不等式性质与基本不等式专题分类复习(家教资料)

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(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解

不等式的概念及其基本性质一、知识点复习：1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。

2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-；（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c>；（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果)0(<>c b a ，那么bc ac <，cb c a <；（4）如果a b >，那么b a <；（5）如果a b >，b c >，那么a c >。

二、经典题型分类讲解：题型1：考察不等式的概念1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。

其中不等式有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个题型2：考察不等式的性质2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（）A 、22b a , a b ab +< , 11a b<,其中正确的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．下列说法不一定成立的是（）A ．若a b >，则a c b c +>+B ．若a c b c +>+，则a b >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a b >5.（2016秋太仓市校级期末）如果10<<x ，则下列不等式成立的是（）A 、x x x 12<-x a 两边都除以a -1，得ax -<12，试化简：21++-a a 。

不等式复习资料

一、实数的大小实数可分为三类：正实数，零，负实数，如果a,b是两个实数，则a-b还是实数，所以它还是属于而且只属于以上三种之一，如果a-b，是一个正实数，则说明a>b；如果a-b是一个负实数，则说是a<b；如果a-b是零，则说a=b.由上可知，要判定两个实数a,b的大小时，只用判定a-b的符号就可以了例：1、∵5-0=5>0；-4-0=-4<0；∴5>0；-4<02、∵5-（-3）=8，∴5>-3二、不等式及其性质一、不等式表示不相等的式子，叫做不等式，例如：5<8，a+1>a等，都是不等式。

二、不等式的性质1、如果a>b，则b<a。

这个性质叫做不等式的对称性，它表明如果不等式的两边对调，不等式符号改变方向。

2、如果a>b，b>c，则a>c。

这个性质叫做不等式的传递性。

3、如果a>b，则a+c>b+c。

这个性质叫做加法的单调性。

它表明不等式的两边可以同时加上一个数，或同一个式子，不等号方向不变。

4、如果a>b，c>0，则ac>bc；如果a>b，c<0，则ac<bc。

这个性质表明不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变，不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变。

