广东省2018-2019年高三上学期12月月考试数学(理)
2018年12月广东省广州市高2019届高2016级高三广州市高三年级调研测试理科数学试题参考答案
2019届广州市高三年级调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1 14．16 15．11616．27三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1) 由B A A C B sin sin sin cos cos 222+=-，得B A A B C sin sin sin sin sin 222+=-． ……………………………………………2分 由正弦定理，得ab a b c +=-222，即ab c b a -=-+222， …………………………3分所以2122cos 222-=-=-+=ab ab ab c b a C ． ………………………………………………5分因为0Cπ<<，所以23C π=． ……………………………………………………6分 (2) 因为6A π=，所以6B π=． ……………………………………………………7分所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23C π=． 因为3443sin 212===∆a C ab S ABC ， ………………………………………………8分所以4=a ． ………………………………………………………………9分 在MAC ∆中，24,2,3AC CM C π===， 所以22212cos 164224282AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=++⨯⨯⨯=． ………11分 解得72=AM ．…………………………………………………………………………12分 18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下417.51622.54027.51232.51837.51042.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 100 2.541516204025123018351040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3020=． ……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为302030.2100=． ……………………………………………2分 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2． ………………………3分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为12，13，16， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为12，13，16． …………4分 随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480．………………………………………5分111(240)6636P X ==⨯=， 12111(300)369P X C ==⨯⨯=，1211115(360)263318P X C ==⨯⨯+⨯=， 12111(420)233P X C ==⨯⨯=，111(480)224P X ==⨯=，…………………………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列为：分所以11511()2403003604204804003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19．解：（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC AD ∥.因为AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ． ………………………………………………………………1分 同理CF ∥平面ADE ． ……………………………………………………………2分 又因为BC CF C = ，所以平面BCF ∥平面ADE ． …………………………3分 因为BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ． …………………………………4分 （2）法一：因为,CD AD CD DE ⊥⊥，所以ADE ∠是二面角A CD F --的平面角，即60ADE ∠=︒． ………………5分 因为AD DE D = ，所以CD ⊥平面ADE . 因为CD ⊂平面CDEF , 所以平面CDEF ⊥平面ADE .作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF . ………………6分 由2,3AD DE ==, 得1DO =，2EO =．以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(()(),3,1,0,0,1,0,(0,2,0),(3,5,0)A C D E F --，(OB OA AB OA DC =+=+=，……7分设()30G t ，，，15t -≤≤，则()32BE =- ，，，()0BG t = ，，设平面BEG 的法向量为() x y z =，，m ，则由0,0,m BE m BG ⎧=⎨=⎩得320,0,x y ty ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取2,3,,x t y z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ 得平面BEG的一个法向量为()2t =-m ， ……………………………8分O MHABCEDFG又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)=n ， ……………………………………9分所以cos ⋅<==，m n m n >m n…………………………10分14，解得12t =或1322t =-（舍去）， ……………………………………………11分 此时14CG CF =，得1342CG CF ==. 即所求线段CF 上的点G 满足32CG =．…………………………………………12分 法二：作BO CF ⊥于点O ，作OH EG ⊥的延长线于点H ，连结BH ．因为,,CD BC CD CF BC CF C ⊥⊥= ，所以CD ⊥平面BCF ， ……………………………………………………………5分BCF ∠为二面角A CD F --的平面角，60BCF ∠=︒． ……………………6分所以CD BO ⊥． 因为CD CF C = ，所以BO ⊥平面CDF ，BO EH ⊥．…7分 因为,OH EH OH BO O ⊥= ， 所以EH ⊥平面BOH ．……8分所以EH BH ⊥，BHO ∠为二面角B EG D --的平面角． ……………………9分 在Rt BCO ∆中，2,60BC BCO =∠=︒，所以1BO CO ==．又因为1cos 4BHO ∠=，所以tan BO BHO OH ∠==OH =．…………10分作EM CF ⊥于M ，则OGH EGM ∆∆ ，3,3EM CD CM DE ====，设OG x =，则OH EM OG EG =，即5x =， …………………11分 解得12x =，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =． ………………………12分20．解：（1）依题意有222221,2,331,4c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ………………………………3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………………………………………4分（2）设()1122(,),,A x y B x y ，设1F AB ∆的内切圆半径为r ，1F AB ∆的周长为121248AF AF BF BF a +++==，所以11442F AB S a r r ∆=⨯⋅=．……………………………………………………………5分 解法一：根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，………………6分由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=………………………………………7分 ()22(6)36340m m ∆=++>，m R ∈，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++，……………………………………8分112121221234F ABS F F y y y y m ∆∴=-=-==+，………10分令t =，则1t ≥，121241313F AB t S t t t∆∴==++． 令1()3f t t t =+，则当1t ≥时，21'()103f t t =->，()f t 单调递增，4()(1)3f t f ∴≥=，13F AB S ∆≤， ……………………………………………………11分即当1,0t m ==时，1F AB S ∆的最大值为3，此时max 34r =．故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34． ………………12分解法二：当直线l x ⊥轴时，331,,1,,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112132F AB S F F AB ∆==. .……………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=. …………………………………7分 ()()()22222(8)44341214410k k k k ∆=-+-=+>，由韦达定理得221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，………………………………………8分 1121212121()2F AB S F F y y y y k x x ∆∴=-=-=-==……………………………10分令243tk =+，则3t ≥，1103t <≤,1F ABS ∆∴====3<=.综上，当直线l 的方程为1x =时，1F AB S ∆的最大值为3，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34． ……………………………12分21．解：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，()233(2)122()1x ax x f x a x x x ---⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭. ………………………………………1分 (i)当0a ≤时，210ax -<恒成立，()0,2x ∈时，'()0f x >，()f x 在()0,2上单调递增；()2,x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在()2,+∞上单调递减； ……………………2分(ii) 当0a >时，由()0f x '=得，1232,x x x ===（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；……3分 ②当12x x >，即14a >时，x ⎛∈ ⎝或()2,x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，()f x在⎛ ⎝，()2,+∞单调递增；x ⎫∈⎪⎭时，()0f x '<恒成立，()f x在⎫⎪⎭上单调递减；……………4分③当12x x <即104a <<时，x ⎫∈+∞⎪⎭或()0,2x ∈时，()0f x '>恒成立，()f x在(0,2),⎫+∞⎪⎭单调递增；x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<恒成立，()f x在⎛ ⎝上单调递减；……………5分综上，当0a ≤时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间； 当14a >时，()f x单调递增区间为⎛ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为⎫⎪⎭； 当104a <<时，()f x单调递增区间为(0,2),⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝． …………………………………………………6分(2)由(1)知，当0a <时，()f x 单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)+∞，又因为()10f a =<， …………………………………7分 取01max{,5}x a =-，令1()2ln f x x x =-，21()f x x =，则12'()10f x x =->在(2,)+∞成立，故1()2ln f x x x =-单调递增，10()52ln 512(2ln 5)1f x ≥-=+->，0002220000011111()(2ln )0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<，（注：此处若写“当x →+∞时，()f x →-∞”也给分） 所以()f x 有两个零点等价于1(2)(22ln 2)04f a =-+>，得188ln 2a >--， 所以1088ln 2a >>--．……………………………………………………………8分当0a =时，21()x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；………9分当0a >且14a ≠时，()f x 有两个极值，1(2)(22ln 2)04f a =-+>，ln f a a a =-，记()ln g x x x x =-， …………………………………10分'()(1ln )1ln g x x x =+-=，令()ln h x x =+，则()3221122h x x x x '=-+=当14x >时，()0h x '>，'()g x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增； 当104x <<时，()0h x '<，'()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减． 故1()22ln 204g x g ⎛⎫''>=->⎪⎝⎭，()g x 在(0,)+∞单调递增． 0x →时，()0g x →，故ln 0f a a a =+->．……………………11分又1(2)(22ln 2)04f a =-+>，由(1)知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2⎛⎫- ⎪-⎝⎭. ……………………………………12分（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：(1) 依题意，直线1l的直角坐标方程为3y x =，2l的直角坐标方程为y =．…………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，………………………………………3分所以22((1)4x y +-=，………………………………………………………4分所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）． ……………………5分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………6分同理，2OB ρ==……………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOBS OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………9分 即AOB ∆的面积为 ……………………………………………………………10分 23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， ……………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； …………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； …………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． …………………………4分综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． …………………………5分 （2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ……………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+，…………………………8分所以113112aa⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a-≤≤，故所求实数a的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………………………………10分。
2018-2019学年广东省东莞市高三(上)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．（5分）设集合S＝，T＝{x|23x﹣1＜1}，则S∩T＝（）A．∅B．C．D．2．（5分）已知复数z满足：z•（1+i）＝2（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（5分）假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且EX＝6，则p的值为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.84．（5分）已知向量＝（l，1），＝（2，x），⊥（﹣），则实数x的值为（）A．﹣2B．0C．1D．25．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）A．1﹣B．3+C．2+D．47．（5分）二项式的展开式的常数项为（）A．±15B．15C．±20D．﹣208．（5分）在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6＝4，则log2b1+log2b2+…+log2b9＝（）A．6B．7C．8D．99．（5分）过点（0，1）且倾斜角为的直线l交圆x2+y2﹣6y＝0于A，B两点，则弦AB 的长为（）A．B．2C．2D．410．（5分）已知直线y＝kx+l与曲线y＝lnx相切，则k＝（）A．B．C．e D．e211．（5分）已知奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f（﹣1）＝0，当x＞0时f（x）+xf'（x）＞0恒成立，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围为（）A．（0，l）∪（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）∪（0，1）C．（1，+∞）∪（﹣1，0）D．（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）12．（5分）圆锥SO（其中S为顶点，O为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2：1．则圆锥SO与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A．9：32B．8：27C．9：22D．9：28二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．（5分）设随机变量X～N（1，δ2），且P（X＞2）＝，则P（0＜X＜1）＝．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，己知a＝3，C＝，△ABC 的面积为3，则边c＝15．（5分）实数x，y满足，且z＝3x﹣y，则z的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin x•cos2x（x∈R），则f（x）的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．）17．（12分）己知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S5＝60．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求的值．18．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B+b＝2c．