值是1-． 故选：C ． 【点睛】 对于反比例函数()0k y k x=≠．（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．17．如图，点A 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意一点，AB x P 轴交反比例函数3y x=-的图象于点B ，以AB 为边作ABCD Y ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCD S Y 为（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】 过点B 作BH ⊥x 轴于H ，根据坐标特征可得点A 和点B 的纵坐标相同，由题意可设点A 的坐标为（2a，a ），点B 的坐标为（3a -，a ），即可求出BH 和AB ，最后根据平行四边形的面积公式即可求出结论．【详解】解：过点B 作BH ⊥x 轴于H∵四边形ABCD 为平行四边形∴//AB x 轴，CD=AB∴点A 和点B 的纵坐标相同由题意可设点A 的坐标为（2a ，a ），点B 的坐标为（3a -，a ） ∴BH=a ，CD=AB=2a －（3a -）=5a∴ABCD S Y =BH·CD=5 故选D ．【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握利用反比例函数求几何图形的面积是解决此题的关键．18．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）A ．22B ．12C ．14D ．33【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ， ∴2OB OA = 故选A ．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解19．如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝1k x（k 1＞0，x ＞0），y ＝2k x （k 2＞0，x ＞0）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为6，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．12B ．﹣12C ．6D ．﹣6【答案】A【解析】【分析】 △ABC 的面积＝12•AB•y A ，先设A 、B 两点坐标（其y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．【详解】 解：设：A 、B 点的坐标分别是A （1k m ，m ）、B （2k m ，m ）， 则：△ABC 的面积＝12•AB•y A ＝12•（1k m ﹣2k m ）•m ＝6， 则k 1﹣k 2＝12．故选：A ．【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A 、B 两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．20．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【解析】分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（1，1），∴OA=，∴BO=，∵直线AC的解析式为y=x，∴直线BD的解析式为y=-x，∵OB=，∴点B的坐标为（−，），∵点B在反比例函数y=的图象上，∴，解得，k=-3，故选C．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．。
初二数学-反比例函数难题拓展高分
反比例函数经典习题点P i、P2都在函数y= 4(x>0)的图象上,x斜边OA i、A1A2都在x轴上.则点A2的坐标为为变式训练1、如例1图，已知△ P l OA l,AP2A l A2 ,AP3A2A3…仲n A n-l A n都是等腰直角三角形，点P i、P2、P3^P n都4 一在函数y= —(x >0)的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3-A n-1 A n都在x轴上.则点A10的坐标为x2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E ( m , 1)是对角线BD的中点，点A、E在反比k例函数y= 的图象上.x(2)当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数k y=一的图象沿y轴翻折，得到反比例函数k1 y= 一的图象x x例题讲解【例1】如右图，已知△ P l OA l, △32A l A2都是等腰直角三角形,(如图2)，求ki的值；(3 )直线y=-x上有一长为x 2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件(2 )下，第一象限内的双k曲线y= 于点H、P,问四边形MHPN能否为平行四边形(如图3)?若能，请求出点M的坐标；若不x能，请说明理由.为变式训练如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1 分别交x轴、y轴于A, B两点，点P (a , b)是反比例函数y=—在第一象限内的任意一点，过点P分别作PM丄x轴于点M , PN丄y轴于点N , PM , PN分别交直2x线AB于E, F，有下列结论：① AF=BE ;②图中的等腰直角三角形有EOF=45。
.其中结论正确的序号是ky= 和一次函数y=2x-1 ，其中一次函数的图像经过(a, b),2x(a+1 , b+k )(1 )求反比例函数的解析式；(2 )如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；(3 )利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P,使A AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由【例4】已知：如右图，已知反比例函数4 个；③ S A OE=(a+b-1冷变式训练已知反比例函数y=—和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过(a, b) ,( a+k ,2xb+k+2 )两点.(1)求反比例函数的解析式；(2)求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标：k(3)根据函数图象，求不等式一＞2x-1的解集;2x(4)在(2)的条件下，x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
反比例函数经典拓展难的题目
