第3章动量守恒定律_物理学

K K 两小球质量分别为m1和m2, 碰前速度为v1 和 v 2 , K K 碰后速度为 u1和 u 2 。
根据动量守恒定律得 K K K K m1v1 + m2 v 2 = m1u1 + m2 u 2 ⑴
根据能量守恒定律得
1 2 2 2 2 1 1 m1v12 + 1 m v = m u + m u 2 2 2 2 2 1 1 2 2
⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
若碰撞为正碰,则有
m1v1 + m2 v 2 = m1u1 + m2 u 2
⑵式除以⑶得
v1 - v 2 = u 2 - u1
m1 - m2 2m 2 )v1 + ( )v 2 由⑶、⑷解得 u1 = ( m1 + m2 m1 + m2 m2 - m1 2m1 u2 = ( )v1 + ( )v 2 m1 + m2 m1 + m2
⎫ = − F d t m v m v ∫t0 ∑ ix ∑ i ix ∑ i i 0 x ⎪ ⎪ t ⎪ ∫t0 ∑ Fiy dt = ∑ mi viy − ∑ mi vi 0 y ⎬ ⎪ t ⎪ = − F d t m v m v ∫t0 ∑ iz ∑ i iz ∑ i i 0 z ⎪ ⎭
t
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于在 该方向上质点系动量分量的增量。
0
此式表示，在运动过程中，作用于质点的合力 在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。这个结 论称为动量定理。 K K K F 为恒力时 I = F (t - t 0 ) K F 为变力，且作用时间很短时，可用平均值来代替 t K K K K ∫t F d t I = F (t - t 0 ) F= t − t0
单位：kg·m·s-1 (千克·米 / 秒) 由上式得 积分得
∫
t
0
K P G G G F d t = ∫ d p = p − p0
P0
K G F ⋅dt = d p
K K 力 F 在时间 t 0至 t 内的积累效应，称为力 F 的冲量。 K t K I = ∫ F dt 即
K K t K K K 所以 I = p − p0 = mv − mv0
""
n K K d K Fn + ∑ f ni = m n vn dt i≠n
将以上n 个方程两边分别相加得
K n n K d n K Fi + ∑∑ f ij = (∑ mi vi ) ∑ d t i =1 i j ≠i i =1
n
由于内力成对出现，根据牛顿第三定律得
∑∑
i j ≠i
n
n
K f ij = 0
K ∑ Fi = 0
n i =1
即
K ∑ mi vi = 恒矢量
i =1
n
d n K m i vi = 0 ∑ d t i =1
此式表明，在外力的矢量和为零的情况下，质点 系的总动量不随时间变化。这个结论称为动量守恒 定律。 n n 其分量式
∑ m i v ix
i =1 n
i =1 n
= 恒量
= 恒量
若 m1 = m2 则有 u1 = v 2 , u 2 = v1 （两物体速度交换）
三、完全非弹性碰撞 根据动量守恒定律得
m1v1 + m2 v 2 = (m1 + m2 )u
所以
m1v1 + m2 v 2 u= m1 + m2
例 ：如图所示的装置称为冲击摆, 可用它来测定 子弹的速度。质量为M的木块被悬挂在长度为l的细 绳下端, 一质量为m的子弹沿水平方向以速度v射中 木块, 并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆 动, 当到达最高位置时, 木块的水平位移为s。试确 定子弹的速度。
(当 ∑ Fix = 0 时)
i =1 n
i =1 n
∑ m i v iy
(当 ∑ Fiy = 0 时) (当 ∑ Fiz = 0 时)
i =1
∑ m i v iz
i =1
= 恒量
注意：
1.系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 2.在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过 程中，往往可忽略外力。 3.动量守恒可在某一方向上成立。 4.定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量 和应是同一时刻的动量之和。 5.动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6.动量守恒定律只适用于惯性系。