5、如果a>b，c>d,则a+c>b+d。

这个性质表明同向不等式各边相加，还是得同向不等式。

6、如果a>b，c<d，则a-c>b-d。

这个性质表明异向不等式两边分别相减，得一与被减式的同向不等式。

三、区间1、由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间，其中，这两个点叫做区间端点。

2、不含端点的区间叫做开区间；含有两个端点的区间叫做闭区间；只含有左端点的区间叫做右半开区间；只含有右端点的区间叫做左半开区间。

3、有两个端点的区间叫做有限区间，只有一个端点的区间叫做无限区间。

完整版)基本不等式知识点和基本题型

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

2024版高考数学总复习：不等式的性质与基本不等式教师用书

第四节不等式的性质与基本不等式考试要求：1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．2．掌握基本不等式푎 ≤푎+2(a >0，b >0)，能用基本不等式解决简单的最值问题．一、教材概念·结论·性质重现1．两个实数比较大小的依据(1)a －b >0⇔a >b .(2)a －b ＝0⇔a ＝b .(3)a －b <0⇔a b ⇔b <a .(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c .(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d .(同向可加性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ，a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .(正数同向可乘性)(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．(6)可开方性：a >b >0푎(1)a ＞b ，ab ＞0⇒ 3．基本不等式푎 ≤푎+2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中푎+2称为正数a ，b 的算术平均数，푎 称为正数a ，b 的几何平均数．4．利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2�(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是�24(简记：和定积最大)．1．使用基本不等式求最值时，2．“当且仅当(1)푎2+ 22≥(a ，b ∈R )．(2) 푎+푎≥2(ab ＞0)(当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)21푎+1≤푎 ≤푎+2≤a ＞0，b ＞0)．(4)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 푎＜+�푎+�； 푎＞−�푎−�(b －m ＞0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．(×)(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(×)(3)不等式a 2＋b 2≥2ab 与푎+2≥푎 成立的条件是相同的．(×)(4)函数f (x )＝sinx ＋4sin �的最小值为4.(×)2．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是()A．a －c b ＋dD．a ＋d >b ＋cC 解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确．3．当x >0时，函数f (x )＝2��2+1有()A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2B 解析：f (x )＝2�+1�≤x ＝1�(x >0)，即x ＝1时取等号，所以f (x )有最大值1.4．已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是()A．P ≤Q B．P <Q C．P ≥Q D．P >QA解析：不妨取a ＝b ＝12，则P －Q ＝14(x ＋y )2－12x 2－12y 2＝－14(x －y )2≤0，所以P ≤Q .5．若0＜a＜b，且a＋b＝1，将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为_______________．a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b解析：令a＝13，b＝23，代入2ab＝49，a2＋b2＝59，所以a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b.考点1不等式的性质——基础性1．下列命题正确的是()A．若a>b，则1푎<1B．若a>b，则a2>b2C．若a>b，c<d，则a－c>b－dD．若a>b，c>d，则ac>bdC解析：对于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，则1푎<1 不成立；对于B，若a>b，取a＝0，b ＝－1，则a2>b2不成立；对于C，若a>b，c<d，则a－c>b－d，正确；对于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，则ac>bd不成立．2．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为()A．若a>b，则ac<bcB．若ac2>bc2，则a>bC．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若a>0>b，则|a|<|b|BC解析：当c＝0时，ac＝bc，A为假命题；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若a<b<0，则a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D为假命题．3．(2022·济南质量检测)已知实数a，b，c满足a<b<c，且ab<0，那么下列各式中一定成立的是()A．푎 >푎�B．a(c－b)<0C．ac2>bc2D．ab(b－a)>0B解析：因为a<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B 正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则푎 <푎�，ac2<bc2，ab(b－a)<0，即选项A，C，D都不正确．4．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma， −�푎−�______ 푎.(填“>”或“<”)＜＜解析：因为b >a >0，m <0，所以b －a >0.因为mb －ma ＝m (b －a )<0，所以mb <ma .因为−�푎−�−푎＝<0，所以 −�푎−�< 푎.解决这类问题一是要充分利用不等式的性质，作差法比较两个代数式的大小．考点2利用基本不等式求最值——综合性考向1配凑法求最值(1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________；23解析：因为0＜x ＜1，所以4－3x >0，所以x (4－3x )＝13·3�4−3�≤13＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，等号成立．(2)当�+�+1x ＝_______．4解析：��＋1＋9－1＝5，当且仅当�＋1＝x ＝4时，等号成立．(1)依据：基本不等式．(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1푎+1的最小值为_________．4解析：因为a ＋b ＝1，所以1푎+1＝+a ＋b a ＝b ＝12时，等号成立．(2)已知x ＋2y ＝xy (x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为_________．9解析：由x＋2y ＝xy 得2�+1�＝1，所以2x ＋y ＝(2x ＋y +＝5＋2��+2��≥5＋2＝9，当且仅当2��＝2��，即x ＝y 时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为9.(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．(2)把确定的定值(常数)变形为(1)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则푎�2的最大值为()A．8B．2C．18D ．16C 解析：因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以푎�2＝푎�4푎2+4푎�+�2＝14푎�+�푎+4≤＝18，当且仅当c ＝2a ＞0时，等号成立．(2)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是_________．45解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x2＝1−�45�2，由x 2≥0，可得y 2∈(0，1]，则x 2＋y2＝1−�45�2＋y 2＝1+4�45�2＝154�2+≥15·2＝45，当且仅当y 2＝12，x 2＝310时，等号成立，故x 2＋y 2的最小值为45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2＝254(x 2＋y 2)2，当且仅当5x 2＋y 2＝4y 2＝2，即y 2＝12，x 2＝310，等号成立，故x 2＋y 2≥45，即x 2＋y 2的最小值为45.(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，(2)如果出现多元的问题，(多选题)设正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，则()A．1�+2�的最小值为22B．�+�的最小值为2C．��的最大值为1D．m 2＋n 2的最小值为2CD 解析：因为正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，所以1�+2�＝m ＋n )×12＝123+��+≥123+＝3+222，当且仅当��＝2��且m ＋n ＝2，即m ＝22－2，n ＝4－22时取等号，A 错误；(�+�)2＝m ＋n ＋2��＝2＋2��≤2＋2×�+�2＝4，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，所以�+�≤2,即最大值为2，B 错误；由mn＝1,当且仅当m ＝n ＝1时取等号，此时��2取最大值12，C 正确；m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，即m 2＋n 2的最小值为2，D 正确．考点3利用基本不等式解决实际问题——应用性某公司生产的商品A ，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入�4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的单价提高a 元，则(10－a )·(5＋a )≥50，解得0≤a ≤5.所以商品的单价最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx 万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx ＝12(x 2＋x )＋�4＋50(x ＞5)即可，此时m ＝12x ＋34+50�≥234＝434，当且仅当12x ＝50�，即x ＝10时等号成立．故销售量m 至少应达到434万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．(1)利用基本不等式解决实际问题时，的函数关系式，然后用基本不等式求解．1．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析()A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合适B解析：设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为��+��2�＝�+�2，乙的平均单价为2��+��＝2��+�.因为x ≠y ，所以�+�22��+�＝�2+�2+2��4��>4��4��＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．2．(多选题)(2022·枣庄期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km，从P 点沿海岸线正东方向12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3km/h，步行的平均速度为5km/h，时间t (单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x (单位：km)表示此人将船停在海岸距点P 处的距离．设u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，则()A．函数v ＝f (u )为减函数B．15t －u －4v ＝32C．当x ＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x ＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h AC 解析：因为u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，所以�2+4＝�+�2，x ＝�−�2，uv ＝4，则v ＝4�，其在(0，＋∞)上是减函数，A 正确；t ＝�2+43+12−�5＝�+�6+125−�−�10，整理得15t ＝u ＋4v ＋36，B 错误；15t ＝u ＋16�＋36≥2�·16�＋36＝44，当且仅当u ＝16�，即u ＝4时等号成立，则4＝�2+4＋x ，解得x ＝1.5，C 正确；当x ＝4时，t ＝253+85，t －3＝253−75＝105−2115＝500−44115＞0，则t ＞3，D 错误．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．8解析：每台机器运转x 年的年平均利润为��＝18－�25�而x >0，故��≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．拓展考点绝对值三角不等式定理1如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立定理2如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|≤3×16＋2×14＝1，即|x ＋5y |≤1.证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A．x ＋y ≤1B．x ＋y ≥－2C．x 2＋y 2≤2D．x 2＋y 2≥1[四字程序]读想算思若实数x ，y 满足x 2＋y2－xy ＝1不等式的性质、基本不等式、配方法的应用x 2＋y 2，xy ，(x ±y )2的关系转化与化归x ＋y ≤1；x ＋y ≥－2；x 2＋y 2≤2；x 2＋y 2≥11．构造不等式．2．代数换元．3．三角换元1．构造关于所求代数式的不等式．2．令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．3．求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数．4．三角换元1.利用基本不等式可以实现积化和、和化积、和化和．2．三角代换的适用条件和新变元范围的确定思路参考：利用xy ，xy ≤�2+�22构造关于x ＋y ，x 2＋y2的不等式，解不等式求范围．BC 解析：由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x＝y 时，取等号，即当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确．由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x 2＋y 2)－1＝xy ≤�2+�22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确．当x y x 2＋y 2＝23<1，D 错误．故选BC.思路参考：令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．BC 解析：令x ＋y ＝t ，则y ＝t －x ，代入x 2＋y 2－xy ＝1得关于x 的方程3x 2－3tx ＋(t 2－1)＝0，则Δ＝(－3t )2－4×3×(t 2－1)≥0，解得－2≤t ≤2，即－2≤x ＋y ≤2.令x 2＋y 2＝m ，则由x 2＋y 2－xy ＝1得xy ＝m －1，于是有m ≥2|m －1|，解得23≤m ≤2，即x 2＋y 2232，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.思路参考：求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数，求函数的值域得范围．BC解析：由xy ＋1＝x 2＋y 2≥2|xy |得xy ∈−13，1，则x 2＋y 2＝xy 232，(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝3xy ＋1∈[0，4]，即x ＋y ∈[－2，2]，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.1．利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法.其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．2．基于新课程标准，求最值问题一般要有对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．已知x ＞0，y ＞1，且x ＋2y ＝xy ＋1，则x ＋y 的最小值为_________．5解析：令x ＋y ＝t ，则x ＝t －y .将x ＝t －y 代入x ＋2y ＝xy ＋1，得t ＋y ＝ty －y 2＋1，即y 2＋(1－t )y ＋t －1＝0，Δ＝(1－t )2－4(t －1)＝t 2－6t ＋5≥0，得t ≤1(舍去)或t ≥5.故x ＋y 的最小值为5.课时质量评价(四)A 组全考点巩固练1．(2023·日照模拟)若a ，b ，c 为实数，且a 0，则下列不等关系一定成立的是()A．a ＋c bc D．b －a >cA解析：对于A，因为a 1，故B 错误；对于C，令a ＝－2，b ＝1，c ＝1，满足a 0，但ac <bc ，故C 错误；对于D，令a ＝1，b ＝2，c ＝1，满足a 0，但b －a ＝c ，故D 错误．故选A.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件是()A．x ＝y B．x ＝2y C．x ＝2且y ＝1D．x ＝y 或y ＝1C 解析：因为x >0，y >0，所以x ＋2y ≥22��，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件．3．(2022·滨州三校高三联考)已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+恒成立，则m 的最大值为()A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则ma ＋b )恒成立，转化成求y a ＋b )的最小值．y a ＋b )＝5＋4 푎+푎≥5＋2当且仅当a＝2b 时，等号成立，所以m ≤9.故选D.4．(多选题)已知1푎<1<0，则下列结论正确的有()A．a |b |D．ab |a |，b 2>ab .因此BD 正确，AC 不正确．5．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E ，则下列不等式可以表示CD ≥DE 的是()A．푎 ≥2푎푎+(a ＞0，b ＞0)B．푎+2푎 (a ＞0，b ＞0)≥푎+2(a ＞0，b ＞0)D．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0)A解析：连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°.在Rt△ADB 中，中线OD ＝퐴2＝푎+2.由射影定理可得CD 2＝AC ·BC ＝ab .所以CD ＝푎 .在Rt△DCO 中，由射影定理可得CD 2＝DE ·OD ，即DE ＝��2푂�＝푎푎+ 2＝2푎푎+.由CD ≥DE 得푎 ≥2푎푎+.6．(2023·济南模拟)若正数a ，b 满足ab ＝4，则1푎+9的最小值为_________．3解析：因为a ＞0，b ＞0，且ab ＝4，所以1푎+9≥21푎·9 ＝2×푎＝2×4＝3，当且仅当1푎＝9，即a ＝23，b ＝6时取“＝”，所以1푎+9的最小值为3.7．若a >0，b >0，则1푎+푎2＋b 的最小值为_________．22解析：因为a >0，b >0，所以1푎+푎2＋b ≥21푎·푎 2＋b ＝2＋b ≥22· ＝22，当且仅当1푎＝푎2且2＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，所以1푎+푎2＋b 的最小值为22.8．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是_________．3解析：由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3−�22�＝32�−12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32�−12x ＝3�2+32�≥23�2·32�＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.9．(2022·唐山模拟)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1.(1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式푎�+ ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab 푎+ 2＋1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．解得(a ＋b )2≤4.又a >0，b >0，所以a ＋b ≤2.(2)解：不能成立．理由：a >0，b >0，c >0，d >0，由基本不等式得푎�+ ≤푎+�2++2，当且仅当a ＝c 且b＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以푎�+ ≤1＋�+2.因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝�+2+�+2≥�+2+� >�+2＋1≥푎�+ ，故푎�+ ＝c ＋d 不能成立．B 组新高考培优练10．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则11+푎+44+的最小值为()A．1B．78C．98D．2C解析：因为a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以11+푎+44+＝18[(1＋a)＋(4＋b＝185+4+1+푎+≥18×(5＋4)＝98，当且仅当4＋b＝2(1＋a)，即2a－b＝2，即a＝53，b＝43时等号成立．11．(2022·滨州联考)已知a>0，b>0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则m的最大值为() A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式4푎+1 ≥�푎+ 恒成立，则ma＋b)恒成立，转化成求y a＋b)的最小值．y a＋b)＝5＋4 푎+푎 ≥5＋2当且仅当a ＝2b时，等号成立，所以m≤9.故选D.12．(多选题)(2023·重庆模拟)已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当�푎 取最小值时，下列说法正确的是()A．a＝4bB．c＝6b2C．a＋b－c的最大值为34D．a＋b－c的最大值为38BD解析：对于A，由a2－ab＋4b2－c＝0，得c＝a2＋4b2－ab，则�푎 ＝푎 +4 푎－1≥2－1＝3，当且仅当푎 ＝4푎，即a＝2b时等号成立，故A不正确；对于B，当�푎 取最小值时，由�푎 =3，푎=2 ，得c＝6b2，故B正确；对于C，D，a＋b－c＝2b＋b－6b2＝－6b2＋3b＝－6＋38≤38，当且仅当a＝12，b＝14，c＝38时等号成立，所以(a＋b－c)max＝38，故C不正确，D正确．13．若不等式1�+11−4�－m≥0对x∈0m的最大值为()A．7B．8C．9D．10C解析：将不等式化为1�+11−4�≥m，只需当x∈0m+即可．由1�+11−4�＝+x＋1－4x)＝4＋1−4��+4�1−4�＋1≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当x ＝16时，等号成立，故m ≤9.故m 的最大值为9.故选C.14．(2022·贵阳模拟)已知正实数x ，y 满足等式1�+3�＝2.(1)求xy 的最小值；(2)若3x ＋y ≥m 2－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)2＝1�+3�≥2xy ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝3时等号成立，所以xy 的最小值为3.(2)3x ＋y ＝12(3x ＋y＝126+9��≥126+x ＝1，y ＝3时等号成立，即(3x ＋y )min ＝6，所以m 2－m ≤6，所以－2≤m ≤3.15．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是R (x )＝−14�2＋500x (单位：元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润÷总产量)．销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？求P (x )的最大值．(2)求乐观系数λ的值．(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．解：(1)依题意，总利润为－14x 2＋500x －100x －40000＝－14x 2＋400x －40000，所以P (x )＝−14�2+400�−40000�＝－14x －40000�＋400≤－200＋400＝200.当且仅当14x ＝40000�，即x＝400时，等号成立，故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．(2)由b ＝a ＋λ(c －a )得λ＝−푎�−푎.因为b －a 是c －b ，c －a 的比例中项，所以(b －a )2＝(c －b )(c －a )，两边除以(b －a )2，得−푎·�−푎−푎＝−1·�−푎−푎，所以−1·1�，解得λ＝5−12.(3)由(1)知，当x ＝400时，厂家平均利润最大，所以a ＝40000�＋100＋P (x )＝40000400＋100＋200＝400(元)．每件产品的利润为b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)，所以b ＝100(5＋3)，所以a ＝400，b ＝100(5＋3)．。

