安徽省六安市第一中学2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题理含解析
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2021-2022学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题 1．计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --【答案】B【详解】试题分析：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+ 【解析】复数运算2．独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（ ）A ．2021年我国独角兽企业共有170家B ．京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家C ．独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半D ．各行业独角兽企业数量的中位数为13 【答案】C【分析】根据给出的图中信息依次分析选项即可. 【详解】对于选项A ，将图中各行业数量加和， 可知2021年我国独角兽企业共有170家，故A 正确；对于选项B ，京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%，1700.7119⨯=家，故B 正确；对于选项C ，独角兽企业最多的三个行业为电子商务、汽车交通、人工智能， 共有73家，未超过一半，故C 错误；对于选项D ，将各行业的企业数量从小到大排列，中位数为13正确. 故选：C3．在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）． ①αβ、都垂直于平面r ，那么αβ∥ ②αβ、都平行于平面r ，那么αβ∥ ③αβ、都垂直于直线l ，那么αβ∥④如果l 、m 是两条异面直线，且l α∥，m α，l β，m β，那么αβ∥ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误； 由平面平行的传递性可知②正确； 由线面垂直的性质可知③正确；过直线l 做平面γ与αβ、分别交于12,l l ，过直线m 做平面χ与αβ、分别交于12,m m ， 因为l α∥，l β，所以12,ll ll ，所以12l l ∥因为1l β⊄，2l β⊂，所以1l β同理，1m β又l 、m 是两条异面直线，所以12,l l 相交，且1l α⊂，1m α⊂ 所以αβ∥，故④正确. 故选：D4．已知4,62a a b =⋅=-，且向量a 在向量b 上的投影向量为22，则b 的模为（ ） A ．1 B ．22C ．3 D ．9【答案】C【分析】根据投影向量的公式计算即可 【详解】由题，设,a b 的夹角为θ，则cos a b a bθ⋅=，故22623b b-=，解得3b = 故选：C5．已知一组数据m ，n ，2-，1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C【分析】根据已知可得4n m =-，再根据方差公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：由题意得21134667310m n +-+++++++=⨯，得4n m =-， 所以这组数据的方差2s =22(3)(3)254401991610m n -+-++++++++ 222(3)(1)68(2)357105m m m -+-+-+==≥，所以这组数据方差的最小值为7. 故选：C.6．在ABC ，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos cos a A B b A a A +=，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．.等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】D【分析】由正弦定理边角互化得2sin cos cos sin cos sin cos A A B B A A A +=，进而移项整理得()sin sin cos 0A B A A ⎡⎤+-=⎣⎦，再结合()()sin sin C A B π-=+得sin sin C A =或cos 0A =，进而得答案.【详解】解：根据正弦定理边角互化得2sin cos cos sin cos sin cos A A B B A A A +=， 所以()sin cos sin cos sin cos 0A B B A A A +-=， 所以()sin sin cos 0A B A A ⎡⎤+-=⎣⎦，所以()sin sin cos 0C A A π⎡⎤--=⎣⎦，即[]sin sin cos 0C A A -=， 所以sin sin C A =或cos 0A =， 所以c a =或2A π=，即ABC 的形状是等腰或直角三角形.故选：D7．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且60BOC ∠=︒，点M 是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是（ ）A ．13B ．74C ．34D ．32【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，分别得到,AB CM ，然后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC ，OS 分别为y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2OC =，则根据题意可得()0,2,0A -，)3,1,0B，()0,2,0C ，(0,3M -，所以()3,3,0AB =，()0,3,3CM =-，设异面直线AB 与CM 所成角为θ， 则()3033033cos cos ,43993AB CM θ⨯+⨯-+⨯===+⋅+. 故选：C .8．如图，在菱形ABCD 中，433AB =，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为22，若P ，Q 分别为线段BD ，CA 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．平面ABD ⊥平面BCDB ．线段PQ 2C ．当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQ 14 D ．当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD 6【答案】C【分析】取BD 的中点O ，易知,OA BD OC BD ⊥⊥，结合条件及线面垂直的判定定理可得OA ⊥平面BDC ，进而有平面ABD ⊥平面BDC ，即可判断A ；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.【详解】取BD 的中点O ，连接,OA OC ， ∵在菱形ABCD 中，43AB =60BAD ∠=︒， ∴2OA OC ==，又22AC = ∴222OA OC AC +=，所以OA OC ⊥， 又易知,OA BD OC BD ⊥⊥， 因为OA OC ⊥，OA BD ⊥，OC BD O =，所以OA ⊥平面BDC ， 因为OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BDC ，故A 正确；以O 为原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()()2323,0,2,0,0,0,2,B C A D ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当AQ QC =，4PD DB =时，()0,1,1Q ，3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 33PQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以点D 到直线PQ 的距离为121373PQ DP d PQ⋅===，故C 错误； 设(),0,0P a ，设()0,2,2CQ CA λλ==-，可得()0,22,2Q λλ-，()()222221222822PQ a a λλλ⎛⎫+-++-+ ⎪⎝⎭当10,2a λ==时，min 2PQ B 正确； 当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，()0,0,0P ，()0,1,1Q ，()0,1,1PQ =，232AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设PQ 与AD 所成的角为θ， 则6cos 1623PQ AD PQ ADθ⋅==⋅⨯，所以PQ 与AD 6D 正确； 故选：C.二、多选题9．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则（ ） A ．||2a b +=B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b +=【答案】BC【分析】对于A 和D ，利用向量模的坐标公式进行判断；对于B ，先利用a b +进行平方结合,a b 是单位向量可得到0a b ⋅=即可判断；对于C ，先算出a b -，然后利用向量夹角公式进行判断即可【详解】解：对于A 和D ，因为(1,1)a b +=-，所以(21a b +=+，故A 和D 错误；对于B ，因为()22222a b a b a b +=++⋅=，且1,1a b ==，所以0a b ⋅=，所以a 与b 垂直，故正确；对于C ，因为22222a b a b a b --=+⋅=，所以2a b =-，所以()21cos ,2a a ba ab a a b a a ba a b⋅--⋅-====⋅-⋅- 因为[],0,a a b π-∈，所以,4a ab π-=，故正确，故选：BC10．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ） A ．甲与乙互斥 B ．乙与丙互斥 C ．甲与乙独立 D ．甲与乙对立【答案】BC【分析】结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项. 【详解】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次. 基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A 错误. 事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B 正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A 表示事件甲，用B 表示事件乙，()()()111,,224P A P B P AB ===，则()()()P AB P A P B =，所以甲与乙独立，C 正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件. 故选：BC11．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，下列说法正确的是（ ）A ．若30,5,2A b a ===，则ABC 有2解；B ．若A B >，则cos cos A B <；C ．若cos cos cos 0A B C >，则ABC 为锐角三角形；D ．若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【答案】BCD【分析】利用正余弦定理都每项逐一判断即可【详解】对于A ，由正弦定理可得：sin sin a b A B= ，15sin 52sin 124b A B a ⨯∴===>， 此时ABC 无解，A 错误；对于B ，A B > ，sin sin A B ∴> ，根据同角三角函数基本关系式可知cos cos A B <，故B 正确；对于C ，cos cos cos 0A B C >，cos 0cos 0cos 0A B C >⎧⎪∴>⎨⎪>⎩ ，可知,,A B C 均为锐角，故ABC 为锐角三角形，故C 正确；对于D ，cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，由余弦定理可得：22222222a c b b c a a b c cac bc+-+--=-, 整理得：222()()0a b a b c -+-=，0a b ∴-=或2220a b c +-= 即a b =或222+=a b c ，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形，故D 正确故选：BCD12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则（ ）A ．三棱锥1B EFG -的体积为定值B ．线段1A D 上存在点G ，使1AC ⊥平面EFG C ．线段1AD 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACDD ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为223【答案】ABD【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A 正确．对于B, 如图所示, 以D 为坐标原点, DA 为x 轴, DC 为y 轴, 1DD 为z 轴, 建立空间直角坐标系, 则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D , ()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ，所以 ()12,2,2AC =-，()2,2,0AC =-，()12,0,2AD =-，()1,0,1EF =- 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ所以()21,2,22EG λλ=---，()22,2,21FG λλ=---1A C ⊥平面EFG 11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⇔⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩解之得14λ=当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG .故B 正确 对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z = 则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =得 ()11,1,1n =设平面 EFG 的法向量 ()2222,,n x y z =, 则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩ 取 21x =, 得 21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭, 平面1ACD //平面EFG ⇔12//n n 设 12n kn =, 即 ()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭, 解得 451,k λ==，01λ≤≤，不合题意∴ 线段1B C 上不存在点G , 使平面EFG //平面1BDC ，故C 错误．对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n = 则2sin 8FG n FG nθλ⋅==-因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥所以sin θ=≤=所以sin θ．