福建省西山高中2012高中数学《3.4生活中的优化问题举例》学案(第2课时) 新人教版选修1-1
高中数学选修1-1优质学案：§3.4 生活中的优化问题举例
§3.4生活中的优化问题举例学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(√) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x )cm,0<x <30，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为202cm ，高为102cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． 跟踪训练1 已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最小时，圆柱的高h 的值为________．考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 [答案]6πS 3π[解析] 设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2， S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ， ∴h ＝S －2πr 22πr.又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最小． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最小时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值为42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 用料(费用)最省问题例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？ 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题解 设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041000x ＝1280x (元)，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来表示， 所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1280x ＝800＋160ln x ＋1280x (x >0)，所以g ′(x )＝160(x －8)x 2(x >0)，令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0<x <8时， g ′(x )<0，当x >8时，g ′(x )>0，所以当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值． 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．反思与感悟 费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 跟踪训练3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋1212mx -＝m 2x 232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，且f ′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时( ) A ．公司已经亏损 B ．公司的盈利在增加 C ．公司的盈利在逐渐减少D ．公司有时盈利有时亏损 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 [答案] C[解析] 因为f ′(100)＝－1，所以函数图象在x ＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．2．已知某厂家生产某种产品的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋36x ＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．11万件B ．9万件C ．7万件D ．6万件考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 [答案] D[解析] 由y ′＝－x 2＋36＝0， 解得x ＝6或x ＝－6(舍去)． 当0<x <6时，y ′>0； 当x >6时，y ′<0， ∴在x ＝6时y 取最大值．3．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3 B ．3m 3 C ．4m 3D ．5m 3 考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 [答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x 4＝92－3x (m)⎝⎛⎭⎫0<x <32，故长方体的体积为V (x )＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎫0<x <32， 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )，令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．4．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．考点 函数类型的优化问题题点 利用导数解决费用最省问题[答案] 4[解析] 设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其表面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a 2＝a 2＋210a. 令S ′＝2a －210a 2＝0，得a ＝8. 当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0，故当a ＝8时，S 最小，此时h ＝2882＝4. 5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？考点 函数类型的优化问题题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设商品降价x 元，则每星期多卖的商品数为kx 2.若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数[解析]式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.。
数学：1.4《生活中的优化问题举例》教案(1)(新人教A版选修2-2)
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。
利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。
高中数学同步学案 生活中的优化问题举例
3．4生活中的优化问题举例[读教材·填要点]1．优化问题投入一定的成本如何获取最大的利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫作优化问题．2．解决优化问题的基本思路[小问题·大思维]将8分成两个非负数之和,使其立方和最小,应该怎么分？提示：设一个数为x,则另一个数为8－x,则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2,且0≤x≤8,y′＝48x－192.令y′＝0,即48x－192＝0,得x＝4.当0≤x<4时y′<0,当4<x≤8时y′>0,∴当x＝4时,y最小．即分成的这两个数应为4,4.用料最省、费用最低问题如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式,并指出其定义域． (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． [自主解答] (1)设长为x m,则宽为200x m ．据题意⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤16，0<200x ≤16，解得252≤x≤16,y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x≤16, (2)y′＝800－259 200x 2＝0, 解得x ＝18.当x ∈(0,18)时,函数y 为减函数； 当x ∈(18,＋∞)时,函数y 为增函数． 又∵252≤x≤16.∴当x ＝16时,y min ＝45 000.∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时,总造价y 最低为45 000元.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．1.已知A,B 两地相距200千米,一只船从A 地逆水航行到B 地,水速为8千米/时,船在静水中的航行速度为v 千米/时(8＜v≤v 0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比,当v ＝12(千米/时)时,船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省,船的实际航行速度应为多少？ 解：设船每小时航行所需的燃料费为y 1元,比例系数为k(k ＞0),则y 1＝kv 2. ∵当v ＝12时,y 1＝720,∴720＝k·122,得k ＝5.设全程燃料费为y 元,由题意, 得y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8,∴y′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000vv －82. 令y′＝0,解得v ＝0(舍去)或v ＝16.∴当v 0≥16时,v ∈(8,16),y′＜0,即y 为减函数； v ∈(16,v 0],y′＞0,即y 为增函数,故v ＝16(千米/时)时,y 取得极小值,也是最小值,此时全程燃料费最省； 当v 0＜16时,v ∈(8,v 0],y′＜0,即y 在(8,v 0]上为减函数, 故当v ＝v 0时,y min ＝1 000v 2v 0－8,此时全程燃料费最省．综上可得,若v 0≥16,则当v ＝16(千米/时)时,全程燃料费最省,为32 000元；若v 0＜16,则当v ＝v 0时,全程燃料费最省,为1 000v 2v 0－8元.利润最大、效率最高问题某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2,且生产x 吨的成本为：R ＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？[自主解答] 依题意,每月生产x 吨时的利润为： f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x≥0)．由f′(x)＝－35x 2＋24 000,令f′(x)＝0,解得x 1＝200,x 2＝－200(舍去)．因为f(x)在[0,＋∞)内有意义,则有且只有当x ＝200时f′(x)＝0,且它就是最大值点,最大值为f(200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000.故每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.实际生活中利润最大,效率最高,流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值,此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点),函数满足左增右减,此时唯一的极大值就是所求函数的最大值．2.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5 000辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x ＜1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x,写出本年度的年利润p(万元)关于x 的函数关系式；(2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3 240×⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53,则当x 为何值时,本年度年利润最大？最大年利润是多少？解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x),年销售量为5 000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润p ＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5 000×(1＋0.4x) ＝(3－0.9x)×5 000×(1＋0.4x)＝－1 800x 2＋1 500x ＋15 000(0＜x ＜1)． (2)本年度的年利润为f(x)＝(3－0.9x)×3 240×⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53＝3 240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5), 则f′(x)＝3 240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)．令f′(x)＝0,解得x ＝59或x ＝3(舍去)．当0＜x ＜59时,f′(x)＞0,当59＜x ＜1时f′(x)＜0,所以x ＝59时,f(x)有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000. 所以当x ＝59时,本年度的年利润最大,最大年利润为20 000万元.面积、容积的最值问题请你设计一个包装盒．如图所示,ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D 四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E,F 在AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大,试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大,试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [自主解答] 设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm)．由已知得a ＝2x,h ＝60－2x2＝2(30－x),0＜x＜30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800, 所以当x ＝15时,S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2), V′＝62x(20－x).