北大绿卡九年级数学上册2214二次函数y=ax2bxc的图象和性质课时测试含解析新版新人教版含解析
人教版九年级数学上册《22-1-4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》同步练习题及答案
22 22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质1.若抛物线 y=-x 2+bx+c 经过点(-2,3),则 2c-4b-9 的值是( )A.5B.-1C.4D.182.(2018·山东德州中考)如图,函数 y=ax 2-2x+1 和 y=ax-a (a 是常数,且 a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()3. 若抛物线 y=x 2-2x+3 不动,将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移 1 个单位长度,再沿竖直方向向上平移 3 个单位长度,则原抛物线对应的函数解析式应变为( )A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x 2-1D.y=x 2+44. 二次函数 y=1x 2+3x+5y=1x 2 的图象先向(左、右)平移个单位长度,再2的图象是由函数向 (上、下)平移个单位长度得到的.5.经过 A (4,0),B (-2,0),C (0,3)三点的抛物线解析式是.6. 如图,若抛物线 y=ax 2+bx+c 上的 P (4,0),Q 两点关于它的对称轴 x=1 对称,则点 Q 的坐标为 .7. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则点 P (a ,bc )在第象限.8.已知二次函数y=ax2-5x+c 的图象如图所示.(1)试求该二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标.(2)观察图象回答,何时y 随x 的增大而增大,何时y 随x 的增大而减小?(3)将图中抛物线先向左平移3 个单位长度,再向下平移4 个单位长度,试确定所得到的抛物线的解析式.9.已知抛物线y=x2-2mx-4(m>0)的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M',若点M'在这条抛物线上,则点M 的坐标为( )A.(1,-5)B.(3,-13)C.(2,-8)D.(4,-20)10.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:“已知二次函数y=x2+bx+c 的图象过点(1,0)……求证:这个二次函数的图象关于直线x=2 对称.”根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是( )A.过点(3,0)B.顶点是(2,-2)C.b<0D.c=311.若抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数解析式为.12.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b|-|3b+2c|,则P,Q 的大小关系是.★13. 如图,四边形ABCD 是菱形,点D 的坐标是(0, 3),以点C 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 恰好经过x 轴上A,B 两点.(1)求A,B,C 三点的坐标.(2)求经过A,B,C 三点的抛物线的解析式.(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位长度?★14.我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx(a≠0).(1)对于这样的抛物线:当顶点坐标为(1,1)时,a= ;当顶点坐标为(m,m)(m≠0)时,a 与m 之间的关系式是;(2)继续探究,若b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k 的式子表示b;(3)现有一组过原点的抛物线,顶点A1,A2,…,A n在直线y=x 上,横坐标依次为1,2,…,n(n 为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x 轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,B n,以线段A n B n为边向右作正方形A n B n C n D n, 若这组抛物线中有一条经过D n,求所有满足条件的正方形边长.参考答案夯基达标1.A ∵抛物线y=-x2+bx+c 经过点(-2,3),∴-(-2)2-2b+c=3,整理得,-2b+c=7,∴2c-4b-9=2(c-2b)-9=2×7-9=5,故选A.2.B A.由一次函数y=ax-a 的图象可得a<0,此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向下,故本选项错误;B.由一次函数y=ax-a 的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上,对称轴x=- -2 >0,故本选项正确;2�C.由一次函数y=ax-a 的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上,对称轴x=- -2 >0,和x 轴的正半轴相交,故本选项错误;2�D.由一次函数y=ax-a 的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上,故本选项错误.故选B.3.C 将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1 个单位长度,再沿竖直方向向上平移3 个单位长度,相当于把抛物线向左平移1 个单位长度,再向下平移3 个单位长度,因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以抛物线的顶点坐标为(1,2),向左平移1 个单位长度,再向下平移3 个单位长度,得到顶点(0,-1),所以原抛物线对应函数的解析式应变为y=x2-1.故选C.2�16�-20 + � =02 4. 左3 下 2 先将二次函数由一般式化成顶点式,再确定平移的单位长度.由于y=1x 2+3x+5 = 1(x 2+6x+5)=1(x 2+6x+9-9+5)=1(x+3)2-2,22222故抛物线 y=1x 2+3x+5 y=1x 2 先向左平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度得到的.是由抛物线 2225. y=-3x 2+3x+3 根据题意设抛物线的解析式为 y=a (x+2)(x-4),84把 C (0,3)代入得-8a=3,即 a=-3,则抛物线的解析式为 y=-3(x+2)(x-4)=-3x 2+3x+3.88846.(-2,0) 由抛物线 y=ax 2+bx+c 上的 P (4,0),Q 两点关于它的对称轴 x=1 对称,可知 P ,Q 两点到对称轴x=1 的距离相等,所以点 Q 的坐标为(-2,0).7.三 ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵- �<0,a<0,∴b<0.∵抛物线与 y 轴交于正半轴,∴c>0,∴P (a ,bc )在第三象限.8.解 (1)由题图知,抛物线过点(1,0),(4,0),代入函数解析式,得 �-5 + � = 0, ,解得 � = 1,= 4.故所求二次函数的解析式为 y=x 2-5x+4.又因为 y=x 2-5x+4= �− 9,所以函数图象的顶点坐标为4(2)由(1)知,a=1>0,抛物线的对称轴为直线 x=5,从图象知,当 x>5,y 随 x 的增大而增大;当 x<5,y 随 时 时 222x 的增大而减小.(3)由(1)知,y=x 2-5x+4= �- 52− 9,将抛物线先向左平移 3 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度,则所4得抛物线的解析式为 y= �- 5 + 3 2− 9-4,即 y=x 2+x-6.24培优促能9.C ∵y=x 2-2mx-4=x 2-2mx+m 2-m 2-4=(x-m )2-m 2-4,2�2 2� ∴点 M (m ,-m 2-4).∴点 M'(-m ,m 2+4).∴m 2+2m 2-4=m 2+4.解得 m=±2.∵m>0,∴m=2.∴M (2,-8).故选 C .10.B 因为二次函数 y=x 2+bx+c 的图象过点(1,0),且关于直线 x=2 对称,所以 1+b+c=0,且图象过点(3,0),-�=2,则 b=-4<0;将 b=-4 代入 1+b+c=0,得 c=3.故 y=x 2-4x+3,顶点是(2,-1).211.y=-x 2+4x-3 设抛物线的解析式为 y=a (x-2)2+1,将 B (1,0)代入 y=a (x-2)2+1,得 a=-1.因此抛物线的函数解析式为 y=-(x-2)2+1,展开得 y=-x 2+4x-3.12. P>Q ∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵- �>0,∴b>0.∴2a-b<0.∵- �=1,∴b+2a=0.x=1 时,a+b+c>0,x=-1 时,y=a-b+c<0.∴-1b-b+c<0.∴3b-2c>0.∵抛物线与 y 轴的正半轴相交,∴c>0.∴3b+2c>0,∴P=0+3b-2c=3b-2c>0,Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c=-2(a+b+c )<0.∴P>Q.13. 解 (1)由抛物线的对称性可知 AE=BE.在 Rt △AOD 和 Rt △BEC 中, 因为 OD=EC ,AD=BC , 所以 Rt △AOD ≌Rt △BEC (HL).2� 故 OA=EB=EA.设菱形的边长为 2m ,在 Rt △AOD 中,m 2+( 3)2=(2m )2,解得 m=1.所以 DC=2,OA=1,OB=3.故 A ,B ,C 三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2, 3).(2) 设抛物线的解析式为 y=a (x-2)2+ 3,代入点 A 的坐标(1,0),得 a=- 3,所以抛物线的解析式为 y=- 3(x-2)2+ 3.(3) 设平移后抛物线的解析式为 y=- 3(x-2)2+k ,代入点 D 的坐标(0, 3),得 k=5 3,所以平移后的抛物线的解析式为 y=- 3(x-2)2+5 3.所以平移了 5 3 − 3=4 3个单位长度.创新应用14.解 (1)-1 a=- 1(或 am+1=0)�(2) 因为 a ≠0,所以 y=ax2+bx=a � + �所以顶点坐标为 - � �22 − �2 . 4�2��因为顶点在直线 y=kx 上,所以 k · - =-�2.4�又因为 b ≠0,所以 b=2k.(3) 因为顶点 A n 在直线 y=x 上,所以可设 A n 的坐标为(n ,n ),点 D n 所在的抛物线顶点坐标为(t ,t ),由(1)(2)可得,点 D n 所在的抛物线解析式为 y=-1x 2+2x.�因为四边形 A n B n C n D n 是正方形,所以点 D n 的坐标为(2n ,n ).所以-1·(2n )2+2×2n=n.�所以 4n=3t.� 2�因为t,n 是正整数,且t≤12,n≤12,所以n 的值为3,6 或9. 所以满足条件的正方形边长为3,6 或9.。
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2+bc+c的图象和性质(含答案)
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y= ax²+bc+c的图象和性质基础闯关全练1．（2019吉林四平铁西期中）二次函数y= -2x²-3x+1的图象大致是( )A.B.C.D.2．（2018江苏苏州太仓期中）将抛物线y=x²- 2x +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式应为____________.3．（2018四川内江资中一模）已知抛物线y= -x²+2x+2．(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)在如图22-1-4-1的直角坐标系内画出y=-x²+2x+2的图象．图22-1-4-14．（2019福建龙岩上杭期中）已知二次函数y= ax²+bx+c的图象如图22-1-4-2所示，则下列结论正确的是( )图22-1-4-2A.a<0B.c>0C.2a= -bD.b>a5．已知二次函数y= ax²+bx+c的图象如图22 -1-4-3所示，则点P(a，bc)在第_______象限．图22-1-4-36．（2018黑龙江大庆龙风期中）已知一个二次函数，当x=1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y= -2x²相同，则这个二次函数的表达式是( )A.y= - 2x²-x+3B.y= -2x²+4C.y= -2x²+4x+8D.y= -2x²+4x+67．（2017广西百色中考）经过A(4，0)，B（-2，0），C(0，3)三点的抛物线的解析式是___________.8．（2019山东淄博临淄期中）已知二次函数y= ax²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标．能力提升全练1．（2018山东德州中考）函数y=ax²-2x+1和y=ax -a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( )A.B.C.D.2．（2018四川资阳中考）已知二次函数y= ax²+bx+c的图象如图22-1-4-4所示，OA =OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①;②ac+b+1=0;③abc>0;④a-b+c>0.其中正确的个数是( )图22-1-4-4B．3C．2D．13．（2015吉林长春中考）如图22-1-4-5，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x²-2x+2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_______．图22-1-4-5三年模拟全练一、选择题1．（2019四川广元苍溪期中，4，★☆☆）关于二次函数y=-x²+ 2x，下列描述正确的是( ) A．函数图象开口向上B．函数图象的顶点坐标为（-1，1）C．当x>1时，y随x的增大而增大D．函数图象与x轴有两个交点2．（2019重庆沙坪坝期中．13，★☆☆）在二次函数y= ax²+2ax+4( a<0)的图象上有两点（-2，y₁），(1，y₂)，则y₁-y₂____0（填“>”“<”或“=”）．五年中考全练一、选择题1．（2018四川攀枝花中考，6．★☆☆）抛物线y=x²-2x+2的顶点坐标为( )A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,3)2．（2018上海中考，3，★☆☆）下列对二次函数y=x ²-x 的图象的描述，正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的3．（2018山东青岛中考，8，★☆☆）已知一次函数y=+c 的图象如图22-1-4-6，则二次函数y=ax ²+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是( )图22-1-4-6A.B.C.D.二、填空题4．（2018四川巴中中考，17，★☆☆）把抛物线y= x ²-2x+3沿x 轴向右平移2个单位，得x ab到的抛物线解析式为______. 三、解答题5．（2018浙江宁波中考．22，★★☆）已知抛物线经过点(1，0)，． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式． 核心素养全练1．已知函数y=x ²-2mx+2 020（m 为常数）的图象上有三点：A （x₁，y₁），B （x₂，y₂），C （x₃，y₃），其中x₁=+m ，x₂=+m,x₃= m -1，则y₁,y₂,y₃的大小关系是( )A ．y₂<y₃<y₁B ．y₃<y₁<y₂ C.y₁ <y₂<y₃ D.y₁ <y₃ <y₂2．（2019湖北武汉研口月考）抛物线经过定点的坐标是____________.答案 基础闯关全练 1．B解析:因为a= -2<0，所以抛物线y=- 2x ²- 3x+1开口向下，故C 、D 不符合题意；抛物线y= -2x ²-3x+1的对称轴是直线x=，故A 不符合题意．故选B ．cx ++-=bx 21y 2⎪⎭⎫ ⎝⎛230，cx ++-=bx 21y 22322121y 2+++=m mx x2．答案 y=X ²-1解析y=x ²-2x+3=x ²-2x+1+2=（x -1）²+2，由平移的规律：“左加有减白变量，上加下减常数项”可得原抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式应为y= (x -1+1) ²+2-3，即y=x ²-1．3．解析(1) ∵y=-x ²+2x+2= -（x -1）²+3．∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=1．顶点坐标是(1.3)． (2)列表如下：图象如图所示：4. D解析:由抛物线开口向上知a>0，故A 错误；由抛物线与y 轴交于负半轴知c<0，故B 错误；由抛物线的对称轴知b= 2a ，故C 错误；由b=2a 且a>0知b>a ，故D 正确，故选D ． 5．答案 一解析: 从题图得出，二次函数图象的开口向上，且对称轴在y 轴右侧，∴a>0，，因此b<0．∵二次函数的图象与y 轴交于y 轴的负半轴．∴c<0．∴bc>0，则点P(a ，bc)在第一象限． 6.D12x -=-=a b2b>-a解析:∵二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y= - 2x ²相同，故设该二次函数的解析式为y=-2(x -h)²+k ，∵当x=1时，y 有最大值8,∴该二次函数的顶点坐标为(1，8)，∴h=1，k=8．∴该二次函数的解析式为y=-2(x -1)²+8，即y= - 2x ²+4x+6．7．答案解析: 解法一：设抛物线的解析式为y=ax ²+bx+c(a ≠0)，把A(4，0)，B （-2，0），C(0，3)代入得解得∴抛物线的解析式为．解法二：设抛物线的解析式为y=a(x+2)（x -4），把C(0，3)代入得-8a=3，即，则抛物线的解析式为y=．8．解析 (1)把(0，1)，（1，-2），(2，1)代入y=ax ²+bx+c 中，得解得所以抛物线解析式为y= 3x ²-6x+1. (2)由(1)知抛物线解析式为y=3x ² -6x+1， 即y=3(x ²-2x)+1=3(x ²-2x+1-1)+1=3(x -1)²-2, 所以抛物线的顶点坐标为（1，-2）． 能力提升全练 1．B解析:当a>0时，抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右侧，一次函数的图象过第一、三、四象限，满足条件的是B 选项：当a<0时，抛物线的开口向下，对称轴在y 轴的左侧，一次函数的图象过第一、二、四象限，没有满足的选项．故选B ． 2．A解析:①由题中图象知抛物线顶点的纵坐标为-1．-1，故①正确；②设C(0，c)(c<0)，则OC= Icl ，∵OA =OC=lCl ，∴A(c ，0)，将点A 代人抛物线解析式得ac ² +bc+c=0．又c ≠0．∴ac+b+1 =0，故②正确；③从题中图象易知a>0，b<0，c<0，∴abc>0，故③正确：④当x=-183a -=时，y=a -b+c ．由题中图象知（-1，a -b+c ）在第二象限，∴a -b+c>0，故④正确．故选A ． 3．答案1解析: ∵四边形ABCD 是矩形，．．．AC=BD ，当A 在抛物线的顶点处时，AC 最短，此时A(1，1)，AC=1，即对角线BD 的最小值为1． 三年模拟全练 一、选择题 1．D解析:由a=-1<0知抛物线开口向下，故A 选项错误；由y= -x ²+2x= -（x -1）²+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，故B 选项错误；∵抛物线的开口向下且对称轴为直线x=1．∴当x>1时，y 随x 的增大而减小，故C 选项错误；由b ²-4ac=2²-4x （-1）x0=4>0知函数的图象与x 轴有两个交点，故D 选项正确．故选D ． 二、填空题 2．答案>解析: 把点（-2，y₁），(1，y₂)分别代入y=ax ²+2ax+4，得y₁=4a -4a+4=4,y₂=a+2a+4= 3a+4，所以y₁-y₂= 4-( 3a+4)=-3a ，又因为a<0，所以-3a>0，所以，y₁-y₂>0． 五年中考全练 一、选择题 1．A解析:∵y=x ²-2x+2=（x -1）²+1，∴顶点坐标为(1，1)．故选A ． 2.C解析:由y=x ² -x 知a=1>0．∴抛物线开口向上，选项A 不正确；∵，∴抛物线的对称轴为直线，选项B 不正确；当x=0时，y=x ²-X=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确；∵抛物线开口向上，∴在对称轴右侧部分是上升的，选项D 不正确，故选C ． 3．A212b =-a 21x =解析:观察题图可知<0，c>0，∴二次函数y=a ²+bx+c 的图象的对称轴，与y轴的交点在y 轴的正半轴，故选A ． 二、填空题4．答案 y=（x -3）²+2解析 y=x ²-2x+3=(x -1)²+2，其图象的顶点坐标为(1，2)．抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为(3，2)，得到的抛物线的解析式是y=（x -3）²+2． 三、解答题5．解析(1)把(1，0)，(0，)代入，得解得则抛物线的解析式为．(2)∵抛物线解析式为，∴顶点坐标为（-1，2），∴将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法是：先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数表达式为。