故D 正确． 故选：ABD三、填空题13．若复数1213i,3i Z Z =+=-（其中i 为虚数单位）所对应的向量分别为1OZ 和2OZ ，则12OZ Z 的面积为_______．【答案】 5【分析】求出向量1OZ 和2OZ 的坐标，再利用向量模和垂直的坐标表示即可求解作答.【详解】依题意，1(1,3)OZ =，2(3,1)OZ =-，则21||1OZ =22||310OZ =，而1231(1)30OZ OZ ⋅=⨯+-⨯=，则12OZ OZ ⊥，所以12OZ Z 的面积为1212||11||1010522OZ Z OZ OZ S ==⨯=. 故答案为：514．如图所示，已知四面体顶点(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -和(5,4,8)D --，则从顶点D 所引的四面体的高h =__________．【答案】11【分析】求出,AB AC ，AD ，然后算出平面ABC 的一个法向量n ，通过点到面的距离公式即可得到答案【详解】解：因为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，(5,4,8)D -- 所以()()2,2,3,4,0,6AB AC =--=，()7,7,7AD =-- 设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，所以2230460AB n x y z AC n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令3x =-，则2,6z y ==-，所以()3,6,2n =--， 所以D 到平面ABC 的距离为77117AD n d n⋅===，即从顶点D 所引的四面体的高11h =，故答案为：1115．己知数据123,,,,n x x x x ⋯的平均数为10，方差为2，则数据12321,21,21,,21n x x x x ---⋯-的平均数为a ，方差为b ，则a b +=___________．【答案】27【分析】利用平均数和方差的线性关系的性质直接求出a 、b ，即可求出a +b . 【详解】数据123,,,,n x x x x ⋯平均数为10，所以数据121x -，221x -，⋯，21n x -的平均数为2101=19⨯-，即a =19； 数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为2，所以数据12321,21,21,,21n x x x x ---⋯-的方差为222=8⨯，即b =8， 所以a b +=19+8=27. 故答案为：27.16．如图，四边形ABCD 为平行四边形，3,2,3AB AD BAD π==∠=，现将ABD △沿直线BD 翻折，得到三棱锥A BCD '-，若7A C ，则三棱锥A BCD '-的内切球与外接球表面积的比值为_____．【答案】115【分析】过A 作AE BD ⊥于E ，交CD 于F ，连,A E A F ''，利用余弦定理、面积定理求出点A '到平面BCD 的距离，再借助锥体体积求出内切球半径，结合该锥体的结构特征求出外接球半径作答.【详解】过A 作AE BD ⊥于E ，交CD 于F ，连,A E A F ''，如图，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠，π94232cos 73BD =+-⨯⨯= 2sin 321ABD S AB AD BAD A E AE BD BD ⋅∠'====222232172()7DE AD AE --27cos cos BE BD DE CDB ABE AB AB -∠=∠===1cos 2DE DF CDB ==∠，EF==因7A C，则三棱锥A BCD'-的4个表面三角形全等，在A DF'△中，π3A DF'∠=，222111132cos4224224A F A D FD A D FD A DF''''=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，在A EF'△中，22222135cos29A E EF A FA EFA E EF+-''+-'∠==='⋅，sin A EF'∠因,A E BD EF BD'⊥⊥，A E EF E'=，,A E EF'⊂平面A EF'，则BD⊥平面A EF'，而BD⊂平面BCD，于是得平面A EF'⊥平面BCD，在平面A EF'内过A'作A H EF'⊥于H ，又平面A EF'平面BCD EF=，因此，A H'⊥平面BCD，sinA H A E A EF'''=∠==，设三棱锥A BCD'-的内切球半径为r，则11433A BCD BCD BCDVS r S A H'-'=⨯=⋅，解得4A Hr'==，因BCD△是锐角三角形，则三棱锥ABCD'-的外接球截平面BCD所得截面圆圆心在BCD△内，半径0r，则02sin sin3BDrBCD===∠0r=A BCD'-的外接球球心为O，显然，球O截三棱锥A BCD'-的4个表面三角形所得截面圆圆心均在相应三角形内，因球心O与各个三角形的外心连线均垂直于相应的三角形所在平面，且这些三角形的外接圆半径均为0r，因此，球心O到各个三角形所在平面距离都相等，且球心O在三棱锥A BCD'-内，必为三棱锥A BCD'-内切球球心，令三棱锥A BCD'-的外接球半径为R，则222175632R r r=+=+=，所以三棱锥A BCD'-的内切球与外接球表面积的比值为2214π1654π152rR==.故答案为：115【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V 满足：13V Sr =.四、解答题17．根据要求完成下列问题：(1)关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围；(2)若复数22(2)(23)i z m m m m =+-+--（R m ∈）的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合． 【答案】(1)1a =± (2)312（，）【分析】（1）设方程的根为0x ，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，解得答案； （2）写出22(2)(23)i z m m m m =+-+--的共轭复数，根据z 对应的点在第一象限，列出不等式组，解得答案.【详解】(1)设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax a x ⎧++=⎨+=⎩，解得1a =±；(2)由题意得22(2)(23)i z m m m m =+----，∴2220(23)0m m m m ⎧+->⎨--->⎩，即2220230m m m m ⎧+->⎨--<⎩，解得312m <<， 故实数m 的集合为3(1,)2.18．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）； (3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】(1)0.005,0.025a b ==；(2)估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7； (3)25.【分析】（1）根据频率之和为1，及第三、四、五组的频率之和为0.7列出方程组，求出a ，b 的值；（2）中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型求概率公式.【详解】(1)()()20.0450.0201010.0450.020100.7a b a ⎧+++⨯=⎪⎨++⨯=⎪⎩，解得：0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，所以0.005,0.025a b ==；(2)500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+⨯=<，前三组志愿者的频率为()0.0050.0250.045100.750.6++⨯=>，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x ，则()650.0450.60.3x -⨯=-，解得：71.7x ≈，故第60%分位数为71.7(3)第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a b c d ,,,，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,a e b e c e d e 共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=19．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)两个人都译出密码的概率； (2)恰有1个人译出密码的概率；(3)若要达到译出密码的概率为99%，至少需要像乙这样的人多少个？ 【答案】(1)112(2)512(3)17名【分析】记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且()13РА=，()14РB =．根据独立事件的概率公式即可求解. 【详解】(1)记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且()13РА=，()14РB =． 两个人都译出密码的概率为()()()1113412P A B P A РB ⋂=⨯=⨯=．(2)恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为()()()()P A B A B P A B P A B ⎡⎤⎣⎦⋂⋃⋂=⋂+⋂ ()()()()P A P B P A P B =+ 1111511343412⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (3)假设有n 个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有1个人译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为()3114n nP B ⎛⎫-=- ⎤⎝⎣⎦⎪⎭⎡，即310.994n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 故30.014n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以342log 0.0116.012lg 2lg 3n ≥==-， 即至少有17名像乙这样的人，才能使译出密码的概率达到99%．20．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，60DAB ∠=，SA ⊥面ABCD ，22SA AD BC ===，点F 为线段SD 中点(1)求证：CF面SAB ；(2)求异面直线FC 与BD 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)90【分析】（1）建立直角坐标系，求出平面SAB 的法向量，若CF 与平面SAB 的法向量的数量积为0，则可证明；（2）求异面直线所成的角的大小可以根据数量积的计算公式cos ,BD CF BD CF BD CF⋅<>=⋅，即可求解.【详解】(1)证明：由SA ⊥面ABCD 建立如图所示的直角坐标系，以A 点为坐标原点，分别以AD ，垂直于AD 以及AS 为方向建立,,y x z 轴，如图所示:由底面是等腰梯形以及22SA AD BC ===可知：(0,0,0)A ，31,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,2)S33,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0D 又由点F 为线段SD 中点，可知()0,1,1F31,02CF ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2)AS =， 31,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =为平面SAB 的法向量，故可知：200130022z n AS y x n AB =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，解得30y x z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，可知平面SAB 的法向量一个法向量为：()1,3,0n =- ()1331022n CF ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴根据线面平行的向量法判断法则可知CF 面SAB(2)解：由题意得：由（1）分析可知31,,122CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1333012222cos ,023BD CF BD CF BD CF⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭⎝⎭<>===⨯⋅ 可知向量,BD CF 互相垂直，故异面直线FC 与BD 所成角的大小为9021．如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB AE ==.(1)当33BC =时，求CD ； (2)当五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦时，求BC 的取值范围.【答案】33(2)3,33⎡⎣.【分析】（1）连接EB ，根据已知可得BCDE 为等腰梯形，进而得到ABE △为等腰三角形，应用余弦定理求得33BE =.（2）由题设可得153273BCDE S ⎡∈⎢⎣⎭，设BC x =得到BCDE S 关于x 的表达式，进而求x 的范围即可.【详解】(1)连接EB ，由五边形内角和得：120D C ∠=∠=︒， ∴//BE CD ，则四边形BCDE 为等腰梯形，则DEB CBE ∠=∠，又90B E ∠=∠=︒，120A ∠=︒，故30AEB ABE ∠=∠=︒，60DEB CBE ∠=∠=︒， 所以在ABE △中3AB AE ==，由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=， ∴33BE =，过C 点作CM BE ⊥于M ，可得33cos604BM BC =⋅︒=， ∴3322CD BE BM =-=；(2)由193sin12024ABESAB AE =⋅⋅⋅︒=，又五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦， ∴153273,44BCDE S ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭， 设BC x =，则()()1133333222BCDE S BE CD CM x x =⨯+⨯=⨯+-⨯，整理得2156327x x ≤-<，解得333x ≤<或3353x <≤， 又2330DC BE BM x =-=->，即33x <， ∴BC 的取值范围是)3,33⎡⎣.22．已知正方形的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60︒的二面角，点M 在线段AB 上.(1)若M 为AB 的中点，且直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；(2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒；若存在，求此时平面MEC 与平面ECF 的夹角的余弦值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析【分析】（1）根据面面位置关系判断点O 的位置，再根据线线平行证明线面平行； （2）设()1,,0M t ，利用坐标法根据线面夹角为60︒可得t 的值，再；利用坐标法求二面角余弦值.