由V′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时,V′＞0；当x ∈(20,30)时,V′＜0. 所以当x ＝20时,V 取得极大值,也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一般地,通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0,则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较．3.已知圆柱的表面积为定值S,当圆柱的容积V 最大时,圆柱的高h 的值为________． 解析：设圆柱的底面半径为r, 则S 圆柱底＝2πr 2,S 圆柱侧＝2πrh ,∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh.∴h ＝S －2πr 22πr,又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r 2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32,V′(r)＝S －6πr22,令V′(r)＝0得S ＝6πr 2,∴h ＝2r,因为V′(r)只有一个极值点,故当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π,∴h ＝2S 6π＝6πS 3π.即当圆柱的容积V 最大时,圆柱的高h 为6πS3π. 答案：6πS3π4.如图,已知矩形的两个顶点位于x 轴上,另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的长和宽． 解：设AD ＝2x(0＜x ＜2), 则A(x,0),AB ＝y ＝4－x 2,所以矩形面积为S ＝2x(4－x 2)(0＜x ＜2), 即S ＝8x －2x 3,S′＝8－6x 2, 令S′＝0,解得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 当0＜x ＜23时,S′＞0；当23＜x ＜2时,S′＜0, 所以,当x ＝23时,S 取得最大值,此时S 最大值＝3239.即矩形的长和宽分别为83,433时,矩形的面积最大.如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2,短半轴长为1,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD 的端点在椭圆上,记|CD|＝2x,梯形的面积为S.(1)求面积S 以x 为自变量的函数解析式,并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．[巧思] 可通过建立恰当的直角坐标系,列出面积S 关于x 的函数解析式,然后利用导数的知识,借助函数的单调性,即可求得面积S 的最大值．[妙解] (1)依题意,以AB 的中点O 为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则点C(x,y)满足方程x 2＋y24＝1,且x>0,y>0,∴y ＝21－x 2(0<x<1)．∴S ＝12(2x ＋2)·21－x 2＝2(x ＋1) 1－x 2(0<x<1)．(2)令f(x)＝S 2＝4(x ＋1)2(1－x 2)(0<x<1), 则f′(x)＝8(x ＋1)2(1－2x)．令f′(x)＝0,解得x ＝12或x ＝－1(舍去)．当0<x<12时,f′(x)>0,f(x)为增函数；当12<x<1时,f′(x)<0,f(x)为减函数． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f(x)在区间(0,1)上的极大值,也是最大值, 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝274,此时S ＝332.故当x ＝12时,S 取得最大值332.1．某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R 与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3900＋400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意可得总利润P(x)＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x≤390,则P′(x)＝－x2300＋300,由P′(x)＝0,得x ＝300.当0≤x<300时,P′(x)>0；当300<x≤390时,P′(x)<0,所以当x ＝300时,P(x)最大．答案：D2．设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V解析：设正三棱柱的底面边长为x,高为h,则V ＝34x 2h, ∴S ＝2×34x 2＋3xh ＝32x 2＋43V x.由S′＝3x －43V x 2＝3x 3－4V x2＝0得,x ＝34V. 当0＜x ＜34V 时,S′＜0,当x ＞34V 时,S′＞0, ∴x ＝34V 时,S 最小． 答案：C3．某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R 与年产量x 的关系是R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 20≤x≤400，80 000x>400，则总利润最大时,每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析：由题意,总成本为：C ＝20 000＋100x,所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x≤400，60 000－100x ，x>400，P′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x≤400，－100，x>400，令P′＝0,当0≤x≤400时,得x ＝300；当x>400时,P′<0恒成立,易知当x ＝300时,总利润最大． 答案：D4．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m,则当高为________m 时,容器的容积最大．解析：设高为x 米,则V ＝x(x ＋0.5)⎝ ⎛⎭⎪⎫14.84－0.5－2x＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x,x ∈(0,1.6), V′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6,令V′＝0, 解得x ＝1或x ＝－415(舍去)．当0<x<1时,V′>0,当1<x<1.6时,V′<0,所以当x ＝1时,容器的容积取得最大值． 答案：15．做一个无盖的圆柱水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为________． 解析：用料最省,即水桶的表面积最小． 设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为27r 2,所以S ＝πr 2＋2πr×27r 2＝πr 2＋54πr (r>0),求导数,得S′＝2πr－54πr 2,令S′＝0,解得r ＝3.当0<r<3时,S′<0；当r>3时,S′>0, 所以当r ＝3时,圆柱形水桶的表面积最小, 即用料最省． 答案：36．某工厂要围建一个面积为128 m 2的矩形堆料场,一边可以用原有的墙壁,其他三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料最省,则堆料场的长、宽应分别是多少？解：设场地宽为x m,则长为128xm, 因此新墙总长度为y ＝2x ＋128x(x ＞0), y′＝2－128x 2,令y′＝0,∵x>0,∴x ＝8.因为当0＜x ＜8时,y′＜0；当x ＞8时,y′＞0, 所以当x ＝8时,y 取最小值,此时宽为8 m,长为16 m. 即当堆料场的长为16 m,宽为8 m 时,可使砌墙所用材料最省．一、选择题1．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x－234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：因为y′＝－x 2＋81,所以当x ∈(9,＋∞)时,y′＜0；当x ∈(0,9)时,y′＞0,所以函数y ＝－13x3＋81x －234在(9,＋∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x ＝9是函数的极大值点,又因为函数在(0,＋∞)上只有一个极大值点,所以函数在x ＝9处取得最大值．答案：C2．若一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则圆柱侧面积的最大值为( ) A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2解析：设内接圆柱的底面半径为r 1,高为t, 则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r. 此时S ＝4π·22r·r 2－⎝⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r·22r ＝2πr 2. 答案：A3．某商品一件的成本为30元,在某段时间内若以每件x 元出售,可卖出(200－x)件,要使利润最大每件定价为( )A ．110元B ．115元C ．120元D ．125元解析：设每件商品定价x 元,依题意可得利润为S(x)＝(x －30)(200－x)＝－x 2＋230x －6 000(0<x<200), S′(x)＝－2x ＋230,令－2x ＋230＝0,得x ＝115.因为在(0,200)内S(x)只有一个极值,所以以每件115元出售时利润最大． 答案：B4．某商场根据以往规律预计某种商品2018年第x 月的销售量f(x)＝－3x 2＋40x(x ∈N ＋,1≤x≤12),该商品的进价q(x)与月份x 的关系是q(x)＝150＋2x(x ∈N ＋,1≤x≤12),该商品每件的售价为185元,若不考虑其它因素,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是( )A ．3 120元B ．3 125元C ．2 417元D ．2 416元解析：该商场预计销售该商品的月利润为 g(x)＝(－3x 2＋40x)(185－150－2x) ＝6x 3－185x 2＋1 400x(x ∈N ＋,1≤x≤12), g′(x)＝18x 2－370x ＋1 400.令g′(x)＝0,解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x≤5时,g′(x)＞0；当5＜x≤12时,g′(x)＜0, ∴当x ＝5时,g(x)max ＝g(5)＝3 125(元)． 所以5月份的月利润最大是3 125元． 答案：B 二、填空题5．某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x ＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物,则n ＝400x, ∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n ＋4x ＝1 600x ＋4x,令f′(x)＝4－1 600x 2＝0,解得x ＝20,x ＝－20(舍去),x ＝20是函数f(x)的最小值点,故当x ＝20时,f(x)最小．答案：206．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x,其中x 为销售量(单位：辆),若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________万元．解析：设甲地销售x 辆,则乙地销售(15－x)辆．总利润L ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x)＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x≥0)．令L′＝－0.3x ＋3.06＝0,得x ＝10.2.∴当x ＝10时,L 有最大值45.6.答案：45.67．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为______．解析：设圆锥高为h,底面半径为r,则R 2＝(h －R)2＋r 2,∴r 2＝2Rh －h 2,∴V ＝13πr 2h ＝π3h(2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3, V′＝43πRh－πh 2.令V′＝0得h ＝43R. 当0<h<4R 3时,V′>0；当4R 3<h<2R 时,V′<0. 因此当h ＝43R 时,圆锥体积最大． 答案：43R 8．某厂生产某种产品x 件的总成本c(x)＝1 200＋275x 3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为________件时,总利润最大．解析：设产品的单价为p 万元,根据已知,可设p 2＝k x,其中k 为比例系数． 因为当x ＝100时,p ＝50,所以k ＝250 000,所以p 2＝250 000x ,p ＝500x ,x>0. 设总利润为y 万元,则y ＝500x·x－1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200. 求导数得,y′＝250x －225x 2. 令y′＝0得x ＝25.故当0<x<25时,y′>0；当x>25时,y′<0.因此当x ＝25时,函数y 取得极大值,也是最大值．答案：25三、解答题9.如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m 2的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),道路的宽度均为2 m ．怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为x m,则宽为2 400xm,绿化区域的总面积为S(x) m 2. 则S(x)＝(x －6)⎝ ⎛⎭⎪⎫2 400x －4＝2 424－⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋6×2 400x ＝2 424－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3 600x ,x ∈(6,600)． ∴S′(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3 600x 2＝－4x ＋60x －60x 2.令S′(x)＞0,得6＜x ＜60；令S′(x)＜0,得60＜x ＜600.∴S(x)在(6,60)上是增函数,在(60,600)上是减函数,∴当x ＝60时,S(x)取得极大值,也是最大值,∴S(x)max ＝S(60)＝1 944.∴当休闲广场的长为60 m,宽为40 m 时,绿化区域的总面积最大,最大面积为1 944 m 2.10．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内,预计年销量Q (万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入3万元,每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费投入100万元,企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大？解：(1)由题意,每年产销Q 万件,共计成本为(32Q ＋3)万元． 销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x·50%.∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q ＋3－x)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x≥0)． ∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x≥0)． 当x ＝100时,y ＜0,即当年广告费投入100万元时,企业亏损．(2)由y ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x≥0)可得 y′＝－2x ＋98x ＋1－－x 2＋98x ＋352x ＋12 ＝－x 2－2x ＋632x ＋12. 令y′＝0,则x 2＋2x －63＝0.∴x ＝－9(舍去)或x ＝7.∵当0＜x ＜7,y′＞0；当x ＞7,y′＜0,∴当x ＝7时,y 有最大值．即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大．。