部编数学九年级上册22.4二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质(知识讲解)(人教版)含答案(1)
专题22.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解）【学习目标】1、准确掌握二次函数y=ax2(a≠0)图象的形状、开口方向、对称轴和顶点的坐标；2、经历用描点法画函数图象的过程,感受数形结合的思想和方法,能够由图像直观地观察得到函数的性质；【要点梳理】【知识点一】二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
实际上，二次函数的图象都是抛物线，y轴是抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。
用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象（1）按步骤列表、描点、连线。
（2）用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在O（0,0）点左右两侧（或在对称轴左右两侧）对称的选取自变量x的值，在计算y的值，这样的对应值选择月密集，描出的图象越精准。
通常情况下，画图一般选取9个点，草图通常取5或7个点，但必须画出抛物线的顶点，然后对称的取其他各点。
实际问题应在自变量取值范围内选取适当的几个点，一般选7个点，再进行描点。
连线时要注意图象的平滑，特别是顶点处更要注意，不能画得太平或者太尖，要顺势用平滑曲线连接。
【知识点2】二次函数y=ax2(a≠0)的性质（1）二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线。
我们把二次函数y=ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2(a≠0)。
（2）抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴（即直线x=0），顶点是原点。
（3）当a>0时，抛物线y=ax2(a≠0)的开口向上，顶点是它的最低点，抛物线在x轴上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸；当a<0时，抛物线y=ax2(a≠0)的开口向下，顶点是它的最高点，抛物线在x轴下方（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。
（4）当a＞0时，在y 轴左侧，y随x的增大而减小，在y 在右侧，y随x的增大而减大，函数y的值，当x=0时最小，最小值是0；当a＜0时，在y 在左侧，y随x的增大而增大，在y 在右侧，y随x的增大而减小，函数y 的值，当x=0时最大，最大值是0。
人教版九年级上册 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 同步练习(附答案)
22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．用配方法将二次函数y ＝x 2－8x －9化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式为( )A ．y ＝(x －4)2＋7 B ．y ＝(x －4)2－25C ．y ＝(x ＋4)2＋7D ．y ＝(x ＋4)2－252．二次函数y ＝－x 2＋4x －3的顶点坐标是( )A ．(4，－3)B ．(2，1)C ．(－2，1)D ．(2，－7)3．二次函数y ＝x 2＋x 的图象与y 轴的交点坐标是( )A ．(0，1)B ．(0，－1)C ．(0，0)D ．(－1，0)4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x ，y 的部分对应值如下表：x －1 0 1 2 3 y51－1－11A ．y 轴B ．直线x ＝52C ．直线x ＝2D ．直线x ＝325．函数y ＝2x 2－3x ＋4经过的象限是( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第一、二、四象限6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( )A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x ＝12C ．当x<12，y 随x 的增大而减小D ．当－1<x<2时，y>07．若抛物线y ＝x 2＋mx ＋9的对称轴是直线x ＝4，则m 的值为 .8．已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当 时，y 随x 的增大而增大；当x ＝ 时，y 有最大值，是 ．9．二次函数y ＝x 2＋bx ＋3的图象经过点(3，0)．(1)求b 的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)在所给坐标系中画出二次函数y ＝x 2＋bx ＋3的图象．10．将抛物线y ＝x 2＋2x 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．11．如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A(0，3)，则所得新抛物线的解析式是 ．12．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜313．若点P 1(－3，y 1)，P 2(－2，y 2)，P 3(3，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＜y 2＜y 114．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则( )A ．b ＞0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D．b＜0，c＞015．(遵义期末)如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()16．抛物线y＝－2x2＋8x－6.(1)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(2)x取何值时，y随x的增大而减小？(3)x取何值时，y＝0？x取何值时，y＞0？x取何值时，y＜0?17．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．第2课时 用待定系数法求二次函数解析式1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为 ．2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式．3．已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过(2，－1)和(4，3)两点．(1)求出这个抛物线的解析式；(2)将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为 ．4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－85．顶点为(－2，－5)且过点(1，－14)的抛物线的解析式为 ．6．如图所示，抛物线的函数解析式是( )A ．y ＝12x 2－x ＋4B ．y ＝－12x 2－x ＋4C ．y ＝12x 2＋x ＋4D ．y ＝－12x 2＋x ＋47．已知抛物线与x 轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，且过点(2，4)，求抛物线的解析式．8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则该二次函数的解析式为 ．9．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A ．y ＝x 2－x －2 B ．y ＝－12x 2－12x ＋2C ．y ＝－12x 2－12x ＋1D ．y ＝－x 2＋x ＋210．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是()A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－411．二次函数的图象如图所示，则其解析式为．12．如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D 两点．点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．B2．B3．C4．D5．B6．D7．－8.8．x＜－2；－2，大，2．9．解：(1)将(3，0)代入函数解析式，得9＋3b＋3＝0.解得b＝－4.(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴顶点坐标是(2，－1)，对称轴为直线x＝2.(3)如图所示．10．y＝(x＋3)2－4．11．y＝x2＋2x＋3．12．B13．A14．B15．C16．解：(1)∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴顶点坐标为(2，2)，对称轴为直线x ＝2.(2)∵a ＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝2， ∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．(3)令y ＝0，即－2x 2＋8x －6＝0，解得x ＝1或3，抛物线开口向下， ∴当x ＝1或x ＝3时，y ＝0； 当1＜x ＜3时，y ＞0； 当x ＜1或x ＞3时，y ＜0.17．解：(1)将点O (0，0)代入二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1中，得0＝m 2－1.解得m ＝±1.∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x 或y ＝x 2－2x.(2)当m ＝2时，二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴C (0，3)，D (2，－1)．(3)存在．连接CD ，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P 位于CD 与x 轴的交点时，PC ＋PD 最短．设经过C ，D 两点的直线解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则将C (0，3)，D (2，－1)两点坐标代入解析式中，可得⎩⎪⎨⎪⎧3＝b ，－1＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝3.∴y ＝－2x ＋3.令y ＝0，可得－2x ＋3＝0，解得x ＝32.∴当P 点坐标为(32，0)时，PC ＋PD 最短．第2课时 用待定系数法求二次函数解析式1．y ＝x 2－x －2． 2．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝6，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝1.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2－3x ＋1.3．(1)解：将(2，－1)和(4，3)两点代入抛物线解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝4＋2b ＋c ，3＝16＋4b ＋c. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴这个抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)y ＝(x －3)2－4． 4．D5．y ＝－x 2－4x －9． 6．D7．解：∵抛物线与x 轴交于点A (－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为(1，0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋3)(x －1)， 将点(2，4)代入，得4＝a (2＋3)(2－1)，解得a ＝45.∴抛物线的解析式为y ＝45(x ＋3)(x －1)，即y ＝45x 2＋85x －125.8．y ＝－2(x ＋1)(x －3)或y ＝2(x ＋1)(x －3)．9．D10．D11．y ＝－x 2＋2x ＋3．12．解：(1)∵抛物线顶点坐标为(1，4)，∴设y ＝a (x －1)2＋4.∵抛物线过点B (0，3)，∴3＝a (0－1)2＋4，解得a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P.设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝－3.∴y AE ＝7x －3. ∵当y ＝0时，x ＝37，∴点P 的坐标为(37，0)． 13．解：(1)方法一：设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A ，B ，C 三点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝－4.∴二次函数的解析式为y ＝x 2－3x －4.方法二：设二次函数的解析式为y ＝m (x ＋1)(x －4)，把C 点坐标代入，可得－4m ＝－4.解得m ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －4)＝x 2－3x －4.(2)作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，∴PO ＝PC ，此时P 点即为满足条件的点．∵C (0，－4)，∴D (0，－2)．∴点P 的纵坐标为－2.将y ＝－2代入抛物线解析式，可得x 2－3x －4＝－2.解得x 1＝3－172(小于0，舍去)，x 2＝3＋172. ∴存在满足条件的点P ，其坐标为(3＋172，－2)．。
人教新版九年级数学上册22-1-4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 同步练习【含答案】
