专题训练一求锐角三角函数的常用方法
人教版九年级下册数学作业课件 第二十八章锐角三角函数 专题：求锐角三角函数常用的3种方法(一题多变)
∴BD＝CD＝k，AD＝2k. ∴tanA＝BADD＝12.
方法总结：作垂线构造直角三角形时“不破坏”特殊 角(30°，45°，60°)，如下展示部分常见构造方 法：
题型二 不含特殊角的非直角三角形 3．(1)[延长＋连接线段构造直角三角形]如图，在正 方形网格中，已知△ABC 的三个顶点均在格点上， 则∠ACB 的正切值为（ D ）
◆类型一 构造直角三角形求解 题型一 含特殊角的非直角三角形 1．如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠A＝75°， AC＝8，求 BC 和 AB 的长． 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D. ∵在 Rt△ABD 中，∠B＝45°， ∴∠BAD＝45°，BD＝AD，AB＝ 2AD. ∵∠BAC＝75°，
2
2
∴AE＝125x.
∴tan∠CAD＝EACE＝15.
◆类型三 利用等角转化求解【转化思想】 7．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，AC＝8， BC＝6，则 cos∠BCD 的值是（ D ） A.3 B.3 C.4 D.4
543 5
8．如图，在△ABC 中，AC＝BC，过点 C 作 CD⊥AB，
(3)[利用垂径定理构造直角三角形]如图，⊙O 为△ABC
的外接圆，⊙O 的半径为 5，BC＝8，则 cosA 的值为
3 5
.
10．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝2 5，E 是 BC 的中点，将△ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，连接 CF，求 cos∠ECF 的值．
A．2
B.2 5 5
C.
5 5
D.12
(2)如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格线的交 点处，将△ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到△AB′C′. 若 A，C，B′三点共线，则 tan∠B′CB＝ 2 ；
2024年人教版九年级数学中考专题训练：锐角三角函数(含解析)
2024年人教版九年级数学中考专题训练：锐角三角函数1．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC 的高度，甲同学在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，乙同学从A 点出发沿斜坡走米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B 的仰角为26.7°，且斜坡AF 的坡度为1：2．（1）求乙同学从点A 到点D 的过程中上升的高度；（2）依据他们测量的数据求出大树BC 的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）2．如图，在中，D 是上一点，，以为直径的经过点C ，交于点E ，过点E 作的切线交于点F.（1）求证：.（2）若，，求的长.3．如图1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，BC=a ，AD=h ．（1）求正方形PQMN 的边长（用a 和h 的代数式表示）；ABC BC BD AD =AD O AB O BD EF BC ⊥5CD =2tan 3B =DF（2）如图2，在△ABC 中，在AB 上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC 边上，N'在△ABC 内，连接BN 并延长交AC 于点N ，画NM BC 于点M ，画NP ⊥NM 交AB 于点P ，再画PQ ⊥BC 于点Q ，得到四边形PQMN ，证明四边形PQMN 是正方形；（3）在（2）中的线段BN 该线上截取NE=NM 连接EQ ，EM （如图3)，当∠QEM=90°时，求线段BN 的长（用a ，h 表示）4．如图，在直角坐标系中有，O 为坐标原点，，，将此三角形绕原点O 顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过A ，B ，C 三点.（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线与二次函数图象相交于M ，N 两点.①若，求k 的值；②证明：无论k 为何值，恒为直角三角形.5．如图，四边形ABCD 内接于，的半径为4，，对角线AC 、BD 相交于点P.过点P 分别作于点E ，于点F.（1）求证：四边形为正方形；（2）若，求正方形的边长；（3）设PC 的长为x ，图中阴影部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出y 的最大值.6．如图，已知一次函数的图象经过，两点，且与轴交于点，二次函数的图象经过点，，连接．Rt AOB ()03A ，()10B -，90︒Rt COD 2y ax bx c =++3l y kx k =-+：2PMN S = PMN O O 90ADC AB BC ∠=︒=，PE AD ⊥PF CD ⊥DEPF 2AD CD=DEPF 1y kx m =+()15A --，()04B -，x C 224y ax bx =++A C OA（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）求的正弦值．（3）在点右侧的轴上是否存在一点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，△ADE 为等边三角形.（1）若点E 为BD 的中点，AD ＝4，CD ＝5，求△BCE 的面积；（2）如图2，若BC ＝CD ，点F 为CD 的中点，求证：AB ＝2AF ；（3）如图3，若AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝90°，连接BP ，取BP 的中点Q ，连接CQ.当AB ＝，AD ＝，tan ∠ABC ＝2时，求CQ 的最小值.8．如图1，在矩形中，，.P ，Q 分别是，上的动点，且满足，E 是射线上一点，，设，.OAB ∠C x D BCD OAB D ABCD 4AB =30ACB ∠=︒AC CD 35DQ CP =AD AP EP =DQ x =AP y =（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）当中有一条边与垂直时，求的长.（3）如图2，当点Q 运动到点C 时，点P 运动到点F.连结，以，为边作.①当所在直线经过点D 时，求的面积；②当点G 在的内部（不含边界）时，直接写出x 的取值范围.9．等边中，是中线，一个以点D 为顶点的30°角绕点D 旋转，使角的两边分别与，的延长线相交于点E ，F ．交于点M ，交于点N ．（1）如图①，若，求证：．（2）如图②，在绕点D 旋转的过程中：①探究三条线段，，之间的数量关系，并说明理由；②若，，求的长．10． 在平面直角坐标系中，对于和点不与点重合给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”．（1）已知，若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标；是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围；PQE AC DQ FQ FQ PQ PQFG GF PQFG ABC ABC CD AC BC DF AC DE BC CE CF =DE DF =EDF ∠CD CE CF 6CE =2CF =DM xOy OAB (P O )OA OB M N O P MN P OAB ()30A，(0.B ①M A N B OAB P ②AB P OAB AP（2）直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围．11． 如图，在中，边绕点顺时针旋转得到线段，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是的中点．（1）以点为对称中心，作点关于点的对称点，连接，．依题意补全图形，并证明；求证：；（2）若，且于，直接写出用等式表示的与的数量关系．12．如图1，菱形的边长为，，，分别在边，上，，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动不与点 C 重合 ；的外接圆与相交于点，连接交于点设点的运动时间为ts.（1） ；（2）若与相切，判断与的位置关系；求的长；（3）如图3，当点在上运动时，求的最大值，并判断此时与的位置关系； （4）若点在的内部，直接写出的取值范围.13．如图，已知菱形ABCD ， E 为对角线AC 上一点.3(0)4y x b b =-+>x y A B AB 2OAB b ABC AB B α(0α180)︒<<︒BD AC C 180α︒-CE DE F DE F C F G BG DG ①AC DG =②DGB ACB ∠=∠α60=︒FH BC ⊥H FH BC ABCD 12cm B 60∠=︒M N AB CD.AM 3cm =DN 4cm =P M MB BC -1cm /s C ()APC O CD E PE AC F.P APE ∠=︒O AD ①O CD ② APCP BC CF PE AC N O t（1）[建立模型]如图1，连结BE，DE.求证：∠EBC=∠EDC.（2）[模型应用]如图2，F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC，EF交AB于点G.①判断△FBG的形状，并说明理由.②若G为AB的中点，且AB=4，∠ABC=60°，求AF的长.（3）[模型迁移]F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC，EF交射线AB于点G，且sin∠BAC=，BF//AC.求的值. 14．小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚，经测量，安装遮阳棚的那面墙高，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，安装好的遮阳篷与水平面的夹角为，如下右图为侧面示意图．