《生活中的优化问题举例》教案2(新人教版选修1-1)
1.4生活中的优化问题举例教学目标：掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用教学重点：掌握导数生活中的优化问题问题中的应用．教学过程一、复习：利用导数求函数极值和最值的方法二、引入新课例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ． 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则S(R)= 2πR2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，，从而h=2V R π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.课堂练习：第37页练习A 、B课后作业：第38页B:5，6，7。
福建省西山高中高中数学《3.4生活中的优化问题举例》学案(第2课时) 新人教版选修11
[自学目标]:1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力[重点]：利用导数解决生活中的一些优化问题．[难点]:利用导数解决生活中的一些优化问题[教材助读]:求解应用问题的方法：解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把问题情境译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解。
[预习自测]1、一条长为的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？待课堂上与老师和同学探究解决。
[合作探究展示点评]探究一：磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。
为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？探究二：节省材料问题例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？[当堂检测]1．一边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都是x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,x 多大时,方盒的容积V最大?2．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
[拓展提升]1、一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？。
高中数学《生活中的优化问题举例》导学案
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为□01优化问题．通过前面的学习，我们知道□02导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用□03导数，可以解决一些生活中的□04优化问题．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成□05函数关系式，这需通过□06分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由□07极值和端点的函数值确定，当定义域在□08开区间上□09只有一个极值时，这个极值就是它的最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的□10数学建模过程．解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f′(x)＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，我们可直接判断这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上需函数关系式本身有意义即可．()(2)实际问题中f′(x)＝0只有一个解且是极值点时，它就是f(x)的最值点．()答案(1)×(2)√2．做一做(1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该厂家获取最大年利润的年产量为________．(2)某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．答案(1)9(2)32 m,16 m探究1面积、容积的最值问题例1用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[解]设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，V ′(x )＝12x 2－552x ＋4320＝12(x 2－46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)(0<x <24)． 令V ′(x )＝0，解得x 1＝10，x 2＝36(舍去)．当0<x <10时，V ′(x )>0，V (x )是增函数；当10<x <24时，V ′(x )<0，V (x )是减函数．因此，在定义域(0,24)内，只有当x ＝10时函数V (x )取得最大值，其最大值为V (10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm 3.拓展提升在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，但一定要注意自变量的取值范围．【跟踪训练1】 用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积．解 设容器底面一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝(3.2－2x ) m . 由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x >0，x >0，解得0<x <1.6. 设容器的容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，所以y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，则15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．在定义域(0,1.6)内只有x ＝1使y ′＝0，x ＝1是函数y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x 在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点．因此，当x ＝1时，y 取得最大值，y max ＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．故高为1.2 m时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m3.探究2费用(用材最省问题)例2如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A 相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元(a≠0)，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[解]设C点距D点x km，则BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝BD2＋CD2＝x2＋402.又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0≤x≤50)．，令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．则y′＝－3a＋5axx2＋402在[0,50]上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．拓展提升(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．【跟踪训练2】要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500 m3，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？解设直径为d m，高为h m，表面积为S m2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22πh ＝500，得h ＝2000d 2π(d >0)， 故S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22π＋d πh ＝πd 24＋2000d (d >0)， S ′＝－2000d 2＋πd 2(d >0)，令S ′＝0，得d ＝1034π，此时h ＝534π.∵当0<d <1034π时，S ′<0；当d >1034π时，S ′>0，∴当d ＝1034π时，S 取得最小值．∴当d ＝1034π m ，h ＝534π m 时，用料最省．探究3 利润最大(成本最低)问题例3 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？[解] (1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元．销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，所以年利润y ＝(年收入)－(年成本)－(年广告费)＝12(32Q ＋3－x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32·3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)， 所以所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)令y ＝f (x )＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)，得f ′(x )＝(－2x ＋98)·2(x ＋1)－2(－x 2＋98x ＋35)4(x ＋1)2＝－x 2－2x ＋632(x ＋1)2. 令f ′(x )＝0，即x 2＋2x －63＝0.所以x ＝－9(舍去)，x ＝7.又当x ∈(0,7)时，f ′(x )>0；当x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (7)＝42.又f (x )在(0，＋∞)上只有一个极值点，所以f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.所以年广告费投入7万元时，企业年利润最大．拓展提升(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(关键词：以产量或单价为自变量)(2)关于利润问题常用的两个等量关系①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．【跟踪训练3】 某工厂生产某种产品，已知该产品的生产量x (t)与每吨产品的价格p (元/t)之间的关系式为p ＝24200－15x 2，且生产x t 产品的成本为R ＝50000＋200x .问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)解 每月生产x t 的利润为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24200－15x 2x －(50000＋200x ) ＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000，令f′(x)＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200，使f′(x)＝0，所以x＝200就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×(200)3＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200 t产品时利润达到最大，最大利润为315万元．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤解决优化问题的方法很多，如：平均不等式法、线性规划方法及利用二次函数的性质等．不少优化问题，可以化为求函数最值问题．导数方法是解决这类问题的有效工具．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)则为最大(小)值.1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8 B．203C．－1 D．－8答案 C解析瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为()A．2033cm B．100 cm C．20 cm D．203cm答案 A解析 设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2，0<h <20，V ＝13π·r 2·h ＝13π·(400－h 2)·h ＝4003πh －π3h 3. 