第七节 对坐标的曲线积分

∫ P ( x, y ) cosα + Q ( x, y ) cos β ds
存在，则将它记为
L
L
第一类
∫ P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy
称
∫ P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy 为函数P ( x , y ) ,
L
Q ( x, y ) 在有向线段L上的对坐标的曲线积分，
解 (1) L:按逆时针方向绕行的上半圆周; :
x = a cosθ , ∵ L: y = a sin θ
2
θ 从 0 变 到 π，
∴∫ y dx = ∫ a sin θ (a sinθ )dθ
2 2 L 0
π
=a
π 3
∫0 (1 cos θ )d(cosθ )
2
4 3 = a . 3
B( a, 0 )
（2）当L为封闭曲面时，记为 为封闭曲面时， ） 为封闭曲面时
∫ P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy
L
（3）向量形式
P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = ∫ F( x, y) dr ∫L
L
其 中 F ( x , y ) = P ( x , y )i + Q ( x , y ) j
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P cos α + Q cos β ] ds L L L : x = x ( t ), y = y( t ).
cos α ds = x′ ( t ) dt ,cos β ds = y′ ( t ) dt
将 L： x = x ( t ) , y = y ( t ) , cos α ds = x′ ( t ) dt ,cos β ds = y′ ( t ) dt dx = x ′ ( t ) dt , dy = y ′ ( t ) dt ,
在L上连续 .
∫
因为L的切向量为t = ( x′ ( t ) , y′ ( t ) ) , x′ y′ 0 , ), 单位向量为 t = ( 2 2 2 2 x ′ + y′ x ′ + y′ x′ y′ ,cos β = 得 cos α = ′ 2 + y′ 2 ′ 2 + y′ 2 x x
′ 2 + y′ 2 dt , 故 由ds = x
2
解 (1) 化为对 x 的积分 .
OB : y = x , x从 0变到1,
2
∫
L
2 xydx + x dy
2
1 2 2 0
y
= ∫ (2 x x + x 2 x )dx
= 4 ∫ x 3 dx
1
y = x2
o
B(1,1)
= 1.
0
A(1,0) x
(2) 抛物线 x = y 上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧
（ 也 称 第 二 类 曲 线 积 分 ） .即
Pdx + Qdy = ∫ [ P cos α + Q cos β ]ds ∫
L L
其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数,
L 积分弧段. 叫
注：
(1) 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧 L上连续时，
第 二类曲线积分存在．
(
0
) ds
t = (cos α ,cos β )
0
所以，F 沿L所作的功为： 第一类曲线积分 ) (
W = ∫ P ( x, y ) cosα + Q ( x, y ) cos β ds
L
记为另一种形式： 记为另一种形式：
L
W = ∫ P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy
2
解 化为对 y 的积分 .
OB : x = y , y从 0 变到 1 ,
2
∫
L
2 xydx + x dy
2
1 2 4 0
y
x= y
2 B(1,1)
= ∫ (2 y y 2 y + y )dy
= 5 ∫ y dx
4 0
1
o
A(1,0) x
= 1.
(3) L : 有向折线OAB
∫
L
2 xydx + x dy
Γ Γ
α , β , γ 为Γ 上点 ( x , y , z ) 处沿Γ 方向的切线
的方向角.
(5) 设 L是有向曲线弧 , L是与L方向
相反的有向曲线弧 , 则
∫
L
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy
L
对坐标的曲线积分有方向性.
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
α β
+ Q[(t ),ψ (t ),ω(t )] ′(t ) ψ + R[(t ),ψ (t ),ω(t )]ω′(t )}dt
例1 计算 ∫ xydx , 其中L为抛物线 y = x
2 L
上从A(1, 1)到B(1,1)的一段弧.
思路： 思路：
(1) 化为对x的定积分
(2) 化为对y的定积分
解 (1) 化为对x的定积分, y = ± x .
例3 计算 ∫ 2 xydx + x dy , 其中L为
2 L
(1) 抛物线 y = x 上从O (0,0)到B(1,1)的
2
一段弧;
(2) 抛物线 x = y 上从O(0,0)到B(1,1)的 一段弧;
2
(3) 有向折线OAB，这里O , A, B
依次是点(0,0)(1,0),(1,1).
(1) 抛物线 y = x 上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧
A(a,0)
(2) L : 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的 直线段 . ∵ L : y = 0, x 从 a 变到 a，
∴ ∫ y dx = ∫ 0dx = 0.
2 L a
a
y
4 3 沿圆弧 ∫ y dx = a L 3
2
B( a , 0 )
A(a,0 ) x
被积函数相同， 被积函数相同，起点和终点也相 同，但路径不同积分结果不同.
第七节 对坐标的曲线积分
第二节） （第十章 第二节） 一、坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法
一、对坐标的曲线积分的概念 1.引例: 计算变力沿曲线所作的功. 1.引例: 计算变力沿曲线所作的功. 引例 设光滑曲线段L : A → B , y F
F ( x , y ) = P ( x , y )i + Q ( x , y ) j
近似看作不变 , 移动的方向
0
L
o
α
dx
x
看成t , 长度为ds , F 沿小弧段ds所作功为：
dW = F t
(
0
) ds
其中t = (cos α ,cos β )
0
是ds上点的移动方向的单位切向量.
F 沿小弧段ds所作功：
W ≈ dW = F t
功微元 = P ( x , y ) cos α + Q ( x , y ) cos β ds
AO : y = x , x :1 → 0; OB : y = x,
AO
x : 0 → 1.
y
OB
∫
L
xydx = ∫
0 1
xydx + ∫ xydx
1
y2 = x
B(1,1)
= ∫ x ( x )dx + ∫0 x xdx
= 2∫
1 0
O
4 x dx = . 5
3 2
1
A(1,1)
x
(2) 化为对y的定积分
b
a
性质
1. 区域可加性
L1 + L2
∫
P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy
= ∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy + ∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy
L1 L2
2.积分可以分开写： 积
∫ P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = ∫ P ( x , y ) dx + ∫ Q ( x , y ) dy
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy =∫ [ P cosα + Q cos β ] ds β = ∫ { P x ( t ) , y ( t ) x′ ( t ) + Q x ( t ) , y ( t ) y′ ( t )}dt α
L
得 代 入对坐 标的曲 线积分， 计算公式：
特殊情形
(1) L : y = y( x), x ∈[ a, b] , x起点为a，终点为b.
则 ∫ Pdx + Qdy
L
= ∫ {P[ x, y( x)] + Q[ x, y( x)] y′( x)}dx.
b
(2) L : x = x( y), y ∈ [ c, d ] , y起点为d , 终点为c.
a
则 ∫ Pdx + Qdy
L
= ∫ {P[ x( y), y]x′( y) + Q[ x( y), y]}dy.
d
c
x = (t ) (3) 推广 Γ : y = ψ ( t ), t 的起点α , 终点β . z = ω (t )
∫
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫ {P[(t ),ψ (t ),ω(t )]′(t )