7.6平面向量的坐标与点的坐标关系
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则平面向量的坐标表示与运算平面向量是解析几何学中的重要概念，它可以通过坐标表示和进行各种运算。
本文将介绍平面向量的坐标表示及其运算法则。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数对（x, y）表示，其中x代表向量在x轴上的投影长度，y代表向量在y轴上的投影长度。
这个有序实数对称为向量的坐标表示。
例如，对于平面上的向量AB，若A点的坐标为（x₁, y₁），B点的坐标为（x₂, y₂），则向量AB的坐标表示为（x₂ - x₁, y₂ - y₁）。
二、平面向量的运算法则1. 加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点连线，新的向量就是连接相接点与连接终点的线段的向量。
对于向量AB和向量CD，它们的和向量为向量AC。
和向量的坐标表示为（x₂ - x₁ + x₄ - x₃, y₂ - y₁ + y₄ - y₃）。
2. 数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数乘改变了向量的大小，但不改变其方向。
对于向量AB和实数k，向量kAB的坐标表示为（k(x₂ - x₁), k(y₂- y₁)）。
3. 减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
对于向量AB和向量CD，它们的差向量为向量AD。
差向量的坐标表示为（x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃）。
4. 模长：向量的模长表示了向量的大小。
在平面直角坐标系中，向量（x, y）的模长表示为√(x² + y²)。
三、平面向量的运算实例例1：已知向量A(3, 4)，向量B(5, 2)，求向量A + 向量B 和向量A - 向量B的坐标表示。
解：向量A + 向量B的坐标表示为（3 + 5, 4 + 2），即(8, 6)。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解平面向量的基本定理及其意义； ● 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ● 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； ● 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．重点难点：● 重点：平面向量基本定理与平面向量的坐标运算．● 难点：平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性．学习策略：● 学习本节要复习向量加法的运算法则和向量共线的性质和判定定理；要特别注意区分起点在原点的向量、起点不在原点的向量、相等的向量的坐标表示，只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相同．二、学习与应用（一）向量的加（减）法运算运算法则： 形法则、 形法则．运算律：（1）交换律：a b += ；（2）结合律：()a b c ++= ． （二）共线向量基本定理非零向量a 与向量b 共线的充要条件是当且仅当 ，使 ．知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#254193“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
知识点一：平面向量基本定理如果12,e e是同一平面内两个的向量，那么对于这个平面内任一向量a，一对12,λλ，使a =，称为12,e e的线性组合．（1）其中12,e e叫做表示这一平面内所有向量的；（2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e的方向分解为两个向量的，并且这种分解是的．这说明如果1122a e eλλ=+且''1122a e eλλ=+，那么．（3）当基底12,e e是两个互相的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是对应的，在应用时，构成两个基底的向量是向量．知识点二：向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为坐标，即若A(x，y)，则OA--→=( ， )．要点诠释：当向量起点不在原点时，向量AB--→坐标为终点坐标起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB--→=( ， )．知识点三：平面向量的坐标运算OB OA-=(x，y)，则λ知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示设非零向量()()1122,,,a bx y x y==，则a→∥b→⇔(x1，y1)=λ(x2，y2)，即1..................1..................xy=⎧⎨=⎩，或 =0．要点诠释：若()()1122,,,a bx y x y==，则a→∥b→不能表示成1122x yx y=，因为分母有可能为．类型一：平面向量基本定理例1．P是△ABC内一点，且满足条件230APBPCP++=，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP p=，用p表示CQ．思路点拨：这里选取BQ，QP两不共线向量为基底，运用化归思想，最终变成12xe ye+=形式求解．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
平面向量的坐标和坐标变换公式
平面向量的坐标和坐标变换公式平面向量是二维空间中的量，它可以表示为一个有方向和大小的箭头。
在数学中，我们通常使用坐标来描述向量的位置和方向。
本文将介绍平面向量的坐标表示以及坐标变换公式。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用两个实数表示一个平面向量。
设向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量。
例如，向量A在坐标系中的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，则向量A的坐标表示为(Ax, Ay) = (x, y)。
二、平面向量的坐标变换公式当平面向量发生坐标变换时，它的起点和终点位置可能发生改变。
为了描述这种改变，需要引入坐标变换公式。
1. 平移变换平移是指将平面向量的起点和终点同时平移相同的距离。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，平移向量坐标为(Tx, Ty)。
则坐标变换公式为：(Bx, By) = (Ax + Tx, Ay + Ty)2. 旋转变换旋转是指将平面向量绕原点旋转一定的角度。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，旋转角度为θ。
则坐标变换公式为：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ3. 缩放变换缩放是指将平面向量的大小进行伸缩。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，缩放因子为k。
则坐标变换公式为：Bx = k * AxBy = k * Ay4. 倾斜变换倾斜是指将平面向量在x轴或y轴方向上进行伸缩。
设平面向量A 在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，倾斜角度为α。
则坐标变换公式为：Bx = Ax + Ay * tanαBy = Ay + Ax * tanα总结：本文介绍了平面向量的坐标表示以及坐标变换公式，并按照题目要求采用相应的格式进行了阐述。
7.6平面向量的坐标与点的坐标关系
uuur AB (x2 x1, y2 y1)
4.能初步运用向量解决平面几何问题
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uuur
2已知AB (1, 2), A(2,1),求B的坐标.