由V ′＝4003π－πh 2＝0得h 2＝4003，h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，因为当0<h <2033时，V ′>0；当h >2033时，V ′<0.所以当h ＝2033时，V 最大．3．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他答案 B解析 V ′(x )＝60x －32x 2＝0，x ＝0或x ＝40.可见当x ＝40时，V (x )达到最大值．4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．答案 20解析 设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x ，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1600x ＋4x .令f ′(x )＝4－1600x 2＝0，解得x ＝20或x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故x ＝20时，f (x )最小．5．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，求x ，y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解依题意有xy＋12x·x2＝8，∴y＝8x －x4(0<x<42)．框架用料总长度L＝2x＋2y＋2·2x2＝⎝⎛⎭⎪⎫32＋2x＋16x，则L′＝32＋2－16x2.令L′＝0，即32＋2－16x2＝0，解得x1＝8－42，x2＝42－8(舍去)．当0<x<8－42时，L′<0；当8－42<x<42时，L′>0.∴当x＝8－42时，L取得最小值，此时x＝8－42≈2.343(m)，y＝22≈2.828(m)．故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．A级：基础巩固练一、选择题1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较() A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小答案 D解析导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300答案 D解析 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390，所以P ′(x )＝－x 2300＋300，由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0，当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．3．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末 答案 D解析 s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0，得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝4，故选D ．4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300答案 D解析 设总利润为y ，则y ＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2－100x －20000，0≤x ≤400，80000－100x －20000，x >400，当0≤x ≤400时，利用导数得，当x ＝300时，y 取最大值为25000元．当x >400时，函数为减函数，y <20000元．因此，当x ＝300时，总利润y 最大．5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( )A ．3VB ．32VC ．34VD ．23V 答案 C解析 设底面边长为x ，高为h ， ∴34x 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3x 2＝43V 3x 2.∴S 表＝2·34x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43Vx (x >0)， S ′(x )＝3x －43Vx 2，令S ′(x )＝0可得 3x ＝43V x 2，x 3＝4V ，x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′(x )<0；当x >34V 时，S ′(x )>0， ∴当x ＝34V 时S (x )最小．6．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C ．43R D ．34R 答案 C解析 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝23πRh 2－π3h 3， ∴V ′＝43πRh －πh 2.V ′＝0时，得h ＝43R 或h ＝0(舍去)． 当0<h <43R 时，V ′>0； 当43R <h <2R 时，V ′<0， ∴h ＝43R 时，圆锥体积最大． 二、填空题7．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．答案 3解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．8．某超市中秋前30天，月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30，t ∈Z )的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋12，则该超市前t 天平均售出⎝ ⎛⎭⎪⎫如前10天的平均售出为f (10)10的月饼最少为________．答案 17解析 记g (t )＝f (t )t ＝t ＋12t ＋10，∴g ′(t )＝1－12t 2，令g ′(t )＝0⇒t ＝±2 3.函数g (t )在区间(0，23)上单调递减，在区间(23，30]上单调递增，考虑到t ∈Z ，且g (3)＝g (4)＝17，g (t )最小值为17.9.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．答案439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22，所以矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23，所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，所以当x ＝23时，f (x )取最大值439. 三、解答题10．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系式，并指出其定义域．求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．解设长为x 米，则宽为200x 米．根据题意得⎩⎨⎧x ≤16，200x ≤16，解得252≤x ≤16.由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×200x ×400＋2×200x ×248＋200×80＝800x ＋259200x ＋16000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16，则y ′＝800－259200x 2.令y ′＝0，解得x ＝18.因为函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，16，且当252≤x ≤16时，y ′＜0，所以该函数在定义域内为单调减函数，即y 在x ＝16处取得最小值，最小值为800×16＋25920016＋16000＝45000.因此当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，为45000元．B 级：能力提升练11．某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (单位：百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (单位：百万元，且0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (单位：百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)解 (1)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f (t )百万元，则有 f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(3－x )百万元，又设由此获得的收益是g (x )，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0， 故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数，所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．12．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为ke x (e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值．参考公式：(e ax ＋b )′＝a e ax ＋b (a ，b 为常数)．解 (1)由于年销售量为Q (x )＝k e x ，则ke 40＝500，所以k ＝500e 40，则年售量为Q (x )＝500e 40e x 万件，则年利润L (x )＝(x －a －30)500e 40e x ＝500e 40·x －a －30e x (35≤x ≤41)．(2)L ′(x )＝500e 40·31＋a －xe x .①当2≤a ≤4时，33≤a ＋31≤35， 当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0，所以x ＝35时，L (x )取最大值为500(5－a )e 5. ②当4<a ≤5时，35<a ＋31≤36，令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知x ＝a ＋31时，L (x )取最大值为500e 9－A ． 综上所述，当2≤a ≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5，每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e 9－a 万元．。
生活中的优化问题举例教案
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程： 一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
三．典例分析1.用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A.2 m 3B.3 m 3C.4 m 3D.5 m 3 设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为1812x 3h (4.53x)(0x )42-<<－＝＝，故长方体的体积为V(x)＝2x 2(4.5－3x)＝9x 2－6x 3(0<x< 1.5 )， 从而V ′(x)＝18x －18x 2＝18x(1－x)，令V ′(x)＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)，当0<x<1时，V ′(x)>0；当1<x<1.5时，V ′(x)<0，故在x ＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积为V(1)＝9×12－6×13＝3(m 3).2.如图，在二次函数f(x)=4x-x 2的图象与x 轴所围成的图形中有一个内接矩形，求这个矩形的最大面积.例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。
高中数学第三章3.4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修2
3.4 生活中的优化问题举例第1课时 变化率问题、导数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 101～P 104的内容，回答下列问题． 某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml 溶液的圆柱形易拉罐． (1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ 提示：计算出圆柱的表面积即可． (2)如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x ，列出圆柱表面积S ＝2πx 2＋1 000x(x ＞0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可．2．归纳总结，核心必记 (1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)解决优化问题的基本思路[问题思考]在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ 提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．[课前反思](1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？；(2)解决优化问题的基本思路是什么？．讲一讲1．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积． [尝试解答] (1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0， 得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．练一练1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0，20)时，V ′＞0；当x ∈(20，30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.讲一讲2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[尝试解答] (1)由题设，隔热层厚度为x cm ，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40， 因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－2 400（3x ＋5）2，令f ′(x )＝0， 即2 400（3x ＋5）2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0≤x <5时，f ′(x )<0， 当5<x ≤10时，f ′(x )>0， 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.