（1）求角A的大小：（2）若AC边上的中线BD的长为，且AB⊥BD，求BC的长．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，点M是PC上的一个动点，P A＝AB，∠DAB＝．（1）当PC⊥DM时，求证：PC⊥BM；（2）当P A∥平面MBD时，求二面角P﹣BD﹣M的余弦值．20．（12分）如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费Y（万元）的几组对照数据：（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程＝x+；（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？参考公式：＝，＝﹣．21．（12分）己知函数，函数g（x）＝xf（x）+2x2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x l）一g（x2）的最小值．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；（2）设过点的直线l'交曲线C1于A，B两点，且AB的中点为P，求直线l'的斜率．[选修4-5：不等式选讲」（本小题满分0分）23．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣2|﹣2．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）∃x∈R，使得f（x）≥0，求a的取值范围．2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．【解答】解：；∴．故选：D．2．【解答】解：由z•（1+i）＝2，得z＝，∴|z|＝．故选：B．3．【解答】解：假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且EX＝6，则X～B（10，p），∴EX＝10p＝6，解得p＝0.6．∴p的值为0.6．故选：C．4．【解答】解：；∵；∴；∴x＝0．故选：B．5．【解答】解：函数f（x）＝，可得：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，排除A；∵f（1）＝＜0，故排除B，C故选：D．6．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的个圆柱．故：V＝．故选：A．7．【解答】解：项式的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣3r，令6﹣3r ＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项为＝15，故选：B．8．【解答】解：各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6＝4，，所以：b5＝2则：b1•b9＝b2•b8＝b3•b7＝b4•b6＝4所以：log2b1+log2b2+…+log2b9，＝log2（b1•b2…b8•b9），＝log2（4•4•4•4•2），＝9，故选：D．9．【解答】解：根据题意，直线l的倾斜角为且过点（0，1），则直线l的方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0，圆x2+y2﹣6y＝0，即x2+（y﹣3）2＝9，圆心为（0，3），半径r＝3，则圆心（0，3）到直线l的距离d＝＝1，则弦AB的长为2×＝4；故选：D．10．【解答】解：∵y＝lnx，∴y′＝f′（x）＝，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为k＝f′（m）＝，即曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm＝（x﹣m）．即y＝x+lnm﹣1，∵直线y＝kx+1与曲线y＝lnx相切，∴＝k，且lnm﹣1＝1，即lnm＝2，则m＝e2，则k＝．故选：A．11．【解答】解：由题意可设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x），∵当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0，∴则当x＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）＝xf（x）在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，函数g（x）的图象大致如图：∵不等式f（x）＞0⇔＞0，∴或，由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：C．12．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，圆锥的外接球的半径为R，由于圆锥SO的侧面积与底面积之比为2：1，则πrl＝2πr2，所以，l＝2r，则圆锥SO的高为，所以，圆锥SO的外接球的直径为，∴，圆锥SO的体积为，它的外接球的体积为，因此，圆锥SO与它外接球的体积比为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．【解答】解：由随机变量X～N（1，δ2），可得μ＝1，又P（X＞2）＝，∴P（0＜X＜1）＝．故答案为：．14．【解答】解：∵a＝3，C＝，△ABC的面积为3＝ab sin C＝＝，∴b＝4，∴c＝＝＝．故答案为：．15．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足实数x，y满足的可行域，当直线z＝3x﹣y平移到点A时，z＝3x﹣y取最小值，∴当x＝﹣4，y＝﹣1时，z＝3x﹣y取最小值为：﹣11．故答案为：﹣11．16．【解答】解：f（x）＝sin x cos2x＝sin x（1﹣2sin2x）＝sin x﹣2sin3x，设t＝sin x，则t∈[﹣1，1]，∴f（t）＝﹣2t3+t，t∈[﹣1，1]，∴f′（t）＝﹣6t2+1，令f′（t）＝0，解得t＝±，当x∈[﹣1，﹣），（，1]时，f′（t）＜0，则函数f（t）单调递减，当x∈（﹣，）时，f′（t）＞0，则函数f（t）单调递增，∵f（1）＝﹣2+1＝﹣1，f（﹣）＝1﹣，∴f（x）的最小值为f（1）＝﹣1，故答案为：﹣1三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．）17．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S5＝60．故：，解得：a1＝4，d＝4，故：a n＝4+4（n﹣1）＝4n．（2）由于：a n＝4n，所以：，所以：，故：＝＝．18．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a cos B+b＝2c，∴由正弦定理可得：2sin A cos B+sin B＝2sin C，∴可得：2sin A cos B+sin B＝2sin C＝2sin（A+B）＝2sin A cos B+2cos A sin B，∴sin B＝2cos A sin B，…2分∵sin B≠0，∴cos A＝，…4分∵A∈（0，π），∴A＝…6分（2）在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，AB＝＝1，…8分∵D为AC的中点，∴AC＝2AD＝4，…9分在△ABC中，BC2＝42+12﹣2×＝13，…11分∴BC＝…12分19．【解答】证明：（1）∵P A⊥底面ABCD，DB⊂底面ABCD，∴P A⊥BD．又底面ABCD为菱形，连接AC交BD于O，∴AC⊥BD，∵AC∩P A＝A，AC⊂面P AC，P A⊂面P AC，∴BD⊥面P AC．BD⊥PC．又PC⊥DM，DM∩BD＝D，∴PC⊥面MBD，∴PC⊥BM．解：（2）由（1）得BD⊥面P AC，∴PO⊥BD，OM⊥BD，PO⊂面PBD，MO⊂面BDM．∴∠POM就是二面角P﹣BD﹣M的平面角，cos＝sin∠POA＝．∴二面角P﹣BD﹣M的余弦值为．20．【解答】解：（1）根据表中所给数据可得：，，，．∴，．∴y关于x的线性回归方程为；（2）由（1）得：当x＝10时，，即技术改造后，使用10年的维修费用为8.1万元．相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元．21．【解答】解：（1）由，得f′（x）＝，由f′（x）＜0，解得：x＞e，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜e．∴f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；（2）∵g（x）＝xf（x）+2x2＝lnx+2x2+bx，∴g′（x）＝．令g′（x）＝0，得4x2+bx+1＝0，由于△＝．设方程两根分别为x1，x2，则．＝＝＝．设，则，∵0＜x1＜x2，∴t＝∈（0，1），又b，∴，∴．整理得：12t2﹣145t+12≥0，解得t或t≥12．∴t∈（0，]．h′（t）＝＜0．∴h（t）在（0，]上单调递减．则．故g（x l）﹣g（x2）的最小值是．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），∴曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，∵直线l的极坐标方程为，∴直线l的普通方程为y＝x，联立，解得或，∴直线l与曲线C1的公共点的极坐标为（0，0），（，）．（2）依题意，设直线l′的参数方程为（α为倾斜角，t为参数），代入（x﹣1）2+y2＝1，整理，得：t2+（cosα+sinα）t﹣＝0，∵AB的中点为P，∴t1+t2＝0，∴cosα+sinα＝0，即tanα＝﹣1，∴直线l'的斜率为﹣1．[选修4-5：不等式选讲」（本小题满分0分）23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|﹣2，令f（x）≥0，①当x≤﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣2）﹣2＝﹣5≥0，矛盾；②当﹣1＜x＜2时，（x+1）+（x﹣2）﹣2≥0，所以≤x＜2，③当x≥2时，（x+1）﹣（x﹣2）﹣2≥0，解得x≥2，综上所述，不等式的解集为{x|≤x}．……（6分）（2）因为f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣2≥0，|x+a|﹣|x﹣2|≥2，……（7分）因为，|x+a|﹣|x﹣2|≤|x+a﹣x+2|＝|2+a|所以只需|a+2|≥2，……（8分）解得0≤a或a≤﹣4，所以a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．……（10分）。
广东省2018-2019学年高三年级第一学期期末质量检测理科数学试题(含答案)
广东省2018—2019高三年级期末质量检测考试数 学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【1】已知集合}30|{≤≤=x x M ，}021|{≥-+=xx x N ，则=N M （ ） （A ）}20|{≤≤x x （B ）}20|{<≤x x （C ）}01|{≤≤-x x （D ）}32|{≤<x x【2】复数i)i21(5-在复平面内对应的点的坐标为（ ）（A ）)12(，（B ）)12(-，（C ）)21(，（D ）)21(，- 【3】若31sin -=α，且α为第四象限角，则)tan(απ-的值等于（ ） （A ）42（B ）22-（C ）22（D ）42- 【4】已知左、右焦点分别为21,F F 的双曲线C ：)0(1222>=-a y ax 过点)3615(-，，点P 在双曲线C 上，若31=PF ，则=2PF （ ）（A ）3（B ）6（C ）9（D ）12【5】已知0>m ，下列函数中，在其定义域内是单调递增函数且图象关于原点对称的是（ ） （A ）x m y -=（B ）mx y tan =（C ）xm x m y -+=ln （D ）mx y =【6】若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图。
该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图。
已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）（A ）6500元（B ）7000元（C ）7500元（D ）8000元【7】已知向量)1,(t =与),4(t ==--+2a （ ） （A ）235（B ）240（C ）245（D ）255【8】拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何。
广东省佛山市广东省一级中学2018-2019学年高三数学理月考试卷含解析
广东省佛山市广东省一级中学2018-2019学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 二项式展开式中的第三项与第五项的系数之比为，其中为虚数单位，则展开式的常数项为（）A .B .C .D .参考答案：C略2. 已知函数，若，且，则的最小值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D3. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（）A．B．C．8 D．9参考答案：D由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图所示：，故选：D4. 设F1，F2分别是双曲线C：﹣=1的左，右焦点，点P（，）在此双曲线上，且PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率P等于( )A．B．C．D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：点P在双曲线上，所以带入双曲线方程可得①，而根据PF1⊥PF2得到②，所以由①②再结合b2=c2﹣a2即可求出a，c，从而求出离心率．解答：解：根据已知条件得：；解得；∴解得；∴双曲线C的离心率为：．故选B．点评：考查双曲线的标准方程，点在曲线上时，点的坐标和曲线方程的关系，以及两点间的距离公式，c2=a2+b2．5. 已知变量满足，则的取值范围为（）A．[－2,2] B．(－∞,－2] C. (－∞,2] D．[2,+∞)参考答案：C如图：可得当，时取得最大值，所以，故选6. 下面是关于复数的四个命题：；：；: 的共轭复数为；：的虚部为其中的真命题为A．, B．, C．，D．,参考答案：，，的共轭复数为，的虚部为7. 若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．±1B．﹣1 C．0 D．1参考答案：B【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数是纯虚数，实部为0虚部不为0，求出a的值即可．【解答】解：因为复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，所以a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得a=﹣1．故选B．【点评】本题考查复数的基本概念的应用，实部为0并且虚部不为0，是解题的关键．8. 设全集＜，集合，则等于A. B. C. D.参考答案：D略9.已知曲线f(x)=x3+x2+x+3在x= -1处的切线恰好与抛物线y=2px2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为（）A.4B.C.8D.参考答案：答案：A解析：由已知可得k=f′(-1)=3×(-1)2+2×(-1)+1=2,又由切点为（-1，2）得其切线方程为y-2=2(x+1),即y=2x+4.设此直线与抛物线切于点（x0,2px),则k=4px0=2,得px0=,又2x0+4=2px,解得x0=-4,p= -,由此可得抛物线的方程为x2= -4y,其过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为4，故应选A10. 函数上的最大值和最小值之和为，则的值可以为A． B．2 C. D．4参考答案：答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数则=_______________．参考答案：略12. 已知函数的定义域为，集合，若：“”是：“”的充分不必要条件，则实数的取值范围；参考答案：13. 已知向量，, 若// , 则实数等于_________.参考答案：略14. 设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.参考答案：36415. 若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是__________参考答案：略16. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．参考答案：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。
(解析版)广东省惠阳高级中学2018届高三上学期12月月考
惠高2018届高三12月月考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1. 已知集合，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，选B.2. 已知复数z满足(1－i)z=i，则复数在复平面内的对应点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】，故选C3. 已知向量，，若，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】由，，，可得：，即所以故选：C4. 设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是( )A. B. π C. 2π D.【答案】A【解析】f(x)＝sinωx的图象C的对称中心到对称轴的距离最小值为.所以.故选A.5. 点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】点到直线的距离为.故选D.6. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( )A. 80B. 84C. 88D. 92【答案】A【解析】由题设可知当时，，程序运算继续执行，程序运算继续执行，程序运算继续执行，故此时运算程序结束，输出，应选答案A。
7. 一个棱锥的三视图如上图所示，则它的体积为( )A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，棱锥以俯视图为底面，以主视图的高为高,所以故，所以答案为A.考点：由三视图求几何体的体积.8. 已知命题p：对任意x∈R，总有；q：“”是“a>l，b>l”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】命题：对任意，总有；是假命题，例如取时，与相等．由；反之不成立，例如取是的必要不充分条件，是假命题．∴下列命题为真命题的是故选：D．点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 将函数的图像向左平移个单位后，所的图像的解析式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将函数的图像向左平移个单位后，得到.故选A.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.10. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为所以选C．考点：比较大小视频11. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. 和 D.【答案】D【解析】⇒.令f′(x)>0⇒−3<x<1故f(x)在(−3,1)上单调递增。
广东省深圳市南头中学2018-2019学年第一学期高三期末考试理科数学试题
