2021版高中数学人教A必修4课件：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
人教A版高中数学必修四2.2.2《向量减法及几何意义》课件
问题提出
1.用三角形法则与平行四边形法则求两 个向量的和向量分别如何操作？
b a
a+b b
a
b a+b a
2.向量的加法运算有哪些运算性质？
a＋0=0＋a=a
a与b 为相反向量
a＋b=0
a+b =b+a (a+b )+c=a +(b+c) |a＋b|≤|a|＋|b|
(2)AB BC AD DB.
AB AC 例3 DB 在四边形ABCD中，E、F分别 是AD、BC的中点，求证：
AB EF EF DC D
C
E
F
A
B
小结作业
1.向量的减法运算与加法运算是对立统 一的两种运算，在向量的几何运算的主 体内容，二者相互协调和补充.
2.用三角形法则求两个向量的差向量， 要注意起点相同的条件，差向量的方向 要指向被减向量的终点.这个法则对共线 向量也适应.
|a＋b|≥||a|－|b||
OA1 A1A2 A2A3
An 1An OAn
3.相等向量与相反向量有什么联系和 区别？
4.加与减是对立统一的两个方面，既然 向量可以相加，那自然也可以相减.因此， 两个向量如何进行减法运算，就成为研 究的必然.
探究一：向量减法的含义
思考1：两个相反向量的和向量是什么？ 向量a的相反向量可以怎样表示？
图特点是什么？
C
D
－b ab
O
a A
b
ab B
起点相同连终点，被减向量定指向.
思考6：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|
与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？
高中数学人教A版必修4课件：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
题型一
题型二
反思满足下列两种形式可以化简: (1)首尾相接且为和;(2)起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用及统 一向量起点方法的应用.
题型一
题型二
【变式训练 2】 化简:(1)������������ − ������������ + ������������; (2)������������ + ������������ − ������������ + ������������ ; (3)������������ − ������������ − ������������ . 解 :(1)������������ − ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + (−������������ ) =0. (2)������������ + ������������ − ������������ + ������������ = ������������ − ������������ + ������������ − ������������ = ������������. (3)������������ − ������������ − ������������ = ������������ − ������������ = ������������.
题型一
题型二
【例 3】 如图,在正六边形 ABCDEF 中,与������������ − ������������ + ������������ 相等的向量有 ①������������ ; ②������������ ; ③������������ ; ⑤������������ + ������������; ⑦������������ + ������������ . 解析: ������������ − ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ ; ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ ≠ ������������ ; ������������ − ������������ = ������������ ≠ ������������ ; ������������ + ������������ = ������������ ≠ ������������ . 答案 :① . (填序号) ④������������ ; ⑥������������ − ������������;
人教A高中数学必修四课件：2.2.2向量减法运算及其几何意义