22.1.4二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像和性质一、单选题1．已知二次函数，当时，函数的最小值为；当时，函数的最2y x bx c =++0x >2-0x ≤小值为，则的值是（）1-bc A ．B ．1C ．2D ．或22-2-2．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象对称轴是直线x ＝1，下列说法正确的是（ ）A ．a ＞0B ．2a +b ＝0C ．b 2﹣4ac ＜0D ．a +b +c ＜03．已知二次函数，当时，，则的值是（ ）268y x x =-+0x m <≤18y -≤≤m A ．3B ．4C ．6D ．74．函数的图像可以由函数的图像通过如下平移得到（ ）21(2)12y x =-+212y x =A ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移2个单位，再向下平多1个单位5．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于（﹣1，0），（ ）A ．若c ＞0，则对称轴在y 轴右侧B ．若c ＞0，则对称轴在y 轴左侧C ．若c ＜0，则对称轴在y 轴右侧D ．若c ＜0，则对称轴在y 轴左侧6．已知二次函数，其中，当时，y 的最大值与最小值的224y mx mx m =-+0m <03x ≤≤差为16，则m 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2838-2-7．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②2(0)y ax bx c a =++≠0abc >；③；④．其中正确结论的个数是（ ）20a b ->420a b c -+<()22a cb +<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，抛物线的对称轴是，下列结论：①；②2y ax bx c =++1x =0abc >；③；④；⑤当时，．其中结论正240b ac ->80a c +<520a b c ++>24x -<<0y >确的个数有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个9．已知抛物线，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线、2:310C y x x =+-C C 'C 关于直线对称，则下列平移方法中，正确的是（ ）C '1x =A ．将抛物线向右平移2.5个单位C B ．将抛物线向右平移3个单位C C ．将抛物线向右平移4个单位C D ．将抛物线向右平移5个单位C 10．已知二次函数（、是常数，）的图象经过点和，22y ax bx =+-a b 0a ≠()2,1()4,2-且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ 0x m ≤≤22y ax bx =+-2-m ）．A ．B ．C ．D ．10m -≤≤272m ≤<24m ≤≤2m ≥二、填空题11．二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后图象()211y x =-+23的函数表达式为___________．12．二次函数的顶点坐标为______．224y x x =-13．已知二次函数若，是该二次函数图象上的两点，225x x y +-+=()1,P n y ()22,Q n y -且，则实数n 的取值范围为__________．12y y >14．已知函数的部分图像如图所示，那么当x ________时，y 随x 的增大而增2y x bx c =-++大．15．在平面直角坐标系中，，，若抛物线经过点且xOy ()2,3A -()10B ,23y ax bx =++A 与线段有两个不同的交点，则的取值范围是_________．AB a 三、解答题16．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，24y ax bx a =+-()1,0A -()0,4C x B（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在抛物线上，求的值．(),1D m m +24y ax bx a =+-m 17．已知，如图，直线AB 经过点，点，与抛物线在第一象限内()0,6B ()4,0A 22y ax =+相交于点P ，又知的面积为6．AOP（1）求a 的值；（2）若将抛物线沿y 轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经22y ax =+过点A ．18．已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．19．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．()2,4-y （1）求这个二次函数的表达式；（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？x y x （3）点在这个二次函数的图象上吗？()3,5P 20．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米．AB x S （1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；S x x （2）求花圃面积的最大值．S答案1．C 解：如图：二次函数的图像开口向上2y x bx c =++当时，函数的最小值为∴0x >2-当时，函数取得最小值∴2b x =-2-将，代入，得：2b x =-2y =-2y x bx c =++2()(1222b b b -+⋅--=-解得：2b =± 02b x =->2b ∴=-当时，函数的最小值为，0x ≤1-开口向上时，，代入，得：0x ∴=1y =-2y x bx c =++1c =-2bc ∴=故选C2．B解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0．故A 错误；∵x ＝﹣＝1，2ba ∴2a +b ＝0，故B 正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故C 错误；当x ＝1时，y ＞0，即a +b +c ＞0，故D 错误；故选：B ．3．C解：∵()2268=31y x x x =-+--∴该函数的对称轴是直线x =3，函数图象开口向上，当x =3时取得最小值-1，又∵时，0x m <≤18y -≤≤当x =0时，y =8，当x =6时，y =8，∴m =6故答案选：C ．4．C解：函数的图像可以由函数的图像通过右平移2个单位，再向21(2)12y x =-+212y x =上平移1个单位．故选C5．D解：将点（﹣1，0）代入函数关系式得，0＝﹣1﹣b +c ，即b ＝c ﹣1，又∵对称轴x （c ﹣1），122b a =-=当c ＞0时，对称轴x （c ﹣1），无法判断正负；12=122c =-当c ＜0时，对称轴x （c ﹣1），12=11222c =--＜故对称轴在y 轴的左侧，故选：D ．6．C解：，224y mx mx m =-+∵m ＜0，∴2m ＜0，∴开口向下，∴对称轴为直线x =，()4122m m--=⨯∵0≤x ≤3，∴当x =1时取最大值，为y =2m -4m +m =-m ，又∵1-0=1，3-1=2，∴3到对称轴的距离较远，∴当x =3时，取到最小值y =18m -12m +m =7m ，∴-m -7m =16，∴m =-2，故选C ．7．C解：①根据函数图象的开口向下知，，0a <∵抛物线与x 轴交点一个在（-2,0）和（-1,0）之间，另一个在（0,0）和（1,0）之间，可得抛物线的对称轴在的右边，在轴左边，()1,0-y ，02b a ∴-<，0b ∴<∵抛物线与轴交于正半轴，y ，0c ∴>．0abc ∴>故①正确；②∵抛物线的对称轴在的右边，，()1,0-，12b a ∴->-，12b a ∴<，0a < ，2b a ∴>，20a b ∴-<故②错误；③由函数图象可知，当时，，2x =-0y <即，420y a b c =-+<故③正确；④由函数图象可知，当时，，即，当时，，即1x =-0y >0y a b c =-+>1x =0y <，0y a b c =++<，故④正确；()()()220a c b a c b a c b +-=+++-<故选：C ．8．C解：函数开口向下，a ＜0；函数的对称轴在y 轴的右边，则ab 异号，即b ＞0；函数交于y 轴的正半轴，则c ＞0，故，①错误；0abc <当y=0时，函数与x 轴有两个不同的交点，即此时一元二次方程有两个不20ax bx c ++=同的实数根，即，故②正确；240b ac ->函数的对称轴为直线x=1，则-2a=b ，函数解析式为：，当x=-2时，22y ax ax c =-+，观察图象可知当x=-2时，对应的y 值小于0，故②正确；y=8a c +观察图象得：当x=2时，y=4a+2b+c ＞0；当x=-1时，y=a-b+c ＞0，则4a+2b+c+a-b+c=5a+b+2c ＞0，故④正确；观察图象得：函数值y ＞0时，函数应该在x 轴上方，而函数在x 轴上方时对应的x 的取值范围为函数与x 轴交点坐标的横坐标的范围，故⑤错误.综上①⑤错误，②③④正确，故选：C.9．D解：抛物线对称轴为．∴32x =-抛物线与轴的交点为．∴y (0,10)A -则与点以对称轴对称的点是．A (3,10)B --若将抛物线平移到，并且，关于直线对称，就是要将点平移后以对称轴C C 'C C '1x =B 与点对称．1x =A 则点平移后坐标应为．B (2,10)-因此将抛物线向右平移5个单位．C 故选：D ．10．C解二次函数（、是常数，）的图象经过点和， 22y ax bx =+-a b 0a ≠()2,1()4,2-，422116422a b a b +-=⎧∴⎨+-=-⎩解得：，3,34a b =-=，223332(2)144y x x x ∴=-+-=--+当时，函数的最小值为，最大值为1，0x m ≤≤22y ax bx =+-2-当时，；2x =1y =时，，2y =-233224x x -+-=-解得：，120,4x x ==，24m ∴≤≤故选：C ．11．y =（x -3）2+4解：二次函数y =（x -1）2+1的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后图象的函数表达式为：y =（x -1-2）2+1+3，即y =（x -3）2+4．故答案是：y =（x -3）2+4．12．()1,2-解：，()()222242212212y x x x x x =-=-+-=--∴顶点坐标为（1，−2），故（1，−2）．13．2n <解：∵，是二次函数图象上的两点，且，()1,P n y ()22,Q n y -225x x y +-+=12y y >∴，()()22252225n n n n -++>--+-+解得，2n <故．2n <14．＜1解：根据图象得：函数图像开口向下，对称轴为直线x =1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，故＜1．15．或1a ≤-1a >解：∵抛物线经过点，23y ax bx =++()2,3A -∴，3423a b =-+∴；2b a =∴，223y ax ax =++∴抛物线的对称轴为；1x =-设线段AB 所在的直线解析式为：y =kx +b ，∵点，点，()2,3A -()10B ,∴ ，230k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得， 11k b =-⎧⎨=⎩∴1y x =-+抛物线（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，23y ax bx =++①当a ＜0时， ，2231y ax ax y x ⎧=++⎨=-+⎩∴，2231ax ax x ++=-+解得，，12x =-21x a =-∴当时满足抛物线（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，101a <-≤23y ax bx =++∴ ；1a ≤-②当a ＞0时， ，2231y ax ax y x ⎧=++⎨=-+⎩∴，2231ax ax x ++=-+解得，，12x =-21x a =-∴当时满足抛物线（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，110a -<-<23y ax bx =++∴；1a >综上所述：或．1a ≤-1a >故或．1a ≤-1a >16．（1）；（2）或．234y x x =-++1-3解：（1）把，代入，()1,0A -()0,4C 24y ax bx a =+-得：，4044a b a a --=⎧⎨-=⎩解得：，13a b =-⎧⎨=⎩抛物线的解析式为：．∴234y x x =-++（2）把代入，(),1D m m +234y x x =-++得：，2341m m m -++=+解得：，．11m =-23m =的值为或．∴m 1-317．（1）；（2）6．14a =解：设点，直线的解析式为，(,)P x y AB y kx b =+将、分别代入，(4,0)A (0,6)B y kx b =+得，，32k =-6b =故，362y x =-+的面积AOP ∆ 1462y =⨯⨯=，3y ∴=再把代入，得，3y =362y x =-+2x =所以，(2,3)P 把代入到中得：；(2,3)P 22y ax =+14a =（2）设向下平移个单位才能使得平移后的抛物线经过点，m A则平移后的抛物线为，2124y x m =+-把代入得，(4,0)A 2124y x m =+-6m =向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点．∴A 18．（1）y =2x 2﹣x ﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x =，顶点坐标为（，﹣1414）．258解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax 2+bx+c ，得，解得．03423a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩213a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以，这个抛物线的表达式为y =2x 2﹣x ﹣3． （2）y =2x 2﹣x ﹣3=2(x ﹣)2﹣，14258所以，抛物线的开口向上，对称轴为x =，顶点坐标为（，﹣）141425819．（1）；（2）当时，y 的值随值的增大而增大；（3）点22(2)4y x =--2x >x P （3，5）不在这个二次函数的图象上解：(1)设抛物线解析式为，2(2)4y a x =--把(0，4)代入得，2(02)44a --=解得：，2a =所以这个二次函数解析式为；22(2)4y x =--(2)抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，22(2)4y x =--2x =所以当时，y 的值随值的增大而增大；2x >x (3)当时，，3x =22(32)42y =--=-所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．20．（1）与的函数关系式为，自变量的取值范围为；S x 2324S x x =-+x 58x ≤<（2）花圃面积的最大值为45平方米．S 解：（1）由题意得：米，且(243)BC x =-09BC <≤即02439x <-≤解得58x ≤<2(243)324S AB BC x x x x=⋅=-=-+故与的函数关系式为，自变量的取值范围为；S x 2324S x x =-+x 58x ≤<（2）由（1）知，223243(4)48S x x x =-+=--+由二次函数的性质可知，当时，S 随x 的增大而减小58x ≤<则当时，S 取最大值，最大值为（平方米）5x =223(4)483(54)4845x --+=-⨯-+=故花圃面积的最大值为45平方米．S。
北大绿卡九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2 bx c的图象和性质课时练习(含解析)(新版)新人教版
二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象和性质（时间：60分钟，满分90分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1．把函数2241y x x =-++的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ）A ．22(1)6y x =--+B ．22(1)6y x =---C ．22(1)6y x =-++D ．22(1)6y x =-+-【答案】C ．【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：22()y x h k =--+，代入得：22(1)6y x =-++．故选C ． 考点：二次函数图象与几何变换．2．已知抛物线y=x 2﹣ax+a+3对称轴在y 轴的右侧，顶点在x 轴上，则a 的值是（ ）A ．6B ．﹣2C ．6或﹣2D ．4【答案】A ．【解析】试题解析：y=x 2-ax+a+3对称轴在y 轴的右侧，顶点在x 轴上， x=2a ＞0， 241(3)()41a a ⨯⨯+--⨯=0 解得a=6，a=-2（不符合题意的要舍去）．故选：A ．考点：二次函数的性质．3．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜4【答案】A【解析】 试题分析：因为1121b x a -=-=-=，且12a =＞0，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小，故选：A ．考点：二次函数的性质．4．二次函数y=a 2x +bx ﹣1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．3【答案】D【解析】试题分析：将点（1，1）代入可得：a+b －1=1，即a+b=2，则a+b+1=3．考点：函数上的点，整体思想5．二次函数522-+=x x y 取最小值时，自变量x 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】D【解析】试题分析：对于二次函数，当a ＞0时，x=－2b a 时，y 有最小值，最小值为244ac b a-．根据题意可得：－2b a =－1．考点：二次函数的顶点6．抛物线y=x 2﹣2x+3的顶点坐标是（ ）A ．（1，﹣2）B ．（1，2）C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，﹣2）【答案】B ．【解析】试题解析：∵y=x 2﹣2x+3=x 2﹣2x+1﹣1+3=（x ﹣1）2+2，∴抛物线y=x 2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．故选B ．考点：二次函数的性质．7．已知抛物线y=-2x 2+12x-13，则下列关于此抛物线说法正确的是（ ）A ．开口向下，对称轴为直线x=-3B ．顶点坐标为（-3，5）C ．最小值为5D ．当x ＞3时，y 随x 的增大而减小【答案】D【解析】试题分析：函数的顶上坐标为（3,5），则对称轴为直线x=3，最大值为5，当x ＞3时，y 随想的增大而减小． 考点：二次函数的性质8．用配方法将二次函数y=3x 2-4x-2写成形如y=a （x+m ）2+n 的形式，则m 、n 的值分别是（ ）A ．m=32，n=310B ．m=-32，n=-310C ．m=2，n=6D ．m=2，n=-2【答案】B【解析】试题分析：y=32x －4x －2=324()3x x -－2=32444()399x x -+-－2=32210()33x --，则m=－23，n=－103． 考点：二次函数的顶点式．9．二次函数y=x 2﹣4x+5的最小值是( )A ．﹣1B ．1C ．3D ．5【答案】B.【解析】试题分析：化为顶点式得：y=x 2﹣4x+5=x 2﹣4x+22+1=（x ﹣2）2+1，当x=2时，二次函数y=x 2﹣4x+5取得最小值为1．故选B ．考点：二次函数的最值．10．若点A （2，y 1），B （﹣3，y 2），C （﹣1，y 3）三点在抛物线y=x 2﹣4x ﹣m 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A.y 1＞y 2＞y 3B.y 2＞y 1＞y 3C.y 2＞y 3＞y 1D.y 3＞y 1＞y 2【答案】C【解析】试题分析：根据函数的解析式可知a=1＞0，所以开口向上，再求出二次函数y=x 2﹣4x ﹣m 的图象的对称轴x=﹣2b a=2，然后判断出A （2，y 1）中x=2，因此y 1最小，B （﹣3，y 2），C （﹣1，y 3）在抛物线上的都在对称轴的左侧，再根据二次函数的增减性，在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，故y 2＞y 3．即y 2＞y 3＞y 1. 故选C ．考点：二次函数的性质；二次函数的图象11．抛物线2256y x x =-+的对称轴是（ ）A 、54x =B 、52x =C 、54x =-D 、52x =- 【答案】A【解析】 试题分析：根据对称轴公式2b x a =-,可得54x =. 考点：二次函数二、填空题（每题3分）12.二次函数243y x x =--的顶点坐标是（ ， ）．【答案】（2，﹣7）．【解析】试题分析：∵243y x x =--=2(2)7x --，∴二次函数243y x x =--的顶点坐标为（2，﹣7）．故答案为：（2，﹣7）．考点：二次函数的性质．13．函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x=_______________；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而_____________（填写“增大”或“减小”）【答案】－1；增大．【解析】试题分析：将y=0代入函数，求出一元二次方程的解；对于开口向上的函数，当x ＞对称轴时，y 随x 的增大而增大，当x ＜对称轴时，y 随x 的增大而减小．