数学(理科)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．已知复数z满足（1﹣i）z＝2+i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．B．C．D．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|y}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}3．下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）内单调递增的为（）A．y＝x﹣2B．y＝﹣x﹣2C．y＝x﹣3D．y＝﹣x﹣34．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝25，则{a n}的通项公式为（）A．2n+1 B．2n C．2n﹣1 D．n+15．某地在国庆节7天假期中的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①成交量的中位数为16；②认购量与日期正相关；③日成交量超过日平均成交量的有2天，则上述判断中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．已知曲线C的方程为y＝ln（x+1）+e2x，则曲线C在点A（0，1）处的切线方程为（）A．y＝3x+1 B．y＝2x+1 C．y＝﹣3x+1 D．y＝﹣2x+17．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则该几何体的体积是（）A．3πB．4πC．πD．8．下列说法错误的是（）A．“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件B．若p∧q为假命题，则￢p，￢q均为真命题C．命题“若|x|＝1，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则|x|≠1”D．若命题p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，恒有x2﹣x+1≥09．设数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，且对任意正整数n，满足2a n+1+S n﹣2＝0，则数列{a n}的通项公式a n＝（）A．B．C．D．10．过双曲线：的焦点F作其渐近线的垂线，垂足为A，直线F A交双曲线的另一条渐近线于B点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．311．设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[，）12．在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，若BD⊥CE，则cos A的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在（x）6的展开式中的常数项为．14．已知等差数列{a n}前项和为S n，若S11＝66，则a3+a5+a10＝．15．已知椭圆＞＞的离心率，F1，F2是其左，右焦点．点P是椭圆上的一个动点，延长线段F1P至点Q，使得，若|QF2|的最小值为6，则椭圆的方程为．16．在三棱椎P﹣ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面P AB是直角三角形，且P A＝PB＝1，P A⊥AC，则该三棱椎外接球的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a＝b cos C c sin B．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设边AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，若b ，且BD ＝2CD ，求边c 的长． 18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝PB ，底面ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD． （Ⅰ）证明：PD ⊥AB ；（Ⅱ）若PD ＝2，求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．19．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P （t ，4）（t ＞p ）是抛物线C 上一点，且满足|PF |＝5． （Ⅰ）求p ，t 的值；（Ⅱ）设A ，B 是抛物线C 上不与P 重合的两个动点，记直线P A ，PB 与C 的准线的交点分别为M ，N ，若MF ⊥NF ，问直线AB 是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由．20．某人沿固定路线开车上班，沿途共有5个红绿灯，他对过去30个工作日上班途中的路况进行了统计，得到了如表的数据：若一路绿灯，则他从家到达公司只需用时20分钟，每遇一个红灯，则会多耗时2分钟，以频率作为概率的估计值（Ⅰ）试估计他平均每天上班需要用时多少分钟？（Ⅱ）若想以不少于80%的概率在早上9点前（含9点）到达公司，他最晚何时要离家去公司？ （Ⅲ）公司规定，员工应早上9点（含9点）前打卡考勤，否则视为迟到，每迟到一次，会被罚款100元．因某些客观原因，在接下来的3个工作日里，他每天早上只能8：32从家出发去公司，求他因迟到而被罚款的期望．21．已知函数f （x ）＝kx （1﹣lnx ），其中k 为非零实数． （Ⅰ）f （x ）的极值；（Ⅱ）当k ＝4时，在函数g （x ）＝f '（x ）+x 2+2x 的图象上任取两个不同的点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．若当0＜x 1＜x 2＜t 时，总有不等式g （x 1）﹣g （x 2）≥4（x 1﹣x 2）成立，求正实数t 的取值范围： （Ⅲ）当k ＞0时，设x ，y ∈（0，+∞），证明：．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线T的极坐标方程是．（Ⅰ）求曲线T的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设点A（2，﹣2），M为曲线T上的动点，求△AMO的面积的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|ax﹣1|+|x+1|，g（x）＝x+2．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．D2．A3．B4．C5．D6．A7．C8．B9．A10．B11．D12．A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．由于（x）6展开式的通项公式为T r+1•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x）6展开式的常数项为20，14．∵等差数列{a n}前项和为S n，S11＝66，∴11a6＝66，解得a6＝6，∴a3+a5+a10＝3a6＝18．15．由，知P为线段F1Q的中点，设Q（x，y），则，．∵点P在椭圆上，∴，∴Q点的轨迹方程为，即Q的轨迹是以F2（c，0）为中心的椭圆，∴|QF2|min＝2b．∵|QF2|的最小值为6，∴2b＝6，∴b＝3．∵椭圆的离心率，∴，∴a2＝12．∴椭圆的方程为．16．因为P A＝PB＝1，且侧面P AB是直角三角形，所以，因为底面ABC是等边三角形，所以AC＝BC＝AB，所以△APC≌△BPC，所以∠P AC＝∠PBC＝90°，取PC中点O，则在直角三角形P AC与直角三角形PBC中，可知OA＝OB＝OC＝OP，所以点O即为球心，且，所以，所以．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（Ⅰ）∵a＝b cos C c sin B，∴由正弦定理可得sin A＝sin B cos C sin C sin B，又∵sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，∴sin B cos C+cos B sin C＝sin B cos C sin C sin B，可得cos B sin C sin C sin B，∵sin C≠0，∴cos B sin B，即tan B，∵B∈（0，π），∴B．（Ⅱ）如图，AB的垂直平分线ED交边BC于点D，b，B，BD＝2CD，设CD＝x，则BD＝2x，ED＝x，BE x，∴AB＝2x，∴在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos B，可得3＝（2x）2+（3x）2﹣2×（2x）×3x，整理可得x＝1，∴AB＝2，即c的长为2．18．（Ⅰ）证明：连接BD，因为底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，所以三角形ABD为等边三角形，取AB中点O，连接OD、OP，所以OD⊥AB，且P A＝PB，所以OP⊥AB，且OD∩OP＝O，所以AB⊥平面OPD，所以AB⊥PD．（Ⅱ）解：因为P A＝PB，且AB＝2，所以∠APB＝90°，所以PO＝1，OD，又因为PD＝2，所以OP⊥OD，又因为OP⊥AB，所以OP⊥平面ABCD，所以，以OA、OD、OP方向建立空间直角坐标系，如图所示，得坐标，，，，，，，，，，，，则，，，，，，，，，设平面PBC的法向量为，，，则，令y＝1，则，，则，，，设PD与平面PBC所成角为θ，则．19．（I）由题意得抛物线的准线方程：x，由题意得：42＝2pt，且t5，t＞p，解得：t＝4，p＝2；（II）由（I）得抛物线的焦点F（1，0），P（4，4）显然直线AB的斜率不为零，设直线AB方程为：x ＝my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），直线P A的斜率，故直线P A的方程为：y﹣4，令x＝﹣1，得，故M的坐标为（﹣1，），同理N的坐标为（﹣1，），（2，﹣y M），（2，﹣y N）），由MF⊥NF得，0，所以：4+y M y N＝0，得4•0，化简得y 1y 2＝﹣4， 由，联立解方程组得：y 2﹣4my ﹣4b ＝0，所以y 1y 2＝﹣4b ，故b ＝1， 所以直线AB 的方程x ＝my +1， 恒过定点（1，0），故存在定点（1，0），满足条件．20．（Ⅰ）依题意，上班所需时间的频率分布表如下，他平均每天上班需要用时为20222426283027.8分钟； （Ⅱ）依题意，若想以不少于80%的概率在早上9点前（含9点）到达公司，则红灯数最多为3， 路上共用26分钟，故他最晚比9：00提前26分钟，即最晚要8：34离家去公司； （Ⅲ）他每天早上只能8：32从家出发去公司，则每天被处罚的概率为，设他因迟到被罚款的次数为X ，则X ～B （3，），所以E （X ）＝3，所以他因迟到而被罚款的期望Y ＝200E （X ）＝40元．21．（I ）f （x ）＝kx （1﹣lnx ），其中k 为非零实数，f '（x ）＝﹣klnx ，x ＞0，当k ＜0时，x ∈（0，1），f '（x ）＜0，f （x ）递减；x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）递增， f （x ）有极小值f （1）＝k （1﹣0）＝k ，当k＞0时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，f（x）有极大值f（1）＝k；（II）k＝4时，f'（x）＝﹣4lnx，g（x）＝﹣4lnx+x2+2x，令F（x）＝g（x）﹣4x＝﹣4lnx+x2﹣2x，x∈（0，t），根据题意只需判断F（x）单调递减即可，F'（x），当x∈（0，2）时，F'（x）＜0，F（x）递减；当x∈（2，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）递增；故0＜t≤2；（III）k＞0时，根据（I）f‘（x）＝﹣klnx，x∈（0，1），f（x）递增；x∈（1，+∞），f（x）递减，对函数h（x）＝f（x）+f（y）﹣2f（），当0＜x＜y，h'（x）＝f'（x）﹣2f'（）＝﹣klnx+kln kln＞kln1＝0，故h（x）在x∈（0，y）递增，同理当x＞y时，h'（x）＜0，h（x）在（y，+∞）递减故h（x）的最大值为h（y）＝f（y）+f（y）﹣2f（y）＝0，故h（x）≤0，故成立．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．曲线T的极坐标方程是．转换为直角坐标方程为：4x2+4y2﹣3x2＝4，整理得：．（Ⅱ）点A（2，﹣2）所以OA的直线方程为x+y＝0．点M为上任意一点，所以M（2cosθ，sinθ），所以点M到直线x+y＝0的距离d═，当sin（θ+α）＝1时，，所以．23．[选修4-5：不等式选讲]（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|，＞，，＜．∵f（x）≤g（x），g（x）＝x+2，∴＞或或＜，∴1＜x≤2或﹣1≤x≤0或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}．（Ⅱ）当x∈[1，2]，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即|ax﹣1|≤1，对∀x∈[1，2]恒成立，当a＝0时，显然成立，当a＞0时，由|ax﹣1|≤1，得，要使|ax﹣1|≤1，对∀x∈[1，2]恒成立，则，∴a≤1，又a＞0，∴0＜a≤1；当a＜0时，由|ax﹣1|≤1，得，显然对∀x∈[1，2]，|ax﹣1|≤1不成立，综上，a的取值范围为[0，1]．。
广东13大2019高三上年末数学(理)试题分类汇编17：几何证明选讲
图3广东13大2019高三上年末数学（理）试题分类汇编17：几何证明选讲几何证明选讲1、〔惠州市2018届高三上学期期末〕如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 通过圆心O ，1OB PB ==，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ，那么PD 的长为、【解析】∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA ，∴60AOB ∠=，∴120POD ∠=，在△POD 中由余弦定理， 得：2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠ =1414(72+-⨯-=、 解析2：过点D 作DE ⊥PC 垂足为E ，∵120POD ∠=， ∴60DOB ∠=， 可得12OE =，2DE =，在Rt PED ∆中，∴PD ===、2、〔江门市2018届高三上学期期末〕如图3，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 通过圆心。
6=PA ，317=AB ，12=PO 。
那么圆O 的半径____=R 、答案：8 3、〔茂名市2018届高三上学期期末〕如图，⊙O 的直径AB ＝6cm ，P 是AB延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 假设∠CPA ＝30°，PC ＝_____________ 答案：4、〔东莞市2018届高三上学期期末〕如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，直线MN 切O 于D ，60MDA ∠=，那么BCD ∠=、图2答案： 1505、〔佛山市2018届高三上学期期末〕如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F 、假设3AD AE =，那么:AF FC =、答案：1：4 6、〔广州市2018届高三上学期期末〕如图2，AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，假设4AP =，2PB =，那么PC 的长是. 答案：7、〔汕头市2018届高三上学期期末〕圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为，AB ＝3，那么切线AD 的长为＿＿＿＿8、〔肇庆市2018届高三上学期期末〕如图3,△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D,4BD =，那么CD =.解析:4∵A 、B 、C 、D 共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵=,∴∠DAC=∠DBC.而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=4BD =.9、〔珠海市2018届高三上学期期末〕〔几何证明选讲选做题〕如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，假设PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，那么BD 等于. 答案：610、〔增城市2018届高三上学期期末〕圆O 割线PAB 交圆O 于B A ,)(PB PA <两点，割线PCD 通过圆心O )(PD PC <，6=PA ,317=AB ,10=PO ;那么圆O 的半径是、答案：52F ABCD E Ml11、〔湛江市2018届高三上学期期末〕如图圆上的劣弧CBD所对的弦长CD，弦AB是线段CD的垂直平分线，AB＝2，那么线段AC的长度为＿＿＿＿。
2018届广东省惠阳高级中学高三上学期12月月考试题 数学(理)
2018届广东省惠阳高级中学高三上学期12月月考试题 数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1.已知集合{}{}|1,|12A x N x B x x =∈≤=-≤≤，则AB =( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C. []1,1-D.{}1 2．已知复数z 满足(1－i )z =i ，则复数z 在复平面内的对应点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量(),1a x =-， ()1,3b =，若a b ⊥，则a =（ ）4. 设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D. π4 5.点()5,2A 到直线032:=+-y x l 的距离为（ ）A.52 B ．55 C. 5 D ．552 6.执行如图所示的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为( )A ．80B ．84 C.88 D ．927．一个棱锥的三视图如上图所示，则它的体积为( )A ．12B ．32C ．1D ．138．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有22x x >；q ：“1ab >”是“a >l ，b >l ”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是 ( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝ 9.将函数x y 2sin =的图像向左平移6π个单位后 ，所的图像的解析式是（ ） A ． ⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 10.已知312-=a ，31log 2=b ，31log 21=c 则（ ） A. c b a >> B. b c a >> C. b a c >> D. a b c >> 11. 函数()()x e x x f 23-=的单调递增区间是（ ） A. ()0,∞- B. ()+∞,0 C. ()3,∞-和()+∞,1 D.()1,3-12.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线均与圆05622=+-+x y x 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为（ ） A ．36 B ．26C. 553 D ．25二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．.在平面内的动点(),x y 满足不等式30100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，2z x y =+则的最大值是____________14，在522a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x -的系数为320，则实数a =__________．15. 已知,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭παπ，4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________.16.设函数⎩⎨⎧≥-<+=0,0,)(22x x x x x x f ，若2))((≤a f f ，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、已知数列{}n a 的前n 项和()1112n S n na =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}12n n a -⋅的前n 项和n T ．18.