试验5特征值特征向量和二次型
5矩阵的特征值与二次型
第一节 向量的内积与正交向量组 第二节 方阵的特征值和特征向量 第三节 相似矩阵与矩阵的对角化 第四节 实对称矩阵的对角化 第五节 二次型及化二次型为标准型 第六节 正定二次型
§1
向量的内积与正交向量组
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n阶方阵 可逆的充分必要条件是 的全部特征值都不 阶方阵A可逆的充分必要条件是 阶方阵 可逆的充分必要条件是A的全部特征值都不 为零. 为零 定理4 都是方阵A的对应于特征值 定理 设 都是方阵 的对应于特征值 的特 征向量，则它们的任何非零线性组合 征向量， 为不全为零的常数， 也是A的对应于 （ 为不全为零的常数， ）也是 的对应于 返回 上一页 下一页 的特征向量. 特征值 的特征向量
定理5 方阵 与它的转置矩阵 方阵A与它的转置矩阵 定理 因而有相同的特征值. 因而有相同的特征值 证 由
有相同的特征多项式， 有相同的特征多项式，
因此， 与 有相同的特征多项式， 因此，A与 有相同的特征多项式，所以它们有相 同的特征值.证毕 证毕. 同的特征值 证毕
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§2 方阵的特征值和特征向量
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(8) 第三部分 特征值,矩阵的相似对角化及二次型——典型例题
() ( )
⎝
1
⎠
( )
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
19
例48 已知二次型
f ( x1 , x2 , x3 )
四 化二次型为标准形
(06)
2 2 = (1 − a ) x12 + (1 − a ) x2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x2
求二次曲面
x + 2x + Yx + 2 x1 x2 + 2 Xx1 x3 = 1
2 1 2 2 2 3
为椭球面的概率
22 December 2012
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
10
二 反求参数问题
⎛2 0 0 ⎞ ⎛2 0 0⎞ 例37 设A = ⎜ 0 0 1 ⎟ 与B = ⎜ 0 y 0 ⎟相似, 则( ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜0 1 x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
6
例32 已知 A1 , A2 , A3 为3个非零的3阶矩阵，
A = Ai (i = 1, 2, 3), Ai A j = 0 (i ≠ j ),
2 i
证明0，1一定是 Ai (i = 1, 2, 3) 的特征值. 为3维单位列向量，且 α T β = 0, 例33 设α , β T T . A = αβ + βα , 则A的特征值为
二次型配方法技巧
二次型配方法技巧1. 了解二次型的定义：二次型是一个关于n个变量的二次多项式表达式。
2. 熟悉二次型的标准形式：二次型可以通过合同变换转化为标准形式，即只有平方项和零次项，没有交叉项。
3. 使用合同变换进行化简：合同变换是一种可以改变二次型的平方项系数和常数项的技巧。
4. 理解二次型的矩阵表示：将二次型表示为一个对称矩阵的形式可以简化计算和分析。
5. 利用矩阵特征值分析二次型的性质：二次型的矩阵表示的特征值和特征向量可以提供关于二次型的有用信息。
6. 使用特征值分解进行对角化：特征值分解是将对称矩阵对角化的一种方法，可以简化二次型的计算。
7. 利用二次型的正定性或负定性分析问题：正定二次型的性质可以提供最小值，而负定二次型的性质可以提供最大值。
8. 使用配方法求取二次型的最值：配方法是一种将二次型转化为平方项的和的技巧，可以简化最值计算。
9. 利用配方法实现二次型的化简：配方法可以将二次型化为一系列完全平方的和，从而简化计算。
10. 了解二次型的相关概念：相关概念如秩、正交等可以帮助理解和分析二次型的性质。
11. 使用二次型的正交对角化技巧：正交对角化可以将二次型转化为只有对角线上有非零项的形式，从而简化计算。
12. 利用二次型的秩分析问题的解空间：二次型的秩可以提供有关解空间的信息，例如是否存在非零解等。
13. 考虑二次型的约束条件：二次型的约束条件可以提供额外的限制条件，从而限制解的范围。
14. 利用拉格朗日乘子法求解二次型最值问题：拉格朗日乘子法是一种用于处理带约束条件的最值问题的技巧。
15. 考虑二次型的线性变换：通过线性变换，可以改变二次型的项的系数和平方项之间的关系，从而简化计算。
16. 使用线性变换进行坐标变换：线性变换可以实现坐标系的变换，从而改变二次型的标准形式。
17. 考虑二次型的对称性：二次型的对称性可以提供关于对称轴、顶点等的有用信息。
18. 使用二次型的谱分解进行矩阵分析：谱分解可以将对称矩阵分解为特定形式的矩阵，从而简化计算。
特征值与特征向量二次型
,n
第五步
得到正交变换X=TY
T =(1 ,2 ,
,n )
正定二次型
定义 设有实二次型 f ( x ) x T Ax, 如果对任何x 0,
都有f ( x ) 0(显然f (0) 0), 则称f为正定二次型 , 并 称对称矩阵A是正定的; 如果对任何x 0, 都有f ( x ) 0, 则称f为负定二次型 , 并称对称矩阵 A是负定的.
i , j 1
例1 设A是3阶矩阵, 它的3个特征值为 1 1, 2 1, 3 2, 设B A 3 5 A 2 , 求 B ; A 5 E . 解 利用 A 1 2 n来计算 A .
, 令f ( x ) x3 5 x2 , 因为 1 , 2 , 3 是A的全部特征值 所以f ( i)(1 i 3)是f ( A) A3 5 A2 B的全部特征值故 . B f ( A) f ( 1) f ( 2 ) f ( 3 ) ( 4)( 6)( 12) 288.
定义
求 法
定义 特征值 特征多项式 特征向量 不同特征值的特征向量线性无关 k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
特 征 值
性 质
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
概念 矩阵对角化 应用
相 似 实对称阵隐含的信息
( 2) 12 n A .
显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.
3. 设 是A (a ij ) nn的特征值, 则 (1)也是 AT的特征值; (2) k是 Ak的特征值( k 为任意自然数); ( )是
( A)的特征值.其中 ( ) a 0 a1 ( A) a 0E a1A a m Am.
数学实验第五讲 用mathematica的相应功能进行向量矩阵运算
授课老师： 所属院系：数计学院 E-mai：l
第五讲
用Mathematic的a 相应功能进行向量、矩阵运算
用Mathematic的a相应功能进行向量、矩阵运算
? 向量和矩阵的输入 ? 获得表的元素 ? 表的维数和矩阵的加、减法 ? 向量和矩阵的乘法 ? 关于矩阵的几个常用函数
用Mathematic的a相应功能进行向量、矩阵运算
,e2}}
m1? m2
注意：“? ”是Mathematic特a 有? 的，这种乘法不满足 交换律，当向量与矩阵相乘用“ ”时，Mathematica 能自动把向量看做行向量或列向量
关于矩阵的几个常用函数
?
Inverse[M] :
?
Transpose[M]
?