解：设Bx,y,
uuur
Q AB 1,2 x, y 2,1,
即12xy21
x3 y 1
例2：课本P22例1
即B3,-1.
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例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标。
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练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
r (1)a (1, 2)
r (2)b (1, 2)
解：
o
.y A(1, 2)
r a
x
y
B(1, 2.)
r b
ox
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（二）平面向量的坐标运算：
r r r r r r
r
r
(1)a b x1i y1 j x2i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
若
A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则
uuur AB
(x2 x1, y2 y1)
一个向量的坐标等于 表示此向量的有向线 段终点的坐标减去始 点的坐标。
课本P22
y
B1 P(x,y)
B(x2,y2)
r a
r b
1 r A (x1,y1) A1
j
O
r i1
x
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向量的坐标与点的坐标关系 4
(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标.
3.平面向量的坐标运算:
平面向量的坐标表示及坐标运算
平面向量的坐标表示及坐标运算一个平面上的向量可以用坐标的形式表示出来。
一般而言，在平面上的向量都可以用一个坐标向量来表示，用一对数字表示向量的大小和方向，可以是极坐标，也可以是直角坐标。
极坐标是把向量投影到平面上，以圆心为原点，向量的起点到圆心的距离表示大小，圆心到向量的角度表示方向。
在不同情况下，极坐标可以取不同的圆心，比如笛卡尔坐标系的极坐标，其圆心就是笛卡尔坐标系的原点；也可以取向量的起点为圆心，这样的极坐标叫作空间极坐标。
直角坐标是指将一个向量从起点投射到X轴，再从X轴投射到Y 轴，X轴上的距离表示向量的X成分，Y轴上的距离表示向量的Y成分。
这样就把一个向量表示为两个正数（或零）的组合，例如（3，4），即表示一个向量，其X成分为3，Y成分为4。
二、坐标运算1.量加法：当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相加，即：（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）。
2.量减法：同样地，当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相减，即：（a，b）-（c，d）=（a-c，b-d）。
3.放向量：缩放向量意味着将向量的大小变更，而不改变向量的方向，可以用缩放系数来表示，令K为缩放系数，则：K*（a，b）=（Ka，Kb），即对向量的每个成分乘以一个系数，就可以完成缩放的运算。
4.量的模：向量的模也称为向量的长度，表示向量大小的一个数值，它可以用欧式距离来表示，欧式距离计算公式的定义为：||A||=√（a^2+b^2），其中a和b分别表示向量的X和Y成分。
5.量的夹角：向量的夹角指向量之间的夹角，可以用弧度表示，也可以用角度表示，计算向量的夹角可以用余弦定理来计算，其计算公式定义为：cosθ=AB/||A||*||B||。
6.量的点积：点积用来表示两个向量的关系，可以用X和Y在向量上的分量来表示，它的计算公式定义为：AB=a*b+c*d，其中a，b，c，d分别表示两个向量的X和Y成分。
三、总结以上，就是平面向量的坐标表示及坐标运算的相关内容，在了解了平面向量的坐标表示方式以及如何进行坐标运算后，我们可以更加熟练的处理向量的坐标运算，也可以更清楚的理解向量的含义。
平面向量的坐标表示与坐标系选择
平面向量的坐标表示与坐标系选择在数学中，平面向量是描述平面上物体移动或力的方向和大小的工具。
平面向量可以使用坐标来表示，而选择合适的坐标系对于准确描述向量非常重要。
本文将探讨平面向量的坐标表示及坐标系的选择。
一、平面向量的坐标表示平面向量通常由一个有序对表示，其中每个元素称为分量。
考虑平面上的向量AB，它的坐标表示为(AB)，也写作AB向量。
在直角坐标系中，向量AB的坐标可以表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示x轴上的分量，Ay表示y轴上的分量。
二、向量坐标的计算方法对于平面上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以计算向量AB的分量。
向量的分量由终点坐标减去起点坐标得到，即AB = (x2-x1, y2-y1)。
这种计算方法适用于任何形状的向量。
三、选择合适的坐标系在表示平面向量时，选择合适的坐标系对于计算和分析是很重要的。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，其中x轴和y轴分别与水平和垂直方向平行。