当y=0时，即2x +2x+1=0，解得：x=－1；根据函数解析式可得函数的对称轴为直线x=－1，则当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大．考点：二次函数的性质．14．将抛物线的解析式y=向上平移3个单位长度，在向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是 ．【答案】y=【解析】试题分析：因为2265(3)4y x x x =-+=--，所以根据抛物线的平移规律可知：将抛物线的解析式y=向上平移3个单位长度，在向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是 22(4)1815y x x x =--=-+．考点：抛物线的平移．15．函数y=x 2+4ax+2在x≤6时，y 随着x 的增大而减小，则a 的取值范围是 ．【答案】a ≤-3．【解析】试题分析：先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=-2a ，则当x ＜-2a 时，y 的值随x 值的增大而减小，由于x≤6时，y 的值随x 值的增大而减小，于是得到-2a ≤1．从而求出a 的取值范围． 试题解析：抛物线的对称轴为直线x=-2a由于抛物线开口向上，当x ＜-2a 时，y 的值随x 值的增大而减小，而x≤6时，y 的值随x 值的增大而减小，所以-2a ≥6解得：a ≤-3．考点：二次函数的性质．16．二次函数1232+-=x x y 的图象的开口方向________，顶点是________，对称轴是________． 【答案】向上，⎪⎭⎫⎝⎛32,31，直线31=x 【解析】试题分析：因为a=3＞0，所以图象的开口方向上，又1232+-=x x y =223()13x x -+= 22113()1393x x -++-2123()33x =-+，所以顶点是⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31，对称轴是直线31=x ． 考点：二次函数的性质．17．二次函数622+-=x x y 的最小值是 ．【答案】5【解析】试题分析：：∵二次函数y=x 2-2x+6可化为y=（x-1）2+5的形式，∴二次函数y=x 2-2x+6的最小值是5．故答案为：5考点：二次函数的最值18．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则此二次函数的对称轴为 ．【答案】直线1x =-．【解析】试题分析：观察表格发现函数的图象经过点（﹣2，﹣3）和（0，﹣3），∵两点的纵坐标相同，∴两点关于对称轴对称，∴对称轴为：2012x -+==-，故答案为：直线1x =-． 考点：二次函数的性质．19．函数342++-=x x y 有 值（填“最大”或“最小”），所求最值是 .【答案】最大, 7.【解析】试题分析：由于a=-1＜0，知二次函数有最大值，代入顶点坐标公式即可求出最大值.试题解析：y=-x 2+4x+3=-(x-2)2+7∵a=-1＜0，∴二次函数y=-x 2+4x+3有最大值，最大值为7.考点：二次函数的最大值.20．小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上找到三点（－1，y 1），（21，y 2），（－321，y 3），则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为 ．【答案】321y y y【解析】试题分析：对于开口向上的二次函数，到对称轴距离越远的点所对应的函数值就越大．本题中的对称轴为直线x=1．考点：二次函数的函数值大小比较．三、计算题（每题10分）21.已知二次函数y=x 2+2x-1．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；【答案】（1）（-1，-2）；（2）当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大；【解析】试题分析：（1）配方后直接写出顶点坐标即可；（2）确定对称轴后根据其开口方向确定其增减性即可；试题解析：（1）y=x 2+2x-1=（x+1）2-2，∴顶点坐标为：（-1，-2）；（2）∵y=x 2+2x-1=（x+1）2-2的对称轴为：x=-1，开口向上，∴当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大；考点：二次函数的性质22. 已知抛物线4212+--=x x y ， （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；（2）x 取何值时，y 随x 增大而减小？【答案】（1）y 29)1(212++-x ，它的顶点坐标为（-1，29），对称轴为直线1-=x 。
北大绿卡九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2 bx c的图象和性质教案 (新版)新人教版
二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象和性质教学目标：1．掌握用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．2．掌握用图象平移或通过配方确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．教学重点用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标教学难点理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b 24a ) 教学过程一、导入新课（一）根据上节课所学的知识回答问题：1．说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标是(2，1)．2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的．3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1．（二）抛出问题：你能很容易地说出二次函数y ＝12x 2－6x ＋21它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？二、探究新知1．研究二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象和性质． （1）根据二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质，讨论二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象和性质？ 如何将y ＝21x 2－6x ＋21转化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式呢？ 教师引导学生观察两个等式右边的多项式的特点，然后根据配方法进行变形．y ＝21x 2－6x ＋21 ＝21(x 2－12x ＋42) ＝21(x 2－12x ＋36－36＋42) ＝21[(x －6)2＋6]＝21(x －6)2＋3． 化为y ＝21(x －6)2＋3后，根据前面的知识，教师让学生先画出二次函数y ＝21x 2的图象，然后可确定把这个函数y ＝21x 2图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝21x 2－6 x ＋21的图象．（2）直接画二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象． 先列表：然后描点画图，得到y ＝21(x －6)2＋3的图象．从上图中二次函数的图象可以看出：抛物线y ＝21x 2－6x ＋21的顶点是(6，3)，对称轴是x ＝6．在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x ＜6时，y 随x 的增大而减小；当x ＞6时，y 随x 的增大而增大．2．用上面的方法讨论二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1的图象和性质．教师引导学生独立完成，教师在学生配方时可给予适当指导．y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x 2＋2x －21) ＝－2(x 2＋2x ＋1－1－21) ＝－2[(x ＋1)2－23] ＝－2(x ＋1)2＋3．3．探究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质．首先，将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 通过配方化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，即y ＝a 22 ⎝⎛⎪⎭⎫+a b x ＋a b ac 442-．然后可确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－a b 2，顶点是（－a b 2，a b ac 442-）． 最后，教师引导学生观察教材第39页图22.1-11，总结二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的变化规律．从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可以看出： 如果a ＞0，当x ＜－a b 2时，y 随x 的增大而减小，当x ＞－ab 2时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜－a b 2时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－a b 2时，y 随x 的增大而减小． 三、巩固练习教材第39页练习．答案：(1)开口向上，x ＝－13，(－13，－13)；（2）开口向下，x ＝1，（1，-3）； (3)开口向下，x ＝2，(2，0)；（4）开口向上，x ＝4，（4，-5）.四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？1.用配方法把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，然后确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标以及其它性质.2.会用公式法确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标以及其它性质.其中对称轴是x ＝－a b 2，顶点是（－a b 2，ab ac 442-）．如果a ＞0，当x ＜－a b 2时，y 随x 的增大而减小，当x ＞－a b 2时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜－a b 2时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－ab 2时，y 随x 的增大而减小．五、检测反馈1．填空：(1)抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是________；(2)抛物线y ＝2x 2－2x －1的开口________，对称轴是________；(3)二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝________.2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y ＝-3x 2＋2x ；(2)y ＝2x 2＋8x+8.3．求二次函数y ＝mx 2＋2mx ＋3(m ＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．4．抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 的顶点是(－1，2)，则a ，c 的值分别是多少？答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x ＝12；(3)－1；2.(1)开口向下，x ＝13，(13， 13)；(2)开口向上，x ＝-2，(-2，0)；3.对称轴x ＝－1，当m ＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a ＝1，c ＝3.六、布置作业习题22.1第6题．。
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2bxc的图象和性质同步测试及答案【新】
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 [见A 本P18]1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( C )A ．y ＝－x ＋3B ．y ＝5xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x 2＋x －72．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( A ) A ．(3，－4) B ．(3，4) C ．(－3，－4) D ．(－3，4) 【解析】 ∵y ＝x 2－6x ＋5＝x 2－6x ＋9－9＋5＝(x －3)2－4，∴抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标是(3，－4)．故选A.3．在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是( A ) A ．x <1 B ．x >1 C ．x <－1 D ．x >－1 【解析】 ∵a ＝－1＜0， ∴二次函数图象开口向下， 又对称轴是x ＝1，∴当x ＜1时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大． 故选A.4．关于y ＝－12x 2＋3x －52的图象，下列说法不正确的是( B )A ．开口向下B ．对称轴是x ＝－3C ．顶点坐标是(3，2)D ．顶点是抛物线的最高点【解析】 a ＝－12＜0，开口向下，故A 正确；对称轴为x ＝－b 2a ＝－32×⎝⎛⎭⎫－12＝3，故B 不正确；当x ＝3时，y 最大值＝－12×32＋3×3－52＝2，故顶点坐标为(3，2)，C 正确；D 正确．5．下列关于二次函数的说法错误的是( B )A ．抛物线y ＝－2x 2＋3x ＋1的对称轴是x ＝34B ．点A (3，0)不在抛物线y ＝x 2－2x －3的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋2)2－2的顶点坐标是(－2，－2)D ．二次函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y ＝2x 2－4x ＋3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( D ) A ．(－2，3) B ．(－1，4) C ．(1，4) D ．(4，3)7．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x 2－2x －3，则b ，c 的值为( B ) A ．b ＝2，c ＝2 B ．b ＝2，c ＝0C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝－3，c ＝2【解析】 把抛物线y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4向左平移2个单位再向上平移3个单位得到y ＝x 2＋bx ＋c ，所以y ＝(x －1)2－4变为y ＝(x －1＋2)2－4＋3，即y ＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x ，所以b ＝2，c ＝0，选B.8．[2013·襄阳]二次函数的图形如图22－1－25所示：若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是( B )图22－1－25A ．y 1≤y 2B ．y 1<y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1>y 2【解析】 ∵a ＜0，x 1＜x 2＜1， ∴y 随x 的增大而增大 ∴y 1＜y 2. 故选B.9．已知下列函数：①y ＝x 2；②y ＝－x 2；③y ＝(x －1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y ＝x 2＋2x －3的图象的有__①③__(填写所有正确选项的序号)．【解析】 原式可化为y ＝(x ＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y ＝x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y ＝(x ＋1)2－4，的图象，故①正确；函数y ＝(x ＋1)2－4的图象开口向上，函数y ＝－x 2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y ＝(x －1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y ＝(x ＋1)2－4的图象，故③正确．10．用配方法将二次函数y ＝－12x 2－x ＋32化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式为__y ＝－12(x ＋1)2＋2__；它的开口向__下__，对称轴是__x ＝－1__，顶点坐标是__(－1，2)__．【解析】 y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x 2＋2x －3)＝－12[(x ＋1)2－4]＝－12(x ＋1)2＋2.a ＝－12＜0，它的图象开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1，2)．11．y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是x ＝1，则b 的值为__4__．【解析】 由对称轴公式得－－b2×2＝1，解得b ＝4.12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及当x 为何值时，y 值最大(小)． (1)y ＝－2x 2－8x ＋8; (2)y ＝5x 2＋6x ＋7； (3)y ＝3x 2－4x; (4)y ＝－2x 2＋5.解：(1)y ＝－2(x 2＋4x －4) ＝－2(x 2＋4x ＋4－8) ＝－2(x ＋2)2＋16.a ＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x ＝－2，顶点坐标为(－2，16)．当x ＝－2时，y 有最大值． (2)∵a ＝5，b ＝6，c ＝7，∴－b 2a ＝－62×5＝－0.6，4ac －b 24a ＝4×5×7－364×5＝140－3620＝10420＝5.2. 抛物线开口向上，对称轴为x ＝－0.6，顶点坐标为(－0.6，5.2)．当x ＝－0.6时，y 有最小值．(3)y ＝3⎝⎛⎭⎫x 2－43x ＝3⎝⎛⎭⎫x 2－43x ＋49－49 ＝3⎝⎛⎭⎫x －232－43.抛物线开口向上，对称轴为x ＝23，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫23，－43.