第五章测试装置的基本特性2

T
即：
Rx (τ ) = Rx (−τ )
自相关函数的性质(5) 自相关函数的性质(5)
5) 周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数 周期函数的自相关函数仍为同频率 同频率的周期函数
1 T Rx (τ + nT ) = lim ∫ x(t + nT ) x(t + nT + τ )d (t + nT ) T →∞ T 0 1 T = lim ∫ x(t ) x(t + τ )d (t ) = Rx (τ ) T →∞ T 0
例2.1 求正弦函数 x ( t ) = x 0 sin( ω t + ϕ )的自相关函数 解： Rx (τ ) = 1 T x (t ) x (t + τ )dt ∫
T
0
记
1 T 2 = ∫0 x0 sin(ω t + ϕ ) sin[ω (t + τ ) + ϕ ]dt T
把 T = 2π ω
速度v 当可调延时 等于钢带上某 点在两个测点 之间经过所需 的时间时， 的时间时，互 相关函数为最 大值。 大值。所测钢 带的运动速度 为
x(t )
可调延迟
y (t )
Rxy (τ )
相关器
τd
0
v = d τd
Rxy (τ )
τ
信号的相关分析 相关分析在故障诊断中的应用
x1(t)
x2(t)
τ s t
＝0
同频函数具有相关性；即同频相关， 同频函数具有相关性；即同频相关，不同频不想关
7）周期信号与随机信号的互相关函数为零 ）
求两个同频率的正弦函数的互相关函数。 例题 求两个同频率的正弦函数的互相关函数。
x (t ) = x 0 sin(ωt + ϕ )
y (t ) = y0 sin(ωt + ϕ − θ )
信号的相关分析 钢带运动速度的非接触测量
d
钢带 其测试系统由 性能相同的两组 光电池、透镜、 光电池、透镜、 可调延时器和相 关器组成。 关器组成。当运 动的热轧钢带表 面的反射光经透 镜聚焦在相距为d 镜聚焦在相距为 的两个光电池上 时，反射光通过 光电池转换为电 信号， 信号，经可调延 时器延时， 时器延时，再进 行相关处理。 行相关处理。 透镜 光电池
因为信号是周期函数， 解： 因为信号是周期函数，可以用一个共同周 期内的平均值代替其整个历程的平均值， 期内的平均值代替其整个历程的平均值，故
1 T R xy (τ ) = lim ∫0 x ( t ) y ( t + τ ) dt T→∞ T 1 T = ∫0 x 0 sin( ω t + ϕ ) y 0 sin[ ω ( t + τ ) + ϕ − θ ) dt T 1 = x 0 y 0 cos( ωτ − θ ) 2
例如， 例如，玻璃管温度计液 面高度(Y)与环境温度 与环境温度(x) 面高度 与环境温度 的关系就是近似理想的 相关指变量之间的相依关系， 相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数 线形相关， 线形相关，在两个变量 来描述变量x， 之间的相关性 之间的相关性。 来描述变量 ，y之间的相关性。 ρ xy是两随机变量之积的 相关的情况下， 相关的情况下，可以用 其中一个可以测量的量 数学期望，称为相关性，表征了x、 之间的关联程度 之间的关联程度。 数学期望，称为相关性，表征了 、y之间的关联程度。 的变化来表示另一个量 σxy E[( x−µx )( y−µy )] 的变化。 的变化。
2 2 2 R 1） x (τ )值的限制范围为： µ x − σ x ≤ Rx (τ ) ≤ µ x + σ x ） 值的限制范围为： 2
2 Rx (τ ) − µ x 2 σx
由式 ρ x (τ ) = 又因
ρ xy ≤ 1
得 Rx (τ ) = ρ x (τ )σ x2 + µ x2
2 µx 2 −σ x
µ x µ y − σ xσ y ≤ Rxy (τ ) ≤ µ x µ y + σ xσ y
由式
ρ xy (τ ) =
Rxy (τ ) − µ x µ y
σ xσ y
得：
Rxy τ ) = µ x µ y + ρ xy (τ )σ xσ y
因为|
ρ xy (τ ) ≤ 1 ，故知
µ x µ y − σ xσ y ≤ Rxy (τ ) ≤ µ x µ y + σ xσ y
R yx ( −τ )
Rxy (τ )
−τ 0
τ0
3） xy (τ ) 的峰值不在 τ = 0 处，其峰值偏 ） R 离原点的位置反映了两信号时移的大小， 离原点的位置反映了两信号时移的大小， 相关程度最高，如图所示。 相关程度最高，如图所示。