Det[M]
?
Eigenvalues[M]
获得表的元素
在Mathematic中a 获得表的元素的规则如下：
? 若A是一个向量，则A[i] 表示向量的第i个元素。
? 若M是一个m行n列矩阵，则用M[[i]] 第i行。
表示矩阵的
? 用M[[i,j]]
表示第i行、第j列交叉点处的元素。
?
用Transpose[m][[j]]
表示M的第j列。
? 用,j2}]]
? 实验内容
? 矩阵的输入。 123
输入矩阵 A＝ 4 5 6 78 9
? 矩阵的基本运算
?求两个矩阵的和 ?数乘矩阵 ?矩阵相乘
实验6 矩阵的初等变换
? 实验内容
? 矩阵的初等变换
用初等变换将矩阵 A＝
-1 0 1 2 3 1 0 -1 0214
化为行标准型。
x1 ? 3x2 ? 6x4 ? 9 2x2 ? x3 ? 2x4 ? ?5
特征值、特征向量与二次型
4、特征多项式性质 1）、若x是A的对应于λ的特征向量，则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2）、设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值， p1, p2分别 是与之对应的特征向量，则p1+ p2不是A的特征向量 3）、方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4）、对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的
3）、以这n个两两正交的单位特征向量为列向量构 成正交矩阵P,这时P-1AP = PTAP = Λ,其中对角方阵Λ 的元素排列顺序依次与P的列向量的排列顺序相对应 三、二次型及其标准形 1、实二次型及矩阵 含n个变量的二次齐次函数
f (x1, x2 ,L, xn )
= a x + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +L+ 2a1n x1xn 2 + a22 x2 + 2a23x2 x3 +L+ 2a2n x2 xn +L 2 + ann xn
Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征向量, 其中R(A) = r.
线性组合 k x + k x +L+ k x 1 1 2 2 m m 也是A的对应于λ的特征向量. 的对应于λ
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
特征值问题及二次型
ϕ (λ ) = a 0 + a1λ + L + a s λs , ϕ ( A) = a 0 I + a1 A + L + a s A s 。
3）若 A 可逆，则（ 1 / λ ， ξ ）是 A 的特征对。
−1
证明
1）假设 λξ = Aξ = µξ ， λ ≠ µ 。故 (λ − µ )ξ = θ ，因为 ξ ≠ θ ， λ =
λi ， 所以 ai = 0 ， (i = 1,2, L, k ) .
代入（1）式，得 a k +1ξ k +1 = θ .因为 ξ k +1 ≠ θ ，所以 a k +1 = 0 ，故 ξ1 , ξ 2 , L , ξ k +1 线性无关。 ■
97
பைடு நூலகம்
例3
⎛ −1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 设 A = ⎜ − 4 3 0⎟ 。 ⎜ 1 0 2⎟ ⎝ ⎠
λI − A = (λ − 4) − 1 λ − 2
−1
λ1 = 4 ， λ 2 = λ3 = 1 . − 1 = (λ − 4) (λ − 1) 2 =0， λ −2
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 对于 λ1 = 4 ，解 ( 4 I − A) x = θ ，得 α 1 = ⎜1⎟ . 属于 λ1 = 4 的特征向量全体为 kα 1 。 ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 ( I − A) x = θ ， 得无关的 α 2 = ⎜ 1 ⎟ ，α 3 = ⎜ 0 ⎟ . 属于 λ 2 = λ3 = 1 对于 λ 2 = λ3 = 1 ， ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−1
因为 P 可逆，故 P = P 1 P2 L Ps 。 于 是 有 ■
二次型的应用与思想方法
二次型的应用与思想方法二次型在数学和工程领域具有广泛的应用，其思想方法是通过研究二次型的性质和特征来解决实际问题。
首先，二次型在数学领域中有着重要的应用。
在线性代数中，二次型是由平方项和交叉项组成的多项式，一般形式为Q(x)=x^TAX，其中x是n维向量，A是一个n×n对称矩阵。
研究二次型的主要目的是通过矩阵的特征值和特征向量，对二次型进行分析、求最值和优化等问题。
其次，二次型在工程领域中也有广泛的应用。
例如在机械工程中，二次型可以用来描述物体的动能和势能。
在电气工程中，二次型可以用来描述电磁场的能量分布和传输。
在控制工程中，二次型可以用来描述系统的能量耗散和稳定性。
在计算机科学中，二次型可以用来描述图像、音频和视频等信号的特征。
在经济学中，二次型可以用来描述供给与需求的关系和市场均衡等。
这些应用说明了二次型在工程实践中的重要性和实用性。
在解决实际问题时，二次型的思想方法是通过对二次型的各种性质和特征进行分析和运用。
首先，通过求解二次型的标准型，可以简化二次型的形式，使得问题更加易于处理。
其次，通过研究二次型矩阵的特征值和特征向量，可以得到关于二次型的重要信息，如最值、正定性、正交性等。
特别是在优化问题中，二次型的正定性是一个重要的判别条件，可以保证优化问题的解的存在性和唯一性。
最后，通过构造二次型的等价变换，可以得到等价的二次型，从而将复杂的问题转化为简单的问题。
总之，二次型在数学和工程领域中具有广泛的应用和重要性。
通过研究二次型的性质和特征，可以解决实际问题，提供了一种有效的思想方法。
这些应用和思想方法的研究，不仅推动了数学和工程领域的发展，也为实际问题的解决提供了有力的工具和理论基础。
特征值和二次型
第5章 特征值问题 二次型一. 填空题1.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111A 的非零特征值是 .2.设3阶矩阵A 的特征多项式)3)(2)(1(λ---=-λλλA E ，则1-A 的三个特征值分别为 .3.若3阶矩阵A 的三个特征值分别为-1，-1，8，则|A |= .4.若λ0是n （3≥n ）阶方阵A 的特征值，则r (A E -0λ) n .5.设0λ是方阵A 的一个特征值,则0λk 是方阵 的一个特征值，20λ是方阵 的一个特征值，23020+-λλ是方阵 的一个特征值.6.设A 是n 阶方阵，且A x =0有非零解，则λ= 必为A 的特征值.7.设A 是n 阶方阵，|A |≠0，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值0λ，则()E A +2*必有特征值 .8.设n 阶方阵A 的各行元素之和为)0(,≠a a ，则A 必有一个特征值0λ= ，且E A A 53223++有一个特征值 .9.n 阶方阵A 有n 个互异的特征值为n λλλ,,,21 ，则A 的对应于)1(n i i ≤≤λ的线性无关特征向量有 个；且r (A E i -λ)= )1(n i ≤≤.10.n 阶零方阵A 的全部特征值为 ，全部特征向量 .11.若矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4321123122与x 相似，则x = . 12.若4阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为51,41,31,21,则行列式=--||1E B13.设A 与单位矩阵E 相似，则A= . 14．矩阵A 与B 相似，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=30120111B ，则=A . 15．n 阶矩阵A 与B 相似，且2-=A ，则=3B . 16．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A 2=A ，则B 2= .17. n n A ⨯有k 重特征值0λ，其余都不是重特征值，若n n A ⨯可对角化，则)(0A E r -λ为 .18.设44⨯A 相似于矩阵B ,44⨯A 的特征值为51,41,31,21，则||12E B B -+-- .{二次型19. n 元二次型与 矩阵是一一对应的.222123112223320.(,,)48543.f x x x x x x x x x x =++++二次型的正惯性指数、负惯性指数及符号差分别为，， 21．已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换Py x =可化成标准形,621y f =则a = .22.A 为实对称矩阵，且0≠A ，把二次型f =x T A x 化为f =y T A -1y 的线性变换是x = y .23. 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t tA 11正定时，t 应满足的条件是 . 24.与单位矩阵合同的二次型都是 定二次型.222123123122325.(,,)22______.f x x x x x x x x ax x a =++++若二次型是正定的，则应满足26.A 是n 阶正交正定矩阵，则 .}二.选择题1.21λ,λ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b aA 是A 的两个特征值，则21λλ+=（ ） (A) b a - (B) d c + (C) d a + (D) d c -.2.设λ=2是可逆方阵A 的一个特征值，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 的一个特征值为（ ）.(A) 4/3 (B) 3/4 (C) 1/2 (D)1/4.3.