所以，当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．练一练2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能使每千米的费用总和最少？解：设燃料费y ＝kv 3，因为当v ＝10时，y ＝6，∴k ＝3500，∴y ＝3500v 3. ∴每千米总费用：S ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫3500v 3＋96＝3500v 2＋96v ，S ′＝3250v －96v2. 令S ′＝0得v ＝20， 当v ∈(0，20)时，S ′<0； 当v ∈(20，＋∞)时，S ′>0.∴v ＝20 km/h 是S 的极小值点，也是最小值点， ∴v ＝20 km/h 时，每千米的费用总和最少． 知识点3 利润最大问题讲一讲3．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32(x ∈N *)． (1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ [尝试解答] (1)因为次品率p ＝3x4x ＋32， 所以当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品． 所以T ＝200x ·⎝⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N *)．(2)T ′＝－25·（x ＋32）（x －16）（x ＋8）2， 由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)． 当0<x <16时，T ′>0； 当x >16时，T ′<0; 所以当x ＝16时，T 最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．练一练3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是利用导数解决生活中的优化问题． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用导数解决面积、体积的最值问题，见讲1；(2)利用导数解决成本最低(费用最省)问题，见讲2； (3)利用导数解决利润最大问题，见讲3.3．在利用导数解决生活中的优化问题时，要注意函数的定义域应使实际问题有意义，这也是本节课的易错点课时达标训练（十九） [即时达标对点练]题组1 面积、体积的最值问题1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r2，V ＝πr 2h ＝12πr 2l －2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0<r <l 4.则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.2．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：选B 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积V cm 3.由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －24)(x －8)，令V ′＝0，得x ＝8或x ＝24(舍去)．当x ∈(0，8)时，V ′>0；当x ∈(8，24)时，V ′<0. ∴当x ＝8时，V 取得最大值． 题组2 成本最低(费用最省)问题3．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6 m B ．8 m C ．4 m D ．2 m解析： 选C 设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为12x 2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝2 000x，总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋12x 2＝8 000x ＋12x 2，令f ′(x )＝x －8 000x2＝0，解得x ＝20.且当0<x <20时f ′(x )<0，当x >20时f ′(x )>0，故x ＝20时，f (x )最小． 答案：205．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ，(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 解：(1)Q ＝P ·400v＝⎝⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0<v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80，当0<v <80时，Q ′<0； 当80<v ≤100时，Q ′>0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元)．题组3 利润最大问题6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C 因为y ′＝－x 2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y ′<0；当x ∈(0，9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9时函数取最大值．7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )A ．30 元B ．60 元C ．28 000 元D ．23 000 元解析：选D 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．解析：存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0，0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．答案：0.0329．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(8≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 之间的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值．解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 之间的关系为：L (x )＝(x －3－4)(12－x )2＝(x －7)(12－x )2，即L (x )＝(x －7)(12－x )2，其中x ∈[8，11]． (2)由于L (x )＝(x －7)(12－x )2，∴L ′(x )＝(12－x )2＋(x －7)·2(12－x )·(－1) ＝(12－x )(12－x －2x ＋14)＝(12－x )(26－3x )， 令L ′(x )＝0得x ＝12或x ＝263，由于x ∈[8，11]，所以取x ＝263，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，263时，L ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤263，11时，L ′(x )<0，所以当x ＝263时，L (x )在[8，11]上取到极大值，也是最大值，L ⎝ ⎛⎭⎪⎫263＝50027(万元)． 故当每件售价为263元时，公司一年的利润L 最大，最大利润是50027万元．[能力提升综合练]1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对解析：选B 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 最小．2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V 解析：选C 设底面边长为x ，高为h ， ∴34x 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3x2＝43V 3x 2. ∴S 表＝2·34x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43Vx， S ′(x )＝3x －43Vx2，令S ′(x )＝0可得3x ＝43V x2，x 3＝4V ，x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′(x )<0；当x >34V 时，S ′(x )>0，∴当x ＝34V 时，S (x )最小．3．某厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )A ．32 m ，16 mB ．30 m ，15 mC ．40 m ，20 mD ．36 m ，18 m解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m ，其他两边边长为y m ，则xy ＝512，堆料场的周长l ＝x ＋2y ＝512y ＋2y (y >0)，令l ′＝－512y2＋2＝0，解得y ＝16(另一负根舍去)，当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0，所以当y ＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x ＝51216＝32.4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x (0≤x ≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：选D 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝－x 2300＋300＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm. 解析：设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2，0<h <20，V ＝13π·r 2·h ＝13π·(400－h 2)·h＝4003πh －π3h 3. 由V ′＝4003π－πh 2＝0得h 2＝4003，h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，因为当0<h <2033时，V ′>0，当h >2033时，V ′<0，所以当h ＝2033时，V 最大．答案：20336．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0， 点B 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ACBD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0，2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， ∴当x ＝233时，f (x )取最大值439.答案：4397．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P (万件)与每台机器的日产量x (万件)(4≤x ≤12)之间满足关系：P ＝0.1x 2－3.2 ln x ＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数； (2)当每台机器的日产量x (万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？ 解：(1)由题意得，所获得的利润为y ＝10[2(x －P )－P ]＝20x －3x 2＋96ln x －90(4≤x ≤12)．(2)由(1)知，y ′＝－6x 2＋20x ＋96x ＝－2（3x ＋8）（x －6）x.当4≤x <6时，y ′＞0，函数在[4，6)上为增函数；当6<x ≤12时，y ′＜0，函数在(6，12]上为减函数，所以当x ＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y ＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元)．故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元． 8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为y ，x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，M 点的坐标为(5，40)，N 点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C 的方程y ＝ax 2＋b， 可得⎩⎪⎨⎪⎧40＝a52＋b，2.5＝a202＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知曲线C 的方程为y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，y ′＝－2 000x3， 所以y ′|x ＝t ＝－2 000t3即为l 的斜率．又当x ＝t 时，y ＝1 000t2，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，所以l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )． 令x ＝0，得y ＝3 000t2；令y ＝0，得x ＝32t .所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20. ②由①知f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20.令g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝94t 2＋9×106t4，所以g ′(t )＝92t －4×9×106t 5＝92·t 6－8×106t 5＝92·t 6－（102）6t 5.因为5≤t ≤20，令g ′(t )<0，得5≤t ＜102；令g ′(t )＝0，得t ＝102；g ′(t )>0，得102<t ≤20.所以g (t )在区间[5，102)单调递减，在(102，20]单调递增．所以g (102)＝675是g (t )的极小值，也是最小值．所以当t ＝102时，f (t )取得最小值，最小值为f (102)＝15 3.即最短长度为15 3.1.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)，明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)，y 0＝f (x 0)，(x 0，y 0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[典例1] 已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16. 