4）互相关函数的限制范围： ）互相关函数的限制范围： 互相关函数的限制范围为： 互相关函数的限制范围为：
S=
1 vτ m 2
相 关 分 析 及 应 用
传输通路分析
书上有错
自相关函数的性质(4) 自相关函数的性质(4)
4) 自相关函数为偶函数 证明： 证明：
1 Rx ( −τ ) = lim T →∞ T 1 = lim T →∞ T = Rx (τ )
T
Rx (τ ) = Rx ( −τ )
∫0 x(t ) x(t − τ )dt ∫0 x(t + τ ) x(t + τ − τ )d (t + τ )
二、 自相关分析
x (t ) 是某一随机信号， 是某一随机信号， x (t + τ ) 是 x (t) 时移 τ 后的样本 两个样本的相关程度 可以用相关系数来表 示。将相关系数 ρ x ( t ) x ( t + τ )简写为 ρ x ( τ )
1 lim T →∞ T ρ x (τ ) = 1 lim = T→∞ T
5) 两个不同频率的周期信号，其互相关为零 两个不同频率的周期信号，
1 T Rxy (τ ) = lim ∫ x (t ) y (t + τ )dt T →∞ T 0 1 T = lim ∫ x0 y0 sin(ω1t + θ1 ) sin[(ω 2 (t + τ ) + θ 2 ]dt T →∞ T 0
的范围: ，Rx (τ ) 的范围:
≤ Rx (τ ) ≤
2 µx
2 +σ x
自相关函数的性质(2) 自相关函数的性质
2)
2 大，并等于信号的均方值 ψ x 。
值不同， 不同， R R τ 值不同， (τ ) 不同，当 τ = 0时， (τ ) 的值最
x
x
1 T 2 2 2 2 Rx (0) = lim ∫ x (t )dt = ψ x = σ x + µ x 最大值: 最大值: T →∞ T 0
σ xσ y
1 T lim x(t ) y (t + τ )dt − µ x µ y R (τ ) − µ µ 0 T →∞ T ∫ xy x y = =
σ xσ y
σ xσ y
2.互相关函数的性质 2.互相关函数的性质
互相关函数是可正、可负的实函数( 1）互相关函数是可正、可负的实函数( x(t) 、y(t) 为正负实函数) 为正负实函数)。 互相关函数非偶函数、 2）互相关函数非偶函数、亦非奇函数
2 x0 Rx (τ ) = 2π
ω t+ ϕ = θ
2π
代入上式得
∫
0
2 x0 sin θ sin(θ + ωτ )dθ = cos ωτ 2
正弦函数的自相关函数是一个余弦函 时具有最大值。 数，在τ=0时具有最大值。 时具有最大值 它保留了幅值信息和频率信息,但丢失 它保留了幅值信息和频率信息 但丢失 了原正弦函数中的初始相位信息。 了原正弦函数中的初始相位信息。
R xy (τ ) = R yx ( −τ )
1 T 1 T Rxy (τ ) = lim ∫ x(t ) y (t + τ )dt = lim ∫ x(t − τ ) y (t )dt T →∞ T 0 T →∞ T 0 1 T = lim ∫ y (t ) x(t − τ )dt = R yx (−τ ) T →∞ T 0
提取周期性转速成分。 提取周期性转速成分。
三.互相关分析
1.互相关函数的概念 互相关函数的概念
互相关函数（对于各态历经信号） 互相关函数（对于各态历经信号）
1 Rxy (τ ) = lim T →∞ T
∫0 x(t ) y (t + τ )dt
T
互相关系数(时移为 互相关系数 时移为τ )
1 T lim [( x(t ) − µ x )( y (t + τ ) − µ y )]dt 0 T →∞ T ∫ ρ xy (τ ) =
T
2 Rx (τ ) − µ x 2 σx
记
周期信号： 周期信号： 非周期信号： 非周期信号：
1 T Rx (τ ) = ∫ x (t ) x (t + τ )dt T 0
Rx (τ ) = ∫
∞ −∞
x (t ) x (t + τ )dt
2、自相关函数的性质 、
自相关函数的性质(1) 自相关函数的性质
∫0 ∫0
T
[ x ( t ) − µ x ][ x ( t + τ ) − µ x ] dt
σ
T
2 x
2 x ( t ) x ( t + τ ) dt − µ x
σ
2 x
1、自相关函数定义
1 自相关函数定义: 自相关函数定义 Rx (τ ) = lim T →∞ T
ρ x (τ ) =
∫ 0 x(t ) x(t + τ )dt