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x A 123022有一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-35，则x =( ). (A) -18 (B) -16 (C) -14 (D) -12..5.设,53342111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=a A 且A 的特征值为6，2，2.若A 有三个线性无关的特征向量，则a=（ ）.(A) 2 (B) -2 (C) 4 (D) -4.6. 设3阶方阵A 的特征值为0，1，2，A A B 52-=，则|B |=（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3. 7. 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，若α是A 的对应于特征值λ的特征向量，则TAP P )(1-的对应于特征值λ的特征向量是（ ）.(A) αP (B) α1-P (C) αT P (D) ()αTP 1- .9. 4阶方阵A 满足,0||,2,0|2|<==+A E AAA E T则A 的伴随矩阵*A 的一个特征值为（ ）.(A) 22 (B) 22- (C) -1 (D)1.11.βα,分别为实对称矩阵A 的两个不同特征值λ1，λ2所对应的特征向量，则α与β的内积],[βα=（ ）(A)1 （B ）-1 （C ）0 （D ）无法确定.18.二次型2221212136),(x x x x x x f ++=的矩阵表示是（ ）（A ）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡21213421x x x x （B ）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡21213331x x x x （C ）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21213511x x x x （D ）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡21213151x x x x . 19.二次型x x x x x x x x x x x x f ++--+=),,(的秩等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0. 20.下列矩阵中与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500210002合同的是( ) (A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 (B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10010001(D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1002000221.设,000000000000004,1111111111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B A 则A 与B( ) (A )合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似22.设A 为3阶实对称矩阵，对任意nR x ∈有0=Ax x T，则( ) (A) |A|=0 (B) |A|>0 (C) |A|<0 (D) 以上都不对{二次型23.为正定的充要条件是n n A ⨯（ ） （A ）0>A (B) C C A C n T =使阶矩阵存在（C ）负惯性指数为零 (D) 各阶顺序主子式均大于零. 24.实对称矩阵A 的所有特征值全大于零是A 正定的（ ）条件. （A ）充分 （B ）必要 （C ）充要 （D ）无关25.二次型x x tx x x x x x f +-+=),,(正定，则t 的取值范围是（ ） （A ）-4<t<4 （B ）-2<t<2 （C ）-1<t<1 （D ）-3<t<3.26.若A 、B 都是正定的n 阶实对称矩阵，则AB 一定（ ） (A) 实对称矩阵 (B 正交矩阵 (C)正定矩阵 (D)可逆矩阵 27. 若A 、B 都是正定矩阵，则（ ）(A) AB ，A+B 都正定 (B) AB 正定，A+B 非正定 (C)AB 非正定，A+B 正定 (D) AB 不一定正定，A+B 正定.}三.计算题 1．求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=101410213A 的实特征值及对应的特征向量. 2．求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=1111111111111111A 的特征值，并证明A B 21=是正交阵，且与B -1有相同的特征值.3．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量，求x 与y 应满足的条件. 4.44⨯A 满足0|2|=-E A ，E AAT2=，0||<A ，求*A 的一个特征值.5.设3阶矩阵A 满足),3,2,1(==i i A i i αα其中,212,122,221321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα试求矩阵A.6.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=a cb c aA 01351，1||-=A ，又*A 有特征值0λ，*A 的属于0λ的特征向量为T )1,1,1(--=α，求c b a ,,及0λ的值.7.设向量Tn T n b b b a a a ),...,,(,)...,,(2121==βα均为非零向量,且满足条件,0=βαT 记,T A αβ=求(1);2A (2)矩阵A 的特征值和特征向量.8.设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3;矩阵A 的属于特征值1,2,的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121,11121αα.(1)求A 的属于特征值3的特征向量;（2）求矩阵A .9.设矩阵.3241223⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=k kA （1）k 为何值时,存在可逆矩阵P,使得AP P 1-为对角矩阵?（2）求出P 和相应的对角矩阵.10.A 是3阶实对称矩阵，它的一个特征值为3，且线性方程组A x =0基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112,22121ξξ，求A.11.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212b a A 的一个特征向量.（1）确定常数b a ,；（2）确定特征向量ξ对应的特征值；（3）A 能否对角化？并说明理由.12.设矩阵A 和B 相似,其中 .0020001,11322002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=y B x A （1）求x ,y 的值;（2）求可逆矩阵P ,使得.1B AP P =-13.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=5334111y xA .已知A 有3个线性无关的特征向量,2=λ是A 的二重特征根. 求可逆矩阵P,使得AP P 1-为对角矩阵.14.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211,111111βaa a A . 已知线性方程组 A x =β有解但不唯一,试求(1) a 的值. (2) 正交矩阵 Q ,使Q -1AQ =Q TAQ=Λ为对角矩阵.15.化二次型2221231231213(,,)542f x x x x x x x x x x =+-++为标准形,写出相对应的可逆线性变换.16.二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x x x x x x x x f α经正交变换x =Q y 化为23222y y f +=.试求常数a 及所用的正交变换矩阵Q .17.3阶实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x .（1）求正交矩阵Q 及对角矩阵Λ，使得Q T AQ =Λ；（2）求一正交变换化实二次型=),,(321x x x f x T (A 2+3A )x 为标准形.18.求实二次型∑∑≤<≤=+=414122nj i j ii ix xaxf 的秩和符号差.19. 确定参数t ，使得二次型.2232),,(3121232221321为正定二次型x x x tx x x x x x x f ++++=20. 已知3阶实对称矩阵A 的特征值为4,21321-===λλλ.（1）证明：2E -A *是可逆矩阵；（2）设B=(A *)2-4A *+4E,试证B 是正定矩阵.21.设有n 元实二次型212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=--问：n a a a ,,,21 满足何种条件时，该二次型正定？22. A 是正定矩阵，求一个正定矩阵B ，使A=B 2.四.证明题1.设1λ，2λ为n 阶方阵A 的两个互异特征值，21,αα分别为对应于1λ，2λ的特征向量，试证21αα+不是A 的特征向量.2.已知A A =2,试证：(1)方阵A 的特征值为0或1; (2)E A +必可逆.3.，，1||-==A E AA T 证明：-1为A 的一个特征值. 4.A 满足O E A A =+-232，试证其特征值为1或2. 5.n 阶矩阵A 、B 满足AB =A +B ，证明λ=1不是A 的特征值.6．证明：若0≠λ是m n n m B A ⨯⨯的特征值，则λ必为n m m n A B ⨯⨯的特征值.7.已知33⨯A 有三个不同特征值321λλλ、、，其相应特征向量分别为321,,ααα，记β=321ααα++，证明：βββ2,,A A 线性无关.8. 