（参考数据：，，，，，）（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？（2）请计算此遮阳棚延展后的长度（即的长度）．（结果精确到）15．数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片.45ABBG BC AB3m2m()AD63.4︒BC10︒100.17sin︒≈100.98cos︒≈100.18tan︒≈63.40.89sin︒≈63.40.45cos︒≈63.4 2.00tan︒≈2.3mBC0.1m（1）如图1，一张圆形纸片，圆心为O ，圆上有一点A ，折叠圆形纸片使得A 点落在圆心O 上，折痕交于B 、C 两点，求的度数.（2）把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点M 是弧上一动点.①如图2，当点M 是弧中点时，在线段、上各找一点E 、F ，使得是等边三角形.试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹.②在①的条件下，取的内心N ，则 .③如图3，当M 在弧上三等分点S 、T 之间（包括S 、T 两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心N ，请问的长度是否变化.如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度.16．已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．（1）请直接写出，的值；（2）直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．17．如图1，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在y 轴的正半轴上，且OA ＝6，斜边OB ＝10，点P 为线段AB 上一动点．O BAC ∠PQ PQ OP OQ EFM EFM EFM ON =PQ EFM EFM ONON )2y x bx c =++yA (4B(C -b c BC y DE )2y x bx c =++AB E AB F EF AEF ABC ∠E（1）请直接写出点B 的坐标；（2）若动点P 满足∠POB ＝45°，求此时点P 的坐标；（3）如图2，若点E 为线段OB 的中点，连接PE ，以PE 为折痕，在平面内将△APE 折叠，点A 的对应点为A′，当PA′⊥OB 时，求此时点P 的坐标；18．如图，在菱形中，对角线相交于点O ，，．动点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E ．设运动时间为，解答下列问题：（1）当点M 在上时，求t 的值；（2）连接．设的面积为，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；（3）是否存在某一时刻t ，使点B 在的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．19．在矩形中，点E 为射线上一动点，连接．ABCD AC BD ，10cm AB=BD =AB 1cm /s AD 2cm /s AP AQ ，APMQ PM AC ()()s 05t t <≤BD BE PEB ()2cm S PEC ∠ABCD BC AE（1）当点E 在边上时，将沿翻折，使点B 恰好落在对角线上点F 处，交于点G ．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C 的对应点为C ′，当点E ，C ′，D 三点共线时，求的长．20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 在直线AB 上，连结DE ，过点A 作AF ⊥DE 交直线BC 于点F ，以AE 、AF 为邻边作平行四边形AEGF.直线DG 交直线AB 于点H.（1）当点E 在线段AB 上时，求证：△ABF ∽△DAE.（2）当AE=2时，求EH 的长.（3）在点E 的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH 为等腰三角形.若存在，求AE 的长.21．如图1，等边三角形纸片中，，点D 在边上（不与点B 、C 重合），，点E 在边上，将沿折叠得到（其中点C ′是点C 的对应点）．BC ABE AE BD AEBD BC =AFD ∠=4AB EF EC =BC ABCD ABCD AE BE ABC 12AB =BC 4CD =AC CDE DE 'C DE（1）当点C ′落在上时，依题意补全图2，并指出C ′D 与的位置关系；（2）如图3，当点C ′落到的平分线上时，判断四边形CDC ′E 的形状并说明理由；（3）当点C ′到的距离最小时，求的长；（4）当A ，C ′，D 三点共线时，直接写出∠AEC ′的余弦值．22．如图，四边形是菱形，其中，点E 在对角线上，点F 在射线上运动，连接，作，交直线于点G.（1）在线段上取一点T ，使，①求证：；②求证：；（2）图中，.①点F 在线段上，求周长的最大值和最小值；②记点F 关于直线的轴对称点为点N.若点N 落在的内部（不含边界），求的取值范围.AC AB ACB ∠AB CE ABCD 60ABC ∠=︒AC CB EF 60FEG ∠=︒DC BC CE CT =FET GEC ∠=∠FT CG =7AB =1AE =BC EFG AB EDC ∠CF答案解析部分1．【答案】（1）解：作DH ⊥AE 于H ，如图所示：在Rt △ADH中，∵，∴AH ＝2DH ，∵AH 2+DH2＝AD 2，∴（2DH ）2+DH 2＝（）2，∴DH ＝6（米）．答：乙同学从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为6米；（2）解：如图所示：过点D 作DG ⊥BC 于点G ，设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝45°，∴AC ＝BC ＝x ，由（1）得AH ＝2DH ＝12，在矩形DGCH 中，DH ＝CG ＝6，DG ＝CH ＝AH+AC ＝x+12，在Rt △BDG 中，BG ＝BC-CG ＝BC-DH ＝x-6，∵tan ∠BDG ＝，∴，解得：x≈24，12DH AH =BG DG626.70.512x tan x -=︒≈+答：大树的高度约为24米．【解析】【分析】（1）作DH ⊥AE 于H ，利用勾股定理可得AH 2+DH 2＝AD 2，再结合AH ＝2DH ，可得（2DH ）2+DH 2＝（2，最后求出DH=6即可；（2）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，设BC ＝x 米，则DH ＝CG ＝6，DG ＝CH ＝AH+AC ＝x+12，BG ＝BC-CG ＝BC-DH ＝x-6，再结合tan ∠BDG ＝， 可得，最后求出x 的值即可。
初中数学复习：锐角三角函数值的求解策略
锐角三角函数值的求解策略知识解读：求锐角三角函数值的方法较多，常用的方法有：定义法、参数法、等角代换法、等比代换法、构造法。
培优学案典例示范：1.定义法：当已知直角三角形的两边时，可以直接应用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值。
例1 如图，在中，,AB=13,BC=5,则sinA的值为。
【跟踪训练1】在中，,BC=3,AC=4,则cosA的值为。
二、参数法锐角三角函数值实质上是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需要将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题。
例2 在Rt△ABC中,∠C=90,tanA=，则sinB的值为___.【跟踪训练2】1.已知在Rt△ABC中,∠C=90,，则tanB的值为( )2. 在Rt△ABC中，已知∠A为锐角，tanA=2，求的值3.求tan15的值三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或者锐角不在直角三角形中时，可将该角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“若两锐角相等，则此两角的三角函数值也相等”来求解。
例3如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH，则sinB的值为。
【跟踪训练3】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC=四、等比代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或者锐角不在直角三角形中，可以通过相似三角形的对应边成比例，将直角三角形中的两边的比转换到两条已知线段的比来求解。
例4 如图，AB的直径，延长AB至P，使BP=OB,BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上，设【跟踪训练4】如图，AB的直径，弦AC,BD外一点P，若AB=2CD，求的度数。
五、构造法直角三角形是求解或应用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类练习北师大版(20
2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题训练（一）求锐角三角函数值的方法归类►方法一运用定义求锐角三角函数值1．2017·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!2．如图1－ZT－1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3），那么cosα的值是（) A.错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!图1－ZT－1►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝错误!,则tan B的值为( ）A.错误! B。
错误! C。
错误! D。