当x ＝23时，y 有最小值． (4)抛物线开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，5)，当x ＝0时，y 有最大值．13．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( A ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 1【解析】 ∵二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152的对称轴为x ＝－b2a ＝－－72×⎝⎛⎭⎫－12＝－7.∵0＜x 1＜x 2＜x 3，∴三点都在对称轴右侧，又∵a ＜0，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小， ∴y 1＞y 2＞y 3.14．若一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y ＝ax 2＋bx 的对称轴为( C )A ．直线x ＝1B ．直线x ＝－2C ．直线x ＝－1D ．直线x ＝－4【解析】 ∵一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)， ∴－2a ＋b ＝0，即b ＝2a ，∴抛物线y ＝ax 2＋bx 的对称轴为直线x ＝－b2a＝－1.故选C.15．已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2.(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________；(2)选取适当的数据填入下表，并在图x …… y ……，B (x 2，21x 2＞1，试比较y 1与y 2的大小．解：(1)x ＝1，(1，3)； (2)填表如下：x … －1 0 1 2 3 … y… －1 2 3 2 －1 …y 随x 的增大而减小，又x 1＞x 2＞1，所以y 1＜y 2.图22－1－2716．如图22－1－27，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x轴，y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－23x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y ＞0时x 的取值范围． 解：(1)由题意，得C (0，2)，B (2，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－23×4＋2b ＋c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43，c ＝2，∴该二次函数的解析式为y ＝－23x 2＋43x ＋2.(2)令－23x 2＋43x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，∴当y ＞0时，－1<x <3.图22－1－2817．如图22－1－28，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)三点．(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，求AM ＋OM 的最小值．解：(1)把A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)三点代入y ＝ax 2＋bx ＋c中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解这个方程组，得a ＝－12，b ＝1，c ＝0，所以抛物线解析式为y ＝－12x 2＋x .(2)如图，由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称垂直平分线段OB ，所以OM ＝BM ，OM ＋AM ＝BM ＋AM .连接AB 交直线x ＝1于M ，则此时OM ＋AM 最小． 过A 点作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42，因此AM ＋OM 的最小值为4 2.18．在平面直角坐标系中，如图(1)，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)过矩形顶点B ，C . (1)当n ＝1时，如果a ＝－1，试求b 的值；(2)当n ＝2时，如图(2)，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N(1) (2) 图22－1－29解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x ＝12，∴－b 2a ＝12，解得b ＝1；(2)因为抛物线过C (0，1)，所以c ＝1，故可设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋1，由对称性可知抛物线经过点B (2，1)和点M ⎝⎛⎭⎫12，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝4a ＋2b ＋1，2＝14a ＋12b ＋1，解得⎩⎨⎧a ＝－43，b ＝83，∴所求抛物线的解析式为y ＝－43x 2＋83x ＋1.第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 [见B 本P18]1．过(－1，0)，(3，0)，(1，2)三点的抛物线的顶点坐标为( A )A ．(1，2) B.⎝⎛⎭⎫1，23 C ．(－1，5) D.⎝⎛⎭⎫2，143 【解析】 设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝32，∴y ＝－12x 2＋x ＋32＝－12(x 2－2x －3)＝－12[(x 2－2x ＋1)－4]＝－12[(x －1)2－4]＝－12(x －1)2＋2，顶点为(1，2)．故选A.2．二次函数y ＝ax 2x … －3 －2 －1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 －11 …A ．(－3，－3)B ．(－2，－2)C ．(－1，－3)D ．(0，－6)【解析】 ∵x ＝－3和－1时的函数值都是－3相等， ∴二次函数的对称轴为直线x ＝－2， ∴顶点坐标为(－2，－2)． 故选B.3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的解析式为( D ) A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6【解析】 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，解得a ＝－2，b ＝4，c ＝6，∴y ＝－2x 2＋4x ＋6，故选D.4．抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为( C )A ．y ＝12(x －2)2＋1B ．y ＝12(x －2)2－1C ．y ＝12(x ＋2)2＋1D ．y ＝12(x ＋2)2－1【解析】 依题意得a ＝12，可得该抛物线的解析式为y ＝12(x ＋2)2＋1，故选C.5．抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，－2)，则b ＝__－4__，c ＝__0__．【解析】 依题意得y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x ，所以b ＝－4，c ＝0.6．已知点A (1，2)，B (－2，5)，试写出一个二次函数，使它的图象经过A ，B 两点，则此二次函数可为__y ＝x 2＋1(答案不唯一)__． 【解析】 设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝2－a ，－2b ＋c ＝5－4a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －1，c ＝3－2a ，∴y ＝ax 2＋(a －1)x ＋3－2a .取a ≠0的数即可，如当a ＝1时，y ＝x 2＋1.7．如图22－1－30，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为__3__．【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2，所以y ＝x 2－x －2，令x 2－x －2＝0，解得x 1＝AC 长为3.8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－1－31所示． (1)这个二次函数的解析式是__y ＝x 2－2x __； (2)当x ＝__3或－1__时，y ＝3.【解析】 (1)由抛物线过点(0，0)，(1，－1)，(2，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝－1，4a ＋2b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－2，c ＝0，∴y ＝x 2－2x . (2)当x 2－2x ＝3时，解得x 1＝3，x 2＝－1， 所以当x ＝3或－1时，y ＝3.9．抛物线y ＝ax 2＋bx__①③④__①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．【解析】 从表中取出三个点代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，求出函数解析式，进行判断． 10．已知抛物线的顶点为(1，－1)，且过点(2，1)，求这个函数的解析式． 解：设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－1， 把点(2，1)代入解析式得：a －1＝1， 解得a ＝2，∴这个函数的解析式为y ＝2(x －1)2－1.11．根据下列条件，求二次函数的解析式： (1)图象的顶点为(2，3)，且过点(3，1)；(2)图象经过点(1，－2)，(0，－1)，(－2，－11)．解：(1)设函数的解析式是y ＝a (x －2)2＋3，代入点(3，1)得：a ＝－2， 则函数的解析式是：y ＝－2(x －2)2＋3；(2)设函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c .根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－2，c ＝－1，4a －2b ＋c ＝－11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝－1，则函数的解析式是：y ＝－2x 2＋x －1.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线对应的解析式及顶点坐标． 解：根据题意，得：⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝2，a ＋b ＋c ＝4，25a ＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，c ＝52，∴此抛物线对应的解析式y ＝－12x 2＋2x ＋52，即y ＝－12(x －2)2＋52，∴顶点坐标为⎝⎛⎭⎫2，52.13．当k 分别取－1，1，2时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．解：∵当k ＝1时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 没有最大值；当k ≠1时，当函数图象开口向下时函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 有最大值，∴k －1＜0，解得k ＜1，∴当k ＝－1时函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 有最大值，此时函数解析式为y ＝－2x 2－4x ＋6＝－2(x 28.14．如图22－1－32，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－1，0)，B (2，0)两点，交y 轴于点C (0，－2)，过点A ，C 画直线． (1)求二次函数的解析式；(2)若点P 在x 轴正半轴上，且P A ＝PC ，求OP 的长． 解：(1)设该二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 将x ＝0，y ＝－2代入，得－2＝a (0＋1)(0－2)， 解得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －2)， 即y ＝x 2－x －2.(2)设OP ＝x ，则PC ＝P A ＝x ＋1，在Rt △POC 中，由勾股定理，得x 2＋22＝(x ＋1)2，解得x ＝32，即OP ＝32.图22－1－3315．如图22－1－33，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，且A 点坐标为(－3，0)，经过B 点的直线交抛物线于点D (－2，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线BD 的解析式．解：(1)将A (－3，0)，D (－2，－3)的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧9－3b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－3，∴y ＝x 2＋2x －3.(2)由x 2＋2x －3＝0，得 x 1＝－3，x 2＝1， ∴B 的坐标是(1，0)．设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－2k ＋b ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1， ∴直线BD 的解析式为y ＝x －1.图22－1－3416．如图22－1－34，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (1，0)，C (0，－3)． (1)求此二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标． 解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (1，0)，c (0，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0c ＝－3 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0， 解得：x 1＝－3，x 2＝1； ∴A (1，0)，B (－3，0)， ∴AB ＝4， 设P (m ，n )，∵△ABP 的面积为10， ∴12AB ·|n |＝10， 解得：n ＝±5，当n＝5时，m2＋2m－3＝5，解得：m＝－4或2，∴点P坐标为(－4，5)或(2，5)；当n＝－5时，m2＋2m－3＝－5，方程无解，故点P坐标为(－4，5)或(2，5)．。
北大绿卡九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2bxc的图象和性质课时测试(含解析)(新版)
二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象和性质（时间：60分钟，满分90分）班级：___________某某：___________得分：___________ 一、选择题（每题3分）1．对于二次函数y=x 2-4x+7的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是x=-2 C ．顶点坐标是（2，3） D ．与x 轴有两个交点 【答案】C ． 【解析】试题解析：∵y=x 2-4x+7=（x-2）2+3， ∴对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3）， 故B 错误，C 正确， 故选C ．考点：二次函数的性质．2．抛物线223y x x =-++的顶点坐标是 ( ) A ．(-1，4) B ．(1，3) C ．(-1，3) D ．(1，4) 【答案】D 【解析】试题分析：将二次函数配成顶点式为：y=－(2x －2x)+3=－(2x －2x+1－1)+3=－2(1)x +4，则顶点坐标为(1,4)；本题也可以直接利用二次函数的顶点坐标(－2ba，244ac b a )进行求解.考点：二次函数的顶点坐标3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，顶点坐标为(3，-2)，那么该抛物线有( ) A ．最小值-2 B ．最大值-2 C ．最小值3 D ．最大值3【答案】A．【解析】试题解析：由抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，-2），可知该抛物线有最小值-2，故选A．考点：二次函数的最值．4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值-5、最大值0B．有最小值-3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值6【答案】B．【解析】试题解析：由二次函数的图象可知，∵-5≤x≤0，∴当x=-2时函数有最大值，y最大=6；当x=-5时函数值最小，y最小=-3．故选B．考点：二次函数的最值．5．已知开口向下的抛物线的顶点坐标为（2，0），则函数y随x的增大而增大的取值X围为（）．A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2【答案】D．【解析】试题分析：因为顶点坐标是（2，0），所以对称轴是直线x=2，又因为抛物线开口向下，所以在对称轴左侧，函数y 随x 的增大而增大，故自变量的取值X 围是x ＜2，故选D ． 考点：函数的增减性．6．函数y=-2x 2-8x+m 的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若-2＜x 1＜x 2，则 A ．21y y < B ．21y y >C ．21y y =D ．1y 、2y 的大小不确定 【答案】B ． 【解析】试题解析：∵y=-2x 2-8x+m=-2（x+2）2+m+8，∴对称轴是x=-2，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， ∵-2＜x 1＜x 2， ∴y 1＞y 2． 故选B ．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．二次函数的性质．7．把二次函数y ＝－x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式（ ） A ．y ＝－（x －2）2＋2 B ．y ＝（x －2）2＋4 C ．y ＝－（x ＋2）2＋4 D ．y ＝2＋3【答案】C ． 【解析】试题分析：y=-x 2-x+3=-（x 2+4x+4）+1+3=- （x+2）2+4,故答案选C ． 考点：二次函数的解析式的三种形式．8．若b ＜0，则二次函数y=x 2-bx-1的图象的顶点在：A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C ． 【解析】试题解析：二次函数y=x 2-bx-1的图象的顶点为（-21b -⨯，()()241141b ⨯⨯---⨯），即（2b ，244b --），∵b ＜0，∴2b＜0，244b --＜0，∴（2b ，244b --）在第三象限．