【详解】(1)证明：因为直线MF ⊂平面ABFE ，故点O 在平面ABFE 内也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线上(如图所示).因为//AO BF ，M 为AB 的中点，所以OAM FBM ≅，所以OM MF =，AO BF =，所以点O 在EA 的延长线上，且2AO =.连接DF 交EC 于N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是EC 的中点. 连接MN ，所以MN 为DOF △的中位线，所以//MN OD ， 又因为MN ⊂平面EMC ，所以直线//OD 平面EMC .(2)解：存在.由已知可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，所以平面ABFE ⊥平面ADE ,取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以()(()1,0,0,3,3,1(40),,E D C F --， 所以()(()1,0,3,,03,4,0EF ED EC ===设()1,,0M t （04t ≤≤），则()2,,0EM t =，设平面EMC 的法向量(),,m x y z =，则·0·0m EM m EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以20430x ty x y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取2y =-，则,3x t z ==,3m t ⎛=- ⎝.第 21 页 共 21 页 因为DE 与平面EMC 所成的角为60︒，所以()228328243t t =-++ 所以2430t t -+=，解得1t =或3t =， 所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒.设平面CEF 的法向量为(),,n a b c =，则·0·0EC EF n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以43040a b c b ⎧++=⎪⎨=⎪⎩， 取1c =-，则3,0a b ==，所以()3,0,1n =-， 8,2,3t m t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设二面角M BC F --的大小为θ. 所以2228323cos 4198243t t n mt n m t t t t θ--⋅-===⨯-+-⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭.因为当2t =时，cos 0θ= ，此时平面EMC ⊥平面CDEF ，所以当1t =时， θ为钝角，所以1cos 4θ=-. 当3t =时， θ为锐角，所以1cos 4θ=。
2023届安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校数学高一上期末监测试题含解析
【小问1详解】
由题可知
∵ 是偶函数，∴ ，
∴ ，
即 ， ，
∴ 对一切 恒成立，
∴ ，即
【小问2详解】
当 时， ，
当 时， ，其值域为 ，满足题意；
当 时，要使 的值域为 ，则 ，
所以 ，解得
综上所述， 的取值范围为
所以 ，解得 ，
所以函数解析式为： ，
易得 为偶函数且在 单调递减，在 单调递增
A： ，正确；B： ，错误；
C： ，错误；D： ，错误
故选A
【点睛】本题考查利用待定系数法求解函数解析式，函数奇偶性和单调性的关系：奇函数在对应区间的函数单调性相同；偶函数在对应区间的函数单调性相反
7、B
【解析】根据幂函数的性质，从充分性与必要性两个方面分析判断.
,
或, ，
即 或 ,
解得 或 ;
即点 的坐标是 ， .
【点睛】本题考查了平面向量 线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
12、 和
【解析】令y=0，直接解出零点.
【详解】令y=0，即 ，解得： 和
故答案为： 和
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
试题解析：（1）证明：取 中点 ，连接 分别是 的中点， ,且 与 平行且相等， 为平行四边形， ，又 面 面 面 .
（2）证明： 为等边三角形， ,又 面 面 垂直于面 的两条相交直线 面 面 面 面 面 .
（3）连接 ,该四棱锥分为两个三棱锥 和 .
17、（1）
（2）
安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期线上学习课后复习卷物理试题(必修1第四章及平抛运动)
高一物理课后复习卷必修1第四章及平抛运动学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示，一倾角37θ=o 的足够长的斜面固定在水平地面上。
当0t =时，滑块以初速度010m/s v =沿斜面向上运动。
已知滑块与斜面间的动摩擦因数0.5μ=，g 取10m/s 2，sin37=0.6o ，cos37=0.8o ，下列说法正确的是（ ）A ．滑块一直做匀变速直线运动B ．1s t =时，滑块速度减为零，然后静止在斜面上C ．2s t =时，滑块恰好又回到出发点D ．3s t =时，滑块的速度大小为4m/s2．AB 是固定在空中的光滑水平横杆，一质量为M 的物块穿在杆AB 上，物块通过细线悬吊着一质量为m 的小球．现用沿杆的恒力F 拉物块使物块、小球一起（保持相对静止）向右运动，细线与竖直方向夹角为θ，则以下说法正确的是（ ）A ．杆对物块的支持力为MgB ．细线上的拉力为sin mg θ C ．()tan F M m g θ=+ D ．物块和小球的加速度为sin g θ3．如图所示，A 、B 两个物块的重力分别是G A =3N ，G B =4N ，弹簧的重力不计，整个装置沿竖直方向处于静止状态，这时弹簧的弹力大小为2 N ，则天花板受到的拉力和地板受到的压力有可能是( )A．5 N和2 N B．5 N和6 NC．1 N和2 N D．3 N和4 N4．如图所示，一光滑球体静止于夹角为θ的支架ABC内，现以B为轴，让整个支架缓慢的顺时针旋转，直至支架BC部分水平．设BC部分对球体的作用力为F，则整个过程中（）A．F可能一直减小B．F可能一直增大C．F可能先减小后增大D．F可能先增大后减小5．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是f m．现用平行于斜面的拉力F拉其中一个质量为2m的木块，使四个木块沿斜面以同一加速度向下运动，则拉力F的最大值（）A．35mf B．34mf C．mf D．32mf6．如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上，A、B的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为12μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，现对A施加一水平拉力F，则下列说法不正确的是A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止B ．当52F mg μ=时，A 的加速度为13g μ C ．当3F mg μ>时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12g μ 7．如图所示，在竖直平面内有一矩形，其长边与一圆的底部相切于O 点，现在有三条光滑轨道a 、b 、c ，它们的上端位于圆周上，下端在矩形的底边，三轨道都经过切点O ，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端(轨道先后放置)，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为( )A ．t a ＞t b ＞t cB ．t a ＜t b ＜t cC ．t a ＝t b ＝t cD ．无法确定8．如图所示，在斜面顶端的A 点以速度v 平抛一小球经t 1时间落到斜面上B 点处，若在A 点将此小球以速度0.5v 水平抛出，经t 2落到斜面上的C 点处，以下判断正确的是（ ）A ．AB ：AC =" 4" ：1B ．t 1 ：t 2=" 4" ：1C ．AB ：AC = 2：1D ．t 1：t 2=：1二、多选题 9．如图所示，橡皮筋的一端固定在O 点，另一端拴一个物体，O 点的正下方A 处有一垂直于纸面的光滑细杆，OA 为橡皮筋的自然长度。
安徽省六安市高三数学下学期试题(三)理(含解析)
安徽省六安市第一中学2016届高三数学下学期试题（三）理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A． B． C．D．【答案】D考点：1、集合的表示；2、集合的交集.2.设是虚数单位，若复数满足，则复数的模（）A．-1 B．1 C．D．2【答案】B【解析】试题分析：因为，所以,所以有,故选B.考点：1、复数的模；2、复数的运算.3.某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】D【解析】试题分析：总体由男生和女生组成，比例为,所抽取的比例也是,故拟从全体学生中抽取名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法, 故选D.考点：样本估计总体及分层抽样法.4.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近方程为（） A． B． C．D．【答案】C考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.5.若，则与的夹角为（）A．30° B．45° C．60°D．75°【答案】B【解析】试题分析：设两个向量的夹角为,,即,即,, 故选B.考点：1、向量的模与夹角；2、平面向量的数量积公式.6.已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（）项．A．5 B．4 C．4或5 D．5或6【答案】A【解析】试题分析：的展开式中第项与第项的二项式系数相等，,第项系数为时最大,故展开式中系数最大的项为第项. 故选A.考点：1、二项展开式定理；2、二项展开式的通项与系数.7.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为（）A． B． C．D．【答案】A考点：1、定积分的几何意义；2、定积分求曲边形的面积.8.体积为的球放置在棱长为4正方体上，且与上表面相切，切点为该表面的中心，则四棱锥的外接球的半径为（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】试题分析：球的体积为, 球的半径为,四棱锥的外接球的半径为,则,解得, 故选B.考点：1、球的体积公式；2、几何体外接球的性质.9.函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B考点：1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性和最值.10.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A． B． C．D．【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知几何体为从边长为的正方体切出来的三棱锥,作出直观图如图所示，其中为正方体的顶点，为正方体的棱的中点.,由勾股定理得，，,.几何体的表面积为.故答案为A.考点：1、三视图的性质；2、几何体的表面积.【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图及空间几何体的表面积，属于中档题. 求以三视图为背景的几何体的表面积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求几何体的表面积的问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点.求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.11.已知是抛物线的一个动点，是圆上的一个动点，定点，若轴，且，则的周长的取值范围是（） A． B． C．D．【答案】C考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的简单性质及定义.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及抛物线的定义，属于难题.与抛物线的定义有关的问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题求三角形周长时就是将转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.12.设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（）A． B． C．D．【答案】B考点：1、同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数；2、差数列的性质及前项和的最值.【方法点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数以及等差数列的性质及前项和的最值，属于难题.求等差数列前项和的最大值值的方法通常有两种：①将前前项和表示成关于的二次函数，，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.本题根据方法①确定的取值范围的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为____________．（参考数据：）【答案】考点：程序框图及循环结构.14.函数的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：,,的最小值为,的最小值为,故答案为.考点：1、两角差的正弦、余弦公式；2、二倍角的正弦余弦公式.15.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为_____________．【答案】考点：1、等比数列与等差数列的前项和公式；2、集合的子集与子集个数问题.【思路点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的前项和公式，以及集合的子集与子集个数问题，属于难题.要解答本题，首先等比数列的前项和，然后根据子集个数和化归思想将“的所有非空子集中的最小元素的和为”转化为“个，个，....个（为最大元素）的和等于”，最后再根据整数不等式“试根法”可解答本题.16.设函数（为自然对数底数），定义在上函数满足：，且当时，，若存在，使，则实数的取值范围为___________．【答案】考点：1、抽象函数的奇偶性、单调性；2、构造函数解不等式.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究抽象函数的单调性、构造函数解不等式及方程的根的问题，属于难题.解答本题的关键是求出的范围，也就是化简集合，即是求出不等式的解集，解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，是直角三角形斜边上一点，．（1）若，求；（2）若，且，求．【答案】(1)；（2）.∴，在中，，即，得．故．考点：1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，为的中点．