在直角坐标系中，向量的分量表示了在x轴和y轴上的位移。
直角坐标系适用于大多数情况，特别是计算向量的长度和斜率时。
2. 极坐标系极坐标系使用极径和极角来表示向量。
极径是向量的长度，也称为模。
极角表示向量相对于参考轴（通常为x轴）的角度。
极坐标系适用于描述圆形运动或具有对称性的问题。
四、向量在坐标系中的运算在直角坐标系中，向量的加法和减法非常直观，只需将对应分量相加或相减即可。
向量的数量积和矢量积也可以通过坐标表示进行计算。
然而，在极坐标系中，向量的加法和减法需要将向量转换为直角坐标系进行计算，然后再转换回极坐标系。
五、总结平面向量的坐标表示和坐标系选择是数学中重要的概念。
使用合适的坐标系可以简化向量运算，并提供更好的可视化效果。
直角坐标系适用于大多数情况，而极坐标系适用于特定的几何问题。
当解决平面向量的相关问题时，要准确选择合适的坐标系，并运用其特点进行计算和分析。
平面向量的坐标表示与计算
平面向量的坐标表示与计算平面向量是数学中的重要概念之一，它在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示方法以及如何进行计算。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用有序数对表示其坐标，也可以用分量表示。
下面将详细介绍这两种表示方法。
1.有序数对表示法假设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂,y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。
其中，x₂-x₁表示横坐标的变化量，y₂-y₁表示纵坐标的变化量。
例如，给定平面上两点A(3, 4)和B(1, 2)，则向量AB的坐标表示为(1-3, 2-4)，即(-2, -2)。
2.分量表示法平面向量的分量表示法是指将向量表示为一个有序数组，该数组的元素是向量在各个坐标轴上的分量值。
假设平面向量为v，其分量表示为v = (a, b)，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
例如，给定平面向量v = (3, 4)，则向量v在x轴上的投影为3，在y轴上的投影为4。
二、平面向量的计算平面向量的计算包括向量的加法、减法、数量乘法以及数量除法。
下面将逐一进行介绍。
1.向量的加法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a + b的坐标表示为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a + b的坐标表示为(1+3, 2+4)，即(4, 6)。
2.向量的减法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a - b的坐标表示为(a₁-b₁, a₂-b₂)。
例如，给定向量a = (5, 6)和向量b = (2, 3)，则向量a - b的坐标表示为(5-2, 6-3)，即(3, 3)。
3.数量乘法设向量a = (a₁, a₂)，常数k，则向量ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
例如，给定向量a = (2, 3)和常数k = 4，则向量ka的坐标表示为(4*2, 4*3)，即(8, 12)。
职高数学第二册教学大纲
§7.5 平面向量的直角坐标，用坐标作向量的运算§7.6 平面向量的坐标与点的坐标的关系§7.7 线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式§7.8 平移公式7——3向量的内积§7.9 向量内积的定义和基本性质§7.10 用直角坐标计算向量的内积第八章平面解析几何教学要求理解直线的方向向量的概念，掌握直线的方程，斜率，理解直线的点斜式方程，直线方程的一般形式，了解直线与直线的位置关系，并能作基本运算。
掌握圆，椭圆，双曲线，抛物线的标准方程和其性质，提高对图形的理性认识，增强数形结合的意识。
教学内容8——1平面上直线的方程§8.1 直线的点向式方程§8.2 直线的斜率§8.3 直线方程的点斜式和斜截式§8.4 直线方程的一般式8——2 平面上直线的位置关系与度量关系§8.5 平面上两条直线的位置关系§8.6 平面上两条直线垂直的条件§8.7 平面上两条直线的夹角§8.8 点到直线的距离8——3 圆§8.10 圆的方程§8.11 圆与直线的位置关系8——4 椭圆§8.12 椭圆的标准方程§8.13 椭圆的性质8——5 双曲线§8.14 双曲线的标准方程§8.15 双曲线的性质8——6 抛物线§8.16 抛物线的标准方程§8.17 抛物线的性质第九章立体几何教学要求理解平面的基本性质和确定平面的方法，理解直线与平面，平面与平面的位置关系，图像和其性质，了解空间向量的加法，减法和数乘运算，掌握直线，平面的度量关系，理解公式，能灵活的运用，解决简单的问题。