不等式的基本性质复习材料

不等式的基本性质复习材料概述本文档旨在复不等式的基本性质，包括不等式的定义、性质和解不等式的方法。

通过掌握这些基本概念和技巧，您将能够更好地应用不等式解题和问题分析。

不等式的定义不等式是数学中描述不等关系的符号集合。

通常使用的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

例如，如果一个数大于另一个数，则可以表示为$a > b$。

不等式的性质不等式具有以下基本性质：- 传递性：如果$a > b$且$b > c$，则必有$a > c$。

类似地，对于小于不等式也成立。

- 加法性：如果$a > b$，则对于任何正数$c$，都有$a + c > b +c$。

同样，对于小于不等式也成立。

- 乘法性：如果$a > b$且$c > 0$，则$a \cdot c > b \cdot c$。

同样，如果$a < b$且$c < 0$，则$a \cdot c > b \cdot c$。

解不等式的方法解不等式的方法取决于不等式的类型和条件。

以下是常见的解不等式方法：一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个变量的一次方程。

解这类不等式一般有以下步骤：1. 用基本性质将不等式转化为标准形式，即将所有项移到一边，使得不等式为0。

2. 判断不等式符号的转向，根据条件判断变号情况。

3. 根据不等式的解集表示形式（如区间表示法）给出最终解。

一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个变量的二次方程。

解这类不等式一般有以下步骤：1. 用基本性质将不等式转化为标准形式，即将所有项移到一边，使得不等式为0。

2. 将二次项系数归一化为1，保持方程不等号方向不变。

3. 求出二次方程的根，并将数轴划分为相应的区间。

4. 根据区间和不等式符号的转向，找出满足不等式的解集。

绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

解这类不等式一般有以下步骤：1. 根据绝对值的定义将绝对值不等式转化为两个不等式。

高三一轮复习《不等式的性质与基本不等式》

第六章不等式§6.1不等式的性质与基本不等式知识梳理1、比较原理两实数b a ,之间有且只有以下三个大小关系之一：、、。

其中0>-⇔>b a b a ；⇔<b a ；⇔=b a 。

（比较大小常用方法：）2、不等式的性质（1）对称性：⇔>b a 。

（2）传递性：⇒>>c b b a , 。

（3）不等式加等量：c a b a +⇔> c b +。

（4）不等式乘正量：⇒>>0,c b a 。

不等式乘负量：⇒<>0,c b a 。

（5）同向不等式相加：⇒>>d c b a , 。

（6）异向不等式相减：⇒<>d c b a , 。

（7）同向不等式相乘：⇒>>>>0,0d c b a 。

（8）异向不等式相除：⇒<<>>d c b a 0,0 。

（9）不等式取倒数：a ab b a 10,⇒>> b1 （10）不等式的乘方：⇒>>0b a 。

（11）不等式的开方：⇒>>0b a 。

（12）真分数性质：0,0___b b m a b m a a m+>>>⇒+ 3、重要不等式和基本不等式（1）如果0,0>>b a ，那么叫做这两个正数的算术平均数。

（2）如果0,0>>b a ，那么叫做这两个正数的几何平均数。

（3）基本不等式：0,0>>b a ，则，当且仅当b a =时取等号，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

注：①用基本不等式求最值时注意三个条件：“ ”②基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的不小于 ,如图所示.（4）常见变形：① （,a R b R ∈∈取等条件：）② （,a R b R ∈∈取等条件：）③ （,a R b R ∈∈取等条件：）（5）求最小值：0,0>>b a ，当ab 为定值时，22,b a b a ++有最值，即≥+b a ，≥+22b a 。

专题基本不等式常见题型归纳(教师版)

专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=．练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x－y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1,x y 0x y >>22log log 1x y +=22x y x y+-y x y x -+22yx xyy x -+-2)(2y x -4y x y x -⋅-4)(yx -433时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x y xy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43，当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立．【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 yx y x -+22【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为．解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .,x y 22x y +=8x yxy+8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82x y y x=解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立． 5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，ax ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用). 6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -= 则2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立． 60ax by +-=2(3)50x b y +-+=2a3-b b ab b a 23+b 3a2b a 6a b6a b b a 66⋅b a 6ab62练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=212xx-，那么x2＋y2= x2＋222(1)4xx-=54x2+214x－12≥21 212，当且仅当54x2=214x，即x4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。

中考复习不等式专题

不等式专题训练不等式的性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即若a >b ，则a +c >b +c ，a -c >b -c 。

基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即若a >b ,c >0，则ac >bc （或）基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即若a >b ,c <0，则ac <bc （或）基本性质4：若a >b ，则b <a 。