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．9．抛物线222y x x =-＋-经过平移得到2y x =-，平移方法是（ ） A ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 D ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 【答案】D 【解析】试题分析：因为2222(1)3y x x x ==----＋-，所以抛物线222y x x =-＋-向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以得到2y x =-，故选：D ． 考点：抛物线的平移．10．函数y=x 2+3x －4的图象与y 轴的交点坐标是A ．（2，0）B ．（－2，0）C ．（0，4）D ．（0，－4） 【答案】D ． 【解析】试题解析：把x=0代入y=x 2+3x-4得y=-4，所以函数y= x 2+3x-4的图象与y 轴的交点坐标为（0，-4）．考点：二次函数图象上点的坐标特征． 二、填空题（每题3分）11．抛物线y ＝2x 2-bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为___ 【答案】-4. 【解析】 试题解析：∵-22b-⨯=-1， ∴b=-4考点：二次函数的性质．12．已知二次函数222y x mx =++，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值X 围 是__．【答案】2m ≥-． 【解析】试题分析：抛物线的对称轴为直线x=221m-⨯=﹣m ，∵当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2． 考点：二次函数的性质．13．二次函数226y x x =-+的最小值是____． 【答案】5． 【解析】试题分析：226y x x =-+=2(1)5x -+，可见，二次函数的最小值为5．故答案为：5． 考点：二次函数的最值．14．抛物线y=x 2﹣4x+3的顶点坐标是． 【答案】（2，-1） 【解析】试题分析：因为二次函数2()y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ），所以函数y=x 2﹣4x+3=（ x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，－1）．考点：二次函数的顶点坐标15．抛物线332-+-=x x y 与y 轴的交点坐标为___________．【答案】（0，-3）． 【解析】试题分析：因为抛物线与y 轴交点的横坐标是0，所以将x=0代入解析式，得y=-3，所以抛物线332-+-=x x y 与y 轴的交点坐标为（0，-3）．考点：抛物线与坐标轴交点坐标的规律．16．二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为，对称轴是直线． 【答案】（-1，-1），x=-1． 【解析】试题分析：二次函数y=ax 2+bx+c 中，顶点坐标是（-a b 2，aac 4-4b 2），对称轴是直线x=-a b 2，所给二次函 数中，a=1，b=2，c=0，代入公式中，对称轴是直线x=-a b 2=-22=-1；顶点横坐标是-1，顶点纵坐标是 aac 4-4b 2=4-22=-1．所以顶点坐标为（-1，-1），对称轴是直线x=-1．考点：二次函数的对称轴与顶点坐标公式．17．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______． 【答案】2(5)2y x =-+或21027y x x =-+． 【解析】试题分析：22y x x =-=2(1)1x --，根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：2(5)2y x =-+，将顶点式展开得，21027y x x =-+．故答案为：2(5)2y x =-+或21027y x x =-+．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．压轴题；3．几何变换． 18．若二次函数24y ax x a -+＝的最小值是－3，则a ＝_________． 【答案】1【解析】试题分析：因为二次函数24y ax x a -+＝的最小值是－3，所以241634a y a-==-，解得a=1或-4，又二次函数有最小值，所以a ＞0，所以a=1． 考点：二次函数的最值19．将二次函数y ＝2x －2x －3化为y ＝（x －h ）2＋k 的形式，则__________________．【答案】y ＝（x －1）2－4 【解析】试题分析：y ＝2x －2x －3=2x －2x+1-4=（x －1）2－4．考点：配方法．20．已知A （﹣2，y 1）、B （0，y 2）、C （1，y 3）三点都在抛物线y=kx 2+2kx+k 2+k （k ＜0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是． 【答案】y 1=y 2＞y 3 【解析】试题分析：对称轴为直线x=﹣22kk⋅=﹣1， ∵A （﹣2，y 1）、B （0，y 2）， ∴A 、B 是对称点， ∴y 1=y 2， ∵k ＜0，∴x ＞﹣1时，y 的值随x 的增大而减小， ∴y 2＞y 3， ∴y 1=y 2＞y 3． 故答案为：y 1=y 2＞y 3．考点：二次函数图象上点的坐标特征. 三、计算题（每题10分）21. 画出二次函数y=﹣x 2+2x+3的图像，并根据图像解答下列问题：（1）x 取何值时，函数值y 随x 的增大而减小； （2）x 取何值时，y ≤3．【答案】正确画出图像；（1）x ≥1；（2）x ≤0或x ≥2 【解析】试题分析：（1）确定出二次函数的对称轴即可解答；（2）利用图象直接解答即可．试题解析：（1）原式可化为：y=﹣x 2+2x+3=-（x-1）2+4，则函数图象的对称轴为x=1，∵函数图象开口向下，所以自变量x ≥1时，y 随x 的增大而减小；（2）由图可知当0＜x ＜2时，y ＞3，所以当x ≤0或x ≥2时，y ≤3．考点：二次函数的图像及性质． 22. 已知二次函数y=﹣x 2+x+4． （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】（1）顶点坐标为（1，29），对称轴为x=1；（2）当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞1时y 随x 的增大而减小；函数有最大值为29． 【解析】试题分析：（1）根据函数解析式可求出顶点坐标，对称轴及与坐标轴的交点； （2）根据确定的对称轴及顶点坐标确定其增减性即可． 试题解析：（1）∵y=﹣21x 2+x+4=﹣21（x 2﹣2x+1﹣1）+4=﹣21（x ﹣1）2+29，∴顶点坐标为（1，29），对称轴为x=1； （2）∵开口向下且对称轴为x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞1时y 随x 的增大而减小；函数有最大值为29． 考点：1.二次函数的性质；2.二次函数的最值． 23.如图，已知二次函数21232y x x =-+的图象的顶点为A ，且与y 轴交于点C ．（1）求点A 与点C 的坐标；（2）若将此函数的图象沿z 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式及点C 的对应点的坐标；（3）若A （m ，1y ），B （m ＋1，2y ）两点都在此函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． 【答案】（1）A(2，1)，C （0，3）；(2)21(3)22y x =-- ，C ′（1，0）；（3）当32m <时，12y y >，当32m =时，12y y =，当32m >时，12y y <． 【解析】试题分析：（1）把抛物线的解析式配方即可得到顶点A 的坐标，令抛物线解析式的x=0，算出y ，即可得到抛物线y 轴交于点C 的坐标；（2）根据平移规律即可得到平移后的解析式和点C 对应点的坐标；（3）把m 和m+1代入抛物线解析式，算出2132y y m -=-，进行讨论即可． 试题解析：（1）21232y x x =-+=21(2)12x -+，∴顶点A 的坐标为(2，1)，在21232y x x =-+中，令x=0，得y=3，∴C （0，3）；（2）平移后的抛物线方程为：21(3)22y x =--，点C 的对应点的坐标为（1，0）； （3）211232y m m =-+，221(1)2(1)32y m m =+-++，2132y y m -=-，∴当32m <时，12y y >，当32m =时，12y y =，当32m >时，12y y <．考点：1．二次函数的图象；2．二次函数的性质；3．二次函数与几何变换．。
北大绿卡九年级数学上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质课时测试(含解析)(新版)新人教
二次函数y ＝ax2的图象和性质（时间：40分钟，满分44分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1. 对函数y=x 3的描述：①y 随x 的增大而增大，②它的图象是中心对称图形，③它的自变量取值范围是x≠0．正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A ．【解析】试题分析：①根据函数的增减性，可得答案；②根据中心对称图形的定义，可得答案；③根据立方的意义，可得答案．试题解析：①y=x 3的增减性是y 随x 的增大而增大，故①正确；②y=x 3的图象绕原点旋转180°能与原图相重合，故②正确；③y=x 3的自变量取值范围是全体实数，故③错误；故选：A ．考点：函数的图象2．下列各点在二次函数22x y =的图像上的是（ ）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（1，－2）D ．（2，2）【答案】B【解析】试题分析：对于22x y =，当x=0时，y=0，所以A 错误；当x=1时，y=2，所以B 正确，C 错误；当x=2时，y=4，所以D 错误；故选：B ．考点：二次函数．3．若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图像开口向上，则a ＝ （ ） A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或3【答案】B ．【解析】试题分析：已知函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图像开口向上，可得22620a a a --=≠且，解得a=4，故答案选B ．考点：二次函数的定义及性质．4.抛物线222y ax y bx y cx ===、、的图象如图所示，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a【答案】A【解析】试题解析：∵|a|越大，开口越小，且a ＞0，c ＜b ＜0，∴a ＞b ＞c ．故选：A ．考点：二次函数的图象及性质5. 已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题解析：A 、函数y=ax 中，a ＞0，y=ax 2中，a ＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a ），故A 错误；B 、函数y=ax 中，a ＜0，y=ax 2中，a ＞0，故B 错误；C 、函数y=ax 中，a ＜0，y=ax 2中，a ＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a ），故C 正确；D 、函数y=ax 中，a ＞0，y=ax 2中，a ＜0，故D 错误．故选：C ．考点：1.二次函数的图象及性质2.正比例函数的图像与性质.二、填空题（每题3分）6. 请写出一个y 关于x 的二次函数，同时符合如下条件：（1）开口向上，（2）经过原点，这个函数解析式可以为：__________．【答案】y=x 2．【解析】试题解析：∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0，∵二次函数的图象过原点，∴c=0．故解析式满足a ＞0，c=0即可，如y=x 2．考点：二次函数的性质7．如果抛物线2)1(x m y -=的开口向上，那么m 的取值范围是 ．【答案】1m >【解析】试题分析：如果抛物线2)1(x m y -=的开口向上，那么0,1m -＞所以1m >.考点：抛物线的性质.8.二次函数y＝ax2的图象开口向下，则不等式ax＞a的解集是 .【答案】x＜1【解析】试题分析：：∵二次函数y＝ax2的图象开口向下，∴a＜0，解ax＞a得x＜1．考点：抛物线的性质.三、计算题（每题10分）9.写出函数y=x2与y=﹣3x2的开口方向、顶点坐标、对称轴.【答案】见解析【解析】试题分析：本题考查了二次函数y=ax2图象的性质试题解析：抛物线y=x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴；抛物线y=﹣3x2的开口方向向下，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴；考点：抛物线的性质.10.已知抛物线y=ax2经过点A（－2，4）．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）判断点B3）是否在此抛物线上；【答案】（1）y=x2；（2）不在；【解析】试题分析：（1）根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把A点坐标代入解析式得到关于a的方程，然后解方程即可．（2）把点B的横坐标代入抛物线解析式，判断y的值是否等于-3即可.试题解析：（1）∵抛物线y=ax2经过点A（-2，4）∴a=1∴抛物线的函数关系式为y=x2（2）∵当时，y=（）2=3≠-3∴点B（-3）不在此抛物线上.考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象上点的坐标特征．。
人教版九年级数学上册22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2bxc的图象和性质同步测试题附答案【精品】
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质◆基础扫描1. 函数223y x x =-+的图象顶点坐标是（ ）A. (1,4)-B. (1,2)-C. (1,2)D. (0,3)2. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示,则下列关于a ，b ，c 间的关系判断正确的是（ ）A ．ab ＜0 B. bc ＜0 C. 0a b c ++> D.0a b c -+<图1 图2 图3 3.二次函数223y x x =-++,当x= 时,y 有最 值为 .4. 如图2所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ． 5. 已知二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，是常数），x 与y 的部分对应值如下表，则当x 满足的条件是 时，0y =；当x 满足的条件是 时，0y >．x2- 1- 0 1 2 3y16-6-26-◆能力拓展6. 如图3,二次函数图象过A 、C 、B 三点，点A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB=OC.（1）求C 的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。
7.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:X(元) 15 20 30 … y(件） 252010…Oyx若日销售量y 是销售价x 的一次函数.(1)求出日销售量y(件)是销售价x(元)的函数关系式;(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? 此时每日的销售利润是多少元?◆创新学习8．如图，对称轴为直线x ＝27的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）①当四边形OEAF 的面积为24时，请判断OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C 2．D 3．1x 大 4 4．－1 5．0或2 0＜x ＜2 6．(1)C(0,5)(2) 5(1)(4)4y x x =-+- 253125()4216x =--+7．(1)设此一次函数关系式为y kx b =+,则{15252020k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得1,40k b =-=故一次函数的关系式为40y x =-+. (2)设所获利润为W 元,则22(10)(40)50400(25)225W x x x x x =--=-+-=--+ 所以产品的销售价应定为25元,此时每日的销售利润为225元． 8．（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+． 把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合.22725()326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离． ∵OA 是OEAF Y 的对角线，∴2172264()2522OAE S S OA y y ==⨯⨯⋅=-=--+V ． 因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0）， 所以，自变量x 的取值范围是1＜x ＜6．①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=． 化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF Y 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF Y 不是菱形．Y是正方形，②当OA⊥EF，且OA = EF时，OEAF此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，Y为正方形．故不存在这样的点E，使OEAF。
北大绿卡九年级数学上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质课时练习(含解析)(新版)新人教