教学内容9——1 空间的基本要素§9.1 平面的性质与确定9——2 直线、平面的位置关系§9.2 两条直线的位置关系§9.3 直线和平面的位置关系§9.4 两个平面的位置关系§9.5 空间向量9——3 直线、平面的度量关系§9.6 两条直线所成的角§9.7 直线与平面垂直§9.8 三垂线定理、直线和平面所成的角§9.9 二面角、平面与平面垂直第十章排列与组合教学要求掌握计数的基本原理，理解排列，组合的概念，性质，公式，对生活中的简单问题，能给与解决，完善数学思维，提高对数学的认识。
平面向量的坐标与点的坐标的关系
平面向量的坐标与点的坐标的关系叶建成【教材分析】平面向量的坐标与点的坐标是高等教育出版社《数学》第二册第七章向量第二单元的向量的坐标的中间内容。
由其章节、内容的安排顺序可见这节内容的地位和在整个内容体系中的重要位置。
前两节课讲了平面向量分解定理是基于平面向量内的任意一个基，接着引入到平面直角坐标系，将平面内的任意基规范到直角坐标系中的确定基，引出平面直角坐标，并对坐标的运算稍作引出。
本节内容是将前两节内容合为一体，确定平面中在直角坐标系中的基，将平面向量用直角坐标系中的基表示，表示成坐标，并将其与点的坐标联系起来，本节知识也为今后研究平面向量奠定基础。
【学情分析】本批学生已是高二，其中有专门的男生数控班和女生旅游、财会班。
本学期进入平面向量的学习，知识点与先前知识联系较少，不存在基础薄弱现象，对学生稍加引导，树立信心，提高兴趣，由于知识点少，计算量不多，所以学生学习热情相对较高。
【教学目标】基于以上教材、学情分析，确定以下目标：一、知识目标：1.复习、巩固平面向量的直角坐标；2.理解定位向量及定位向量的坐标表示；3.理解并掌握平面向量的坐标与点的坐标的关系。
二、能力目标：1、培养学生演绎、归纳、猜想的能力；2、通过对平面向量坐标与点的坐标的关系的分类讨论，加强学生分类讨论能力的培养；3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力；4、应用已学的向量运算、平面向量的直角坐标探究平面向量的坐标与点的坐标的关系。
三、情感目标：应用自主探究的方法得出自己的结论，学会学习，树立自信心，提高学习兴趣。
通过数形结合、分类讨论、从特殊到一般的数学思想的灌输，培养学生的逻辑思维能力,体会辩证唯物观主义观点。
【重难点】重点：定位向量的坐标，平面向量的坐标与点的坐标的关系；难点：平面向量的坐标与点的坐标的关系。
【教法、学法分析】为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计-所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。
平面向量的坐标表示与坐标变换
平面向量的坐标表示与坐标变换在平面几何中，向量是一个具有方向和大小的量，它常常被表示为有序数对（x，y），其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
这种表示方式被称为坐标表示。
一、坐标表示的基础在平面直角坐标系中，我们可以用两个坐标轴来确定一个点的位置。
同样地，我们也可以使用两个坐标来表示一个向量。
为了方便起见，我们通常使用单位向量i和j来表示x轴和y轴上的方向。
通过将向量的分量与单位向量相乘，我们可以得到向量在每个轴上的分量。
例如，向量A可以表示为A = Axi + Ayj，其中Ax和Ay分别是向量A在x轴和y轴上的分量。
二、坐标表示的计算方法当我们知道向量在x轴和y轴上的分量时，我们可以通过相加或相减这些分量来计算向量的结果。
例如，当我们有两个向量A和B，并且知道它们在x轴和y轴上的分量分别是Ax，Ay和Bx，By时，我们可以使用以下公式计算它们的和：A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j同样地，我们可以使用以下公式计算它们的差：A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j三、坐标变换在有些情况下，我们需要将向量从一个坐标系变换到另一个坐标系。
这种变换可以通过坐标变换矩阵来实现。
假设我们有两个坐标系，分别为原始坐标系和目标坐标系。
如果我们已知两个坐标系中某一向量的坐标表示，我们可以使用坐标变换矩阵来计算该向量在目标坐标系中的坐标。
坐标变换矩阵可以表示为一个2×2的矩阵，其中每个元素代表两个坐标系之间的转换关系。
下面是一个示例，假设我们有一个向量V=(3，4)在坐标系A中的表示。
现在我们需要将其转换到坐标系B中。
我们可以使用以下的坐标变换矩阵：[ 2 1 ][ 1 3 ]计算向量V在坐标系B中的坐标：V' = [ 2 1 ] * [ 3 ] = [ 10 ][ 4 ] [ 13 ]因此，向量V在坐标系B中的坐标表示为V'=(10，13)。
平面向量的坐标系与坐标变换的应用
平面向量的坐标系与坐标变换的应用平面向量的坐标系是研究平面向量的重要工具，而坐标变换是在不同坐标系下表示同一个向量的方法。
本文将介绍平面向量的坐标系以及坐标变换的应用。
一、平面向量的坐标系平面向量通常可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在横轴上的分量，第二个数表示向量在纵轴上的分量。
这种表示方法称为平面向量的坐标。
为了便于进行运算和研究，我们常常采用直角坐标系来表示平面向量。
在直角坐标系中，通常采用两个互相垂直的线段作为横轴和纵轴。
这样，平面上的每个点都可以由一个有序数对来表示。
而平面向量的起点总可以选择为原点，这样只需要表示终点的坐标，即可唯一确定一个平面向量。
二、坐标变换的应用坐标变换是指在不同的坐标系下表示同一个向量。