当前，网购已成为现代大学生的时尚，某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物． （Ⅰ）求这４个人恰有１人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ，η分别表示这４个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X ξη=，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X .19. 如图，四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，,22==BC AD90=∠=∠ABC BAD .（1）证明：BC PC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30，求二面角D PC B --的余弦值.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为62，且过点)1,2(A .（1）求椭圆C 的方程；明：直线PQ 的斜率为定值.21．已知函数()()21ln 2f x a x x a R =-∈. （1）求1a =时，求()f x 的单调区间； （2）讨论()f x 在定义域上的零点个数.选做题（请考生在22、23两题中任选其一解答，多选按第一题给分） （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数). 在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθC(Ⅰ) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲 设()|1|f x ax =-．（Ⅰ）若()2f x ≤的解集为[]6,2-，求实数a 的值；（Ⅱ）当2a =时，若存在x R ∈，使得不等式(21)(1)73f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围．惠高18届高三12月月考理科数学答题卡13 14 15 16 解答题17（12分）18（12分）19（12分）20（12分）21（12分）22（23）（12分）1-12 BCCACAADACDC13，6 14 2 15 1617解：（Ⅰ）∵()1112n S n na =+，∴()11112a a =+，∴11a = ∴()112n S n n =+，∴()1112n S n n -=-，两式相减得()2n a n n =≥而当1n =时，11a =也满足n a n =，∴n a n = （Ⅱ）123112232422n n T n -=+⨯+⨯+⨯++⋅则()2312122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅两式相减得()1231121223222212112nn nn n n T n n n ---=+++⨯++-⋅=-⋅=-⋅--∴()121nn T n =-⋅+18.解：（Ⅰ）这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为13，去京东商城购物的概率为23， 设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件i A （0,1,2,3,4i =），则4412()()()(0,1,2,3,4)33i i ii P A C i -==．这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率113141232()()()3381P A C ==． （Ⅱ）易知X 的所有可能取值为0，3，4．0044400444121216117(0)()()()()()()3333818181P X P A P A C C ==+=+=+=，1133311344121232840(3)()()()()()()3333818181P X P A P A C C ==+=+=+=，222241224(4)()()()3381P X P A C ====．所以X 的分布列是所以数学期望()0348181813E X =⨯+⨯+⨯=．19.解：（1）取AD 的中点为O ，连接CO PO ,，PAD ∆ 为等边三角形，AD PO ⊥∴.底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，AD CO ⊥∴，⊥∴=⋂AD CO PO ,0 平面POC ，⊂PC 平面PC AD POC ⊥,.又BC AD //，所以PC AD ⊥.（2）由面⊥PAD 面AD PO ABCD ⊥,知，⊥∴PO 平面ABCD ，OC OD OP ,,两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30，即30=∠CPO ，分别以→→→OP OD OC ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -，则),3,0,0(P),0,1,0(D )0,1,1(),0,0,1(-B C ，),0,1,0(=→BC )0,1,1(),3,0,1(-=-=→→CD PC ，设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =.⎩⎨⎧=-=∴030z x y ，则)1,0,3(=n， 设平面PDC 的法向量为),,(z y x m =，⎩⎨⎧=-=-∴030z x y x ，则)1,3,3(=m， 772724||||,cos ==⋅>=<n m n m n m, ∴由图可知二面角C SB A --的余弦值772-.20.解：（1）因为椭圆C 的焦距为62，且过点)1,2(A ， 所以622,11422==+c b a . 因为222c b a +=，解得2,822==b a ，所以椭圆C 的方程为12822=+y x . （2）设点),(),,(2211y x Q y x P ，则m kx y m kx y +=+=2211,，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,128,22y x m kx y 消去y 得0848)14(222=-+++m kmx x k ，（*） 则1484,1482221221+-=+-=+k m x x k km x x ， 因为0=+PQ PA k k ，即21212211---=--x y x y ， 化简得04)(2)(21211221=++-+-+y y x x y x y x .即044))(21(22121=+-+--+m x x k m x kx .（**） 代入得04414)21(814)84(2222=+-+---+-m k k m km k m k ， 整理得0)12)(12(=-+-k m k ， 所以21=k 或k m 21-=. 若k m 21-=，可得方程（*）的一个根为2，不合题意， 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为21.21．题：(1) ()f x 在定义域是()0,+∞， ()'a f x x x=-. 当1a =时， ()211'x f x x x x-=-=.当()0,1x ∈时， ()'0f x >，当()1,x ∈+∞时，由()'0f x <， 所以()f x 单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞.(2)∵()2'a a x f x x x x-=-=. (i)当0a <时， ()'0f x <， ()f x 在区间()0,+∞上单调递减，当0x →时， ()f x →+∞，当x →+∞时， ()f x →-∞，所以在()f x 区间()0,+∞上只有一个零点.(ii)当0a =时， ()2102f x x =-<恒成立，所以()f x 在区间()0,+∞上没有零点. (iii)当0a >时，当(x ∈时， ()'0f x >， ()f x在区间(上单调递增；当)x ∈+∞时， ()'0f x <， ()f x在区间)+∞上单调递减，所以当x = ()f x取极大值()ln 12a f a =-.①当a e =时，极大值0f=，()f x 在区间()0,+∞上有1个零点.②当0a e <<时，极大值0f <，()f x 在区间()0,+∞上没有零点.③当a e >时，极大值0f >， 当0x →时， ()f x →-∞，当x →+∞时， ()f x →-∞，所以()f x 在区间()0,+∞上有2个零点，综上，当0a e ≤<时，函数没有零点，当0a <或a e =时函数有1个零点；当a e >时函数有2个零点.（22）解：(Ⅰ) 由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分 所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………2分由4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, ……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分 将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分 (Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为()1,1+ααP , ………………………………6分 则点P 到直线l的距离为=d 7分==………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, max =d , ………………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为10分23.解：（Ⅰ）显然0a ≠，当0a >时，解集为13,a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，16a -=-，32a =，无解；当0a <时，解集为31,a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，令12a -=，36a =-，12a =-． 综上所述，12a =-． （Ⅱ）当2a =时，令()(21)(1)|41||23|h x f x f x x x =+--=+--124,,41362,,42324,.2x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩由此可知，()h x 在1(,)4-∞-单调递减，在13(,)42-单调递增，在3(,)2+∞单调递增， 所以当14x =-时，()h x 取到最小值72-． 由题意知，7732m -≤-，即实数m 的取值范围为7(,]2-∞．。
2018-2019学年广东省高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年广东省高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤3}，，则M∩N＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|﹣1≤x≤0}D．{x|2＜x≤3} 2．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣1，2）3．（5分）若，且α为第四象限角，则tan（π﹣α）的值等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：过点，点P在双曲线C上，若|PF1|＝3，则|PF2|＝（）A．3B．6C．9D．125．（5分）已知m＞0，下列函数中，在其定义域内是单调递增函数且图象关于原点对称的是（）A．B．y＝tan mx C．D．y＝x m6．（5分）若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元7．（5分）已知向量与共线且方向相同，则＝（）A．235B．240C．245D．2558．（5分）8、拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何．他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外（内）侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形．如图所示，以等边△GEI的三条边为边，向外作3个正三角形，取它们的中心A，B，C，顺次连接，得到△ABC，图中阴影部分为△GEI与△ABC的公共部分．若往△DFH中投掷一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数的最大值为2，周期为π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．（5分）如图所示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．24πC．16πD．8π11．（5分）在凸平面四边形ABCD中，∠ABC+∠CDA＝π，且AB＝AD＝7，BC＝3，CD＝5，则△CBD的面积S等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）在R上存在导函数f'（x），若f（x）﹣f（﹣x）＝2x3，且x≥0时f'（x）﹣3x2≥0，则不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞7x3+3x2﹣3x+1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式展开式中的常数项为．14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝（x﹣1）2+（y﹣5）2的最小值为．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，AC交BD于O，E是棱AA1的中点，则直线OE被正方体外接球所截得的线段长度为．16．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（1，4），直线P A，PB分别与抛物线C交于点A，B，若直线P A，PB的斜率之和为零，则直线AB的斜率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}是递增的等差数列，a3＝7，且a4是a1与27的等比中项．（1）求a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）水果的价格会受到需求量和天气的影响，某采购员定期向某批发商购进某种水果，每箱水果的价格会在当日市场价的基础上进行优惠，购买量越大优惠幅度越大，采购员通过对以往的10组数据进行研究，发现可采用y＝ax b来作为价格的优惠部分y（单位：元/箱）与购买量x（单位：箱）之间的回归方程，整理相关数据得到如表（表中X i＝lnx i，Y i＝lny i）：（1）根据参考数据，①建立y关于x的回归方程；②若当日该种水果的市场价为200元/箱，估算购买100箱该种水果所需的金额（精确到0.1元）（2）在样本点中任取一点，若它在回归曲线上或上方，则称该点为高效点，已知这10个样本点中，高效点有4个，现从这10个点中任取3个点，设取到高效点的个数为ξ，求ξ的数学期望．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣数据参考：e≈2.7182819．（12分）在多面体AFCDEB中，BCDE是边长为2的正方形，CF∥AB，平面ABCF⊥平面BCDE，AB＝2FC＝2，AB⊥CE．（1）求证：BD⊥平面CFE；（2）求直线EF与平面ADF所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，是椭圆C上的点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k且在x轴上的截距为2的直线l与椭圆C相交于两点A，B，若椭圆C 上存在点Q，满足，其中O是坐标原点，求k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax．（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当时，设，若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系中，点，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣12＝0，点N在曲线C上运动，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）求直线l的极坐标方程与曲线C的参数方程；（2）求线段MN的中点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x﹣2|，g（x）＝x+1．（1）求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）当x∈（2a，﹣1+a]时，f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．2018-2019学年广东省高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：集合M＝{x|0≤x≤3}，＝{x|≤0}＝{x|﹣1≤x＜2}，则M∩N＝{x|0≤x＜2}．故选：B．2．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1）．故选：B．3．【解答】解：∵，且α为第四象限角，∴cosα＝＝，∴tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣＝．故选：A．4．【解答】解：左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：过点，可得：，解得a＝3，b＝1，c＝，a+c＞3，点P在双曲线C上，若|PF1|＝3，可得p在双曲线的左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝6+3＝9．故选：C．5．【解答】解：根据题意，若函数的图象关于原点对称，则该函数为奇函数；依次分析选项：对于A，y＝﹣为反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，y＝tan mx，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于C，y＝ln，必有＞0，解可得﹣m＜x＜m，则函数的定义域为（﹣m，m），f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，且在其定义域内是单调递增函数，符合题意；对于D，y＝x m，当m＝时，f（x）不是奇函数，不符合题意；故选：C．6．【解答】解：设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x＝8000．故选：D．7．【解答】解：向量与共线，∴t2﹣4＝0，解得t＝±2；又与方向相同，∴t＝2，∴＝（2，1），＝（4，2），∴+3＝（14，7），∴＝142+72＝245，又2﹣＝（0，0），∴＝0，∴＝245．故选：C．8．【解答】解：设等边△GEI的边长为3a，则△DFH的边长为6a，等边△AMN的边长为a，则，阴影部分的面积S阴影＝S△EGI﹣3S△AMN＝＝．由测度比为面积比可得：往△DFH中投掷一点，则该点落在阴影部分内的概率为P＝．故选：A．9．【解答】解：∵函数f（x）＝A cosωx cosφ+A sinωx sinφ＝A cos（ωx﹣φ）的最大值为2，∴A＝2；∵函数的周期为＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝2cos（2x﹣φ）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到g（x）＝2cos（2x+﹣φ）的图象，若g（x）是偶函数，则﹣φ＝kπ，k∈Z．∴φ＝，则f（x）的解析式为f（x）＝2cos（2x﹣），故选：B．10．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体的外接球，相当于一个棱长为1，1，2的长方体的外接球，故外接球直径2R＝＝，故该三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝24π，故选：B．11．【解答】解：如图所示：在凸平面四边形ABCD中，∠ABC+∠CDA＝π，且AB＝AD＝7，BC＝3，CD＝5，则∠BAD+∠BCD＝π，由余弦定理可得：72+72﹣2×7×7×cos∠BAD＝32+52﹣2×3×5×cos∠BCD＝32+52+2×3×5×cos∠BAD，解得：cos∠BAD＝，故BD＝＝7，故△CBD的面积S＝＝，故选：D．12．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x3，∵f（x）﹣f（﹣x）＝2x3，∴f（x）﹣x3＝f（﹣x）﹣（﹣x）3．即g（x）＝g（﹣x），∴g（x）为偶函数．