2阶实矩阵0,>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=bc d c b aA .证明A 必与对角阵相似. 9.若A 可逆，且A 与B 相似.证明A *与B *相似.10.设A 为n 阶实对称矩阵，且0=2A ，试证：A=0. 11.已知A 为3阶方阵，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020001~A ，设)3)(2)((E A E A E A B ---=.证明：O B =.12．已知,61000512141⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=A 证明：.lim O A nn =∞→13.证明：秩为r 的对称矩阵可表作r 个秩为1的对称矩阵之和.14. 实矩阵A 反对称⇔对任意n R x ∈有0=Ax x T.15. 设A 为实对称矩阵，则A =O ⇔对任意n R x ∈有0=Ax x T.16..C C A C A T=使逆阵为正定阵，证明存在可设对称阵 17.试证：A 为n 阶可逆矩阵，则A T A 是正定矩阵.18．A 是n 阶半正定矩阵，证明：nE A 22≥+，其中等号成立的充分必要条件是A=O.19.设A 为m ×n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,已知,A A E B T+=λ试证:当0>λ时,B 为正定矩阵.答案与解法提示一．1. 3； 2.1，1/2，1/3； 3.8； 4. <n ； 5. kA , A 2, A 2-3A +2E ; 6. 0； 7.122+λA；8.(提示: A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 =a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 ) 532,23++a a a ； 9.1，n -1； 10. 0，任意n 维非零向量; 11.B ；12. n -k ； 13.30305; 14. -17； 15. 24； 16.E ； 17. 6； 18. -8; 19．n 阶实对称； 20. 2，1，1; 21.a =2; 22. A -1; 23.t>1； 24.正; 25.22<<-a ;26. A=E .提示：A 为正交正定矩阵，故A 2=AA=A TA=E ，即有(A+E)(A -E)=O 因A+E 可逆，两边左乘 (A+E)-1得A -E=O ，即A=E.二．1.(C); 2.(B); 3.(B); 4.(D); 5.(B); 6.(A); 7.(C); 8.(D); 9.(A)提示：由题意,,0|2||2|=--=+A E A E 从而2-为A 的一个特征值.又由E AA T 2= 得422|2|||||===I A AA T,0||<A ,所以, ,4||-=A 从而*A 的一个特征值为.22||1=-A λ10.（D ）； 11.(C); 12. (A); 13. (B); 14. (B); 15.（D ）； 16.(D); 17. (D); 18．(B); 19.(A); 20. (B); 21. (A); 22.(A); 23.(D); 24.(C); 25.(A); 26. (D); 27. (D). 三．1. ().0,1,2,0,1≠==k k Tαλ.2121;,41.2,2.2114321有相同的特征值与，故所以，又因为正交阵故因B B B A ABBA AB E A A B B TTTT T--=======-====λλλλ.0,1)(1,11,0)1()1(||.31212=+=-=-===+-=-y x A E r A E 则，须对（二重）故因λλλλλλ4.22-；5.提示：)3,2,(),,(),,(321321321ααααααααα==A A A A .令 )3,2,(),,,(321321αααααα==B P 则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----===-22225020731,1BPA B AP ； 6.提示：,0*αλα=A 又,||*E E A AA -==从而 ααλα-==A AA 0*,对应矩阵方程为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111111013510a cbc aλ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+--=++-1)1(1)35(1)1(000a c b c a λλλ 解之得2,3,10==-==c a b λ； 7.提示:(1) ,)(2T T TTA βαβααβαβ==其中αβT为数,从而0)()(2===TT T TTAββααβαβα(2)由（1）可得A 特征值λ=0,即A 仅有零特征值.解)0(A E -x =0由Tn T n b b b a a a ),...,,(,)...,,(2121==βα均为非零向量知βα,中均有非零分量,不妨设为0,011≠≠b a ,则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-0.................0...0...10...0 0...0 (1)1221212221212111b b b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a A n n n n n n n得基础解系,10,...,00,0111132121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- b b b b b b n n ξξξ 则A 的全部特征向量为121112211,...,,(...---+++=n n n k k k k k k ξξξξ不全为零). 8.（1）A 的属于特征值3的全部特征向量为).0(1013≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k α为任意实数.（2）记,111021111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 则,3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-AP P .31252102521361⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=A 9. （1）A 的特征值为 .1,1321=-==λλλ要使A 可以对角化,重特征根对应齐次线性方程组的基础解系包含向量的个数应等于它的重数,所以应有123)(=-=--A E r ,得 k =0.（2）令,12002111)(321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==ξξξP 则.1111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-AP P 10. 提示：A 特征值为0，0，3.对应于特征值为3的特征向量3ξ与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112,22121ξξ正交，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3543ξ.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=--50271092518109235625185625243011P PP P A . 11. 提示：(1)由A ξ =λξ ,解得 0,3,1=-=-=b a λ；(2)将0,3=-=b a 代入有 3)1(||+=-λλA E ,所以–1为A 的三重特征根.而.2)=--A E r （ 所以A 不能对角化.12. 提示：(1)相似矩阵具有相同的特征行列式||||B E A E -=-λλ,即 ))(2)(1(]2))(1)[(2(y x --+=---+λλλλλλ 令0=λ、1=λ得2-=x y ; 2-=y ；所以,,0=x 2-=y .(2) A 、B的特征值均为;2,2,1321-==-=λλλ解特征方程)3,2,1(0)(==-i X A E i λ得对应特征向量为B AP P P ==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1321321,101,110,120）则（令ξξξξξξ.13. 提示：A 可对角化.对2=λ，有 123)2(=-=-A E r ，得 .2,2-==y x A 的特征值为.6,2321===λλλ对应的线性无关特征向量为.321,101,011321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ξξξ令),(321ξξξ=P 则.600200021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-AP P 14. 提示：)1(对增广矩阵施行初等行变换:()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a a a a a aa aA 220001101112111111112β方程组有解但不唯一，则必有3)()(=<=n A r A r β ，从而.2-=a(2)A 的全部特征值为0,3,3-，所对应的特征向量分别为,111,121,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-正交化、单位化得正交矩阵,31612131620316121⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=Q 使 Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-0331AQ Q AQ Q T为对角阵. 15. 可逆线性变换112322333252x y y y x y y x y=--⎧⎪=+⎨⎪=⎩化二次型为标准形2221236f y y y =+-.16. 