当我们需要在不同坐标系下进行运算或研究时，常常需要进行坐标变换。
1. 向量在不同坐标系下的表示当我们希望将一个向量在一个坐标系下表示为另一个坐标系下的向量时，需要进行坐标变换。
以二维空间为例，设平面向量a在坐标系A中的坐标为(a1, a2)，而坐标系B的横轴和纵轴分别与坐标系A的横轴和纵轴相差α角度，设向量a在坐标系B中的坐标为(b1, b2)。
根据三角函数的关系，可以得到以下公式：b1 = a1*cosα - a2*sinαb2 = a1*sinα + a2*cosα2. 向量的线性运算在不同坐标系下进行向量的加减乘除等线性运算时，同样需要进行坐标变换。
具体操作可以利用坐标变换的公式，将坐标系A下的向量表示为坐标系B下的向量，再进行线性运算。
3. 向量的模长和夹角向量的模长和夹角也可以通过坐标变换进行计算。
设两个向量a和b的坐标分别是(a1, a2)和(b1, b2)，则它们的模长分别为：|a| = √(a1^2 + a2^2)|b| = √(b1^2 + b2^2)两个向量的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a1*b1 + a2*b2) / (|a| * |b|)θ = arccos((a1*b1 + a2*b2) / (|a| * |b|))三、总结平面向量的坐标系与坐标变换是研究平面向量的重要工具。
初中数学知识归纳平面向量的坐标与运算
初中数学知识归纳平面向量的坐标与运算初中数学知识归纳：平面向量的坐标与运算平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理和计算机科学等领域。
在初中数学学习中，我们需要了解平面向量的坐标表示和运算规则。
本文将对初中数学中平面向量的坐标与运算进行归纳，以帮助同学们更好地理解和运用这一知识点。
一、平面向量的表示在平面直角坐标系中，每个点都可以用坐标表示。
类似地，平面上的向量也可以用坐标表示。
对于平面上的向量$\overrightarrow{AB}$，其中$A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$分别是起点和终点的坐标，我们用$(x_2-x_1, y_2-y_1)$表示向量$\overrightarrow{AB}$的坐标。
这里，向量的坐标表示为一个有序数对，其中第一个数表示$x$轴方向上的分量，第二个数表示$y$轴方向上的分量。
二、平面向量的运算1. 向量的加法平面向量的加法满足平行四边形法则。
设有向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CD}$，其中$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，$C(x_3, y_3)$，$D(x_4, y_4)$。
则向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$的和可表示为$(x_2-x_1+x_4-x_3, y_2-y_1+y_4-y_3)$。
我们将这一运算规则表达为以下公式：\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} $$2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘。
设有向量$\overrightarrow{AB}$和实数$k$，则向量$\overrightarrow{AB}$的数乘结果可表示为$(k(x_2-x_1),k(y_2-y_1))$。
我们将这一运算规则表达为以下公式：$$k\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{PQ}$$其中，$P$和$Q$分别为向量$\overrightarrow{AB}$的起点和终点，且$PQ$与$\overrightarrow{AB}$方向相同。
平面向量的坐标表示和坐标变换
平面向量的坐标表示和坐标变换平面向量在数学和物理学中具有广泛的应用，它们可以通过坐标表示和进行坐标变换。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及常见的坐标变换。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，平面向量可以使用坐标表示。
对于一个平面向量，我们可以用一个有序数对(a, b) 来表示，其中a为向量在x轴上的投影，b为向量在y轴上的投影。
这种表示方法被称为分量表示法。
例如，对于平面向量a，其坐标表示为 (a₁, a₂)。
其中，a₁为向量在x轴上的投影，a₂为向量在y轴上的投影。
二、坐标表示的运算1. 向量加法两个平面向量的坐标表示相加，可以分别将其水平和垂直分量相加。
假设有向量a(a₁, a₂)和向量b(b₁, b₂)，它们的和向量c 可以表示为：c = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)2. 向量数量乘法向量的数量乘法即将向量的每个分量与一个实数相乘。
假设有一个向量a(a₁, a₂)和一个实数k，那么向量a与k的乘积可以表示为：ka = (ka₁, ka₂)三、坐标变换在平面向量的研究中，常常需要进行不同坐标系之间的转换。