基本性质5：若a >b >c ，则a >c 。

基本性质6：如果a b >，c d >，那么a c b d +>+ 一、不等式的基本性质1.若a ＞b ，则（）A ．a ﹣1≥bB ．b +1≥aC ．a +1＞b ﹣1D ．a ﹣1＞b +1 2.若a ＞b ，则下列等式一定成立的是（）A ．a ＞b +2B ．a +1＞b +1C ．﹣a ＞﹣bD ．|a |＞|b | 3.如果a b <，0c <，那么下列不等式中不成立的是（）A ．a c b c +<+B ．ac bc >C ．11ac bc +>+D ．22ac bc > 4.不等式3（1﹣x ）＞2﹣4x 的解在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．5.下列哪个数是不等式2(1)30x -+<的一个解？（）A ．-3B ．12-C ．13D ．2 6.不等式12x -≤的非负整数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7.不等式3（x ﹣1）≤5﹣x 的非负整数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8.关于x 的不等式21x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为（） A ．53a -<<- B ．53a -≤<- C ．53a -<≤- D ．53a -≤≤- 9.不等式组20240x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（） A ． B ． C ． D ． 10.若不等式组的解集为﹣1＜x ＜1，那么(a +1)(b ﹣1)的值等于_____． 11.若不等式组的解集为11x -<<，则________.12.若不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是 x ＞3，则m 的取值范围是（）. A ．m ＞3 B ．m ≥3 C ．m ≤3 D ．m ＜313.若关于x的不等式组()2213x x ax x＜⎧-⎪⎨-≤⎪⎩恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．12a≤<B．01a≤<C．12a-<≤D．10a-≤<二、一次函数与不等式1.点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）在一次函数y = 3x -2的图象上，若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 32.如图，直线y =kx +b 交坐标轴于两点，则不等式kx +b ＜0的解集是（）A ．x ＞-2B ．x ＞3C ．x ＜-2D ．x ＜33.如图是一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像，则不等式y ＜0时，x 的取值范围为（）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜－1D ．x ＞－14.已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像，当x ＞0时，y 的取值范围是（）A ．y ＜1B ．y ＞1C ．y ＜－12D ．y ＞－125.直线l 1：y 1=k 1x +b 与l 2：y 1=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x +b ＞k 2x 的解为（） x y1-1O -121y x O xy y=k x y=k 1x+b-2-1OA ．x ＞-1B ．x ＜-1C ．x ＜-2D ．无法确定6.如图，函数y =2x 和y =ax ＋4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x ＜ax ＋4的解集为（）A ．x ＜32B ．x ＜3C ．x ＞32D ．x ＞3 7.如图，直线y x m =-+与3y x 的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式30x m x -+>+>的取值范围（）A.x >-2B ．x <-2C ．-3<x <-2D ．-3<x <-1 8.如图，直线y =kx +b 经过A （－1，－2）、B （－2，0）两点，直线y =2x过点A ，则不等式2x ＜kx +b ＜0的解集为三、二次函数与不等式1.若A （－3，y 1）、B （－5，y 2）、C （2，y 3）为二次函数y =-x 2-4x +5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 32.已知二次函数y ＝－x 2－7x ＋，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )A.y 1＞y 2＞y 3B. y 1＜y 2＜y 3C.y 2＞y 3＞y 1D. y 2＜y 3＜y 1 3.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，当y ＞0时，自变量x12152xyO AyO A OB A yx x的取值范是（）A ．x <－1B ．x ＞3C ．x <－1或x ＞3D ．－1<x <34.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx +c <0 的解集是（）A. -1<x <5 B ．x ＞5C. x <－1 且 x ＞5 D ．x ＜－1或x ＞55.如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式 20ax bx c ++<的解集为（）A.1x <-或 5x > B ．5x >C ．15x -<<D ．无法确定6.在同一坐标系下，抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x 2+4x ＞2x 的解集是（）A ．x ＜0B ．0＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜0或 x ＞27.二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是（）A ．30x -<C ．3x <-或1x >D ．03x <<8.如图，一次函数1y kx b =+与二次函数22y ax =交于A （1，1）和 B （2，4）两点，则当12y y <时x 的取值范围是（）A. 1x <-B ．2x >C ．12x -<<D ．1x <-或2x > 9.如图是二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）和一次函数y 2＝mx +n （m ≠0）的图象，当y 2＞y 1，x 的取值范围是（）A. x ＜－2 B ．x ＜－2或x ＞1 C ．－2＜x ＜1D ．x ＞1四、反比例函数与不等式1.已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝2021x 图象上的点，若x 1>0>x 2，则( ) A ．y 1>y 2>0 B ．y 1>0>y 2 C ．0>y 1>y 2 D ．y 2>0>y 12.在函数y =(k <0)的图像上有A (1,y )、B (－1,y 2)、C(－2,y 3)三个点，则下列各式中正确的是（） A. y 1<y 2<y 3 B. y 1<y 3<y 2 C. y 3<y 2<y 1 D. y 2<y 3<y 13.若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）都是反比例函数的图象上的点，并且x 1＜0＜ x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 2＜y 3＜y 1C. y 3＜y 2＜y 1D. y 1＜y 3 ＜y 2 xk 1xy 1-=4.如图，函数y1＝x+1与函数y2=2/x的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞15.如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y=m/x（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞m/x的解集为（）A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜16.如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3=k/x的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1。

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。

在数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。

本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。

一、基本不等式的定义基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。

二、基本不等式的性质1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。

2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。

3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。

4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。

5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。

若c ≤ 0，则ac ≥ bc。

6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。

若 c < 0，则a/c ≥ b/c。

三、常用的基本不等式1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ +a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。

该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，那么这些数之间存在不等关系。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、b₂、...、bₙ，有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂²+ ... + bₙ²)。

柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘积的平方之间的关系。

该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛应用。

3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝对值之和。

数学基本不等式知识点(高中数学知识点复习资料归纳整理)

数学基本不等式知识点（高中数学知识点复习资料归纳整理）基本不等式【考纲要求】1. 了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决最大（小）值问题.3. 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。

（3）可以变形为：，可以变形为：.3. 如图，是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b，过点C作交圆于点D，连接AD、BD易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.要点诠释：1. 在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称为a,b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果a>0，b>0，我们用、分别代替a、b，可得：如果a>0，b>0，则，（当且仅当a=b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a>0，b>0，，（当且仅当a=b时取等号“=”）2. 代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