错误!4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝错误!，那么cos A的值为( ）A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!5．如图1－ZT－2,在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝错误!，BE＝2，则tan∠DBE的值是( )图1－ZT－2A.错误! B．2 C。
错误! D.错误!6．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B,∠C的对边,且a,b,c满足b2＝(c＋a)(c－a）．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝错误!BD,连接AC，若tan B ＝错误!,求tan∠CAD的值．图1－ZT－3►方法三在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为( ）图1－ZT－4A.错误! B。
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解►方法一运用定义求锐角三角函数值1．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠O的正弦值是________．图ZT－6－12．如图ZT－6－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求AB的长；(2)求两个锐角的三角函数值．图ZT－6－2►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝513，则cos A的值是()A.512B.813C.23D.12134．2017·铜仁如图ZT －6－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A ＝α，且tan α＝13，则tan 2α＝________．图ZT －6－35．已知：如图ZT －6－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值、余弦值．图ZT －6－46．如图ZT －6－5，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．图ZT －6－5► 方法三 利用边角关系求锐角三角函数值7．如图ZT －6－6所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值是( )图ZT －6－6A.34B.43C.35D.458．如图ZT －6－7所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AD ＝2DC ，AB ＝4DE ，则sin B 的值是( )图ZT －6－7A.12B.73C.3 77D.349．已知锐角三角形ABC 中，点D 在BC 的延长线上，连结AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求出tan D 的值．►方法四利用等角求锐角三角函数值10．如图ZT－6－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的正弦值、余弦值、正切值．图ZT－6－811．如图ZT－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠后，点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．图ZT －6－9► 方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则sin B 的值为( )A.2 53B.53C.2 55D.5513．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．► 方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．14．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos (90°－∠A)等于( ) A ．cos A B ．sin (90°＋∠A) C ．sin A D ．sin (90°－∠A)15．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．16．在△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，cos A ＝1213，求sin B 的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cos A与sin B的大小，并说明理由．教师详解详析1．[答案]10 10[解析] 如图，过点C作CD⊥OB于点D，根据正方形的性质可知点D为小正方形对角线的中点，∴CD＝22，由勾股定理得OC＝22＋12＝5，∴在Rt△OCD中，sin O＝CDOC＝225＝1010.2．解：(1)AB＝AC2＋BC2＝13.(2)sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512；sin B＝ACAB＝1213，cos B＝BCAB＝513，tan B＝ACBC＝125.3．D4．[答案]34[解析] 连结BE.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，∴AE ＝10a ，AB ＝6a ，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5，∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5，∴tan2α＝BCCE ＝3 10a 54 10a5＝34. 5．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝12， ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝5x ，∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝55.6．解：设AB ＝BD ＝2x . ∵AB ＝BD ，∠DBC ＝30°， ∴∠A ＝12∠DBC ＝15°.∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°， ∴CD ＝x ，由勾股定理可求出BC ＝3x ， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2x ＋3x ， ∴tan15°＝CDAC ＝2－ 3.7．[解析] B 连结BD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，BD ＝4， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°， ∴tan C ＝BD CD ＝43.8．[解析] D 如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则有DE ∥AF . ∵AD ＝2DC ，∴DC ∶AC ＝1∶3＝DE ∶AF ， ∴AF ＝3DE . ∵AB ＝4DE ， ∴sin B ＝AF AB ＝3DE 4DE ＝34.9．解：示意图如图所示．∵∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ，∠ACB ＝2∠D ， ∴∠CAD ＝∠D ， ∴AC ＝DC .∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°.∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ，∴BD ＝2AC .∵AC ＝32， ∴BD ＝3.在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，BD ＝3，∴AB ＝5，∴tan D ＝AB AD ＝52. 10．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵∠C ＝∠DEB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△DEB ，∴∠A ＝∠BDE ，∴sin ∠BDE ＝sin A ＝35， cos ∠BDE ＝cos A ＝45， tan ∠BDE ＝tan A ＝34.11．解：根据图形得∠AFE ＋∠EFC ＋∠BFC ＝180°. 根据折叠的性质，得∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴∠AFE ＋∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，∠BCF ＋∠BFC ＝90°，∴∠AFE ＝∠BCF .又根据折叠的性质，得CF ＝CD ＝10.在Rt △BCF 中，BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理，得BF ＝CF 2－BC 2＝6，∴tan ∠BCF ＝34， ∴tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34. 12．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23， ∴sin B ＝1－（23）2＝53. 故选B.13．解：∵cos α＝13， ∴sin α＝1－（13）2＝2 23， tan α＝sin αcos α＝2 2313＝2 2， ∴tan α＋cos α1＋sin α＝2 2＋131＋2 23＝2 2＋3－2 2＝3.14．C15．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝sin A ＝32. 16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝1213. (2)cos A ＜sin B .理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°， ∴cos A ＜sin B .。