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2.∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1.解得，x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. 即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14. [对点训练]1．设函数f (x )＝4x 2－ln x ＋2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝8x －1x.所以在点(1，f (1))处切线的斜率k ＝f ′(1)＝7， 又f (1)＝4＋2＝6， 所以切点的坐标为(1，6)． 所以切线的方程为y －6＝7(x －1)，即7x －y －1＝0.借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x ，e x，－x 3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f ′(x )的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．[典例2] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)． 此时f ′(x )＝2（x ＋1）2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋ax （x ＋1）2.当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a <0时，Δ>0.设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a，由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a>0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a <0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在(－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a)上单调递增．[典例3] 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0， 解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意当x ∈(1，4)时，f ′(x )<0， 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0. 故4≤a －1≤6， 即5≤a ≤7.因此a 的取值范围是[5，7]． [对点训练]2．求函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)的单调区间． 解：因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－（x －a ）（2x ＋a ）x.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R ，若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝－3x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)f ′(x )＝1－a x2，由导数的几何意义得f ′(1)＝－3， 于是a ＝4，由切点P (1，f (1))在直线y ＝－3x ＋1上得1＋a ＋b ＝－2，解得b ＝－7. 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x ＋4x－7(x ≠0)．(2)f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x2(x ≠0)，由f ′(x )>0得x >2或x <－2； 由f ′(x )<0得－2<x <2且x ≠0，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，递减区间为(－2，0)和(0，2).1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f (x )的定义域． (2)解方程f ′(x )＝0的根．(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号： 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值． 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将(1)求得的极值与f (a )，f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．[典例4] 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ，且x ＝3是f (x )的极值点． (1)求实数a 的值；(2)求f (x )在x ∈[1，5]上的最小值和最大值． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3.f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5.(2)f (x )＝x 3－5x 2＋3x . 令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝13(舍去)．当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝3时，f (x )在区间[1，5]上有小值为f (3)＝－9； 当x ＝5时，f (x )在区间[1，5]上是最大值是f (5)＝15. [典例5] 已知函数f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R .(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝0时，曲线f (x )＝x 2－ln x ， 所以f ′(x )＝2x －1x⇒f ′(1)＝1，f (1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x －y ＝0. (2)因为函数在[1，2]上是减函数，所以f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1，2]上恒成立，令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧h （1）≤0，h （2）≤0， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－72，得a ≤－72. 即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－72.(3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)．②当1a≥e 时，g ′(x )≤0在(0，e]上恒成立，所以g (x )在(0，e]上单调递减．g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)．③当0<1a <e 时，令g ′(x )<0⇒0<x <1a，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增．所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时g (x )有最小值3. [对点训练]4．设f (x )＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax（1＋ax 2）2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x ＝32，或x ＝12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立． 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，又由a >0，得0<a ≤1.即a 的取值范围为(0，1]．5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内x ＝－1时取极小值，x ＝23时取极大值．(1)求曲线y ＝f (x )在x ＝－2处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，又x ＝－1，x ＝23分别对应函数的极小值，极大值，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．即23a ＝－1＋23，－b 3＝(－1)×23. 于是a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x .x ＝－2时，f (－2)＝2，即切点为(－2，2)．又切线斜率为k ＝f ′(－2)＝－8， 所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：要证不等式f (x )>g (x )，则构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，只需证φ(x )>0即可，由此转化成求φ(x )最小值问题，借助于导数解决．[典例6] 证明x 3－x 2＋x ＋1>sin x (x >0，x ∈R )． 证明：令f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1， 则f ′(x )＝3x 2－2x ＋1.该导函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝4－12<0， 所以f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在R 上是递增的． 因为x >0， 所以f (x )>f (0)＝1. 而sin x ≤1，所以x 3－x 2＋x ＋1>sin x 成立． [对点训练]6．证明不等式ln x >2（x －1）x ＋1，其中x >1.证明：设f (x )＝ln x －2（x －1）x ＋1(x >1)，则f ′(x )＝1x－4（x ＋1）2＝（x －1）2x （x ＋1）2.∵x >1，∴f ′(x )>0，即f (x )在(1，＋∞)内为单调递增函数． 又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0， 即ln x －2（x －1）x ＋1>0，∴ln x >2（x －1）x ＋1.解决恒成立问题的方法：(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )max ≤m . (2)若关于x 的不等式f (x )≥m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )min ≥m . (3)导数是解决函数f (x )的最大值或最小值问题的有力工具． [典例7] 已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1. ∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0， 即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .又当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x ∈(－∞，－3]，∴a ≥－3，即a 的取值范围为[－3，＋∞)． (2)由题知，2f (x )≥－x 2＋mx －3， 即mx ≤2x ·ln x ＋x 2＋3. 又x >0，∴m ≤2x ·ln x ＋x 2＋3x.令h (x )＝2x ·ln x ＋x 2＋3x，h ′(x )＝（2x ln x ＋x 2＋3）′·x －（2x ln x ＋x 2＋3）·x ′x2＝（2ln x ＋2＋2x ）x －（2x ln x ＋x 2＋3）x2＝2x ＋x 2－3x2， 令h ′(x )＝0.解得x ＝1，或x ＝－3(舍)．当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0，函数h (x )在(0，1)上单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4， 即m 的最大值为4. [对点训练]7．已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1，2]时，则f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围；(3)若f (x )在x ＝1处取得极值，求证：对[－1，2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，令f ′(x )＝0， 由Δ>0得1－12b >0，解得b <112.即b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2.令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c ，f (1)＝－32＋c .又f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c .∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，由f (x )<c 2在x ∈[－1，2]上恒成立，得2＋c <c 2，即c 2－c －2>0.解得c >2或c <－1. 故所求c 的范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． (3)证明：由(2)知f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－32＋c ，故对[－1，2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )min －f (x )max |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋c －（2＋c ）＝72.讨论方程根的个数，研究函数图象与x 轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．[典例8] 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求f (x )的极值点；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有3个不同实根，求实数a 的取值范围； (3)已知当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥k (x －1)恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3(x 2－2)，令f ′(x )＝0， 得x 1＝－2，x 2＝ 2.