172定积分在物理中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
【解答】
由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动， 当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动． 故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程为
2 2 4 6 s1＝ (8t－2t )dt－ (8t－2t )dt
0 4
4 2 ＝4t2－3t3 0
b
三、《教材》 P59 练习.
2018年5月31日星期四
练一练
1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为m/s) 的速度运动,求该物体在3~5s间行进的路程.
S (2t 3)dt 22m
3
5
2、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力 F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),求F(x) 所作的功.
边城高级中学 张秀洲
1、能够利用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程；
2、学会利用定积分求变力做功问题；
3、感受定积分在物理中的应用，加深对定积分的认识.
自学教材 P58—P59 解决下列问题
一、能够利用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程.
二、学会利用定积分求变力做功问题
三、《教材》 P59 练习.
O
10
40
60
3 2 t 2Βιβλιοθήκη 10 30t 100
40
3 2 ( t 90t ) 1350( m) 4 40
60
有一动点 P 沿 x 轴运动， 在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度 的正方向与 x 轴正方向一致)．求：点 P 从原点出发，当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程和位移．
高中数学A版1.7.2定积分在物理中的应用优秀课件
=
22(m)
2、W =
4 3x + 4dx
0
=
3 2
x2Βιβλιοθήκη + 4x4 0
=
40 J
由变力做功公式，得到
W =
1
kxdx
=
1
kx2
0
2
l 0
=
1 kl2(J). 2
答：克服弹力所作的功为 1 kl2(J) .
2
万有引力定律
两个质量分别为 m1,m，2 相距为
r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，
此时由于细杆上各点与质点的距离是变化
的，所以不能直接利用上述公式计算.
这一薄层水的重力为
o
x
x dx
5
x
9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
5
w 0 88.2 x dx
88.2
x2 2
5 0
3462
(千焦)．
教材练习答案
1、s =
5 2t + 3dt
3
=
t 2
+ 3t
5 3
等，问第 n次锤击时又将铁钉击入多
少？
2、
将直角边各为a及2a的直角三角形 薄片垂直地浸入水中，斜边朝下，直 角边的边长与水面平行，且该边到水 面的距离恰等于该边的边长，求薄板 所受的侧压力？
3、
思考题
一球完全浸没水中，问该球面所受 的总压力与球浸没的深度有无关系？它 所受的总压力与它在水中受到的浮力有 何关系？
1.7.2定积分在物理上的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用1.通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义,掌握用定积分表示某些物理量．2. 了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，预习导引-------温故才能知新 为课前预习奠基1定积分的概念及其几何意义;（1）定义表达式：nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰（2）定积分几何意义： ①ba f (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积 ②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数⎰-==ba a fb F dx x f x f x F b a x f )()()(),()(',],[)(,.2则并且上的连续函数是区间如果一般地微积分基本定理变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 3. 计算有关物理量时应注意：(1) 要充分理解物理量的意义．(2) 要根据图形的边界曲线情况，选择适当的坐标系，一般地，曲边梯形宜采用直角坐标．(3) 要注意积分变量的选取，以便简化计算．4.设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -， 即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰预习自测---------评价预习效果 为突破难点奠基1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，1n 上( ) A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 1.答案: D解析 由求曲边梯形面积的流程中近似代替可知D 正确， 故应选D. 2． dx e ex x⎰-+1)(=（ ）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-2．答案: D 。
1.7.2 定积分在物理中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
