弹性力学简明教程
弹性力学简明教程[第四版]_课后习题解答
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弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程_习题解答
【2-9】【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0) 右（x =b ）l0 -1 1 m-1() x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() yfs1gh ρ代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()(),0y xy y y gh σρτ===-=③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：10,,0s N F F gh b M ρ==-=由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh bxdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmx f (s)y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶第一章
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第二节 弹性力学中的几个基本概念
例：表示出下图中正的体力和面力
O(z)
y
x
fx
fx
fy
fy
O(z)
fy fx
fy
y
x
fx
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第二节 弹性力学中的几个基本概念
应力
内力─假想切开物体，截面两边相互作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
定义式
lim F p A0 A
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作用力。
按其作用的方式，外力又可分为体力、面 力。
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第二节 弹性力学中的几个基本概念
体力─（定义）作用于物体体积内的力。
如：重力、惯性力。
（表示）以单位体积内所受的力来量度，fx, fy, fz. （量纲） ML2T2. 即为：力/长度³，如：N/m³
（符号）坐标正向为正。
定义式
F
lim f
材料性质假定
（3）均匀性假定─ 假定物体由同种材料组成。
E、μ等与位置 (x, y无,z关) 。
（4）各向同性假定 ─ 假定物体各向同性。
E、μ等与方向无关。
由假定（3）,（4）→E、μ等为常数
符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。
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第三节 弹性力学中的基本假定
变形状态假定
变形状态假定： （5）小变形假定 ─ 假定位移和形变为很小。
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第三节 弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？
任何学科的研究，都要略去影响很 小的次要因素，抓住主要因素 建立计 算模型 归纳为学科的基本假定。
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第三节 弹性力学中的基本假定
弹性力学简明教程绪论弹 性 力 学 及 有 限 单 元 法
第一章 绪 论
本章 内容
弹性力学的内容
弹性力学中的几个基本概念
弹性力学中的基本假定
§1-3 弹性力学中的基本假定
1. 连续性假定
整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何
空隙。
该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻
合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。
作用：使得σ、ε、u 等量表示成坐标的连续函数。
y
fy
ΔfF
—— 面力分布集度
f fxi f y j fzk ——（矢量）
fx、fy、fz为面力矢量在坐标轴上的投影
fz ΔS
fx
单位：1N/m2 =1Pa (帕)
x
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
说明：(1) f 是坐标的连续分布函数； (2) f 的加载方式是任意的 ;z
(3) fx f y fz 的正负号由坐标方向确定。
单位：kN/m3、kN/m3
fz ΔV
fx
x
说明：(1) f 是坐标的连续分布函数；
(2) f 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等)
(3) f x f y f z 的正负z号由坐标方向确定。
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
表面力（面力）：分布在物体单位面积上的力。
lim f
F
S0 S
弹性力学及有限单元法 ELASTICITY & FEM