2.2.2向量减法运算及其几何意义1•了解相反向量的概念 : 2 •掌握向量的减法运算•并理解其儿何意义 ]3 •理解向量加法与减法的联系•能将向量的减法运算转化为加法=I 运算i重点:向星的减法及具儿何意义 难点:向量减法的简单应用 易错学习导引 知识衔接湿暮提示如果您在观石木"件旳辻 莎中漬吳 用幷右幻灯片.*覇打并 可iEtfiU:・学习目标核心提示1. 向量加法的平行四边形法则:以（）为起点皿』为邻边 作平行四边形（1\CB •则以（）为起点的对角线加即 为a 与的和2. 向量加法的三角形法则:在平面上任取一点A,作习｝=a.BC=b.则向量加即为（I 与D 的和点:作两个向量的差向量时易忽略同•起点这•前提条件==课前自主学习主题向量减法及其几何意义1.实数Q的相反数是-爼,的相反数是a, 0的相反数是0, 若把实数a换成向量a,结论还成立吗？提示:成立•向量a的相反向量是-a, -a的相反向量是a, 0的相反向量是0・2.我们知道,在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?如何理解向量的减法呢？提示:向量的减法有类似的法则，即a-b可理解为向量a 加上向量b的相反向量.3.由于a-b=a+ (-b).因此要作出a与b的差向量a-b,可以转化为作a与-b的和向量.已知向量a, b如图所示,你能利用平行四边形法则作出差向量a-b吗?提示:利用平行四边形法则•在平面内任取一点0,作uuw=a, UUI OA OB =1）作=-b,以为邻迸作uuw uum uuu平行魏形OAEcW^ =a-bUULOE结论：1.相反向量及性质(1)定义与a长度_____ ,方向 ____ 的向量，叫做a的相反向量，记作：相等相反■(2)性质①- (-a)二_・a②如果a, b是互为相反的向量，那么a+b=_0 ®a-b=a+ ( ).④零向量的肅反向量仍是零向量.2.向量的减法及几何意义(1)向量的减法向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差,即a-—=a+ (-b),即为两个向量差的运算. b(2)向量减法的几何意义如图，设uum =a, UUL =b,OA OB则=a-b,即a-buum—魏终点的向量.A勺终点—指向被减向量b BU4UUM. V4UUH V4V4UX U4UUU UM3LB MUUUAB-DC-CB=AB+CEH-BCumu uuu uuiu uuui uuu 童鏈+BC)+CD=AC+CD=AD 口 5^： L4MLB AD2.在四边形ABCD 中, UtMIU ututu*. UUIU —AB —DC —CB 【解析】 umu==课堂合作探究类型一向量的减法运算【典例1】化简下列各式:(1)UU1 UUlt UUL UUUUUl UUUX UUU1AB_AD_DC(2) (AB+MB)+(-OB-MO)【解题指南】(1)通过相反向量，把减法变为加法.(2)有相同起点的向量的减法用三角形法则.UUL uuux UUU UUlt(AB^BO)+(OM+MB)UULUUUX UUUX UULDB — DC=CB【解析］⑴原式= UUJLuuit uum uuu AB+MB+BCHOM UU U U B=AB(2【方法总结】向量减法运算的常用方法运算转化为加法运算运用向量减法的三角形法则，此时、要注意两个向量要有共同的起点‘【拓展延伸】非零向量的差的三角不等式(1)当a, b不共线时，根据三角形边长的不等关系知|a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.⑵当a, b共线且同向时，若|a|>|b|,贝!Ja-b与a,b同向，且|a-b| = |a|-1b| ; 若 | a |〈 | b |,贝！Ja-b与a, b反向，且 | a-b | = | b | -1 a |.⑶当a, b共线且反向时,a-b与a同向，与b反向，且| a-b| 二|a| + |b|・综上所述,对于任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立：| | a | -1 b | | W | a-b | W | a | +1 b | •【跟踪训练】下列式子不能化简为_的是AD A.UUL UUUl UULD (AB+CD)+BCD.UUUX UUUL UUL UUUc. (AEH-MB)+(BC+CM)n UUUl UUUl UUUlD・ OC - 0A+CDuum uuui uuuMB+AD-BM()UU1 UUL uum UUUI AB+BC+CNAD+(MB+BC)+CM=AD+(MC+CM)=AD (OC _ OA) ；只有D 无法化简为. uum ucu uum uum +CD=AC+CD=AD UUUL UUL UUU UUUX UUltUUU uum ；对于G 有 uuui uum 【解析］选D ・对于；对于B,有諾 uu mAD【补偿训练】如图，己知向量a, b, c,求作向量a-b-c.【解析】在平面内任取一点0,作向量左=a，，则向量a-b二uum ,再作向量nut二c,则向量uum=a-b-c.BA BC CAB0 a%类型二用已知向量表示其他向量【典例2】如图所示,四边形ACDE 是平行四边形,B是该平行四边形夕卜一点，且=a, =b,二c试UUl UUU UUL用向量a, b胡表示向量AEuum UUL uumCD,BC,BD法几何意义的应用.【解析】因为四边形ACDE 是平行四边形, 所以 二C,=b-a fUUUl UU1 UUL UUUA UU1故 CD 二鵠.a +匹二 AC-ABuum uui uuuiBD = BC + CD【解题指南】【延伸探究】1.本例条件不变，试用向量a, b, c表示叫与皿• BECE 【解析】二c-a, =c-b.UUL UU1 UU1 UUL UUL UUUlBE = AE-AB CE 二AE_AC2.本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析］因为四边形ACDE是平行四边形所以 3 nt€f UUL whra”uiCD = AE BC 二AC-AB=b-a+c<UUIU UUI UUIUBD=BC+CD【方法总结】1.