求锐角三角函数值的常用方法(20200714092427)
第28章锐角三角函数专项训练专训1求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是() A.45 B.35C.34D.43(第1题)2．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．(第2题)3．如图，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标；(2)求sin ∠BAO 的值．(第3题)利用同角或互余两角三角函数间的关系4．若∠A 为锐角，且sin A ＝32，则cos A ＝() A ．1 B.32 C.22 D.125．若α为锐角，且cos α＝1213，则sin(90°－α）＝() A.513 B.1213 C.512 D.1256．若α为锐角，且sin 2α＋cos 230°＝1，则α＝______．巧设参数7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则tan B 的值为()A.43B.34C.35D.458．已知，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 满足b 2＝(c ＋a)(c －a)．若5b －4c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E 且AH ＝2CH ，求sin B 的值．(第9题)专训2同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：1．同角三角函数关系：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α），cos α＝sin(90°－α），tan α·tan(90°－α）＝1.同角间的三角函数的应用1．已知sin Acos A＝4，求sin A－3cos A4sin A＋cos A的值．2．若α为锐角，sinα－cosα＝22，求sinα＋cosα的值．余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是() A．sin(45°－α）＝sin(45°＋α）B．sin2(45°－α）＋cos2(45°＋α）＝1C．sin2(45°－α）＋sin2(45°＋α）＝1D．cos2(45°－α）＋sin2(45°＋α)＝14．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5．已知sinα·cosα＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sinα和cosα．6．已知α为锐角且sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求1－2sinαcosα的值．。
中考数学复习指导：求锐角三角函数值的常用方法
求锐角三角函数值的常用方法一、利用定义，求三角函数值例1 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )(A)(B)(C) (D)分析本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sin A为∠A的对边比上斜边，求出即可．解在△ABC中，故选A．二、巧设参数，求三角函数值例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足等式(2b)2＝4(c＋a)(c－a)及5a－3c＝0，则sin A＋sin B＝________．分析先对等式化简，得到a，b，c的关系后，再求解锐角三角函数的值．三、构造直角三角形，求三角函数值例3 如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，AB＝1，∠ABC是锐角，点E在CD上，且AE上EB，设∠ABE＝x，∠EBC＝y．求sin(x＋y)的值．（用x、y的三角函数表示）分析构造直角三角形，使x＋y这个角放在某一个直角三角形中，再利用三角函数的定义求解，过点A作AH⊥BC交BC于点H，则可求出sin(x＋y)＝DC，由已知条件再依次表示出sin x，c os x，sin y，c os y．因为∠AEB＝90°，∠C＝∠D＝90°，所以可判定△ADE∽△ECB，于是，从而可得问题答案．四、坐标系中求三角函数值例4 在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin∠AOB的值等于( )(A)(B)(C)(D)分析过点A作AC⊥x轴于点C，利用A点坐标为(2，1)可得到OC＝2，AC＝1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．五、网格中求三角函数值例5 如图5所示，则t a n∠BDC值等于_______．分析根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．解根据圆周角的性质，得故答案为．六、利用折叠中的不变量，求三角函数值例6 如图5，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE 对折，使点D正好落在AB边上，求t a n∠AFE．分析结合折叠的性质，易得∠AFE＝∠BCF，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得t a n∠BCF的值，借助∠AFE＝∠BCF，可得t a n∠AFE的值．解由题意，得∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°．根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，即有∠AFE＋∠BFC＝90°，在Rt△BCF中，七、利用增减性，求解三角函数例7 三角函数sin 50°，c os 50°，t a n 50°的大小关系是( )(A)sin50°>c os50°>t a n50°(B)t a n50°>c os50°>sin50°(C)t a n50°>sin50°>c os50°(D)c os50°>t a n50°>sin50°分析首先，根据锐角三角函数的定义可知sin 50°<1，c os 50°<1，再由锐角三角函数的增减性可知，t a n 50°> t a n 45°＝1，从而得出t a n 50°的值最大；然后，由互余两角的三角函数的关系，得出c os 50°＝sin 40°，又sin 50°>sin 40°，从而得出结果．八、利用二次方程的判别式以及根与系数的关系，求三角函数值例8 设α为锐角，x1.x2是关于x的方程8x2－4x－2c os α＋1＝0的两个实数根，且，求c osα的值．分析根据一元二次方程根的判别式，得到c osα的范围，然后利用根与系数的关系求出c osα的值．九、利用几何图形的性质求三角函数值例9 如图6，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sin B的值是( )(A)(B)(C)(D)分析求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连结DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．解连结DC，如图7．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．∴sin B＝sin D＝．故选A．。
求锐角三角函数值的经典题型方法归纳超级经典好用
求锐角三角函数值的经典题型+)超级经典好用(方法归纳．求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法可直接运用锐角三角函数的定当已知直角三角形的两条边，义求锐角三角函数的值．，则=5BC例1 如图1，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，)sin A的值是(121355 )) (C ) (D (A ) (B5131213对应训练：) ( ，则tan的值为190°，若BC＝，ABA=中，∠1．在Rt△ABC C＝515522 ． A ． D B ． C ．552二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．5BC=90°，如果tan A=，那么sin ABC 例2 在△中，∠12的值是．对应训练：31.）tanA的值等于（ A=．在△ABC中，∠C=90°，sin，那么54334.D C. . A． B 3455则AC= ，已．知△中，，3cosB=2，2?5290C??AB．AB=3．cosABAC求△3．已知RtABC中，、和B,90C???BC,A tan,?12?43，OC⊥AB于C点，＝4．已知：如图，⊙O的半径OA16cm??sin?AOC4求：AB 及OC的长．三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等两锐角“角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用”相等，则三角函数值也相等来解决．ABABCRtBCACD边上3 在△°，中，∠是=90例ACDCDBC的值为 =5，=4，则∠的中线，．cos对应训练的直径，是的如图，若的外接圆，是1.OO⊙⊙⊙OABC△AD32，，则的值是（）A．半径为B sin2AC 32．433．． C． DB234落在，使点42. 如图，沿折叠矩形纸片BCABCDAEDA D的值边的点处．已知，则，AB=8,8?ABEFC tan?10∠BCFEB C3434Ｃ．Ｄ．为 ( )Ａ．Ｂ．F 5534为3. 如图6，在等腰直角三角形中，，，ACDABC?6??C?90?AC1( ) ，则上一点，若的长为?tan?DBA AD5． D．．A． B C y22212C A与经过点直径为10的⊙，和点4．如图，A，C，0)(05)O(0xDO yDBx轴右侧圆弧上一点，，轴的正半轴交于点是B题图第8OBC313 C B．．则cos∠的值为（）A．2524．D5Ox轴的正半的顶点为5.如图，角，它的一边在?OAP（3，4点一），则，轴上另一边上有．??sin ABCDDEAB3，⊥的边长为10cm如图，，6.