【使用说明】
1、预习本节课教材，用红笔画出疑惑之处；
2、请同学们用严谨认真的学习态度先预习再完成本节课导学案的相应内容；
3、（1）班同学需完成全部导学案；（3）班、（6）班遇到标有“★”题目可选做(学有余力的同学做)。
【学习目标】
1.体会定积分的基本思想。
2.会用定积分解决变速直线运动的路程及变力所做的功等简单的物理问题。
预习案
1、变速直线运动的路程：
做变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v=v(t) (v(t) 0)在时间区间[a,b]上的定积分，即
2、变力做功：
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s（单位：m），则力F所做的功为
探究案
1、一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1分钟行驶的路程。
2、如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所做的功。
训练案
1、一物体沿直线以v=2t+3(t的单位是s，v的单位是m/s)的速度运动，求该物体在3~5s间行进的路程。
2、一物体在力F（x）=3x+4(x的单位是m，F的单位是N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4处，求力F（x）的做的功。
1.7.2定积分在物理中的应用
一辆汽车的速度一时间曲线如图所示， 例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求 汽车在这 汽车在这 1 min 行驶的路程。 行驶的路程。
(0 ≤ t ≤ 10) (10 ≤ t ≤ 40) (40 ≤ t ≤ 60)
3t v(t ) = 30 - 1.5t + 90
(1)240 (m) (2)240 (m) (3)20+20+280=320(s)
(3)电车从 站到 站所需的时间 电车从A站到 站所需的时间. 电车从 站到B站所需的时间
2.一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半 池内盛满了水. 径为 3 米，池内盛满了水.问要把 池内的水全部吸出，需作多少功？ 池内的水全部吸出，需作多少功？
∫
a
∆Wi = W ( xi ) ⋅ ∆x = W ( xi ) ⋅ ∆xF
Wn = ∑ ∆Wi ⋅ ∆x = ∑ F ( xi ) ⋅ ∆x
i =1 i =1 n n
y == F ( x )
x
b
S = lim ∑ F ( xi ) ⋅ ∆x = ∫ F ( x)dx
n →∞ i =1 a
n
O
a
b−a ∆x = n
巩固练习:
1.A 、B两站相距 两站相距7.2km,一辆电车从 站 一辆电车从A站 两站相距 一辆电车从 开往B站 电车开出 后到达途中 电车开出t 后到达途中C点 这 开往 站,电车开出 s后到达途中 点,这 一段速度为1.2t (m/s),到C点速度达 点速度达24 一段速度为 到 点速度达 m/s,从C点到 站前的 点以等速行驶 从 点到B站前的 点以等速行驶,从 从 点到 站前的D点以等速行驶 D点开始刹车 经过t s后,速度为 点开始刹车,经过 后 速度为(24点开始刹车 经过 速度为 1.2t)m/s,在B点恰好停车 试求 点恰好停车,试求 在 点恰好停车 试求: (1)A、C间的距离 、 间的距离; 间的距离 (2) B、D间的距离 间的距离; 、 间的距离
课件7：1.7.2 定积分在物理中的应用
【解析】令 v(t)＝27－0.9t，得 t＝30，所以列车刹车 30 s 后可停车，则列车由开始刹车到停车所走的路程为 s＝ ∫300v(t)dt＝∫030(27－0.9t)dt|21＝(27t－0.45t2)|300＝405 m. 【答案】405
核心突破 类型1 利用定积分求变力所做的功(自主研析) 典例1 一物体按规律x＝8t3做直线运动，式中x为时间 t内通过的距离，阻力与速度的平方成正比(比例系数 为7)，试求物体由x＝0运动到x＝1时阻力所做的功．
【解析】(1)对，由定积分的物理意义知结论正确． (2)对，由定积分的物理意义知结论正确． (3)对，所求的功为∫11504xdx＝2x2|1150＝250. 【答案】(1)√ (2)√ (3)√
2．一物体沿直线以 v＝2t＋1(t 的单位：s，v 的单位：m/s) 的速度运动，则物体在 t＝1 到 t＝2 之间行进的路程为( ) A．1 m B．2 m C．3 m D．4 m
解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在 弹簧上的力(单位：N)． 由题意，得F(x)＝kx，
且当 x＝0.05 m 时，F(0.05)＝100 N， 即 0.05 k＝100，所以 k＝2 000，所以 F(x)＝2 000x. 所以将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功为： W＝∫00.152 000xdx＝1 000x2|00.15＝22.5 (J)．
1.7.2 定积分在物理中的应用
学习目标 会用定积分解决物理中的基本问题(重点、 难点)．
知识提炼·梳理 1．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函 数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ _∫_bav_(_t)_d_t___.
1.7.2 定积分在物理中的应用
3 1
|2-t|dt=
2 1
|(2-t)|dt+
3 2
(t-2)dt=1.
答案:B
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3.做直线运动的质点在任意位置 x 处,所受的力 F(x)=1+ex,则质点沿 着与 F(x)相同的方向,从点 x1=0 处运动到点 x2=1 处,力 F(x)所做的功 是( )
A.1+e
B.e
C.1������
������ ������
F(x)dx.