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1) 一个关键: 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)三点注意:①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系;②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则.2.用已知向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置.(2)寻找相应的平行四边形或三角形.(3)运用法则找关系,化简得结果.【跟踪训练】已知|a| = |b| = |a-b|=18,则|a+b| =【解析】如图，由向量加法■减法的平行四边形法则和三角形法则,可知在平行四边形ABCD中,BUVUU LUJU. LU4U1 ULUHAB = a,AD = b,AC = a + b,DB = a-b因为|a| = |b| = |a-b| = 18,所以三角形ABD是等边三角形■高AO=9 , 所以对角线AC的长度为18 JP|a+b|A8・答案:18 书弟【知识思维导图】进行向量的加减运算时.常用变形⑵运用AB+BA=Q 或花+花二花化简(3)AB=0B^0A"类比”实数的减法运算得出向量的减法运算法则（核心量养'3.运用法则找关系4•化简结果1 •平行四边形法则表示向量加法、减法 平行四边形/BCD 中，AC=AB^-AD, N BD =AD -A T D C2.向量形式的三角不等式||a 卜 |b||W|a ・b|W|a|+| 方 | a 与6方向相同，|a ・61=|| a|- b || a 与b 方向相反,\a-b\=\a\^\b\用已知向量表示其他向量的步骤： 1•观察各向量的位置2•寻找（或作）相应的平行四边形或三角形 课时分层作业 知识深化 、方法总结/点击进入Word版可编辑套题3.运用法则找关系4•化简结果。
高中人教A版数学必修4课件2.2.2向量减法运算及其几何意义ppt版本
b
a
d
c
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
a
d
c
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
a
d
c
A
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
练习1.
(2) AB-ACBC_0___
C
A
B
讲授新课
练习1.
(3)
如图，a
//
b,
求作：a
b
.
b
b
a
a
讲授新课
练习1.
(3)
如图，a
//
b,
求作：a
b
.
b
b
b
a
a
讲授新课
练习1.
(3)
如图，a
//
b,
求作：a
b
.
b
b
b
2. 向量的减法： 向量减法法则:
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
注 意:
(1)起点相同；
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
数学必修Ⅳ人教新课标A版2-2-2向量减法运算及其几何意义课件(29张)
[化解疑难] 对相反向量的理解 (1)两个非零向量 a 与 b 互为相反向量应具备两个条件： ①长度相等；②方向相反．二者缺一不可． (2) AB与 BA互为相反向量，且 AB＋BA＝0.
[提出问题]
问题 1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和 也为零吗？
提示：不是，是零向量． 问题 2：根据向量加法，如何求作 a－b? 提示：①先作出－b；②再按三角形法则或平行四边形 法则进行．
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
[提出问题] 问题 1：一个数 a 的相反数是什么？ 提示：－a. 问题 2：一个向量有相反向量吗？ 提示：有，向量 a 的相反向量是－a.
[导入新知]
相反向量 与 a 长度相等、方向相反 的向量，叫做 a 的相反向量，记 作 －a . (1)规定：零向量的相反向量 仍是零向量 ； (2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝ 0 ； (4)若 a 与 b 互为相反向量，则 a＝－b，b＝－a，a＋b＝ 0 .
[例 1] 化简：(1)( AB－CD)－( AC －BD)； (2)( AC ＋ BO＋OA)－( DC － DO－OB)． [解] (1)( AB－CD)－( AC － BD) ＝( AB＋ BD)－( AC ＋CD)＝ AD－ AD＝0. (2)( AC ＋ BO＋OA)－( DC － DO－OB) ＝( AC ＋ BA)－(OC －OB)＝ BC －BC ＝0.
又四边形 ACDB 为平行四边形，所以四边形 ACDB 为矩 形，故 AC⊥AB.
则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线，因此，| AM |＝12 | BC |＝2.
