2021年新教材高中数学第十章10.1.2事件的关系和运算学案新人教A版必修第二册72
高中数学第十章概率10.1.2事件的关系和运算同步练习含解析新人教A版必修第二册
课时素养评价三十九事件的关系和运算(15分钟30分)1.一个射手进行一次射击,事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5,则(A.A与B是互斥事件B.A与B是对立事件C.A⊆BD.A⊇B【解析】选C.事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件B:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环,故A⊆B.2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是(A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品【解析】选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2件,所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1件.【补偿训练】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有一个红球;至少有一个白球B.恰有一个红球;都是白球C.至少有一个红球;都是白球D.至多有一个红球;都是红球【解析】选B.对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取2个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.3.从1,2,…,9中任取两数,其中: ①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述各对事件中,是对立事件的是( A.① B.②④ C.③ D.①③【解析】选C.从1,2,…,9中任取两数,包括一奇一偶、两奇、两偶,共三种互斥事件,所以只有③中的两个事件才是对立事件.4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E,则事件取出的是理科书可记为.【解析】由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.答案:B∪D∪E5.在投掷骰子试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如:A={出现1点},B={出现3点或4点},C={出现的点数是奇数},D={出现的点数是偶数}.求以上4个事件两两运算的结果.【解析】在投掷骰子的试验中,根据向上出现的点数有6种基本事件,记作A i={出现的点数为i}(其中i=1,2,…,6).则A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6.A∩B=∅,A∩C=A,A∩D=∅.A∪B=A1∪A3∪A4={出现的点数为1或3或4},A∪C=C={出现的点数为1或3或5},A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现的点数为1或2或4或6}.B∩C=A3={出现的点数为3},B∩D=A4={出现的点数为4}.B∪C=A1∪A3∪A4∪A5={出现的点数为1或3或4或5}.B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出现的点数为2或3或4或6}.C∩D= ,C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出现的点数为1,2,3,4,5,6}.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品,设A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论中错误的是( A.A与C互斥 B.B与C互斥C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥【解析】选D.由题意知事件A,B,C两两不可能同时发生,因此两两互斥.2.打靶3次,事件A i表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示(A.全部击中B.至少击中1发C.至少击中2发D.以上均不正确【解析】选B.A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.3.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为(A.一个是5点,另一个是6点B.一个是5点,另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点【解题指南】考虑事件“都不是5点且不是6点”所包含的各种情况,然后再考虑其对立事件.【解析】选C.设两枚骰子分别为甲、乙,则其点数的可能值包括以下四种可能:甲是5点且乙是6点,甲是5点且乙不是6点,甲不是5点且乙是6点,甲不是5点且乙不是6点,事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况,故其对立事件是前三种情况.【误区警示】解答本题容易忽视根据两个骰子是否为5点或6点对所有可能出现的结果进行分析,导致错误.【补偿训练】抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的点数是6或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( A.A与B B.B与CC.A与DD.C与D【解析】选C.A与B互斥且对立;B与C有可能同时发生,即出现6,从而不互斥;A与D不会同时发生,从而A与D互斥,又因为还可能出现2,故A与D不对立;C与D有可能同时发生,从而不互斥.4.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机},D={至少有一炮弹击中飞机},下列关系不正确的是( A.A⊆D B.B∩D=C.A∪C=DD.A∪B=B∪D【解析】选 D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A:“恰有一件次品”;事件B:“至少有两件次品”;事件C:“至少有一件次品”;事件D:“至多有一件次品”.则选项中结论正确的是( A.A∪B=C B.D∪B是必然事件C.A∪B=BD.A∪D=C【解析】选AB.A∪B表示的事件为至少有一件次品,即事件C,所以A正确,C不正确;D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以B正确;A∪D表示的事件为至多有一件次品,即事件D,所以D不正确.6.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是(A.两球都不是白球B.两球恰有一个白球C.两球至少有一个白球D.两球都是黑球【解析】选ABD.根据题意,结合互斥事件、对立事件的定义可得,选项A,事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生,故它们是互斥事件.但这两个事件不是对立事件,因为它们的和事件不是必然事件.选项B,事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件.选项C,事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生,故它们不是互斥事件;选项D,事件“两球都为白球”和事件“两球都是黑球”是互斥而非对立事件.三、填空题(每小题5分,共10分)7.下列各对事件:①运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”;④甲、乙两运动员各射击一次,“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”.其中是互斥事件的有,是包含关系的有.【解析】①甲射击一次“射中9环”与“射中8环”不能同时发生,是互斥事件;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”不是同一试验的结果,不研究包含或互斥关系;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不能同时发生,是互斥事件;④甲、乙两运动员各射击一次,“至少有一人射中目标”,即“甲射中目标但乙没有射中目标”或“乙射中目标但甲没有射中目标”或“甲、乙都射中目标”,具有包含关系.答案:①③④8.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列四个结论正确的是.(填序号)①F与G互斥②E与G互斥但不对立③E,F,G任意两个事件均互斥④E与G对立【解析】由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件.故①,③错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以②错误,④正确.答案:④四、解答题(每小题10分,共20分)9.在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题.(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件.(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.【解析】(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3,C4⊆D3. 同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5,E=F+G,E=D2+D3.10.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与恰有2名男生;(2)至少有1名男生与全是男生;(3)至少有1名男生与全是女生;(4)至少有1名男生与至少有1名女生.【解题指南】判别两个事件是否互斥,就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.【解析】(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们对立.(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.1.如果事件A,B互斥,那么(A.A∪B是必然事件B.∪是必然事件C.与一定互斥D.与一定不互斥【解析】选B.用集合表示法中的“Venn图”解决比较直观,如图所示,∪=I是必然事件.2.从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长,其中1,3,5号同学为男生,2,4,6号同学为女生,记:C1=“选出1号同学”,C2=“选出2号同学”,C3=“选出3号同学”,C4=“选出4号同学”,C5=“选出5号同学”,C6=“选出6号同学”,D1=“选出的同学学号不大于1”,D2=“选出的同学学号大于4”,D3=“选出的同学学号小于6”,E=“选出的同学学号小于7”,F=“选出的同学学号大于6”,G=“选出的同学学号为偶数”,H=“选出的同学学号为奇数”.据此回答下列问题:(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件?(2)如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?(3)两个事件的交事件也可能为不可能事件,在上述事件中有这样的例子吗?【解析】(1)必然事件有:E;随机事件有:C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1 ,D2,D3,G,H;不可能事件有:F.(2)如果事件C1发生,则事件D1,D3,E,H一定发生.(3)有,如:C1和C2;C3和C4等.。
2024春高中数学第10章10.1.2事件的关系和运算课件新人教A版必修第二册
)
A．恰有两件次品
C．恰有两件正品
B
B．恰有一件次品
√
D．至少有两件正品
[事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B.]