（1）求证：；（2）设平面平面，，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）.同理可求平面的一个法向量．设二面角的大小为，则，∵，∴，∴二面角的正弦值为．考点：1、线面垂直的定义及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.19.（本小题满分12分）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可能选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（2）设该选手所得学豆总数为，求的分布列与数学期望．【答案】(1)；（2）分布列见解析，.（2）所有可能的取值为，所以的分布列为：考点：1、独立事件同时发生的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.20.（本小题满分12分）已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) ；（2）存在一个定点满足条件.解法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆为，若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，由，解得，由此可知所求点如果存在，只能是事实上点就是所求的点，证明如下：当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；当直线的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程并整理得，设点的坐标为，则，因为，所以有所以，即以为直径的圆恒定过点,综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件 .考点：1、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及曲线过定点问题.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及韦达定理及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.（本小题满分12分）已知函数，曲线在处的切线方程为．（1）求的值；（2）求函数在上的最大值；（3）证明：当时，．【答案】(1) ；（2）；（3）证明见解析.（2）法1：由（1）知，，∴，故在上单调递增，所以，．故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，∴，当且仅当时取等号．故．由（2）知，，故，∴，当且仅当时取等号．所以，．即．所以，，即成立，当时等号成立.考点：1、导数的几何意义及不等式的证明；2、利用导数研究函数的单调性及最值.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的证明和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在中，，以为直径的圆交于，过点作圆的切线交于交圆于点．（1）证明：是的中点；（2）证明：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.所以，得，因此，即是的中点．（2）证明：连接，显然是斜边上的高，可得，于是有，即，同理可得，所以．考点：1、弦切角定理及等腰三角形性质；2、圆的性质及相似三角形.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设，直线与曲线交于两点．（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围．【答案】(1)；（2）.，．考点：1、极坐标方程与直角坐标的方程互化；2、参数方程与普通方程的互化及点到直线的距离公式.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．【答案】(1)；（2）.所以，当且仅当，即时等号成立．所以，所以的取值范围为．考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.。
安徽省六安市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析
安徽省六安市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有()A．1种B．2种C．3种D．4种2．2017年，全国参加汉语考试的人数约为6500000，将6500000用科学记数法表示为（）A．6.5×105B．6.5×106C．6.5×107D．65×1053．已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具)，以下是甲、乙两同学的作业：甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；③作直线PM，则直线PM即为所求(如图1)．乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；③作直线PM，则直线PM即为所求(如图2)．对于两人的作业，下列说法正确的是( )A．甲乙都对B．甲乙都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，已对4．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（3，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为（）A ．3522（，）B ．3322（，） C ．23532（，）D ．43332（，）5．如图 1 是某生活小区的音乐喷泉， 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m ，此时距喷水管的水平距离为 1 m ，在如图 2 所示的坐标系中，该喷水管水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是（ ）A ．()213y x =--+ B ．()2213y x =-+ C ．()2313y x =-++D ．()2313y x =--+6．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（ ） A ．2.18×106 B ．2.18×105 C ．21.8×106 D ．21.8×1057．计算33x x x -+的结果是（ ） A ．6x x+ B ．6x x -C ．12D ．18．要使式子1x x+有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≠1B ．x≠0C ．x ＞﹣1且≠0D ．x≥﹣1且x≠09．如图，点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：110．如图，在ABC ∆中，,4,AB AC BC ==面积是16，AC 的垂直平分线EF 分别交,AC AB 边于,E F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．1211．如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是（）A．∠BAC＝αB．∠DAE＝αC．∠CFD＝αD．∠FDC＝α12．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在函数中，自变量x的取值范围是．14．分解因式：3a2﹣12=___．15．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于______．16．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积．17．计算：（﹣12）﹣2﹣2cos60°=_____． 18．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝1k x(x ＞0)及y 2＝2k x (x ＞0)的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1－k 2＝________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．20．（6分）已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果2a PQ a <<，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”.在平面直角坐标系xOy 中，若A （﹣1，1），B （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），D （1，1）.（1）在11,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，213,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(32P 中，正方形ABCD 的“关联点”有_____； （2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线3y x =上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围；（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线31y x =+与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点.如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围. 21．（6分）为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A 、B 两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如表：车型目的地A 村（元/辆）B 村（元/辆）大货车800900 小货车400600（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式．（3）在（2）的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．22．（8分）P 是C e 外一点，若射线PC 交C e 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0PA PB 3<⋅≤，则点P 为C e 的“特征点”．()1当O e 的半径为1时．①在点()1P 2,0、()2P 0,2、()3P 4,0中，O e 的“特征点”是______；②点P 在直线y x b =+上，若点P 为O e 的“特征点”.求b 的取值范围；()2C e的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x 1=+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是C e 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0），点B （0，3，点O 为原点．动点C 、D 分别在直线AB 、OB 上，将△BCD 沿着CD 折叠，得△B'CD ．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)求证：PC＝PF；(3)若tan∠ABC＝43，AB＝14，求线段PC的长．25．（10分）一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把1,3,6,10,15,21，…，称为“三角形数”；把1,4,9,16,25，…，称为“正方形数”.三角形数 1 3 6 10 15 21 a …正方形数 1 4 9 16 25 b 49 …五边形数 1 5 12 22 C 51 70 …（1）按照规律，表格中a=___，b=___，c=___．（2）观察表中规律，第n个“正方形数”是________；若第n个“三角形数”是x，则用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”是___________．26．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F．求证：△AEF≌△DEB；证明四边形ADCF是菱形；若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．27．（12分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】首先设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解.【详解】解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：3x+5y=35，y=7-35 x，∵x、y都是正整数，∴x=5时，y=4；x=10时，y=1；∴购买方案有2种．故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.2．B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】将6500000用科学记数法表示为：6.5×106.故答案选B.【点睛】本题考查了科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法的表示形式.3．A【解析】【分析】（1）连接OM，OA，连接OP，作OP的垂直平分线l可得OA=MA=AP，进而得到∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，所以∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，得出MP是⊙O的切线，（1）直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，所以∠OMP=90°，得到MP是⊙O的切线．【详解】证明：（1）如图1，连接OM，OA．∵连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A，∴OA=AP．∵以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；∴OA=MA=AP，∴∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，∴∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，∴OM⊥MP，∴MP是⊙O的切线；（1）如图1．∵直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，∴∠OMP=90°，∴MP是⊙O的切线．故两位同学的作法都正确．故选A．【点睛】本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性．4．B【解析】【分析】连接OO′，作O′H⊥OA于H．只要证明△OO′A是等边三角形即可解决问题. 【详解】连接OO′，作O′H⊥OA于H，在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=OBOA=32，∴∠BAO=30°，由翻折可知，∠BAO′=30°，∴∠OAO′=60°，∵AO=AO′，∴△AOO′是等边三角形，∵O′H⊥OA，∴OH=32，∴332，∴O′（32，32），故选B ． 