二次函数y ＝ax2的图象和性质（时间：40分钟，满分41分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1. 若抛物线y=ax 2经过P （1，﹣2），则它也经过 ( )A ．（2，1）B ．（﹣1，2）C ．（1，2）D ．（﹣1，﹣2）【答案】【解析】试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点P （1，-2），∴x=-1时的函数值也是-2，即它也经过点（-1，-2）．故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．2．下列函数中，图象通过原点的是（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-C ．23y x =D ．1y x =【答案】C ．【解析】试题分析：A ．当x=0，21y x =+=1，所以A 选项错误；B ．当x=0，21y x =-=﹣1所以B 选项错误；C ．当x=0时，23y x ==0，所以C 选项正确；D ．当x=0时，1y x=无意义，所以D 选项错误． 故选C ．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征．3．比较二次函数2y x =与2y x =-的图象，下列结论错误的是（ ）A ．对称轴相同B ．顶点相同C ．图象都有最高点D ．开口方向相反【答案】C ．【解析】试题分析：∵二次函数2y x =的图象开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，有最低点，二次函数2y x=-的图象开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，有最高点，∴二次函数2y x =与2y x =-的图象对称轴相同，顶点相同，开口方向相反，函数2y x =的图象有最低点，函数2y x =-的图象有最高点．故选C ． 考点：二次函数的性质4. 当0>ab 时，2ax y =与b ax y +=的图象大致是（ ）【答案】D ．【解析】试题解析：当0a >，0b >时，抛物线2ax y =开口向上，b ax y +=的图象与y 轴交于正半轴，且y 的值随x 的增大而增大，故A 、B 、C 、D 选项中没有符合条件的；当0a ＜，0b ＜时，抛物线2ax y =开口向下，b ax y +=的图象与y 轴交于负半轴，且y 的值随x 的增大而减小，故选项D 符合题意．故选D ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．二、填空题（每题3分）5. 二次函数的图象是 .【答案】抛物线【解析】试题分析：∵所有二次函数的图象都是一条抛物线，∴二次函数的图象是一条抛物线．故答案为：一条抛物线．考点：二次函数的图象．6．若抛物线y=（m-1）m m x -2开口向下，则m=___． 【答案】－1【解析】试题分析：根据二次函数的定义可得：2m －m=2，开口向下则m －1＜0，则m=－1．考点：二次函数的性质．7. 如图所示，在同一坐标系中，作出①23y x =②212y x =③2y x =的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 .（填序号）【答案】①③②【解析】试题分析：抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．①23y x =，②212y x =，③2y x =中，二次项系数a 分别为3、12、1，∵3＞1＞12，∴抛物线②212y x =的开口最宽，抛物线①23y x 的开口最窄．故依次填：①③②．考点：二次函数图象的性质．三、计算题（每题10分）8.写出函数y=2x 2与y=﹣5x 2的开口方向、顶点坐标、对称轴.【答案】见解析【解析】试题分析：本题考查了二次函数y=ax 2图象的性质试题解析：抛物线y=、2x 2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y 轴； 抛物线y=﹣5x 2的开口方向向下，顶点坐标是（0，0），对称轴是y 轴； 考点：抛物线的性质.9. 在同一直角坐标系中作出y=3x 2和y=﹣3x 2的图象，并比较两者的异同．【答案】见解析【解析】试题分析：根据二次函数解析式符合y=ax 2得出图象，进而得出图象的异同即可． 试题解析：如图所示：两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同．考点：1.画二次函数图象；2.二次函数图象性质．。
北京版-数学-九年级上册- 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 (2个课时)
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 、y 的部分对应值如下表：x －1 0 1 2 3 y51－1－11则该二次函数图象的对称轴为(D )A ．y 轴B ．直线x ＝52C ．直线x ＝2D ．直线x ＝322．(广东中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(D )A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x ＝12C ．当x<12，y 随x 的增大而减小D ．当－1<x<2时，y>03．(柳州中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点．当函数值y>0时，自变量x 的取值范围是(B )A ．x<－2B ．－2<x<4C ．x>0D ．x>44．(云南中考)抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是(1，2)．5．已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大；当x ＝－2时，y 有最大值是2．6．二次函数y ＝x 2＋bx ＋3的图象经过点(3，0)．(1)求b 的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)在所给坐标系中画出二次函数y＝x2＋bx＋3的图象．解：(1)将(3，0)代入函数解析式，得9＋3b＋3＝0.解得b＝－4.(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴顶点坐标是(2，－1)，对称轴为直线x＝2.(3)如图所示．知识点2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象变换7．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是(C)A．(－3，－6) B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)8．(昭通中考)把抛物线y＝x2＋bx＋8的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x＋3，则b的值为4．02中档题9．(贵阳中考)已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是(B) A．y≥3 B．y≤3C．y＞3 D．y＜310．(遵义中考)已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是(D)11．(崇左中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－2，0)，O(0，0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是(A)A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定12．(楚雄期末)已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.(1)写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值；(2)求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标．解：(1)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴开口方向向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标是(1，4)， 当x ＝1时，y 有最大值是4.(2)∵当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3， 当x ＝0时，y ＝3.∴抛物线与x 轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)，与y 轴的交点坐标是(0，3)．03 综合题13．(汕头中考)已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C ，D 两点的坐标； (3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．解：(1)将点O(0，0)代入二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1中，得0＝m 2－1.解得m ＝±1. ∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x 或y ＝x 2－2x.(2)当m ＝2时，二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴C(0，3)，顶点坐标为D(2，－1)．(3)存在．理由：连接CD ，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P 位于CD 与x 轴的交点时，PC ＋PD 最短．设经过C 、D 两点的直线解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，则将C(0，3)，D(2，－1)两点坐标代入解析式中可得⎩⎨⎧3＝b ，－1＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝3.∴y ＝－2x ＋3.令y ＝0，可得－2x ＋3＝0，解得x ＝32.∴当P 点坐标为(32，0)时，PC ＋PD 最短．第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式01 基础题知识点1 利用“三点式”求二次函数解析式1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为y ＝x 2－x －2．2．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：则二次函数的解析式为y ＝－2x －12x －13.3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式．解：由题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝6，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－3x ＋1.4．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点A(0，－6)，与x 轴的一个交点坐标是B(－2，0)．(1)求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；(2)将二次函数图象沿x 轴向左平移52个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．解：(1)把A(0，－6)，B(－2，0)代入二次函数关系式，得⎩⎨⎧c ＝－6，（－2）2－2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－6. ∴y ＝x 2－x －6.∵y ＝x 2－x －6＝(x －12)2－254，∴二次函数的顶点坐标为(12，－254)．(2)二次函数图象沿x 轴向左平移52个单位长度后为y ＝(x －12＋52)2－254＝(x ＋2)2－254.知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为(D )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－86．已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数的解析式为y ＝－18x 2＋2x ＋1.7．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y 轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．解：依题意，设y ＝a(x －h)2＋k.将顶点坐标(4，－1)和与y 轴交点(0，3)代入，得3＝a(0－4)2－1.解得a ＝14.∴这条抛物线的解析式为y ＝14(x －4)2－1.知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式 8．如图所示，抛物线的函数表达式是(D )A ．y ＝12x 2－x ＋4B ．y ＝－12x 2－x ＋4C ．y ＝12x 2＋x ＋4D ．y ＝－12x 2＋x ＋49．已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，则该二次函数的解析式为y ＝x 2－x －2.10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，求二次函数的解析式．解：依题意，设y ＝a(x ＋3)(x －1)，将(0，3)代入解析式，得－3a ＝3.解得a ＝－1.∴这条二次函数的解析式为y ＝－(x ＋3)(x －1)＝－x 2－2x ＋3.02 中档题11．(来宾中考)已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(3，0)和(4，0)，则这个二次函数的解析式是y ＝x 2－7x ＋12．12．(宁波中考)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．求抛物线的解析式和顶点坐标．解：∵A(1，0)，B(3，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)(x －3)． ∵抛物线过(0，－3)，∴－3＝a(－1)×(－3)．解得a ＝－1. ∴y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3. ∵y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1， ∴顶点坐标为(2，1)．13．(齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y 轴交于点B(0，3)，与x 轴交于C 、D 两点．点P 是x 轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA ＋PB 的值最小时，求点P 的坐标．解：(1)∵抛物线顶点坐标为(1，4)， ∴设y ＝a(x －1)2＋4. ∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4，解得a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，－3)，连接AE 交x 轴于点P. 设AE 解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝－3.∴y AE ＝7x －3. ∵当y ＝0时，x ＝37，∴点P 的坐标为(37，0)．03 综合题14．(毕节中考)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C ，求△CAB 的面积；解：(1)由题意，将A(－1，0)，B(3，0)的坐标代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3. (2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线顶点M(1，－4)，其关于x 轴的对称点M ′(1，4)． 设直线AM′的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋m ＝0，k ＋m ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，m ＝2.∴直线AM′的解析式为y ＝2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝x 2－2x －3.解得⎩⎨⎧x 1＝－1，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5，y 2＝12. ∴直线AM′与抛物线的交点A(－1，0)，C(5，12)． 又AB ＝4，∴S △ABC ＝12AB·y c ＝12×4×12＝24.。
北京版-数学-九年级上册- 二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象 习题
初中-数学-打印版初中-数学-打印版 《二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象》习题1．抛物线y =x 2−1的顶点坐标为( ).A ．(1，0)B ．(−1，0)C ．(0，−1)D (2，3)2．二次函数y =2(x −1)2+2的图象可由y =2x 2的图象( )得到.A ．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度B ．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度3．抛物线y =−3(x −2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为( ).A ．开口向下，对称轴为x =−2，顶点坐标为(−2，4)B ．开口向上，对称轴为x =2，顶点坐标为(2，4)C ．开口向上，对称轴为x =2，顶点坐标为(2，−4)D ．开口向下，对称轴为x =2，顶点坐标为(2，4)4．抛物线y =x 2−1的顶点坐标为( ).A ．(1，0)B ．(−1，0)C ．(0，−1)D ．(2，3)5．抛物线 的顶点坐标为( ).A ．(－2，3)B ．(2，11)C ．(－2，7)D ．(2，－3)6．若抛物线 与y 轴交于点(0，－3)，则下列说法不正确的是( ).A ．抛物线开口方向向上B ．抛物线的对称轴是直线C ．抛物线与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)7．要得到二次函数 的图象，需将 的图象( ).A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位8．抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向_____，对称轴是_____，最高点的坐标是_____． 9．抛物线121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ⋅=_____．10．抛物线c bx x y ++-=2的顶点为(－1，－3)，则=+c b _____．。
北大绿卡九年级数学上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课时测试(含解析)(