1
2
3
4
2．抛掷一枚骰子，“向上一面的点数是1或2”为事件A，“向上一
面的点数是2或3”为事件B，则(
)
A．A⊆B
B．A＝B
C．A∪B表示向上一面的点数是1或2或3
∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理
解为集合A∪B.
)
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有红球也有白球
D．取出的3个球中不止一个红球
√
D
从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取
出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红
球．故选D.
类型2 事件的运算
【例2】 掷一枚骰子，下列事件：
C2间有什么关系？
知识点1 事件的关系
关系
包含
关系
相等
关系
定义
表示法
一定
若事件A发生，事件B____发生，
称事件B包含事件A(或事件A包含 ____(或A⊆B)
B⊇A
于事件B)
如果事件B包含事件A，事件A也
包含事件B，则称事件A与事件B
相等
A＝B
图示
关系
互斥
事件
对立
事件
定义
不能同时
如果事件A与事件B________发
[解]
ҧ
(1)A∩B∩＝{2022年或2022年前出版的中文版的数学书}．
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第十章 概率 知识点汇总及解题规律方法提炼
第十章概率10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算1．随机试验(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．3．事件的分类(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．(3)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．■名师点拨必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况．4．事件的关系或运算的含义及符号表示(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.(2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生．典型应用1事件类型的判断指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．(3)若x∈R，则x2＋1≥1.(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.【解】由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．判断事件类型的思路要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．典型应用2样本点与样本空间同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？【解】(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)样本点的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．典型应用3事件的运算盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？【解】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A⊆C，B⊆C，E⊆C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．典型应用4互斥事件与对立事件的判定某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．10.1.3古典概型1．古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．■名师点拨古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．2．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．典型应用1样本点的列举一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个样本点？(2)“2个都是白球”包含几个样本点？【解】(1)法一：采用列举法．分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．法二：采用列表法．设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：事件，故共有10个样本点．(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．。
2021年新教材高中数学第十章10.1.2事件的关系和运算学案新人教A版必修第二册72
10．1.2 事件的关系和运算[目标] 1.了解事件的关系与运算；2.理解互斥事件、对立事件的概念．[重点] 事件的关系、运算.[难点] 事件关系的判定．要点整合夯基础知识点事件的关系与运算[填一填][答一答]1．下列说法正确吗？(1)在掷骰子的试验中，{出现1点}⊆{出现的点数为奇数}；(2)不可能事件记作∅，显然C⊇∅(C是任一事件)；(3)事件A也包含于事件A，即A⊆A.提示：(1)(2)(3)的说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系．2．并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事件包含三种情况：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A，B同时发生，即事件A，B中至少有一个发生．3．事件A与事件B互斥的含义是什么？提示：事件A与事件B互斥的含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．4．互斥事件与对立事件的关系是怎样的？提示：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．典例讲练破题型类型一事件关系的判断[例1]从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各1张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．[分析]要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．[解](1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．互斥事件、对立事件的判断方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．(2)利用集合观点设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.[变式训练1]从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(D)A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球解析：根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．类型二事件的运算[例2]掷一枚骰子，下列事件：A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3倍数”．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记H为事件H的对立事件，求D，A C，B∪C，D＋E.[分析]利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．[解](1)A∩B＝∅，BC＝{2}．(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，B＋C＝{1,2,4,6}．(3)D＝{1,2}；A C＝BC＝{2}；B∪C＝A∪C＝{1,2,3,5}；D＋E＝{1,2,4,5}．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.[变式训练2]盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是(B) A．C＝(A∩B)∪EB．C＝A∪B∪EC．C＝(A∪B)∩ED．C＝A∩B∩E解析：由题意可知C＝A∪B∪E.课堂达标练经典1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(C)A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件．2．如果事件A，B互斥，那么(B)A．A∪B是必然事件B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件解析：A与B有两种情况，一种是互斥不对立，另一种是A与B是对立事件，要分类讨论．3．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(C)A．①B．②④C．③D．①③解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件“取出的是理科书”可记为B∪D ∪E.解析：由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？解：(1)用数组(a，b，c)表示可能的结果，a，b，c分别表示三个圆所涂的颜色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．(2)A＝{(红，黄，蓝)}，B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}，C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}，D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．(3)由(2)可知C⊆B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．——本课须掌握的问题概率论与集合论之间的对应关系。
2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率(2)教案新人教A版必修第二册
a.与物理学科的关联：探讨物理实验中的概率现象，如量子力学中的概率波函数等。
b.与生物学科的关联：研究遗传学中的概率问题，如基因遗传概率、疾病发病率等。
c.与经济学科的关联：分析投资、风险管理等方面的概率问题，如股票收益率的概率分布等。
课后作业
1.计算题：抛掷两个公正的骰子，求两个骰子的点数和为7的概率。
d.条件概率：使用Venn图和实际案例，如疾病检测的准确性问题，帮助学生理解在给定一个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
2.教学难点
-难点内容：概率乘法规则的适用条件及其理解；条件概率在实际问题中的运用；理解并区分独立事件与非独立事件。
-举例解释：
a.概率乘法规则的适用条件：解释在什么情况下可以使用乘法规则（即事件A和事件B的交集非空且A、B相互独立），通过具体问题让学生体会这一条件的重要性。
反馈作业情况：及时批改作业，提供个性化反馈，指导学生改进。
-学生活动：
完成作业：学生认真完成作业，巩固所学知识。
拓展学习：利用教师推荐的资源，进行自我学习和探索。
反思总结：学生对学习过程进行自我反思，提出改进建议。
-教学方法/手段/资源：
自主学习法：鼓励学生在课后进行自我学习和探索。
反思总结法：引导学生通过反思，促进自我提升。
4.探究题：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
答案：取出的两个球颜色相同的概率为P(两个红球) + P(两个蓝球) = (C(5,2) / C(10,2)) + (C(5,2) / C(10,2)) = 2 * (C(5,2) / C(10,2)) = 2 * (5 * 4 / (2 * 1)) / (10 * 9 / (2 * 1)) = 2/9 ≈ 0.2222，即22.22%。