例: 质量为M = 5.0×102 kg的重锤从高为h = 2.0 m处 自由下落打在工件上, 经Δt =1.0×10−2 s 时间速度变为 零。若忽略重锤自身的重量, 求重锤对工件的平均冲 力。 y 解：取重锤为研究对象, y 轴竖 直向上。重锤与工件接触 时, 动量大小为
M 2 gh
根据动量定理得
所以 两边积分得
K d n K Fi = (∑ mi vi ) （微分形式） ∑ d t i =1 i =1
n
∫
t
t0
n n K K K ∑ Fi d t = ∑ mi vi − ∑ mi vi 0（积分形式） n i =1 i =1 i =1
上式表明，在一段时间内，作用于质点系的外力 的矢量和的冲量等于质点系动量的增量。这个结论 称为质点系动量定理。 其分量式
式中
2K d rC 2
dt
K = aC 为质心加速度
所以有
K K ∑ Fi = maC
n i =1
此式表示，质点系质心的运动与这样一个质点的 运动具有相同的规律，该质点的质量等于质点系的 总质量，作用于该质点的力等于作用于质点系的外 力的矢量和。这个结论称为质心运动定律。
§3-3 动量守恒定律
如果 则
0
注意：动量是状态量，冲量为过程量。 动量定理可写成 分量式，即
I x = mv x − mv 0 x ⎫ ⎪ I y = mv y − mv 0 y ⎬ ⎪ I z = mv z − mv 0 z ⎭
此式表示，冲量在某个方向的分量等于该方向上 质点动量分量的增量，冲量在任一方向的分量只能 改变自己方向的动量分量，而不能改变与它相垂直 的其它方向的动量分量。
例1：如图所示, 大炮在发射时炮身会发生反冲现 象。设炮身的仰角为θ, 炮弹和炮身的质量分别为m 和M, 炮弹在离开炮口时的速率为v, 若忽略炮身反冲 时与地面的摩擦力, 求炮身的反冲速率。 解：设x轴沿水平向右， 根据动量守恒定律得
θ
M v′ + mv cosθ = 0
所以炮身的反冲速率为
v′ = −
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
K K K K m1r1 + m2 r2 + " + mn rn rC = = m1 + m2 + " + mn K ∑ mi ri
i =1 n n
∑ mi
i =1
=
K ∑ mi ri
i =1
n
m
质点系质心的直角坐标分量式为
xC =
∑ mi xi
i =1
n
Δt
K F
h
O
∫
0
Fdt = Mv2 − Mv1
K Mg
即 解得
F Δt = 0 − ( − M 2 gh )
F= = M 2 gh Δt
2 1/ 2
y
K F
h
5.0 × 10 × (2 × 9.8 × 2.0) 1.0 × 10
5 −2
N
K Mg
O
= 3.1 × 10 N
根据牛顿第三定律，重锤对工件的平均冲力大小
mv M
cos θ
例 2：一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块, 已 知其中两块在水平面内各以80 m⋅s−1 和60 m⋅s−1 的速率 沿互相垂直的两个方向飞开。求第三块的飞行速度。 解：设碎块的质量都为m， 建立如图所示的坐标系 根据动量守恒定律得 − v 1 + v 3 cos θ = 0 − v 2 + v 3 sin θ = 0 解方程组得 tan θ =
v3 = v1 cos θ = 80 cos 37
D
y
v3
θ
v1
O
x
v2
= 0.75, 所以 θ = 37 °
2 -1
v2 v1
=
60 80
-1
m ⋅ s = 1.0 × 10 m ⋅ s
§3-4 碰
一、碰撞现象
撞
碰撞可分为两类: 一类是总动能不变的碰撞, 称为完全弹性碰撞；一类是总动能改变的碰撞, 称为非完全弹性碰撞。若两个物体碰撞之后结 合为一体了, 这种碰撞称为完全非弹性碰撞。 二、完全弹性碰撞
则圆弧质心坐标为
xC = ∫ xdm ∫ dm =
α ∫−α xρRdθ = α ∫−α ρRdθ
2 α ρR ∫−α
cos θ dθ dθ
α ρR ∫− α
=
Rsin α
α
三、质心运动定理 由质点系动量定理的微分形式得
⎛ n K⎞ 2 ⎜ ∑ mi ri ⎟ 2 n n n n K d d ⎜ i =1 d K K ⎟ = ∑ mi 2 rC Fi = (∑ mi vi ) = ∑ mi 2 n ∑ ⎟ i =1 dt dt i =1 dt ⎜ i =1 i =1 ⎜ ∑ mi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
m
,
yC =
∑ mi yi
i =1
n
m
, zC =
∑ mi zi
iห้องสมุดไป่ตู้=1
n
m
若质量是连续分布，质心分量式为
xdm ∫ xC = ∫ dm , ydm ∫ yC = ∫ dm , zd m ∫ zC = ∫ dm