提示： (i)二次型的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002aa A ，A 的特征值为0，1，2；利用 0|2|0|1|0|0|=-=-=-A E A E A E 或或 可得a =2.(ii)求出A 的分别对应于0,1,2的线性无关特征向量,单位化即得所求正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q 17. (1)令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=6231612131612131Q ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-1151AQ Q AQ Q T (2)标准形2322212240y y y f --=.18．提示：通过计算二次型矩阵A 的特征值获得结果.a =1时，秩为1，正惯性指数为1，负惯性指数为0，符号差为1； a = -1/3时，秩为3，正惯性指数为3，负惯性指数为0，符号差为3； a ≠1且a ≠-1/3时，秩为4.且当a>1时，正惯性指数为1，负惯性指数为3，符号差为-2；且当-1/3<a<1时，正惯性指数为3，负惯性指数为1，符号差为2； 且当-1/3<a<1时，正惯性指数为4，负惯性指数为0，符号差为4； 且当a<-1/3时，正惯性指数为3，负惯性指数为1，符号差为2. 19.315315<<-t .20. 提示：(1)2E -A *的特征值为,47,4,4A 即2不是A *的特征值，故02*≠-A E所以2E -A *是可逆矩阵.（2）B=(A *)2-4A *+4E 的特征值为1649,16,16.3个特征值都大于零，故B 正定.21. 提示: 若要),...,,(21n x x x f 为正定二次型需),...,,(21n x x x f >0(对任意x ≠0)成立, 由题意知 0),...,,(21≥n x x x f .其中等号成立当且仅当 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+--0000111322211x a x x a x x a x x a x n n n n n .方程组仅有零解的充分必要条件 是0...)1(11...1...000.. 0...100 (01211)121≠-+=+-n n nn a a a a a a a所以,当0...)1(1211≠-++n n a a a 时, ),...,,(21n x x x f >0(对任意x ≠0)成立.即nn a a a )1(...21-≠时, ),...,,(21n x x x f 为正定二次型.22. 提示：设),,2,1(n i i =λ是A 的特征值，则),,2,1(0n i i =>λ且有正交矩阵Q 使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n TAP P λλλ21，令T n P P B ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ21则B 正定，且A=B 2.四． 1.用反证法.若21,αα是A 的属于0λ的特征向量，可得0)()(220110=-+-ααλλλλ.因21,αα线性无关，得021λλλ==与题设矛盾.2.（1）设λ为A 的特征值，α为对应的特征向量，则 λ2α=A 2α =A α =λα ，可证.(2）求出E A +的特征值，计算E A +即得结论. 3.提示：只须证0=--A E .4. 提示：设λ为A 的特征值，α为对应的特征向量，则)23(2E A A +-α=(λ2-3λ+2)α= 0从而 λ2-3λ+2=(λ-1)( λ-2)=0 即 λ=1或2.5. 提示：AB =A +B ；AB -A -B +E =E ，(A -E )( B –E )=E , 即A -E 可逆，从而0≠-E A .所以λ=1不是A 的特征值.6. 提示：设λ为AB 的非零特征值，α为对应的特征向量，则AB α=λα 因为0≠λ，所以B α ≠0.而由B (AB α)= B (λα)=λ(B α) B (AB α)= BA (B α)得 BA (B α)=λ(B α).即λ也是BA 的特征值，B α为对应的特征向量.7.（略）8. .提示： 由0)()(2=-++-=-bc ad d a A E λλλ及其判别式04)()(4)(22>+-=--+bc d a bc ad d a知A 有两个不同的特征值，因此A 必与对角阵相似. 9.（略）.10. 提示：利用A 可对角化的结果.11. 提示： 依题意，有可逆矩阵P 使11,--Λ=Λ=P P A AP P 即.从而.00000000)2)(()2)((11111O P P PE E P E PP E PP PP B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-Λ-ΛΛ=-Λ-ΛΛ=----- 12. 提示：因A 有3个互异特征值是,61,51,41故有可逆阵P ，使.lim )61(000)51(000)41(61000510004111O A P P A AP P nn n n nn=⇒⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∞→--13. 提示：有可逆矩阵Q ，使得Λ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001rT a a AQ Q ，则 111211111100)(00)(00)()(--------⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=Q a Q Q a Q Q a Q QQA rTT TT14. 提示：,,)(n R x O A ∈∀=⇒数x T A x 满足 (x T A x )T =x T A T x = -x T A x ⇒x T A x =0;0)(⇐=x TA x ji ij ii nnj i j i ji ijNi ia a a Rx x x a ax-==⇒∈∀++=∑∑≤<≤=,0,)(411215．提示：,)(O A =⇒显然,nR x ∈∀x T A x =0；O A A A AA A A TT=∴-=⇒=-=⇐.)(；又由条件，有16. 提示：()()().,,,00000,000000,,),,,2,1(,0 ,1111132132111C C TS S T TT A TS STSTCST C S T T A AT T T n i A A TTTTTi =⋅=Λ=====⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΛΛ=Λ==>-------故则令其中则使则存在正交矩阵全部特征值的故正定因λλλλλλλ17. 提示：A T A 为对称矩阵，因A 且可逆，则对任意x ≠0,A x ≠0, 因此x T （A T A ）x =(A x )T (A x )>0 18.提示：A 的特征值n λλ,,1 都非负，从而A+2E 的特征值),,2,1(22n i i =≥+λnn E A 2)2()2(21≥++=+λλ等号成立的充分必要条件是01===n λλ ，由于A 可对角化，故有A=O.19. 提示：: ,)(B A A E A A E A A E B T T T T T =+=+=+=λλλ所以B 为对称矩阵.设0),...,(1≠=T n x x x ,则x T B x = x T (λE+A T A )x = λx T x+ (A x )T (A x )0>λ0,≠x ,所以0>x x T λ, 0)()(≥Ax Ax T ,0>λ从而 x T B x >0, 即B 为正定矩阵.。
线性代数同济5版
解法
通过高斯消元法或克拉默法则求 解，解的形式同样包括唯一解、 无穷多解和无解。对于无解的情 况，可以通过最小二乘法求得近 似解。
线性方程组的解法与应用
解法概述
线性方程组的解法主要包括直接法和迭代法两大类。直接法 包括高斯消元法、克拉默法则等，适用于中小规模问题；迭 代法包括雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等，适用于大规模问 题。
两个矩阵的行数相等、 列数相等且对应元素都 相等。
两个矩阵的对应元素相 加。
用该数乘以矩阵的每一 个元素。
第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数，且 结果矩阵的第$i$行第 $j$列元素等于第一个矩 阵的第$i$行的元素与第 二个矩阵的第$j$列对应 元素乘积之和。
矩阵的逆与转置
逆矩阵
对于$n$阶矩阵$A$，如果有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$为单位矩阵，则称矩阵 $A$是可逆的，并把矩阵$B$称为$A$的逆矩阵。
二次型的标准形
通过坐标变换，二次型可以化为只含有平方项的标准形$f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + ... + k_ny_n^2$，其中$k_i$为常数。
二次型的矩阵表示
二次型可以表示为矩阵形式$f = X^TAX$，其中A为对称矩阵，X为列向量。
二次型的正定性与负定性
01
正定二次型
矩阵的转置
把矩阵$A$的行和列互换所得到的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。
矩阵的秩与初等变换
矩阵的秩
在$m times n$矩阵中，任取$k$行和$k$列（$k leq m, k leq n$），位于这些行列交叉处 的$k^2$个元素，不改变它们在原矩阵中的位置次序而得的$k$阶行列式，称为矩阵的$k$-
特征值特征向量
Fibonacci（斐波那契）数列
三、二次型
1 二次型及矩阵表示
f ( x1 ,
2 , xn )=a11 x1 + 2 +ann xn +2a12 x1 x2 +
+2an-1,n xn-1 xn
设A=(aij )nn，则A为实对称阵，x ( x1 ,
, xn )
T
则上述二次型也可记为 f ( x1 , , xn )=x Ax
2
例23 已知二次型f x Ax在正交变换x Qy
T
下的标准型为y1 y2 , 且Q的第三列为
2 2 T
2 2 0 , 2 2 （1）求A ；
（2）证明A I 是正定阵.