2021新教材高中数学第10章概率 教学用书教案新人教A版必修第二册
第十章概率10.1 随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解样本点和有限样本空间的含义.(数学抽象)2．理解随机事件与样本点的关系.(逻辑推理)1．类比集合的有关概念来认识样本空间. 2．类比集合与集合之间的关系来认识随机事件.必备知识·探新知知识点1随机试验及样本空间1．随机试验的概念和特点(1)随机试验：我们把对__随机现象__的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示.(2)随机试验的特点：①试验可以在相同条件下__重复__进行；②试验的所有可能结果是__明确可知__的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2．样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的__每个可能的基本结果__称为样本点用__w__表示样本点样本空间全体__样本点__的集合称为试验E的样本空间用__Ω__表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，w n，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，w n}为有限样本空间Ω＝{w1，w2，…，w n}知识点2三种事件的定义随机事件我们将样本空间Ω的__子集__称为随机事件，简称事件，并把只包含__一个__样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了__所有的__样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件[知识解读]1．随机试验的三个特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2．关于样本点和样本空间(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.3．事件与基本事件(1)随机事件是样本空间的子集.随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件.(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形.关键能力·攻重难题型探究题型一事件类型的判断典例1在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾；(6)同性电荷相互排斥.[分析]依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生.[解析]结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知.(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件.(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.(5)在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件.(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件.[归纳提升]判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).【对点练习】❶指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标.[解析](1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件.(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件.(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件.题型二确定试验的样本空间典例2下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素.[解析](1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}.(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.[归纳提升]不重不漏地列举试验的所有样本点的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.【对点练习】❷袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间.(1)从中任取1球；(2)从中任取2球.[解析](1)条件为：从袋中任取1球.样本空间为{红，白，黄，黑}.(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}.题型三随机事件的表示典例3一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.(1)一共有多少个样本点？(2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示.[解析](1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球].(2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}.[归纳提升]1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错.【对点练习】❸做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：(1)这个试验的样本空间；(2)这个试验的结果的个数；(3)指出事件A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含义；(4)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示.[解析](1)这个试验的样本空间Ω为{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.(2)这个试验的结果的个数为36．(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7．(4)记B＝“点数之和大于8”，则B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.易错警示忽视试验结果与顺序的关系而致误典例4已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标.(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件的总数.[错解](1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}.(2)这个试验的基本事件的总数是6．[错因分析]题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3).[正解](1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}.(2)这个试验的基本事件的总数是12．【对点练习】❹同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(D)A．3B．4C．5D．6[解析](1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点.10.1.2 事件的关系和运算素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解事件的关系与运算.(逻辑推理)2．理解互斥事件和对立事件的概念.(数学抽象)本部分内容要类比集合的关系和运算来理解事件的关系和运算.必备知识·探新知知识点1事件的运算定义表示法图示并事件__事件A与事件B至少有一个发生__，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)__A∪B__(或__A＋B__)交事件__事件A与事件B同时发生__，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)__A∩B__(或__AB__)知识点2事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B__一定发生__，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)__B⊇A__(或__A⊆B__)互斥事件如果事件A与事件B__不能同时发生__，称事件A与事件B互斥(且互不相容)若__A∩B＝∅__，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中__有且仅有一个发生__，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A－若__A∩B＝∅__，且A∪B＝Ω，则A与B对立(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个.(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.关键能力·攻重难题型探究题型一互斥事件、对立事件的判定典例1(1)(2020·河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(A)A．两次都中靶B．至少有一次中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶(2)(2020·湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(D)A．恰有一次击中B．三次都没击中C．三次都击中D．至多击中一次[解析](1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.[归纳提升]判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.【对点练习】❶有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(A) A．互斥但非对立事件B．对立事件C．非互斥事件D．以上都不对[解析]由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.题型二事件的运算典例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.[解析](1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1．(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G ＝C1＋C3＋C5．[归纳提升]事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.【对点练习】❷盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E 是什么运算关系？C与F的交事件是什么？[解析](1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.题型三用集合运算表示随机事件典例3设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.[解析](1)ABC(2)A∪B∪C(3)A B－C－(4)AB C－(5)(A∪B)C－(6)AB C－∪A B－C∪A－BC[归纳提升]利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题.【对点练习】❸从某大学数学系图书室中任选一本书.设A表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选一本书，这本书为2000年后出版的书”.问：(1)AB C－表示什么事件？(2)在什么条件下有ABC＝A?(3)C－⊆B表示什么意思？