（庆阳中考）菱形， A sin52．则这个菱形的面积= cm ABCCACA的平分线=8=90°，，∠，在7. 如图6Rt△中，∠ABADBCB316.、的长 =求∠的度数及边3B C D．四、构造（直接三角形）法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解，即化斜三角形为直角三角形．）化斜三角形为直角三角形（1sinBABCAABAC的值是=2°，=4，在△例4 ，则中，∠=120( ) BCAD2152173 ())() ( ()147145对应训练：ABCABBCABC的面积等6，＝9，△＝．已知：如图，△1中，B． sin9于，求在△ABC中，∠BAC=90°2．（重庆）如图，在DRt，点的ABCBC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△周长．（结果保留根号））利用网格构造直角三角形（2网格的格例5 如图所示，△ABC的顶点是正方形）的值为（点，则sinA155210 D．．A． B C．25105C对应练习：sin A =_______. 1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则ABC?逆时针绕着点三点在正方形网络线的交点处，若将．如图，A、B、CA2BA'B?AC'B'tan旋转得到的值为（，则）1111 D. C. A.B. 3243．正方形网格中，如图放置，则tan的值是（） AOB∠AOB∠A1Ｃ．Ｄ．Ｂ．Ａ．25525OB4. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点在格点上，ABC△请按要求完成下列各题：CDAD∥BCD）线段（用签字笔画，连接2；（为格点））（1 ．．．的长为CD；若你所选的锐的三个内角中任选一个锐角，（3）请你在ACD△．．值数应的正弦函对，则它所角是tan的BC中点，则CAE∠若是．（4） E为 . 值是三角函数与四边形： 2，BCD=90°，AB=BC=如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠．16 ．AD(2) 求的长BDC= ． (1) 求BD的长； tan ∠3A分别作AE⊥BC于点E，AF中，过点2．如图，在平行四边形⊥CD于点F． ABCD243，，求CF的长．AF2）若AE=4，= DAF∠（1）求证：BAE=∠；（ sin BAE55三角函数与圆：3.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CDEF=BF.，使F上取一个点EC，在B于点O交⊙．（1）求证:BF是⊙O的切线;DE4=9，求BF的长． , 2（）若 cosC5E OD FBC。
求锐角三角函数常用方法
求锐角三角函数常用方法锐角三角函数是三角函数中的一部分，它们是正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域在锐角范围内的部分。
在数学中，常用的锐角三角函数常见方法有：单位圆法、加法公式、倍角公式和倒数关系等。
1.单位圆法：单位圆法是研究锐角三角函数最基本的方法之一、单位圆法的基本思想是，把一个角落在标准位置的角看做单位圆上的一条弧，角的顶点作为圆心，角的边所在的直线成为弧的切线。
这样可以通过单位圆上的坐标来表示角的边上的函数值。
以正弦函数为例，假设角为A，边所在的线段与单位圆交于点P(x,y)。
可以得到如下关系：sin(A) = y2.加法公式：加法公式是指锐角三角函数在角度A和角度B的和角度(A+B)时，对应的函数值之间的关系。
常用的加法公式如下：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))3.倍角公式：倍角公式是指锐角三角函数在角度A的两倍角度2A时，对应的函数值之间的关系。
常用的倍角公式如下：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))4.倒数关系：倒数关系是指锐角三角函数之间的倒数关系。
常用的倒数关系如下：cosec(A) = 1/sin(A)sec(A) = 1/cos(A)cot(A) = 1/tan(A)5.三角函数的特殊值：在锐角三角函数中，特殊的角度对应的函数值是常用的。
常见的特殊角度包括：- sin(0) = 0- cos(0) = 1- tan(0) = 0- sin(30°) = 1/2- cos(30°) = √3/2- tan(30°) = √3/3- sin(45°) = √2/2- cos(45°) = √2/2- tan(45°) = 1除了以上常见的方法外，还有其他一些方法也能在特定的问题中应用。
专题训练(六)求锐角三角函数的四种方法
专题训练(六) 求锐角三角函数的四种方法► 方法一 运用定义求锐角三角函数值1．如图6－ZT －1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，那么sin A 的值为( ) A .34 B .43 C .35 D .45图6－ZT －1 图6－ZT －22．如图6－ZT －2，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线．若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )A .45B .35C .34D .433．a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ∶b ∶c ＝1∶2∶3，则cos B 的值为( )A .63 B .33 C .22 D .244．如图6－ZT －3，△ABC 的顶点都在小正方形组成的网格的格点上，则cos C 的值为( )图6－ZT －3A .12B .32C .55D .2 555．如图6－ZT －4，在△ABC 中， ∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，求sin A ，cos A ，tan A 的值．图6－ZT －46．如图6－ZT －5，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求sin ∠ECM 的值．图6－ZT －5► 方法二 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 7．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin (90°－∠A)的值为( )A .513B .1213C .813D .5128．小明在某次作业中得到如下结果： sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.9945， sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.0018， sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.0000， sin 245°＋sin 245°＝(22)2＋(22)2＝1. 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1. (1)当α＝30°时，说明sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．► 方法三 利用等角求锐角三角函数值9．如图6－ZT －6，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是( )A .13B .617C .55D .1010图6－ZT －6 图6－ZT －710．如图6－ZT －7，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点P ，则tan P ＝________．11．如图6－ZT－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A 作AE⊥CD，AE与CD，CB分别相交于点H，E，且AH＝2CH.(1)求sin B的值；(2)如果CD＝5，求BE的长．图6－ZT－812．如图6－ZT－9，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.(1)求AD的长；(2)求cos∠DBC的值．图6－ZT－9 ►方法四利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值13．若∠A为锐角，且sin A＝32，则cos A的值为()A ．1B .32 C .22 D .1214．在△ABC 中，∠C ＝90°，如果sin A ＝35，那么tan A 的值为( )A .34B .54C .35D .4315．已知tan α＝25，α是锐角，求tan (90°－α)，sin α，cos α的值．16．计算：sin 215°＋cos 215°－cos 30°tan 60°.教师详解详析1．[解析] C 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝32＋42＝5，所以sin A ＝BC AB ＝35.故选C.2．C3．[解析] B 设a ＝k ，则b ＝2k ，c ＝3k ，则a 2＋b 2＝k 2＋(2k )2＝3k 2，c 2＝(3k )2＝3k 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°，∴cos B ＝a c ＝k 3k ＝33.故选B.4．[解析] D 设每个小正方形的边长均为1.如图，过点A 作AD ⊥BC ，交CB 的延长线于点D ，则AD ＝2，CD ＝4，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝22＋42＝2 5，故cos C ＝CD AC ＝42 5＝2 55.5．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5， ∴AC ＝52－32＝4，∴sin A ＝BC AB ＝35，cos A ＝AC AB ＝45，tan A ＝BC AC ＝34.6．