这就需要进行坐标变换。
1. 坐标系的平移当坐标系发生平移时，向量的坐标表示也会发生变化。
假设有一个向量a，其在原始坐标系下的坐标表示为(a₁, a₂)，经过平移后，坐标系的原点移动到新的坐标原点P。
那么，向量a在新坐标系下的坐标表示为(a₁ + p, a₂ + q)，其中(p, q)为坐标系的平移向量。
2. 坐标系的旋转当坐标系发生旋转时，向量的坐标表示也会发生变化。
假设有一个向量a，其在原始坐标系下的坐标表示为(a₁, a₂)，经过逆时针旋转角度θ 后，向量a在新坐标系下的坐标表示为：a' = (a'₁, a'₂)其中，a'₁ = a₁cosθ - a₂sinθa'₂ = a₁sinθ + a₂cosθ3. 坐标系的缩放当坐标系发生缩放时，向量的坐标表示也会发生变化。
平面向量的坐标和坐标变换公式的推导
平面向量的坐标和坐标变换公式的推导平面向量是研究平面上的物理量时所引入的数学工具之一，它由大小和方向两个属性组成。
在平面几何中，我们通常使用坐标来表示向量的位置和方向。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及坐标变换公式的推导。
一、平面向量的坐标表示方法在平面几何中，我们使用笛卡尔坐标系来表示向量的位置和方向。
笛卡尔坐标系由平面上的两个相互垂直的坐标轴组成，通常被称为 x轴和 y 轴。
每个点都可以用一个有序对 (x, y) 来表示，其中 x 表示点在x 轴上的位置，y 表示点在 y 轴上的位置。
对于平面向量A，我们可以将其表示为A = AA + AA，其中A和A分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的投影，A和A分别表示单位向量，指向 x 轴和 y 轴的正方向。
二、坐标变换公式的推导当我们需要对向量进行坐标变换时，可以使用坐标变换公式来实现。
下面将推导二维平面向量的坐标变换公式。
设在两个不同坐标系下，向量A在第一个坐标系中的坐标为 (A₁,A₁)，在第二个坐标系中的坐标为 (A₂, A₂)。
此时，我们需要找到一个变换矩阵A来实现坐标的转换。
首先，我们知道向量A可以表示为A = A₁A + A₁A，又可表示为A = A₂A' + A₂A'，其中A' 和A' 分别表示第二个坐标系下的单位向量。
将这两个表达式进行比较，我们可以得到以下等式：A₁A + A₁A = A₂A' + A₂A'由于A和A以及A' 和A' 是分别为单位向量，所以它们之间的关系可以表示为以下矩阵关系：(A, A) = (A', A') ×A其中，A是一个 2x2 的变换矩阵，它将向量从第一个坐标系转换到第二个坐标系。
接下来，我们将等式A₁A + A₁A = A₂A' + A₂A' 两边同时乘以矩阵A，得到：(A₁A + A₁A) ×A = (A₂A' + A₂A') ×A展开并进行矩阵乘法，我们可以得到以下等式：A₁(A, A) = A₂(A', A') ×A + A₂(A', A') ×A由于 (A, A) = (A', A') ×A，所以上述等式可以简化为：A₁ = A₂ ×A₁₁ + A₂ ×A₂₁A₁ = A₂ ×A₁₂ + A₂ ×A₂₂其中，A₁₁、A₁₂、A₂₁和A₂₂是变换矩阵A的元素。
初中数学知识归纳平面向量的坐标表示和运算
初中数学知识归纳平面向量的坐标表示和运算初中数学知识归纳：平面向量的坐标表示和运算平面向量在初中数学中是一个重要的概念，它可以用来描述平面上的位移、速度等物理量。
本文将对平面向量的坐标表示和运算进行归纳和说明。
一、平面向量的坐标表示平面向量通常用一个有序数对表示，即(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
例如，向量AB的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax和Ay分别表示向量AB在x轴和y轴上的投影长度。
二、平面向量的加法运算平面向量的加法可以理解为将一个向量平移另一个向量的过程。
具体而言，对于向量A(a1, a2)和向量B(b1, b2)，它们的和向量C(c1, c2)的坐标表示为：C = (a1 + b1, a2 + b2)也就是说，将向量A的x轴和y轴上的投影长度分别与向量B的x 轴和y轴上的投影长度相加得到向量C的x轴和y轴上的投影长度。
三、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算可以理解为将一个向量的长度进行伸缩的过程。
具体而言，对于向量A(a1, a2)和实数k，它们的数乘积向量B(b1, b2)的坐标表示为：B = (k * a1, k * a2)也就是说，将向量A的x轴和y轴上的投影长度分别乘以实数k得到向量B的x轴和y轴上的投影长度。
四、平面向量的减法运算平面向量的减法可以理解为通过平移将一个向量反方向平移到另一个向量的过程。
具体而言，对于向量A(a1, a2)和向量B(b1, b2)，它们的差向量C(c1, c2)的坐标表示为：C = (a1 - b1, a2 - b2)也就是说，将向量A的x轴和y轴上的投影长度分别与向量B的x轴和y轴上的投影长度相减得到向量C的x轴和y轴上的投影长度。
五、平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算也称为点积运算，表示两个向量之间的夹角关系。