二次函数y= a (x —h) 2+k的图象和性质(时间：40分钟，满分54分)班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________一、选择题(每题3分)1 21 •关于二次函数y二丄(x-3) 2+2的图象与性质，下列结论错误的是( )2A. 抛物线开口方向向下B. 当x=3时，函数有最大值-2C. 当x > 3时，y随x的增大而减小1 2D. 抛物线可由y=-丄x经过平移得到2【答案】D.【解析】1试题解析：A>v a=-1v 0,•••抛物线开口方向向下，故此选项正确，不合题意；21 2B、T y二(x-3 ) -2的顶点坐标为：(3, -2 )，故当x=3时，函数有最大值-2，故此选项正确，不合题2意；C、当x > 3时，y随x的增大而减小，此选项正确，不合题意；1 2D、抛物线可由y=- ^x2经过平移得到，故此选项错误，符合题意.2故选D.考点：二次函数的性质.2 .将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是()2 2 2 2A. y =5(x 2) -3 B . y =5(x -2) 3 C . y =5(x —2) -3 D . y =5(x 2) 3【答案】D.【解析】试题解析：解：抛物线y=5x2的顶点坐标为(0, 0),把点(0, 0)向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为(-2 , 3),所以新抛物线的表达式是y=5 (x+2) 2+3.故选D.考点：二次函数图象与几何变换.1 23 .把抛物线y x2 -1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为( )21 2A. y (x 1) -321 2B. y (x -1)-32C. y」(x 1)2 12D. y (xT) 12【答案】B. 【解析】1 2 12试题分析：抛物线 y x -1向右平移1个单位，得：y (x 「1)「1 ；2 2再向下平移2个单位，得：y =〔(x _1)2 _1 _2=^(x _1)2 _32 2 2考点：二次函数图象与几何变换.4 .抛物线y = (x + 2 ) 2 - 1的顶点坐标是 ()试题分析：由顶点式解析式可知，顶点坐标是( -3 , -1 )，此点在第三象限.故选 C.考点：二次函数的顶点坐标.6 .图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是(A . h=mB .k > nC .k=nD .h >0, k >0 【答案】C【解析】1 2 1 2试题分析：由解析式可知 y=— (x - h ) +k 的顶点坐标为(h , k ); y=— (x - m ) +n 的顶点坐标为(m, n ).42A 、 由于两抛物线有相同的对称轴，可得h=m 命题正确，故本选项错误；B 、 由两抛物线顶点位置可知， k > n ,命题正确，故本选项错误；C 、 由两抛物线顶点位置可知， k=n ，命题错误，故本选项正确；1 2D 、 由y= (x - h ) +k 的位置可知，h >0, k > 0，命题正确，故本选项错误；4故选C.考点：二次函数的图象 二、填空题(每题 3分)A . (2, 1)B . (-2, -1)C . (-2, 1) 【答案】B 【解析】试题分析：因为抛物线 y=a (x-h ) 2+k 的顶点坐标是( 是(-2, -1)，故选：B .考点：抛物线的顶点坐标.5.二次函数y=2 (x+3) 2-1的图象的顶点所在象限是( A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D 【答案】C. 【解析】D . (2, -1) h , k ),所以抛物线y = (x + 2 ) 2- 1的顶点坐标)..第四象限1-27.抛物线y = 2 (x- 1) 2- 1的顶点是___________ .【答案】1,-1【解析】试题分析：把抛物线的解析式写成顶点坐标式，从而得到抛物线的顶点坐标2 2试题解析：把y=2x-1 -1写成y=2x-1 • -1，2所以抛物线y=2(x—1)—1的顶点坐标是(1,—1).考点：抛物线的顶点坐标•8 .写出一个开口向下，顶点坐标是( 1 —-2 )的二次函数解析式_____________________ .【答案】y=-3 (x-1 ) 2-2 (答案不唯一).【解析】试题解析：•••顶点坐标为(1,-2 ),•••可设其解析式为y=a (x-1 ) 2-2 —又开口向下，则a v0,不妨取a=-3 —2则其解析式为y=-3 (x-1 ) -2 (答案不唯一).考点：二次函数的性质.9 •把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为______ .【答案】y=2 (x+1) 2-2 .【解析】试题分析：二次函数的平移规律是，平移后，抛物线的形状大小完全相同，所以a值相同，把二次函数y=ax2 _2 __________________________________________________________________向上或向下平移|k|个单位长度得到的解析式是y=ax ± k;把二次函数y=ax2向左或向右平移|h|个单位长度得到的解析式是y=a (x± h) 2,平移规律是左加右减，上加下减，所以把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y=2 (x+1) 2-2 .考点：二次函数的平移规律.10.二次函数y =(x -1)22的最小值是 _______________ 。
部编人教数学九上22.1.4第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 测试题含答案
前言：
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22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．对于二次函数y＝－1
4
x2＋x－4，下列说法正确的是( )
A．当x>0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7)
D．图象与x轴有两个交点
2．将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是( )
A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2
C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2
3二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x …
－
3
－
2
－
1
01…
y …
－
3
－
2
－
3
－
6
－
11
…
A．直线x＝－3 B．直线x＝－2
C．直线x＝－1 D．直线x＝0
4．当x＝____时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值____．
5．已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1, y2，y3的大小关系是____．
1。
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二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象和性质（时间：60分钟，满分90分）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题（每题3分）1．对于二次函数y=x 2-4x+7的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是x=-2C ．顶点坐标是（2，3）D ．与x 轴有两个交点 【答案】C ． 【解析】试题解析：∵y=x 2-4x+7=（x-2）2+3， ∴对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3）， 故B 错误，C 正确， 故选C ．考点：二次函数的性质．2．抛物线223y x x =-++的顶点坐标是 ( ) A ．(-1，4) B ．(1，3) C ．(-1，3) D ．(1，4) 【答案】D 【解析】试题分析：将二次函数配成顶点式为：y=－(2x －2x)+3=－(2x －2x+1－1)+3=－2(1)x -+4，则顶点坐标为(1,4)；本题也可以直接利用二次函数的顶点坐标(－2ba ，244acb a-)进行求解.考点：二次函数的顶点坐标3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，顶点坐标为(3，-2)，那么该抛物线有( ) A ．最小值-2 B ．最大值-2 C ．最小值3 D ．最大值3 【答案】A ． 【解析】试题解析：由抛物线y=ax2+bx+c 的开口向上，顶点坐标为（3，-2）， 可知该抛物线有最小值-2， 故选A ．考点：二次函数的最值．4．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）A ．有最小值-5、最大值0B ．有最小值-3、最大值6C ．有最小值0、最大值6D ．有最小值2、最大值6 【答案】B ． 【解析】试题解析：由二次函数的图象可知， ∵-5≤x≤0，∴当x=-2时函数有最大值，y 最大=6； 当x=-5时函数值最小，y 最小=-3． 故选B ．考点：二次函数的最值．5．已知开口向下的抛物线的顶点坐标为（2，0），则函数y 随x 的增大而增大的取值范围为（ ）． A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ＞2 D ．x ＜2 【答案】D ． 【解析】试题分析：因为顶点坐标是（2，0），所以对称轴是直线x=2，又因为抛物线开口向下，所以在对称轴左侧，函数y 随x 的增大而增大，故自变量的取值范围是x ＜2，故选D ． 考点：函数的增减性．6．函数y=-2x 2-8x+m 的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若-2＜x 1＜x 2，则 A ．21y y < B ．21y y >C ．21y y =D ．1y 、2y 的大小不确定【答案】B ． 【解析】试题解析：∵y=-2x 2-8x+m=-2（x+2）2+m+8，∴对称轴是x=-2，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， ∵-2＜x 1＜x 2， ∴y 1＞y 2． 故选B ．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．二次函数的性质．7．把二次函数y ＝－x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式（ ） A ．y ＝－（x －2）2＋2 B ．y ＝（x －2）2＋4 C ．y ＝－（x ＋2）2＋4 D ．y ＝2＋3 【答案】C ． 【解析】试题分析：y=-x 2-x+3=-（x 2+4x+4）+1+3=- （x+2）2+4,故答案选C ． 考点：二次函数的解析式的三种形式．8．若b ＜0，则二次函数y=x 2-bx-1的图象的顶点在：A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C ． 【解析】试题解析：二次函数y=x 2-bx-1的图象的顶点为（-21b -⨯，()()241141b ⨯⨯---⨯），即（2b ，244b --），∵b ＜0，∴2b＜0，244b --＜0，∴（2b ，244b --）在第三象限．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．9．抛物线222y x x =-＋-经过平移得到2y x =-，平移方法是（ ） A ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 D ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 【答案】D 【解析】试题分析：因为2222(1)3y x x x ==----＋-，所以抛物线222y x x =-＋-向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以得到2y x =-，故选：D ．考点：抛物线的平移．10．函数y=x 2+3x －4的图象与y 轴的交点坐标是 A ．（2，0） B ．（－2，0） C ．（0，4） D ．（0，－4） 【答案】D ． 【解析】试题解析：把x=0代入y=x 2+3x-4得y=-4，所以函数y= x 2+3x-4的图象与y 轴的交点坐标为（0，-4）． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 二、填空题（每题3分）11．抛物线y ＝2x 2-bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为___ 【答案】-4. 【解析】 试题解析：∵-22b-⨯=-1，∴b=-4考点：二次函数的性质．12．已知二次函数222y x mx =++，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围 是_ _． 【答案】2m ≥-． 【解析】试题分析：抛物线的对称轴为直线x=221m-⨯=﹣m ，∵当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2． 考点：二次函数的性质．13．二次函数226y x x =-+的最小值是__ __． 【答案】5． 【解析】试题分析：226y x x =-+=2(1)5x -+，可见，二次函数的最小值为5．故答案为：5． 考点：二次函数的最值．14．抛物线y=x 2﹣4x+3的顶点坐标是 ． 【答案】（2，-1） 【解析】试题分析：因为二次函数2()y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ），所以函数y=x 2﹣4x+3=（ x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，－1）． 考点：二次函数的顶点坐标15．抛物线332-+-=x x y 与y 轴的交点坐标为___________．【答案】（0，-3）． 【解析】试题分析：因为抛物线与y 轴交点的横坐标是0，所以将x=0代入解析式，得y=-3，所以抛物线332-+-=x x y 与y 轴的交点坐标为（0，-3）． 考点：抛物线与坐标轴交点坐标的规律．16．二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ． 【答案】（-1，-1），x=-1． 【解析】试题分析：二次函数y=ax 2+bx+c 中，顶点坐标是（-a b 2，aac 4-4b 2），对称轴是直线x=-a b 2，所给二次函 数中，a=1，b=2，c=0，代入公式中，对称轴是直线x=-a b 2=-22=-1；顶点横坐标是-1，顶点纵坐标是 aac 4-4b 2=4-22=-1．所以顶点坐标为（-1，-1），对称轴是直线x=-1．考点：二次函数的对称轴与顶点坐标公式．17．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______．【答案】2(5)2y x =-+或21027y x x =-+． 【解析】试题分析：22y x x =-=2(1)1x --，根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：2(5)2y x =-+，将顶点式展开得，21027y x x =-+．故答案为：2(5)2y x =-+或21027y x x =-+．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．压轴题；3．几何变换． 18．若二次函数24y ax x a -+＝的最小值是－3，则a ＝_________． 【答案】1【解析】试题分析：因为二次函数24y ax x a -+＝的最小值是－3，所以241634a y a-==-，解得a=1或-4，又二次函数有最小值，所以a ＞0，所以a=1． 考点：二次函数的最值19．将二次函数y ＝2x －2x －3化为y ＝（x －h ）2＋k 的形式，则__________________．【答案】y ＝（x －1）2－4 【解析】试题分析：y ＝2x －2x －3=2x －2x+1-4=（x －1）2－4． 考点：配方法．20．已知A （﹣2，y 1）、B （0，y 2）、C （1，y 3）三点都在抛物线y=kx 2+2kx+k 2+k （k ＜0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 ． 【答案】y 1=y 2＞y 3 【解析】试题分析：对称轴为直线x=﹣22kk⋅=﹣1， ∵A （﹣2，y 1）、B （0，y 2）， ∴A 、B 是对称点， ∴y 1=y 2， ∵k ＜0，∴x ＞﹣1时，y 的值随x 的增大而减小， ∴y 2＞y 3， ∴y 1=y 2＞y 3．故答案为：y 1=y 2＞y 3．考点：二次函数图象上点的坐标特征. 三、计算题（每题10分）21. 画出二次函数y=﹣x 2+2x+3的图像，并根据图像解答下列问题：（1）x 取何值时，函数值y 随x 的增大而减小； （2）x 取何值时，y ≤3． 【答案】正确画出图像；（1）x ≥1；（2）x ≤0或x ≥2 【解析】 试题分析：（1）确定出二次函数的对称轴即可解答；（2）利用图象直接解答即可．试题解析：（1）原式可化为：y=﹣x 2+2x+3=-（x-1）2+4，则函数图象的对称轴为x=1，∵函数图象开口向下，所以自变量x ≥1时，y 随x 的增大而减小；（2）由图可知当0＜x ＜2时，y ＞3，所以当x ≤0或x ≥2时，y ≤3．考点：二次函数的图像及性质． 22. 已知二次函数y=﹣x 2+x+4．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】（1）顶点坐标为（1，29），对称轴为x=1； （2）当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞1时y 随x 的增大而减小；函数有最大值为29． 【解析】 试题分析：（1）根据函数解析式可求出顶点坐标，对称轴及与坐标轴的交点； （2）根据确定的对称轴及顶点坐标确定其增减性即可． 试题解析：（1）∵y=﹣21x 2+x+4=﹣21（x 2﹣2x+1﹣1）+4=﹣21（x ﹣1）2+29，∴顶点坐标为（1，29），对称轴为x=1； （2）∵开口向下且对称轴为x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞1时y 随x 的增大而减小；函数有最大值为29． 考点：1.二次函数的性质；2.二次函数的最值． 23.如图，已知二次函数21232y x x =-+的图象的顶点为A ，且与y 轴交于点C ．（1）求点A 与点C 的坐标；（2）若将此函数的图象沿z 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式及点C 的对应点的坐标；（3）若A （m ，1y ），B （m ＋1，2y ）两点都在此函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． 【答案】（1）A(2，1)，C （0，3）；(2)21(3)22y x =-- ，C ′（1，0）；（3）当32m <时，12y y >，当32m =时，12y y =，当32m >时，12y y <． 【解析】 试题分析：（1）把抛物线的解析式配方即可得到顶点A 的坐标，令抛物线解析式的x=0，算出y ，即可得到抛物线y 轴交于点C 的坐标；（2）根据平移规律即可得到平移后的解析式和点C 对应点的坐标； （3）把m 和m+1代入抛物线解析式，算出2132y y m -=-，进行讨论即可． 试题解析：（1）21232y x x =-+=21(2)12x -+，∴顶点A 的坐标为(2，1)，在21232y x x =-+中，令x=0，得y=3，∴C （0，3）；（2）平移后的抛物线方程为：21(3)22y x =--，点C 的对应点的坐标为（1，0）； （3）211232y m m =-+，221(1)2(1)32y m m =+-++，2132y y m -=-，∴当32m <时，12y y >，当32m =时，12y y =，当32m >时，12y y <．考点：1．二次函数的图象；2．二次函数的性质；3．二次函数与几何变换．。