目录
第一章 绪 论 第二章 平面问题的基本理论 第三章 平面问题的直角坐标解答 第四章 平面问题的极坐标解答 第五章 用差分法和变分法解平面问题
目录
第六章 用有限单元法解平面问题 第七章 空间问题的基本理论 第八章 空间问题的解答 第九章 薄板弯曲问题
弹性力学简明教程 第一章绪论
[例1] 满载均荷简支梁
q
M
I
y
z
x
y
Qs ; I zb
y
0
公式成立的条件
Ｌ＞５ｈ； Ｌ—梁的垮长；ｈ—梁高；
q
y
x
x
2
y
z
My
I
Z
y y 3 q (4 2 ) h h 5
QS I zb
q y 2y 2 y (1 )(1 ) 2 h h
三、应变：
过该点取三个正交微分线段研究,如图所示： y dy 1.线应变:
(1)应变分量
沿x方向
dy
dx dz
x
dx
dx dx
沿y方向
z
dz
y
dy dy
沿z方向
z
dz dz
线应变符号规定 伸长为正缩短为负。(与正应力的正负号规定相对应） 2、剪应变： 概念与材料力学相同。 (1)剪应变分量
1.一点的位移 (1) 位移分量: 沿 x方向 : u (2)位移的符号规定
沿 y方向 : v 沿 z方向 : w
沿坐标轴正向为正,负 向为负。 y
P
五.已知量和待求量
(1)已知量
o
v
w
x
u z 物体的形状、尺寸、体力、面力、约束情况、 材料的物理常数。
(2)待求量 应力、应变、位移共15个。
• §1.1 弹性力学研究的内容
一. 弹性力学的作用
材料力学的局限性：材力研究仅限于杆件，弹性力 学研究弹性体，材力一些假设不够合理。
弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答之欧阳语创编
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程简介与目录
高等教育出版社
《弹性力学简明教程》 编著 徐芝纶教授
此教程是国内较广泛使用的一本工科院 校弹性力学教科书，是教育部“十五”国 家级规划教材。全书按照由浅入深的原 则，安排了平面问题的理论及解答、空间 问题的理论及解答和薄板弯曲理论，并着 重介绍了弹性力学的近似解法，即差分 法、变分法和有限元法。
作者简介
参考eory of elasticity》 Timoshenco S P, Goodier J N (有中译本) 三、《Applied Elasticity》 徐芝纶编
弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程[第四版]_课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程_第三版_徐芝纶_第一章
第一章 绪论
§1-1 弹性力学的研究内容
弹性力学:也称弹性理论，固体力学学科的一个分支。 弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。
弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在 弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下(受外 力、边界约束或温度改变等原因 )弹性物体的内力 (应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关 的原理、理论和方法
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
可以证明，在物体的任意一点，如果已知
x , y , z , yz , zx , xy 这六个应力分量，就可以求
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
说明：(1) f是坐标的连续分布函数； (2) f的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、 惯性力等) (3) fx、fy、fz 的正负号由坐标方向确定。 2、面力
所谓面力是指分布在物体表面上的力，一般用单位
表面积上的力表示，如风力、液压和接触力等。
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
§1-1 弹性力学的研究内容
弹性力学在力学学科和工程学科中，具有重要的地位： 弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全
性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力
方法进行分析。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、岩石力学、有 限元方法等课程的基础。
§1-1 弹性力学的研究内容
土木工程
柯西（A.L.Cauchy）
§1-1 弹性力学的研究内容
而后，世界各国的一批学 者相继进入弹性力学研究 领域，使弹aint-Venant）建立 了柱体扭转和弯曲的基本 理论
圣维南 （A.J.Saint-Venant）
§1-1 弹性力学的研究内容
弹性力学简明教程-第四版习题详解
弹性力学简明教程（第四版）习题解答第一章【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版,全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程