【点睛】本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三角形，利用特殊三角形解决问题． 5．D 【解析】 【分析】根据图象可设二次函数的顶点式，再将点（0,0）代入即可． 【详解】解：根据图象，设函数解析式为()2y a x h k =-+ 由图象可知，顶点为（1,3） ∴()213y a x =-+，将点（0,0）代入得()20013a =-+ 解得3a =- ∴()2313y x =--+ 故答案为：D ． 【点睛】本题考查了是根据实际抛物线形，求函数解析式，解题的关键是正确设出函数解析式． 6．A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106， 故选A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 7．D 【解析】 【分析】根据同分母分式的加法法则计算可得结论． 【详解】33x x x -+=33x x -+=x x=1． 故选D ．【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则．8．D【解析】【分析】根据二次根式由意义的条件是：被开方数大于或等于1，和分母不等于1，即可求解．【详解】根据题意得：10{0x x +≥≠，解得：x≥-1且x≠1．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1；二次根式的被开方数是非负数．9．B【解析】【分析】根据中位线定理得到DE ∥BC ，DE=12BC ，从而判定△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴△ADE 的面积：△ABC 的面积=21()2=1：4，∴△ADE 的面积：四边形BCED 的面积=1：3；故选B ．【点睛】本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质．10．C【解析】【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 的中点，故AD BC ⊥，在根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA MC =，推出MC DM MA DM AD +=+≥，故AD 的长为BM+MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】连接AD ，MA∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边上的中点∴AD BC ⊥ ∴1141622S ABC BC AD AD ==⨯⨯=g △ 解得8AD =∵EF 是线段AC 的垂直平分线∴点A 关于直线EF 的对称点为点C∴MA MC =∵AD AM MD ≤+∴AD 的长为BM+MD 的最小值∴△CDM 的周长最短 ()CM MD CD =++12AD BC =+ 1842=+⨯ 10=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形线段长度的问题，掌握等腰三角形的性质、三角形的面积公式、垂直平分线的性质是解题的关键．11．D【解析】【分析】利用旋转不变性即可解决问题．【详解】∵△DAE是由△BAC旋转得到，∴∠BAC=∠DAE=α，∠B=∠D，∵∠ACB=∠DCF，∴∠CFD=∠BAC=α，故A，B，C正确，故选D．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常考题型．12．C【解析】【分析】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答【详解】设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、13、10，只能F是M或N时，其各边是6、213，210．与△ABC各边对应成比例，故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例是解题的关键二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期线上学习课后复习卷物理试题(圆周运动2)一带答案
圆周运动复习卷2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千荡到最高点时，小孩的加速度方向是图中的：A．a方向B．b方向C．c方向D．d方向2．一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则()A．球A的线速度必定等于球B的线速度B．球A的角速度必定小于球B的角速度C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力3．质量为m的小球，用长为l的线悬挂在O点，在O点正下方12l处有一光滑的钉子O'，把小球拉到与O'在同一水平面的位置Q，摆线被钉子拦住，如图所示.将小球从静止释放，当小球第一次通过最低点P时，则（）.A．小球速率突然减小B．小球加速度保持不变C．小球的向心加速度突然减小D．摆线上的张力保持不变4．如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab 为水平直径，cd 为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则：A ．物块始终受到三个力作用B ．只有在a 、b 、c 、d 四点，物块受到合外力才指向圆心C ．从a 到b ，物体所受的摩擦力先增大后减小D ．从b 到a ，物块处于超重状态5．如图所示，长为L 的轻杆，一端固定有一个质量为m 的可视为质点的小球，另一端固定在水平转轴O 上，杆随转轴O 在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力为F ，方向恰好与杆垂直，此时杆与水平面的夹角为θ．则下列关系正确的是A ．tanθ=g/(ω2L)B ．sinθ=ω2L/gC ．θ=0D ．F=mg/cosθ6．如图，在电动机转轮上距轴O 为r 处固定一质量为m 的小球，电机启动后，球以角速度ω绕O 轴匀速转动，则电机对地面最大压力和最小压力之差为（ ）A ．2m r ωB ．22m r ωC ．22mg m r ω+D ．222mg m r ω+7．如图所示，圆盘的圆心为O ，转轴O 1O 2与水平面的夹角为θ，转轴O 1 O 2通过O 点与盘面垂直，B 、D 两点在通过O 点的水平线上，AC ⊥BD 。
解析】安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学(文)试题
舒城中学2019—2020学年度第二学期第一次统考高一文数满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点2sin ,cos 63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上,则tan α的值为（ ）A. 1B. 1-3 D. 3-【★答案★】B 【解析】 【分析】先求出2sin,cos63ππ的值，确定点的坐标，结合定义求解tan α的值.【详解】因为121sin ,cos 6232ππ===-，所以点的坐标为11(,)22-，所以tan 1yxα==-，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，已知角终边上一点，结合定义可求三角函数值,属于容易题.2.下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 若||||a b =，则a b = B. 若||||a b =，则//a b C. 若a b =，b c =，则a c = D. 若//a b ，//b c ，则//a c【★答案★】C 【解析】 【分析】利用向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若||||a b =，则,a b 不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，||||a b =只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误； B. 若||||a b =，则,a b 不一定平行，所以该选项错误； C. 若a b =，b c =，则a c =，所以该选项是正确的；D. 若//a b ，//b c ，则//a c 错误，如：=0b ，,a c 都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足//a c ，所以该选项错误. 故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.在ABC中，a =c =60A =︒，则C =（ ）. A. 30° B. 45°C. 45°或135°D. 60°【★答案★】B 【解析】 【分析】直接利用正弦定理得2sin 60sin C=，化简即得解.【详解】由正弦定理得2,sinC ,45sin 60sin 2c a C C =∴=<∴=.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.下列函数中，既是偶函数又有零点的是（ ） A .21y x =+B. x xy e e -=+C. cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()cos y x π=+【★答案★】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,先判断是否为偶函数进行排除,再由函数零点的定义判断其是否存在零点即可.【详解】对于选项A:因为函数21y x =+的定义域为R ,所以其定义域关于原点对称, 又因为()()()21f x x f x -=-+=,所以函数21y x =+为偶函数,因为对任意x ∈R ,21y x =+1≥恒成立,所以函数21y x =+无零点,故选项A 排除; 对于选项B: 因为函数xxy e e -=+的定义域为R ,所以其定义域关于原点对称, 又因为()()xx f x ee f x --=+=，所以函数x x y e e -=+为偶函数,因为对任意x ∈R ,xxy e e -=+0>恒成立, 所以函数x x y e e -=+无零点,故选项B 排除;对于选项C:由题意知,cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin x =,其定义域为R ,关于原点对称，又因为()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-,所以函数cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数,不符合题意,故选项C 排除;对于选项D:由题意知,()cos y x π=+cos x =-, 其定义域为R ,关于原点对称， 又因为()()()cos cos f x x x f x -=--=-=,所以函数()cos y x π=+为偶函数, 当()cos y x π=+cos x =-0=时,,2x k k z ππ=+∈,所以此函数有零点，故选项D 正确;故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和函数零点的判断;熟练掌握函数奇偶性的判断方法和函数零点的概念是求解本题的关键;属于常考题型.5.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC【★答案★】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则C 等于（）．A.6π B.3π C.2π D.23π 【★答案★】B 【解析】 【分析】先由题意得到()()()0a c c a b b a +---=，化简整理，根据余弦定理，即可得出结果. 【详解】因为向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--，//p q ， 所以()()()0a c c a b b a +---=， 整理得：222b a c ab +-=所以2221cos 222+-===b a c ab C ab ab解得3C π=.故选B【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理与向量共线的坐标表示，即可得出结果. 7.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）A.49B. 49-C.43D. 43-【★答案★】B 【解析】 【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM = ∴P 是三角形ABC 的重心 ∴()PA PB PC ⋅+2||PA AP PA =⋅=-又∵AM ＝1 ∴2||3PA =∴()49PA PB PC ⋅+=- 故选B ．【点睛】判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或222AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．8.函数()()cos f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A. 3,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 132,2,44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. 341,,4k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【★答案★】C 【解析】 【分析】由函数图象和五点作图法可求出函数的解析式,结合余弦函数的单调区间和复合函数单调区间的判断方法求解即可.【详解】由图象可得,函数()f x 的最小正周期为512244T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭, 因为2T πω=,所以222T ππωπ===, 所以()()cos f x x πϕ=+, 结合图象和五点作图法可得,12,42k k z ππϕπ⨯+=+∈,即2,4k k z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,所以4πϕ=,即()cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭, 因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2,k k k z πππ+∈, 所以22,4k x k k z πππππ≤+≤+∈,解得1322,44k x k k z -+≤≤+∈, 所以所求函数的单调递减区间为132,2,44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故选:C【点睛】本题考查利用余弦函数的图象与性质求()cos y x ωϕ=+解析式和单调区间;考查运算求解能力和整体代换的思想、数形结合思想;属于中档题、常考题型.9.若O 为ABC △所在平面内任一点，且满足20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC △的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 【★答案★】A 【解析】 【分析】由20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，推出0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可知ABC △的中线和底边垂直，则ABC △为等腰三角形.