[答案] C
[多维探究] 1．平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接 使用：(1)对角线平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2 ＝2(|a|2＋|b|2)；(2)若|a＋b|＝|a－b|，则以 a，b 为邻边的平行四 边形为矩形． 2．高考对向量加法、减法的考查，重在考查对加法法则、 减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为 0.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边 形(平行四边形、矩形、菱形)、正六边形等．
高中数学人教A版必修4课件：2.2.2向量减法运算及其几何意义
(3)求两个向量的减法可转化为加法来进行，如A→B－B→C＝ A→B＋C→B，即只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可 以把减法变成加法．另外注意：b＋x＝a⇔x＝a－b，即向量在 等式中可以移项．
2．非零向量 a，b 的差向量的三角不等式 (1)当 a，b 不共线时， 如图①，作O→A＝a，O→B＝b， 则 a－b＝O→A－O→B＝B→A.
解：∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴C→D＝A→E＝c，B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→E＝A→E－A→B＝c－a，C→E＝A→E－A→C＝c－b. ∴B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
易错误区系列(十二) 用错向量减法法则而致误
如图所示，已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个 顶点 A、B、C 的向量分别为 r1、r2、r3，则O→D＝________.(用 r1、r2、r3 表示)
(2)方法一：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝ A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝A→D＋D→A＝0.
方法二：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(O→B －O→A)－(O→D－O→C)－(O→C－O→A)＋(O→D－O→B)＝O→B－O→A－O→D ＋O→C－O→C＋O→A＋O→D－O→B＝0.
【互动探究】
本例中条件不变，求作向量a－b－c. 解：如图所示，D→A＝a－b－c.
向量加、减法运算的综合
化简：(1)A→B－A→D－D→C； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． 思路点拨：利用相反向量及加法交换律、结合律化简．
解：(1)方法一：A→B－A→D－D→C＝D→B－D→C＝C→B. 方法二：A→B－A→D－D→C＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B. 方法三：A→B－A→D－D→C＝A→B＋(D→A＋C→D)＝A→B＋(C→D＋D→A) ＝A→B＋C→A＝C→A＋A→B＝C→B.
高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
●预习自测
1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n C．|m|＝|n|
B．m＝－n D．方向相反
[答案] A
2．化简A→B＋D→A－D→B－B→C－C→A的结果是________．
[答案]
→ AB
[解析] 将能够首尾相连的或变号后能首尾相连的放在一起
运算，即A→B＋D→A－D→B－B→C－C→A＝(A→B＋B→D＋D→A)－(B→C＋C→A)＝0
－B→A＝A→B.
3．四边形
ABCD
是边长为
1
的
正方
形，
则|
→ AB
－ A→D
|＝
________. [答案]
[解析]
2 |A→B－A→D|＝|D→B|＝ 12＋12＝ 2.
高效课堂
●互动探究
利用已知向量求作和向量或差向量
如图，已知向量a、b、c不共
线，求作向量a＋b－C．
[探究] 利用向量加法和减法的三角形法则作图即可．
利用已知向量表示其他向量 如图，在正六边形 ABCDEF 中，O 为中心，若O→A＝ a，O→E＝b，用向量 a、b 表示向量O→B、O→C和O→D.
找已知向量与所 利用法则 [探究] 观察图形 → 求向量的关系 → 写出结果
[解析] 解法一：在▱OAFE 中，OF 为对角线，且 OA，OF，
OE 起点相同，应用平行四边形法则，得O→F＝O→A＋O→E＝a＋B． ∵O→C＝－O→F，∴O→C＝－a－B．
2.A→B＋B→C＋C→D＋D→E＋E→F＋F→A＝( )
A．0
B．0
C．2A→D
D．－2A→D
[答案] B
3．对任意向量a、b，在下列各式中： ①a＋b＝b＋a; ②(a＋b)＋c＝b＋(a＋c)； ③|a＋b|＝|a|＋|b|; ④|a＋b|≤|a|＋|b|. 恒成立的有________． [答案] ①②④
人教A版高中数学必修四课件：第二章2-2-2向量减法运算
D.DC
例3 : 如图, 平行四边形ABCD中, AB a, AD b, 试用a , b表 示向量 AC , DB.