弹性力学简明教程第一章绪论1-1 弹性力学的内容1-2 弹性力学中的几个基本概念1-3 弹性力学中的基本假定习题第二章平面问题的基本理论2-1 平面应力问题与平面应变问题2-2 平衡微分方程2-3 平面问题中一点的应力状态2-4 几何方程刚体位移2-5 物理方程2-6 边界条件2-7 圣维南原理及其应用2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题相容方程2-10 常体力情况下的简化应力函数习题第三章平面问题的直角坐标解答3-1 逆解法与半逆解法多项式解答 .3-2 矩形梁的纯弯曲3-3 位移分量的求出3-4 简支梁受均布荷载3-5 楔形体受重力和液体压力习题第四章平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程4-2 极坐标中的几何方程及物理方程4-3 极坐标中的应力函数与相容方程4-4 应力分量的坐标变换式4-5 轴对称应力和相应的位移4-6 圆环或圆筒受均布压力4-7 压力隧洞4-8 圆孔的孔口应力集中4-9 半平面体在边界上受集中力4-10 半平面体在边界上受分布力习题第五章用差分法和变分法解平面问题5-1 差分公式的推导5-2 应力函数的差分解5-3 应力函数差分解的实例5-4 弹性体的形变势能和外力势能5-5 位移变分方程5-6 位移变分法5-7 位移变分法的例题习题..第六章用有限单元法解平面问题6-1 基本量及基本方程的矩阵表示6-2 有限单元法的概念6-3 单元的位移模式与解答的收敛性6-4 单元的应变列阵和应力列阵6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵6-6 荷载向结点移置单元的结点荷载列阵6-7 结构的整体分析结点平衡方程组6-8 解题的具体步骤单元的划分6-9 计算成果的整理6-10 计算实例6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程习题第七章空间问题的基本理论7-1 平衡微分方程7-2 物体内任一点的应力状态7-3 主应力最大与最小的应力7-4 几何方程及物理方程7-5 轴对称问题的基本方程习题。
弹性力学简明教程
弹性力学简明教程主讲：王雪峰邮 箱：***************.cn , 答疑地点：南二楼109第一章 绪论§1-1 弹性力学的学习基础一、 弹性力学课程特点 1. 数学推导频烦 2. 概念抽象3. 解析解——例题偏少，一个好的解析解可能就是一篇好的文章4. 表面上较少联系实际、实则不然 二、 本学科学习内容1. 平面问题：基本理论、直角坐标、极坐标2. 空间问题，尤其扭转问题3. 简单的薄板弯曲问题三、 弹性力学、材料力学、结构力学的区别： 特别提示：弹性力学和材料力学在剪应力方面定义的是完全相反的。
四、 弹性力学的简介 1. 固体力学的重要分支它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
下表为力学种类的一种粗略分类，由此可见弹性力学的学科地位。
它是各种建筑结构分析与计算的理论基石；是材料力学、结构力学的有力支撑；是所有涉及固体的力学学科与应学科研究对象分析对象目标特点与精度材料力学 杆状构件：杆、梁、柱 面上应力、位移 强度、刚度 宏观、近似 结构力学 杆系结构：桁架、刚架面上应力、位移 强度、刚度 宏观、近似 弹性力学 一切弹性范围内的固体连续介质：板/壳/坝/翼/墙空间各点的应力、位移强度、刚度、点的状态细观、较精确用领域包括塑性力学、粘弹塑性力学、断裂损伤力学、应力波理论、细观力学、生物力学、土力学、岩体力学等的出发点，流体力学、空气动力学其实也不例外。
→→→→→→力学种类热力学、电动力学、量子力学、分子动力学等等刚体理论力学气、液空气动力学、激波理论、流体力学弹性力学材料力学结构力学塑性力学静细观力学断裂力学损伤力学固连续统模型岩石力学基本土力学振动理论结构动力学动波动理论粘弹性理论瞬态动力学（爆炸力学）多相高等土力学（固结、渗流、饱和土与非饱和土问题）、生物力学→→细观细观力学、晶格理论宏观天体力学、固体潮、地质力学等 2. 发展简史弹性力学的发展初期，有的学者认为应从Hooke 实验 (1660) 开始到Navier 和 Cauchy 提出弹性力学的基本方程为止，这段时期还没有一套成熟的理论；理论基础建立期是从Navier 和 Cauchy 提出方程 (1821) 起到Green （1838） 和 Thomson (1855) 确定弹性系数为21 个止， 这段时期理论基本成熟，已经把物理问题或工程问题化成数学物理边值问题求解。
弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶第五章
例2
稳定温度场问题的差 分解。设图中的矩形 域为6m×4m ，取网 格间距为h = 2m，布 置网格如图，各边界 点的已知温度值如图 所示，试求内结点a 、b的稳定温度值。
40 35 30 25
32
a
b
22
24
22
20
17
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：对a、b 列出方程如下：
4Ta (3235 22Tb) 0,
第一节 第二节
差分公式的推导 应力函数的差分解
第三节
第四节 第五节 第六节
应力函数差分解的实例
弹性体的形变势能和外力势能 位移变分方程 位移变分法
第七节 位移变分法例题 例题 习题的提示和答案 教学参考资料
第五章
用差分法和变分法解平面问题
近似解法
§5-1 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡 条件、形变与位移之间的几何条件和形变与 应力之间的物理条件，建立微分方程和边界 条件。 因此，弹性力学问题属于微分方程的 边值问题。通过求解，得出函数表示的精 确解答。