∵x≥0时f'（x）﹣3x2≥0，∴g（x）在[0，+∞）递增，不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞7x3+3x2﹣3x+1的解集⇔g（2x）＞g（x﹣1）．∴|2x|＞|x﹣1|⇒3x2+2x﹣1＞0∴或＜﹣1．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：展开式的通项为：T r+1＝C6r•＝（﹣2）r C6r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0得r＝4，所以展开式的常数项为（﹣2）4C64＝240．故答案为：240．14．【解答】解：由题意作出实数x，y满足平面区域，z＝（x﹣1）2+（y﹣5）2可看成阴影内的点到点D（1，5）的平方，的距离的平方，转化为：P到x﹣y+1＝0的距离的平方，解得，（）2＝；故答案为：．15．【解答】解：∵正方体内接于球，∴2R＝＝2，R＝，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心为G，∵sin∠GOE＝sin∠AA1C＝，∴G到OE的距离d＝OG sin∠GOE＝1×．则直线OE被正方体外接球所截得的线段长度为2．故答案为：．16．【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px经过点P（1，4），∴p＝8，∴抛物线C：y2＝16x，设直线P A：y﹣4＝k（x﹣1），并代入y2＝16x消去x并整理得k2x2+（8k﹣2k2﹣16）xx+（4﹣k）2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）依题意知1和x1是以上一元二次方程的两个根，∴1•x1＝，∴x1＝，∴y1＝4﹣k+kx1＝4﹣k+k•＝﹣4，同理得x2＝，y2＝﹣﹣4，所以直线AB的斜率为：＝＝﹣2．故答案为：﹣2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）数列{a n}是递增的等差数列，设公差为d，d＞0，a3＝7，且a4是a1与27的等比中项，可得a1+2d＝7，a42＝27a1，即（a1+3d）2＝27a1，解得a1＝3，d＝2，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）＝＝（﹣），前n项和T n＝（﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（﹣）．18．【解答】解：（1）①对y＝ax b两边同时取自然对数，得lny＝blnx+lna，令X i＝lnx i，Y i＝lny i，得Y＝bX+lna，∴＝＝，∴lna＝1，∴a＝e，∴y关于x的回归方程为y＝e；②由①得，将x＝100代入y＝e，得y＝10e，所以每箱水果大约可以优惠10e元，即购买100箱该种水果所需的金额约为（200﹣10e）×100≈17281.7（元）；（2）由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝；所以ξ的数学期望为E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．19．【解答】证明：（1）∵BCDE是正方形，∴BE⊥BC，BD⊥CE，∵平面ABCF⊥平面BCDE，平面ABCF∩平面BCDE＝BC，∴BE⊥平面ABCF，∴BE⊥AB，∵AB⊥CE，BE∩CE＝E，∴AB⊥平面BCDE，∵CF∥AB，∴CF⊥平面BCDE，∴CF⊥BD，∵CF∩CE＝C，∴BD⊥平面CFE．解：（2）以B为原点，向量分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则E（0，2，0），F（2，0，1），A（0，0，2），D（2，2，0），则＝（2，﹣2，1），＝（﹣2，﹣2，2），＝（0，﹣2，1），设平面ADF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（1，1，2），设直线EF与平面ADF所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线EF与平面ADF所成角的正弦值为．20．【解答】解：（1）∵△PF1F2的面积为，∴×2c×＝，即c＝1，由，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为+y2＝1；（2）由题意可得l：y＝k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由，消y可得（1+2k2）x2﹣8kx+8k2﹣2＝0，∴△＝64k2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，可得k2＜，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵，∴＝3﹣3（﹣），即＝（+），∴（x，y）＝（x1+x2，y1+y2），∴x＝（x1+x2）＝y＝[k（x1+x2）﹣4k]＝，∴Q（，），∵点Q在椭圆C上，∴+2•＝2，∴9k2＝1+2k2，解得k＝±．21．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝e x﹣2x，f′（x）＝e x﹣2，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）＝﹣1，故函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为：y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（2）由f（x）≥g（x）得：e x﹣ax≥x2+1，即ax≤e x﹣x2﹣1，∵x≥，∴a≤，令h（x）＝，则h′（x）＝，令φ（x）＝e x（x﹣1）﹣x2+1，则φ′（x）＝x（e x﹣1），∵x≥，∴φ′（x）＞0，故φ（x）在[，+∞）递增，故φ（x）≥φ（）＝﹣＞0，故h′（x）＞0，故h（x）在[，+∞）递增，则h（x）≥h（）＝2﹣，故a≤2﹣，故a的范围是（﹣∞，2﹣]．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为为参数）．∴直线的普通方程为x﹣y﹣10＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣10＝0，即．∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣12＝0，∴曲线C的直角坐标方x2+3y2﹣12＝0，即．∴曲线C的参数方程为，（α为参数）．（2）设N（2cosα，2sinα），（0≤α＜2π），点M的极坐标（4，）化为直角坐标为（4，4），则P（+2，sinα+2），∴点P到直线l的距离d＝＝≤6，当sin（）＝1时，等号成立，∴点P到l的距离的最大值为6．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x﹣2|＝＝，g（x）＝x+1，∴不等式f（x）＜g（x）可化为或或，解得﹣＜x＜1或1≤x≤2或x＞2，即x＞，∴不等式f（x）＜g（x）的解集为{x|x＞﹣}；（2）当x∈（2a，﹣1+a]时，f（x）≥g（x）恒成立，∴f（x）≥g（x）的解集包含（2a，﹣1+a]，由（1）得f（x）≥g（x）的解集为{x|x≤﹣}，∴（2a，﹣1+a]⊆（﹣∞，﹣]，即，解得a＜﹣1，∴a的取值范围是a＜﹣1．。
2018-2019学年广东省深圳市高级中学高三(上)12月模拟数学试卷(理科)
2018-2019学年广东省深圳市高级中学高三（上） 12月模拟数学试卷（理科）只有一项是符合题目要求的..选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中,1.2(5 分)已知集合 A ={x|x - 3x ：：: 0}, B ={x|y =1 n(x —2)}，则 £ B =()B . (2,3)C . (3,：：)2. (5 分）设：•，-是两个不同的平面,m 是直线且m 二：丄，“ m/厂“是“〉/<- ”的（充分而不必要条件B •必要而不充分条件第2页(共18页)3.4. 5.D .既不充分也不必要条件 （5分）若m 是充分必要条件 A 」 2 C .（5分）《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根成等差数列，上面4节的容积共3 升，下面39节的竹子，自上而下各节的容积节的容积共4升，则该竹子的容积为 （ A . 100 升11B . 90 升11C . 竺升33D .竺升22（5分）已知向量 |b| = 4, a_（a - b ），则向量a 在b 方向上的投影为A . -1B . -2C . 26.(5分)已知直线4x -3y - a =0与LI C:x y 4x =0 相交于 A 、B 两点，且.AOB =120 ,则实数a 的值为（B . 10C . 11 或 217. （ 5分）已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是D . 3 或 13( )八XzJx| _ |x| . . … ^|x| 2A . y = —pxpB ・ y=2 - - 2C . y 二e 」x|D . y = 2 - - x2 2& （ 5分）若双曲线C:笃一厶=1（a 0,b 0）的一条渐近线被抛物线 y =4x 2所截得的弦长 a b 为_2，则双曲线C 的离心率为（）2 1 A . -B . 1C . 2D . 449 . （ 5分）函数 f （x ）=As in （，x ・「）（其中A 0, p |）的图象如图所示，为了得到g （x ）二cos （ 2一二 的图象，只需将 f （x ）的图象（ ）n *11. (5分)记数列 何｝的前n 项和为S n .已知玄勺=1 , (S n 1 - SJa n = 2 (n ■ N )，则S 2018二( )A . 3(21009 -1)B . 3 (21009 -1)C . 3(22018 -1)D .卫(22018 -1) 22212 . (5分)若函数f(x)=ax ，lnx -) 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是(x —1 nxA .向左平移二个长度单位 3 C .向左平移 丄个长度单位 610. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为B .向右平移 二个长度单位3 D .向右平移 二个长度单位61, 粗线画出的是某个四面体的三视图，则该A . 8 8 24 6 B . 8 8 22 6C . 2 22 6D . 丁十第4页(共18页)e 1 e 1 1 e 八 1 e 小A • （1, ） B. [1 , ] C. （, -1） D • [ , -1]e—1 e e—1 e e e-1 e e—1二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13. __________________________________________________________________ （3分）已知向量a与b的夹角为60 ,心匸2 , |b|=3，则|3a-2b|二_____________________________ .TT -TT14. （3 分）若tan : =3,圧三（0,—），则cos（）-2 4 -------15. （3分）某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为,3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36二，则该几何体的体积1016（3分）UABC中，角A , B , C所对边分别为a , b , c . D是BC边的中点，且AD二——,218asinB=3.15c , cos A ，贝-ABC 面积为 _____________ .4三.解答题：本大题共6小题，满分0分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列｛気｝的前n项和为S n，且n , a n, S成等差数列，b n = 2log 2（1，a n） -1 .（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）若数列｛b n｝中去掉数列｛a n｝的项后余下的项按原顺序组成数列｛O n｝，求G G ，G 的值.18. 在-ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c 且bsi n B ■ (c -b)si n C = as in A .(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C ，且:-ABC 的面积为 2.3，求 a .819. 如图，四棱锥P -ABCD 中，厶PAD 为正三角形，AB//CD , AB =2CD , - BAD = 90 ,PA—CD , E为棱PB的中点（I）求证：平面PAB_平面CDE ;(H)若直线PC 与平面PAD 所成角为45，求二面角A_DE_C 的余弦值.2 220.已知椭圆 C:笃•每=1(a b .0)的左、右焦点分别为F > F 2，点P 在椭圆上，有a b1|PF i | | PF 2 =4，椭圆的离心率为 e ；(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知N(4,0)，过点N 作直线I 与椭圆交于 A ， B 不同两点，线段 AB 的中垂线为l ，线段AB 的中点为Q 点，记「与y 轴的交点为 M ，求| MQ |的取值范围.1 2f (x) xmln(1 -x)，其中 m R .I x = 2cos 022.在平面直角坐标系的 xOy 中，曲线C 的参数方程是仃为参数)，以射线Ox=V3s inOI 的极坐标方程为 Tcosr - ：?sin v - . 3 = 0 .(1) 将曲线C 的参数方程化为普通方程，将直线 I 的极坐标方程化为直角坐标方程;21.已知函数 (I)求函数f(x)的单调区间; (n)若函数f (x)存在两个极值点x 1 , x 2 , 且 x ■■■ x 2 ,证明：丄一丄In2 ::: 4 2 叫0 .X 2为极轴建立极坐标系，直线第6页(共18页) (2) 求直线I与曲线C相交所得的弦AB的长.2018-2019学年广东省深圳市高级中学高三 （上）12月模 拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一•选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.（ 5 分）已知集合 A ={x|x ?—3x ：：：0} , B={x|y=l n （x-2）}，则 石 B =（）A . （2, ：：）B . （2,3）C . （3, ：：）D • （—：：,2）【解答】解：•.•集合 A ={x|x 2 -3x ::: 0} ={x |0 ：：： x ：：： 3}, B ={ x | y = In （x —2）} ={ x | x 2}. .Ap|B ={x |2 :: x :::3}. =（2,3）.故选：B .2. （ 5分）设〉，1是两个不同的平面，）A .充分而不必要条件 C .充分必要条件【解答】解：m 二:；，m//：得不到'- // '■ 线平行即可得到m// '■;'-//'■ , m 二：m 和]没有公共点，.m /厂，即〉/厂能得到m/厂； .“ m / /1 ”是“ [//I ”的必要不充分条件. 故选：B .3. （ 5分）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线 x 21的离心率为（ ）m【解答】 解：依题意可知 m -二、-2一8 = 4c[3当m =4时，曲线为椭圆， a =2 , b =1，则c - 3 , e 二一 -a 2m 是直线且m 二卅，“ m / / ："是“〉I ”的（B .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件因为：•， 1可能相交，只要 m 和：•，'■的交2第8页(共18页)当m - 4时，曲线为双曲线， a =1 , b=2 , c-・.5贝U, e=・.5故选：D .4. （5分）《九章算术》中有"竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A 100升B . 90升C. 254升D.竺升11 11 33 22【解答】解：设每节的容积自上而下组成等差数列{a n},由题意可得：a i a2 a s a4 =3 , a7 +a8 +a9 =4 ,则4a「6d =3, 3a i 21d =4 ,联立解得a113, 7 d =2266 c 13 9汉872S -9 -X—=22 2662故选：D .4 4 4 4^4 45. ( 5分)已知向量a , b满足心| = 2 , |b| = 4, a_(a - b)，则向量a在b方向上的投影为( )A . -1 B. -2 C. 2 D. 1【解答】解：.,_(2 b) , . a|_(a b) =0. a? a_b =0 , 0_b = -4 ,4F呻所以向量a在b方向上的投影为：—1 ,|b| 4故选：A.6. ( 5 分)已知直线4x-3y • a =0 与LI C ：x2 y2 4^0 相交于A、B 两点，且.AOB =120 , 贝U实数a的值为()A . 3B . 10 C. 11 或21 D. 3 或13【解答】解：LI C :x2 +y2 +4x =0的圆心C(-2,0)，半径r =丄716 = 2 ,2.直线4x-3y a =0 与U C:x2 y2 4x=0 相交于A、B 两点，且AOB =120 ,-圆心C(-2,0)到直线4x -3y • a =0的距离：d a| =2cos60 =1 ,5解得a =3或a =13 .由4x—3y a =0，得y=-x —,3 34 a 4 4"y = -x --可以在y=—及y =-x 1 之间，.a =13 , ' 3 3 3 3否则.AOB为锐角，综上，a = 3 .故选：A.7. （5分）已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）B . y=2|x|-2C . y=e|x|_|x| |x| 2D. y=2 -x 【解答】解：结合图象可得函数为偶函数，故排除A ,当x--0时，函数y=2x _2为增函数，X-0时，函数y=2」-2为减函数，故排除B ,由图象可得函数值有正有负，而y=e|x|-|x|〉0恒成立，故排除C ,故选：D .& （5分）若双曲线2 2C:冷-2 N（a 0,b 0）的一条渐近线被抛物线a b2y =4x所截得的弦长为仝，则双曲线2 1A .-4C的离心率为（C. 22 2C:^ 一笃=1（a 0,b 0）的一条渐近线方程为a b代入抛物线y =4x2，可得—x=4x2,a【解答】解：双曲线.x 二0 或x =—,4a2T双曲线C:笃-占=1(a 0,b 0)的一条渐近线被抛物线y=4x2所截得的弦长为—,a b 22=乜,b2=c2 _a2, e 仝1 可得e2 -1 (e2 -1)2=12 ,2 a2e 1—3 ,故选：C .9 . （5分）函数f（x）= Asin「x」）（其中A 0, p ）的图象如图所示，为了得到(：)2g(x) =cos(2x —二)的图象，只需将f (x)的图象()B .向右平移二个长度单位3D.向右平移二个长度单位6A的值为1，周期T =4 (7)512 3又函数的图象的第二个点是(二,0),323于是，贝V f (x) =sin(2x ) =sin[2(x )]，3 3 6.g(x) =cos(2x ) =sin 2x ,.为了得到g(x) =cos(2x-=)的图象，只需将f(x)的图象向右平移匚个单位即可.2 6故选：D .10. ( 5分)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图，则该A . 8 8 2 4 6 B. 8 8 2 2 6【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为C. 2 2 2 6D.- - -2 2 4 4的正方体切出来的三棱锥A-BCD .作出直A . 向左平移—个长度单位3C . 向左平移丄个长度单位6【解答】解：T 由函数图象可得2 二2 二:O -- = --- -2 ,T 二。
广东省广州市2019届高三12月调研测试数学(理)试题
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三年级调研测试理科数学2018.12 本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|02M x x =≤<，{}2|230N x x x =--<，错误！未找到引用源。
则集合MN =A ．{}|02x x ≤< 错误！未找到引用源。
B ．{}|03x x ≤< 错误！未找到引用源。
C ．{}|12x x -<< 错误！未找到引用源。
D ．{}|01x x ≤<错误！未找到引用源。