[解析](1)AB C－表示事件“任选一本书，这本书为2000年或2000年前出版的中文版的数学书”.(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A.(3)C－⊆B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的.易错警示不能正确区分对立事件和互斥事件致错典例4进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：(1)“出现1点”与“出现2点”；(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”.其中是对立事件的组数是(B)A．0B．1C．2D．3[错解]C[错因分析]错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事件，所以也不是对立事件.[正解]B[误区警示]对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件.忽略互斥事件与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻.判断两个事件是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一个必然发生.【对点练习】❹(2020·广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事件的是(A)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”[解析]根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B，C，D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.10.1.3 古典概型素养目标·定方向素养目标学法指导1．古典概型的计算方法.(数学抽象)2．运用古典概型计算概率.(数学运算) 3．在实际问题中建立古典概型模型.(数学建模)1．明确古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题.2．注意区分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数不变)与无放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数减少).必备知识·探新知知识点1随机事件的概率对随机事件发生__可能性大小__的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用__P(A)__表示.知识点2古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有__有限个__；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性__相等__.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为__古典概率__模型，简称__古典概型__.知识点3古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝__kn__＝__n(A)n(Ω)__.[知识解读](1)随机试验E中的样本点①任何两个样本点都是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和.(2)求解古典概型问题的一般思路①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.关键能力·攻重难题型探究题型一古典概型的判断典例1下列试验是古典概型的是__①②④__.①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中可能性大小相等；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.[分析]紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断.[解析]①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.[归纳提升]判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性.【对点练习】❶下列是古典概型的是(C)A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将去除的正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止[解析]A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会无限个，故D不是.题型二古典概型的概率计算典例2甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.[分析](1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解.(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件.[解析] (1)甲校2名男教师分别用A ，B 表示，1名女教师用C 表示；乙校1名男教师用D 表示，2名女教师分别用E ，F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种.从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49. (2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种.从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种，所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P ＝615＝25. [归纳提升] 1．对于古典概型，任何事件A 的概率为：P (A )＝A 包含的基本事件的个数m 基本事件的总数n. 2．求古典概型概率的步骤为：(1)判断是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n ；(3)算出事件A 中包含的基本事件个数m ；(4)算出事件A 的概率，即P (A )＝m n. 在运用公式计算时，关键在于求出m 、n .在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错.3．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可.【对点练习】❷ 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.[解析] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有： {(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)}，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：{(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)}，共3个，则所求事件的概率为p ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：{(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)}，共9个.包括A 1但不包括B 1的事件所包含的样本点有：{(A 1，B 2)，(A 1，B 3)}，共2个，则所求事件的概率为p ＝29. 题型三 较复杂的古典概型的概率计算典例3 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，则奖励玩具一个；②若xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.[解析] 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应.因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16．(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1).所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C .则事件B 包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P (B )＝616＝38. 事件C 包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P (C )＝516， 因为38>516， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.[归纳提升] 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.【对点练习】❸ 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i ，j )分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.[解析] (1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4), (3,4′), (4,2), (4,3), (4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12．(2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5种，甲胜的概率为P 1＝512，乙胜的概率为P 2＝712，因为512<712，所以此游戏不公平.易错警示对“有序”与“无序”判断不准而致错典例4 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题.求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率.[错解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，且甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有10个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为610＝35. [错因分析] 错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件总数应为20．[正解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，而甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为620＝310.。
高中数学第10章概率10.1.2事件的关系和运算学案含解析第二册
10.1.2 事件的关系和运算学习目标核心素养1。
了解随机事件的并、交与互斥的含义．(重点)2．能结合实例进行随机事件的并、交运算．(重点、难点）1.通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习,培养数学抽象素养．2．通过随机事件的并、交运算，培养数学运算素养。
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点};C2＝{出现2点}；C3＝｛出现3点｝；C4＝｛出现4点｝;C5＝{出现5点｝；C6＝｛出现6点｝；D1＝｛出现的点数不大于1｝;D2＝{出现的点数不大于3｝；D3＝{出现的点数不大于5｝;E＝｛出现的点数小于5｝，F＝｛出现的点数大于4}，G＝{出现的点数为偶数),H＝{出现的点数为奇数｝．问题：在上述事件中,（1）事件C1与事件C2的并事件是什么？（2）事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？(3）事件C1与事件C2间有什么关系？(4）事件E与事件F间有什么关系？1．包含关系定义一般地,若事件A发生,则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B）含义A发生导致B发生符号表示B⊇A(或A⊆B)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等,记作A＝B2。