高中数学复习：不等式性质与基本不等式

高中数学复习：不等式性质与基本不等式1.若a b >，则( ) A ．()0ln a b ->B ．33a b <C ．330a b ->D ．||||a b >2.若1a b >>，01c <<，则( ) A ．c c a b >，01c <<，则( ) A ．log log a b c c 4.若，且，则下列不等式成立的是A ．B ．C ．D ． 5.已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．110x y -> B ．sin sin 0x y -> C ．11()()022x y -< D ．ln ln 0x y +> 6.若0a b >>，0c d <<，则一定有（）A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 7.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是A ．111122+>+y x B ．)1ln()1ln(22+>+y x C ．y x sin sin > D ．33y x >0a b >>1ab =()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b<+<+()21log 2a b a a b b +<+<()21log 2a b a b a b +<+<8.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-．若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<恒成立，则k 的最小值为（）A ．12 B ．14C ．12πD ．189. 设实数,x y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是．【考点总结与提高】 1.两个实数比较大小的依据(1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方性：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．3.不等式性质应用问题的常见类型及解题策略4.考点67 不等式解法【试题分类与归纳】1.（2019•新课标Ⅰ，理1）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则(M N = )A ．{|43}x x -<，{|10}B x x =-<，则(A B = )A ．(,1)-∞B ．(2,1)-C．(3,1)--D ．(3,)+∞3.（2019•新课标Ⅲ，理1）已知集合{1A =-，0，1，2}，}1|{2≤=x x B ，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}4.（2018•新课标Ⅰ，文12）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞5.（2017•新课标Ⅰ，理1）已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则( ) A ．{|0}AB x x =D ．A B =∅6.（2016•新课标Ⅰ,理1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则(A B = )A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(2，3)7.（2016•新课标Ⅱ，理2）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则AB 等于() A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{1-，0，1，2，3}8.（2016•新课标Ⅱ，文1）已知集合{1A =，2，3}，2{|9}B x x =<，则(A B = )A ．{2-，1-，0，1，2，3}B ．{2-，1-，0，1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2}9.（2016•新课标Ⅲ，理1）设集合{|(2)(3)0}S x x x =--，{|0}T x x =>，则(S T = )A ．[2，3]B ．(-∞，2][3，)+∞C ．[3，)+∞D ．(0，2][3，)+∞10-.（2015•新课标Ⅱ，理1）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则(AB =)A ．{1-，0}B ．{0，1}C ．{1-，0，1}D ．{0，1，2}11.（2014新课标Ⅰ，理1）已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）12.（2014新课标Ⅱ，理1）设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A.｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝13.（2013新课标Ⅰ，理1）已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A ∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆AD 、A ⊆B14.（2013新课标Ⅱ，理1）已知集合M={x ∈R|2(1)4x -<}，N={-1,0,1,2,3},则M ∩N= A.{0,1,2} B ．{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 15.（2012•新课标，文1）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ 16.（2010•新课标，理1）已知集合，，则（A ）（B ）（C ）（D ） 17.（2017山东）设函数y =的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B ⋂=A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)- 18.（2012•新课标，文11）当0<x≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 19.（2015山东）已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|24}B x x =<<，则AB =A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）20.（2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x (单位m )的取值范围是A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]{}2,R A x x x =≤∈{}4,Z B x =≤∈A B =()0,2[]0,2{}0,2{}0,1,221.（2013重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则A ．B ．C ．D ．22.（2017•新课标Ⅲ，理15）设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,1)(x x x x f x ，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是．23.（2014新课标I ，文15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.24.（2010•新课标，文9）设偶函数()f x 满足()f x =24x-(x ≥0），则(){}20x f x ->=（A ）{}24x x x <->或（B ）{}04x x x <>或（C ）{}06x x x <>或（D ）{}22x x x <->或25.（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈ 的概率是．26. （2014江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是．27. （2013重庆）设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对恒成立，则的取值范围为．28. （2013江苏）已知是定义在R 上的奇函数．当时，，则不等式的解集用区间表示为．29.（2013四川）已知)(x f 的定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，那么，不等式5)2(<+x f 的解集是____________．30.（2012福建）已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．x 22280x ax a --<0a >12(,)x x 2115x x -=a =5272154152,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m x R ∈a )(x f 0>x x x x f 4)(2-=x x f >)(31.（2012江苏）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为．32. （2012江西）不等式2902x x ->-的解集是___________． 33.（2010江苏）已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__ ___．34.（2010天津）设函数1()f x x x=-，对任意x [1,)()()0f mx mf x ∈+∞<，+恒成立，则实数m 的取值范围是________．35.（2010天津）设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()x f m f x m ⎛⎫-⎪⎝⎭≤ (1)4()f x f m -+恒成立，则实数m 的取值范围是．36.（2010浙江）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值．37.(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是___________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【考点总结与提高】1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠－b 2aR一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅2对照上表求解．2.解一元二次不等式的4个步骤一化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对应方程的判别式三求求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集3求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔{ f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 5.一元二次不等式在R 上恒成立的条件6.(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .7.一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．考点68 基本不等式应用【试题分类与归纳】1.（2013四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__．2.（2015陕西）设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =C ．p r q =<D ．p r q => 3.（2015北京）设{}n a 是等差数列．下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->4.（2014重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ．326+B ．327+C ．346+D ．347+ 5.（2013福建）若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．6.（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为 A ．0 B ．1 C ．D ．3 7.（2013山东）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为A ．0B ．C ．2D ．8.（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A．B ．C ．5D ．6 9.（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则A ．a v <<．v C <v <D ．v =10.（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是122=+y x y x +]2,0[]0,2[-),2[+∞-]2,(--∞,,x y z 22340x xy y z -+-=xyz212x y z+-94z y x ,,04322=-+-z y xy x zxy2x y z +-98942452852a b +2a b+A．2a b a b +<<<B．2a ba b +<<< C．2a b a b +<<<D2a b a b +<<< 11.（2011上海）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B．a b +≥ C．11a b +>．2b aa b +≥ 12.（2019天津理13）设的最小值为 .13.(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128a b+的最小值为． 14.(2017北京)已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是_______．15.（2017天津）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．16.（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是．17.（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是．18. （2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是__19. （2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为．20. （2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为． 21.（2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车0,0,25x y x y >>+=辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时． 21. （2013天津）设a + b = 2， b >0，则当a = 时，取得最小值. 22.（2013四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__． 23.（2011浙江）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是____．24. （2011湖南）设，则的最小值为． 25.（2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤；≤； ③222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 【考点总结与提高】1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；1||2||a a b+,x y R ∈222211()(4)x y y x++(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．5.利用基本不等式求最值问题的方法（1）拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．注意的问题①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； ②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； ③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．（2）常数代换法求最值的步骤①根据已知条件或其变形确定定值(常数)； ②把确定的定值(常数)变形为1；③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； ④利用基本不等式求解最值．常数代换法注意的问题：①条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；②已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；③利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．（3）通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．5.如何正确选用方法来求最值(1)已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，采用拼凑法．(2)已知两变量之间的和或积为常数时，求解有关代数式的最值问题，采用常数代换法．6．利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记(1)一正：各项或各因式均为正；(2)二定：和或积为定值；(3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值．利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．7.如何正确选用方法来求最值(1)已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，采用拼凑法．(2)已知两变量之间的和或积为常数时，求解有关代数式的最值问题，采用常数代换法．2．利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记(1)一正：各项或各因式均为正；(2)二定：和或积为定值；(3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值．利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．答案1.（2019•新课标Ⅱ，理6）若a b >，则( ) A ．()0ln a b -> B ．33a b < C ．330a b -> D ．||||a b >【答案】B【解析】取0a =，1b =-，则()10ln a b ln -==，排除A ；011331333a b -==>==，排除B ；33330(1)1a b =>-=-=，故C 对；||0|1|1a b =<-==，排除D ．故选C ． 2.（2016•新课标Ⅰ，理8）若1a b >>，01c <<，则( ) A ．c c a b >，01c <<，∴函数()c f x x =在(0,)+∞上为增函数，故c c a b >，故A 错误， ∵函数1()c f x x -=在(0,)+∞上为减函数，故11c c a b --<，故c c ba ab <，即c c ab ba >；故B 错误；∵log 0a c <，且log 0b c <，log 1a b <，即log log 1log log c a c b b ca c=<，即log log a b c c >．故D 错误； 0log log a b c c <-<-，故log log a b b c a c -<-，即log log a b b c a c >，即log log b a a c b c <，故C 正确；故选C ． 3.（2016•新课标Ⅰ，文8）若0a b >>，01c <<，则( ) A ．log log a b c c 【答案】B【解析】0a b >>，01c <<，log log c c a b ∴<，故B 正确；∴当1a b >>时，0log log a b c c >>，故A 错误；c c a b >，故C 错误；a b c c <，故D 错误，故选B ．4.（2017山东）若，且，则下列不等式成立的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解法一取2a =，12b =，则1224a b +=+=，2112228a b ==，22log ()log 42a b +==，所以，选B ．解法二由题意1a >，01b <<，所以12ab <，122a a a a b +=+=>，又1a b +>，所以2()()a b a b +>+，所以22222log ()log ()log 1a b a b >+>+>=，故，选B ． 5.(2016年北京)已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．110x y -> B ．sin sin 0x y -> C ．11()()022x y -< D ．ln ln 0x y +> 【答案】C【解析】因为0x y >>，选项A ，取11,2x y ==，则111210x y -=-=-<，排除A ；选项B ，取,2x y ππ==，则sin sin sin sin102x y ππ-=-=-<，排除B ；选项D ，12,2x y ==，则ln ln ln()ln10x y xy +===，排除D ，故选C ． 6.（2014山东）若0a b >>，0c d <<，则一定有（）A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 0a b >>1ab =()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b<+<+()21log 2a b a a b b +<+<()21log 2a b a b a b +<+<()21log 2a b a b a b<+<+()21log 2a b a b a b<+<+【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a b d c<，故选D.7.（2014四川）已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx ，则下列关系式恒成立的是A ．111122+>+y x B ．)1ln()1ln(22+>+y x C ．y x sin sin > D ．33y x >【答案】D【解析】由已知得x y >，此时22,x y 大小不定，排除A,B ；由正弦函数的性质，可知C 不成立；故选D ．8.（2014辽宁）已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-．若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<恒成立，则k 的最小值为（）A ．12 B ．14C ．12πD ．18【答案】B【解析】不妨设01y x ≤≤≤，当102x y <-≤时，11()()24f x f y x y -<-≤；当112x y <-≤时，()()()(1)()(0)f x f y f x f f y f -=--- ()(1)f x f -≤()(0)f y f +-111022x y <-+-11111(1)()22224x y y x =-+=+-<，∴14k ≥． 