当x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈()－2，2时，f ′(x )<0， 因此x 1＝－2，x 2＝2分别为f (x )的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y ＝f (x )图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)<a <f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x )＝a 有3个不同实根时，所求实数a 的取值范围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x )≥k (x －1)， 即(x －1)(x 2＋x －5)≥k (x －1)，因为x >1，所以k ≤x 2＋x －5在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋x －5，由二次函数的性质得g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )>g (1)＝－3，所以所求k 的取值范围是为(－∞，－3]． 法二：直线y ＝k (x －1)过定点(1，0)且f (1)＝0， 曲线f (x )在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中草图知要使x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥k (x －1)恒成立需k ≤－3.故实数k 的取值范围为(－∞，－3]．[对点训练]8．设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明若f (x )有零点，则f (x )在区间(1，e)上仅有一个零点． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.因为k >0，所以令f ′(x )＝0得x ＝k ， 列表如下：减区间为(0，k )，增区间为(k ，＋∞)． 当x ＝k 时，取得极小值f (k )＝k －k ln k2.(2)当k ≤1，即0<k ≤1时，f (x )在(1，e)上单调递增， f (1)＝12，f (e)＝e 2－k 2＝e －k2>0，所以f (x )在区间(1，e)上没有零点．当1<k <e ，即1<k <e 时，f (x )在(1，k )上递减，在(k ，e)上递增，f (1)＝12>0，f ()e ＝e －k 2>0，f ()k ＝k －k ln k 2＝k （1－ln k ）2>0，此时函数没有零点．当k ≥e ，即k ≥e 时，f (x )在()1，e 上单调递减，f (1)＝12>0，f (e)＝e －k2<0，所以f (x )在区间(1，e)上仅有一个零点．综上，若f (x )有零点，则f (x )在区间(1，e)上仅有一个零点.解决优化问题的步骤：(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．[典例9] 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN ，试求游乐园的最大面积．解：如图，以M 点为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则D (4，2)．设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点D 在抛物线上， ∴22＝8p .解得p ＝12.∴抛物线方程为y 2＝x (0≤x ≤4，0≤y ≤2)． 设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点， 则|PQ |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2.∴矩形游乐园面积为S ＝|PQ |·|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . 求导得，S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0， 得3y 2＋4y －4＝0，。
高中数学1-1 3.4 生活中的优化问题举例 学案
生活中的优化问题举例（学案）一、知识梳理1、导数在实际生活中有着广泛的应用．如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的,从而可以用来解决．2、利用导数解决优化问题的流程：3、解决生活中的优化问题的思路：（1)审题:阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论．(2）建模：．（3）解模：把数学问题转化为函数求解．（4）检验．二、典例解析探究点一面积、容积的最值例1、用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少？一点通：解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积、容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．如果在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也是最值点．探究点二用料最省问题例2、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋x）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；（2）当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？一点通：用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际问题做答．探究点三用料最省问题利润最大问题例3、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg)满足关系式y＝错误!＋10（x－6)2。
其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；（2）若该商品的成本为3元/kg,试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．一点通：（1)利润（收益）＝销售额－成本，在有关利润（收益)的问题中,注意应用此公式列出函数关系式,然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值．（2）在实际问题中，若某函数在所给区间上只有一个极值，则该极值即为相应的最值．这是实际问题中求最值的常用方法．三、当堂检测1、某商品在最近30天的价格()f t与时间t（天)的函数关系()10(030,)f t t t t N+=+<≤∈，销售量()g t与时间t的函数关系是()35(030,)g t t t t N+=-+<≤∈，则这种商品的销售多额的最大值为( ）A．406 B．506 C．200 D．5002、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）A．3cm B．1033cm C．1633cm3D.203cm33、面积为S的矩形中，其周长最小的是4、做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是27π,且用料最省，则圆柱的底面半径为。
高中数学新湘教版精品学案《生活中的优化问题举例》
生活中的优化问题举例
【学习目标】
1．掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2．解决实际问题中，会用导数的有关知识。
3．通过将实际问题转化为数学问题，提高综合能力、思考能力，并会灵活运用导数知识解决生活中的问题。
【学习重难点】
重点：理解并会用导数解决生活中的优化问题。
难点：将生活中的实际问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数知识解决数学问题，从而寻找出问题的最优解法。
【学习过程】
一、新课学习
知识点一：导数法求函数最值的基本步骤。
（1）先求出要求的函数的表达式；
（2）求出函数表达式的导数；
（3）求出函数表达式的极值。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．现在要设计一张竖向张贴的海报，印刷面积为256平方分米，上下空白各150厘米，左右空白各50厘米，如何确定海报尺寸可使得四周空白面积最小？
2．一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，请问两段铁丝的长度分别是多少？
二、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测。
1．将一张长为80厘米，宽为50厘米的矩形纸张，四个角剪掉相同大小的正方形，然后折叠成一个无盖纸盒。
试问：剪掉的正方形的边长为多少时，才能使得纸盒容积最大？
2．某工厂建造一个长方体无盖贮水池，容积为3600立方米，深度4米，如果池子底部每平方米的造价为150元，池子四周每平方米造价为12021请问怎样设计才能使水池的造价最低，最低造价为多少元？。
教学设计2：3.4 生活中的优化问题举例
3.4 生活中的优化问题举例教学目标重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去.难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值.能力点：要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：课件. 一、【知识结构】利用导数解决优化问题的基本思路：二、【知识梳理】 1、极值的定义:一般地，设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果0()f x 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说0()f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果0()f x 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说0()f x 是函数()y f x =的一个极小值.极大值与极小值统称极值. 2、极值与导数的关系:如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;解决数学模型如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值. 3、求可导函数的极值的基本步骤与方法：一般地，如果函数()y f x =在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值：① 确定函数的定义域； ② 求导数()f x '；③ 求方程()0f x '=的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，确定极值点.(最好通过列表法)4、请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念.由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（ⅱ）函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点， 4x 是极小值点，而41()()f x f x >.（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.三、【范例导航】例1．海报版面尺寸的设计yo a x 1 x 2x 3 x 4 bx学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向 张贴的海报，要求版心面积为2128dm ,上、下两边各空2dm ,左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值. 【解答】设版心的高为xdm ，则版心的宽为128dm x,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>. 求导数，得2512()2S x x '=-令2512()20S x x '=-=，解得16(16x x ==-舍去）.于是宽为128128816x ==.当(0,16)x ∈时，()0S x '<；当(16,)x ∈+∞时，()0S x '>.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm ， 宽为8dm 时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小.【点评】在课本例1中，“16x =是函数()S x 的极小值点，也是最小值点.”为什么？是否还有别的解法？在实际问题中，由于()0f x '=常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值.x由课本例1可得，256()48872S x x x =++≤=. 当且仅当2564x x =,即8x =时S 取最小值,此时128168y ==. 例2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分， 其中r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？分析：先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值. 【解答】由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是33324()0.20.80.8(),0633r y f r r r r r πππ==⨯-=-<≤令2()0.8(2)0f r r r π'=-= 解得2r = （0r =舍去） 当(0,2)r ∈时，()0f r '<；当(2,6)r ∈时，()0f r '>．当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为2m 时，利润最小，这时(2)0f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子 的成本，此时利润是负值． （2）半径为6cm 时，利润最大． 例3 磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道 和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁 道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元2r <通常被称为比特（bit ）.为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n . 为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域． （1）是不是r 越小，磁盘的存储量越大？