并事件（和事件）定义一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）含义A与B至少一个发生符号表示A∪B(或A＋B）图形表示3.交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件)含义A与B同时发生符号表示A∩B（或AB)图形表示4。
互斥（互不相容)定义一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B＝∅图形表示5。
新教材高中数学第10章概率10.1.2事件的关系和运算学案含解析新人教A版必修第二册
10.1.2 事务的干系和运算学习目标核心素养1.相识随机事务的并、交与互斥的寄义．(要点)2．能联合实例举行随机事务的并、走运算．(要点、难点)1.经过对随机事务的并、交与互斥的寄义的进修 , 造就数学抽象素质．2．经过随机事务的并、走运算 , 造就数学运算素质.在掷骰子实验中 , 界说以下事务 : C1＝{泛起1点} ; C2＝{泛起2点} ; C3＝{泛起3点} ; C4＝{泛起4点} ; C5＝{泛起5点} ; C6＝{泛起6点} ; D1＝{泛起的点数不大于1} ; D2＝{泛起的点数不大于3} ; D3＝{泛起的点数不大于5} ; E＝{泛起的点数小于5} , F＝{泛起的点数大于4} , G＝{泛起的点数为偶数) , H＝{泛起的点数为奇数}．题目 : 在上述事务中 , (1)事务C1与事务C2的并事务是什么？(2)事务D2与事务G及事务C2间有什么干系？(3)事务C1与事务C2间有什么干系？(4)事务E与事务F间有什么干系？1．包罗干系界说一样平常地 , 假设事务A产生 , 那么事务B必然产生 , 我们就称事务B包罗事务A(或事务A包罗于事务B)寄义A产生导致B产生标记表现B⊇A(或A⊆B)图形表现非凡景象假设是事务B包罗事务A , 事务A也包罗事务B , 即B⊇A且A⊇B , 那么称事务A与事务B相称 , 记作A＝B2.并事务(和事务)界说一样平常地 , 事务A与事务B至少有一个产生 , 如许的一个事务中的样本点大概在事务A中 , 大概在事务B中 , 我们称这个事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)寄义A与B至少一个产生标记表现A ∪B(或A＋B) 图形表现3.交事务(积事务)界说一样平常地 , 事务A与事务B同时产生 , 如许的一个事务中的样本点既在事务A中 , 也在事务B中 , 我们称如许的一个事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)寄义A与B同时产生标记表现A∩B(或AB)图形表现4.互斥(互不相容)界说一样平常地 , 假设是事务A与事务B不可以同时产生 , 也就是说A∩B是一个不行能事务 , 即A∩B＝∅ , 那么称事务A与事务B互斥(或互不相容)寄义A与B不可以同时产生标记表现A∩B＝∅图形表现5.互为对立界说一样平常地 , 假设是事务A与事务B在任何一次实验中有且仅有一个产生 , 即A∪B＝Ω , 且A∩B＝∅ , 那么称事务A与事务B互为对立．事务A的对立事务记为A－寄义A与B有且仅有一个产生标记表现A∩B＝∅ , A∪B＝Ω图形表现思索1 : 一粒骰子掷一次 , 记事务A＝{泛起的点数为2} , 事务C＝{泛起的点数为偶数} , 事务D＝{泛起的点数小于3} , 那么事务A , C , D有什么干系？[提醒] A＝C∩D．思索2 : 命题〞事务A与B为互斥事务〞与命题〞事务A与B为对立事务〞什么干系？(指充实性与须要性)[提醒] 凭据互斥事务和对立事务的观点可知 , 〞事务A与B为互斥事务〞是〞事务A与B为对立事务〞的须要不充实前提．1．思索辨析(准确的画〞√〞 , 错误的画〞×〞)(1)假设两个事务是互斥事务 , 那么这两个事务是对立事务．( )(2)假设事务A和B是互斥事务 , 那么A∩B是不行能事务．( )(3)事务A∪B是必然事务 , 那么事务A和B是对立事务．( )[提醒] (1) 错误．对立事务是互斥事务 , 但互斥事务纷歧定是对立事务．(2)准确．由于事务A和B是互斥事务 , 以是A∩B为空集 , 以是A∩B是不行能事务．(3) 错误．反例 : 抛掷一枚骰子 , 事务A为 : 向上的点数小于5 , 事务B为 : 向上的点数大于2 , 那么事务A∪B是必然事务 , 但事务A和B不是对立事务．[谜底] (1)×(2)√(3)×2．许洋说 : 〞本周我至少做完3套练习题．〞设许洋所说的事务为A , 那么A的对立事务为( )A．至多做完3套练习题B．至多做完2套练习题C．至多做完4套练习题D．至少做完3套练习题B[至少做完3套练习题包罗做完3,4,5,6…套练习题 , 故它的对立事务为做完0,1,2套练习题 , 即至多做完2套练习题．]3．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球 , 那么互斥而差池立的两个事务是( )A．〞至少有一个黑球〞与〞都是黑球〞B．〞至少有一个黑球〞与〞至少有一个红球〞C．〞恰有一个黑球〞与〞恰有两个黑球〞D．〞至少有一个黑球〞与〞都是红球〞C[A中的两个事务能同时产生 , 故不互斥 ; 相同 , B中两个事务也可同时产生 , 故不互斥 ; D中两个事务是对立的 , 应选C．]4．抛掷一枚骰子 , 〞向上的点数是1或2”为事务A , 〞向上的点数是2或3”为事务B , 那么( )A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表现向上的点数是1或2或3D．A∩B表现向上的点数是1或2或3C[设A＝{1,2} , B＝{2,3} , A∩B＝{2} , A∪B＝{1,2,3} , ∴A∪B表现向上的点数为1或2或3.]事务干系的判定【例1】从一堆产物(个中正品与次品都多于2件)中任取2件 , 视察正品件数与次品件数 , 判定以下每对事务能否是互斥事务 , 假设是是 , 再判定它们能否是对立事务．①〞恰恰有1件次品〞和〞恰恰有2件次品〞 ;②〞至少有1件次品〞和〞满是次品〞 ;③〞至少有1件正品〞和〞至少有1件次品〞．[解] 依据互斥事务的界说 , 即事务A与事务B在一次实验中不会同时产生可知 :①中恰恰有1件次品和恰恰有2件次品不行能同时产生 , 因此它们是互斥事务 , 又由于它们的和事务不是必然事务 , 以是它们不是对立事务 ;同理可以判定 :②中的2个事务不是互斥事务 , 从而也不是对立事务 ;③中的2个事务不是互斥事务 , 从而也不是对立事务．判定事务间干系的要领1要思量实验的前提前提 , 不管是包罗、相称 , 照旧互斥、对立 , 其产生的前提都是一样的.2思量事务间的效果能否有交事务 , 可思量使用Venn图剖析 , 对较难判定干系的 , 也可列出全部效果 , 再举行剖析.[跟进练习]从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其余均相似)的口袋中任取2个球 , 用荟萃的情势划分写出以下事务 , 并判定每对事务的干系 :(1)至少有1个白球 , 都是白球 ;(2)至少有1个白球 , 至少有1个红球 ;(3)至少有1个白球 , 都是红球．[解] 给两个红球编号为1,2 , 给两个白球编号为3,4 , 从口袋中任取两个球 , 用(x , y)表现拿出的两个球 , 那么实验的样本空间为Ω＝{(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)} , 设A＝〞至少有1个白球〞 , 那么A＝{(1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)}．(1)设B＝〞都是白球〞 , B＝{(3,4)} , 以是B⊆A．即A和B不是互斥事务．(2)设C＝〞至少有一个红球〞 ,那么C＝{(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4)} ,由于A∩C＝{(1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4)} ,以是A和C不互斥．(3)设D＝〞都是红球〞 , 那么D＝{(1,2)} ,由于A∪D＝Ω , A∩D＝∅ , 以是A和D为对立事务．事务的运算[探讨题目]1．事务A与事务B的并事务(或和事务)的样本点是怎样组成的？[提醒] 事务A与事务B的并事务(或和事务)的样本点是由在事务A中 , 大概在事务B中的样本点组成的．2．事务A与事务B的交事务(或积事务)的样本点是怎样组成的？[提醒] 事务A与事务B的交事务(或积事务)的样本点是由既在事务A中 , 也在事务B中的样本点组成的．3．〞事务B包罗事务A〞〞事务A与事务B的并事务〞〞事务A与事务B的交事务〞划分对应荟萃中的哪些干系或运算？[提醒] 〞事务B包罗事务A〞对应于荟萃A是荟萃B的子集 ; 〞事务A与事务B的并事务〞对应荟萃A和荟萃B的并集 , 〞事务A与事务B的交事务〞对应荟萃A与荟萃B 的交集．【例2】在抛掷骰子实验中 , 凭据向上的点数可以界说很多事务 , 如 : A＝{泛起1点} , B＝{泛起3点或4点} , C＝{泛起的点数是奇数} , D＝{泛起的点数是偶数}．(1)申明以上4个事务的干系 ;(2)求A∩B , A∪B , A∪D , B∩D , B∪C．[思绪探讨] (1)剖析事务所包罗的样本点→判定事务间的干系(2)样本点表现各事务→举行事务的运算[解] 在抛掷骰子的实验中 , 凭据向上泛起的点数有6种根本领件 , 记作A i＝{泛起的点数为i}(个中i＝1,2 , … , 6)．那么A＝A1 , B＝A3∪A4 , C＝A1∪A3∪A5 , D＝A2∪A4∪A6.(1)事务A与事务B互斥 , 但差池立 , 事务A包罗于事务C ; 事务A与D互斥 , 但差池立 ; 事务B与C不是互斥事务 , 事务B与D也不是互斥事务 ; 事务C与D是互斥事务 , 也是对立事务．(2)A∩B＝∅ , A∪B＝A1∪A3∪A4＝{泛起点数1,3或4} ,A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{泛起点数1,2,4或6}．B∩D＝A4＝{泛起点数4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{泛起点数1,3,4或5}．1．在例2的前提下 , 求A∩C , A∪C , B∩C．[解] A∩C＝A＝{泛起1点} , A∪C＝C＝{泛起点数1,3或5} ,B∩C＝A3＝{泛起点数3}．2．用事务A i＝{泛起的点数为i}(个中i＝1,2 , … , 6)表现以下事务 :①B∪D; ②C∪D．[解] B∪D＝{泛起点数2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.C∪D＝{泛起点数1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.事务间的运算要领(1)使用事务间运算的界说．列出统一前提下的实验全部大概泛起的效果 , 剖析并使用这些效果举行事务间的运算．(2)使用Venn图．借助荟萃间运算的思想 , 剖析统一前提下的实验全部大概泛起的效果 , 把这些效果在图中列出 , 举行运算．一、知识点比背互斥事务和对立事务都是针对两个事务而言的 , 它们之间既有差别 , 又有接洽．在一次实验中 , 两个互斥事务有大概都不产生 , 也大概只有一个产生 , 但不行能两个都产生 ; 而对立事务必有一个产生 , 可是不行能两个事务同时产生 , 也不行能都不产生．以是两个事务互斥 , 它们未必对立 ; 但两个事务对立 , 它们必然互斥．二、要领比背举行事务间干系的判定或运算 , 可借助于图形．1．从1,2 , … , 9中任取两数 , 个中: ①恰有一个偶数和恰有一个奇数; ②至少有一个奇数和两个数都是奇数; ③至少有一个奇数和两个数都是偶数; ④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事务中 , 是对立事务的是( )A．①B．②④C．③D．①③C[从1,2 , … , 9中任取两数 , 包罗一奇一偶、两奇、两偶 , 共三种互斥事务 ,以是只有③中的两个事务才是对立事务．]2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4小我私家 , 每人分得1张 , 事务〞甲分得红牌〞与事务〞乙分得红牌〞是( )A．对立事务B．互斥但差池立事务C．不行能事务D．以上说法都差池B[由于只有1张红牌 , 以是这两个事务不行能同时产生 , 以是它们是互斥事务 ; 但这两个事务加起来并不是总体事务 , 以是它们不是对立事务．]3．袋中装有9个白球 , 2个红球 , 从中任取3个球 , 那么: ①恰有1个红球和满是白球; ②至少有1个红球和满是白球; ③至少有1个红球和至少有2个白球; ④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事务中 , 是对立事务的为________．②[①是互斥差池立的事务, ②是对立事务, ③④不是互斥事务．]4．盒子里有6个红球 , 4个白球 , 现从中任取3个球 , 设事务A＝{3个球中有1个红球 , 2个白球} , 事务B＝{3个球中有2个红球 , 1个白球} , 事务C＝{3个球中至少有1个红球} , 事务D＝{3个球中既有红球又有白球}．那么 :(1)事务D与事务A , B是什么样的运算干系？(2)事务C与事务A的交事务是什么事务？[解] (1)对付事务D , 大概的效果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球 , 故D＝A∪B．(2)对付事务C , 大概的效果为1个红球和2个白球 , 2个红球和1个白球或3个红球 ,故C∩A＝A．。