【详解】∵20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，∴AC CB AB →→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭⊥,∴ABC △的中线和底边垂直， ∴ABC △是等腰三角形． 故选：A.【点睛】考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系，知识点较为基础，考查了学生对基本向量相乘相关知识的掌握程度，为容易题.10.在ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且3BC CD =.若1(1)03AO xAB x AC x =+--<<，，则点O 在（ ）A. 线段BC 上B. 线段CD 上C. 线段AC 上D. 线段AD 上【★答案★】B 【解析】 【分析】先由向量共线定理可知O B C ，，三点共线，再由3BC CD =得到1433AD AB AC =-+，从而可得出结果.【详解】因为1(1)03AO xAB x AC x =+--<<，所以，由向量共线定理可知O B C ，，三点共线. ∵3BC CD =，∴33AC AB AD AC -=-， ∴1433AD AB AC =-+. 又∵103x -<<， ∴点O 在线段CD 上，且不与C 、D 点重合. 故选B【点睛】本题主要考查向量共线定理的应用，熟记定理即可，属于常考题型.11.设锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为心a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围是( )A. 2)B.C.D. ()0,2【★答案★】C 【解析】 【分析】由锐角三角形的性质，先求出的范围，结合正弦定理进行转化求解即可 【详解】解：在锐角三角形中， 022A π<<，即04A π<<，且3B A A +=，则32A ππ<<，即63A ππ<<，综上64A ππ<<，则23cos A <<， 因为2a =，2B A =， 所以由正弦定理得sin sin 2sin cos a b bA B A A==，得4cos b A =， 因23cos 22A <<， 所以224cos 23A <<，所以2223b <<，所以b 的取值范围为(22,23) 故选：C【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决此题的关键，属于中档题. 12.设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为（ ） A. 3B.13C. 2D.12【★答案★】A 【解析】 【分析】先根据向量加法平行四边形法则化简条件得3AB OD =，再根据面积公式求比值.【详解】如图，取BC 中点D ，13EB AB =，则2OB OC OD +=，∴()332AB OB OC OD =+=， ∵13EB AB =，∴EB OD =，∴3ABC ABC BOC BECS S S S ∆∆∆∆==.故选A.【点睛】本题考查向量加减法运算法则，考查基本化简能力 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 满足||2a =，2b =，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为_______. 【★答案★】-1 【解析】 【分析】利用向量的垂直关系，推出a b ⋅，然后求解b 在a 方向上的投影。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
安徽省六安市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段性考试化学试题 Word版含答案
安一中2021-2022学年第一学期高一班级第一次阶段检测化学试卷满分：100分时间：90分钟可能遇到的相对原子质量：H1 He4 C12 N14 O16 Na23 Mg24 Al27 S32 Cl35.5 Ca64一、选择题（把符合题意的选项填在后面答题卡上，每个小题3分，共48分）1、在运输自然气的罐体上应印有下列警示标志中的（）2A.由一种元素组成的物质肯定为纯洁物B.酸性氧化物肯定为非金属氧化物C.酸碱盐都是电解质D.纯碱是酸式盐3.除去某溶液中溶解的少量杂质，下列做法中不正确的是（括号内的物质为杂质）（）A.NaCl溶液（）:加过量溶液，过滤，再加适量盐酸并加热B.溶液（）:加过量KCl溶液，过滤C.NaCl溶液（）:加,分液D.溶液（NaCl）：加热蒸发得浓溶液后，降温4、粗盐中含有不溶性泥沙，可溶性的以及一些硫酸盐等。
精致食盐水的试验操作挨次如下：①加入过量溶液②加入过量NaOH溶液③加入过量溶液④加入适量盐酸⑤过滤下列说法不正确的是（）A.①②③中加入过量的试剂是为了完全除去相应的杂质离子B.③中加入过量溶液仅为了完全除去C.由于难溶而微溶，所以用NaOH除效果比用好D.④中可以通过边滴加边测定溶液pH的方法，把握加入的盐酸“适量”5、把1000mL含有和KCl的混合液分成5等份，取一份加入含amol硫酸钠的溶液，恰好使钡离子完全沉淀；另取一份加入含bmol硝酸银的溶液，恰好使氯离子完全沉淀。
则该混合溶液中钾离子浓度为（）A. B. C. D.6、下列叙述中，不正确的是（表示阿伏德罗常数的值）（）A.标准状态下，22.4LCO和NO混合气体中原子数为2B.常温状态下，56g和CO混合气体中原子数为4C.标准状况下，44.8L和混合气体中原子数为6D.常温常压，28g和NO混合气体中原子数为47、关于2mol的叙述中，正确的是（）A.体积为44.8LB.含有4mol氧原子C.分子数为D.摩尔质量为128g8、下列溶液中与50mL溶液相等的是（）A. B.溶液C.溶液D.溶液9、有和的混合溶液，已知其中的物质的量浓度为的物质的量浓度为0.7mol/L，则此溶液中的物质的量浓度为（）A.0.1mol/LB. 0.15mol/LC. 0.2mol/LD. 0.25mol/L10、用700mL1.0mol溶液吸取,所得溶液中的和的物质的量浓度之比为（）A.1:3B.1:2C.2:3D.3:211、设为阿伏加德罗常数的值，下列叙述不正确的是（）A.1.8g中含有的电子数为B.25℃，1.01×,64g中含有的原子数为3C.在常温常压下，11.2L含有的分子数小于0.5D.标准状况下，11.2L中含有的分子数目为0.512、使用容量瓶配制溶液，下列操作不正确的是（）A.使用容量瓶前检查它是否漏水B.容量瓶用蒸馏水洗净后，再用溶液淘洗A B C DC.盖好瓶塞，用食指顶住瓶塞，用另一只手托住瓶底，把容量瓶反复上下颠倒，摇匀D.容量瓶不能长期存放配制好的溶液13、已知个X气体分子的质量为8g，则X气体的摩尔质量是（）A.32g/molB.32gC.64g/molD.16g14、下列试验操作或装置正确的是（）15、试验是化学争辩的基础，下列关于各试验装置的叙述正确的是（）A.装置①常用于分别互不相溶的液体混合物B.装置②可用于吸取或HCl气体，并防止倒吸C.装置③可用于收集等气体D.装置④可用于干燥、收集氯化氢，并吸取多余的氯化氢16、对下列物质分类全部正确的是（）①纯碱②食盐水③石灰水④NaOH ⑤液态氧⑥A.碱：①④B.纯洁物：①③④⑥C.盐：①⑥D.混合物:②③⑤二、非选择题（共52分）17、（6分）臭氧层是地球生命的爱护神，臭氧比氧气具有更强的氧化性。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。
安徽省六安市第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
安徽省六安市第一中学 20212021 学年高一数学上学期 期末考试试题（含解析）数学试卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（ ）A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】A【解析】直线的斜率为 ，因此倾斜角为 30°.故选 A.2. 空间直角坐标系中，已知点A.B.C.【答案】A【解析】点，，则线段 的中点坐标为（ ） D.由中点坐标公式得中得为：，即.故选 A. 3. 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（ ）【答案】D 【解析】由几何体的三视图可知，三棱锥的顶点在底面的射影在底面棱上，可知几何体如图：- 1 - / 13侧视图为：D. 故选：D. 4. 下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面, 则每三点一定不共线;④三条平行直线确定三个平面.其中正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】关于①，三个不共线的点能够确定一个平面，因此①不正确； 关于②，一条直线和直线外一点能够确定一个平面，因此②不正确； 关于③，若三点共线了，四点一定共面，因此③正确； 关于④，当三条平行线共面时，只能确定一个平面，因此④不正确. 故选 A.5. 已知圆,圆,则两圆的位置关系为( )A. 相离 B. 相外切 【答案】AC. 相交D. 相内切【解析】圆,即，圆心为(0,3)，半径为 1，圆,即，圆心为(4,0)，半径为 3..因此两圆相离，故选 A.6. 设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线是( )A.B.C.【答案】D,则被 反射后,反射光线所在的直线方程 D.【解析】由可得反射点 A(−1,−1),在入射光线 y=2x+1 上任取一点 B(0,1)，则点 B(0,1)关于 y=x 的对称点 C(1,0)在反射光线所在的直线上。
安徽省六安市周集中学2022年高一数学理月考试卷含解析
安徽省六安市周集中学2022年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则的取值范围是（）A B C D参考答案：C2. （4分）已知函数y=f（x）是定义域在R上的奇函数，且f（2）=0，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，则f的值为（）A．0 B．2010 C．2008 D．4012参考答案：A考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件可先求出f（4）=0，并且可得到f（x）=f（x﹣4n）+nf（4），所以f=f+502?f （4）=0．解答：根据已知条件，f（x）=f（x﹣4n）+nf（4）；又f（﹣2+4）=f（﹣2）+f（4）；∴2f（2）=f（4）=0；∴f=f+502?f（4）=f（2）+0=0．故选A．点评：考查奇函数的定义，并且由条件f（x+4）=f（x）+f（4）能得到f（x）=f（x﹣4n）+nf （4）．3. 设，则的最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：D4. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由扇形的弧长公式列方程得解.【详解】设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得：，解得：故选：D【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题。
5. 如图所示，点在平面外，，，、分别是和的中点，则的长是（）A．1 B． C． D．参考答案：B略6. 变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A7. 在边长为的正三角形ABC中，设, , , 则等于（）A．0 B．1 C．3 D．－3参考答案：D略8. 在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．参考答案：C【考点】正弦定理的应用．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围．【解答】解： ==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．9. 设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则?U A=（）A．{4} B．{2，4，5} C．{4，5} D．{1，3，4}参考答案：C【考点】补集及其运算．【分析】由题意，直接根据补集的定义求出?U A，即可选出正确选项【解答】解：因为U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}所以?U A={4，5}故选：C．10. 已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为（）A．1 B． C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 求的值是_____________.略12. （5分）已知函数f （x ）=，若f （x ）=10，则 ．参考答案：x=3或﹣5考点： 分段函数的应用．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由分段函数可知，令x 2+1=10，﹣2x=10，从而解得． 解答： 令x 2+1=10，解得，x=3或x=﹣3（舍去）； 令﹣2x=10，解得，x=﹣5； 故答案为：3或﹣5．点评： 本题考查了分段函数的自变量的求法，属于中档题．13. 已知两个向量满足且与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是______________________参考答案：解析：由两向量的夹角为钝角知，则即即又当时，和方向相反，故，所以的取值范围是14. 若xlog 32=﹣1，则（）x = ．参考答案：3【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用． 【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可． 【解答】解：xlog 32=﹣1，可得x=，（）x =2﹣x ==3．故答案为：3．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，函数值的求法，考查计算能力．15. 已知函数f （x ）=（a ＞0，a≠1），且f （1）=f （2），则f （log 46）= ．参考答案：【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】函数f （x ）=（a ＞0，a≠1），可得f （1）=，f （2）=a 2，解得a ，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵函数f （x ）=（a ＞0，a≠1），且f （1）=f （2），∴=a 2， 解得a=．则f（log46）===．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. （5分）半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．参考答案：考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=1，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．解答：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πR，即r=1，∴圆锥的高h==，∴圆锥的体积V==，故答案为：．点评：本题考查旋转体，即圆锥的体积，意大利考查了旋转体的侧面展开和锥体体积公式等知识．