10. （2010江苏）设实数,x y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是．【答案】27【解析】22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy =⋅∈，43yx 的最大值是27．【考点总结与提高】 1.两个实数比较大小的依据(1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方性：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．3.不等式性质应用问题的常见类型及解题策略4.考点67 不等式解法【试题分类与归纳】1.（2019•新课标Ⅰ，理1）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则(M N = )A ．{|43}x x -<，{|10}B x x =-<，则(A B = )A ．(,1)-∞B ．(2,1)-C ．(3,1)--D ．(3,)+∞【答案】A【解析】根据题意，2{|560}{|3A x x x x x =-+>=>或2}x <，{|10}{|1}B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)AB x x =<=-∞，故选A ．3.（2019•新课标Ⅲ，理1）已知集合{1A =-，0，1，2}，}1|{2≤=x x B ，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【答案】A【解析】因为{1A =-，0，1，2}，]1,1[-=B ，所以{1AB =-，0，1}，故选A ．4.（2018•新课标Ⅰ，文12）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【答案】D【解析】函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩，的图象如图，满足(1)(2)f x f x +<，可得：201x x <<+或210x x <+，解得(,0)x ∈-∞，故选D ．5.（2017•新课标Ⅰ，理1）已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则( ) A ．{|0}AB x x =D ．A B =∅【答案】A【解析】由题知，{|31}{|0}x B x x x =<=<，{|0}A B x x ∴=<，故A 正确，D 错误；{|1}AB x x =<，故B 和C 都错误，故选A ．6.（2016•新课标Ⅰ,理1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则(A B = )A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(2，3)【答案】D【解析】集合(1,3)A =，3(2B =，)+∞，3(2AB ∴=，3)，故选D ．7.（2016•新课标Ⅱ，理2）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则AB 等于() A ．{1} B ．{1，2} C ．{0，1，2，3} D ．{1-，0，1，2，3}【答案】C【解析】集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}{0x Z ∈=，1}，{0A B ∴=，1，2，3}，故选C ．8.（2016•新课标Ⅱ，文1）已知集合{1A =，2，3}，2{|9}B x x =<，则(A B = )A ．{2-，1-，0，1，2，3}B ．{2-，1-，0，1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2}【答案】D【解析】集合{1A =，2，3}，2{|9}{|33}B x x x x =<=-<<，{1AB ∴=，2}，故选D ．9.（2016•新课标Ⅲ，理1）设集合{|(2)(3)0}S x x x =--，{|0}T x x =>，则(S T = )A ．[2，3]B ．(-∞，2][3，)+∞C ．[3，)+∞D ．(0，2][3，)+∞【答案】D【解析】由题知(S =-∞，2][3，)+∞，(0,)T =+∞，(0ST ∴=，2][3，)+∞，故选D ．10-.（2015•新课标Ⅱ，理1）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则(A B =)A ．{1-，0}B ．{0，1}C ．{1-，0，1}D ．{0，1，2}【答案】A【解析】{|21}B x x =-<<，{2A =-，1-，0，1，2}，{1AB ∴=-，0}，故选A ．11.（2014新课标Ⅰ，理1）已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】A【解析】∵A=(,1][3,)-∞-⋃+∞，∴A B ⋂=[-2,-1]，故选A.12.（2014新课标Ⅱ，理1）设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A.｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝【答案】D【解析】∵{}{}2=32012N x x x x x -+≤=≤≤，∴MN ={}1,2，故选D.13.（2013新课标Ⅰ，理1）已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A ∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B【答案】B【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.14.（2013新课标Ⅱ，理1）已知集合M={x ∈R|2(1)4x -<}，N={-1,0,1,2,3},则M ∩N= A.{0,1,2} B ．{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 【答案】A【解析】M=(-1,3), ∴M ∩N={0,1,2},故选A.15.（2012•新课标，文1）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ 【答案】B【解析】A=（－1,2），故B ⊂≠A ，故选B.16.（2010•新课标，理1）已知集合，，则（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】由题得A=[－2,2],B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,},∴A B ={0,1,2}，故选D.17.（2017山东）设函数y =的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B ⋂=A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)- 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB={|21}x x -<≤，选D.18.（2012•新课标，文11）当0<x≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【答案】A【解析】由指数函数与对数函数的图像知12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得02a <<，故选A. 19.（2015山东）已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|24}B x x =<<，则AB =A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）{}2,R A x x x =≤∈{}4,Z B x =≤∈A B =()0,2[]0,2{}0,2{}0,1,2【答案】C【解析】2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x AB =-+<=<<=．20.（2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x (单位m )的取值范围是A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 【答案】C【解析】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则240()40ADE ABC S y S ∆∆-=，所以40y x =-，又300xy ≥，所以(40)300x x -≥，即，解得1030x ≤≤．21.（2013重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵由 ()，得(4)(2)0x a x a -+<，即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=，∵214(2)615x x a a a -=--==，∴15562a ==．故选A ． 22.（2017•新课标Ⅲ，理15）设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,1)(x x x x f x，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是．【答案】1(4-，)+∞2403000x x -+≤x 22280x ax a --<0a >12(,)x x 2115x x -=a =527215415222280x ax a --<0a >【解析】若0≤x ，则2121-≤-x ，则1()()12f x f x +->等价为11112x x ++-+>，即122x >-，则14x >-，此时041≤<-x ，当0x >时，()21x f x =>，1122x ->-，当102x ->即12x >时，满足1()()12f x f x +->恒成立，当21210-≥-≥x ，即021>≥x 时，1111()12222f x x x -=-+=+>，此时1()()12f x f x +->恒成立，综上14x >-．23.（2014新课标I ，文15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.【答案】(,8]-∞【解析】原不等式等价于112x x e -<⎧⎨≤⎩或1312x x ≥⎧⎪⎨⎪≤⎩，解得8x ≤，故x 的取值范围是(,8]-∞.24.（2010•新课标，文9）设偶函数()f x 满足()f x =24x-(x ≥0），则(){}20x f x ->=（A ）{}24x x x <->或（B ）{}04x x x <>或（C ）{}06x x x <>或（D ）{}22x x x <->或【答案】B【解析】当x ＜0时，－x ＞0，则()f x =()f x -=24x--，∴()f x =240240x xx x -⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ ，∴(2)f x -=22242242x x x x --+⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ ，∴(2)f x -＞0等价于22240x x -≥⎧⎨->⎩或22240x x -+<⎧⎨->⎩，解得，x ＜0或x ＞4，故选B.25.（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈ 的概率是．【答案】59【解析】由260x x +-≥，解得23x -≤≤，根据几何概型的计算公式得概率为3(2)55(4)9--=--29. （2014江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是．【答案】(2-【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得0m <<． 30. （2013重庆）设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对恒成立，则的取值范围为．【答案】．【解析】不等式对恒成立，则有22(8sin )48cos 264sin 32cos 20αααα∆=-⨯=-≤ 即2222sin cos 22sin (12sin )αααα-=--24sin10α=-≤.,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m x R ∈a 5[0,][,]66πππ28(8sin )cos 20x x αα-+≥x R ∈∴21sin 4α≤.∴11sin 22α-≤≤. 又，结合下图可知，α∈π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.31. （2013江苏）已知是定义在R 上的奇函数．当时，，则不等式的解集用区间表示为．【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出 ()的图像，如下图所示．由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像．不等式，表示函数y ＝的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)．29.（2013四川）已知)(x f 的定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，那么，不等式5)2(<+x f 的解集是____________．【答案】(－7,3)【解析】当x ≥0时，令245x x -<，解得，05x <≤．又因为)(x f 为定义域为R 的偶函数，则不等式(2)5f x +<等价于525x -<+<，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)．0απ≤≤)(x f 0>x x x x f 4)(2-=x x f >)(x x x f 4)(2-=0>x )(x f R x x f >)()(x f30.（2012福建）已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0，8)【解析】因为不等式x 2﹣ax +2a ＞0在R 上恒成立．∴△=2()80a a --<，解得0＜a ＜8．31.（2012江苏）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为．【答案】9【解析】因为()f x 的值域为[0,+∞），所以,0=∆即24a b =,所以2204a x ax c ++-=的两根，由一元二次方程根与系数的关系得,4)6(,622c a m m a m -=+-=+解得c =9. 33. （2012江西）不等式2902x x ->-的解集是___________．【答案】【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可．33.（2010江苏）已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__ ___．【答案】(1)-【解析】由题知，2212(1)10x xx x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩． 34.（2010天津）设函数1()f x x x=-，对任意x [1,)()()0f mx mf x ∈+∞<，+恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】1m <-【解析】已知()f x 为增函数且m ≠0，(3,2)(3,)-⋃+∞(3)(2)(3)0x x x +-->若m >0，由复合函数的单调性可知()f mx 和()mf x 均为增函数，此时不符合题意．m <0，时有22111102()012m mx mx mx m x mx x m x m-+-<⇒--•<⇒+< 因为22y x =在[1,)x ∈+∞上的最小值为2，所以1+212m<即2m >1，解得1m <-.35.（2010天津）设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()x f m f x m ⎛⎫-⎪⎝⎭≤ (1)4()f x f m -+恒成立，则实数m 的取值范围是．【答案】D【解析】依据题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m ---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒定成立，即22213241m m x x -≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立．当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-，所以221543m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解得m ≤或m ≥． 36.（2010浙江）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值．【答案】20【解析】七月份的销售额为500(1%)x +，八月份的销售额为2500(1%)x +，则一月份到十月份的销售总额是238605002[500(1%)500(1%)]x x +++++，根据题意有238605002[500(1%)500(1%)]7000x x +++++≥，即225(1%)25(1%)66x x +++≥，令1%t x =+．则22525660t t +-≥，解得65t ≥或115t -≤（舍去），故61%5x +≥，解得20x ≥． 37.(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是___________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．【考点总结与提高】1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系对照上表求解．2.解一元二次不等式的4个步骤一化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对应方程的判别式三求求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集3求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔{ f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 5.一元二次不等式在R 上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax 2＋bx ＋c >0 a >0，Δ<0 ax 2＋bx ＋c ≥0 a >0，Δ≤0 ax 2＋bx ＋c <0 a <0，Δ<0 ax 2＋bx ＋c ≤0a <0，Δ≤06.(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .7.一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．考点68 基本不等式应用【试题分类与归纳】1.（2013四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__．【答案】36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x x a x x =+≥=，当且仅当4ax x=，即3x ==，解得36a =．2.（2015陕西）设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】B【解析】∵0a b ，∴2a b ab ，又()ln f x x 在(0,)上单调递增，故()2a bf f ，即q p ，∵r =))()((21b f a f + =)ln (ln 21b a +=ab ln =)(ab f =p ，∴p r q ．3.（2015北京）设{}n a 是等差数列．下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C【解析】若{}n a 是递减的等差数列，则选项,A B 都不一定正确．若{}n a 为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{}n a 为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得1322a a a ，由基本不等式得13132a a a a ，所以C 正确．4.（2014重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ．326+B ．327+C ．346+D ．347+ 【答案】D【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b+=(0,0a b >>)，4343()()77b a a b a b a b a b +=++=+++≥43b aa b=时取等号． 5.（2013福建）若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题考查的是均值不等式．因为，即，所以，当且仅当，即时取等号．6.（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为 A ．0 B ．1 C ．D ．3 122=+yx y x +]2,0[]0,2[-),2[+∞-]2,(--∞y x y x 222221⋅≥+=222-+≤yx 2-≤+y x yx 22=y x =,,x y z 22340x xy y z -+-=xyz212x y z+-94【答案】B 【解析】由，得．所以，当且仅当，即时取等号此时，.，故选B.7.（2013山东）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为A ．0B ．C ．2D ．【答案】C【解析】由22340x xy y z -+-=得2243x y xy z +-=，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥=-=，当且仅当224x y =即2x y =时，zxy有最小值1，将2x y =代入原式得22z y =，所以22222224x y z y y y y y +-=+-=-+，当1y =时有最大值2．故选C ．z y x ,,04322=-+-z y xy x zxy2x y z +-98948.（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A．B ．C ．5D ．6 【答案】C【解析】35x y xy +=，∴，∴ . 9.（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则A ．a v <<．vC<v <D ．v =【答案】A【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，则22211S ab v S Sa b a ba b===<=+++． ∵ a b <,∴ 2222ab a v a a b a=>=+,∴a v <<A ． 10.（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b +<<<B ．2a ba b +<<< C ．2a b a b +<<<D 2a b a b +<<< 【答案】B【解析】（方法一）已知a b <2a b+<，比较a 因为22()0a a a b -=-<，所以a <245285135y x+=113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=2a b +2a b+。