2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率3教案新人教A版必修第二册
10.1.4 概率的基本性质本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.1.4 概率的基本性质》，本节课主要从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值X围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之家的关系等等，注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
1.教学重点：掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件.2.教学难点：理解两个事件互斥、互为对立的含义.多媒体(1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.(2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.(3)对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),当A∩B=Φ时,就是性质3.例2.从不包含大小王牌的52X扑克牌中随机抽取一X，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么通过实例分析，让学生掌握概率性质，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
加法公式，可得P(A)=P(A 1A 2)+P(A 12)+P( 1A 2).我们借助树状图来求相应事件的样本点数.可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30,且每个样本点都是等可能的.因为n(A 1A 2)=2,n(A 12)=8,n( 1A 2)=8,所以288183()303030305P A =++==法2:注意到事件A 的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于 =“两罐都不中奖”，而 n( )=4×3=12,所以12122()305P A A == 12A A 12A A A A四、小结1.概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).2.在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P(A)来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.本节课主要学习概率的基本性质，注意运用集合运算的观点分析学习。
10.1.2 事件的关系和运算-(新教材)2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第
10.1.2 事件的关系和运算-(新教材)2020-2 021学 年人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件【精 品】
思路点拨 根据互斥事件和对立事件的含义进行判断. 解析 由题意得,事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可 能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是 互斥事件,故A,C不正确;事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G是对立 事件,所以B不正确,D正确.故选D. 答案 D
10.1.2 事件的关系和运算-(新教材)2020-2 021学 年人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件【精 品】
1.“抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件?是不是对 立事件? 提示:“抽出代表夏季的牌”与“抽出代表秋季的牌”,即“抽出红桃”与“抽 出梅花”,这是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一 个发生,这是由于还可能抽出“黑桃”或者“方块”,因此,二者不是对立事件. 2.“抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件?是不是对 立事件? 提示:“抽出代表白昼的牌”与“抽出代表黑夜的牌”,即“抽出红色牌”与 “抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们是 互斥事件,也是对立事件.
思路点拨 先列举出事件A,B的样本点,再利用事件间运算的定义求解.
10.1.2 事件的关系和运算-(新教材)2020-2 021学 年人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件【精 品】
10.1.2 事件的关系和运算-(新教材)2020-2 021学 年人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件【精 品】
2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10.1.2事件的关系和运算同步课件新人教A版必修第二
A.A⊆B
B.A⊇B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
【解析】选C.由互斥事件的定义可知C正确.
谢谢观看！
4.(教材二次开发:练习改编)甲、乙两人下象棋,事件“甲获胜”的对立事件
为
.
【解析】事件“甲获胜”的对立面为“两人下成和棋”或“乙获胜”,即“乙不
输”.
答案:乙不输
【解题策略】 包含关系、相等关系的判定
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似. (2)两事件相等的实质为相同事件,即同时发生或同时不发生.
【跟踪训练】
同时掷两枚硬币,向上面都是正面为事件A,向上面至少有一枚是正面为事件B,
则有( )
A.A⊆B
B.A⊇B
C.A=B
D.A与B之间没有关系
【解析】选A.由事件的包含关系知A⊆B.
为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,
事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互斥事件;如果是,再判
断它们是不是对立事件:
(1)A与C;
(2)B与E;
(3)B与D;
(4)B与C;
(5)C与E.
【思路导引】
【变式探究】 本例中事件C与D是互斥事件吗?为什么? 【解析】事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订 甲报”“只订乙报”,事件D为“不订甲报”,即“只订乙报”或者“一种报纸也 不订”,故C与D可能同时发生,不是互斥事件.
【思考】 (1)一枚骰子掷一次,记事件A={出现的点数为2},事件C={出现的点数为偶数}, 事件D={出现的点数小于3},则事件A,C,D有什么关系? 提示:A=C∩D,(A∩C)⊆D等. (2)互斥事件与对立事件有何联系? 提示:对立事件是互斥事件的特例,对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定 是对立事件.
10.1.2事件的关系和运算--高一数学同步教材精品课件(人教A版必修第二册)
Ci=“点数为i ”，i=1，2，3，4，5，6；
D1=“点数不大于3”；
D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”;
E2=“点数为2或3”;
F=“点数为偶数”；
G=“点数为奇数”；
.....
你能用集合的情势表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件
之间的联系吗？
概念讲授
思考1：用集合的情势表示事件C1=“点数为1 ”和事件G=“点数为奇数”，借助
或失效。设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”。
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的情势表示事件A，B以及它们的对峙事件；
（3）用集合的情势表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系。
典例分析
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（x1,x2)表示这个并联电路
A∩B=∅
我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）
（如下图所示）
A
B
概念讲授
思考5：用集合的情势表示事件F=“点数为偶数”和事件G=“点数为奇数”，借助集合
与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系。
在任何一次实验中，事件F与事件G两者只能产生其中之一，而且也必然产
生其中之一。
用集合可以表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，
集合与集合的关系和运算，发现这两个事件之间的联系
用集合的情势表示：事件C1={1}和事件G={1，3，5}
显然，如果事件C1产生，那么事件G一定产生。
用集合表示就是
也就是说，事件G包含事件C1.事件B一定产生，我们就称事件B包含事件A（或事
2020-2021学年新教材高中数学 第十章 概率 10.1.2 事件的关系和运算素养课件 新人教
关
斥
系
对立 事件
若为A_必∩ __然B_为_事___件不____可_,_那能__么事__称件__事,A件∪AB 与事件B互为对立事件,事件 A的对立事件记作
若 _A_∩__B_=_⌀_, 且A∪B=Ω,则 A与B对立
2.事件的并、交运算
定义
表示法
并事 事件 件 的 运 算 交事
件
一般地,事件A与事件B至少有一个
【思维导引】(1)紧扣互斥事件与对立事件的定义判断. (2)注意到试验由两次射击组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点. 【解析】(1)从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女 生,1男1女. ①“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事 件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它021学年新教材高中数学 第十章 概率 10.1.2 事件的关系和运算素养课件 新人教A版必修第 二册-2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10.1.2事件的关系和运算素养课件新人教A版必修第
二册
10.1.2 事件的关系和运算
必备知识生成
【情境探究】 1.篮球比赛是青少年朋友们最喜欢的运动项目之一,在紧张激烈的比赛中,跑 步上篮,一个漂亮的投篮动作,往往赢得满场喝彩.但是,要使投篮连投连中却 是很不容易的,你知道为什么吗? 2.事件A∪B中的基本事件与事件A、B中的基本事件有什么关系?