17. x、y满足约束条件求的最大值_________参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年安徽省浮山中学等重点名校高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年安徽省浮山中学等重点名校高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.过点A(2,1)和B(m,3)的直线的斜率为1，则m 的值为( )A. 6B. 5C. 4D. 32.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 13=133π，则tana 7=( )A. √33B. √3C. −√33D. −√33. 已知△ABC 是锐角三角形，若三角形的三内角满足A >B >C ，则( )A. cosA >cosB 且sinB >cosCB. cosA <cosB 且sinB >cosCC. cosB >cosC 且sinA <cosBD. cosA <cosC 且sinB <cosC4.在平面直角坐标系中，点P (−1,2 )关于x 轴的对称点的坐标为【】A. (−1,−2 )B. (1,−2 )C. (2,−1 )D. (−2,1 )5.在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若a 5，a 7是方程x 2+10x −16=0的两个根，那么S 11的值为( )A. 44B. −44C. 55D. −556.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(acosC +ccosA)sinB =√32b ，则角B 的值为( )．A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π37.已知x ，y 满足约束条件{y ≥0x ≥−2x +y ≥1，则z =(x +3)2+y 2的最小值为( )A. 8B. 10C. 12D. 168.如图，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得AC =50m ，∠ACB =45°，∠CAB =105°，则A 、B 两点的距离为( )A. 50√3mB. 25√3mC. 25√2mD. 50√2m9.设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β下面命题正确的是()A. 若l//β，则α//βB. 若α⊥β，则l⊥mC. 若l⊥β，则α⊥βD. 若α//β，则l//m10.将一张边长为6cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3)，则正四棱锥的体积是()A. 83√6cm3 B. 43√6cm3 C. 83√2cm3 D. 43√2cm311.各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3，S3n=21，则S4n等于()A. 60B. 45C. 30D. 1512.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧棱AA1=t(t>4)，点E是BC的中点，点P是侧面ABB1A1内的动点(包括四条边上的点)，且满足tan∠APD=4tan∠EPB，则四棱锥P−ABED的体积的最大值是()A. 4√33B. 16√3 C. 16√33D. 64√39二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将一个高为√3的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为______．14.如果a>1，那么a+a2a−1的最小值是______ ．15.直线l经过原点，且经过两条直线2x+3y+8=0，x−y−1=0的交点，则直线l的方程为______ ．16.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知点A(−7,4)，点B(−5,6)，求线段AB的垂直平分线的方程．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4asinBcosC+4csin(B+C)cosB=√15a．(1)求tan A的值；)，a=6，b=4√2，求c的值．(2)若A∈(0,π219.已知等比数列{a n}的各项都是正数，前n项和为S n，且a3=4，S4=S2+12，求：(1)首项a1及公比q的值；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．20.如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是正方形，EA⊥底面ABCD，FD//EA，且EA=2FD．(Ⅰ)连接AC，BD交于点O，取EC中点G.证明：FG//平面ABCD；(Ⅱ)若EA=AB，求异面直线FC，BD所成的角的正弦值．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PDC，AD//BC，PD⊥PB，AD=CD=1，BC=2，PD=√2．2(Ⅰ)求证：PD⊥平面PBC；(Ⅱ)求直线AB与平面PBC所成角的大小；(Ⅲ)求二面角P−AB−C的正切值．22.(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)求函数的最小正周期。
2019年安徽省安庆市第一中学高三数学理期末试卷含解析
2019年安徽省安庆市第一中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于A. B.或2 C. 2 D.参考答案：A本题主要考查了圆锥曲线的第一定义，同时考查了学生的应变能力。
属中等题因为当为椭圆时= (4+2):3 =2：1即2a:2c=2：1 所以e=当为双曲线时(4-2):3=2:3 即2a:2c=2:3 所以e==2. 在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，直接使用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为 x+y﹣1=0．由点到直线的距离公式得 d==，故选B．3. 函数的零点一定位于下列哪个区间A. B. C. D.参考答案：B4. 是等差数列前项和.且.则=( )A. B. C.D.参考答案：A5. （5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④参考答案：C考点：棱柱的结构特征．专题：作图题；压轴题．分析：正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．解答：解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选C．点评：本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的垂直，是基础题．6. 设随机变量，，若，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：B，．7. 已知椭圆:,左右焦点分别为,,过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是A．1 B．C．D．参考答案：D8. （多选题）如图，M是正方体ABCD - A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A. 过M点有且只有一条直线与直线AB?B1C1都相交B. 过M点有且只有一条直线与直线AB?B1C1都垂直C. 过M点有且只有一个平面与直线AB?B1C1都相交D. 过M点有且只有一个平面与直线AB?B1C1都平行参考答案：ABD【分析】点不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过点有且只有一条直线与直线?都相交，A正确．过点有且只有一条直线与直线?都垂直，B正确．过点有无数个平面与直线?都相交，C不正确．过点有且只有一个平面与直线?都平行，D正确．【详解】解：直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取的中点，则，且，设与交于，则点????共面，直线必与直线相交于某点．所以，过点有且只有一条直线与直线?都相交；故A正确．过点有且只有一条直线与直线?都垂直，此垂线就是棱，故B正确．过点有无数个平面与直线?都相交，故C不正确．过点有且只有一个平面与直线?都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查空间中过定点的直线与已知直线是否相交、平行以及过定点的平面与已知直线是否相交、平行，基础题.9. 一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A. B. C. D.参考答案：A略10. 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．0 B．1 C．2 D．4参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：∵ ==为纯虚数，∴，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若随机变量，则，.已知随机变量，则．参考答案：0.818512. 计算：参考答案：略13. 已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．若f（2）=9，则g（）+f（3）的值是．参考答案：25【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据题意可知f（x）与g（x）化为反函数，再依据f（2）=9求得a值，代值计算即可．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．则函数f（x）=a x反函数为：y=log a x，∴g（x）=log a x，又f（2）=9，∴a2=9，∴a=3，∴g（x）=log3x，∴g（）+f（3）=）=log3+33=25，故答案为：25．14. 已知实数满足的条件，则的最大值为．参考答案：6作可行域，则直线过点A（2，0）时取最大值615. 设常数a∈R,函数，若的反函数的图像经过点(3,1),则_____.参考答案：716. 已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.参考答案：．恒成立，即，易得.17. 计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题理（含解析）满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．2. 如图所示，A B C ''△是水平放置的ABC 的直观图，'''//A B y 轴，'''//B C x 轴，''2A B =，''3B C =，则ABC 中，AC =（ ）A. 2B. 5C. 4D. 13【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图判断出原图的结构，由此计算出AC .【详解】根据直观图可知''''24,3,2AB A B BC B C ABC π====∠=，所以2222435AC AB BC =+=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查根据直观图求原图的边长，属于基础题.3. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【详解】对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．4. 设变量,x y满足约束条件20,20,1,1,x yx yxy+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩，则目标函数4z x y=-+的最大值为A. 2B. 3C. 5D. 6 【答案】C【解析】画出可行域，用截距模型求最值．【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分． 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值．由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -， 所以max 4(1)15z =-⨯-+=． 故选C ．【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．5. 若不等式组2142x a x a⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1,3-B. (,1)(3,)-∞-+∞C. ()3,1-D. (,3)(1,)-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个不等式解，再根据集合交集的概念求解．【详解】由题意2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，∴2124a a +<+，即2230a a --<，解得13a -<<．【点睛】本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题．6. （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==， 结合勾股定理，底面半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π4V r h ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.7. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A. 2a b =B. 2b a =C. 2A B =D. 2B A =【答案】Asin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 8. 已知互不重合的直线,a b ,互不重合的平面,αβ,给出下列四个命题，正确．．命题的个数是 ①若a //α，a //β，b αβ=，则a //b②若，a α⊥，b β⊥则a b ⊥③若αβ⊥，αγ⊥，a βλ⋂=，则a α⊥ ④若α//β，a //α，则a //βA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由线线平行的性质定理能判定A 是正确的；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B 的正误；由线面垂直的判定定理能判定C 的正误，在D 中，可得//αβ或a β⊂，即可得到答案. 【详解】由题意，已知互不重合的直线,a b 和互不重合的平面,αβ， 在A 中，由于,//,//b a a αβαβ⋂=，过直线a 平面,αβ都相交的平面γ，记,d c αγβγ⋂=⋂=，则//a d 且//a c ，所以//d c ，又//d b ，所以//a b ，故A 是正确的；在B 中，若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则由面面垂直和线面垂直的性质得a b ⊥，所以是正确； 在C 中，若,,a αβαγβγ⊥⊥=，则由线面垂直的判定定理得a α⊥，所以是正确；在D 中，若//,//a αβα，则//αβ或a β⊂，，所以是不正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，合理作出证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A. BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B. BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C. BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D. BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===，35,,72MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．