例24 二次型 f (x1 , x2 , x3 ) (x1 +x2 ) +(x2 -x3 ) +(x3 +x1 )
11）若n阶矩阵A的各行元素之和均为k，则k一定 是A的特征值，对应的特征向量为(1,1,
-1 -1 -1
,1)T .
若A可逆，则k 是A 的特征值，A 的各行元素之 和为k -1 .
例1 设A为5阶方阵，且已知r ( A - I ) 3, r ( A - 2 I ) 2，求 A .
例2 设A为3阶方阵，且 A - I 0, A+2 I = 2 A+3 I 0，求 2 A -3 I .
2
(7) A的各阶顺序主子式都为正数.
当正定矩阵有参数
Hale Waihona Puke 3) 正定矩阵的性质若A为正定矩阵，则有以下结论：
(1) A的主对角元aii >0, i =1,2, 且 A >0，于是A可逆；
高等数学线性代数特征值、特征向量与二次型教学ppt(5)
为A的
.
二、特征值与特征向量的求法
Ax x (A E)x 0,
(A E)x 0有非零解 A E 0.
设0是方阵A的一个特征值, 则由 ( A 0E)x 0,
可求得非零解x p0,
p0就是A对应于0的一个特征向量.
求矩阵A的特征值及特征向量的步骤 :
(1)计算 A E ; (2)求 A E 0的所有根,即A的所有的特征值;
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个标准正交基.
三、正交矩阵与正交变换
定义6 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵 .
若A (1,2 , ,n ),则AT A E等价于
1T
T 2
1,
2
,
nT
,n E
由例1知道,1 2 3 3 a11 a22 a33,
定理3
123 4 | A | .
设n阶方阵A (aij )nn的n个特征值为1, 2, , n
(重特征值按重数算), 则
(1) 12 n A ;
(2) 1 2 n a11 a22
(注: trA称为矩阵A的迹)
ann trA.
所以P是正交矩阵.
2 2 1 2 2 1
3
3
3
3
3
3
PT
P
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 0 0
0 0
矩阵的特征值及二次型
矩阵的特征值及二次型学习要点：特征值、特征向量的概念及求法，相似矩阵的性质，实对称矩阵对角化的方法，二次型的定义、标准形及其矩阵表示，用配方法化二次型为标准形的方法，正定矩阵的概念及判定方法。
本章重点：矩阵的特征值与特征向量向量的概念及求法，配方法化二次型为标准形的方法。
复习要求：1.理解矩阵特征值、特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法； 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x，使得x x Aλ= 则称数λ为A 的特征值，称x为A 相应于特征值λ的特征向量。
注意特征向量必为非零向量。
例如，设B A ,为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的特征向量，则结论（ ）成立．(A)λ是B A +的特征值(B)λ是B A -的特征值 (C)x 是B A +的特征向量(D)λ是AB 的特征值 答案：C 又如⎥⎦⎤⎢⎣⎡==λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11,2,3113x A 因⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--112113113所以2为x的特征值，⎥⎦⎤⎢⎣⎡11为A 相应于2的特征向量。
特征值的求法：求特征方程0||=-A I λ的根；特征向量的求法：求齐次线性方程组o x A=-)(I λ的非零解，称为矩阵A 的相应于特征值λ的特征向量。
几个有用的结论：（1）n 阶方阵n 个特征值之和等于方阵对角线元素之和（称为迹）。
（2）n 阶方阵n 个特征值之乘积等于方阵的行列式值。
（3）若λ为方阵A 特征多项式的k 重根，则A 相应于λ的特征向量线性无关的个数不会超过k ，即有可能相等，有可能小于。
（4）任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。
由此结论知，方阵A 所有特征向量中线性无关的总数为对应于每个特征值的线性无关特征向量个数之和。
2.了解矩阵相似的定义和相似矩阵的性质； 设B A 、都是n 阶方阵，若有可逆方阵P ,使B AP P 1=-则称相似矩阵A B 的是阵，或说B A 和相似，记为B A ~，对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，其中可逆阵P 称为相似变换矩阵。
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
工程数学实践教学报告(3篇)
第1篇一、引言工程数学是工程学科中一门重要的基础课程，它涵盖了数学在工程领域中的应用，如线性代数、概率论与数理统计、数值分析等。
为了更好地理解和掌握工程数学知识，提高实际应用能力，我们开展了工程数学实践教学活动。
本报告将对实践活动的目的、内容、过程和收获进行总结。
二、实践目的1. 培养学生的实践操作能力，使学生在实际工程问题中能够灵活运用工程数学知识。
2. 增强学生的团队协作能力，通过小组合作完成实践项目。
3. 提高学生的创新意识，鼓励学生在实践中探索新的解决方法。
4. 检验工程数学教学效果，为后续教学提供参考。
三、实践内容1. 线性代数：求解线性方程组、矩阵运算、特征值与特征向量、二次型等。
2. 概率论与数理统计：随机事件、概率、随机变量、数理统计方法等。
3. 数值分析：插值法、数值积分、数值微分、方程求解等。
4. 工程案例：结合实际工程问题，运用工程数学知识进行建模、求解和分析。
四、实践过程1. 准备阶段：根据实践内容，分组讨论，明确各自职责，查阅相关资料，了解工程背景。
2. 实施阶段：（1）线性代数：通过求解线性方程组、矩阵运算等，掌握线性代数的基本理论和方法。
（2）概率论与数理统计：通过分析实际数据，运用概率论与数理统计方法进行推断和决策。
（3）数值分析：运用插值法、数值积分、数值微分等方法，解决实际问题。
（4）工程案例：针对具体工程问题，运用工程数学知识进行建模、求解和分析。
3. 总结阶段：对实践过程中遇到的问题进行总结，分析原因，提出改进措施。
五、实践收获1. 提高了学生的实际操作能力，使学生在实际工程问题中能够灵活运用工程数学知识。
2. 增强了学生的团队协作能力，培养了学生的沟通、协调和解决问题的能力。
3. 激发了学生的创新意识，鼓励学生在实践中探索新的解决方法。
4. 检验了工程数学教学效果，为后续教学提供了参考。
六、实践建议1. 加强实践教学环节，增加实践课时，让学生有更多的时间进行实际操作。
(8) 第三部分 特征值,矩阵的相似对角化及二次型——典型例题.