2020-2021学年新教材高中数学 第十章 概率 10.1.2 事件的关系和运算素养课件 新人教A版必修第二册-2020_2021学年新 教系同看学看材和们远高运，处中 算下，课要数素休保学养息护第课十好分眼十件一钟睛下章新。哦眼概人现~睛站在率教，起是1A来休0版动息.1必一.时2动事间修，，件第久你的坐二们对休关册身息
2021年新教材高中数学第十章概率10.2事件的相互独立性学案新人教A版必修第二册75
10.2 事件的相互独立性[目标] 1.理解相互独立事件的定义及意义；2.理解概率的乘法公式． [重点] 掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题． [难点] 理解相互独立事件的定义及意义．要点整合夯基础知识点 事件的相互独立性[填一填]1．定义对于任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．2．性质当事件A ，B 相互独立时，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． 3．n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．4．n 个相互独立事件的概率公式如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩…∩A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )，并且上式中任意多个事件A i 换成其对立事件后等式仍成立．[答一答]甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23.以上正确说法的序号是②④.解析：①错误，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13；②正确，目标恰好被命中两次的概率为12×13；目标被命中的概率为1－12×23，所以③错误，④正确.典例讲练破题型类型一 相互独立事件的判断[例1] 判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[分析] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ＝“出现偶数点”，B ＝“出现3点或6点”，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (A ∩B )＝16.∴P (A ∩B )＝P (A )P (B )，∴事件A 与B 相互独立．判断事件是否相互独立的方法1.定义法：事件A ，B 相互独立⇔P (A ∩B )＝P (A )·P (B ).2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.[变式训练1] (1)一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记A 1＝“第一次摸得白球”，A 2＝“第二次摸得白球”，则事件A 1与A 2是( A )A ．相互独立事件B ．对立事件C ．互斥事件D ．无法判断(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ＝“甲击中目标”，事件B ＝“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( A )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥解析：(1)由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，对下次摸球结果没有影响，故事件A 1，A 2是相互独立事件．(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．故选A. 类型二 相互独立事件发生的概率[例2] 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误的概率是112，乙、丙两人都回答正确的概率是14.设每人回答问题正确与否相互独立的．(1)求乙答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．[分析] (1)设乙答对这道题的概率为x ，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；(2)设丙答对这道题的概率y ，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案．[解] (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A ，B ，C ， 设乙答对这道题的概率P (B )＝x ，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A ，B ，C 是相互独立事件． 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P (A B )＝P (A )P (B )＝⎝⎛⎭⎫1－34×(1－x )＝112，解得x ＝23， 所以，乙对这道题的概率为P (B )＝23.(2)设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件M ，丙答对这道题的概率P (C )＝y .由(1)，并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得P (BC )＝P (B )P (C )＝23×y ＝14，解得y ＝38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝⎛⎭⎫1－34⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－38＝596.因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为P (M )＝1－596＝9196.1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积.2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.[变式训练2] (1)一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( B )A.164 B.5564 C.18D.116(2)明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是0.98.解析：(1)设T ＝“A 与B 中至少有一个不闭合”，R ＝“E 与F 至少有一个不闭合”，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率为P ＝1－P (T )P (R )P (C )P (D )＝1－34×34×12×12＝5564，故选B. (2)设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，则P (A )＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.课堂达标练经典1．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次．记事件A ＝“第一个四面体向下的一面出现偶数”；事件B ＝“第二个四面体向下的一面出现奇数”；C ＝“两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数”．给出下列说法：①P (A )＝P (B )＝P (C )；②P (AB )＝P (AC )＝P (BC )；③P (ABC )＝18；④P (A )P (B )P (C )＝18.其中正确的有( D )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 解析：P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝12，故①④对．P (AB )＝12×12＝14，P (AC )＝12×12＝14，P (BC )＝12×12＝14，故②对．事件A ，B ，C 不可能同时发生，P (ABC )＝0，故③错．故选D.2．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( B )A ．0.42B ．0.12C ．0.18D ．0.28解析：所求概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故选B.3．某同学从家到学校要经过两个十字路口．设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概率为23，两个路口都遇到红灯的概率为25，则他在第二个路口遇到红灯的概率为( C )A.110B.25C.35D.910解析：记事件A 为“在第一个路口遇到红灯”，事件B 为“在第二个路口遇到红灯”，由于两个事件相互独立，所以P (A )P (B )＝P (AB )，所以P (B )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.4．设M ，N 为两个随机事件，给出以下命题：(1)若M ，N 为互斥事件，且P (M )＝15，P (N )＝14，则P (M ∪N )＝920；(2)若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16，则M ，N 为相互独立事件；(3)若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16，则M ，N 为相互独立事件；(4)若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16，则M ，N 为相互独立事件；(5)若P (M )＝12，P (N )＝13，P (M N )＝56，则M ，N 为相互独立事件．其中正确命题的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若M ，N 为互斥事件，且P (M )＝15，P (N )＝14，则P (M ∪N )＝15＋14＝920，故(1)正确；若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16.则由相互独立事件乘法公式知M ，N 为相互独立事件，故(2)正确； 若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16，则P (M )＝1－P (M )＝12，P (MN )＝P (M )·P (N )．由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M ，N 为相互独立事件，故(3)正确； 若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16，当M ，N 为相互独立事件时，P (N )＝1－P (N )＝23，P (MN )＝12×23＝13，故(4)错误；若P (M )＝12，P (N )＝13，P (M N )＝56，则P (M )＝12，P (N )＝23，P (M N )≠P (M )·P (N )．由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M ，N 为相互独立事件，故(5)错误．故选C.5．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如下表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.甲 乙 丙 丁 甲 — 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 — 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 — 0.5 丁0.20.60.5—A ．0.15B ．0.105C ．0.045D ．0.21解析：甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件的概率等于概率之积，所以，甲得冠军且丙得亚军的概率：0.3×0.5×0.3＝0.045.故选C.——本课须掌握的问题。
2021新教材高中数学第十章10.1.2事件的关系和运算教学用书教案新人教A版必修第二册
题型探究
题型一 互斥事件、对立事件的判定
典例1(1)(2020·河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(A)
A．两次都中靶B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶D．只有一次中靶
(2)(2020·湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(D)
10.1.2 事件的关系和运算
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解事件的关系与运算.(逻辑推理)
2．理解互斥事件和对立事件的概念.(数学抽象)
本部分内容要类比集合的关系和运算来理解事件的关系和运算.