等式性质与不等式性质(基础知识+基本题型)(含解析)

2.1 等式性质与不等式性质（基础知识+基本题型）知识点一不等式的有关概念1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，≥，≤，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．同向不等式和异向不等式对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，f x g x 与S x T x是同向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≤也是同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，f x g x 与S x T x是异向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≥也是异向不等式．提示文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言≥≤知识点二比较实数大小的依据与方法1．比较实数大小的依据在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图 3.11所示），可以看出a，b之间具有以下性质：如果a b-等于零，那么>；如果a b-是正数，那么a ba b；如果a b<．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证-是负数，那么a b明不等式和解不等式的主要依据．2．比较两个实数大小的方法⑴作差法：对于两个实数a，b，通过比较a b-与0的大小关系，从而得到实数a，b的大小关系，具体方法如下：a b a b-=⇔=；0-<⇔<．a b a b->⇔>；0a b a b⑵作商法：对于任意两个正数a ，b ，通过比较a b与1的大小关系，从而得到正数a ，b 的大小关系，具体方法如下：当0a ，0b 时，1a a bb >⇔>；1aa b b=⇔=；1aa b b<⇔<．知识点三等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=．知识点四不等式的性质性质具体名称性质内容注意 1 对称性 a b b a >⇔< ⇔ 2 传递性 a b ，b c a c >⇒> ⇒ 3 可加性a b a c b c >⇔+>+ ⇔4 可乘性 0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭c 的符号0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭5 同向可加性 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭⇒ 6 同向同正可乘性 00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⇒7 可乘方性 0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，1n ≥）同正8可开方性0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，2n ≥）9 取倒数11a bab a b>⎫⇒<⎬>⎭a，b同号考点一：用不等式表示不等关系180m，拟分割成大、例1.某人有楼房一幢，室内面积共218m，小两类房间作为旅游客房，大房间面积为215m 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。