Aα 2 = 2α 2 + α 3 , Aα 3 = 2α 2 + 3α 3 ,
1）求矩阵B, 使得 A(α1 , α 2 , α 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) B 2）求A的特征值 3）求可逆阵P，使 P −1 AP 为对角阵
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
T
T
T
α 2 = (2, 1, 1) , α 3 = ( −1, 2, − 3) 都是A的
对应于特征值6的特征向量，求A
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
14
三 矩阵的相似对角化及 实对称矩阵的相似合同对角化
⎛ 2 2 0⎞ 例43 若矩阵A = ⎜ 8 2 a ⎟相似于对角阵， ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ 试确定a的值，并求可逆阵P, 使得
与特征向量.
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
4
例29 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和 均为3，向量 ξ1 = ( −1, 2, − 1) ,ξ 2 = (0, − 1, 1)
T
T
是Ax = 0 的两个解， 1）求A的特征值与特征向量； 2）求正交矩阵Q 和对角阵Λ , 使得 Q AQ = Λ
的特征值与特征向量.
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
3
⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 3 2 2⎞ 例28 设矩阵 A = ⎜ 2 3 2 ⎟ , P = ⎜ 1 0 1 ⎟ , ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 2 2 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −1 ∗ B = P A P , 求 B + 2 E 的特征值
二次型和矩阵特征值的关系
二次型和矩阵特征值的关系一、引言二次型和矩阵特征值是线性代数中重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。
本文将从二次型的定义入手，介绍二次型的矩阵表示及其与特征值的关系。
二、二次型的定义在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式。
对于一个n维实数向量x = (x1, x2, ..., xn)，其对应的二次型可以表示为Q(x) = x^TAX，其中A是一个n×n的实对称矩阵。
三、二次型的矩阵表示对于二次型Q(x) = x^TAX，我们可以将其表示为矩阵的形式。
假设x和A分别表示为列向量和矩阵的形式，即x = [x1, x2, ..., xn]^T，A = [a_ij]，则有Q(x) = x^TAX = [x1, x2, ..., xn] [a_ij] [x1, x2, ..., xn]^T = Σ(a_ij * xi * xj)，其中Σ表示对i和j的求和。
四、特征值和特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵特征值问题中的重要概念。
对于一个n×n 的矩阵A，如果存在一个实数λ和一个非零向量v，使得Av = λv 成立，则称λ为A的特征值，v为A的对应于特征值λ的特征向量。
五、二次型与特征值的关系对于一个n维实对称矩阵A，它的特征值问题可以表示为Av = λv，其中A是一个n×n的实对称矩阵，v是一个非零向量，λ是一个实数。
将特征向量表示为x，即x = v，则有Ax = λx。
根据二次型的矩阵表示，我们可以将二次型Q(x) = x^TAX表示为Q(x) = x^T(λx) = λ(x^Tx) = λ||x||^2。
由此可见，二次型的值与特征值λ之间存在着直接的关系。
六、二次型的正定性与特征值正定性是二次型重要的性质之一。
一个二次型Q(x)被称为正定的，如果对于所有非零向量x，都有Q(x) > 0。
对于正定的二次型，其特征值均为正数。
同样地，如果一个二次型Q(x)被称为半正定的，如果对于所有非零向量x，都有Q(x) ≥ 0。
特征向量 二次型
特征向量二次型特征向量是线性代数中的重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用。
而二次型则是特征向量的一个重要应用，它在几何学、物理学、经济学等领域中都有着重要的作用。
我们来了解一下什么是特征向量。
在线性代数中，特征向量是指在线性变换下，仅由一个标量因子进行缩放的非零向量。
简单来说，特征向量是指在线性变换后，方向不变的向量。
特征向量通常与特征值一起使用，特征值表示特征向量的缩放因子。
特征向量和特征值是线性代数中一对非常重要的概念，它们可以帮助我们理解线性变换的性质和特点。
而二次型则是特征向量的一个重要应用。
二次型是指由多个变量的平方和与变量的乘积构成的多项式。
二次型在数学中有着广泛的应用，特别是在矩阵理论中。
矩阵可以看作是一个特殊的线性变换，而二次型则是矩阵的一个重要特性。
通过对矩阵进行特征值分解，我们可以将二次型转化为一个对角矩阵，从而更好地理解和分析二次型的性质。
特征向量和二次型在几何学中也有重要的应用。
通过特征向量和特征值，我们可以将线性变换表示为对空间的拉伸、压缩和旋转，并且可以确定变换的方向和比例。
而二次型则可以表示为二次曲线或者二次曲面，通过分析二次型的特征向量和特征值，我们可以了解曲线或曲面的形状、方向和比例。
在物理学中，特征向量和二次型也有广泛的应用。
例如，在量子力学中，量子态可以表示为一个特征向量，而量子测量的结果则对应着特征值。
通过分析特征向量和特征值，我们可以获得物理系统的能量、动量和自旋等性质。
在经济学中，特征向量和二次型也有着重要的应用。
例如，在投资组合理论中，我们可以使用特征向量和特征值来衡量不同资产之间的相关性和风险。
通过分析特征向量和特征值，我们可以找到最佳的投资组合，从而实现风险的最小化和收益的最大化。
特征向量和二次型是线性代数中的重要概念，它们在几何学、物理学、经济学等领域中都有着广泛的应用。
通过分析特征向量和特征值，我们可以更好地理解和分析线性变换、二次曲线和二次曲面的性质。
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>> syms x1 x2 x3 y1 y2 y3;
% 变量声明
>> X=[x1;x2;x3];
>> Y=[y1;y2;y3];
>> X=P*Y
X=
% 正交变换X=PY
[1/6*6^(1/2)*y1+1/2*2^(1/2)*y2+1/3*3^(1/2)*y3]
[1/6*6^(1/2)*y1-1/2*2^(1/2)*y2+1/3*3^(1/2)*y3] [-1/3*6^(1/2)*y1+1/3*3^(1/2)*y3] >> f=Y' *D*Y f= 2*y1*conj(y1)+2*y2*conj(y2)+8*y3*conj(y3)
[y2]
[y3] [y4]
23
>> X=P*Y
% 正交变换X=PY
X=
[-1/2*y1+1/2*2^(1/2)*y2+29/144115188075855872*y3+1/2*y4] [1/2*y15822673418478107/40564819207303340847894502572032*y2+ 1/2*2^(1/2)*y3+1/2*y4]
1. 方阵的迹
矩阵A的迹是指矩阵的对角线上元素的和，也 等于矩阵的特征值的和。 命令格式为：trace(A) 例1.