Φ Φ 然后计算边界上各结点的Φ 、x 、 ； y
Φ Φ ΦA ( ) A ( ) A 0 ， x y
（2）由边界结点的
Φ Φ 、 值，求出边界 x y外一行虚结点的 Φ 值；
第五章
用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，
联立求各结点的 Φ 值；
式( f )、(g)分别是应力边界条件的微分、积 分形式。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
边界条件
Φ Φ ⑵由全微分dΦ d x d y 求边界点的 ΦB . x y
弹性力学简明教程全程导学及习题全解
1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。
注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。
（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。
1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。
2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。
在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。
（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。
在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E 换位21E μ-，1μμμ-换为，就得到平面应变问题的物理方程。
2-8 试列出题2-8图（a ），题2-8图（b ）所示问题的全部边界条件。
在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
【解】（1）对于图（a ）的问题 在主要边界0,x x b ==上，应精确满足下列边界条件：0(),(),x x x x b gy gy σρσρ===-=- 0()0()0xy x xy x b ττ====；。
在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件：01(),y y gh σρ==-()0yx τ=。
在小边界（次要边界）2y h =上，有位移边界上条件：22()0,()0y h y h u v ====。
这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚1δ=时，22212000()(),()0,()0b y y h by y h byx y h dx g h h b xdx dx σρστ===⎧=-+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。
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弹性简明课程是教育部第十个五年计划的国家计划教科书。
在第二版的基础上，它保留了原有的体系和特征，并根据教学改革的需要和相关的新国家标准进行了修订。
根据从浅到深的原理，本书安排了平面问题的理论和解决方案，空间问题的理论和解决方案以及薄板弯曲的理论。
着重介绍了弹性的数值解，如差分法，变分法和有限元法。
简明课程作为一本介绍性的弹性教科书，着重于基础理论（基础概念，基本方程式和基本解）的阐述和应用，以便学生在掌握基础知识的基础上阅读和应用弹性文献。
理论，并可以初步应用弹性数值解来解决实际工程问题。
主符号表
第1章简介1-1弹性的内容1-2弹性的一些基本概念1-3弹性的基本假设
第二章平面问题的基本理论2-1平面应力问题和平面应变问题2-2平衡微分方程2-3平面问题中点的应力状态2-4几何方程式刚体位移2-5物理方程式2-6边界条件2-7 Saint Venant原理及其应用2-8通过位移求解平面问题2-9通过应力相容方程求解平面问题2-10在恒力下简化的应力函数练习
第三章平面问题的直角坐标解3-1逆解和半逆解多项式解。
3-2矩形梁纯弯曲的计算3-3位移分量3-4均布荷载下的简支梁3-5重力和液压作用下的楔形体
第四章平面问题的极坐标解4-1极坐标中的平衡微分方程4-2极坐标中的几何方程和物理方程4-3极坐标中的应力函数和相容性方程4-4应力分量的坐标转换公式4- 5轴对称应力和相应的位移4-6圆环或圆柱体上的压力均匀分布4-7压力通道孔口处的应力集中4-8圆孔4-9边界上的集中力4-10边界上的分布力
第5章用差分法和变分法求解平面问题5-1差分公式的推导5-2应力函数的微分分解5-3应力函数的微分分解的例子5-4弹性体的变形势能和外力势能5 -5位移变化方程5-6位移变化方法5-7位移变化方法示例..
第6章使用有限元方法解决平面问题。
6-1基本数量和方程的矩阵表示。
6-2有限元方法的概念。
6-3单元的位移模式和解的收敛性。
6-4单元的应变阵列和应力阵列。
6-5节点力阵列和刚度矩阵。
6-6载荷位移到节点载荷阵列中。
6-7结构总体分析。
节点平衡方程的解。
6-8身体步阶单元的划分6-9计算结果的整理6-10计算示例6-11应用变分原理导出有限元法基本方程练习
第七章空间问题基本理论7-1平衡微分方程7-2物体任意点的应力状态7-3主应力的最大和最小应力7-4几何方程和物理方程7-5轴对称的基本方程问题。