目录 退出
预习交流 2
思考:求变力做功问题的关键是什么? 提示:(1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力 F 的表 达式,这是求功的关键. (2)由功的物理意义知,物体在变力 F(x)的作用下,沿力 F(x)的方 向做直线运动,使物体从 x=a 移动到 x=b(a<b).因此,求功之前还应求 出位移的起始位置与终止位置.
(3)根据变力做功公式 W=
������ ������
F(x)dx 即可求出变力 F(x)所做的功.
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课堂合作探究
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问题导学
一、求变速直线运动的路程
活动与探究 1 一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3(m/s)运动, 求点在 t=4 s 时的位置及经过的路程. 思路分析:因为位置决定于位移,所以它是 v(t)在[0,4]上的定积 分,而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0,4]上,哪些时间段 的位移为负.
解:当 1≤t≤2 时,v(t)=4-t2≥0; 当 2≤t≤4 时,v(t)≤0, ∴物体在 t=1 到 t=4 这段时间内的路程是
s=
2 1
v(t)dt+
23 1.7.2定积分在物理中的应用
1.7.2定积分在物理中的应用班级： 姓名： 小组：学习目标 1.了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2.掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
学习重点难点重点：定积分的概念及几何意义。
难点：定积分的基本性质及运算的应用。
学法指导 通过课前自主预习，理解定积分基本定理；小组合作探究得出用定积分解决物理中的简单问题的方法．课前预习 （阅读课本58-59页，独立完成以下题目）1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数)0)((),(≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即=s 。
2．如果物体沿恒力F 相同的方向移动了s （单位：m ），则力F 所做的功W = ．3．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 移动到x = b （a <b ），则变力F (x )所做的功=W 。
预习评价（学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况）1. 变速直线运动的物体速度为t t v -=2)(，则它在前s 1内所走的路程为 。
2. 一物体在变力24)(x x F -=作用下，沿与)(x F 相同的方向作直线运动，则由1=x 运动到2=x 时)(x F 作的功为 。
课堂学习研讨、合作交流一．新课探究：1.变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间区间[]b a ,上所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即 。
2.变力做功：如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同方向从a x =移动到),(b a b x <=则变力)(x F 所作的功W = 。
二．典型例题：例1：一辆汽车速度的速度﹣时间曲线如右图所示， 求汽车在这一分钟行驶的路程。
例2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所做的功。
三．变式训练：家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
1.7.2(2)定积分在物理中的应用
x
n
x
b
例题
例 如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉
到离水平位置l 米处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压
缩）弹簧所需的力Ｆ(x)与弹簧拉伸
（或压缩）的长度 x 成正比．
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
W
L
F( x)dx
0
L 0
kxdx
1kx 2 2
|0L
1 2
kl 2(J
)
答:克服弹力所作功的功为 1 kl 2J .
2
练习巩固
练习:
1.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,
克服弹力所作的功为( A )
(A)0.18J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J
2.
一物体在
力
F
(
x)
10 3 x
4
102.4J
3答案
3.一物体以速度 v(t) 2t 2 (m/s)作直线运动,媒质的
阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v2 ,试求在 时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功.
解:媒质的阻力为 F 0.7v2 = 2.8t4
取一小段时间t, t △t
x
取 x 为积分变量，x [0, 5] 5
x x
取任一小区间[x, x x],
3
这一薄层水的重力为
x
10 32 x W 90 x x,
W
5
90 x dx
0
90
x2 5 2
3462 (千焦)．
数学：172定积分的简单应用--在物理中的应用-PPT课件
Pa2(x2a)a (x)gd 7xg a3.
0
3
出
定积分在物理中的应用
习题
本节
1.弹簧原长0.30厘米，每压缩0.01m需力2N，
知识
引入
本节 求把弹簧从0.25m压缩到0.20m所作的功。
目的
与要 求
2.一个质点按规律x=t3作直线运动，介质的
本节 重点
阻力与速度成正比，求质点从x=0移到x=1时克服
二、平均值和均方差
本节
知识
引入
1.平均值
本节
目的
与要
求
本节 问题：求气温在一昼夜间的平均温度.
重点
与难
点 入手点：连续函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值.
本节
复习
指导 讨论思想：分割、求和、取极限.
主 页 后退 目录 退 出
定积分在物理中的应用
（1）分割：把 区 间 [ a ,b ] 分 成 n 等 分
R2x2
30R
2g 3
R3 .