2．若复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于A ．1B ．53C ．2D ．3 4．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b << 6．下列命题中，真命题的是 A ．00,0xx R e ∃∈≤ B ．2,2x x R x ∀∈> C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 7．由()y f x =的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到1sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =A ．31sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．1sin 66x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．31sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．1sin 63x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中 取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为 A ．13 B ．12 C ．59 D ．299．已知抛物线()220y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 A ．21+ B ．31+C ．51+D ．22+10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前n 项和为 A ．3(1)2n n -++⨯ B ．3(1)2n n ++⨯ C ．1(1)2n n ++⨯ D ．1(1)2n n +-⨯11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 A ．6 B ．7 C ．223 D ．23312．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条， 则实数a 的取值范围是 A ．()(),40+-∞-∞，B ．()0+∞，图1：设备改造前样本的频率分布直方图C ．()(),1+-∞-∞1，D ．(),1-∞- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量,a b r r 的夹角为45︒，且1,2a b ==r r ，则a b -=r r ____________．14．已知()42340123422x a a x a x a x a x +=++++，则()()2202413a a a a a ++-+= ．15．已知实数x , y 满足20,350,0,0,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪>⎪⎩ 则1142x y z ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为____________．16．已知在四面体A BCD -中，1AD DB AC CB ====，则该四面体的体积的最大值 为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且B A AC B sin sin sin cos cos 222+=-.（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC ∆的面积为34，M 为BC 的中点，求AM ．18．（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．FD ECBA表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 [15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) [40,45)频数2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望． 19. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，DE CF ∥，,2CD DE AD ⊥=，3DE DC ==，6CF =．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B EG D --的余弦值为14．20．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别是椭圆C 的左, 右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，求1F AB ∆的内切圆的半径的最大值．21．（本小题满分12分） 已知函数()()212ln ,x f x a x x a x-=-+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为=23cos 2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()()13f x x a a =-∈R ． （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥； （2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．2019届广州市高三年级调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1 14．16 15．116 16．2327三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1) 由B A A C B sin sin sin cos cos 222+=-，得B A A B C sin sin sin sin sin 222+=-． ……………………………………………2分 由正弦定理，得ab a b c +=-222，即ab c b a -=-+222， …………………………3分所以2122cos 222-=-=-+=ab ab ab c b a C ． ………………………………………………5分因为0Cπ<<，所以23C π=． ……………………………………………………6分 (2) 因为6A π=，所以6B π=． ……………………………………………………7分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACCDBDBBADBA所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23C π=． 因为3443sin 212===∆a C ab S ABC ， ………………………………………………8分 所以4=a ． ………………………………………………………………9分 在MAC ∆中，24,2,3AC CM C π===， 所以22212cos 164224282AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=++⨯⨯⨯=． ………11分 解得72=AM ．…………………………………………………………………………12分 18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下质量指标值 [15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) [40,45)频数41640121810417.51622.54027.51232.51837.51042.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 100 2.541516204025123018351040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3020=． ……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为302030.2100=． ……………………………………………2分 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2． ………………………3分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为12，13，16， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为12，13，16． …………4分随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480．………………………………………5分111(240)6636P X ==⨯=， 12111(300)369P X C ==⨯⨯=，1211115(360)263318P X C ==⨯⨯+⨯=， 12111(420)233P X C ==⨯⨯=， 111(480)224P X ==⨯=，…………………………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列为：…………………………………………………………………11分所以11511()2403003604204804003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19．解：（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC AD ∥.因为AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ． ………………………………………………………………1分 同理CF ∥平面ADE ． ……………………………………………………………2分 又因为BCCF C =，所以平面BCF ∥平面ADE ． …………………………3分因为BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ． …………………………………4分 （2）法一：因为,CD AD CD DE ⊥⊥，所以ADE ∠是二面角A CD F --的平面角，即60ADE ∠=︒． ………………5分 因为ADDE D =，所以CD ⊥平面ADE .因为CD ⊂平面CDEF , 所以平面CDEF ⊥平面ADE .作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF . ………………6分由2,3AD DE ==, 得1DO =，2EO =．X 240 300 360 420 480P136 19 518 13 14以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()0,0,3,3,1,0,0,1,0,(0,2,0),(3,5,0)A C D E F --，()3,0,3O B O A A B O A D C =+=+=，……7分设()30G t ，，，15t -≤≤， 则()323BE =--，，，()03BG t =-，，设平面BEG 的法向量为() x y z =，，m ，则由0,0,m BE m BG ⎧=⎨=⎩ 得3230,30,x y z ty z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，取2,3,3,x t y z t ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ 得平面BEG 的一个法向量为()2,3,3t t =-m ， ……………………………8分又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)=n ， ……………………………………9分所以234413cos t t t ⋅<==-+，m n m n >m n， …………………………10分所以23144413tt t -+=，解得12t =或1322t =-（舍去）， ……………………………………………11分 此时14CG CF =，得1342CG CF ==.OMHABC ED FG即所求线段CF 上的点G 满足32CG =．…………………………………………12分 法二：作BO CF ⊥于点O ，作OH EG ⊥的延长线于点H ，连结BH ．因为,,CD BC CD CF BCCF C ⊥⊥=，所以CD ⊥平面BCF ， ……………………………………………………………5分BCF ∠为二面角A CD F --的平面角，60BCF ∠=︒． ……………………6分所以CD BO ⊥． 因为CDCF C =，所以BO ⊥平面CDF ，BO EH ⊥．…7分 因为,OH EH OHBO O ⊥=，所以EH ⊥平面BOH ．……8分所以EH BH ⊥，BHO ∠为二面角B EG D --的平面角． ……………………9分 在Rt BCO ∆中，2,60BC BCO =∠=︒，所以3,1BO CO ==．又因为1cos 4BHO ∠=，所以tan 15BOBHO OH ∠==，55OH =．…………10分 作EM CF ⊥于M ，则OGHEGM ∆∆，3,3EM CD CM DE ====，设OG x =，则OH EM OG EG =，即()253592x x =+-， …………………11分解得12x =，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =． ………………………12分20．解：（1）依题意有222221,2,331,4c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2,3,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ………………………………3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………………………………………4分（2）设()1122(,),,A x y B x y ，设1F AB ∆的内切圆半径为r ，1F AB ∆的周长为121248AF AF BF BF a +++==，所以11442F AB S a r r ∆=⨯⋅=．……………………………………………………………5分 解法一：根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，………………6分由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=………………………………………7分 ()22(6)36340m m ∆=++>，m R ∈，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++，……………………………………8分 ()1221212121212211214234F ABm S F F y y y y y y y y m ∆+∴=-=-=+-=+，………10分令21t m =+，则1t ≥，121241313F AB t S t t t∆∴==++．令1()3f t t t =+，则当1t ≥时，21'()103f t t =->，()f t 单调递增，4()(1)3f t f ∴≥=，13F AB S ∆≤， ……………………………………………………11分即当1,0t m ==时，1F AB S ∆的最大值为3，此时max 34r =．故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34． ………………12分 解法二：当直线l x ⊥轴时，331,,1,,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112132F AB S F F AB ∆==. .……………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=. …………………………………7分 ()()()22222(8)44341214410k k k k ∆=-+-=+>，由韦达定理得221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，………………………………………8分 1121212121()2F AB S F F y y y y k x x ∆∴=-=-=- ()()2222121222169(1)443k k k x x x x k⨯+⎡⎤=+-=⎣⎦+. ……………………………10分令243t k =+，则3t ≥，1103t <≤, ()()1223116993144F ABt t t t S t t ∆-+⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭∴==22391t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭21127123t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭21271233⎛⎫<-+= ⎪⎝⎭.综上，当直线l 的方程为1x =时，1F AB S ∆的最大值为3，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34． ……………………………12分21．解：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，()233(2)122()1x ax x f x a x x x ---⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭. ………………………………………1分(i)当0a ≤时，210ax -<恒成立，()0,2x ∈时，'()0f x >，()f x 在()0,2上单调递增；()2,x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在()2,+∞上单调递减； ……………………2分(ii) 当0a >时，由()0f x '=得，123112,,x x x a a===-（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；……3分 ②当12x x >，即14a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()2,x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞单调递增；1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<恒成立，()f x 在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；……………4分③当12x x <即104a <<时， 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭或()0,2x ∈时，()0f x '>恒成立，()f x 在1(0,2),,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；12,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<恒成立，()f x 在12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；……………5分综上，当0a ≤时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间； 当14a >时，()f x 单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当104a <<时，()f x 单调递增区间为1(0,2),,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………………………………6分(2)由(1)知，当0a <时，()f x 单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)+∞，又因为()10f a =<， …………………………………7分 取01max{,5}x a =-，令1()2ln f x x x =-，21()f x x =，则12'()10f x x=->在(2,)+∞成立，故1()2ln f x x x =-单调递增，10()52ln512(2ln5)1f x ≥-=+->，0002220000011111()(2ln )0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<， （注：此处若写“当x →+∞时，()f x →-∞”也给分） 所以()f x 有两个零点等价于1(2)(22ln 2)04f a =-+>，得188ln 2a >--，所以1088ln 2a >>--．