1 1 1 设A 2 1 0 ，计算A的迹t. 1 0 1
程序设计 >> A=[1 1 1;2 –1 0;1 0 1]; >> t=trace(A) t= 1
手工计算方阵的特征值与特征向量并不是一件 容易的事，而用MATLAB来计算方阵的特征值与 特征向量只需要一个简单的命令。这里需注意两个 英文单词：eigenvalues（特征值）和 eigenvectors （特征向量）。理解这两个单词，对以下命令的 使用是有好处的。 计算方阵的特征值与特征向量的命令格式为： eig(A) 给出方阵A的所有特征值
19
例6. 计算正交的变量替换 x Py ，化二次型
2 2 2 f x12 x2 x3 x4 2x1 x2 2x1 x4 2x2 x3 2x3 x4
为标准型。 程序设计
>> A=[1 1 0 –1;1 1 –1 0;0 –1 1 1;-1 0 1 1]
% 二次型的系数矩阵
2 4 2
2 2 4
>> format short
25
>> [P,D]=eig(A)
P=
% 计算系数矩阵A的特征值矩阵D和特征向量矩阵P
0.4082
0.7071
0.5774
0.5774
0.4082 -0.7071
-0.8165
D= 2.0000 0 0
0
0.5774
0 2.0000 0
0 0 8.0000
0
0.8660
0
% 对角线元素是A的特征值
0 2.0000 0
0 0 2.0000
0 0 0
0
0
0
2.0000
13
>>c=poly(A)
% A的特征多项式的n+1个按降幂排列的系数
c=
Columns 1 through 5 1 -4 0 16 -16
% 将多项式向量c表示为符号形式
>>f =poly2sym(c) f=
24
% 二次型的标准型
y 例7. 计算正交的变量替换 x P，化二次型
2 2 2 f 4x12 4x2 4x3 4 x4 4x1 x2 4x1 x3 4x2 x3
为标准型。 程序设计
>> A=[4 2 2;2 4 2;2 2 4] A= 4 2 2
% 二次型的系数矩阵
>> a1=V( : ,1)
a1= -0.7985 -0.3038 -0.3913
% 特征值λ1=13.5891对应的特征向量
-0.3420
8
>> a2=V( : ,2)
% 特征值λ2=0.9455对应的特征向量
a2=
-0.0957 0.1230 -0.3777 0.9127
>> a3=V( : ,3)
[1/2*y1+1/2*2^(1/2)*y2+3/144115188075855872*y3-1/2*y4]
[-1/2*y1+1/2*2^(1/2)*y3-1/2*y4] >> f =Y' *D*Y f= -conj(y1)*y1+conj(y2)*y2+conj(y3)*y3+3*conj(y4)*y4
2 2 f 1 y12 2 y2 n y n 其中，系数 1 , 2 ,, n 是实对称矩阵 A 的全部 特征值。 在MATLAB中，可以运用eig命令，计算系 数矩阵 A 的特征值矩阵 D 和特征向量矩阵 P ， 即可得到正交变换 x Py 以及二次型的标准型。
Q=
-0.5000 0.2887 0.5000 -0.2887 0.5000 -0.2887 -0.5000 -0.8660 0.7887 0.2113
0.2113 0.7887 0.5774 -0.5774 0 0
D= -3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0
0
0
1
16
>>Q' ans= -0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 0.2887 -0.2887 -0.2887 -0.8660 0.7887 0.2113 0.5774 0.2113 0.7887 -0.5774 >>inv(Q) 0 0
0.5000 0.5000 -0.5000
-0.5000
D= -1.0000 0 0
0
0.7071
-0.5000
% 特征值矩阵D
0 1.0000 0
0 0 1.0000
0 0 0
0
0
0
3.0000
22
>> syms y1 y2 y3 y4;
>> Y=[y1;y2;y3;y4]
% 变量声明
Y=
[y1]
% 对于一个复数X，CONJ(X)=REAL(X)-I*IMAG(X)，即X的复共轭 21
% 二次型
>> [P,D]=eig(A)
P= -0.5000 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 0.7071
% 计算系数矩阵阵P
0.0000 0.7071 0.0000
3
[V, D]=eig(A) 给出由方阵A的所有特征值组成的对角
矩阵D和特征向量矩阵V，满足
A*V=V*D, 或者 A=V*D*V-1，
第k个特征值对应的特征向量是V的第k
个列向量。
poly(A)
当A是n阶方阵时，给出的是A的特征
多项式的n+1个按降幂排列的系数。即
特征多项式
|λE-A|=DET(lambda*EYE(SIZE(A))-A) 的系数
12
% A的特征值
>> [V,D]=eig(A)
V= -0.5000 0.5000 0.2113 0.7887
% A的特征值与特征向量
% A的特征向量，列向量
0.2887 -0.2887 -0.2887
0.7887 0.2113 0.5774
0.5000 -0.5774
0.5000
D= -2.0000 0 0
x^4-4*x^3+3/1125899906842624*x^2+16*x-16
% f 即为A的特征多项式|λE-A|=λ4-4λ3+16λ-16
14
例5.
0 1 设A 1 1
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
，计算正交矩阵 Q ，使
-0.3913 -0.3777 0.7118
-0.3420 0.9127 0.1038
D= 13.5891 0 0 0 0.9455 0
0.8809
% 对角元素是A的特征值
0 0 0.1191
0 0 0
0
0
0
-0.6537
7
>> V*D*inv(V)
% 验证A=V*D*V-1
ans=
8.0000 6.0000 3.0000 2.0000 4.0000 2.0000 3.0000 5.0000 5.0000 2.0000 3.0000 1.0000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000
27
% 二次型的标准型
4. 二次型的正定性判定
实二次型 f x T Ax 称为正定二次型，如果对 任何 x 0 ，都有 x T Ax 0 。 正定二次型的矩阵称为正定矩阵。 判定二次型为正定的充分必要条件是，它的 系数矩阵A的特征值全部为正，或者A的各阶主子 为正。 在MATLAB中，可以运用eig命令计算系数矩 阵A的特征值矩阵D或者计算A的各阶主子式来进 行判定。
ans=
-0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 0.2887 -0.2887 -0.2887 -0.8660
0.7887 0.2113 0.5774
0.2113 0.7887 -0.5774
0
0
% Q现在是正交矩阵，因为Q' =inv(Q)
17
>>Q' *A*Q