1：〔2007年某某省初中数学竞赛〕函数y ＝1x-图象的大致形状是〔 〕A B C D2．(2009年某某市)如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，假如1S =阴影，如此12S S +=．3．y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．4．函数y ＝y 1－y 2，且y 1为x 的反比例函数，y 2为x 的正比例函数，且23-=x 和x ＝1时，y 的值都是1．求y 关于x 的函数关系式．5．作出反比例函数xy 12=的图象，并根据图象解答如下问题： (1)当x ＝4时，求y 的值；(2)当y ＝－2时，求x 的值；(3)当y ＞2时，求x 的X 围．6．作出反比例函数xy 4-=的图象，结合图象回答： (1)当x ＝2时，y 的值；(2)当1＜x ≤4时，y 的取值X 围；(3)当1≤y ＜4时，x 的取值X 围．7．作出函数xy 12=的图象，并根据图象回答如下问题： (1)当x ＝－2时，求y 的值；(2)当2＜y ＜3时，求x 的取值X 围； (3)当－3＜x ＜2时，求y 的取值X 围．xyABO1S2S8题图8．如图，A 、B 是函数xy 2=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴， △ABC 的面积记为S ，如此(s= )．9．如图，点A 、B 是函数y ＝x 与xy 1=的图象的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，如此四边形ACBD 的面积为( )．10．：如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C ＝90°，点D 在第一象限，OC ＝3，DC ＝4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ．(1)求该反比例函数的解析式；(2)假如该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式．11．如图，A 、B 两点在函数)0(>=x xmy 的图象上．(1)求m 的值与直线AB 的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图影局部(不包括边界)所含格点的个数．12．如图，点A 在反比例函数的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C (0，1)，假如△ABC 的面积是3，如此反比例函数的解析式为____________．13．如图，直线y ＝mx 与双曲线xky =交于A ，B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ，假如S △ABM ＝2，如此k 的值是( )．14．如图，双曲线xky =(k ＞0)经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。
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反比例函数经典习题例题讲解
【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y=4
x（x＞0）
的图象上，
斜边OA 1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标为 .
1、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、P
2、P3…P n都在
函数y=4
x
（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则点A10的坐标为
2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y=
1
x
的图像上，如果△PAB的面积为6，求P点的坐标。
【例2】如右图，已知点（1,3）在函数k
x
（x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线
BD的中点，函数y=k
x
（k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标为m，解答下列各题
1.求k的值
2.求点C的横坐标（用m表示）
3.当∠ABD=45°时，求m的值112
x
（1）求AB的长；
（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=k
x
的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=1
k
x
的图象（如
图2），求k1的值；
（3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线
y=k
x
于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明
理由．
【例3】在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1)，矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF∽△BOE（顶点依次对应）
（1）求∠FOE；
（2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，点P （a ，b ）是反比例函数y=
12x
在第一象限内的任意一点，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，PM ，PN 分别交直线AB 于E ，F ，有下列结论：①AF=BE ；②图中的等腰直角三角形有4个；③S △OEF =1
2
（a+b-1）；④∠EOF=45°．其中结论正确的序号是
【例4】已知：如右图，已知反比例函数y=
2k
x
和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经过（a ，b ），（a+1，b+k ）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
已知反比例函数y=2k
x
和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标： （3）根据函数图象，求不等式
2k
x
＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
一、巩固练习：解答题
1、已知反比例函数y=k
x
图象过第二象限内的点A（-2，m），作AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3；若直
线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=k
x
的图象上另一点C（n，-1）．
（1）反比例函数的解析式为y=-6
x
，m=3，n=6；
（2）求直线y=ax+b的解析式；
（3）设直线y=ax+b与x轴交于M，求AM的长；
（4）根据图象写出使反比例函数y=k
x
值大于一次函数y=ax+b的值的x的取值范围。
2、已知如图：矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线BD的中点，点B、D的坐标分别为B（1，0），D（3，3），反比例函
数y=k
x
的图象经过A点，
（1）写出点A和点E的坐标；（2）求反比例函数的解析式；
3、如右图已知反比例函数y=k
x
（k＜0）的图像经过点A（3，m），过A点作AB⊥x轴于点B,且△AOB
3。
123
(1)求k和m的值
(2)若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点M,求∠AMO和|AO|:|AM|的值
拓展训练
（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角三角形？若存在，
过手练习
1、已知：如右图已知反比例函数y=12
x
的图像与一次函数y=kx-7的图像都经过P（m，2）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值．。