……………………………………………………………8分当0a =时，21()x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；………9分 当0a >且14a ≠时，()f x 有两个极值， 1(2)(22ln 2)04f a =-+>，12ln f a a a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 记()2ln g x x x x x =+-， …………………………………10分11'()2(1ln )1ln 2g x x x xx=++-=+， 令1()ln h x x x =+，则()3322112122x h x x x x -'=-+=. 当14x >时，()0h x '>，'()g x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当104x <<时，()0h x '<，'()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减． 故1()22ln 204g x g ⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭，()g x 在(0,)+∞单调递增．0x →时，()0g x →，故12ln 0f a a a a a ⎛⎫=+->⎪⎝⎭．……………………11分又1(2)(22ln 2)04f a =-+>，由(1)知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2⎛⎫- ⎪-⎝⎭. ……………………………………12分（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：(1) 依题意，直线1l 的直角坐标方程为33y x =，2l 的直角坐标方程为3y x =． …………………………………………………2分由=23cos 2sin ρθθ+得2=23cos 2sin ρρθρθ+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，………………………………………3分 所以22(3)(1)4x y -+-=，………………………………………………………4分所以曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）． ……………………5分（2）联立6=23cos 2sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………6分 同理，223OB ρ==．……………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………8分所以111sin 42323222AOBS OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯⨯=， …………………9分 即AOB ∆的面积为23． ……………………………………………………………10分 23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， ……………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； …………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； …………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． …………………………4分综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． …………………………5分（2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ……………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+，…………………………8分所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………10分。
广东东莞2019年高三上学期年末教学质量检测数学理试题(扫描版)
广东东莞2019年高三上学期年末教学质量检测数学理试题（扫描版）东莞2018-2018学年度第一学期高三调研测试理科数学参考答案【一】选择题〔每题5分，总分值40分.〕题号 1 2 3 4 56 7 8 答案 A D A B CBDC【二】填空题〔每题5分，总分值30分、〕9、{|01}x x <<10、211、712.24913.160-14、)6,2(π15.︒150【三】解答题〔本大题共6小题，总分值80分.〕 16.〔本小题总分值12分〕 解：〔1〕因为2()sin sin()cos 2f x x x xπ=++2sin cos cos x x x =+…………1分1=[sin 21cos 2]2x x ++…………3分1)242x π=++.…………4分 因此，当1)42sin(=+πx ，即πππk x 2242+=+，)(8Z k k x ∈+=ππ时，()f x 取得最大值，…………5分其最大值为12.…………6分 〔2〕由1)(=A f 得，121)42sin(22=++πA ，即22)42sin(=+πA .……7分 在ABC ∆中，因为),0(π∈A ，因此)49,4(42πππ∈+A .又22)42sin(>=+πA ，因此4342ππ=+A ，4π=A .………9分又因为712A B π+=，因此3B π=.………10分 在△ABC 中，由sin sin a b A B=及b =sin 2sin b A a B ===.…………12分17、〔本小题总分值12分〕解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A ，“该教师选择计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =、…………1分〔1〕任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是1()()0.60.250.40.750.45P P AB P AB =+=⨯+⨯=、…………4分〔2〕任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是0()=()()0.40.250.1P P AB P A P B ==⨯=、…………5分因为每个人的选择是相互独立的，因此3人中选择不参加培训的人数ξ服从二项分布(30.1)B ，，…………6分 且33()0.10.9k k k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，…………8分 即ξ的分布列是…………10分因此，ξ的期望是10.24320.02730.0010.3E ξ=⨯+⨯+⨯=、…………12分 〔或ξ的期望是30.10.3E ξ=⨯=、〕18.〔本小题总分值14分〕解：〔1〕过点B 作BH AC ⊥于点H ，连接SH .…………1分 因为SO ABC ⊥平面，BH ABC ⊂平面， 因此BH SO ⊥.…………2分又因为BH AC ⊥，SOAC O =，因此BH SAC ⊥平面，即BSH ∠确实是直线SB 与平面SAC 所成角.…………3分 在ABC ∆中，因为AB BC ⊥，4AC =，2BC =， 因此60ACB ∠=︒，2sin 60BH =︒=.…………4分 在Rt BSH ∆中，因为4SB =，因此sin BH BSH SB ∠==即直线SB 与平面SAC…………5分〔2〕由〔1〕知，几何体SABC 的正视图中，111B A S ∆的边HC AC AH B A -==11，而160cos 2==o HC ，因此311=B A .…………6分又111B A S ∆的边11A B 上的高等于几何体SABC 中SO 的长，而4===AC SC SA ，因此=SO 7分因此111132S A B S ∆=⨯⨯=…………8分 〔3〕存在.…………9分证明如下：如图，连接BO 并延长交弧AC 于点M ，在底面内，过点A 作AP BM ⊥交弧AC 于点P .………10分因此SO ABC⊥平面. 而AP ABC ⊂平面，因此AP SO ⊥.…………11分又因为AP BM ⊥，SO BM O =，因此AP SOB ⊥平面，从而AP SB ⊥.…………12分又因为2AO OC BC ===，因此有60AOM BOC ACB ∠=∠=∠=︒，因此60AOM POM ∠=∠=︒，120AOP ∠=︒，…………13分即点P 位于弧AC 的三等分的位置，且120AOP ∠=︒.…………14分19、〔本小题总分值14分〕解：〔1〕当14x ≤<时，合格的元件数为26x x -，…………1分利润2222()2662x x x T x x =--=-；…………3分当4x ≥时，合格的元件数为325325()1212x x x x -+-=-+，…………4分利润3253259252()++12124T x x x x x =-+--=--（），…………6分综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润22,142925+,44x x x T x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩…………7分〔2〕当14x ≤<时，222x T x =-,对称轴2=x ，如今利润T 的最大值max (2)2T T ==.……9分 当4x ≥时，222299(3)(3)'1=0x x x T x x x -+-=-+=<，…………10分 因此925+4T x x =--在),4[+∞上是减函数，…………11分 如今利润T 的最大值max (4)0T T ==，…………12分综上所述，当2x =时，T 取最大值2,…………13分即当日产量定为2〔万件〕时，工厂可获得最大利润2万元.…………14分 20、〔本小题总分值14分〕 解：〔1〕由k e =得()x f x e ex =-，因此()x f x e e '=-、…………1分令0)('=x f ，得0=-e e x ，解得1=x 、由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得1x <，当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：…………2分因此当x =1时，()f x 有极小值为0，无极大值、…………3分 〔2〕由()x f x e kx x =-∈R ，，得()x f x e k '=-、 ①当0k ≤时，那么()0x f x e k '=->对R x ∈恒成立， 如今()f x 的单调递增，递增区间为)∞+∞(-，、…………4分②当0k >时，由()0,x f x e k '=->得到ln x k >， 由()0,x f x e k '=-<得到ln x k <，因此，0k >时，()f x 的单调递增区间是(ln ,)k +∞；递减区间是(,ln )k -∞、…………6分综上，当0k ≤时，()f x 的单调递增区间为)∞+∞(-，；当0k >时，()f x 的单调递增区间是(ln ,)k +∞；递减区间是(,ln )k -∞、………7分 〔3〕解法一：①当0k =时，()x f x e =0>，对R x ∈恒成立，因此函数()f x 在]4,(-∞上无零点、………8分②当0k <时，由〔2〕知，()0x f x e k '=->对R x ∈恒成立，函数()f x 在]4,(-∞上单调递增，又(0)=10f >，11()10,k f e k=-<…………9分x因此函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点、…………10分 〔假设说明取绝对值特别大的负数时，()f x 小于零给1分〕③当0k >时，令()x f x e k '=-0=，得k x ln =，且()f x 在(,ln )k -∞上单调递减，在(ln ,)k +∞上单调递增，()f x 在k x ln =时取得极小值，即()f x 在]4,(-∞上最多存在两个零点、〔ⅰ〕假设函数()f x 在]4,(-∞上有2个零点，那么ln 4(ln )(1ln )0(4)0k f k k k f <⎧⎪=-<⎨⎪≥⎩，解得4(,]4e k e ∈；…11分〔ⅱ〕假设函数()f x 在]4,(-∞上有1个零点，那么(4)0f <或ln 4(ln )0k f k ≤⎧⎨=⎩，解得4(,)4e k ∈+∞或e k =；…………12分 〔ⅲ〕假设函数()f x 在]4,(-∞上没有零点，那么ln 4(4)0k f >⎧⎨>⎩或(ln )(1ln )0f k k k =->，解得(0)k e ∈，、…………13分综上所述，当4(,]4e k e ∈时，()f x 在]4,(-∞上有2个零点；当4(,+)(,0)4e k ∈∞-∞或e k =时，()f x 在]4,(-∞上有1个零点； 当[0)k e ∈，时，()f x 在]4,(-∞上无零点、…………14分解法二：()x f x e kx x =-∈R ，、当0k =时，()x f x e =0>对R x ∈恒成立，因此函数()f x 在]4,(-∞上无零点、………8分当0k ≠时，kx e x f x -=)(在]4,(-∞上的零点就是方程x e kx =在]4,(-∞上的解，即函数x e y = 与kx y =在]4,(-∞上的交点的横坐标、…………9分 ①当0k <时，如图1，函数x e y =与kx y =只在0-∞（，）上 有一个交点，即函数()f x 在]4,(-∞上有一个零点、…………10分 ②当0k >时，假设x y e y kx ==与相切时，如图2，设切点坐标为),(00x e x ，那么00/|,x x x x y e e ===即切线的斜率是0,x k e =因此000x e e x x ⨯=，解得410<=x ，即当k e =时，x y e y kx ==与只有一个交点,函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点1=x ；…………11分由此，还能够明白，当0k e <<时，函数()f x 在]4,(-∞上无零点、…………12分当kx y =过点),4(4e 时，如图3，44e k =， 因此44e e k <≤时，x y e y kx ==与在]4,(-∞上有两个交点，即函数()f x 在]4,(-∞上有两个零点；44e k >时，x y e y kx ==与在]4,(-∞上只有一个 交点，即函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点、…………13分 综上所述，当4(,]4e k e ∈时，函数()f x 在]4,(-∞上有2个零点；当4(,+)(,0)4e k ∈∞-∞或e k =时，函数()f x 在]4,(-∞上有1个零点； 当[0)k e ∈，时，函数()f x 在]4,(-∞上无零点、…………14分21、〔本小题总分值14分〕解：〔1〕因为0>na ，n n n a S a -=22，①当1=n 时，11212a S a -=，解得11=a ；…………1分当2≥n 时，有11212----=n n n a S a ，② 由①-②得，111212)()(2----+=---=-n n n n n n n n a a a a S S a a 〔2≥n 〕.而0>n a ，因此11=--n n a a 〔2≥n 〕，即数列}{n a 是等差数列，且n a n =.…………2分又因为 21n n b b=+，且0>n b ，取自然对数得n n b b ln 2ln 1=+，由此可知数列}ln {nb 是以1ln ln 1==e b 为首项，以2为公比的等比数列，因此11122ln ln --=⨯=n n n b b ，………4分因此12-=n eb n .…………5分〔2〕由〔1〕知，12ln -⋅==n n n n n b a c ，…………6分因此1221)2()2()1()2(3)2(211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ，③n n n n n T )2()2()1()2(3)2(2)2(121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=⨯- ，④由③-④得n n n n T 2222112⨯-++++=-- ，…………7分因此12)1(+-=n n n T .…………8分〔3〕由n a n =，n n n a S a -=22得22n n S n +=， 由)1()1()1(412)15+--<<--n n n T S n n n λ（可得 )1(21)1522+<<-+-+n n n n n n λ（， 即使得关于任意*N n ∈且2≥n ，不等式)1()1()1(412)15+--<<--n n n T S n n n λ（恒成立等价于使得关于任意*N n ∈且2≥n ，不等式)1(21)1522+<<-+-+n n n n n n λ（恒成立.…………10分251)551,2122111211n n n n n n n n n -==≤=-++-+++--（当时取最大值是.……11分〔或用导数求25(1)()1x f x x x -=+-在[1)∞，+上的最大值.〕令22()(1)n g n n n +=+，由⎩⎨⎧+≤-≤)1()()1()(n g n g n g n g 可得212322(1)(1)22(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ++++⎧≤⎪+-⎪⎨⎪≤⎪+++⎩，化简得：2111122n n n n ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪≤⎪+⎩，解得23n ≤≤,因此当23n =或时，()g n 取最小值，最小值为8(2)(3)3g g ==,…………13分因此2λ=时，原不等式恒成立.…………14分。
广东东莞2019高三上学期年末教学质量检测-数学理(扫描版)
广东东莞2019高三上学期年末教学质量检测-数学理（扫描版）东莞2018-2018学年度第一学期高三调研测试理科数学参考答案【一】选择题〔每题5分，总分值40分.〕题号 1 2 3 4 56 7 8 答案 A D A B CBDC【二】填空题〔每题5分，总分值30分、〕9、{|01}x x <<10、211、712.24913.160-14、)6,2(π15.︒150【三】解答题〔本大题共6小题，总分值80分.〕 16.〔本小题总分值12分〕 解：〔1〕因为2()sin sin()cos 2f x x x xπ=++2sin cos cos x x x =+…………1分1=[sin 21cos 2]2x x ++…………3分1)242x π=++.…………4分 因此，当1)42sin(=+πx ，即πππk x 2242+=+，)(8Z k k x ∈+=ππ时，()f x 取得最大值，…………5分其最大值为12.…………6分 〔2〕由1)(=A f 得，121)42sin(22=++πA ，即22)42sin(=+πA .……7分 在ABC ∆中，因为),0(π∈A ，因此)49,4(42πππ∈+A .又22)42sin(>=+πA ，因此4342ππ=+A ，4π=A .………9分又因为712A B π+=，因此3B π=.………10分 在△ABC 中，由sin sin a b A B=及b =sin 2sin b A a B ===.…………12分17、〔本小题总分值12分〕解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A ，“该教师选择计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =、…………1分〔1〕任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是1()()0.60.250.40.750.45P P AB P AB =+=⨯+⨯=、…………4分〔2〕任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是0()=()()0.40.250.1P P AB P A P B ==⨯=、…………5分因为每个人的选择是相互独立的，因此3人中选择不参加培训的人数ξ服从二项分布(30.1)B ，，…………6分 且33()0.10.9k k k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，…………8分 即ξ的分布列是…………10分因此，ξ的期望是10.24320.02730.0010.3E ξ=⨯+⨯+⨯=、…………12分 〔或ξ的期望是30.10.3E ξ=⨯=、〕18.〔本小题总分值14分〕解：〔1〕过点B 作BH AC ⊥于点H ，连接SH .…………1分 因为SO ABC ⊥平面，BH ABC ⊂平面， 因此BH SO ⊥.…………2分又因为BH AC ⊥，SOAC O =，因此BH SAC ⊥平面，即BSH ∠确实是直线SB 与平面SAC 所成角.…………3分 在ABC ∆中，因为AB BC ⊥，4AC =，2BC =， 因此60ACB ∠=︒，2sin 60BH =︒=.…………4分 在Rt BSH ∆中，因为4SB =，因此sin BH BSH SB ∠==即直线SB 与平面SAC…………5分〔2〕由〔1〕知，几何体SABC 的正视图中，111B A S ∆的边HC AC AH B A -==11，而160cos 2==o HC ，因此311=B A .