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝DM ＝2x ，CD ＝4x ， ∴CE ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，EM ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，CM ＝（2x ）2＋（4x ）2＝2 5x ， ∴EM 2＋CM 2＝CE 2，∴△CEM 是直角三角形，且∠CME ＝90°，∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝55.7．A8．[解析] (1)将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得； (2)α和90°－α互余，由此可在直角三角形中根据勾股定理验证．解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝1.(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，则∠B ＝90°－α.∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB2＝1.9．[解析] D 如图所示，过点A 作AD ⊥l 1于点D ，交l 2于点F ，则AF ⊥l 2，过点B 作BE ⊥l 1于点E ，设l 1和l 2之间的距离为1，则l 2和l 3之间的距离也为1.∵∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE .在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝CB .在△ACD 和△CBE 中，∵⎩⎨⎧∠CAD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE ， ∴CD ＝BE ＝1.在Rt △ACD 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝5，在等腰直角三角形ABC 中， AB ＝AC 2＋CB 2＝10，∴sin α＝sin ∠ABF ＝AF AB ＝110＝1010.10．[答案] 43[解析] ∵∠ACD ＝∠BAC ＋∠ABC ，CP 平分∠ACD ， BP 平分∠ABC ，∠PCD ＝∠PBC ＋∠P ， ∴2(∠PBC ＋∠P )＝∠BAC ＋∠ABC ， ∴∠P ＝12∠BAC .如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵AB ＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC .∵∠P ＝12∠BAC ，∴∠P ＝∠BAE .在Rt △BAE 中，由勾股定理，得AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3， ∴tan P ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.11．解：(1)∵在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝AD ＝BD ，∴∠DCB ＝∠B . ∵AE ⊥CD ，∴∠AHC ＝90°， ∴∠ACD ＋∠CAH ＝90°.∵∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∴∠DCB ＝∠CAH ，∴∠B ＝∠CAH . 在Rt △ACH 中，AH ＝2CH ，∴AC ＝5CH .∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝CH 5CH ＝55.(2)由(1)知sin B ＝55. ∵CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝2 5， ∴AC ＝2，∴BC ＝AB 2－AC 2＝4. ∵∠B ＝∠CAH ，∴sin ∠CAH ＝CE AE ＝55，∴AE ＝5CE ，由CE 2＋AC 2＝(5CE )2， 解得CE ＝1， ∴BE ＝BC －CE ＝3.12．解：(1)设AD ＝x ，则CD ＝1－x . ∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠A ＝36°， ∴∠BDC ＝∠C ＝72°，BD ＝AD ， ∴BC ＝BD ＝AD ＝x ，△ABC ∽△BCD ， ∴AB BC ＝BCCD，∴BC 2＝AB ·CD ， 即x 2＝1－x ，解得x ＝5－12(负值已舍去)． 即AD ＝5－12. (2)过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵BD ＝AD ，∴AE ＝BE ＝12.在Rt △ADE 中，cos ∠DBC ＝cos A ＝AEAD ＝5＋14.13．D14．[解析] A ∵sin A ＝35，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，∴tan A ＝sin A cos A ＝3545＝34.故选A.15．解：如图所示，tan B ＝tan α＝25.设AC ＝2x ，则BC ＝5x ，则AB ＝29x ， ∴tan(90°－α)＝tan A ＝5x 2x ＝52，sin α＝AC AB ＝2x 29x ＝22929，cos α＝BC AB ＝5x 29x ＝52929.16．解：原式＝1－32×3＝－12.。
(完整版)求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )(A )513 (B )1213 (C )512 (D )135 对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为( )A ．5 B ．25 C ．12D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =512，那么sin B 的值是 ． 对应训练：1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 432．已知△ABC 中，ο90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ．3．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC求：AB 及OC 的长．D C B A Oyx第8题图AD ECBF三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．432. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．224． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ．12 B ．32 C ．35D ．455.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则sin α= ．6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2．7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABCCBA四、构造（直接三角形）法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角 形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解，即化斜三角形为直角三角形． （1）化斜三角形为直角三角形例4 在△ABC 中，∠A =120°，AB =4，AC =2，则sinB 的值是( )(A )5714 (B )35 (C )217 (D )2114对应训练：1．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．2．（重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）（2）利用网格构造直角三角形例5 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12 B ．55 C ．1010D ．255 1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为（ ）A.41B.31C.21D.13．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tan AOB∠的值是（）Ａ．5Ｂ．25Ｃ．12Ｄ．24. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC△的三个顶点在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为；（3）请你在ACD△的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是．（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 .三角函数与四边形：1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=63．(1) 求BD的长；(2) 求AD的长．2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE∠=，求CF的长．三角函数与圆：3.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF. （1）求证:BF是⊙O的切线;（2）若54Ccos=, DE=9，求BF的长．ABO。
专题01求直角三角形锐角三角函数的方法（解析版）
九年级数学下册解法技巧思维培优•建01未直角三京形锐角三南南敷的方法睡。
直接运用定义求锐角三角函数值2扼【典例1】（2019•金堂校级期末）如图，RtHC中，官=9。
，且AC=1,BC=2,则前心=_亨一【点拨】根据勾股定理先得出AB,再根据正弦的定义得出答案即可.【解析】解：・.NC=90。
，.*.ac2+bc2=ab2,VAC=1,BC=2,.'.AB=V5;/.sinZA=BC_2_2/5丽=71='故答案为【典例2】（2019・镇海区一模）如图，直线尸淑+3与X、y轴分别交于A、8两点，则cos ZBA。