必备知识·探新知
知识点1事件的运算
定义
表示法
图示
并事件
__事件A与事件B至少有一个发生__，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
[解析](1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．
A．互斥但非对立事件B．对立事件
C．非互斥事件D．以上都不对
[解析]由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
题型二 事件的运算
典例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
高中数学必修二 10 1 2 事件的关系和运算 导学案新
【新教材】10.1.2 事件的关系和运算（人教A 版）1．理解并掌握时间的关系和运算．2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．1.数学抽象：事件的关系和运算．重点：事件运算关系的实际含义． 难点：事件运算关系的应用.一、 预习导入阅读课本229-232页，填写。
1.事件的关系与运算探究1 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？(2)互斥事件和对立事件的关系是怎样的？探究2 从运算的含义总结事件的关系或运算？1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是() A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．不互斥、不对立2．打靶3次，事件i A =“击中i 发”，其中0,1,2,3i =.那么123A A A A =表示（ ）A ．全部击中B ．至少击中1发C ．至少击中2发D ．全部未击中3．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中错误的是( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥 C ．任何两个都互斥D ．任何两个都不互斥4．某人打靶两次，事件A 为只有一次中靶，事件B 为二次中靶，则A ＋B ________.题型一 事件关系的判断例1 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件1R =“第一次摸到红球”，2R =“第二次摸到红球”，R =“两次都摸到红球”，G =“两次都摸到绿球”，M =“两个球颜色相同”，N =“两个球颜色不同”. （1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； （2）事件R 与1R ，R 与G ，M 与N 之间各有什么关系？（3）事件R 与事件G 的并事件与事件M 有什么关系？事件1R 与事件2R 的交事件与事件R 有什么关系？ 跟踪训练一1. 判断下列各事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．题型二事件的运算例2如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系．跟踪训练二1. 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B ＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？1．事件M⊆N，当N发生时，下列必发生的是()A．M B．M∩NC．M∪N D．M的对立事件2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机)，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是() A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D3．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中命题正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．34．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件A为点数不小于4，事件B为点数不大于4，则A∩B＝________. 5．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．答案小试牛刀 1. C 2．B. 3．D.4. 至少一次中靶 自主探究例1 【答案】（1）详见解析（2）事件1R 包含事件R ；事件R 与事件G 互斥；事件M 与事件N 互为对立事件（3）事件M 是事件R 与事件G 的并事件；事件R 是事件1R 与事件2R 的交事件. 【解析】（1）所有的试验结果如图所示,用数组()12,x x 表示可能的结果,1x 是第一次摸到的球的标号,2x 是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=事件1R =“第一次摸到红球”,即11x =或2,于是()()()()()(){}11,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4R =；事件2R =“第二次摸到红球”,即21x =或2,于是()()()()()(){}22,1,3,1,4,1,1,2,3,2,4,2R =.同理,有()(){}1,2,2,1R =,()(){}3,4,4,3G =,()()()(){}1,2,2,1,3,4,4,3M =,()()()()()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2N =.（2）因为1R R ⊆,所以事件1R 包含事件R ； 因为R G =∅,所以事件R 与事件G 互斥；因为MN =Ω,M N ⋂=∅,所以事件M 与事件N 互为对立事件.（3）因为R G M =,所以事件M 是事件R 与事件G 的并事件；因为12R R R =,所以事件R 是事件1R 与事件2R 的交事件.跟踪训练一1. 【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件．(2)不是互斥事件，也不是对立事件． (3)不是互斥事件，也不是对立事件．(4)是互斥事件，也是对立事件．理由见解析 【解析】 (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件，也是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．其并事件是必然事件，所以是对立事件．例2【答案】(1)样本空间为Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}．(2)A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}，A＝{(0,0)，(0,1)}，B＝{(0,0)，(1,0)}．(3)A∪B＝{(0,1)，(1,0)，(1,1)}，A∩B＝{(0,0)}；A∪B表示电路工作正常，A∩B表示电路工作不正常；A∪B和A∩B互为对立事件．【解析】(1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}．(2)根据题意，可得A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}，A＝{(0,0)，(0,1)}，B＝{(0,0)，(1,0)}．(3)A∪B＝{(0,1)，(1,0)，(1,1)}，A∩B＝{(0,0)}；A∪B表示电路工作正常，A∩B表示电路工作不正常；A∪B和A∩B互为对立事件．跟踪训练二1. 【答案】(1) D＝A∪B．(2)C∩A＝A．【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B．(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，所以A⊆C，故C∩A＝A．当堂检测1-3.CDB4.{4}5.【答案】（1）见解析；（2）事件D2，D3，E，F，G为和事件.【解析】(1)若事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.故事件D2，D3，E，F，G为和事件．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10．1.2 事件的关系和运算
[目标] 1.了解事件的关系与运算；2.理解互斥事件、对立事件的概念．[重点] 事件的关系、运算.
[难点] 事件关系的判定．
要点整合夯基础
知识点事件的关系与运算
[填一填]
[答一答]
1．下列说法正确吗？
(1)在掷骰子的试验中，{出现1点}⊆{出现的点数为奇数}；
(2)不可能事件记作∅，显然C⊇∅(C是任一事件)；
(3)事件A也包含于事件A，即A⊆A.
提示：(1)(2)(3)的说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系．
2．并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？
提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事件包含三种情况：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A，B同时发生，即事件A，B中至少有一个发生．
3．事件A与事件B互斥的含义是什么？
提示：事件A与事件B互斥的含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．
4．互斥事件与对立事件的关系是怎样的？
提示：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
典例讲练破题型
类型一事件关系的判断
[例1]从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各1张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
[分析]要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
[解](1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件、对立事件的判断方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．
(2)利用集合观点
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；
②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.
[变式训练1]从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(D)
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
解析：根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．
类型二事件的运算
[例2]掷一枚骰子，下列事件：
A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3倍数”．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记H为事件H的对立事件，求D，A C，B∪C，D＋E.
[分析]利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
[解](1)A∩B＝∅，BC＝{2}．
(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，
B＋C＝{1,2,4,6}．
(3)D＝{1,2}；A C＝BC＝{2}；
B∪C＝A∪C＝{1,2,3,5}；D＋E＝{1,2,4,5}．
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
[变式训练2]盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是(B) A．C＝(A∩B)∪E
B．C＝A∪B∪E
C．C＝(A∪B)∩E
D．C＝A∩B∩E
解析：由题意可知C＝A∪B∪E.
课堂达标练经典
1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(C)
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件．2．如果事件A，B互斥，那么(B)
A．A∪B是必然事件
B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件
C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件
D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件
解析：A与B有两种情况，一种是互斥不对立，另一种是A与B是对立事件，要分类讨论．
3．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是(C)
A．①B．②④
C．③D．①③
解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件“取出的是理科书”可记为B∪D ∪E.
解析：由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.
5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？
解：(1)用数组(a，b，c)表示可能的结果，a，b，c分别表示三个圆所涂的颜色，则试验的样本空间
Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
(2)A＝{(红，黄，蓝)}，B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}，C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}，D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．
(3)由(2)可知C⊆B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．
——本课须掌握的问题概率论与集合论之间的对应关系。