D
b
C
A
a
B
解: AC AB AD a b
DB AB AD a b
例4：如图平行四边形ABCD, AB a, DA b, OC c, 证明： b c a OA
共起点，连终点，指向前
想一想：
(1 ) 上 图 中 ， 如 果 从 a 的 终 点 到 b 的 终 点 作 向 量，
那么所得向量是什么？
O
b
B
a
A
ba
(2) 如 图 ， a // b ， 怎 样 作 出a b ?
B
a b
.
A
a b
A
b
OB a b
.
O
O
B
b
BA a b
OB a b
a
前置学习
思考1：向量 a 的相反向量可以怎样表示？
思考2： a的相反向量是什么？
a
(a) a
规定：零向量的相反向量仍是零向量. 思考3：两个相反向量的和向量是什么？
a b
a (a) 0
前置学习
思考4：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向
量a
b 可以怎样理解？
的主体内容，二者相互协调和补充. 2.用三角形法则求两个向量的差向量，要注意起点相同的条件，差向量
的方向要指向被减向量的终点.这个法则对共线向量也适应.
3.如果a＋b=c，则a=c－b，这是向量运算的移项法则，它与实数运算的移 项法则完全一致，体现了数学的和谐美.
高中数学人教A版必修4课件：2-2-2向量减法运算及其几何意义
解析:向量������������与������������的模相等,方向相反,互为相反向量.
答案:C
首页 一 二
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
二、向量的减法及其运算法则 【问题思考】 1.在实数的运算中,减去一个数,等于加上它的相反数,那么向量 的减法运算能否转化为向量的加法运算呢? 提示:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 2.已知两个力的合力为F,其中一个力为F1,如何求另一个力F2(如 图)?
解析:(1)������������ − ������������ = ������������; (2)������������ − ������������ = ������������; (3)������������ − ������������ = ������������ − ������������ = ������������.
分析按照向量加法和减法的运算法则进行化简,进行减法运算时, 必须保证两个向量的起点相同.
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
解:(1)������������ + ������������ − ������������ = ������������ − ������������ = ������������ . (2)(������������ − ������������)-(������������ − ������������)=(������������ + ������������)-(������������ + ������������)=������������ − ������������=0. (3)(������������ + ������������ + ������������)-(������������ − ������������ − ������������) =(������������ + ������������)-(������������ − ������������)=������������ − ������������ =0.
高一数学人教A版必修4第二章2.2.2 向量减法运算及其几何意义 课件(共12张PPT)
b
AC a b;
由向量的减法可得，
Aa
B
DB AB AD a b. 重要结论：
对任意两个向量a，b，有 a b a b a b
试化简 ( AB CD) ( AC BD) 解 ( AB CD) ( AC BD) AB CD AC BD AB DC CA BD ( AB BD) (DC CA) AD DA 0
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
复习回顾：
1、向量加法的三角形法则
B
ab
b
O
a
A
பைடு நூலகம்
几何意义：OB表示a b
b
o·
A
a ab
B
C
几何意义：OC表示a b
2、向量加法的平行四边形法则
注：两个向量的和仍是向量。
1、（1）
ab
书本84页课堂练习
b
（2） b
ab b
a
a
2、（1） b
b
ab a
（2） b
a
ab
a
思考：
飞机从广州飞往北京,然后再由 北京返回广州,我们把北京记作 B点,广州记作A点,那么这架飞 机的位移的大小是多少？
怎样用向量来表示呢?
AB+BA=0
北京
Ｂ
A
广州
“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量，记作 a
a和 a互为相反向量 .
注：1.零向量的相反向量仍是零向量； 2.任一向量与其相反向量的和是零向量；
重要提示 : AB BA
向量的减法：
起点相同
a
Oa
A
b
b
ab
B
指向被减向量
高一数学人教A版必修4课件：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∵A→B－A→D＝A→B＋D→A＝D→B，C 错误；
∵A→D＝B→C，∴A→D＝－C→B，∴A→D＋C→B＝0，D 正确.