的值【点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标，得到。
4、的长，根据勾股定理求出A8,根据余弦的定义解答即可.【解析】解：当工=0时，y=3,当y=0时，尤=-4,直线y=jx+3与x、y轴的交点A的坐标（-4,0）、B（0,3）,：.OA=4,OB=3,由勾股定理得，AB=5,则cosZBAO=器=§，故选：A.【典例3】（2019«咸宁模拟）如图，P（12,a）在反比例函数＞=乎图象上，PH±x轴于H,则tanZPOH 的值为77.【点拨】利用锐角三角函数的定义求解,tanZPOH为ZPOH的对边比邻边，求出即可.【解析】解：罹（12,a）在反比例函数＞=乎图象上，'：PH_Lx轴于H,:.PH=5,OH=n,：.tan ZPOH^故答案为：二.【典例4】（2019・成都月考）如图，在正方形A3CQ中，M是AD的中点，BE=3AE,试求sinZ£CM的【点拨】依题意设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解.【解析】解：设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=2x,C£>=4x,:.EC=J(3x)2+(4x)2=5x,EM=yjx2+(2%)2=V5x,CM=J(2x)2+(4x)2=2底,:.EAT+Cl^^CE1,:4CEM是直角三角形,smZECM=^=^-.睡昌利用等角转换求锐角三角函数值【典例5】（2019-雁塔区校级月考）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB于点O,BC=3,AC=4,则cosZDCB的值为（)【点拨】先利用勾股定理计算出AB=5,再利用等角的余角得到ZA=ZDCB,然后根据余弦的定义求出cosA即可.【解析】解：在中，AB=VBC2+AC2=V32+42=5,CD1AB,:.ZDCB+ZB=90°,f®ZA+ZB=90°,・.・ZA=ZDCB f.AC4而c°sA=丽=宁4/.cos ZDCB=§・故选：B.【典例6】（2019-兰州模拟）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经过CD上点E反射后照到3点，若入射角为a（入射角等于反射角），AC L CD,BDVCD,垂足分别为C,D,且AC=3,BD=4,CD=11,则tana的值为（）【点拨】根据反射的性质，可得伍根据余角的性质，可得Z1与22的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得CE的长，根据正切函数，可得答案.【解析】解:设CE的长为x,如图，由入射角等于反射角，得由余角的性质，得Z1=Z2.由AC L CD,BDLCD,得ZACE=ZBDE,△ACEs/XB庞，AC CE34--=,艮|3—=-----,BD DE x11-x解得》=苧由题意，得33tanot—tan匕A=故选：D.1【典例7】（2019-太仓市期末）如图，在左ABC中，AB=AC=5,BC=8.^ZBPC=^ZBAC f则sinZ4BPC=-.一5一【点拨】先过点A作AE±BC于点E,求得ZBAE=^ZBAC,故ZBPC=ZBAE.再在RtABAE中，利用锐角三角函数的定义，求得sinZ J BPC=sinZBA£=【解析】解：过点A作AELBC于点E,•..AB=AC=5,111.•典=如。
求锐角三角函数值常用方法
求锐角三角函数值常用方法求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考.一、直接用锐角三角函数的定义例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （ ）. A 、54 B 、53C 、43 D 、34分析 由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB =22BC AC + = 10, ∴sinA =54 故选A.二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A 为锐角，且sinA = 23，则cosA = ( ) A 、1 B 、23 C 、22D 、21分析 本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得.cosA = A 2sin 1- = 2)23(1-= 21故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA =32, 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA =即cotA = 32.三、用等角来替换例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.析解 ：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = ABBC,只要求出AB 即可.在Rt △ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5.∴sinA =53 ∴sina = 53四、构造直角三角形例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 23,求∠BCD 的四个三角函数值.分析 为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA =23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 23a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出.解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA =23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 23a. 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE =22DE CD +=22)23()2(a a +=25a , ∴sin ∠BCD =CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =54tan ∠BCD =CD DE =43, cot ∠BCD =DE CD =34锐角三角函数走进中考一、利用概念进行判断在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=ab 。
典中点解直角三角形专训1 求锐角三角函数数值的常用方法
典中点解直角三角形专训1 求锐角三角函数数值的常用方法◐名师点金◑锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系,对于斜三角形,要把它转化为直角三角形求解.在求锐角的三角函数值时,首先要明确是求锐角的正弦值、余弦值,还是正切值,其次要弄清是哪两条边的比。
方法1：直接用角三角面数的定义1.如图在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,若CD=5,AC=6,则tanB 的值是( ) A. 54 B.53 C.43 D.342. 如图,在△ABC 中,AD ⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan ∠BAD=43, 求sinC 的值.3.如图,直线y=2321 x 与x 轴交于点A,与直线y=2x 交于点B. (1)求点B 的坐标;(2)求sin ∠BAO 的值.方法2：利用同角或互余两角三角函数间的关系4若∠A 为锐角,且sinA=23,则cosA=( ) A.1 B.23 C.22 D.21 5若a 为锐角,且cosa=1312,则sin(90°-a)=( )A.135B. 1312C. 125D. 512 6.若a 为锐角,且22cos sin a 30°=1,则a =________.方法3：巧设参数7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若smA=54,则tanB 的值为( ) A.34 B.43 C.53 D.54 8.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c,且a,b,c 满足2b =(c+a)(c-a).若5b-4c=0,求sinA+sinB 的值.方法4：利用等角来替换9.如图,已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB 上的中线,过点A 作AE ⊥CD,AE 分别与CD,CB 相交于点H,E,且AH=2CH,求sinB 的值.。
专题——求锐角三角函数值的常用方法+课件+2024-2025学年鲁教版(五四制)九年级数学上册
【解】连接 EF，设 CF＝k. 则 CD＝AD＝AB＝BC＝4k，∴DF＝3k. ∵E 为 BC 的中点，∴BE＝EC＝2k，
根据勾股定理，得 AF＝5k，EF＝ 5k，AE＝2 5k，
∴EF2＋AE2＝25k2＝AF2. ∴△AEF 是直角三角形，且∠AEF＝90°.
∴sin∠EAF＝EAFF＝ 55kk＝ 55，
(2)利用(1)中的结论，解答下面问题：已知∠α 与∠β 互余， sin α＝25，求 sin β 的值． 【解】∵∠α 与∠β 互余，∴sin2α＋sin2β＝1， ∴sin β＝ 1－sin2α＝
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6.如图，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，点 F 在 CD 边上，且 CF＝14CD，求∠EAF 的正弦值、余弦值．
的面积为 5，则 sin ∠CEF 的值为( )
A．35 C．45
B．
5 5
D．2 5 5
【点拨】连接 BF. ∵CE 是斜边 AB 上的中线，EF⊥AB， ∴EF 是 AB 的垂直平分线． ∴AF＝BF，S△ AFE＝S△ BFE＝5. ∴∠FBA＝∠A，S△AFB＝10＝12AF·BC. ∵BC＝4，∴AF＝BF＝5. 在 Rt△ BCF 中，BC＝4，BF＝5，∴CF＝ 52－42＝3.
cos∠EAF＝AAEF＝2
5k5k＝2 5
5 .