初中不等式专题复习知识点及习题

专题二不等式(组）知识点汇总：1.不等式：用“＞”、“＜”、“≥”或“≤"将两个式子连接以表示大小关系的式子.2.不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

3.不等式的解集:使不等式成立的x的取值范围叫做不等式解的集合,简称解集.4.不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变.5.解不等式：求不等式解集的过程.其目的实质就是把不等式化为“x＞a或x ≥a"、“x＜a或x≤a”的形式.6.用数轴表示不等式：（大于向右画，小于向左画，无等号画圆圈,有等号画实心点）7.一元一次不等式：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,这样的不等式叫做一元一次不等式。

思考:解一元一次不等式与解一元一次方程有什么异同?8.一元一次不等式组：把两个或多个一元一次不等式组合起来是一个一元一次不等式组。

9.不等式组的解集:不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集。

记：同大取大,同小取小,大小小大取中间,大大小小无处找。

思考：解一元一次方程组与解一元一次不等式组有什么异同?随堂练习：1.已知a＜0，则关于x的不等式ax＜5的解为________,5x＜a的解为________.2.已知a，b为常数，若ax+b＞0的解集为x＜3，则bx+a＜0的解集为________。

3.若不等式组有解，则k的取值范围是( ）（A）k＜2 （B）k≥2 （C）k＜1 (D）1≤k＜24.若（x+1)（x-1）＜0，则x的解集为__________。

5.九年级一个班有几个同学毕业前合影留念，每人交0.7元，一张彩色底片0。

68元，扩印一张相片0.50元,每人分一张，在收上来的钱尽量用掉的前提下,这张相片上的同学最少有________个。

(完整版)基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+ 二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、选修4—5：不等式选讲：已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值（一）（凑项） 1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数） 1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

基本不等式知识点

基本不等式知识点1.不等式的性质：不等式具有与等式类似的运算性质，例如可以进行加减乘除运算，并且可以对不等式的两边同时进行相同的运算。

但需要注意的是，当不等式两边同时乘或除以负数时，不等号的方向会发生改变。

2.加法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a+c<b+c。

即不等式两边同时加上相同的数，不等式的关系保持不变。

3.减法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a-c<b-c。

即不等式两边同时减去相同的数，不等式的关系保持不变。

4.乘法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a·c<b·c。

即不等式两边同时乘以正数，不等式的关系保持不变。

需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。

5.除法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a/c<b/c。

即不等式两边同时除以正数，不等式的关系保持不变。

需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。

6.平方不等式：对于实数a和正实数b，若a>b，则a²>b²。

即不等式两边同时取平方，不等式的关系保持不变。

7.绝对值不等式：对于任意实数a和正实数b，若，a，<b，则-b<a<b。

即如果一个实数的绝对值小于一个正实数，则这个实数的取值范围在-b和b之间。

8.基本不等式的应用：基本不等式可以应用于各类数学问题的解决，例如求解方程组、解决最值问题等。

这些应用需要根据具体问题，结合基本不等式的性质，并运用合适的不等式进行推导。

以上是基本不等式的主要知识点。

通过掌握这些知识点，我们能够更好地理解不等式的性质，并有效地运用于解决实际问题。

在学习和应用过程中，我们可以通过大量的练习，加深对基本不等式的理解和掌握，提高解决问题的能力。

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不等式性质与基本不等式专题一、知识梳理1、基本不等式ab ≤a ＋b2①基本不等式成立的条件：a >0，b >0. ②等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2、几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)二、考点解析考点一：比较大小已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．变式训练：1：已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b2：下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是 ( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3考点二：不等式性质的应用1、若0m n <<，则下列结论正确的是（） A ．22mn>B ．11()()22m n <C ． 1122log log m n >D ． 22log log m n >2、已知a,b,c∈R,下列命题中正确的是（）A ．22bc ac b a >⇒>B ．b a bc ac >⇒>22C ．ba b a 1133<⇒> D ．||22b a b a >⇒> 3、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．变式训练：1、已知a=log2 0.3，b=30.2，c=0.32，则（） A ． a ＜c ＜b B ． a ＜b ＜cC ． c ＜b ＜aD ． c ＜a ＜b2、己知且a >b ，则下列不等式中成立的是（）A.B. C. D.3、若2log 0a <,1()12b >，则A.1a >,0b >B.1a >,0b <C. 01a <<, 0b >D. 01a <<, 0b <4、若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．考点三：一元二次不等式恒成立问题已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．变式训练：若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．考点四：利用基本不等式求最值1、设1a >，0b >，若2a b +=，则121a b+-的最小值为（） A．3+．6 C．．2、函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++= 上，其中m ，n 均大于0，则12m n+的最小值为（）3、已知+∈R b a ,，且1=+b a ，则b a 21+的最小值是 A. 42 B. 1 C. 22 D. 3＋22 4、(1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.245 B.285C ．5D ．6 变式训练：1、已知向量a )2,1(-=x ,b ),4(y =且a ⊥b ，则93x y+的最小值为（）A ．．6 C ．12 D ．2、已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（） A.1- B.0 C.1 D.2 3、已知函数94(1)1y x x x =-+>-+，当x=a 时，y 取得最小值b,则a+b= A ．-3 B ．2 C ．3 D ．8 4、若x 0,y 0,>>且x 2y 3,+=则11x y+的最小值为（）A ．2B ．32 C ．13+ D ．3+5、 (1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考点五：基本不等式的实际应用如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．变式训练：某种商品原来每件售价为25元，年销售 8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．三、课后自测1. “a ＋b ＞2c ”的一个充分非必要条件是( )A ．a ＞c 或b ＞cB ．a ＞c 或b ＜cC ．a ＞c 且b ＞cD ．a ＞c 且b ＜c 2. 若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意实数x 均成立，则实数m 的取值的范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2)3. （2013·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3 224.（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f(10x)>0的解集为( ) A ．{x|x<－1或x>－lg 2} B ．{x|－1<x<－lg 2} C ．{x|x>－lg 2} D ．{x|x<－lg 2} 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2＜m ＜4D ．－4＜m ＜26．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．1127. 下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b 成立的充分条件有______．8. （2013·四川卷）已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．9. 设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，则t 的取值范围是______________．10. 若正数a 、b 满足1a ＋4b＝2，则a ＋b 的最小值为______．11. 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．12.某厂为适应市场需求，投入98万元引进世界先进设备，并马上投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元．而每年因引入该设备可获得年利润为50万元．请你根据以上数据，解决以下问题： (1)引进该设备多少年后，开始盈利？ (2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出．第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算？参考答案解析考点一：变式训练：1、解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝21()2a＋34>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.答案：A2、A考点二：1、C2、B3、变式训练：1、A2、D3、D4、考点三：变式训练：解析：由Δ1<0，即a2－4(－a)<0，得－4<a<0；由Δ2≥0，即a2－4(3－a)≥0，得a≤－6或a≥2.答案：(－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞)考点四：1、A2、C3、D4、变式训练：1、B2、C3、9941+511y x x x x =-+=+-++，因为1x >-，所以910,01x x +>>+，所以由均值不等式得91+5511y x x =+-≥=+，当且仅当911x x +=+，即2(1)9x +=，所以13,2x x +==时取等号，所以2,1a b ==，3a b +=，选C.4、C5、考点五变式训练课后自测1、解析：由不等式的性质知a ＞c 且b ＞c ⇒a ＋b ＞2c ，所以C 是a ＋b ＞2c 的充分非必要条件答案：C2、3、【答案】B 【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时等号成立，故选B.4、D5、6、解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y 6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1且(x ＋1)(2y ＋1)＝9，即x ＝2，y ＝1时等号成立，故x ＋2y ≥4，选B.7、解析：1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．答案：①②④ 8、9、10、11、12、。