明目标、知重点
1234
1234
3.在平行四边形 ABCD 中，B→C－C→D＋B→A－A→D＝___0___. 解析 原式＝(B→C－A→D)＋(B→A－C→D)＝0＋0＝0.
明目标、知重点
例 3 如图，▱ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，你 能用 a，b 表示向量A→C，D→B吗？
解 由向量加法的平行四边形法则，我们知道A→C＝a＋b；
同样,由向量的减法,知
→→→ DB＝AB－AD＝a－b.
明目标、知重点
反思与感悟 (1)用已知向量表示其他向量时,关键是利用向量加 法的三角形法则及向量减法的几何意义. (2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为： ①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形； ③运用法则找关系,化简得结果.
明目标、知重点
→→ 小结 (1)－AB＝BA；(2)－(－a)＝a；(3)－0＝0； (4)a＋(－a)＝0；(5)若a与b互为相反向量,则有：a＝－b, b＝－a,a＋b＝0.
明目标、知重点
探究点二 向量减法的法则 思考1 由于a－b＝a＋(－b).因此要作出a与b的差 向量a－b,可以转化为作a与－b的和向量.已知向量a,b如图所 示,你能利用平行四边形法则作出差向量a－b吗？
明目标、知重点
1234
4.已知O→A＝a，O→B＝b，若|O→A|＝12，|O→B|＝5，且∠AOB＝90°，则
|a－b|＝____1_3___. 解析 ∵|O→A|＝12，|O→B|＝5，∠AOB＝90°， ∴|O→A|2＋|O→B|2＝|A→B|2，∴|A→B|＝13. ∵O→A＝a，O→B＝b，∴a－b＝O→A－O→B＝B→A， ∴|a－b|＝|B→A|＝13.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A版必修4)
法二：原式＝ AB ＋ PC ＋ BA － QC
＝( OB － OA )＋( OC － OP )＋( OA － OB )－( OC － OQ )
＝ OQ － OP ＝ PQ .
问题1：一个数a的相反数是什么？ 提示：－a. 问题2：一个向量有相反向量吗？ 提示：有，向量a的相反向量是－a.
相反向量 与a长度相等，方向相反 的向量，叫做a的相反向量， 记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量 仍是零向量 ；
(2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝ －a ， a＋b＝ 0 .
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的
和也为零吗？
提示：是零向量．
问题2：根据向量加法，如何求作a－b?
提示：①先作出－b；②再按三角形或平行四边形法 则进行．
向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋ (－b) ，即减去一个向 量相当于加上这个向量的 相反向量 ．
(2)几何意义：以O为起点，作向量 OA ＝
1．在平行四边形ABCD中， AB ＋ CB － DC ＝
A． BC
(
)
C． DA
B． AC D． BD
解析：如图∵ CB ＝ DA ， ∴ AB ＋ CB － DC ＝ AB ＋ DA － DC ＝ AB ＋ CA ＝ CA ＋ AB ＝ CB ＝ DA .
人教A版高中数学必修四课件2.2.2向量减法运算及其几何意义
B
O
D C
由向量加减法知，
平行四边形 棱形 平行四边形 平行四边形 平行四边形
D
课后作业
1.教材P77习题2.2A4、6、8B4、5
2.《乐学》2.2.2
A
a b a ( b)
A O
b
B
B
b
OB a b
O
.
OB a b
例1．化简下列各式：
(1) AB CA BC ；
（2 ） OE OF OD DO ；
( 3 ) ( AB CD ) ( AC BD ) .
解： (1) 原式 ( AB BC ) CA
2.2.2向量减法运算及其几何意义
向量加法推广：
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4
A1
A2 A3 An
An1 An A1 An
An1
口诀： “首尾相接首尾连”.
A4
首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
表示从向量的终点指向向量的终点的向量 . a b 这是向量减法的几何意义.
想 一 想 ：(1 ) 上 图 中 ，如 果 从 a 的 终 点 到 b 的 终 点 作 向 量 ，
那 么 所 得 向 量 是 什 么 ？ ？
O
A
b a
B
( 2 ) 如 图 ， a / / b ，怎 样 作 出 a b ?
BC AC AB , BC BA AC .