【点方法】当出现边与边的比时，可引入参数，用 这个参数表示三角形三边长，再用定义求解．
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7.如图，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，D 是 AC 的中点， AC＝8，tan A＝12，求 sin∠ABD 的值.
【解】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵D 是 AC 的中点，∴AD＝CD＝12AC＝12×8＝4. ∵在 Rt△ABC 中，tan A＝BACC＝12，AC＝8，∴BC＝4. ∴BD2＝CD2＋BC2＝32，∴BD＝4 2.
初中锐角三角函数解题方法
正弦余弦定义
三角形 内角和
正弦 余弦
定义 计算 解题
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正切定义
1. 正 切 函 数 在 何 种 情 况 下 有 定 义 ： 由 于 正 切 函 数 的 定 义 式 是 tanθ=sinθ/cosθ，所以当θ对应的余弦值为零时，正切函数无定义。 2. 正切函数的周期性：正切函数是奇函数，即f(-θ)=-f(θ)，具有π的周期性， 也就是tan(θ+π)=tanθ。 3. 正切函数的值域：正切函数的值域为实数集R，也就是说，它可以取到任 意实数值。
$[-11]$，而其值域是$[90^\circ90^\circ]$因此，若$a$在$[11]$之间，那么$x$就在$[-90^\circ
02
利用反三角函数解决值域问题
在初中锐角三角函数的中，需要注意以 下几点：
sin、cos函数值域均为[-1, 1]，当角度 为°时取到最小值-1，为90°或270°时取 到最大值1，因此在解题时需要注意根
正弦函数
一、正弦函数是以 y = sinx 形式表达的函数，表示角 x 的正弦值为函数值，其中 x 是以弧度为单位的角。 二、 正弦函数的定义域为实数集，值域为 [-1,1]，且在整个定义域内具有周期性。
正弦函数的解题技巧：
一、 根据三角函数定义和性质进行换元：通过代入不同的变量和角度值，将三角函 数转化为更简单易解的形式。 二、 运用正弦函数的周期性：在解题过程中遇到周期性的问题，可运用正弦函数的 周期性，进行变形和化简，以达到解题的目的。
据题目给出的角度范围进行判断。
03
初中锐角三角函数解题技巧
周期变换
周期的求法和利用
•锐角三角函数的周期是指它们的函数值在一定区间内重复出现的长度。对于正弦函数 和余弦函数来说，它们的周期都是2π。而正切函数和余切函数的周期则是π。学生可 以通过掌握这些基本概念，理解周期的概念和求法。并且，周期的性质在解题中也有 很大的帮助，例如，可以通过周期的知识，将某些三角函数题目转化为相同的函数形 式，从而方便计算和答题。
锐角三角函数专题十九求锐角三角函数的常用方法作业课件++2023-2024学年人教版九年级数学下册
一、定义法求锐角三角函数
1．(2022·仙桃)由 4 个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的
Hale Waihona Puke 顶点称为格点，点 A，B，C 都在格点上，∠O＝60°，则 tan ∠ABC＝( C )
A．13
B．12
C．
3 3
D．
3 2
2．如图，△ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点 E，连接 BE.若 BE 2
解 ： (1) 连 接 OC ， ∵ AB 是 直 径 ， ∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OC ＝ OB ， ∴ ∠ OCB ＝ ∠ OBC ， ∵ ∠ BCD ＝ ∠ BAC ， ∴ ∠ OCB ＋ ∠ DCB ＝ 90° ， ∴ OC⊥CD ， ∵ OC 为 ⊙ O 的 半 径 ， ∴ CD 是 ⊙O的切线
＝9，BC＝12，则 cos C＝____． 3
3．在△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边，若 b2＝ac， 5－1
则 sin A 的值为_____2______．
二、设参法求锐角三角函数
4．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝45 ，则 tan B 的值为( D )
解：根据图形有：∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，得∠EFC＝∠EDC＝90°，即∠AFE＋
∠BFC＝90°，在 Rt△BCF 中，∵∠BCF＋∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，根据折叠的性质，得 CF＝CD＝10，
∴BF ＝
CF2－BC2
＝ 6 ， ∴sin
∠BCF
＝
3 5
专训1 求锐角三角函数值的常用方法
专训1 求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义1．如图，在△中，是斜边上的中线，若＝5，＝6，(第1题)则 B的值是( )2．如图，在△中，⊥，垂足是D，若＝14，＝12，∠＝，求 C的值．(第2题)3．如图，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.求：(1)点B的坐标；(2)∠的值．(第3题)利用同角或互余两角三角函数间的关系4．若∠A为锐角，且 A＝，则 A＝( )A．15．若α为锐角，且α＝，则(90°－α)＝( )6．若α为锐角，且2α＋230°＝1，则α＝．巧设参数7．在△中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－4c＝0，求 A＋ B的值．利用等角来替换8．如图，在矩形中，M为上一点，F是的中点，⊥，垂足为F，交于点E.(1)求证：∠＝∠；(2)若＝4，＝6，∠＝，求的长．(第8题)答案1．C2．解：∵⊥，∴∠＝.∵∠＝，＝12，∴＝，∴＝9.∴＝－＝14－9＝5，∴在△中，＝＝＝13，∴ C＝＝.3．解：(1)解方程组得∴点B的坐标为(1，2)．(第3题)(2)如图，过点B作⊥x轴于点C，则＝1，＝2.由x＋＝0，解得x＝－3，则A(－3，0)，∴＝3，∴＝4.∴＝＝2，∴∠＝＝＝，即∠＝.4．D5 6.30°7．解：∵b2＝(c＋a)(c－a)，∴b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，∴△是直角三角形．∵5b－4c＝0，∴5b＝4c，∴＝，设b＝4k，c＝5k，那么a＝3k.∴ A＋ B＝＋＝.8．(1)证明：∵四边形是矩形，∴∠B＝∠＝90°.∵⊥，∴∠＝90°.∴∠＋∠＝∠＋∠＝90°.∴∠＝∠.(2)解：在△中，∵∠B＝90°，＝4，∠＝，∴＝5.∵F为的中点，∴＝.∵∠＝∠，∴∠＝∠＝.∴∠＝.在△中，∵∠＝90°，＝，∠＝，∴＝.∴＝－＝6－＝.。