…………6分又111B A S ∆的边11A B 上的高等于几何体SABC 中SO 的长，而4===AC SC SA ，因此=SO 7分因此111132S A B S ∆=⨯⨯=…………8分 〔3〕存在.…………9分证明如下：如图，连接BO 并延长交弧AC 于点M ，在底面内，过点A 作AP BM ⊥交弧AC 于点P .………10分因此SO ABC⊥平面. 而AP ABC ⊂平面，因此AP SO ⊥.…………11分又因为AP BM ⊥，SO BM O =，因此AP SOB ⊥平面，从而AP SB ⊥.…………12分又因为2AO OC BC ===，因此有60AOM BOC ACB ∠=∠=∠=︒，因此60AOM POM ∠=∠=︒，120AOP ∠=︒，…………13分即点P 位于弧AC 的三等分的位置，且120AOP ∠=︒.…………14分19、〔本小题总分值14分〕解：〔1〕当14x ≤<时，合格的元件数为26x x -，…………1分利润2222()2662x x x T x x =--=-；…………3分当4x ≥时，合格的元件数为325325()1212x x x x -+-=-+，…………4分利润3253259252()++12124T x x x x x =-+--=--（），…………6分综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润22,142925+,44x x x T x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩…………7分〔2〕当14x ≤<时，222x T x =-,对称轴2=x ，如今利润T 的最大值max (2)2T T ==.……9分 当4x ≥时，222299(3)(3)'1=0x x x T x x x -+-=-+=<，…………10分 因此925+4T x x =--在),4[+∞上是减函数，…………11分 如今利润T 的最大值max (4)0T T ==，…………12分综上所述，当2x =时，T 取最大值2,…………13分即当日产量定为2〔万件〕时，工厂可获得最大利润2万元.…………14分 20、〔本小题总分值14分〕 解：〔1〕由k e =得()x f x e ex =-，因此()x f x e e '=-、…………1分令0)('=x f ，得0=-e e x ，解得1=x 、由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得1x <，当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：…………2分因此当x =1时，()f x 有极小值为0，无极大值、…………3分 〔2〕由()x f x e kx x =-∈R ，，得()x f x e k '=-、 ①当0k ≤时，那么()0x f x e k '=->对R x ∈恒成立， 如今()f x 的单调递增，递增区间为)∞+∞(-，、…………4分②当0k >时，由()0,x f x e k '=->得到ln x k >， 由()0,x f x e k '=-<得到ln x k <，因此，0k >时，()f x 的单调递增区间是(ln ,)k +∞；递减区间是(,ln )k -∞、…………6分综上，当0k ≤时，()f x 的单调递增区间为)∞+∞(-，；当0k >时，()f x 的单调递增区间是(ln ,)k +∞；递减区间是(,ln )k -∞、………7分 〔3〕解法一：①当0k =时，()x f x e =0>，对R x ∈恒成立，因此函数()f x 在]4,(-∞上无零点、………8分②当0k <时，由〔2〕知，()0x f x e k '=->对R x ∈恒成立，函数()f x 在]4,(-∞上单调递增，又(0)=10f >，11()10,k f e k=-<…………9分x因此函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点、…………10分 〔假设说明取绝对值特别大的负数时，()f x 小于零给1分〕③当0k >时，令()x f x e k '=-0=，得k x ln =，且()f x 在(,ln )k -∞上单调递减，在(ln ,)k +∞上单调递增，()f x 在k x ln =时取得极小值，即()f x 在]4,(-∞上最多存在两个零点、〔ⅰ〕假设函数()f x 在]4,(-∞上有2个零点，那么ln 4(ln )(1ln )0(4)0k f k k k f <⎧⎪=-<⎨⎪≥⎩，解得4(,]4e k e ∈；…11分〔ⅱ〕假设函数()f x 在]4,(-∞上有1个零点，那么(4)0f <或ln 4(ln )0k f k ≤⎧⎨=⎩，解得4(,)4e k ∈+∞或e k =；…………12分 〔ⅲ〕假设函数()f x 在]4,(-∞上没有零点，那么ln 4(4)0k f >⎧⎨>⎩或(ln )(1ln )0f k k k =->，解得(0)k e ∈，、…………13分综上所述，当4(,]4e k e ∈时，()f x 在]4,(-∞上有2个零点；当4(,+)(,0)4e k ∈∞-∞或e k =时，()f x 在]4,(-∞上有1个零点； 当[0)k e ∈，时，()f x 在]4,(-∞上无零点、…………14分解法二：()x f x e kx x =-∈R ，、当0k =时，()x f x e =0>对R x ∈恒成立，因此函数()f x 在]4,(-∞上无零点、………8分当0k ≠时，kx e x f x -=)(在]4,(-∞上的零点就是方程x e kx =在]4,(-∞上的解，即函数x e y = 与kx y =在]4,(-∞上的交点的横坐标、…………9分 ①当0k <时，如图1，函数x e y =与kx y =只在0-∞（，）上 有一个交点，即函数()f x 在]4,(-∞上有一个零点、…………10分 ②当0k >时，假设x y e y kx ==与相切时，如图2，设切点坐标为),(00x e x ，那么00/|,x x x x y e e ===即切线的斜率是0,x k e =因此000x e e x x ⨯=，解得410<=x ，即当k e =时，x y e y kx ==与只有一个交点,函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点1=x ；…………11分由此，还能够明白，当0k e <<时，函数()f x 在]4,(-∞上无零点、…………12分当kx y =过点),4(4e 时，如图3，44e k =， 因此44e e k <≤时，x y e y kx ==与在]4,(-∞上有两个交点，即函数()f x 在]4,(-∞上有两个零点；44e k >时，x y e y kx ==与在]4,(-∞上只有一个 交点，即函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点、…………13分 综上所述，当4(,]4e k e ∈时，函数()f x 在]4,(-∞上有2个零点；当4(,+)(,0)4e k ∈∞-∞或e k =时，函数()f x 在]4,(-∞上有1个零点； 当[0)k e ∈，时，函数()f x 在]4,(-∞上无零点、…………14分21、〔本小题总分值14分〕解：〔1〕因为0>na ，n n n a S a -=22，①当1=n 时，11212a S a -=，解得11=a ；…………1分当2≥n 时，有11212----=n n n a S a ，② 由①-②得，111212)()(2----+=---=-n n n n n n n n a a a a S S a a 〔2≥n 〕.而0>n a ，因此11=--n n a a 〔2≥n 〕，即数列}{n a 是等差数列，且n a n =.…………2分又因为 21n n b b=+，且0>n b ，取自然对数得n n b b ln 2ln 1=+，由此可知数列}ln {nb 是以1ln ln 1==e b 为首项，以2为公比的等比数列，因此11122ln ln --=⨯=n n n b b ，………4分因此12-=n eb n .…………5分〔2〕由〔1〕知，12ln -⋅==n n n n n b a c ，…………6分因此1221)2()2()1()2(3)2(211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ，③n n n n n T )2()2()1()2(3)2(2)2(121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=⨯- ，④由③-④得n n n n T 2222112⨯-++++=-- ，…………7分因此12)1(+-=n n n T .…………8分〔3〕由n a n =，n n n a S a -=22得22n n S n +=， 由)1()1()1(412)15+--<<--n n n T S n n n λ（可得 )1(21)1522+<<-+-+n n n n n n λ（， 即使得关于任意*N n ∈且2≥n ，不等式)1()1()1(412)15+--<<--n n n T S n n n λ（恒成立等价于使得关于任意*N n ∈且2≥n ，不等式)1(21)1522+<<-+-+n n n n n n λ（恒成立.…………10分251)551,2122111211n n n n n n n n n -==≤=-++-+++--（当时取最大值是.……11分〔或用导数求25(1)()1x f x x x -=+-在[1)∞，+上的最大值.〕令22()(1)n g n n n +=+，由⎩⎨⎧+≤-≤)1()()1()(n g n g n g n g 可得212322(1)(1)22(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ++++⎧≤⎪+-⎪⎨⎪≤⎪+++⎩，化简得：2111122n n n n ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪≤⎪+⎩，解得23n ≤≤,因此当23n =或时，()g n 取最小值，最小值为8(2)(3)3g g ==,…………13分因此2λ=时，原不等式恒成立.…………14分。
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高三上学期12月月考试题数学（理工类）第Ι卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A...........................2. 复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选B3. 已知等差数列的前项和为，若（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵为等差数列，∴∴故选C4. 已知实数，那么它们的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小.5. 定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意,,可画出如图所示的图象：结合图象可以知道,有5个零点时, 实数m的取值范围是故选B点睛：已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围）；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组），求得解集后可得范围，解题时要注意一些特殊点的相对位置．6. 一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（）A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为为边长为1的正方形，是边长为1的等边三角形，垂直于于点，其中为的中点，所以四棱锥的体积为，四棱锥侧面中最大侧面是，，，面积是故选D7. 已知平面向量，夹角为，且，，则与的夹角是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知：，则且设与的夹角为∴∴故选A8. 四棱锥的底面是一个正方形，平面，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中点，连接.∵为的中点，∴，∴就是异面直线与所成的角.∵，四边形是正方形，∴，∴.又∵平面，∴，∴.连接，与交于，连接.∵四边形是正方形，∴为的中点，∴，∴平面，∴.∵，∴.∵在中，，∴，∴，即异面直线与所成角的余弦值为；故选B.点睛：本题是一道有关异面直线所成角的题目，在求解的过程中，首先要找到异面直线所成的平面角，根据题意取的中点，连接，分析可知就是异面直线与所成的角；然后再由勾股定理可知，为直角三角形，由此即可求出的余弦值，进而求出结果.9. 设为单位向量，满足，非零向量，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵为单位向量，满足，非零向量∴令，当时，最大，最大值为故选D10. 已知如图所示的程序框图的输入值，则输出值的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以当时，；当，，综上，应选答案B。
11. 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是( )A. 29 000元B. 31 000元C. 38 000元D. 45 000元【答案】C【解析】设分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，根据题意得工厂总利润为由约束条件得可行域如图由可得∴最优解为则当直线过点时，z取得最大值为38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润.故选C点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左、右支于另一点，若，且，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可设，故四边形是平行四边形，且。
由双曲线的定义可得：，由余弦定理可得，即，借助平行四边形的性质可得，即，故双曲线的离心率，应选答案B。
点睛：解答本题的思路是借助双曲线的对称性，将问题进行等价转化与化归为平行四边形的几何性质问题，再依据平行四边形的四边的平方和等两条对角线的和这一性质，探寻到建立方程的依据从而使得问题获解。
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13. 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为____________.【答案】【解析】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点∴∴，即本题答案为14. 的展开式中的常数项为___________.（用数字作答）【答案】【解析】通项公式令，则∴常数项故答案为15. 已知数列的前项和为，且满足：，则___________.【答案】【解析】∵∴，则由可得∴对任意的都成立∴数列是等比数列，首项为2，公比为2∴，即故答案为16. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．【答案】【解析】由图可知：函数的最小值，∵∴又∵∴∴将代入得即即∵∴∴故答案为点睛：已知函数的图象求解析式(1) ；(2)由函数的周期求；(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.三、解答题:（本题包括6小题，共70分。
要求写出证明过程或演算步骤）17. 如图，在中，．（1）若，求和的长．（结果用表示）；（2）当时，试判断的形状．【答案】（1）,；（2）直角三角形.【解析】试题分析：（1）根据正弦定理求得和的长；（2）由得：，结合和差化积公式得到的值，由此可以判断的形状．试题解析：（1）由正弦定理得：，即，∴又∵∴∴，即∴（2）由得到：∴，即∵∴或∴或∴△ABC是直角三角形．18. 茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.(1)如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；(2)如果，从学习次数大于7的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率.【答案】（1）,；（2）.试题解析：(1)当x＝6时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：6，7，8，11，∴平均数为，方差为s2＝ [(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(11－8)2]＝.(2)甲组中学习次数大于7的同学有3名，记为A1，A2，A3，他们去图书馆学习次数依次为9，11，12；乙组中学习次数大于7的同学有2名，记为B1，B2，他们去图书馆学习次数依次为8，11；从学习次数大于7的学生中选两名学生，所有可能的结果有10个，它们是：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2用事件C表示：“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：A1B2，A2B2，A3B1，A3B2，故根据古典概型，选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率为P(C)＝.19. 如图，多面体中，四边形是菱形，,相交于，，点在平面上的射影恰好是线段的中点．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【试题分析】（1）运用线面垂直的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的知识及数量积公式分析求解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD 又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF 内∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH＝45°，又菱形ABCD的边长为4，则各点坐标分别为,E(0,0,)易知为平面ABCD的一个法向量，记=，= ,=∵EF//AC，∴ 设平面DEF的一个法向量为（注意：此处可以用替代）即＝ ,令，则，∴∴平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.点睛：立体几何是高中数学中重要知识点与重点内容，也是高考重点考查的考点之一。
这类问题的设置常常有两类题型：其一是线面位置关系的推证；其二是距离角度的计算。
求解第一问时，运用线面垂直的判定定理进行推证；求解第二问时，则通过建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式的运算，先求两个平面的法向量，再借助向量的数量积公式进行求解，从而使得问题获解。
20. 已知，是的导函数．（1）求的极值；（2）若在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，无极值，当时，有极小值；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出的极值；（Ⅱ）讨论以及时，对应函数f（x）的单调性，求出满足在时恒成立时a的取值范围．试题解析：（Ⅰ），，，当时，恒成立，无极值；当时，，即，由，得；由，得，所以当时，有极小值.（Ⅱ）令，则，注意到，令，则，且，得；，得，∴，即恒成立，故，当时，，，于是当时，，即成立.当时，由（）可得（）.，故当时，，于是当时，，不成立.综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查了函数的最值，导数极其应用问题，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，也考查了不等式的应用问题，考查了推理论证能力与逻辑思维能力以及运算求解能力的应用问题，是综合性题目．21. 如图，已知椭圆：的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．（1）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；（2）求三角形的面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的方程可得点P,A,B的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘积为定值-1；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，，，，当直线的斜率不存在时，，故综合的最大值为.试题解析：（Ⅰ）．，故．（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设：与轴的交点为，代入椭圆方程得，设，，则，，由，得，得，，得或．或，所以过定点或，点为右端点，舍去，，令（），，，，当直线的斜率不存在时，，，，即，解得，，，所以的最大值为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。