B
A
C
N
M
例3 如图， 已知向量 a 、 b、 c、 d， 求作向量 a b ， cd .
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例4 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a , b 表示 AC, DB 吗？ b
ACab DBab
A
a
B
变式一 本例中，当 a , b 满足什么条件时，
a b与 a b 互相垂直？ a b
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作业： 习题2.2 P91页 第4题
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ab
BD
cd A
bd
bd
a
a
C
c
c
作法：
O
在平面内任取一点O，作 OA a, OB b, OC c, OD d,
则 BAab DCcd
记忆口诀： 起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。
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一般地 a b
三、几何意义
O A
b
ab
B
a b 可以表示为从向量 b a 的终点指向向量 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。
练习：
(1) ABADD B (3) BCBAA C (5) OAOBA B
规定： 0 的相反向量仍是 0 。
（1） (a) a （2） a(a)0 (a)a0
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：2-2-2 向量减法运算及其几何意义
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则： 在▱ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b， 则A→C＝ a＋b ，D→B＝ a－b .
[答一答] 2．在代数运算中的移项法则，在向量中是否仍然成立？
提示：含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都 加上或减去同一个向量，仍得到向量等式．移项法则对向量等式 也是适用的．
4．已知 D 是△ABC 的边 AB 的中点，则A→C－D→B＝
→ DC
.
解析：由已知可得A→C－D→B＝A→C－A→D＝D→C.
5．如图，已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d，O→F＝f， 试用 a，b，c，d，f 表示以下向量：
(1)A→C；(2)A→D；(3)A→D－A→B； (4)A→B＋C→F；(5)B→F－B→D.
3．类似于向量和的三角形不等式，向量差是否也存在三角 形不等式呢？
提示：向量差也存在三角形不等式．对于任意 a，b，不等 式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|成立，并且当 a，b 同向且|a|≥|b|，|a| －|b|＝|a－b|.当 a，b 共线且反向时，|a－b|＝|a|＋|b|.
→ D.CD
解析：A→B＋C→A－D→B＝(A→B＋B→D)－A→C＝A→D－A→C＝C→D，故 选 D.
3．在△ABC 中，D 是 BC 的中点，设A→B＝c，A→C＝b，B→D＝ a，A→D＝d，则 d－a＝c，d＋a＝ b .
解析：d－a＝A→D－B→D＝A→D＋D→B＝A→B＝c， d＋a＝A→D＋B→D＝A→D＋D→C＝A→C＝b.
1利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四 边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.
2根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关 系是解决此类问题的关键.
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D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做1】 非零向量m与n是相反向量,下列不正确的是( )
A.m=n B.m=-n C.|m|=|n| D.方向相反 答案:A
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2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
已知向量a,b,c(如图),作向量a-b-c.
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2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
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2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
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反思满足下列两种形式可以化简: (1)首尾相接且为和;(2)起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用及统 一向量起点方法的应用.
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2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
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若题设或结论中出现两个向量的和差问题的相关计算,要善于 运用向量加法、减法的两个法则求解.
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2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
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【变式训练1】
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题型一 题型二
反思向量的加法与减法运算有“三角形法则”和“平行四边形法则 ”.运用“三角形法则”求和向量时应“始、终相接,始指向终”;求差向 量时应“同始连终,指向被减”.运用“平行四边形法则”时,和向量对 应公共起点的对角线,求差向量时应“终点相连,指向被减”.如图.
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2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
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1.知道向量减法的定义,理解相反向量的意义. 2.掌握向量减法的运算及其几何意义,能作出两个向量的差向量. 3.能够化简含有向量的式子.
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2.向量的减法
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反思在向量的减法中,无论是作图还是化简都必须考虑起点是否 相同,差向量的起点和终点顺序不能颠倒.
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【例1】 如图的向量a,b,c是不共线的向量,求作向量a+b-c.
分析:向量加、减法作图的依据是三角形法则,先观察各向量的 位置,再寻找或构造相应的平行四边形或三角形,最后依据几何意 义确定其图形表示.
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1.相反向量
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名师点拨相反向量类似于实数中的相反数,它们的性质有相似之 处.
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