具体而言，对于向量A(a1, a2)和向量B(b1, b2)，它们的数量积为：A·B = a1 * b1 + a2 * b2数量积满足以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)，其中k为实数。
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算好啦，今天我们来聊聊平面向量的基本定理和坐标运算。
这可是个很有趣的话题，别被那些数学术语吓跑哦！你知道吗，向量其实就像是一把钥匙，可以打开很多数学大门。
听上去挺高大上的，但实际上，我们生活中处处都离不开它们，就像你每天都离不开饭一样。
想象一下，你在操场上跑来跑去，运动会的时候，标记你起跑的地方和终点的地方。
用坐标来表示，就是一个个的点，比如 (2, 3) 代表着你起跑的地方，(5, 7) 是终点。
平面向量就像是连接这两个点的一根线，从 A 点到 B 点的过程就叫做向量的运算。
听起来是不是有点神秘？其实也没那么复杂。
向量不仅有方向，还有长度，这样一来，我们就能把它当成一个小箭头，指向目标，越远越好，嘿嘿。
再来看看坐标运算，简单来说，就是把这些向量在坐标系上转来转去。
比如说你要把一条向量从起点搬到终点，怎么搬？很简单，向量的加法就可以搞定。
想象一下，你有一个从 (2, 3) 到 (5, 7) 的向量，再加上一个从 (5, 7) 到 (8, 10) 的向量，结果就是从 (2, 3) 直接到 (8, 10)。
这就像你在操场上先跑到朋友那儿，然后一起跑到更远的地方，简直爽翻了。
向量的减法也好玩，想象你在吃汉堡，先吃了一个大汉堡，接着又吃了一个小汉堡。
这样一来，你的胃口就会受到影响嘛，向量的减法就是把一部分“胃口”给减掉。
把(5, 7) 的向量减去 (2, 3)，就好比把你吃过的那部分减掉，最后留下的结果就是 (3, 4)。
这就像是记账，进账和出账的过程，清清楚楚，明明白白。
平面向量的基本定理告诉我们，两个向量如果相加，结果其实就是个新向量。
这和我们日常生活的积累特别像，不管是友情还是经历，都是点点滴滴积累起来的。
你在学校交了朋友，跑步时又认识了新伙伴，这些都是向量的相加。
每个人都是一个小向量，带着自己独特的方向和长度，拼凑起来就是一幅美丽的画面。
再说说方向和大小，向量的大小就是它的长度，方向就是箭头指向的地方。
平面向量与坐标系
平面向量与坐标系一、引言在数学中，平面向量是一种常用的概念，用于表示具有大小和方向的量。
与平面向量密切相关的是坐标系，它用于描述平面上的点和向量的位置。
本文将重点介绍平面向量的基本概念、坐标系的特点以及它们之间的关系。
二、平面向量的定义与表示平面向量也称为二维向量，由两个有序实数组成，分别表示向量在x轴和y轴方向上的分量。
通常用小写字母加箭头表示，例如向量a可以表示为→a=(a₁, a₂)，其中a₁和a₂分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
向量的模可以通过勾股定理求得，即|→a|=√(a₁²+a₂²)。
三、平面向量的运算1. 平面向量的加法平面向量的加法满足平行四边形法则，即若有向量→a=(a₁, a₂)和→b=(b₁, b₂)，则它们的和可表示为→a+→b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
2. 平面向量的数乘平面向量的数乘即将向量的每个分量与一个实数相乘，例如对于向量→a=(a₁, a₂)和实数k，它们的数乘结果为k→a=(ka₁, ka₂)。
3. 平面向量的减法平面向量的减法可以通过加法和数乘来表示，即若有向量→a=(a₁,a₂)和→b=(b₁, b₂)，则它们的差可表示为→a-→b=→a+(-→b)=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
四、坐标系的基本概念坐标系是描述平面上点的位置的一种方式。
常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，一般记为x轴和y轴。
通过将向量和点的坐标表示为(x, y)，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
2. 极坐标系极坐标系由极轴和极角组成。
极轴是一个过原点的射线，极角则表示向量与极轴的夹角。
通常用(r, θ)表示向量和点在极坐标系下的坐标，其中r表示向量的长度，θ表示向量与极轴的夹角。
五、平面向量在坐标系中的表示1. 平面向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，平面向量的表示即为向量的分量表示，例如向量→a=(a₁, a₂)在直角坐标系中表示为→a=x→i+y→j，其中→i和→j分别是x轴和y轴的单位向量。
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以下三个特殊向量的坐标是：
i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0)
两个向量相等的等价条件 Y
是两个向量坐标相等
a
r
r
如果a r
r(x1,
y1),b
(x2,
y2),
那么a bx1 x2,
j
且y1 y2
Page ▪ 2
O
X
i
ur ur ur ur 例1.用基底 i , j 分别表示向量 a,b,c,d,并求出它们的坐标.