定积分在物理中的应用
III. 平均值和均方差
本节 知识
引入 一、预备知识
本节
目的 与要
实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均
求
值来描述这个班的成绩的概况。
本节
重点
与难
点
本节 复习 指导
yy1y2yn n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
主 页 后退 目录 退 出
定积分在物理中的应用
II. 液体的静压力
本节 一、预备知识
知识
引入
由物理学知道，距液体表面深度为h处的
本节 目的
液体压强为pgh，这里 是液体密度， g 是
初中数学：1.7.2定积分在物理中的应用
v/m/s
A
B
30
O 10
C t/s
40 60
一、变速直线运动的路程
设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时
间区间[a,）变力所做的功
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线 运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方 向从x=a移动到x=b（a<b），那么变力 Ｆ（x）所作的功
例：如图：在弹性限度内，将一弹 簧从平衡位置拉到离水平位置L 米处，
求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或 压缩）弹簧所需的力Ｆ（x） 与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x成正比． 即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
解 所求功为
解：建立坐标系如图
这一薄层水的重力为
3
(千焦)．
作业：Ｐ６８４，５，６
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o
x
S
x0 0
x 2 dx
1 2
x0 2
1 2
x0
1 12
解之得： x0 1 所以，切线方程为： y＝2x－1;
§1.7.2 定积分在物理中的应用
定积分在物理中 的应用
1.变速直线运动的路程 2.变力做功
1.变速直线运动的路程
我们知道 ,作变速直线运动的物体
所经过的路程s,等于其速度函数v v t
F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
（2）如果将弹簧从平衡位置拉到离平衡 位置l m处，那么克服弹力所作的功为多 少？
l
W
l 0
kxdx
1kx2 2
l 0
1 2
kl 2 ( J
)
练习
如图所示,一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C 运动到D，其中AB 50m,BC 40m,CD 30m,变力
F
1
4
x
5(0
x
90) (其中x为距离,单位 : m,变力F
20,(x 90)
单位：N）在AB段运动时F与运动成30°角，在BC段运
动时F与运动方向成45?，在CD段F与运动方向相同，
求物体由A运动到D所做的功。
F
F
C
D
1125 3 450 2 600 F
4
B
A
E
6x
x2 )dx
3(x2 0
x3
6 x )dx
253. 12
在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线,
使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12。
求过点A的切线方程. y
设切点（x 0，x 0 2），则切线的斜率k＝2x 0 y x02 2x0 (x x0 )
y=x2 A
即，y 2x0(x x0 ) x02
v(m/s)
30 A
B
O 10
C 40 60 t(s)
s 30 60 30 135（0 m） 2
练习
一质点A以速度v1(t)＝3t2＋1（m/s） 在直线l上运动，另一质点B以速度v2(t) ＝10t（m/s）也在直线l上运动，若两质 点同时出发并同向运动，求经过多少时间 质点A比质点B多运动5m？
5s
2.变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，
并且物体沿着与F(x)相同的方向从 x＝a移动
到x＝b(a＜b)，那么如何计算变力F(x)所作的 功W？
b
W a F ( x)dx
其中F(x)是位移x的函数
例2、如图，在弹性限度内，将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置 x m处，那么
（1）拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关 系是什么？
计算由曲线 y x3 6x和 y x2所围成的图形
的面积.
解: 求两曲线的交点:
y x3 6x
y x2
y
x2
(0,0),(2,4),(3,9).
A1
0 2
(x3 6x x2 )dx
A2
3 0
(x2 x3 6x)dx
y x3 6x
于是所求面积 A A1 A2
A
0 (x3 2
v t 0在时间区间a,b上的定积分,
即
s
b
a
v
t
dt.
例1 一辆汽车在1min内的速度－时间曲
线如图所示，求汽车在这1min行驶的路程。
v(m/s)
解 由速度 时间曲线可知:
30 A
B
3t ,
vt 30,
0 t 10; 10 t 40;
C
1.5t 90,40 t 60.
O 10
40 60 t(s)因此汽车在这1min行驶的路程是
S
10
3tdt
40
30dt
60
1.5t
90
dt
0
10
40
3 t2 2
10 0
30t 40 10
3 t2 4
60
90t 40
1350 m .
答: 汽车在这1min行驶的路程是1350m.
方法2：根据定积分的几何意义.