（2）r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 【解答】由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R rm-.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量， 最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2rnπ.所以，磁盘总存储量22()()R r r f r r R r m n mnππ-=⨯=-（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大．（2）为求()f r 的最大值，计算()0f r '=．2()(2)f r R r mnπ'=- 令()0f r '=，解得2R r = 当2R r <时，()0f r '>；当2Rr >时，()0f r '<． 因此2Rr =时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为四、【解法小结】用导数求解优化问题的基本步骤：（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式()y f x =，并确定函数的定义区间； （2）求()f x '，解方程()0f x '=，得出所有实数根；r（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值． 五、【布置作业】 必做题：1．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）2．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？必做题答案：1．解：每月生产x 吨时的利润为2311()(24200)(50000200)2400050000(0)55f x x x x x x =--+=-+-≥ 由23()24000005f x x '=-+=，解得：200x =或200x =-（舍去）．因()f x 在[0,)+∞内只有一个点200x =使()0f x '=，故它就是最大值点，且最大值为：31(200)(200)240002005000031500005f =-+⨯-=（元）答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.2．解：设每次进书x 千册(0150)x <<，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即2x，故有 22150450020(15)(15)3040,202x x x y y x x x +-'=⨯+⨯=-+=， 令0y '=，得15x =，列表如右：所以当15x =时， y 取得极小值，且极小值唯一， 故当15x =时， y 取得最小值，此时进货次数为1501015=（次）．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．选做题：1、用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m ,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．2、当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量为2()100001000b t t t =-.(1)求细菌在5t =与10t =时的瞬时速度；(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?选做题答案：1. 高为1.2m ，最大容积31.8m . 2、(1)()100002000b t t '=-5()10000200050t b t ='=-⨯=, 10()1000020001010000t b t ='=-⨯=-即细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和10000-.(2)由()1000020000b t t '=->,得5t <,由()1000020000b t t '=-<,得5t >, 即细菌在(0,5)t ∈时间段数量增加,在(5,)t ∈+∞时间段数量减少.。
教学设计3：3.4 生活中的优化问题举例
3.4 生活中的优化问题举例●三维目标1.知识与技能通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题．2．过程与方法让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法．3．情感、态度与价值观形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性．激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力．●重点、难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握．●教学建议教学中，先给出一些有背景的问题，让学生从生活经验角度思考问题，在此基础上，逐步引入的数学问题，按照学生的思维过程，逐步展开问题、解决问题，然后再给出一些有思维价值的题目，让学生在分析问题、解决问题的过程中，体会数学建模的过程，培养应用数学的意识和能力，同时化解了本节的重点，突破了难点．课前自主导学：知识1：导数在实际问题中的应用生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．问题导思优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？答：函数的最大、最小值．知识2：解决优化问题的基本思路优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．课堂互动探究：类型1：面积体积的最值问题例1：用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x cm ，容器的容积为V (x )cm 3，则V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0＜x ＜24)．所以V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝12(x 2－46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)．令V ′(x )＝0，得x ＝10或x ＝36(舍去)．当0＜x ＜10时，V ′(x )＞0，即V (x )是增加的；当10＜x ＜24时，V ′(x )＜0，即V (x )是减少的．因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝19 600(cm 3)．因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3.规律方法：1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法：(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长宽、高都大于零．(2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．变式训练：将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？解：设弯成圆的一段铁丝长为x cm ，则另一段长为(100－x ) cm ，正方形的边长为a ＝100－x 4cm ，圆的半径r ＝x 2πcm. 记正方形与圆的面积之和为S ，∴S ＝π(x 2π)2＋(100－x 4)2＝4＋π16πx 2－252x ＋625(0＜x ＜100)．又S ′＝4＋π8πx －252， 令S ′＝0，则x ＝100π4＋π. ∵S 是关于x 的二次函数，由其性质可知当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 类型2：用料最省、费用最低问题:例2：某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)【解析】(1)根据题意，你能找出x 、y 之间的关系式吗？能把框架的周长表示成x 的函数吗？(2)你能确定上函数的定义域并用导数求出最小值吗？解：依题意，有xy ＋12·x ·x 2＝8， 所以y ＝8－x 24x ＝8x －x 4(0＜x ＜42)， 于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2(2x 2)＝(32＋2)x ＋16x. l ′＝32＋2－16x2. 令l ′＝0，即32＋2－16x2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)． 当0＜x ＜8－42时，l ′＜0；当8－42＜x ＜42时，l ′＞0，所以当x ＝8－42时，l 取得最小值．此时，x ＝8－42≈2.343 m ，y ≈2.828 m.即当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省．规律方法： 1．本题是用料最省问题，此种类型也可以用不等式解决，但有时运算量较大，用导数解决较为合理．2．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．变式训练：某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)， f ′(x )＝48－10 800x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝15，当x ＞15时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜15时，f ′(x )＜0，因此当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．类型3：利润最大问题例3：某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数．如果年广告费收入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【解析】(1)在本例中如何求企业的年利润？怎样判断企业是亏损还是盈利？(2)如何用导数法求最大利润？解： (1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元．销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q ＋3－x )＝12(32×3x ＋1x ＋1＋3－x ) ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)， ∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)令f (x )＝y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)可得 f ′(x )＝(－2x ＋98)(x ＋1)－(－x 2＋98x ＋35)2(x ＋1)2＝－x 2－2x ＋632(x ＋1)2. 令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －63＝0.∴x ＝－9(舍去)或x ＝7.又∴x ∈(0,7)时，f ′(x )>0；x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0，∴f (x )极大值＝f (7)＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．规律方法：1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再用导数求最大值．商品的价格要高于生产商品的成本，否则会亏本．2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．变式训练：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大？ 解：收入R ＝q ·p ＝q (25－18q )＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0＜q ＜200)， 所以L ′＝－14q ＋21.令L ′＝0， 即－14q ＋21＝0，解得q ＝84.因为当0＜q＜84时，L′＞0；当84＜q＜200时，L′＜0，所以当q＝84时，L取得最大值，最大值为782.答：当产量为84时，利润取得最大值782.课堂小结：1．解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言．要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．2．用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值：此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论：紧扣题目，给出圆满的答案.。
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§3.4生活中最优化问题（第二课时）
[自学目标]:
1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力
[重点]：利用导数解决生活中的一些优化问题．
[难点]:利用导数解决生活中的一些优化问题
[教材助读]:
求解应用问题的方法：解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把问题情境译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解。
[预习自测]
1、一条长为的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
待课堂上与老师和同学探究解决。
[合作探究展示点评]
探究一：磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。
为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．
（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？
（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
探究二：节省材料问题
例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
[当堂检测]
1．一边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都是x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,x 多大时,方盒的容积V最大?
2．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
[拓展提升]
1、一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？。