DC(3x,4y)
A
有 u A u B u r u D u u C r 得 ： （ 1 ， 2 ） （ 3 - x , 4 y ) O
Hale Waihona Puke x1 3 x 2 4 y
x 2 y 2
顶点D的坐标是2（ ，2）
Page ▪ 12
练 习 ：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构 成平行四边形四个顶点。
Page ▪ 6
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
r
r
(1)a(1,2) (2)b(1,2)
解：
o
.y A (1, 2 )
r a
x
y
B(1,2. )
r b
ox
Page ▪ 7
（二）平面向量的坐标运算：
rr r r r r
r
r
( 1 ) a b x 1 i y 1 j x 2 i y 2 j x1x2iy1y2j
r rr
y
b 2i 3 j r
5
(2,3)
b
4
B
uuur AB
r 2i
r 3j
r
3
a (2,3)
2
A
1r
rr
-r4 -3 -2
c 2i 3 j
-1 O -1
jr i
1
2
34
x
(2, 3)
r c
-2
ur d
ur r
r
d 2i 3 j
(2, 3)
Page ▪ 3
r uuur r
设 a AB,a 的坐标与 A、 B 的坐标有何关系?
已知 A(x1,y1),B(x2,y2)，求 AB的坐标.
u u u r u u u r u u u r Q A B O B O A
(x2,y2)(x1,y1)
(x2x1,y2y1)
A(x1,y1) y
B(x2,y2)
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终 点的坐标减去始点的坐标。
Page ▪ 9
3
C(3,4)
2
A(-2,1) 1
-6
-4
-2
O
-1
D(x,y)
2
4
x
6
-2
-3
-4
Page ▪ 11
例：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求
顶点D的坐标.
y
解 ： 设 顶 点 D 的 坐 标 为 （ x ,y )
C
A B ( 1( 2)3 , 1 )(1 ,2) B D
r2 yj
P（ x， y）
1
j
-2
O
定位向量的坐标 -1 等于它的终点坐标
课本P21 -2
-3
Page ▪ 5
r2
4
6
i
xi
u u u r r r
O P x iyj (x ,y)
u u ur
O P 向量
一 一 对 应 P（x ，y）
小结:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标； 当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为 向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标. 若 a b ， a (x 1 ,y 1 )b , (x 2 ,y 2 ), 则 ( x 1 ,y 1 ) ( x 2 ,y 2 ) 即 x , 1 x 2 ,y 1 y 2 .
解：设D的坐标为（x,y）
当 u 平 u u r行 四 u u u 边 u r形 为 A D 1 C B 时 ，
由 A B D 1 C 得 (1 ,2 ) (3 x,4 y)即 x 2 ,y 2 即 D 1 (2 ,2 )
当 u 平 u u r行 四 u u u 边 u r形 为 A C D 2 B 时 ，
若
A(x1,y1),B(x2,y2), 则
uuur AB
(x2x1,y2y1)
一个向量的坐标等于 表示此向量的有向线 段终点的坐标减去始 点的坐标。
课本P22
y
B1 P(x,y)
B(x2,y2)
r a
r b
1r
A (x1,y1) A1
O
jr i1
x
Page ▪ 4
向量的坐标与点的坐标关系 4
起点在原点的向量 3 叫定位向量
c
c (x, y) ⑴
的坐标，
r
其中x叫做 c 在x轴上的坐标,即横坐标，
r
u ur
e2
o
ur e1
x
y叫做 c 在y轴上的坐标,即纵坐标.
r
⑴式叫做向量 c 的坐标表示.
这个平面直角坐标系记作 O;e1,e2
注：每个向量都有唯一的坐标.
Page ▪ 1
平面向r量的坐标表示： 把 a = (x, y)叫做向量的坐标表示
y
D2
由 A B C D 2 得 (1 ,2 ) (x 3 ,y 4 )即 x 4 ,y 6 即 D 2 (4 ,6 ) B
C
由 u A u C u r u D u 3 u B u r得 (5 ,3 ) ( 1 x ,3 y )即 x 6 ,y D 30 )即 D 3 ( 6 ,0 A)O
u u u r
例 1 、 1 已 知 A ( 2 , 3 ) , B ( 3 , 5 ) , 求 B A 的 坐 标 .
uur 解：BA
2,33,5 5 , 2 .
u u u r
2 已 知 A B ( 1 , 2 ) ,A ( 2 , 1 ) , 求 B 的 坐 标 .
解：设Bx,y,
u u u r
Q A B 1 , 2 x ,y 2 ,1 ,
即
1 x 2
2 y 1
x3 y 1
例2：课本P22例1
即B3,-1.
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例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标。
y
4
B(-1,3)
r r(x1x2,y1y2)
a r b (x 1 r x 2 r ,y 1 y 2 r ) r
( 2 )a x i y j x i y j (x ,y )
两个向量和、差的坐标分别等于这两个向量相应 坐标的和、差.
实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标.
Page ▪ 8
平面向量的直角坐标
在直角坐标系内，我们分别
y
(1)取u r 基u:ur 与x轴方向,y轴方向相同的两个单位
向量e 1 、e 2 作为基.
r
(2)得到实数对:
任作一个向量
r c
，由平面向量
c
分r 解u定r 理u ur ，有且只有一对实数x、r y，使得
c =xe
记作
1
+ye
r
2
.我们把(x,y)叫做向量