10. 当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 43【答案】C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x xf x x++=2222cos 8sin 28tan 114tan 4tan 42sin cos 2tan tan tan x x x x x x x x x x++===+≥⨯=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x++=的最小值为4，选C.11. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 17B. 5C. 3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，224225+= B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果. 12. 若ABC 2223)a cb +-，且C ∠为钝角，c a 的取值范围是（ ） A. ()0,2 B. 3)C. (3,)+∞D. (2,)+∞【答案】D 【解析】 分析】由余弦定理和三角形面积可求得B ，用正弦定理化sin sin c C a A=，再化为A 的三角函数，由三角函数知识可得取值范围．【详解】∵2222cos a c b ac B =+-，∴2221)2cos sin 2ABC S a c b ac B ac B =+-==△，tan B = ()0,B π∈ ∴3B π=，∴23A C π+=，又∵C 为钝角，∴06A π<<，∴0tan A <<1tan A >，由正弦定理得21sin()sin sin 322sin sin sin A A A c Ca AA Aπ-+===1112tan 22A =+>=， 故选：D ．【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是根据正弦定理把ca转化为A 的三角函数后可得其取值范围．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 【答案】58. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到4S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++= 解得12q =-， 所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---．【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428S S a S a q =+=+=+-=，避免繁分式计算． 14. 设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________． 【答案】2 【解析】【分析】求出2b ，进而求出b ，将||||x b 转化为以yx为未知量的函数问题，求出最大值即可.【详解】12,,b xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角为6π，所以222122)(=+=+b xe ye x y ，2=+b x 2||=||∴=+x b x当y x =时， ||||x b 取最大值，||==2||1x b 故答案为： 2【点睛】本题考查了向量的数量积运算、求向量的模、函数求最值等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.15. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为________．【答案】162π+ 【解析】 【分析】根据三视图得到几何体的直观图是一个直三棱柱与18个球的组合体 ，然后根据条件求解 【详解】有三视图知几何体的直观图是一个直三棱柱与18个球的组合体，画出直观图得：31141111128326V故答案为：162π+【点睛】本题考查空间几何体体积. 求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解三视图形式：若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解16. 如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点E ､F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A. AC BE ⊥B. //EF 平面ABCDC. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】连结BD ，则AC ⊥平面11BB D D ，11//BD B D ，点A ､B 到直线11B D 的距离不相等，由此能求出结果．【详解】解：连结BD ，则AC ⊥平面11BB D D ，11//BD B D ，AC BE ∴⊥，//EF 平面ABCD ，三棱锥A BEF -的体积为定值，从而A ，B ，C 正确．点A ､B 到直线11B D 的距离不相等，AEF∴∆面积与BEF ∆的面积不相等，故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．17. 在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC .【答案】（123；（2）5. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可以得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，根据题设条件，求得2sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得223cos 125ADB ∠=-=（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得2cos sin BDC ADB ∠=∠=，之后在BCD ∆中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果. 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以2sin ADB ∠=由题设知，90ADB ∠<，所以cos 5ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos 25825255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=. 所以5BC =.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果. 18. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围． 【答案】（1）102n a n =-（2）{}|110,n n n N ≤≤∈ 【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-，34a =，利用“1,a d ”求解．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=，然后解不等式n n S a ≥即可. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由34a =得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由95S a =-得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于211100n n -+≤，解得110n ≤≤．所以n 的取值范围是{}|110,n n n N ≤≤∈【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算，还考查了数列不等式问题，属于中档题. 19. 如下图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A-BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．（1）求证：//AB 平面EFGH ；（2）若4AB =，6CD =，求四边形EFGH 周长的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）()8,12． 【解析】 【分析】（1）首先证得//EF 平面ABD ，然后根据线面平行的性质定理得到//EF AB ，由此证得//AB 平面EFCH .（2）设EF x =，EH y =，通过比例求得146x y+=，由此化简四边形EFCH 周长的表达式，进而求得四边形EFCH 周长的取值范围.【详解】（1）∵四边形EFGH 为平行四边形，//EF GH ． ∵GH ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴//EF 平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =， ∴//EF AB ．∵EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFCH ， ∴//AB 平面EFCH ．（2）同（1）可证//EH CD ，设EF x =，EH y =， ∵//EF AB ，//EH CD ，∴EF CE AB CA =，EH AECD AC=， ∴1EF EH CE AE ACAB CD CA AC AC+=+==， 又4AB =，6CD =， ∴146x y+=，∴6(1)4x y =-，且04x <<， ∴四边形EFCH 的周长为2()26(1)124x l x y x x ⎡⎤=+=+-=-⎢⎥⎣⎦∴81212x <-<．故四边形EFGH 周长的取值范围是()8,12．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查四边形周长的取值范围的求法，属于中档题. 20. 已知函数1()42f x x x =+-． （1）当2x >时，求函数()f x 的最小值；（2）若存在(2,)x ∈+∞，使得()42aaf x ≤-成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）12；（2）[2,)+∞． 【解析】 【分析】（1）变形为1()4(2)82f x x x =-++-后，根据基本不等式可得结果； （2）转化为min 42()aaf x -≥12=，等价于()24230()aa-+≥，等价于240a -≥,等价于2a ≥.【详解】（1）因为1()42f x x x =+-，所以1()4(2)82f x x x =-++-， 因为2x >，所以20x ->，所以14(2)42x x -+≥=-当且仅当52x =时，等号成立， 所以当52x =时，()min 12=f x ． （2）存在(2,)x ∈+∞，使得()42aaf x ≤-成立， 等价于当(2,)x ∈+∞时，min 42()aaf x -≥ 由（1）知()min 12=f x ，所以4212a a -≥，， 所以()24230()aa-+≥．因为230a +≥，所以24a ≥，解得2a ≥， 所以实数a 的取值范围为[2,)+∞．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，考查了不等式能成立问题，属于基础题. 21. 如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）5【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 为菱形知AC ⊥BD ，由BE ⊥平面ABCD 知AC ⊥BE ，由线面垂直判定定理知AC ⊥平面BED ，由面面垂直的判定定理知平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB =x ，通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来，在Rt ∆AEC 中，用x 表示EG ，在Rt ∆EBG 中，用x 表示EB ，根据条件三棱锥E ACD -的体积为6求出x ，即可求出三棱锥E ACD -的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED（2）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由 ∠ABC =120°，可得AG =GC =3x,GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在 Rt ∆AEC 中，可得EG =3x. 连接EG ，由BE ⊥平面ABCD ，知 ∆EBG 为直角三角形，可得BE =2x .由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==.故 x =2 从而可得AE =EC =ED 6.所以∆EAC 的面积为3， ∆EAD 的面积与∆ECD 的面积均为5. 故三棱锥E -ACD 的侧面积为3+25【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.22. 已知函数2()(3)22f x x a x a b =+-+++，,a b ∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集为{|4x x <-或2}x >，求实数a ，b 的值； （2）若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1,12a b ==-；（2）[)(]3,410,11．【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，应用韦达定理可求得,a b ； （2）易得方程()12f x b =+的解为2x =和5x a =-，由一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系可得5a -的范围，从而得结论．【详解】（1）因为函数2()(3)22,,f x x a x a b a b =+-+++∈R ，()0f x >的解集为{|4x x <-或2}x >，所以4-，2是方程2(3)220x x a a b +-+++=的两根．由42(3)4222a a b -+=--⎧⎨-⨯=++⎩，解得112a b =⎧⎨=-⎩．（2）由()12f x b <+，得2(3)2100x a x a +-+-<．令2()(3)210h x x a x a =+-+-，则()()()[25h x x x a =---]，所以()20h =．故()0h x <的解集中的3个整数只能是3，4，5或1-，0，1． 若解集中的3个整数是3，4，5， 则556a <-≤，得1011a <≤； 若解集中的3个整数是1-，0，1， 则251a -≤-<-，得34a ≤<． 综上，实数a 的取值范围为[)(]3,410,11．【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系是解题关键．。